Livre messirdi bachir (Analyse algèbre) Tome 1 version 1

Table des Matières
1 Logique élémentaire - Quelques types de raisonnement 8
1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 La notion d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 La négation des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Récapitulatif des connecteurs et leurs vérités . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Une tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7 Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.8 Les quanti…cateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.9 La négation des quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.10 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Quelques types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 La contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Exercices ........................................ 20
1.4 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Les nombres réels 41
2.1 L’ensembles des nombres rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1

2.2 Intervalle-Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 La valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 La partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.1 Propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 L’ordre total ""sur R................................. 50
2.5.1 Majorants - Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2 La borne supérieure - La borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.3 Maximum - minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Exercices ........................................ 53
2.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Relation d’équivalence - Relation d’ordre 61
3.1 Notion de la relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2 Classe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2 L’ordre total et l’ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 Majorants - Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.4 La borne supérieure - La borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.5 Maximum - minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Exercices ........................................ 70
3.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Les applications 101
4.1 Notion d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Égalité de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Composée de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2

4.4 Image d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6 Surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.8 Bijection réciproque (image inverse ou réciproque) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9 Image réciproque d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.10 Involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.11 Propriétés des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.13 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Fonctions numériques d’une variable réelle. 132
5.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.1 Dé…nition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2 Ensemble de dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3 Composition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5 La parité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5.1 Fonction paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5.2 Fonction impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.6 Fonction majorée, minorée et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.1 Fonction majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.2 Fonction minorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.3 Fonction bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.7 La monotonie d’une fonction ou sens de variations d’une fonction (croissance-
décroissance et constante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.1 La croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.2 La décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.3 Fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.8 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.8.1 Opéraions sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3

5.8.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8.3 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.8.4 Lien entre les fonctions discontinues et les limites des suites . . . . . . . . 140
5.8.5 Fonction continue sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.9 Théorème des valeurs intermédiares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.10 Le prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.10.1 Fonctions monotones continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.11 Dérivation d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.11.1 Dé…nition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.11.2 Lien entre la dérivée et la monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.3 Quelques propriétés sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.4 Dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.5 Dérivées d’ordre supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.12Exercice:.........................................149
5.13 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Fonctions réciproques 165
6.1 Propriétés de la fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 La monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 La continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.3 La dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.1 La fonction arccos x..............................166
6.3 La fonction arcsin x...................................168
6.4 La fonction arctan x..................................170
6.5 La fonction arccot x..................................172
6.6 Les fonctions hyperboliques et leures fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.6.1 Fonctions hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.6.2 Les fonctions inverses des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 176
4

7 Structures algébriques 182
7.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.2 La commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.3 L’associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.4 L’élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.5 L’élément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.6 L’élément régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.7 La distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.8 Partie stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.9 Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Structure d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.1 Dé…nition d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.2 Propriétés des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.3 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.4 Propriétés des sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.5 Homomorphisme de groupes (morphisme de groupes) . . . . . . . . . . . 189
7.2.6 Le noyau et l’image d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.1 Sous-anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.2 Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4 Structure d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.1 Élément inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2 Structure d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.3 Sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.5 Exercices ........................................191
7.6 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8 Espaces vectoriels 222
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5