Livre messirdi bachir (Analyse algèbre) Tome 1 version 1

Table des Matières
1 Logique élémentaire - Quelques types de raisonnement
1.1
8
Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.1
La notion d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.2
Négation d’une proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3
Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.4
La négation des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5
Récapitulatif des connecteurs et leurs vérités . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6
Une tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.7
Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.8
Les quanti…cateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.9
La négation des quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.10 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2
Quelques types de raisonnement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1
Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2
La contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3
Le raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Les nombres réels
2.1
41
L’ensembles des nombres rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1
Nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
2.2
Intervalle-Segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3
La valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4
La partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.1
2.5
Propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
L’ordre total " "sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.1
Majorants - Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2
La borne supérieure - La borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.3
Maximum - minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Relation d’équivalence - Relation d’ordre
3.1
Notion de la relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1
3.2
3.3
61
Propriétés des relations binaires dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . 61
Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1
Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2
Classe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3
Ensemble quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1
Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2
L’ordre total et l’ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3
Majorants - Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.4
La borne supérieure - La borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.5
Maximum - minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Les applications
101
4.1
Notion d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2
Égalité de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3
Composée de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2
4.4
Image d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5
Injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6
Surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7
Bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.8
Bijection réciproque (image inverse ou réciproque) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.9
Image réciproque d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.10 Involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.11 Propriétés des applications
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.13 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Fonctions numériques d’une variable réelle.
5.1
132
Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.1.1
Dé…nition d’une fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2
Ensemble de dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3
Composition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4
Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5
La parité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.6
5.7
5.5.1
Fonction paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5.2
Fonction impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Fonction majorée, minorée et bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.1
Fonction majorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.2
Fonction minorée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.6.3
Fonction bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
La monotonie d’une fonction ou sens de variations d’une fonction (croissancedécroissance et constante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.8
5.7.1
La croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.2
La décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.7.3
Fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.8.1
Opéraions sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3
5.9
5.8.2
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8.3
Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.8.4
Lien entre les fonctions discontinues et les limites des suites . . . . . . . . 140
5.8.5
Fonction continue sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Théorème des valeurs intermédiares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.10 Le prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.10.1 Fonctions monotones continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.11 Dérivation d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.11.1 Dé…nition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.11.2 Lien entre la dérivée et la monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.3 Quelques propriétés sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.4 Dérivée d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.11.5 Dérivées d’ordre supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.12 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.13 Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Fonctions réciproques
6.1
6.2
Propriétés de la fonction réciproque
165
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1
La monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2
La continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1.3
La dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2.1
La fonction arccos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3
La fonction arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4
La fonction arctan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5
La fonction arccot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.6
Les fonctions hyperboliques et leures fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.6.1
Fonctions hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.6.2
Les fonctions inverses des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 176
4
7 Structures algébriques
7.1
7.2
7.3
7.4
182
Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.1
Loi de composition interne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.2
La commutativité
7.1.3
L’associativité
7.1.4
L’élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.5
L’élément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.1.6
L’élément régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.7
La distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.8
Partie stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1.9
Loi de composition externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Structure d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.1
Dé…nition d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.2
Propriétés des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2.3
Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.4
Propriétés des sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.2.5
Homomorphisme de groupes (morphisme de groupes)
7.2.6
Le noyau et l’image d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
. . . . . . . . . . . 189
Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.1
Sous-anneau
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.2
Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Structure d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.1
Élément inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.2
Structure d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.3
Sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8 Espaces vectoriels
8.1
222
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5
8.2
Dé…nition d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.3
Propriétés immédiates des opérations dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 223
8.4
Sous -espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5
Intersection et la réunion de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 225
8.6
Somme des sous-espaces vectoriels - Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.7
8.6.1
Somme des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6.2
Somme directe (Espaces supplémentaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
La base d’une famille de vecteurs d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.7.1
Dépendance (Famille liée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.7.2
Indépendance (famille libre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.7.3
Famille génératrice ou systéme générateur (vecteurs qui engendre un espace)229
8.7.4
La notion d’une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.7.5
Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.7.6
Rang d’un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.7.7
Lien entre la dimension et la somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8.8
Sous-espace engendré par un ensemble ou une famille de vecteurs . . . . . . . . . 233
8.9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.10 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9 Applications linéaires
276
9.1
Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2
Noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
9.3
Injectivité d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.4
Image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
9.5
Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.6
Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.7
Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.8
Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.9
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
9.10 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6
.
Avant-propos
Cet ouvrage est le fruit d’une longue expérience d’enseignement des troncs communs (SETI
–MI –ST- SM- écoles supérieures).
J’ai vu que les étudiants ont des lacunes pour apprendre les mathématiques surtout dans
l’aspect raisonnement c’est-à-dire comprendre les choses mais comment je commence à écrire
la réponse? D’où le grand problème pour l’étudiant est la rédaction des idées.
Pour cela j’ai essayé de guider l’étudiant par un style assez simple à comprendre dont
l’objet est de donner une explication complète et formelle. Chaque chapitre est articulé autour
d’un mini cours qui simpli…e l’information suivi par des exemples d’applications et une variété
d’exercices qui servent à illustrer la théorie.
Je tiens à remercier tous mes collègues d’université de Tlemcen qui mon pousser à …naliser
ce travail.
7
Chapitre 1
Logique élémentaire - Quelques
types de raisonnement
1.1
Logique élémentaire
Vous savez par expérience qu’un cours de mathématiques est constitué d’une suite d’énoncés,
appelés dé…nitions ou propositions. Les dé…nitions sont posées à priori et les propositions
doivent être démontrées à l’aide de dé…nitions ou d’autres propositions déja établies. Dans
n’importe quel problème on trouve des hypothèses et des questions et pour répondre à ces
questions on utilise les hypothèses ou bien des théorèmes connus. C’est cette démarche, qui
consiste à passer avec logique, dans les di¤érentes étapes d’un raisonnement mathématique. Il
nous a cependant paru utile de dégager quelques règles de logique universelle.
1.1.1
La notion d’une proposition
Dé…nition 1.1 Une proposition est une assertion (un énoncé) dont on peut a¢ rmer sans
ambiguïté (sans doute) si elle est vraie ou fausse. Par exemple 2 > 1 est une proposition vraie;
p
2 est un nombre rationnel, est une proposition fausse; mais A B n’est pas une proposition
si on n’a pas des données sur les deux ensembles A et B.
On note les propositions par les lettres : P; Q; R; :::ou bien par des lettres indexées: P1 ; P2 ; P3 ; ::::
Par suite on asssocie à une proposition vraie la lettre "V" ou le chi¤re "1", et une proposition
8
fausse par "F" ou "0".
1.1.2
Négation d’une proposition
Si P est une proposition, on note la négation de P par (non P ) ou P , qui est vraie si P est
fausse et fausse si P est vraie.
1.1.3
Les connecteurs logiques
À deux propositions P et Q, on peut associer une troisième, qui est dé…nie par un connecteur
logique ou des connecteurs entre ces deux propositions.
La conjonction
On appelle conjonction de deux propositions P et Q, la proposition notée P ^ Q qui est vraie,
si P et Q sont vraies, et fausse dans les autres cas. Deux propostions sont dites incompatibles,
si leur conjonction est fausse.
Exemple 1.1 Si on donne deux informations à un individu alors l’information totale n’est
vraie que si les deux informations sont vraies.
La disjonction
Une disjonction de deux propositions P et Q notée par P _ Q, et elle se lit P ou Q qui est
vraie si l’une des deux est vraie.
Exemple 1.2 Si un enseignant donne des questions à choisir alors l’étudiant a la note complète
s’il répond juste à l’un des questions.
L’implication
L’implication de deux propositions P et Q, est la proposition [(non P ) ou Q], notée par
P ) Q (qui se lit P implique Q), qui est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse.
Dans ce cas la proposition P joue le rôle des hypothèses et Q joue le rôle de la conclusion
ou le problème.
9
Exemple 1.3 Dans un examen l’enseignant donne un exercice constitué par des hypothèses et
des questions. Dans la nature il pose des hypothèses vraies et il veut des réponses vraies pour
que la note sera complète, alors l’étudiant aura la note complète dans trois cas :
1- dans l’état normal c’est-à-dire les hypothèses sont vraies et les réponses aussi.
2- l’enseignant a fait une erreur dans les hypothèses et l’étudiant n’arrive pas a trouvé la
solution (énoncés d’un exercice sont faux).
3- l’enseignant a fait une erreur dans les hypothèses et l’étudiant a trouvé la solution car il
est brillant ou il a utilisé autre chose que les hypothèses.
Mais le dernier cas l’étudiant n’a pas eu la note car:
4- les hypothèses sont vraies et la réponse est fausse.
C’est dans ce dernier cas où l’implication est fausse.
Exemple 1.4
1<2)2<3!V
1>2)2>3!V
1>2)2<3!V
1<2)2>3!F
Remarque 1.1 On utilise l’implication si on trouve dans une question l’expression:
Montrer que si on a P alors on a Q:
C’est à dire mathématiquement on écrit:
P ) Q:
L’équivalence
Deux propositions sont dites équivalentes, ce qu’on note P () Q (se lit P est équivalent à
Q), qui est vraie si les deux sont vraies, ou les deux sont fausses.
10
Il faut toujours voir l’équivalence comme deux sens de l’implication c’est-à-dire P () Q
est exactement:
P ) Q et Q ) P:
Exemple 1.5 on a
(1 = 2) , (3 = 4) est une proposition vraie car les deux sont fausses.
Remarque 1.2 On utilise l’équivalence si on trouve dans une question l’expression:
montrer qu’on a P si et seulement si on a Q: (ou écrire on a P ssi on a Q).
P , Q:
1.1.4
La négation des connecteurs
On note la négation par une barre au-dessus et on a les propriétés suivantes:
(1) P ^ Q est P _ Q et on écrit: P ^ Q () P _ Q:
(2) P _ Q est P ^ Q et on écrit: P _ Q () P ^ Q:
(3) P ) Q est P ^ Q et on écrit: P ) Q () P ^ Q:
(4) P , Q est P ^ Q ou Q ^ P et on écrit: P , Q , P ^ Q ou Q ^ P :
(5) P , P .
Attention: ne pas écrire = au lieu de ,.
D’après (3) et (5): (P ) Q) , P ) Q , P ^ Q , P _ Q:
Remarque 1.3 On appelle les deux premières équations (1) et (2) par les lois de Morgan.
Explication des ces résultats
(1) Pour la négation de la conjonction: la négation de deux informations vraies est l’un des
deux est fausse.
11
(2) La négation de la 1ère est vraie ou la 2ème est vraie et les deux sont fausses.
(3) Pour l’implication on donne l’exemple suivant:
Si vous me dit: " si tu me donne une clé alors j’ouvre cette porte" alors la négation de
cette phrase pour que je vous contredit est: " je vous donne une clé et tu n’arrive pas a ouvrir
la porte", cette clé n’est plus la bonne clé de la porte.
(4) Pour l’équivalence il su¢ t de l’écrire sous forme de deux sens d’implications et on fait la
négation des deux implications ainsi que la conjonction.
1.1.5
Récapitulatif des connecteurs et leurs vérités
Ces formules sont données dans le tableau suivant (la table de vérité):
_
P
Q
P
P ^Q
P _Q
P )Q
P () Q
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
Pour montrer qu’une proposition est vraie ou fausse on utilise la table de vérité. Si on utilise
deux propositions alors dans les combinaisons de vérités entre ces deux propositions on a 4
lignes, mais si on a trois alors on a 8 lignes. Dans le cas général le nombre des lignes est 2n où
n est le nombre des propostions utilisées. Par contre pour les colonnes il faut poser toutes les
sous propositions qui construisent la proposition totale. Pour dire si la proposition est vraie ou
fausse il su¢ t de voir la dernière colonne du tableau (proposition totale), si tous les résultats
sont vrais alors la proposition est vraie et si l’un des résultats est faux alors la proposition est
fausse.
Exemple 1.6 La propostion suivante est-elle vraie ou fausse?
[H1 ] : (P ) Q) , Q ) P :
12
En e¤ et:
P
Q
Q
P
P )Q
Q)P
[H1 ]
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
Exemple 1.7 La propostion suivante est-elle vraie ou fausse?
[H2 ] :
P _ Q ) R , P ^ R:
En e¤ et:
P
Q
R
Q
P _Q
P ^R
P ^R
P _Q )R
[H2 ]
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
ce qui donne que cette proposition est fausse.
Remarque 1.4 Dans le remplissage du tableau on commence par la 1ère colonne on la divise
par deux au-dessus on a des 1 et au-dessous on a des 0, ensuite la 2ème colonne on la divise
par 4 dans le remplissage c’est deux par deux (vraies - fausses) et dans la 3ème c’est un par un
pour avoir toutes les combinaisons de vérité entre trois propositions.
1.1.6
Une tautologie
Dé…nition 1.2 Une tautologie est une proposition qui est vraie dans tous les cas.
13
Exemple 1.8 Véri…er si la proposition: (P ) Q) _ (Q ) P ) est une tautologie?
P
Q
P )Q
Q)P
(P ) Q) _ (Q ) P )
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
ce qui a¢ rme que c’est une tautologie.
1.1.7
Propriétés des connecteurs
Soient P , Q et R trois propositions.
(1) (P ^ Q) , (Q ^ P ) et (P _ Q) , (Q _ P ) (la commutativité):
(2) (P ^ Q) ^ R , P ^ (Q ^ R) et (P _ Q) _ R , P _ (Q _ R) (l’associativité).
(3) (P ^ Q) _ R , (P _ R) ^ (Q _ R) et (P _ Q) ^ R , (P ^ R) _ (Q ^ R) (la distributivité
de l’un à l’autre):
(4) ((P ) Q) ^ (Q ) R)) ) (P ) R):(la transitivité)
1.1.8
Les quanti…cateurs logiques
Soit un ensemble E et une propriété déterminée P . On peut se poser les deux questions
suivantes:
a) Existe-t-il des éléments de E qui possèdent cette propriété?
b) Dans l’a¢ rmative, la propriété est-elle vraie pour tous les éléments ou pour un élément
unique?
Pour formuler les réponses à ces deux questions on introduit des symboles appelés quanti…cateurs, ce sont:
14
Quanti…cateur existentiel
Il s’écrit 9 et signi…e: qu’il existe au moins un élément de E ayant la propriété P . Par exemple
l’écriture:
9x 2 R; x2 + x
2 = 0:
signi…e qu’il existe au moins un nombre réel tel que: x2 + x
2 = 0; par exemple
2:
En plus si la propriété P (x) est véri…e pour un unique élément x 2 E on écrit:
9!x 2 E; P (x).(il existe un unique)
Par exemple:
9!x 2 R; x2
2x + 1 = (x
1)2 = 0 pour x = 1.
Quanti…cateur universel
Qui s’écrit 8 (se lit: quel que soit)et signi…e que tout élément de E véri…e P . Par exemple
l’écriture:
8x 2 R; x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 :
signi…e que chaque nombre réel véri…e l’identité écrite.
1.1.9
La négation des quanti…cateurs
(1) La négation de: 8x 2 E; P (x), est:
9x 2 E; P (x) ou dire P (x) est fausse.
(2) La négation de: 9x 2 E; P (x) est:
8x 2 E; P (x).
(3) La négation de: 9!x 2 E; P (x) est:
(8x 2 E; P (x)) ou (9x1 6= x2 2 E; P (x1 ) et P (x2 )):
15
1.1.10
Propriétés
Soient E un ensemble et P (x) une proposition dont les valeurs de vérités sont en fonction des
éléments x de E:
(1) (8x 2 E; P (x) ^ Q(x)) , ((8x 2 E; P (x)) ^ (8x 2 E; Q(x))).
(2) (8x 2 E; P (x) _ Q(x)) ( ((8x 2 E; P (x)) _ (8x 2 E; Q(x))).
(3) (9x 2 E; P (x) ^ Q(x)) ) ((9x 2 E; P (x)) ^ (9x 2 E; Q(x))):
(4) (9x 2 E; P (x) _ Q(x)) , ((9x 2 E; P (x)) _ (9x 2 E; Q(x))):
Cela signi…e qu’on peut distribuer 8 sur « ^ » et 9 sur « _ » , mais on ne peut pas distribuer
8 sur « _ » et 9 sur « ^ » .
Maintenant si la proposition P (x; y) dépend de deux variables x et y:
(5) ((8x 2 E); (8y 2 E); P (x; y)) , ((8y 2 E); (8x 2 E); P (x; y)):
(6) ((9x 2 E); (9y 2 E); P (x; y)) , ((9y 2 E); (9x 2 E); P (x; y)):
Cest à dire qu’on peut permuter des quanti…cateurs de même nature.
(7) ((9x 2 E)=(8y 2 E; P (x; y))) ) (8y 2 E; 9x 2 E=P (x; y)):
(8) (8y 2 E; 9x 2 E=P (x; y)) ; ((9x 2 E)=(8y 2 E; P (x; y))):
Car le x n’est pas le même pour tous les y:Ce qui donne qu’on ne peut pas permuter des
quanti…cateurs de natures di¤érentes dans tous les cas.
Exemple 1.9 Soit le tableau des notes pour Ali et Sara, sachant que la proposition:
P (x; y) : L’étudiant a une moyenne supérieure ou égale à 10.
MATH1
CHIMIE1
PHYSIQUE1
INFO1
Ali
08
13
12
15
Sara
14
10
16
07
16
On pose l’ensemble E = fAli, Sarag et F = fMATH1, CHIMIE1, PHYSIQUE1, INFO1g :
(1) 8x 2 E; 8y 2 F : P (x; y) est une proposition fausse car:
Pour Ali et y = MATH1 la note est inférieure strictement à 10.
(2) 8x 2 E; 9y 2 F : P (x; y) est une proposition vraie car:
Chaque étudiant à au moins une note supérieure ou égale à 10.
(3) 9x 2 E; 8y 2 F : P (x; y) est une proposition fausse car:
Les deux étudiants n’ont pas toutes les notes supérieures ou égales à 10.
(4) 9x 2 E; 9y 2 F : P (x; y) est une proposition vraie car:
Les deux étudiants ont au moins une note supérieure ou égale à 10.
1.2
Quelques types de raisonnement
Il est important de trouver un moyen ou une méthode pour répondre à un certain problème,
pour cela on s’inspire à quelques techniques dites raisonnements.
1.2.1
Le raisonnement par l’absurde
Généralement, la recherche d’une réponse à un problème s’appuie sur les hypothèses données ou
les théorèmes connus, mais parfois on peut trouver un raisonnement autre que le chemin direct.
On s’inspire sur le raisonnement par l’absurde, qui suppose que la négation du problème
est vraie, et par suite on arrive à une contradiction avec les hypothèses données, ou l’un des
théorèmes connus, ou bien l’un des axiomes..., c’est à dire ce que l’on a proposé est faux, ce qui
a¢ rme que le problème est vrai. Autrement dit:
(P ) Q) () Q ) une contradiction :
Exemple 1.10 Montrer que:
8n 2 N; n2 est pair ) n est pair.
17
Par l’absurde on suppose que n n’est pas pair,
) n est impair ) n = 2k + 1; k 2 N;
) n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 2k 2 + 2k + 1
=
2p + 1 avec p = 2k 2 + 2k 2 N;
) n2 est impair, contradiction avec l’hypothèse,
d’où n est pair.
ln 2
ln 3
Exemple 1.11 Montrer que
On suppose que
ln 2
ln 3
est un nombre irrationnel. Par l’absurde:
2 Q (rationnel)
) 9p; q 2 N tq (p ^ q) = 1 et
ln 2
p
= ;
ln 3
q
) q ln 2 = p ln 3
) ln 2q = ln 3p ) 2q = 3p (contradiction) car 2q est pair et 3p est impair,
ln 2
est un nombre irrationnel.
d’où
ln 3
1.2.2
La contraposée
On appelle contraposée d’une implication P ) Q l’implication (non Q ) non P ). Comme
remarque la contraposée est un cas particulier du raisonnement par l’absurde pour cela on utilise
généralement l’absurde (car non P est exactement une contradiction avec l’un des hypothèses).
Finalement la contrposée est:
(P ) Q) , Q ) P :
Exemple 1.12 Montrer que:
8x; y 2 R; x 6= y ) 3x + 2 6= 3y + 2:
18
En e¤ et on suppose que:
3x + 2 = 3y + 2 ) 3x = 3y ) x = y c’est la contraposée.
1.2.3
Le raisonnement par récurrence
On utilise le raisonnement par récurrence dans le cas d’une relation ou formule dépendant d’un
indice n 2 N (un entier naturel et pas autre). Alors pour montrer qu’une propriété est vraie
pour tout entier n supérieur ou égal à un entier n0 , on véri…e qu’elle est hériditaire ( c’est-à-dire
que si elle est vraie pour un entier quelconque, alors elle est vraie pour le suivant). Il su¢ t
alors qu’elle soit vraie pour le premier entier n0 pour déduire qu’elle est vraie pour tout entier
n supérieur ou égal à un entier n0 .
Exemple 1.13 Sachant qu’un entier m est divisible par 7 est équivalent à 9k 2 N tq m = 7k:
Montrer que 8n 2 N; 32n
2n est divisible par 7. on note cette propriété par (Rn ) :
Par récurrence on montre que (Rn ) est vraie pour tout n 2 N.
1ère étape: Si n = 0, 30
20 = 0 = 0
7 ) 32
0
20 est divisible par 7;
donc R0 est vraie.
2ème étape: On suppose que (Rn ) est vraie pour un n …xé (l’hypothèse de récurrence), et
on montre que (Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
32(n+1)
2(n+1) est divisible par 7?
En e¤ et:
32(n+1)
2(n+1)
2n = 9
32 32n
=
(7 + 2)
=
2
=
7 2k + 32n = 7k 0 ; k 0 = 2k + 32n 2 N;
7
) 32(n+1)
2
32n
k+7
2
32n
2n
=
2
2n = 2 32n
2n + 7
32n ;
32n (d’après l’hypothèse de récurrence),
2n+1 est divisible par 7;
alors: Rn+1 est vraie.
19
Conclusion:
8n 2 N; 32n
1.3
2n est divisible par 7.
Exercices
Exercice 01: P , Q, R sont trois propositions.
(1) Véri…er les lois de Morgan:
P _ Q , P ^ Q et P ^ Q , P _ Q.
(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?
(a) [P ) Q] , P _ Q:
(b) [P ) Q] , Q ) P :
(c) [P ^ Q] _ R , [Q ) R] :
(d) [P ) (Q ^ R)] , [(P ) Q) ^ (P ) R)].
Exercice 02:
(1) Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses? Justi…er.
(a) 8m 2 N; 9n 2 N; n > m + 1, (b)9n 2 N; 8m 2 N; n
m, (c) 9n 2 N; 8m 2 N; n < m:
(d) 9x 2 R; 8y 2 R; x + y > 0, (e) 8x 2 R; 9y 2 R; x + y > 0 et (f) 9x 2 R; 8y 2 R; y 2 > x:
(2) Déterminer les négations de chacune des propositions citées en (1).
(3) Sans l’utilisation de la table de vérité montrer que les deux propositions suivantes sont
équivalentes:
(a) P ) Q ^ R
(b) P _ Q ^ R
_ (Q _ R) :
_ (Q _ R) :
Exercice 03: (1) Ecrire la négation et la contraposée de la proposition suivante:
(8x 2 R) (9y 2 R) ; x
20
a ) y > b:
(2) Que pensez-vous de l’implication (est-elle vraie ou fausse)?:
8x 2 R; x < 0 ) x
x2 :
Donnez sa négation et sa contraposée.
Exercice 04: (1) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justi…ez votre réponse.
(a) [8y 2 R ; 9x 2 Z; yx > 1] :
(b) 9x 2 R ; 8y 2 R ; xy (2 + y) > 3:
(2) Véri…er si cette proposition est une tautologie?
P ) (Q _ R) ,
P ) Q ^ (P ) R) :
(3) Sans l’utilisation de la table de vérité cette proposition est elle vraie?
P ) Q ^ (P ^ Q) ^ R ) R ^ Q:
Exercice 05: (Notons q’un nombre premier p n’a que deux diviseurs di¤érents: 1 et p).
(1) Soient p1 ; p2 ;. . . pn ; n
N = (p1
p2
p3
::::
entiers premiers, montrer que:
pn ) +1 n’est pas divisible par aucun des entiers pi , i = 1:::; n:
(2) Montrer que le nombre des nombres premiers est in…ni.
(3) Montrer que si (2n
1) est un nombre premier alors n est premier.
Exercice 06: Montrer que:
(1) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x + 1) (y
1) et (x
(2) Si a et p sont deux entiers naturels, alors:
(p premier et p divise a2 ) ) p divise a:
21
1) (y + 1) sont di¤érents.
(3) Si p est premier alors
p
p est un nombre irrationnel.
(4)
p
2 est un nombre irrationnel. Déduire que,
(5)
p
p
p
2 + 3+ 62
= Q:
p
p
2 + 3 est irrationnel.
(6) Soient a et x des nombres réels. Montrer que:
Si a 6= 0 et que l’on a jx
aj < a alors x 6= 0 et le signe de x est le signe de a:
Exercice 07: Montrer que:
p
3
2+
p
52
= Q et log10 2 2
= Q sachant que :
log10 2 =
ln 2
ln 10
:
Exercice 08: Montrer par récurrence que:
(1) 8n 2 N; 4n + 6n
(2) 8n 2 N ;
n
X
k (k + 1) (k + 2) = 14 n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
k=1
(3) 8n 2 N ; 2n
(4) 8n 2 N ;
1 est un multiple de 9.
1
n
X
n!: avec n! = n (n
k3 =
n2 (n+1)2
4
1) (n
2) :::1 et 0! = 1
et en déduire la valeur de S où S = 13 +33 +53 +:::+(2n + 1)3 :
k=1
(5) 8n
1; (n + 1)!
(6) 8n
4;n2
n
X
k!:
k=1
2n :
Exercice 09: Pour tous k; n 2 N; k
0! = 1 et n! = 1
n, on note: Cnk =
(n
(1) Montrer que, 8n; k 2 N; 1
2)
k
(n
1)
n!
k! (n k)!
avec:
n:
n, on a: Cnk
1
k
+ Cnk = Cn+1
(règle de Pascal).
(2) Montrer par récurrence sur n que Cnk 2 N, pour k = 0; 1; :::; n:
22
(3) Montrer par récurrence que pour tout a; b 2 R et tout entier n
n
(a + b) =
n
X
Cnk ak bn
k
1 on a:
:
k=0
Cette formule est dite: Le binôme de Newton.
(4) En déduire les sommes suivantes:
n
X
Cnk
et
k=1
n
X
( 1)k Cnk :
k=1
Exercice 10: Pour qu’elle valeur de n la propriété Pn : 4n
1.4
n! est-elle vraie?
Solutions des exercices
Exercice 01: P et Q étant deux proposition:
(1) On véri…e les lois de Morgan:
P
Q
P
Q
P _Q
P _Q
P ^Q
P _Q,P ^Q
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
P
Q
P
Q
P ^Q
P ^Q
P _Q
P ^Q ,P _Q
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
On remarque que la dernière colonne dans les deux tableaux contient que des 1 d’où
la vérité des deux équivalences.
23
(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?
Une tautologie est une proposition qui est vraie dans tous les cas.
(a) [P ) Q] , P _ Q:
P
Q
P
P )Q
P _Q
(a)
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
(b) [P ) Q] , Q ) P :
P
Q
P
Q
P )Q
Q)P
(b)
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
(c) [P ^ Q] _ R , [Q ) R] :
P
Q
R
P ^Q
Q)R
[P ^ Q] _ R
(c)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
24
(d) [P ) (Q ^ R)] , [(P ) Q) ^ (P ) R)].
P
Q
R
Q^R
P )Q
P )R
P ) (Q ^ R)
(P ) Q) ^ (P ) R)
(d)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Ce qui implique que: les propositions (a), (b) et (d) sont des tautologies mais (c)
n’est pas une tautologie.
Exercice 02: (1) Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses? Justi…er.
(a) 8m 2 N; 9n 2 N; n > m + 1;(dans ce cas n dépend de m) cette proposition est vraie
car il su¢ t de prendre n = m + 2:
(b) 9n 2 N; 8m 2 N; n
m, cette proposition est vraie car il su¢ t de prendre n = 0:
(c) 9n 2 N; 8m 2 N; n < m, cette proposition est fausse pour m = 0 le n n’existe pas:
(d) 9x 2 R; 8y 2 R; x + y > 0, cette proposition est fausse pour y =
x car y est
quelconque:
(e) 8x 2 R; 9y 2 R; x+y > 0, cette proposition est vraie car il su¢ t de prendre y =
x+1:
(f ) 9x 2 R; 8y 2 R; y 2 > x, cette proposition est vraie car il su¢ t de prendre x =
1:
(2) Déterminons les négations de chacune des propositions citées en (1).
(a) 9m 2 N; 8n 2 N; n
m + 1:
(b) 8n 2 N; 9m 2 N; n > m:
(c) 8n 2 N; 9m 2 N; n
m:
(d) 8x 2 R; 9y 2 R; x + y
0:
25
(e) 9x 2 R; 8y 2 R; x + y
(f ) 8x 2 R; 9y 2 R; y 2
0:
x:
(3) Sans l’utilisation de table de vérité montrer que les deux propositions suivantes sont
équivalentes:
(a) P ) Q ^ R
_ (Q _ R)
(b) P _ Q ^ R
_ (Q _ R) :
Il su¢ t que la double négation de la proposition (a) est équivalent à la proposition (b).
En écrivant la négation de a):
P ) Q^R
_ (Q _ R) ,
P ) Q ^ R ^ (Q _ R)
h
i
, P ^ Q^R ^ Q^R
,
P ^ Q_R
^ Q^R :
La négation de cette dernière donne:
P ^ Q_R
^ Q^R , P _ Q^R
_ (Q _ R) ;
qui est (b) ce qui a¢ rme l’équivalence entre (a) et (b).
Exercice 03: (1) Ecrire la négation et la contraposée de la proposition suivante:
(8x 2 R) (9y 2 R) ; x
La négation est: (9x 2 R) (8y 2 R) ; x
La contraposée est: (8x 2 R) (9y 2 R) ; y
a et y
a ) y > b:
b:
b ) x > a:
(2) Que pensez-vous de l’implication:
8x 2 R; x < 0 ) x
26
x2 :
1er cas si x
0 alors le premier membre de l’implication est faux alors l’implication est
vraie.
x2 ce qui a¢ rme que l’implication est vraie.
2ème cas si x < 0 alors toujours on a: x
La négation est: 9x 2 R; x < 0 ^ x > x2
:
La contraposée est: 8x 2 R; x > x2 ) x
0 :
Exercice 04: (1) Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justi…ez votre réponse.
(a) [8y 2 R ; 9x 2 Z; yx > 1] :
1ère méthode: La proposition est vraie car:
(i) si y > 0 ) x > y1 ; alors il su¢ t de prendre: x =
h i
1
y
(ii) et si y < 0 ) x < y1 ;alors il su¢ t de prendre: x =
2ème méthode: La négation est: 9y 2 R ; 8x 2 Z; yx
(i) si y > 0 ) x
(ii) et si y < 0 ) x
1
y;
+ 1 (pour que x 2 Z),
h i
1
y
1:
1 qui est fausse car:
8x 2 Z fausse car il su¢ t de prendre: x =
1
y ; 8x
h i
1
y
2 Z fausse car il su¢ t de prendre: x =
(b) 9x 2 R ; 8y 2 R ; xy (2 + y) >
+ 1;
h i
1
y
1:
3 est une proposition vraie car:
xy (2 + y) >
3 , 2xy 2
2xy + 3 > 0;
qui est un polynôme de degré 2 en y qui ne change pas de signe (signe de 2x) ce qui donne
que: 4 < 0:
4 = 4x2
24x = x (4x
il su¢ t alors de prendre x 2 ]0; 6[ :
27
24) < 0 si x 2 ]0; 6[ ;
(2) Véri…ons si cette proposition est une tautologie? P ) (Q _ R) ,
P ) Q ^ (P ) R) ::: ( )
P
Q
R
P
Q
Q_R
P )Q
P )R
P ) (Q _ R)
P ) Q ^ (P ) R)
( )
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
Alors ( ) n’est plus une tautologie.
(3) Sans l’utilisation de la table de vérité cette proposition est elle vraie?
P ) Q ^ (P ^ Q) ^ R ) R ^ Q:
La proposition est vraie car (P ^ Q) est la négation de P ) Q donc l’une est vraie et
l’autre est fausse. Alors le premier membre de l’implication est faux (combinaison des ^
où l’un des propositions est fausse) donc l’implication est vraie.
Exercice 05:
(1) Soient p1 ; p2 ;. . . pn ; n entiers premiers, on montre que:
N = (p1 p2 p3 ::::pn ) + 1;
n’est pas divisible par aucun des entiers pi , i = 1:::; n:
28
Par l’absurde on suppose que: N = (p1
p2
p3
::::
1
pi+1
pn ) +1 est divisible par l’un des
pi alors:
9k
2
N=N = kpi ;
) pi (k
p1
p2
:::
pi
::::
pn ) = 1;
) pi = 1;
mais 1 n’est pas premier d’où la contradiction.
(2) On montre que le nombre des nombres premiers est in…ni.
On suppose par l’absurde qu’il existe un nombre …ni de nombre premier fp1 ; p2 ; :::pn g avec
pn est le plus grand.
Alors d’après la 1ère question on a N = (p1
p2
p3
::::
pn ) +1 est premier car il n’a
pas des diviseurs sauf le 1 et lui même avec N > pn d’où la contradiction.
(3) On montre que si (2n
1) est un nombre premier alors n est premier.
On suppose que n n’est pas premier alors 9a; b 2 N avec b 6= 0 tel que:
n=a
b; (a; b) 6= (n; 1) et (a; b) 6= (1; n) :
Par suite:
2n
1 = (2a )b
1 = 2ab
= [(2a )
1
1] [P (2a )] avec deg P (2a ) = b
Mais
[(2a )
1]
6=
2n
) 2n
avec M = (2a )
) 2n
1 tq: M 6= 2n
1 et [(2a )
1=M
1] 6= 21
[P (2a )] ;
1 et M 6= 1;
1 n’est pas premier (contradiction avec l’hypothèse).
29
1;
1:
Exercice 06: Pour n 2 N ; Montrons par un raisonnement par l’absurde que:
(1) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x + 1) (y
1) et (x
1) (y + 1) sont di¤érents.
On suppose que:
(x + 1) (y
1)
=
(x
) xy
1) (y + 1) ;
x+y
1 = xy + x
y
1;
) 2y = 2x ) x = y;
(contradiction avec l’hypothèse).
(2) a et p sont deux entiers naturels; montrer que l’on a :
(p premier et p divise a2 ) ) p divise a:
Si p premier et p divise a2 alors:
9k 2 N tel que : a2 = kp ) aa = kp;
d’où:
8
< a divise p et k divise a contradiction avec le fait que p est premier,
:
ou bien p divise a et a divise k;
ce qui implique que p divise a:
(3) si p est premier alors
p
p est un nombre irrationnel.
30
Supposons par l’absurde que:
p
p est un nombre rationnel,
) 9a; b 2 N ; (a ^ b) = 1 et
p
) pb2 = a2 ) p divise a2 = a
p=
a
a
)p=
b
b
2
;
a;
) p divise a car p premier;
) a = kp; k 2 N;
) b2 = pk 2 ) p divise b2 , mais p premier;
) p divise b;
) p 6= 1 est un diviseur commun de a et b, contradiction avec (a ^ b) = 1;
p
)
pest un nombre irrationnel.
(4)
p
p
2 est un nombre irrationnel. Déduire que: 2 + 3 est irrationnel.
p
p
p
D’après (3) 2 est un nombre irrationnel. Supposons que 2 + 3 est rationnel,
p
"
1
1
p 2Q) p
p
) p
2+ 3
2+ 3
p
p
)
2
3 2 Q:
p
p
2
2
p
p
3
3
#
2Q
p
p
p
p
p
La somme des deux nombres ( 2 + 3) et
2
3 donne que 2 2 2 Q;
p
p
p
) 2 2 Q (contradiction). Ce qui implique que: 2 + 3 est irrationnel.
(5) Montrons que:
p
p
p
2 + 3+ 62
= Q:
Par l’absurde si:
p
2+
p
3+
p
6
=
)
)
)
)
2Q
p
p
p
2+ 3=
6
p
p 2
p
2+ 3 =
6
p
p
5+2 6= 2+6 2 6
2+1
p
6=
2 Q;
4
31
2
)
p
2+
p
3 2 Q contradiction avec (5). d’où la contradiction.
(6) Soient a et x des nombres réels. Montrons par l’absurde que:
Si a 6= 0 et que l’on a jx
aj < a alors x 6= 0 et le signe de x est le signe de a:
Supposons que: x = 0 ou le signe de x n’est plus le signe de a
1er cas: Si x = 0; on a: jaj > a ) contradiction avec: jx
aj < a car: (x = 0):
2ème cas: Si le signe de x n’est plus le signe de a :
a) Si x < 0 et a > 0 ) jx
aj = a
x<a)
x < 0 ) x > 0 contradiction avec x < 0:
b) Si x > 0 et a < 0 ) jx
aj = x
a < a ) x < 2a ) x < 0 contradiction avec x > 0:
Conclusion: x 6= 0 et le signe de x est le signe de a:
Exercice 07: On a:
p
52
= Q.
(1) Montrons que:
p
3
2+
p
52
= Q:
Par l’absurde on suppose que:
p
3
2+
p
5
=
2 Q;
p
5)2=
5
p
p
) 2 = 3 3 5 2 + 15
5 5
p
15 + 3 2
)
2 Q;
5=
3 2+5
)
p
3
p
2=
3
;
d’où la contradiction:
(2) Montrons que: log10 2 2
= Q log10 2 =
log 2
log 10
:
Par l’absurde on suppose que:
log10 2
log 2
p
= avec p; q 2 N et (p ^ q = 1) ;
log 10
q
) q log 2 = p log 10 ) log 2q = log 10p ;
2
Q)
) 2q = 10p = 2p
) (pair
2q
p
5p ;
= 5p ! impair);
32
d’où la contradiction.
Exercice 08: On montre par récurrence que:
(1) 8n 2 N; 4n + 6n
1 est un multiple de 9.(Rn )
1ère étape: pour n = 0, 40
) 40
(6
0)
(6
0)
1=0=0
9;
1 est un multiple de 9
) R0 est vraie.
2ème étape: On suppose que (Rn ) est vraie pour un n 2 N …xé (l’hypothèse de récurrence),
et montrons que (Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
4n+1 + 6 (n + 1)
1 est un multiple de 9:
En e¤et:
4n+1 + 6 (n + 1)
1
4n + 6n + 1 + 6 = 9k + 3
=
4
=
9k + 3 (9k
4n + 6 (l’hypothèse de récurrence)
6n + 1) + 6 = 9 (k + 3k
) 4n+1 + 6 (n + 1)
2n + 1) ;
1 est un multiple de 9;
) (Rn+1 ) est vraie.
Conclusion:
8n 2 N; 4n + 6n
1 est un multiple de 9.
(2)
8n 2 N ;
n
X
k=1
1
k (k + 1) (k + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) ::: (Rn )
4
1ère étape: pour n = 1;
1
X
k (k + 1) (k + 2) = 1 (2) (3) = 6et
k=1
) R1 est vraie.
33
1
4
1
(2)
(3)
(4) = 6;
2ème étape: Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N (l’hypothèse de récurrence),
et montrons que (Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
n+1
X
k (k + 1) (k + 2) =
k=1
1
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) :
4
On a:
n+1
X
k (k + 1) (k + 2)
n
X
=
k=1
k (k + 1) (k + 2) + (n + 1) (n + 2) (n + 3)
k=1
1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + (n + 1) (n + 2) (n + 3) ;
4
(d’après l’hypothèse de récurrence)
1
= (n + 1) (n + 2) (n + 3) n + 1 ;
4
1
=
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) ;
4
) (Rn+1 ) est vraie:
=
Conclusion:
8n 2 N ;
(3) 8n 2 N ; 2n
1
n
X
k=1
1
k (k + 1) (k + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
4
n!::: (Rn ) avec n! = 1::: (n
1ère étape: pour n = 1; 21
1
= 20 = 1
1) (n
2) n et 0! = 1:
1! = 1 ) R1 est vraie.
2ème étape: Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N (l’hypothèse de récurrence),
et montrons que (Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
2n
(n + 1)!:
n!
(n + 1) :n! = (n + 1)!; car n
En e¤et:
2n
=
2
2n
1
2
) (Rn+1 ) est vraie.
34
1;
Conclusion:
8n 2 N ; 2n
1
n!:
(4)
8n 2 N ;
1ère étape: pour n = 1;
1
X
n
X
k3 =
k=1
n2 (n + 1)2
::: (Rn )
4
12 (1+1)2
4
k 3 = 13 = 1 et
k=1
= 1 ) R1 est vraie:
2ème étape: Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N , et montrons que (Rn+1 ) l’est
aussi, c’est-à-dire:
n+1
X
k3 =
k=1
(n + 1)2 (n + 2)2
:
4
En e¤et:
n+1
X
k
3
=
k=1
n
X
k 3 + (n + 1)3 =
k=1
= (n + 1)2
=
n2 (n + 1)2
+ (n + 1)3 ;
4
n2 + 4n + 4
n2
+ (n + 1) = (n + 1)2
;
4
4
(n + 1)2 (n + 2)2
) (Rn+1 ) est vraie.
4
Conclusion:
8n 2 N ;
n
X
k3 =
k=1
n2 (n + 1)2
:
4
* Calculons:
S = 13 + 33 + 53 + ::: + (2n + 1)3 :
35
S = 13 + 33 + 53 + ::: + (2n + 1)3 =
2n+2
X
23 + 43 + 63 + ::: + (2n + 2)3 ;
k3
k=1
2
2
(2n + 2) (2n + 3)
4
2
(2n + 2) (2n + 3)2
4
23 13 + 23 + 33 + ::: + (n + 1)3 ;
!
2
2
(n
+
1)
(n
+
2)
;
23
4
!
2
2
(n + 1)2 (n + 2)2
2 (n + 1) (2n + 3)
3
2
;
2
4
4
i
(n + 1)2 h
4 (2n + 3)2 8 (n + 2)2 ;
4
(n + 1)2 2n2 + 4n + 1 :
=
=
=
=
=
(5)
8n
1ère étape: pour n = 1;
1
X
1; (n + 1)!
n
X
k!: (Rn )
k=1
k! = 1! = 1 et (1 + 1)! = 2;
k=1
) R1 est vraie.
2ème étape: Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N , et montrons que (Rn+1 ) l’est
aussi, c’est-à-dire:
(n + 2)!
n+1
X
k!:
k=1
En e¤et:
(n + 2)!
=
(n + 2) (n + 1)!
n
X
(n + 2)
k! (d’après l’hypothèse de récurrence)
k=1
(n + 2) [1! + 2! + ::: + n!]
=
1! + 2! + ::: + (n + 1 + 1) n!
n+1
X
1! + 2! + ::: + n! + (n + 1)! =
k!;
k=1
) (Rn+1 ) est vraie.
Conclusion:
8n
1; (n + 1)!
n
X
k=1
36
k!:
4; n2
(6)8n
2n ::: (Rn )
1ère étape: Si n = 4, 42 = 16 et 24 = 16 ) 42
24 ;
) R4 est vraie.
2ème étape: Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N …xé (l’hypothèse de récurrence),
et montrons que (Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
(n + 1)2 2n+1 :
En e¤et:
(n + 1)2
=
n2 + 2n + 1
mais
:
2n + 1
2n + 2n + 1 (l’hypothèse de récurrence),
n2 car: n2
) (n + 1)2
1 = (n
1)2
2
0 si: n
4;
2n ;
n2
) 2n + 1
2n
2n + 2n = 2n+1 ;
) (Rn+1 ) est vraie.
Conclusion:
4; n2
8n
Exercice 09: Pour tout k; n 2 N; k
0! = 1 et n! = 1
n, on note: Cnk =
(n
2)
(1) Montrons que, 8n; k 2 N; 1
(n
k
1)
2n :
n!
k! (n k)!
avec:
n:
n, on a: Cnk
1
k
+ Cnk = Cn+1
(règle de Pascal). En
e¤et:
Cnk
1
+ Cnk =
=
=
n!
n!
+
;
(k 1)! (n k + 1)! k! (n k)!
(k n!) + (n k + 1) n!
(n + 1)
=
k! (n k + 1)!
k! (n + 1
(n + 1)!
k
= Cn+1
:
k! (n + 1 k)!
(2) Montrons par récurrence sur n que pour: k = 0; 1; :::; n; Cnk 2 N:
37
n!
;
k)!
1ère étape: Pour n = 0; C00 = 1 2 N:
2ème étape: Supposons que pour k = 0; 1; :::; n; Cnk 2 N pour un n 2 N …xé et montrons
k
que: Cn+1
2 N:
k
D’après (1) Cn+1
= Cnk
1 + Ck
n
2 N car les deux memebres sont dans N suivant l’hypothèse
de récurrence.
Conclusion: Pour k = 0; 1; :::; n; Cnk 2 N:
(3) Montrons par récurrence que pour tout a; b 2 R et tout entier n
n
X
(a + b)n =
Cnk ak bn
k
1 on a:
:
k=0
Cette formule s’appelle: le binôme de Newton.
1ère étape: Pour n = 1;
1
X
C1k ak b1
k
= C10 a0 b1
0
+ C11 a1 b1
1
= b + a = (a + b)1 :
k=0
2ème étape: Supposons que pour un n
1 …xé on a:
(a + b)n =
n
X
Cnk ak bn
k
;
k=0
et montrons que:
n+1
(a + b)
=
n+1
X
k
Cn+1
ak bn+1
k
:
k=0
En e¤et:
(a + b)n+1 = (a + b) (a + b)n = (a + b)
n
X
Cnk ak bn
k=0
=
n
X
Cnk ak+1 bn
k=0
k
+
n
X
k=0
38
Cnk ak bn+1
k
:
k
;
D’autre part:
n+1
X
k
Cn+1
ak bn+1
k
0
= Cn+1
a0 bn+1
0
k=0
= Cn0 a0 bn+1
0
+
+
n
X
k
Cn+1
ak bn+1
k=1
n
X
Cnk
1
k
n+1 n+1 n+1
+ Cn+1
a
b
+ Cnk ak bn+1
k
(n+1)
+ Cnn an+1 bn+1
(n+1)
k=1
= Cn0 a0 bn+1
= Cn0 a0 bn+1
0
+
0
= C0n a0 bn+1
+
0
+
n
X
k=1
n
X1
k=0
n
X
Cnk
1 k n+1 k
a b
=
Ckn ak bn+1
k=0
k
n
X
Cnk ak bn+1
k
+ Cnn an+1 bn+1
Cnk ak+1 bn
k
Ckn ak bn+1
+
k
n
X
Cnk ak bn+1
k=1
n
X1
+
k
Cnk ak+1 bn
+ Cnn an+1 bn+1
k
+ Cnn an+1 bn
k=0
+
n
X
Cnk ak+1 bn
k
= (a + b)n+1 :
k=0
Ce qui a¢ rme que la formule est vraie pour (n + 1).
Conclusion:
8n
n
1; (a + b) =
n
X
Cnk ak bn
k
:
k=0
(4) En déduire les sommes suivantes:
n
X
Cnk =
k=1
n
X
k=1
( 1)k Cnk
n
X
Cnk
Cn0 =
k=0
n
X
Cnk 1k 1n
k
Cn0
k=0
= (1 + 1)n 1 = 2n 1:
n
X
=
( 1)k Cnk ( 1)0 Cn0
k=0
=
n
X
Cnk
(n+1)
k=1
k=1
n
X
+
1k 1n
k
Cn0 = (1
1)n
1=
k=0
Exercice 10: (1) Pour qu’elle valeur de n la propriété Pn : 4n
n! est-elle vraie?
Montrons que si: Pn est vraie alors Pn+1 est vraie pour n
39
n0 :
1:
(n+1)
n
Si Pn est vraie alors:
4n+1 = 4n :4
D’où Pn+1 est vraie pour n
4:n!
(n + 1) n! si n
3:
3:
Donc il su¢ t de trouver le premier n après 3 tel que Pn est vraie.
On remarque que P0 est vraie et de 1 à 8 Pn est fausse et P9 est vraie.
Conclusion: Pn est vraie si et seulement si n = 0 ou n
40
9:
Chapitre 2
Les nombres réels
Certains ensembles particulièrements importants sont désignés par des lettres déterminées, Signalons:
N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g (ensemble des entiers naturels).
Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; :::g (ensemble des entiers relatifs).
Q est l’ensemble des nombres rationnels: fractions de deux entiers relatifs.
R est l’ensemble des nombres réels.
C est l’ensemble des nombres complexes.
Dans ce chapitre on va illustrer des résultats, dé…nitions et propriétés sur l’ensemble des réels
R:
2.1
L’ensembles des nombres rationnels et irrationnels
Dé…nition 2.1 On dit qu’un nombre réel r est rationnel si et seulement si:
p
r = ; avec p; q 2 Z; q 6= 0 et p ^ q = 1;
q
41
sachant que p ^ q = 1 signi…e p et q sont premiers entre eux c’est à dire le seul diviseur commun
entre les deux est 1 (r est donner après simpli…cation) par exemple:
r=
120
40
= :
99
33
Notons l’ensemble des nombres rationnel par: Q:
2.1.1
Nombre décimal
Dé…nition 2.2 Un nombre décimal est un nombre rationnel de la forme:
r=
p
; avec p 2 Z et n 2 N;
10n
sachant que cette écriture décimale et soit …nie ou périodique c’est à dire par exemple:
r1 = 1; 596 ou r2 = 2; 333::: ou r3 = 4; 21569569::::
On note l’ensemble des nombres décimals par: D:
/
proposition 2.1 Un nombre réel r est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale
…nie ou périodique .
Exemple 2.1 Écrire r sous forme un nombre rationnel dans les trois cas suivant:
(1) r = 2; 536 ) r =
2536
:
1000
(2) r = 13; 4545:::
En e¤ et:
r = 13 + 0; 4545:::;
42
on pose:
x
=
0; 4545::: ) 100x = 45; 4545::: (100 est la taille de la période)
) 100x = 45 + 0; 4545::: ) 100x = 45 + x
45
) 99x = 45 ) x =
99
45
1332
) r = 13 + x = 13 +
=
:
99
99
(3) r = 5; 21367367:::
On remarque ici que la période ne commence pas juste après la virgule.
r = 5; 21367367 ) 100r = 521; 367367::: = 521 + 0; 367367:::
on pose:
x
=
0; 367367::: ) 1000x = 367; 367367::: (1000 est la taille de la période)
) 1000x = 367 + 0; 367367::: ) 1000x = 367 + x
367
) 999x = 367 ) x =
999
367
520846
) 100r = 521 + x = 521 +
=
999
999
520846
:
) r=
99900
Dé…nition 2.3 Un nombre naturel est dit premier s’il admet deux diviseurs 1 et lui même par
exemple:
2; 3; 5; 7; :::
sachant que l’ensemble des nombres premiers est in…ni.
Dé…nition 2.4 On dit qu’un nombre est irrationnel s’il ne véri…e pas la propriété des nombres
rationnel, pour cela pour véri…e qu’un nombre est irrationnel on utilise le raisonnement par
l’absurde pour utiliser la dé…nition des nombres rationnels. On note l’ensemble des nombres
irrationnels par: Q:
43
Dé…nition 2.5 r est un nombre réel irrationnel si et seulement si r 2
= Q, autrement dit r
n’admet ni une écriture décimale …nie ni décimale périodique citons par exemple:
= 3; 14159265::: et e = 2; 718::::
qu’on note l’ensemble des nombres irrationnels par: Q avec:
R = Q [ Q:
p
5 est un nombre irrationnel.
p
Par l’absurde on suppose que: 5 2 Q, c’est à dire:
Exemple 2.2 Montrons que:
) 9a; b 2 N ; (a ^ b) = 1 et
p
) 5b2 = a2 ) 5 divise a2 = a
5=
a
a
)5=
b
b
2
;
a;
) 5 divise a car 5 premier;
) a = 5k; k 2 N;
) b2 = 5k 2 ) 5 divise b2 , mais 5 premier;
) 5 divise b;
) 5 6= 1 est un diviseur commun de a et b, contradiction avec (a ^ b) = 1;
p
)
5 2 Q:
Propriété 2.1 (1)
8q1 ; q2 2 Q ) q1 + q2 2 Q:
(2)
8q1 2 Q et 8q2 2 Q ) q1 + q2 2 Q:
(3)
8q1 2 Q et 8q2 2 Q, ici on peut rien dire pour q1 + q2 ?
44
(4) L’ensemble des nombres rationnels Q est dense dans R, c’est à dire:
8q1 ; q2 2 Q; 9q3 2 Q tel que: q1 < q3 < q2 :
Remarque 2.1
N
2.2
Z
Q
R
C:
Intervalle-Segment
Dé…nition 2.6 Soient a et b deux nombres réels tels que a
b alors on a les ensembles
suivants:
(1) [a; b] = fx 2 R=a
x
bg dite intervalle fermé ou segment.
(2) ]a; b[ = fx 2 R=a < x < bg dite intervalle ouvert.
(3) [a; b[ = fx 2 R=a
x < bg dite semi-ouvert ou intervalle mixte.
(4) ]a; b] = fx 2 R=a < x
2.3
bg dite semi-ouvert ou intervalle mixte.
(5) ] 1; b] = fx 2 R=x
bg :
(6) [a; +1[ = fx 2 R=a
xg :
La valeur absolue
Dé…nition 2.7 Soient a et b deux nombres réels alors la valeur absolue de b
par:
jb
aj = d (a; b)
ou bien:
jb
0 (la distance entre a et b),
8
< b
aj =
: a
a si b
a
b si a
b;
et dans le cas d’une variable x on trouve:
8
< x si x 0
jxj = max (x; x) =
: x si x < 0;
45
a est dé…nie
sachant que:
jxj
0; 8x 2 R,
de plus son grahe est:
Exemples 2.1 (1) Résoudre l’équation suivante:
jx
5j = 7;
jaj = b > 0 ) a = b ou a =
donc:
jx
5j = 7 ,
alors l’ensemble des solutions est:
8
>
>
>
<
x
b;
5 = 7 ) x = 12
ou
>
>
>
: x
5=
7)x=
S = f 2; 12g :
(2) Résoudre l’inégalité suivante:
jx + 8j > 2;
jaj > b ) a <
46
b ou a > b;
2;
donc:
jx + 8j > 2 ,
alors l’ensemble des solutions est:
8
>
>
x+8<
>
<
2)x<
ou
>
>
>
: x+8>2)x>
10
6;
S = ] 1; 10[ [ ] 6; +1[ :
(3) Résoudre l’inégalité suivante:
jx
6j
3;
donc:
S = R;
car jx
6j est toujours positive.
(4) Résoudre l’inégalité suivante:
jx + 5j <
5;
donc:
S = ;;
car jx + 5j est toujours positive.
(6) Résoudre l’inégalité suivante:
jx
jaj
donc:
jx
donc:
4j
5,
4j
b,
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
5;
b
x
a
4
b;
5)x
9
ou
4
S = [ 1; 9] :
47
5)x
1
Propriétés 2.1
(1) jxj = 0 , x = 0:
(2) j xj = jxj :
p
(3) x2 = jxj :
(4) jxyj = jxj jyj :
(5) jxj2 = x2 = x2 :
(6)
jxj
x
jxj :
(7) jbj
a; a > 0 ,
(8) jbj
a; a > 0 , b 2 ] 1; a] [ [a; +1[ :
(9) jx + yj
a
b
a:
jxj + jyj inégalité triangulaire.
Pour la preuve de (9) :
1ère méthode:
jxj
x
jxj et
) jx + yj
jyj
y
jyj )
(jxj + jyj)
x+y
jxj + jyj
jxj + jyj d’après (7) pour b = x + y et a = jxj + jyj :
2ème méthode:
(jx + yj)2
(jxj + jyj)2 = (x + y)2
jxj2 + jyj2 + 2 jxj jyj
= x2 + y 2 + 2xy
= 2 (xy
jxyj)
x2 + y 2 + 2 jxj jyj
0 d’après (6) ;
ce qui implique que:
(jx + yj)2
(jxj + jyj)2 ) jx + yj
jxj + jyj ;
car:
a2
b2 ) a
b si a
(10) jjxj
jyjj
48
0 et b
jx
yj :
0:
En e¤ et:
jxj = jx
y + yj
jx
yj + jyj d’après (9) ) jxj
jyj
jx
yj ; ::: ( )
jx
yj
jxj
jx
yj d’après (7) :
de plus:
jyj = jy
x + xj
jy
xj + jxj d’après (9) )
jyj ; ::: ( )
de ( ) et ( ) on trouve:
jx
2.4
2.4.1
yj
jxj
jyj
jx
yj ) jjxj
jyjj
La partie entière
Propriété d’Archimède
Propriété 2.2 L’ensemble R est archimédien c’est à dire:
8x 2 R; 9n 2 N tels que:n > x:
Dé…nition 2.8 Soit x un nombre réel alors on dé…nit la partie entière de x qu’on la note par
E (x) ou bien [x] par:
E (x) = max fn=n
n2Z
49
xg ;
c’est à dire le plus grand entier relatif inférieure ou égale à x, de plus son grahe est:
qui est dite une fonction en escalier.
Exemples 2.2
(1) E (2; 8) = 2:
(2) E (2) = 2:
(3) E ( 2; 8) =
(4) E ( 2) =
3:
2:
Propriétés 2.2
(1) E (x)
x < E (x) + 1:
(2) a
x; a 2 Z ) a
(3) x
y ) E (x)
E (x) :
E (y) :
Pour (3) on a d’après (1):
E (x)
2.5
x ) E (x)
x
y ) E (x)
y ) E (x)
E (y) d’après (2) :
L’ordre total " "sur R
Dé…nition 2.9 On dit que l’ensemble R est muni d’un ordre total pour la relation
est:
50
car elle
(1) Ré‡exive:
8x 2 R; x
x:
(2) Antisymétrique:
8x; y 2 R; [x
y et y
x] ) x = y:
(3) Transitive:
8x; y; z 2 R; [x
2.5.1
y et y
z] ) x
z:
Majorants - Minorants
Dé…nition 2.10 Soit A sous ensemble de R muni d’une relation d’ordre
, alors:
(1) M est un majorant de A, si et seulement si:
8x 2 A; x
M:
(2) m est un minorant de E, si et seulement si:
8x 2 A; m
2.5.2
x:
La borne supérieure - La borne inférieure
Dé…nition 2.11 Soit A sous ensemble de R muni d’une relation d’ordre
, alors la borne
supérieure d’un ensemble A est le plus petit des majorants, notée sup A . D’autre part la borne
inférieure est le plus grand des minorants, notée inf A. Autrement on a:
(1) 8M un majorant de A, (sup A)
(2) 8m un minorant de A, m
2.5.3
M:
(inf A) :
Maximum - minimum
Dé…nition 2.12 Soit A sous ensemble de R muni d’une relation d’ordre
, alors si la borne
supérieure d’un ensemble A appartient à A, alors l’élément maximal (maximum ou le plus grand
élément de l’ensemble) existe et il est égal à la borne supérieure de A, si non le maximum n’existe
pas: D’autre part si la borne inférieure d’un ensemble A appartient à A, alors l’élément minimal
51
(minimum ou le plus petit élément de l’ensemble) existe et il est égal à la borne inférieure de
A; si non le minimum n’existe pas. De plus on note le maximum par: max A et le minimum
par: min A:
Exemples 2.3
(1) A = ] 5; 9] :
L’ensemble des majorants est:
[9; +1[ , car: 8x 2 A; x
M avec M 2 [9; +1[ :
Le plus petit des majorants est: 9 car:
8M un majorant de A; 9
M:
De plus:
9 2 A ) max A = sup A = 9:
L’ensemble des minorants est:
] 1; 5] , car: 8x 2 A; m
Le plus petit des majorants est:
x avec m 2 ] 1; 5] :
5 car:
8m un minorant de A; m
5:
De plus:
52
= A ) min A n’existe pas:
(2) B = [ 6; 8] [ [9; 15[ :
L’ensemble des majorants est:
[15; +1[ , car: 8x 2 B; x
52
M avec M 2 [15; +1[ :
Le plus petit des majorants est: 15 car:
8M un majorant de B; 15
M:
De plus:
15 2
= B ) max B n’existe pas:
L’ensemble des minorants est:
] 1; 6] , car: 8x 2 B; m
Le plus petit des majorants est:
x avec m 2 ] 1; 6] :
6 car:
8m un minorant de B; m
6:
De plus:
6 2 A ) min B = inf B =
2.6
6:
Exercices
Exercice 01: Soit le nombre A =
p
3
En déduire que A = 1:
2+
p
5+
p
3
2
p
5, montrer que A3 = 4
Exercice 02:
(1) Résoudre dans R :
a)
j2x + 1j < j5x
2j :
b)
x2
4 =x
c)
jx + jxjj
53
2:
3A:
(2) Montrer que, pour x; y 2 R, on a:
a)
jx + yj
jxj + jyj .
jx
jjxj
b)
yj
jyjj :
Exercice 03: Mettre sous forme d’intervalles (ou union d’intervallles) les ensembles suivants:
(1) A = x 2 R; x2
4 et x < 5 :
p
p
(2) B = x 2 R; 2x + 1
x+1>1 :
Exercice 04: Soit n un entier naturel non nul.
(1) Calculer:
n
X
n
Y
k
( 1) et
k=0
(2) Véri…er que: k22
1
=
1
k 1
1
k+1
( 1)k :
k=0
et en déduire la somme:
n
X
k=2
1
k2
1
(3) Calculer les sommes:
(1)
n
X
k
k!
(2)
k=1
n
X
k=1
k
(k + 1)!
(4) Calculer:
n
X
Cnk
et
k=0
2.7
n
X
Cnk ( 1)k :
k=0
Solutions des exercices
Exercice 01: Soit le nombre A =
p
p
p
3
3
2+ 5+ 2
p
5, montrer que A3 = 4
En déduire que A = 1:
54
3A:
Solution: (1) Sachant que: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 et
3
A
=
q
=
2+
3
2+
p
p
h
p
2
5 +3 2+
p
2+
5
p
5
1
3
p
5
2
3
5
p
2
p
5] 3 A = 4
1
= () 3 , alors:
3
2
1
= 4 + 3 [4
Remarque: Si
3
5+
= 4+3 2+
= 4+3
q
p
3
5
5
3A:
p
2
1
3
5
2+
i1
3
1
3
p
+3 2+
5
1
3
p
+ 2
5
p
1
3
5
2
p
5
2 A,
/ si non
+2
p
5
1
3
A
est une racine d’un polynôme P (x) 2 Q [x] alors
algébrique et on dit que
2
3
est un nombre
est dite un nombre transcendant et on écrit
2 T/ .
(2) Montrons que A = 1:
On a:
P (x) = x3 + 3x
sachant que pour x2 + x + 4 = 0; 4 =
4 = (x
1) x2 + x + 4
15 < 0 ç-à-d les racines sont complexes et donc la seule
racine réelle est A = 1 car dans notre cas A est une racine de P (x) = x3 + 3x
4:
Exercice 02:
Rappels:
(1) Résoudre dans R :
8
< x si x 0
(1) jxj =
= max (x; x) :
: x si x < 0:
a)
j2x + 1j < j5x
j2x + 1j < j5x
) 21x2
2j ) (2x + 1)2 < (5x
24x + 3 > 0; 4 = 324 ) x1 =
2j :
2)2 ) 4x2 + 4x + 1 < 25x2
24 18
42
55
= 17 ; x1 =
24+18
42
= 1:
20x + 4
1; 17 [ ]1; +1[ :
Alors l’ensemble des solutions est: S =
Autre méthode:
On a: 2x+1 = 0 ) x =
1
2,
alors le signe de 2x+1 est:
1
2
1
+
+1
!
et
5x 2 = 0 ) x = 52 , alors le signe de 5x 2 est:
2
5
1
+
+ 1,
!
ce qui donne
1
2
x
1
j2x + 1j
2x
j5x
5x + 2
2j
j2x + 1j < j5x
2j
2x
2
5
1
+1
2x + 1
2x + 1
5x + 2
1 < 5x + 2
2x + 1 <
)x<1
)x<
1
2
1;
5x
SI
S1 =
S2 =
L’ensembles des solutions est:
S = S1 [ S 2 [ S 3 =
5x + 2
1
7
2
2x + 1 < 5x
)x>1
1 1
2; 7
S3 = ]1; +1]
1; 17 [ ]1; +1[ :
Remarque: Dans chaque colonne n’oubliez pas l’intervalle où le x appartient.
b)
x2
4 =x
Comme condition nécéssaire il faut que: x
x2
)
8
>
>
>
<
4 =x,
x1 =
>
>
>
: x =
1
p
1+ 17
2
8
>
>
x2
>
<
>
>
>
: x2
ou x2 =
0, d’où:
4 = x ) x2
x
4=0
ou
x ) x2 + x
4=
p
1
17
2
4=0
( ne convient pas)
ou
p
1+ 17
2
ou x2 =
1
Conclusion: l’ensemble des solutions est: S =
56
p
2
n
17
( ne convient pas)
p
1+ 17
;
2
p o
1+ 17
:
2
2
c)
jx + jxjj
2)
8
>
>
jx
>
<
xj = 0
2 impossible dans le cas où: x < 0;
:
ou
>
>
>
:
jx + xj = 2 jxj
Dans le 2ème cas: implique que: jxj
2 si x
0:
1 ) x 2 ] 1; 1[ [ ]1; +1[ :
Conclusion: l’ensemble des solutions est: S = ]1; +1[ :(car dans ce cas x
0)
(2) Montrons que, pour x; y 2 R, on a:
a)
jx + yj
Car si ;
2 R+ ; (
),
jxj + jyj ou bien: (jx + yj)2
2
2
(jxj + jyj)2 ?
:
(jx + yj)2 = (x + y)2 = x2 + y 2 + 2xy = jxj2 + jyj2 + 2xy
= jxj2 + jyj2 + 2 jxj jyj = (jxj + jyj)2 ) jx + yj
jxj2 + jyj2 + 2 jxyj
jxj + jyj :
b)
jx
(jx
yj)2 = (x
= jxj2 + jyj2
yj
jjxj
y)2 = x2 + y 2
2 jxj jyj = (jxj
yj)2
jyjj ou bien: (jx
2xy = jxj2 + jyj2
jyj)2 = (jjxj
(jjxj
jxj2 + jyj2
2xy
jyjj)2 ) jx
jyjj)2 ?
yj
jjxj
2 jxyj
jyjj :
Exercice 03: Mettre sous forme d’intervalles (ou union d’intervallles) les ensembles suivants:
(1) A = x 2 R; x2
x2
4 , x2
4
0 , (x
2) (x + 2)
4 et x < 5 :
0 , x 2 ] 1; 2[ [ ]2; +1[, mais x < 5 )
A = ] 1; 2[ [ ]2; 5[ :
p
(2) B = x 2 R; 2x + 1
p
(1) Pour que l’équation soit bien dé…nie il faut que:
57
x+1>1 :
1
1
1 donc x
0 et x + 1 0 ) x
2 et x
2:
p
p
p
p
De plus: 2x + 1
x + 1 > 1 , 2x + 1 > 1 + x + 1;
p
p
p
2
2
2x + 1 > 1 + x + 1 , 2x + 1 > x + 1 + 1 + 2 x + 1
,
p
p
2
, x 1 > 2 x + 1 , (x 1)2 > 2 x + 1 avec x 1:
2x + 1
, x2
2x + 1 > 4 (x + 1) , x2 6x 3 > 0 ) 4 = 24
p
p
p
) x1 = 6 2 24 = 3 + 6 et x2 = 3
6:
p
Conclusion: l’ensemble des solutions est: S = 3 + 6; +1 :
Exercice 04: Soit n un entier naturel non nul.
(1) Calculons:
n
X
( 1)k et
k=0
(1)
n
X
n
Y
( 1)k :
k=0
( 1)k est une somme partielle d’une suite géométrique de raison ( 1):
k=0
Alors:
n
X
( 1)k = 1
k=0
(2)
n
Y
1
( 1)n+1
1 ( 1)
8
< 0 si n est impair,
=
: 1 si n est pair.
( 1)k = ( 1)0 ( 1)1 ( 1)2 ::: ( 1)n
k=0
(2) Véri…ons que: k22
1
k 1
1
k+1
=
1
=
1
k 1
(k+1) (k 1)
(k 1)(k+1)
=
n
1
k+1 .
= ( 1)0+1+2+:::+n = ( 1) 2 (n+1)
8
>
1 si n = 4k
>
>
>
>
>
< ( 1) si n = 4k + 1
=
:
>
>
(
1)
si
n
=
4k
+
2
>
>
>
>
: 1 si n = 4k + 3
2
:
k2 1
58
Alors
n
X
k=2
1
k2
1
=
" n
n
1X 2
1 X 1
=
2
k2 1
2
k 1
k=2
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
1
2
n
X
k=2
k=2
1
k+1
#
1 1
1 1
1
1
1
1
+ + ::: +
+ + :::
+ +
1 2
n 1
3 4
n 1 n n+1
1 1 1
1
+
1 2 n n+1
2n (n + 1) + n (n + 1) 2 (n + 1) 2n
2n (n + 1)
2
3n
n 2
:
2n (n + 1)
(3) Calculons:
(1)
n
X
k
k! =
k=1
=
=
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
[(k + 1)
(k + 1)
1]
k!
k!
n
X
k!
k=1
(k + 1)!
k=1
n
X
k!
k=1
= (2! + 3! + ::: + (n + 1)!)
= (n + 1)!
(2)
n
X
k=1
k
(k + 1)!
=
=
n
X
[(k + 1)
k=1
n
X
k=1
1:
1]
(k + 1)!
(k + 1)
(k + 1)!
n
X
1
=
k!
k=1
(1! + 2! + 3! + ::: + n!)
n
X
k=1
n
X
k=1
1
(k + 1)!
1
(k + 1)!
1
1
1
1
=
+ + + ::: +
1! 2! 3!
n!
1
= 1
:
(n + 1)!
59
1
1
1
1
+ + ::: +
+
2! 3!
n! (n + 1)!
(4) Sachant qu’on a le binôme de Newton:
n
(a + b) =
n
X
Cnk ak bn
k
:
k=0
On développe:
n
(x + 1) =
n
X
Cnk xk
k=0
1
n k
=
n
X
Cnk xk :
k=0
Ce qui implique que:
n
X
Cnk =
k=0
et
n
X
n
X
Cnk
1k = (1 + 1)n = 2n :
k=0
Cnk ( 1)k = ( 1 + 1)n = 0n = 0:
k=0
60
Chapitre 3
Relation d’équivalence - Relation
d’ordre
3.1
Notion de la relation binaire
On appelle relation de E vers F tout procédé associant à des éléments de E des éléments de F
notée généralement par <; S; ; ; :::.
Soit < une relation de E vers F . Si u 2 E est en relation avec v 2 F , qu’on la note par:
u<v:
L’ensemble des couples (u; v) 2 E
F véri…ant une relation < est appelé le graphe de <.
Si E = F , une relation de E vers F est appelée relation binaire sur E ( ou dans E). Par
exemple l’égalité est une relation binaire sur tout ensemble E.
Remarque 3.1 Les éléments de E notés u, v et w sont généralements soient :
(1) des nombres dans (N; Z; R; :::) donc on peut les remplacés par: x; y et z .
(2) ou bien des couples c’est-à-dire: (x; y) dont en peut utiliser les indices c’est-à-dire:
(x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) et (x3 ; y3 ) :
(3) ou bien des ensembles donc on peut les remplacés par: X; Y et Z ou bien A; B et C:
3.1.1
Propriétés des relations binaires dans un ensemble
Soit < une relation binaire dans un ensemble E et u; v; w des éléments de E.
61
a) La Ré‡exivité
< est ré‡exive si et seulement si:
8u 2 E; u<u:
Exemple 3.1 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y) :
Rappel: a divise b , 9k 2 Z=b = ka.
Alors on a pour tout x 2 Z, x
x=0=0
3, donc 3 divise (x
x), d’où x<x, et par suite
< est ré‡exive.
b) La transitivité
< est transitive si et seulement si:
8u; v; w 2 E; (u<v et v<w) ) u<w:
Exemple 3.2 Soit < la relation dé…nie sur N
N par:
x; x0 < y; y 0 , x + x0 = y + y 0 :
Alors on a: pour tout (x; x0 ) ; (y; y 0 ) et (z; z 0 ) 2 N
N,
x; x0 < y; y 0
, x + x0 = y + y 0 ;
et y; y 0 < z; z 0
, y + y0 = z + z0;
ce qui implique que: x + x0 = z + z 0 , d’où (x; x0 ) < (z; z 0 ), et par suite < est transitive.
c) La symétrie
< est symétrique si et seulement si:
8u; v 2 E; u<v ) v<u:
62
Exemple 3.3 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , (x
Alors on a: 8x; y 2 Z; x<y , (x
) (y
y) est un multiple de 2:
y) est un multiple de 2
x) est un multiple de 2 ) y<x, et par suite < est symétrique.
d) L’antisymétrie
< est antisymétrique si et seulement si:
8u; v 2 E; (u<v et v<u) ) u = v:
Exemple 3.4 Soit < la relation dé…nie sur N par:
a<b , a divise b:
Soient a; b 2 N , on a:
a<b , a divise b ) 9k1 2 N ; b = k1 a;
d’autre part on a:
b<a , b divise a ) 9k2 2 N ; a = k2 b;
Ainsi,
a = k2 k1 a ) k2 k1 = 1 ) k2 = k1 = 1 ) a = b:
et par suite < est antisymétrique.
3.2
3.2.1
Relation d’équivalence
Dé…nition
Une relation dé…nie dans un ensemble E est dite une relation d’équivalence si et seulement
si elle est:
Ré‡exive, symétrique et transitive.
63
De plus si u<v, avec < est une relation d’équivalence, alors on dit que u est équivalent à v
modulo <.
Exemple 3.5 La relation <dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
3.2.2
y) est une relation d’équivalence dans Z.
Classe d’équivalence
Une classe d’équivalence d’un élément u donné pour une relation d’équivalence dé…nie sur
E est la partie des éléments v équivalents à cet élément. Elle est notée: u_ ou cl (u), avec:
u_ = fv 2 E=u<vg (ou écrire v<u car < est symétrique).
Exemple 3.6 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y) :
Alors:
2_
=
fx 2 Z tel que: x<2g ;
x<2 , 3 divise (x
2) , 9k 2 Z : x
2 = 3k;
, x = 3k + 2; k 2 Z
, 2_ = f:::; 7; 4; 1; 2; 5; 8; :::g :
Remarque 3.2 Si a 2 x_ alors a_ = x:
_
Preuve:
(1) Si v 2 a_ ) v<a mais a 2 x_ alors a<x, par transitivité v<x, ce qui implique que:
v 2 x,
_ ç-à-d: a_
x:
_
(2) Si v 2 x_ ) v<x mais a 2 x_ alors x<a, par transitivité v<a, ce qui implique que:
v 2 a;
_ ç-à-d: x_
a:
_
64
3.2.3
Ensemble quotient
L’ensemble des classes d’équivalence modulo < se nomme ensemble quotient de E par < et
se note
E
<
ou E =<. L’ensemble quotient constitue une partition de E. En e¤et:
(1) si u 2 E, u_ 6= ; puisque < est ré‡exive on a: u <u alors u 2 u:
_
(2) on a: [ u_ = E:
u2E
Car les u_ sont des sous ensembles de E, donc [u_
(la ré‡exivité) donc u 2 u_
E et chaque élément u 2 E véri…e u<u
[u,
_ ce qui implique que: E
[u:
_
(3) En…n si u_ 6= v_ alors u_ \ v_ = ; car s’il existe un élément a 2 u_ \ v_ on aura a<u et v<a
d’où v<u car la relation est transitive. Ainsi u_ = v_ (contradiction).
Exemple 3.7 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y) :
2_ = f:::; 7; 4; 1; 2; 5; 8; :::g :
3_
=
fx 2 Z tel que: x<3g ;
x<3 , 3 divise (x
3) , 9k 2 Z : x
3 = 3k;
, x = 3k + 3 = 3k 0 ; k 0 2 Z
, 3_ = f:::; 9; 6; 3; 0; 3; 6; :::g :
1_
=
fx 2 Z tel que: x<1g ;
x<1 , 3 divise (x
1) , 9k 2 Z : x
, x = 3k + 1; k 2 Z
, 1_ = f:::; 8; 5; 2; 1; 4; 7; :::g :
Alors l’ensemble quotient est:
_ 2;
_ 3_ :
Z=< = 1;
65
1 = 3k;
3.3
3.3.1
Relation d’ordre
Dé…nition
Une relation dé…nie dans un ensemble E est dite une relation d’ordre si elle est:
Ré‡exive, antisymétrique et transitive.
Exemple 3.8 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
En e¤ et 8p; q; r 2 N :
(1) La ré‡exivité, on a:
pour n = 1 2 N ; p1 = p ) p<p ) < est ré‡exive.
(2) L’antisymétrie: Si p<q et q< p alors:
9n1 ; n2
N ; pn1 = q et q n2 = p;
2
) q n1 n2 = q ) n1 n2 = 1 ) n1 = n2 = 1;
) p = q ) < est antisymétrique.
(3) La transitivité: Si p<q et q< r alors:
9n1 ; n2
2
N ; pn1 = q et q n2 = r;
) pn1 n2 = q n2 = r;
) (9m = n1 n2 2 N tel que pm = r) ;
) p<r ) < est transitive.
conclusion: < est une relation d’ordre car elle est re‡exive, antisymétrique et transitive.
66
3.3.2
L’ordre total et l’ordre partiel
Dé…nition 3.1 Soit < une relation d’ordre dé…nie sur un ensemble E, alors si pour tous u; v 2
E, on a ou bien u<v ou v<u, on dira que l’ordre est total, si non c’est à dire:
9u; v 2 E tel que on a ni u<v ni v<u:
Alors < est un ordre partiel.
Exemple 3.9 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
< est un ordre partiel car: pour p = 2 et q = 3 on ni 2<3 ni 3<2:
3.3.3
Majorants - Minorants
Dé…nition 3.2 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors:
(1) M est un majorant de E, si 8u 2 E; u<M .
(2) m est un minorant de E, si 8u 2 E; m<u.
3.3.4
La borne supérieure - La borne inférieure
Dé…nition 3.3 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors la borne supérieure
d’un ensemble E est le plus petit des majorants, notée sup E . D’autre part la borne inférieure
est le plus grand des minorants, notée inf E. Autrement on a:
(1) 8M un majorant de E, (sup E) <M:
(2) 8m un minorant de E, m< (inf E) :
3.3.5
Maximum - minimum
Dé…nition 3.4 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors si la borne supérieure
d’un ensemble E appartient à E, alors l’élément maximal (maximum ou le plus grand élément
de l’ensemble) existe et il est égal à la borne supérieure de E, si non le maximum n’existe pas:
D’autre part si la borne inférieure d’un ensemble E appartient à E, alors l’élément minimal
67
(minimum ou le plus petit élément de l’ensemble) existe et il est égal à la borne inférieure de E;
si non le minimum n’existe pas. On note le maximum par: max E et le minimum par: min E:
Exemple 3.10 Dans I = [2; 5[ muni d’une relation d’ordre < dé…nie par:
x<y , x
y:
(1) l’ordre est total et on a par exemple:
7 est un majorant de I et 3 est un minorant de I.
(2) On a: sup I = 5 et inf I = 2.
(3) De plus: sup I = 5 2
= I ) max I n’existe pas et inf I = 2 2 I ) min I = inf I = 2.
Exemple 3.11 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
pour:
A = f2; 6g :
68
Dé…nition 3.5 (1) M est un majorant de A, si 8u 2 A; u<M .
u<M
, (9n 2 N tel que un = M )
8
>
> 2<M
>
<
)
et
>
>
>
: 6<M
8
>
>
9n 2 N tel que 2n = M
>
<
)
et
>
>
>
: 9n 2 N tel que 6n = M
8
>
>
M = 1; 2; 4; :::
>
<
)
) M = 1( le seul majorant)
et
>
>
>
: M = 1; 6; 36:::
) sup A = 1 2
= A,
) max A n’existe pas.
(2) m est un minorant de A, si 8u 2 A; m<u.
m<u , (9n 2 N tel que mn = u)
8
>
>
m<2
>
<
)
et
>
>
>
: m<6
8
< 9n 2 N tel que mn = 2 et
)
: 9n 2 N tel que mn = 6
8
>
>
> m=2
<
)
) m n’existe pas
et
>
>
>
: m=6
) inf A n’existe pas,
) min A n’existe pas.
69
Exemple 3.12 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
pour:
A = f2; 6g :
Dé…nition 3.6 (1) M est un majorant de A, si 8u 2 A; u<M .
u<M
, (9n 2 N tel que un = M )
8
>
>
2<M
>
<
)
et
>
>
>
: 6<M
8
>
>
9n 2 N tel que 2n = M
>
<
)
et
>
>
>
: 9n 2 N tel que 6n = M
8
>
> M = 2; 4; :::
>
<
)
) M n’existe pas,
et
>
>
>
: M = 6; 36:::
) sup A n’existe pas,
) max A n’existe pas.
3.4
Exercices
Exercice 01: Compléter les diagrammes suivants pour qu’une relation binaire <, sur l’ensemble
A = f1; 2; 3; 4g, soit:
70
(1) Symétrique, transitive mais non ré‡exive.
<
1
2
3
+
+
4
1
2
3
+
4
+
+
(2) Ré‡exive, non symétrique et non transitive.
<
1
2
3
1
2
4
+
+
+
3
+
4
+
(3) Une relation d’équivalence, puis donner la classe d’équivalence de chaque élément de A .
<
1
2
3
1
+
2
+
3
+
4
4
+
+
Exercice 02: Soit < une relation binaire sur un ensemble E symétrique et transitive. Que penser
du raisonnement suivant?
x<y ) y<x car < est symétrique, or (x<y et y<x) d’où x<x car < est transitive, donc < est
ré‡exive. (Il su¢ t dans une relation d’équivalence de démontrer la symétrie et la transitivité).
Exercice 03: On dé…nit dans R la relation < par:
x<y () x2
71
1
= y2
x2
1
:
y2
(1) Montrer que < est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer la classe d’équivalence de a 2 R .
Exercice 04: On dé…nit dans R la relation < par:
x<y ()
x
> 0:
y
(1) Montrer que < est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer la classe d’équivalence de a 2 R .
Exercice 05:
On dé…nit dans R la relation d’équivalence < par:
x <y , x
jxj = y
jyj :
(1) Déterminer la classe d’équivalence du réel a:
(2) Déterminer l’ensemble quotient R=<:
(3) En utilisant ce qui précède, trouver le plus grand intervalle possible J
R pour que
l’application:
g
:
J !R
x 7! g (x) = x
jxj + 4, soit injective.
Exercice 06: On considère dans Z la relation notée / dé…nie par:
a/b , 9q 2 Z ; b = aq.
(1) a) Montrer que la relation " / " est ré‡exive, transitive ( on dit que / est un préodre).
b) La relation / est elle antisymétrique ?
72
(2) On dé…nit dans Z la relation ' par:
a'b , a/b et b/a.
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence, déterminer l’ensemble quotient Z /'.
Exercice 07: soit S la relation dans R dé…nie par:
aSb , a3
b3 = a
b:
(1) Montrer que S est une relation d’équivalence.
(2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe de m.
Exercice 08: Soit < la relation binaire dé…nie sur Z
N par:
(x; y) < x0 ; y 0 , xy 0
x0 y = 0:
(1) Montrer que < est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer cl ((1; 2)) et cl (( 1; 2)) :
Exercice 09: Dans P (E), ensemble des parties de E 6= ;; < est dé…nie par:
A<B , A = B ou A = CEB :
(1) Montrer que < est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer cl (;) et en déduire cl (E) :
(3) A-t-on cl (A \ B) = cl (A) \ cl (B) pour A; B dans P (E)? Justi…er.
Exercice 10: Soient E un ensemble non vide et F une partie non vide de E.
Dans P (E), ensemble des parties de E; on dé…nit la relation R par:
8 (A; B) 2 P (E)
P (E) ; ARB , A \ F = B \ F:
73
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer Cl (;), classe d’équivalence de l’ensemble vide.
(3) A-t-on: E 2 Cl (;)? Justi…er.
(4) Déterminer Cl (E) : En déduire Cl (F ).
Exercice 11: Soit
une relation d’ordre dé…nie sur N par:
x y , 9n 2 N tel que : xn = y.
(1) Cet ordre est-il total ?
(2) Soit l’ensemble A = f1; 4; 8g : Déterminer s’ils existent, max A et min A pour l’ordre
Exercice 12: Soit dans R2 la relation
dé…nie par:
(x; y)
x0 ; y 0 , x
x0 et y
y0:
(1) Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
(2) Préciser deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:
A = f(1; 2) ; (3; 1)g :
(3) La partie A possède-t-elle un plus grand élément? Un plus petit élément?.
Exercice 13: On dé…nit dans R2 la relation d’ordre
(x; y)
par:
x0 ; y 0 , x < x0
ou x = x0 et y
y0 :
(1) L’ordre est-il total? Justifer.
(2) Soit A = f( 1; 1) ; (2; 1)g ;Déterminer, s’ils existent; sup A; inf A; max A et min A.
74
:
Exercice 14: On dé…nit dans Z la relation S par:
aSb , a
b + 1:
(1) Véri…er que 0S1 et 1S0. Donner une conclusion?
(2) Soit < la relation dé…nie sur Z par:
a<b , ahb + 1:
Montrer que < est une relation d’ordre dans Z:
Exercice 15: Soient (E; <) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E:
Montrer que si A admet un plus petit élément alors il est unique.
Exercice 16: Dans un ensemble non vide E, on dé…nit une relation binaire <1 transitive telle que:
8x 2 E; x<1 x;
c’est-à-dire aucun élément de E n’est en relation avec lui-même par la relation <1 :
Montrer que la relation <2 dé…nie par:
8 (x; y) 2 E 2 ; x<2 y , (x<1 y ou x = y) ;
est une relation d’ordre.
Exercice 17: Soit < la relation dé…nie sur N par:
8x; y 2 N; x<y , 9k 2 N tel que : x = ky.
(1) Montrer que < est une relation d’ordre dans N:
(2) Cet ordre est-il total? Justi…er.
75
(3) Déterminer, s’il existent sup f3; 12g ; sup f3; 7g ; inf f3; 12g ; inf f3; 7g :
(4) < est-elle une relation d’ordre si on remplace N par Z? Justi…er.
Exercice 18: Soit E l’ensemble des parties de R de la forme ] 1; x] avec x 2 R;
ç-à-d: E = f] 1; x] ; x 2 Rg. On dé…nit dans E la relation < par:
8X; Y 2 E; X<Y , X
Y:
(1) Montrer que < est une relation d’ordre.
(2) L’ordre est-il total? Justi…er.
(3) Soit F
E dé…ni par: F = f] 1; x] ; x
5g :
a) Déterminer l’ensemble des majorants de F:
b) Déterminer, s’ils existent, sup F et le plus grand élément de F:
Exercice 19:
(1) Soit < la relation d’équivalence dé…nie dans N par:
8 (x; y) 2 N2 ; x<y , (x = y ou x + y = 7) :
Déterminer, en discutant suivant les valeurs de l’entier naturel a, cl (a) :
(2) Dans Z on dé…nit la relation = par:
a=b , a divise b ou b divise a:
caractériser l’ensemble quotient Z == s’il existe?
3.5
Solutions des exercices
Exercice 01: Complétons les diagrammes suivants pour qu’une relation binaire <, sur l’ensemble
A = f1; 2; 3; 4g, soit:
76
(1) Symétrique, transitive mais non ré‡exive.
<
1
2
3
4
2
+
+
+
3
+ +
+ +
1
4
+
+
(2) Ré‡exive, non symétrique et non transitive.
<
1
1
+
2
+
2
3
4
+
+
+
+
3
4
+
+
+
On remarque que 3<4 mais 4<3
/ donc < est non symétrique, et 1<3 et 3<4 mais 1<4
/ ce
qui implique que < n’est pas transitive.
(3) Une relation d’équivalence, puis donner la classe d’équivalence de chaque élément de A .
<
1
2
3
4
cl(a)
=
1
2
3
4
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
fa 2 A=x<ag
) cl(1) = cl(2) = cl(3) = cl(4) = f1; 2; 3; 4g :
Exercice 02: Soit < une relation binaire sur un ensemble E symétrique et transitive. Pour:
77
x<y ) y<x car < est symétrique, or (x<y et y<x) ) x<x car < est transitive, donc < est
ré‡exive. (Il su¢ t dans une relation d’équivalence de démontrer la symétrie et la transitivité).
Ce raisonnement est faux car si c’est le cas alors pour montrer qu’une relation est une relation
d’équivalence il su¢ t de véri…e la symétrie et la ransitivité. Le problème de ce raisonnement
intervient dans la première ligne car le x<y n’est pas toujours vraie et dans la symétrie on écrit
si x<y alors...(pas pour tous les x et les y).
Exercice 03: On dé…nit dans R la relation R par:
x R y () x2
1
= y2
x2
1
:
y2
(1) Montrons que < est une relation d’équivalence dans R .
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive , 8x 2 R ; x<x:
1
= x2
x2
8x 2 R ; x2
1
) x<x ) < est ré‡exive.
x2
b) < est-elle symétrique?
< est symétrique , 8 (x; y) 2 R
8 (x; y)
2
R ; x<y ) y<x:
R
R ; x<y ) x2
1
= y2
x2
1
;
y2
1
1
= x2
) y<x;
2
y
x2
) < est symétrique.
) y2
c) < est-elle transitive?
< est transitive , 8 (x; y; z) 2 R
8 (x; y; z)
2
R
) x2
) x2
R
R ; x<y et y<z ) x<z:
R
R ; x<y et y<z,
1
1
1
= y2
et y 2
= z2
2
2
x
y
y2
1
1
= z2
) x<z:
2
x
z2
78
1
;
z2
Conclusion: < est une relation d’équivalence dans R car elle est ré‡exive, symétrique et
transitive.
(2) Déterminons la classe d’équivalence de a 2 R :
a_ = fx 2 R =x<ag on a:
1
;
a2
1
a2 x2
x2
=
;
a2
x2 a2
1
x2 a2 1 + 2 2 = 0;
x a
1
x2 a2 = 0 car: 1 + 2 2 6= 0;
x a
x = a ) a_ = fa; ag :
x<a , x2
)
)
)
)
1
= a2
x2
1
a2 = 2
x
Exercice 04: On dé…nit dans R la relation R par:
xRy ()
x
> 0:
y
(1) Montrons que < est une relation d’équivalence dans R .
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive , 8x 2 R ; x<x:
8x 2 R ;
x
= 1 > 0 ) x<x ) < est ré‡exive.
x
b) < est-elle symétrique?
< est symétrique , [8 (x; y) 2 R
8 (x; y)
2
R
R ; x<y ) y<x] :
R ; x<y )
x
> 0(x et y ont le même signe),
y
y
> 0 ) y<x;
x
) < est symétrique.
)
79
c) < est-elle transitive?
< est transitive , [8 (x; y; z) 2 R
8 (x; y; z)
R ; x<y et y<z ) x<z] :
R
x
y
> 0 et > 0;
y
z
) x et y ont le même signe et y et z ont le même signe,
x
) x et z ont le même signe ) > 0 ) x<z;
z
) < est transitive.
2
R
R
R ; x<y et y<z )
Conclusion: < est une relation d’équivalence dans R car elle est ré‡exive, symétrique et
transitive:
(2) Déterminons la classe d’équivalence de a.
a_
=
fx 2 R =x<ag :
x
> 0;
x<a )
a
si a > 0 alors x > 0 d’où a_ = ]0; +1[
et si a < 0 alors x < 0 d’où a_ = ] 1; 0[ :
Conclusion:
8
< ]0; +1[ si a > 0
a_ =
:
: ] 1; 0[ si a < 0
Exercice 05:
On dé…nit dans R la relation d’équivalence < par:
x<y , x
80
jxj = y
jyj :
(1) Déterminons la classe d’équivalence d’un réel a:
cl (a)
=
fx 2 R=x<ag :
x<a ) x
1er cas: Si a
0 alors x
jxj = a
jaj :
jxj = 0 d’où x 2 R+ :
2ème cas: Si a < 0 alors x
jxj = 2a d’où x < 0 ce qui donne que x = a:
Conclusion:
8
< [0; +1[ si a
cl (a) =
: fag si a < 0
0
:
(2) Déterminons l’ensemble quotient R=<:
R=< = f[0; +1[g [ ffag =a < 0g :
(3) g est injective ,
8x1 ; x2 2 J; [g (x1 ) = g (x2 ) ) x1 = x2 ] ;
mais:
g (x1 )
=
g (x2 ) , x1
jx1 j = x2
jx2 j ;
) x1 = x2 ou x2 2 cl (x1 ) avec x1 6= x2 ;
,
x1 = x2 ou x1 ; x2 2 R+ ;
alors pour qu’on a que x1 = x2 il ne faut pas qu’on a deux nombres positifs dans J:
Ce qui implique que:
J = ] 1; 0[ [ f g avec
est une constante positive quelconque …xée.
Exercice 06: On considère dans Z la relation notée = dé…nie par:
a=b , 9q 2 Z ; b = aq.
81
(1) a) Montrons que la relation "=" est ré‡exive?
/ est ré‡exive , 8a 2 Z ; a=a:
8a 2 Z ; pour q = 1; a = a
1 ) a=a ) < est ré‡exive.
= est-elle transitive?
= est transitive , 8 (a; b; c) 2 Z
8 (a; b; c)
2
Z ; a=b et b=c ) a=c:
Z
Z
Z
Z ; a=b et b=c;
) 9q1 2 Z ; b = aq1 et 9q2 2 Z ; c = bq2 ;
) 9 q3 = q1 q2 2 Z ; c = aq3 ;
) a=c ) =est transitive.
b) La relation = est-elle antisymétrique?
= est antisymétrique , 8 (a; b) 2 Z
8 (a; b)
2
Z
Z ; a =b et b=a ) a = c:
Z ; a=b et b=a;
) 9q1 2 Z ; b = aq1 et 9q2 2 Z ; a = bq2;
) a = aq1 q2 ) q1 q2 = 1;
) (q1; q2 ) = (1; 1) ou (q1; q2 ) = ( 1; 1) ;
) a = b ou a =
b;
) = n’est pas antisymétrique.
Alors on a par exemple: [2= ( 2) et ( 2) =2] mais 2 6=
2:
(2) On dé…nit dans Z la relation ' par:
a'b , a=b et b=a.
a) Montrons qu’il s’agit d’une relation d’équivalence?
82
i) ' est-elle ré‡exive?
' est ré‡exive , 8a 2 Z
Z ; a'a:
On a: = est ré‡exive alors:8a 2 Z ; a=a ) a=a et a=a ) a ' a ) ' est ré‡exive.
ii) ' est-elle symétrique?
' est symétrique , 8 (a; b) 2 Z
8 (a; b)
Z ; a'b ) b'a:
2
Z ; a'b ) a=b et b=a;
Z
) b=a et a=b ) b'a,
) ' est symétrique.
iii) ' est-elle transitive?
' est transitive , 8 (a; b; c) 2 Z
8 (a; b; c)
2
Z
Z
Z ; a'b et b'c ) a'c:
Z
Z ; a'b et b'c;
) [a=b et b=a] et [b=c et c=b] ;
) [a = b ou a =
b] et [b = c ou b =
) [a = c ou a =
c] ) [a=c et c=a] ;
c] ;
) a'c ) ' est transitive.
Conclusion: ' est une relation d’équivalence dans Z :
b) Déterminons l’ensemble quotient Z ='.
i) Déterminons la classe d’équivalence de a.
a_
=
fb 2 Z =a'bg :
a'b ) a=b et b=a ) b = a ou b =
ii) l’ensemble quotient Z =' = fa;
_ a 2 N g:
83
a ) a_ = fa; ag :
Exercice 07: Soit S la relation dans R dé…nie par:
aSb , a3
b3 = a
b:
(1) Montrons que S est une relation d’équivalence.
a) S est-elle ré‡exive?
S est ré‡exive , 8a 2 R; aSa:
8a 2 R; ) a3
a3 = a
a = 0 ) aSa ) S est ré‡exive.
b) S est-elle symétrique?
S est symétrique , 8 (a; b) 2 R
8 (a; b)
2
R
R; a<b ) b<a:
R; a<b ) a3
b3 = a
b ) b3
a3 = b
a;
) bSa ) S est symétrique.
c) S est-elle transitive?
S est transitive , 8 (a; b; c) 2 R
8 (a; b; c)
2
R
R; aSb et bSc ) aSc:
R
R
) a3
la somme des deux égalités donne: a3
R; aSb et bSc;
b3 = a
c3 = a
b et b3
c;
c ) aSc ) S est transitive.
Conclusion: S est une relation d’équivalence dans R:
84
c3 = b
(2) Discutons suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe de m.
cl (m)
=
fa 2 R=mSag :
mSa , m3
a3 = m
a) (m2 + am + a2 ) = (m
) (m
a) ;
) (a m) (a2 + ma + m2 ) = (a m) ;
8
< a=m
)
: ou a2 + ma + m2 = 1 ) a2 + ma + m2
pour: a2 + ma + m2
;
1=0
1 = 0 on a:
4 = m2
i) Si 4 = 0 ) m =
a;
p2
3
4 m2
1 =4
p2 ,
3
ou m =
3m2 = 2
p
3m
2+
p
3m :
alors l’équation admet une seule solution ce qui donne
qu’on a deux éléments dans la classe de m (la solution et m).
h
h i
i
ii) Si 4 < 0 ) m 2
1; p23 [ p23 ; +1 , alors on a un élément unique dans la classe
de m (c’est m).
iii) Si 4 > 0 ) m 2
de l’équation et m).
i
p2 ; p2
3
3
h
, alors on a 3 éléments dans la classe de m (les deux solutions
Exercice 08: Soit R la relation binaire dé…nie sur Z
N par:
(x; y) R x0 ; y 0 , xy 0
x0 y = 0:
(1) Montrons que R est une relation d’équivalence.
a) R est-elle ré‡exive?
R est ré‡exive , 8 (x; y) 2 Z
8 (x; y)
N ; (x; y) R (x; y) :
2
Z
N ) xy
xy = 0
) (x; y) R (x; y) ) R est ré‡exive.
85
b) R est-elle symétrique?
R est symétrique , 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 Z
Soient (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 Z
N , (x; y) R (x0 ; y 0 ) ) (x0 ; y 0 ) R (x; y) :
N ;
si (x; y) R x0 ; y 0
) xy 0
x0 y = 0 ) x0 y
xy 0 = 0;
x0 ; y 0 R (x; y) ;
)
) R est symétrique:
c) R est-elle transitive?
R est transitive , 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 Z
N ;
si (x; y) R (x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 ) R (x00 ; y 00 ) alors (x; y) R (x00 ; y 00 ) :
Soient (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 Z
xy 0
x0 y
=
N ; (x; y) R (x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 ) R (x00 ; y 00 ) d’où:
0 et x0 y 00
x00 y 0 = 0 ) x0 =
xy 0
car y 2 N ;
y
xy 0 00
x
y
x00 y 0 = 0 ) y 00 x00 = 0 car y 0 2 N ;
y
y
00
00
) xy
yx = 0 ) (x; y) R x00 ; y 00 ;
)
) R est transitive.
Conclusion: R est une relation d’équivalence dans Z
N :
(2) Déterminons cl ((1; 2)) et cl (( 1; 2)) :
cl ((1; 2))
=
f(x; y) 2 Z
(x; y) R (1; 2) , 2x
N ; (x; y) R (1; 2)g :
y = 0 ) cl ((1; 2)) = fx (1; 2) ; x 2 N g :
Par suite:
cl (( 1; 2))
=
f(x; y) 2 Z
N ; (x; y) R ( 1; 2)g ;
(x; y) R ( 1; 2) , 2x + y = 0
) cl (( 1; 2)) = x (1; 2) ; x 2 Z
86
:
Exercice 09: Dans P (E), ensemble des parties de E 6= ;; < est dé…nie par:
A<B , A = B ou A = CEB :
(1) Montrons que < est une relation d’équivalence?
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive , 8A 2 P (E) ; A< A:
Si A 2 P (E) ; A = A ) A <A ) < est ré‡exive.
b) < est-elle symétrique?
< est symétrique , 8A; B 2 P (E) ; A<B ) B<A:
Soient A; B
2
)
P (E) ; A<B ) A = B ou A = CEB ;
B = A ou B = CEA ) B<A;
) < est symétrique:
c) < est-elle transitive?
< est transitive , 8A; B; C 2 P (E) ; A<B et B<C ) A<C:
8A; B; C 2 P (E) ; A<B et B<C ) A = B ou A = CEB et B = Cou B = CEC ;
8
>
A = B et B = C ) A = C,
>
>
>
>
>
< ou A = B et B = C C ) A = C C ;
E
E
)
>
B
>
ou A = CE et B = C ) A = CEC ;
>
>
>
>
: ou bien A = C B et B = C C ) A = C,
E
E
) A = C ou A = CEC ) A <C ) < est transitive.
Conclusion: < est une relation d’équivalence dans P (E) :
87
(2) Déterminons cl (;) et en déduire cl (E) :
cl (;)
=
A<; ,
cl (;)
=
fA 2 P (E) =A<;g ;
A = ; ou A = CE; ) A = ; ou A = E;
f;; Eg :
Puisque E 2 cl (;) ) cl (E) = f;; Eg :
(3) A-t-on cl (A \ B) = cl (A) \ cl (B) pour A; B dans P (E)? Justi…er.
Non car pour: A = ;; B = f1g et E = f1; 2gon a: cl (A \ B) = cl (;) = f;; Eg :
Mais cl (A) \ cl (B) = cl (;) \ cl (f1g) 6= f;; Eg car f1g 2
= f;; Eg ;
donc: cl (A \ B) 6= cl (A) \ cl (B) :
Exercice 10: Soient E un ensemble non vide et F une partie non vide de E.
Dans P (E), ensemble des parties de E; on dé…nit la relation R par:
8 (A; B) 2 P (E)
P (E) ; ARB , A \ F = B \ F:
(1) Montrons que R est une relation d’équivalence?
a) R est-elle ré‡exive?
R est ré‡exive , 8A 2 P (E) ; ARA:
On a: A \ A = A \ A ) ARA ) R est ré‡exive.
b) R est-elle symétrique?
R est symétrique , 8A; B 2 P (E) ; ARB ) BRA:
Soient A; B
2
P (E) ; ARB ) A \ F = B \ F;
) B \ F = A \ F ) BRA;
) R est symétrique:
88
c) R est-elle transitive?
R est transitive , 8A; B; C 2 P (E) ; ARB et BRC ) ARC:
8A; B; C 2 P (E) ; ARB et BRC ) (A \ F = B \ F ) et (B \ F = C \ F ) ;
) A \ F = C \ F ) ARC ) R est transitive.
Conclusion: R est une relation d’équivalence dans P (E) :
(2) Déterminons Cl (;).
cl (;)
=
fA 2 P (E) =AR;g ;
AR; , A \ F = ; \ F ) A \ F = ;;
) A 2 P CEF ) cl (;) = A=A 2 P CEF
:
(3) A-t-on: E 2 Cl (;)? Justi…er.
E2
= Cl (;) car s’il existe un A = E 2 P CEF ) F = ; ce qui contredit l’hypothèse.
(4) Déterminons Cl (E) : En déduire Cl (F ).
cl (E)
=
fA 2 P (E) =AREg ;
ARE , A \ F = E \ F ) A \ F = F;
) A = F [ B tel que: B 2 P CEF ;
alors:
cl (E) = A=A = F [ B tel que: B 2 P CEF
:
Mais pour:
B = ; 2 P CEF ) F 2 cl (E) ;
ce qui implique que:
cl (F ) = cl (E) = A=A = F [ B tel que: B 2 P CEF
89
:
Exercice 11: Soit
la relation dé…nie sur N par:
x y , 9n 2 N; xn = y.
(1) Montrons que
a)
est une relation d’ordre dans N :
est-elle ré‡exive?
est ré‡exive , 8x 2 N ; x x:
8x 2 N ) 9n = 1 2 N; x1 = x ) x x )
b)
est ré‡exive.
est-elle antisymétrique?
est antisymétrique , 8x; y 2 N ; x y et y x ) x = y:
Soient x; yN , si x y et y x ) 9n1 ; n2 2 N; xn1 = y et y n2 = x,
) (y n2 )n1 = xn1 = y ) n1 n2 = 1 ) n1 = n2 = 1 ) x = y )
c)
est antisymétrique.
est-elle transitive?
est transitive , 8x; y; z 2 N ; x y et y z ) x z:
Soient x; y; z 2 N ; x y et y z ) 9n1 ; n2 2 N; xn1 = y et y n2 = z ) (xn1 )n2 = z;
) 9n3 = n1 n2 2 N; xn3 = z ) x z )
Conclusion:
est transitive.
est une relation d’ordre dans N :
(2) Cet ordre est-il total ?
L’ordre n’est pas total car pour les deux entiers 2 et 3 on a ni 2 3, ni 3 2:
(3) Soit l’ensemble A = f1; 4; 8g : Déterminons s’ils existes, max A et min A pour l’ordre
M8
est un majorant de A , 8x 2 A; x M;
>
>
1 M ) 9n1 2 N; 1n1 = M;
>
<
)
4 M ) 9n2 2 N; 4n2 = M;
>
>
>
: 8 M ) 9n 2 N; 8n3 = M:
3
90
:
Alors le seul majorant est M = 1 d’après la première équation.
) sup A = 1 2 A ) max A = 1:
D’autre
8 part m est un minorant de A , 8x 2 A; m x;
>
>
m 1 ) 9n1 2 N; mn1 = 1 ) m 2 N;
>
<
)
m 4 ) 9n2 2 N; mn2 = 4 ) m = 2 ou 4;
>
>
>
: m 8 ) 9n 2 N; mn3 = 8 ) m = 2 ou 8:
3
) m = 2 ( l’intersection entre les trois cas).
) inf A = 2 2
= A ) min A n’existe pas.
Exercice 12: Soit dans R2 la relation dé…nie par:
x0 ; y 0 , x
(x; y)
Remarque 3.3
x0 et y
y0:
entre les couples n’est qu’une notation.
(1) Montrons qu’il s’agit d’une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
a)
est-elle ré‡exive?
est ré‡exive , 8 (x; y) 2 R2 ; (x; y)
8 (x; y) 2 R2 ) x
b)
x et y
(x; y) :
y ) (x; y)
(x; y) )
est ré‡exive.
est-elle antisymétrique?
est antisymétrique , 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 R2 ;
x0 ; y 0
(x; y)
et x0 ; y 0
Soient (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 R2 ; (x; y)
)
x
(x; y) ) (x; y) = x0 ; y 0 :
(x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 )
x0 et y
y 0 et x0
(x; y) ;
x et y 0
) x = x0 et y = y 0 ) (x; y) = x0 ; y 0 ;
)
est antisymétrique.
91
y ;
c)
est-elle transitive?
est transitive , 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 R2 ;
x0 ; y 0
(x; y)
et x0 ; y 0
x00 ; y 00 ) (x; y)
Soient (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 R2 ; (x; y)
)
x0 et y
x
) x
x00 et y
y 0 et x0
(x00 ; y 00 ) ;
x00 et y 0
y 00 ;
y 00 ;
x00 ; y 00 )
) (x; y)
conclusion:
(x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 )
x00 ; y 00 :
est transitive.
est une relation d’ordre de plus il est partiel car pour les deux couples:
(2; 3) et (4; 1) on a ni (2; 3)
(4; 1) ni (4; 1)
(2; 3) :
(2) Précisons deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:
A = f(1; 2) ; (3; 1)g :
i) (M1 ; M2 ) est un majorant de A ) 8 (x; y) 2 A; (x; y)
8
< (1; 2) (M1 ; M2 ) ) 1 M1 et 2 M2 ;
)
: (3; 1) (M ; M ) ) 3 M et 1 M :
) (M1 ; M2 ) 2
1
2
2
R avec
1
3
M1 et 2
(M1 ; M2 ) ;
2
M2 :
) sup A = (3; 2) 2
= A ) max A n’existe pas.
ii) (m
8 1 ; m2 ) est un minorant de A ) 8 (x; y) 2 A; (m1 ; m2 )
< (m1 ; m2 ) (1; 2) ) m1 1 et m2 2;
)
: (m ; m ) (3; 1) ) m
3 et m2 1:
1
2
1
2
) (m1 ; m2 ) 2 R avec m1 1 et m2 1:
(x; y) ;
) inf A = (1; 1) 2
= A ) min A n’existe pas.
Exercice 13: Soit dans R2 la relation d’ordre dé…nie par:
(x; y)
x0 ; y 0 , x < x0
92
ou x = x0 et y
y0 :
(1) 8 (x; y) ; (x 0 ; y 0 ) 2 R2 on a:
[x < x0 ou (x = x0 et y
) (x; y)
y 0 )] ou [x0 < x ou (x0 = x et y 0
(x0 ; y 0 ) ou (x0 ; y 0 )
y)] ;
(x; y) ce qui donne que l’ordre est total.
(2) Soit A = f( 1; 1) ; (2; 1)g, Déterminons s’ils existes; sup A; inf A; max A; et min A .
1ère méthode: Puisque l’ordre est total et on a: ( 1; 1)
(2; 1) :
) sup A = max A = (2; 1) et inf A = min A = ( 1; 1) :
2ème méthode:
a) (M
8 1 ; M2 ) est un majorant de A , 8 (x; y) 2 A; (x; y) (M1 ; M2 ),
< ( 1; 1) (M1 ; M2 ) , ( 1 < M1 ) ou ( 1 = M1 et 1 M2 ) ;
)
: et (2; 1) (M ; M ) , (2 < M ) ou (2 = M et
1 M2 ) ;
1
2
1
1
8
>
>
( 1 < M1 ) et (2 < M1 ) ) (2 < M1 ) ,
>
<
)
ou
>
>
>
: ( 1 < M ) et (2 = M et
1 M ) ) (2 = M et
1 M ).
1
1
2
1
2
Conclusion: l’ensemble des majorants est:
f(M1 ; M2 ) = (2 < M1 ) ou (2 = M1 et
1
M2 )g .
sup A est le plus petit des majorants qui est (2; 1) car (2; 1)
majorant de A. Mais: (2; 1) 2 A ) max A = (2; 1).
b) (m
8 1 ; m2 ) est un minorant de A , 8 (x; y) 2 A; (m1 ; m2 ) (x; y) ;
< (m1 ; m2 ) ( 1; 1) , (m1 < 1) ou (m1 = 1 et m2 1) ;
)
: et (m ; m ) (2; 1) , (m < 2) ou (m = 2 et m
1) ,
1
2
1
1
2
8
>
>
(m1 < 1) et (m1 < 2) ) (m1 < 1) ;
>
<
)
ou
>
>
>
: (m < 2) et (m = 1 et m
1) ) (m1 = 1 et m2 1) .
1
1
2
Conclusion: l’ensemble des minorants est:
f(m1 ; m2 ) = (m1 <
1) ou (m1 =
93
1 et m2
1)g .
(M1 ; M2 ) pour tout
inf A est le plus grand des minorants qui est ( 1; 1)car (m1 ; m2 )
( 1; 1) pour tout mino-
rant de A. Mais: ( 1; 1) 2 A ) min A = ( 1; 1) :
Exercice 14: On dé…nit dans Z la relation S par:
aSb , a
b + 1:
(1) Véri…ons que 0 S 1 et 1 S 0:Donnons une conclusion?
0
1 + 1 ) 0S1 et 1
0 + 1 ) 1S0 alors la relation S n’est pas antisymétrique.
(2) Soit R la relation dé…nie sur Z par:
aRb , ahb + 1:
Montrons que R est une relation d’ordre dans Z:
a) R est-elle ré‡exive?
R est ré‡exive , 8a 2 Z; aRa:
8a 2 Z; aha + 1 ) aRa ) R est ré‡exive.
b) R est-elle antisymétrique?
R est antisymétrique , 8a; b 2 Z; aRb et bRa ) a = b:
Soient a; b
2
Z; aRb et bRa ) ahb + 1 et bha + 1;
) a
b et b
a car: a; b 2 Z;
) a = b ) R est antisymétrique.
Autre méthode:
On a: b
1< a< b+1
2Z
2Z
2Z
) a = b, car le seul entier compris entre b
94
1 et b + 1 est b:
c) R est-elle transitive?
R est transitive , 8a; b; c 2 Z; aRb et bRc ) aRc:
Soient a; b; c 2 Z; aRb et bRc ) ahb + 1 et bhc + 1 ) a
b et b
c)a
c;
) a < c + 1 ) aRc ) R est transitive.
Conclusion: R est une relation d’ordre.
Exercice 15: Soient (E; <) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E:
Montrons que si A admet un plus petit élément alors il est unique.
m = min A , m est le plus grand des minorants de A et m 2 A , 8x 2 A; m<x et m 2 A:
Par l’absurde on suppose qu’ils existes m1 et m2 deux plus petits éléments di¤érents de A:
Alors: 8x 2 A; m1 <x et m2 <x avec m1 ; m2 2 A;ce qui implique que pour x = m2 ; m1 <m2
et pour x = m1 ; m2 <m1 :
Mais la relation est antisymétrique ce qui implique que: m1 = m2 : D’où la contradiction.
Exercice 16: Dans un ensemble non vide E, on dé…nit une relation binaire <1 transitive et telle que:
8x 2 E; x<1 x, c’est-à-dire aucun élément de E n’est en relation avec lui-même par la
relation <1 :
Montrons que la relation <2 dé…nie par: 8 (x; y) 2 E 2 ; x<2 y , (x<1 y ou x = y), est une
relation d’ordre.
a) <2 est-elle ré‡exive? Montrons que: 8x 2 E 2 ; x<2 x:
On a: x = x ) (x<1 x ou x = x) , x<2 x:
b) <2 est-elle antisymétrique? Montrons que: 8 (x; y) 2 E 2 ; x <2 y et y<2 x ) x = y:
2
Soient
8 (x; y) 2 E ; x<2 y et y<2 x , (x <1 y ou x = y) et (y <1 x ou y = x) ;
>
x<1 y et y<1 x ) x<1 x car <1 est transitive (contradiction avec l’hypothèse),
>
>
>
>
>
< ou x<1 y et y = x;
)
>
>
ou x = y et y<1 x,
>
>
>
>
: ou x = y et y = x:
) x = y (dans les trois autres cas).
95
c) <2 est-elle transitive? Montrons que: 8 (x; y; z) 2 E 3 ; x<2 y et y<2 z ) x<2 z:
3
Soient
8 (x; y; z) 2 E ; x<2 y et y<2 z , (x<1 y ou x = y) et (y<1 z ou y = z) ;
>
x<1 y et y<1 z ) x<1 z car <1 est transitive,
>
>
>
>
>
< ou x<1 y et y = z ) x<1 z,
)
>
>
ou x = y et y<1 z ) x<1 z,
>
>
>
>
: ou x = y et y = z ) x = z:
) x<1 z ou x = z ) x<2 z:
Conclusion: <2 est une relation d’ordre.
Exercice 17: Soit < la relation dé…nie sur N par:
8x; y 2 N; x<y , 9k 2 N; x = ky.
(1) Montrons que < est une relation d’ordre dans N:
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive , 8x 2 N; x<x:
8x 2 N; 9k = 1 2 N; x = 1:x ) x<x ) < est ré‡exive.
b) < est-elle antisymétrique?
< est antisymétrique , 8x; y 2 N; x<y et y<x ) x = y:
Soient x; y 2 N; x<y et y<x ) 9k1 2 N tel que: x = k1 y et 9k2 2 N tel que: y = k2 x;
) x = k1 k2 x ) k1 k2 = 1 ) k1 = k2 = 1 ) x = y ) < est antisymétrique.
c) < est-elle transitive?
<est transitive , 8x; y; z 2 N; x<y et y<z ) x<z:
Soient x; y; z 2 N; x<y et y<z ) 9k1 ; k2 2 N; x = k1 y et y = k2 z;
) x = k1 k2 z ) 9k3 = k1 k2 2 N; x = k3 z ) < est transitive.
Conclusion: < est une relation d’ordre.
(2) Cet ordre est-il total? Justi…er.
96
L’ordre est partiel car pour 2 et 3; 8k 2 N; 2 6= k:3 et 3 6= k:2; alors ni 2<3 ni 3<2:
(3) Déterminons, s’il existent sup f3; 12g ; sup f3; 7g ; inf f3; 12g et inf f3; 7g :
a) M est un majorant de A = f3; 12g , 8x 2 A; x<M:
8
< 3<M , 9k1 2 N; 3 = k1 M
,
: et 12<M , 9k 2 N; 12 = k M;
2
2
8
< M = 1 ou 3:(les produits avec k1 pour avoir 3)
,
: et M = 1; 2; 3; 4; 6 ou 12:(les produits avec k pour avoir 12).
2
Alors les seuls majorants de A sont: 1 et 3 (l’intersection des deux cas).
D’autre part: 3 = 3:1 ) 3<1 ) sup f3; 12g = 3:
b) m est un minorant de A = f3; 12g , 8x 2 A; m<x:
8
< m<3 , 9k1 2 N; m = k1 3
,
: et m<12 , 9k 2 N; m = k 12.
2
2
Alors les minorants de A sont les multiples de 12. (l’intersection des deux cas).
D’autre part: 8m = k1 12; m<12 ) inf f3; 12g = 12:
c) M est un majorant de B = f3; 7g , 8x 2 B; x<M:
8
< 3<M , 9k1 2 N; 3 = k1 M
,
: et 7<M , 9k 2 N; 7 = k M;
2
2
8
< M = 1 ou M = 3(les produits avec k1 pour avoir 3)
,
: et M = 1 ou M = 7(les produits avec k pour avoir 7).
2
Alors le seul majorant de B est: 1. (l’intersection des deux cas).
) sup f3; 7g = 1:
d) m est un minorant de A = f3; 7g , 8x 2 A; m<x:
8
< m<3 , 9k1 2 N; m = k1 3:
,
: et m<7 , 9k 2 N; m = k 7.
1
1
Alors les minorants de A sont les multiples de 21.
D’autre part: 8m = k3 21; m<21 ) inf f3; 7g = 21:
(4) < est-elle une relation d’ordre si on remplace N par Z ? Justi…er.
97
Pour la relation:
8x; y 2 Z; x<y , 9k 2 Z; x = ky.
Elle n’est pas antisymétrique car:
k1 k2 = 1 ) k1 = k2 = 1 ou k1 = k2 =
Alors 2< ( 2) et ( 2) <2 mais 2 6=
1: (les ki 2 Z)
2:
Exercice 18: Soit E l’ensemble des parties de R de la forme ] 1; x] avec x 2 R, ç-à-d: E = f] 1; x] ; x 2 Rg :
On dé…nit dans E la relation < par:
8X; Y 2 E; X<Y , X
Y:
1) Montrons que < est une relation d’ordre.
a) <est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive , 8X 2 E; X<X:
8X 2 E; X
X ) X<X ) < est ré‡exive.
b) < est-elle antisymétrique?
< est antisymétrique , 8X; Y 2 E; X<Y et Y <X ) X = Y:
Soient X; Y 2 E; X<Y et Y <X ) X
Y et Y
X ) X = Y ) < est antisymétrique.
c) < est-elle transitive?
< est transitive , 8X; Y; Z 2 E; X<Y et Y <Z ) X<Z:
Soient X; Y; Z 2 E; X<Y et Y <Z ) X
)X
Y et Y
Z ) X<Z ) < est transitive.
Conclusion: < est une relation d’ordre.
2) L’ordre est-il total ? Justi…er.
98
Z;
Puisque 8X1 ; X2 2 E on a: X1 = ] 1; x1 ] et X2 = ] 1; x2 ] alors on a l’un des deux cas:
a) Si x1
x2 ) X1
X2 ) X1 <X2 :
b) Si x2
x1 ) X2
X1 ) X2 <X1 :
Alors l’ordre est total.
3) Soit F
E dé…ni par: F = f] 1; x] ; x
5g :
a) Déterminons l’ensemble des majorants de F:
M est un majorant de F , 8X 2 F; X<M:
Soit X 2 F; X<M ) X
M ) M = ] 1; 5] [ Y avec Y
[5; +1[ :
Alors l’ensemble des majorants est:
fM = ] 1; 5] [ Y avecY
[5; +1[g :
b) Déterminons, s’ils existes, sup F et le plus grand élément de F:
Si on pose: M0 = sup F alors pour tout majorant M on a: M0 <M:
M0 <M , M0
M ) M0 = ] 1; 5] = sup F 2 F ) max F = ] 1; 5] :
Exercice 19:
(1) Soit < la relation d’équivalence dé…nie dans N par:
8 (x; y) 2 N2 ; x<y , (x = y ou x + y = 7) :
Déterminons, en discutant suivant les valeurs de l’entier naturel a, cl (a) :
cl (a) = fx 2 N=x<ag ;
x<a , x = a ou(x + a = 7 ) x = 7
a) ;
dans le 2eme2 cas (x = 7 a avec x 2 N);
fa; 7 ag si a 7;
) cl (a) = 4
fag si a > 7:
99
(2) Dans Z on dé…nit la relation = par:
a=b , a divise b ou b divise a:
caractérisons l’ensemble quotient Z == s’il existe?
La relation n’est pas transitive car: 2=10 et 10=5 mais 2=
/ 5 (2 n’est pas en relation avec
5). Alors la relation n’est plus une relation d’équivalence ce qui donne que l’ensemble quotient
n’existe pas.
100
Chapitre 4
Les applications
4.1
Notion d’application
Étant donné deux ensembles E et F on dé…nit une application de E dans F en se donnant une
règle permettant de faire correspondre à tout élément de E un élément déterminer de F . On
note souvent les applications par: f; g; h; :::: Si x 2 E; f (x) désigne l’image dans F , et on écrit:
f
:
E!F
x 7 ! f (x) = y:
On dit que x est l’antécédent de y, E est l’ensemble de départ et F est l’ensemble d’arrivé.
Exemple 4.1
f
:
R!R
x 7 ! f (x) = 6x + 3:
101
4.2
Égalité de deux applications
Pour montrer que deux applications f et g sont égales, on montre qu’elles ont le même ensemble
de départ E, et le même ensemble d’arrivé F et que:
8x 2 E; f (x) = g (x) :
4.3
Composée de deux applications
Soient f une application d’un ensemble E1 dans un ensemble F1 et g une application de E2
dans un ensemble F2 c’est-à-dire:
f : E1 ! F1 et g : E2 ! F2 :
Alors pour que g f existe il su¢ t que: f (E1 )
g f
:
E2 et on a:
E 1 ! F2
x 7! (g f ) (x) = g (f (x)) :
Exemple 4.2
f
:
N!N
x 7! f (x) = 2x;
Calculons s’il existe f
f
g et g f: En e¤ et:
g
:
et g : N ! N
8
<
x 7! g (x) =
:
N!N
x
2
si x est pair,
x+1
2
si x est impair.
8
< f x si x est pair,
2
x !
7
f (g (x)) =
: f x+1 si x est impair.
2
8
< x si x est pair,
=
: x + 1 si x est impair.
102
Et
g f
:
N!N
x 7! g (f (x)) = g (2x) =
2x
= x car 2x = y est un entier pair.
2
Remarque 4.1 Dans le cas général: g f 6= f
4.4
g (voir l’exemple).
Image d’une partie
Soient f une application d’un ensemble E dans un ensemble F et A une partie de E. Alors
l’image de A par f est dé…nie par:
f (A) = ff (x) =x 2 Ag :
Exemple 4.3
f
:
R ! R+
x 7! f (x) = jxj et A = f 1; 1; 2; 2; 3; 3g :
On a donc:
f (A) = f1; 2; 3g :
4.5
Injectivité
Dé…nition 4.1 Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F:
f est injective , 8x1 ; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) :
Ou bien:
8x1 ; x2 2 E; f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 (la contraposée).
Cela signi…e que chaque y 2 F admet au plus un antécédant x 2 E:
103
Exemple 4.4
f
:
et g : R ! R+
R!R
x 7! f (x) = 2x
x 7! g (x) = jxj :
Alors: 1) f est injective car:
8x1 ; x2 2 R; x1 6= x2 ) 2x1 6= 2x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) :
2) g n’est pas injective car: par exemple 2 6=
4.6
2 mais g (2) = g ( 2) = 2:
Surjectivité
Dé…nition 4.2 Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F . Alors:
f est surjective , 8y 2 F; 9x 2 E tel que: f (x) = y:
C’est-à-dire chaque élément de l’ensemble d’arrivé admet un antécédent.
Remarque 4.2 Pour montrer la surjectivité il su¢ t de trouver les x en fonction des y, et voir
si x existe dans le domaine E pour tous les y 2 F .
Exemple 4.5
f
:
R!R
x 7! f (x) = jxj ;
et g : N ! N
x 7! g (x) =
8
<
:
x
2
si x est pair,
x+1
2
si x est impair.
Alors: (1) f n’est pas surjective car si y 2 R ; 8x 2 R : f (x) = jxj =
6 y:
(2) g est surjective car: 8y 2 N; 9x = 2y 2 N avec g (x) = g (2y) =
2y
2
= y:
Remarque 4.3 Il existes autres dé…nitions d’injectivité et surjectivité qui utilise la notion de
la dérivée c’est surtout dans le cours d’analyse sur les fonctions.
104
4.7
Bijectivité
Dé…nition 4.3 Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F:Alors f est bijective si et seulement si f est injective et surjective, ou bien la formule:
8y 2 F; 9!x 2 E tel que: f (x) = y.
Exemple 4.6
f
R+ ! R+
:
x 7! f (x) = jxj :
f est bijective, car: 8y 2 R+ ; 9!x 2 R+ tel que: f (x) = jxj = x = y:
4.8
Bijection réciproque (image inverse ou réciproque)
Dé…nition 4.4 Soit f une application bijective d’un ensemble E dans un ensemble F . Alors
l’application réciproque (inverse) notée f
1
est dé…nie de F dans E, qui a pour chaque élément
y, on associe un élément unique x tel que:
f
1
(y) = x:
Exemple 4.7
f
:
R!R
x 7! f (x) = 3x + 5:
Alors pour trouver l’image réciproque on a:
y = 3x + 5 ) x =
105
y
5
3
;
)
f
1
:
R!R
y 5
:
y !
7
3
f
1
:
ou écrire:
4.9
R!R
x 5
x !
7
:
3
Image réciproque d’une partie
Dé…nition 4.5 Soient f une application d’un ensemble E dans un ensemble F et B une partie
de F . Alors l’image réciproque de B par f est dé…nie par:
1
f
(B) = fx 2 E = f (x) 2 Bg :
Exemple 4.8
f
R ! R+
:
x 7! f (x) = jxj et B = f1; 2; 3g :
On a donc:
f
1
(B) = f 1; 2; 3; 1; 2; 3g :
Remarque 4.4 L’image inverse d’un élément existe sauf si l’application est bijective mais
l’image inverse d’un ensemble existe dans tous les cas.
Exemple 4.9
f
:
R ! R+
x 7! f (x) = x2 et A = f4g :
106
On a: f (2) = f ( 2) = 4 avec 2 6=
f
1 (4)
4.10
n’existe pas mais f
2 alors f n’est pas injective donc n’est pas bijective alors:
1 (A)
=f
1 (f4g)
= f 2; 2g :
Involution
Dé…nition 4.6 Une involution est une bijection d’un ensemble E sur lui-même, qui est égale
à son inverse, c’est à dire:
8x 2 E; f (x) = f
1
(x) :
) f [f (x)] = x ou bien: f f = I où I est l’application identité donnée par: 8x 2 E; I (x) = x:
Exemple 4.10
f
:
R!R
x 7! f (x) = x:
4.11
Propriétés des applications
Soit f : E ! F; 8A; B 2 P (E) et C; D 2 P (F ), on a les propriétés suivantes:
(1) A
B ) f (A)
Preuve:
A
f (B) :
Si y 2 f (A) ) 9x 2 A tel que; f (x) = y ) 9x 2 B tel que, f (x) = y car:
B ) y 2 f (B) ) f (A)
f (B) :
(2) f (A [ B) = f (A) [ f (B) :
(3) f (A \ B)
f (A) \ f (B) L’égalité n’ayant lieu que si f est injective.
Exemple 4.11 A = f0; g ; B = f0; 3 g et f (x) = cos x (f n’est pas injective).
On a: f (A) = f1; 1g et f (B) = f1; 1g alors: f (A \ B) = f f0g = f1g et f (A)\f (B) =
f1; 1g ;
ce qui implique que: f (A) \ f (B) 6
(4) C
D)f
1 (C)
f
f (A \ B) :
1 (D) :
107
(5) f
1 (C
[ D) = f
1 (C)
[f
1 (D) :
(6) f
1 (C
\ D) = f
1 (C)
\f
1 (D) :
4.12
Exercices
Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l’application de E dans f0; 1g
dé…nie par:
8
< 1 si t 2 X;
'X (t) =
: 0 si non.
(1) Montrer que:8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A
'B .
(2) Déduireque: 'A = ('A )2 :
(3) Montrer que: 'A = 1
'A :
(4) Montrer que: 'A[B = 'A + 'B
'A
'B :
Exercice 02: Soient f et g deux applications dé…nies de R dans R telles que:
f (x) = 2x + 5 et g (x) =
1
:
x2 + 1
(1) g est-elle injective? surjective?
(2) A-t-on f
g = g f ? Justi…er.
(3) Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses?
(a) f (f0g) = f5g ; (b) 0 2 f
(d) g
1 (f1g)
= f0g et (e) g
(4) Déterminer f ([0; 1]) ; f
(5) Déterminer g
1 ([
1 (f5g) ;
1 (f0g)
(c) f
= 0;
= ;:
1 ([5; 7]) ; f
4; 1]) ; g
1 (5)
(R) ; g ([ 4; 1]) ; g ([ 2; 1]) et g ([ 4; 1] \ [ 2; 1]) :
1 ([0; 4[)
et g
Exercice 03:
108
1 ([1; +1[) :
(1) Montrer que f de R dans ] 1; 1[ dé…nie par:
f (x) =
x
est bijective et déterminer sa réciproque.
1 + jxj
(2) Soit g l’application de R dans l’intervalle [ 1; 1] dé…nie par:
f (x) = sin ( x) :
(a) Cette application est-elle injective? surjective? bijective?
(b) Montrer que la restriction de f à
1 1
2 ;2
est une bijection de
1 1
2 ;2
sur ] 1; 1[.
Exercice 04: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives et bijectives ?
(a)f
:
R !R
sin x
x !
7
:
x
(b)g : Z ! N
x 7! jxj
[x] :
où [x] désigne la partie entière de x:
Exercice 05: Soit f de [0; 1[ dans [1; +1[ dé…nie par:
f (x) = p
1
1
x2
:
(1) Montrer que f est une application et qu’elle est bijective.
(2) Dé…nir alors l’application réciproque.
Exercice 06: Soit h : R ! R. dé…nie par: h (x) =
p x
:
x2 +1
(1) h est elle injective? Justi…er.
(2) h est elle surjective? Justi…er.
109
(c)h : R+ ! R+
p
x 7! x:
(3) Déduire que g l’application dé…nie par:
g
:
R ! ] 1; 1[
x
;
x !
7
g (x) = p
x2 + 1
est bijective et trouver son inverse.
Exercice 07: Soit h l’application de R dans R dé…nie par: h (x) =
(1) Véri…er que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h
4x
:
x2 +1
1
a
:
l’application h est-elle injective? Justi…er.
(2) Soit f la fonction dé…nie sur l’intervalle I = [1; +1[ par f (x) = h (x) :
a) Montrer que f est injective.
b) Véri…er que: 8x 2 I; f (x)
2:
c) Montrer que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouver f
Exercice 08: Soit f : R ! R dé…nie par: f (x) =
(1) Calculer f (2) et f
1
2
1 (x) :
x
:
x2 +1
. f est-elle injective?
(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?
(3) Déterminer f (R) :(Indication: utiliser (x + 1)2
0 et (x
1)2
0):
Exercice 09: Soient a; b; c et d des réels non nuls donnés, et soit f dé…nie comme suit:
f
:
A!B
x 7! f (x) =
ax + c
:
bx + d
Comment doit-on choisir les plus grands inconnus A et B et les autres constantes pour
que f soit :
(1) une application? (2) injective? (3) surjective? et (4) bijective?
110
Exercice 10: Soient E; F; G trois ensembles et f : E ! F; g : F ! G deux applications:
(1) Montrer que: g f est injective ) f est injective.
(2) Montrer que: g f est surjective ) g est surjective.
(3) f et g sont bijectives ) g f est bijective et (g f )
1
=f
1
g
1.
Exercice 11: Soient E; F; G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E
dans F et h une application injective de F dans G: montrer que:
h f = h g ) f = g:
Exercice 12: f : E ! F une application, A
E et B
E:
(1) Montrer que: f (A [ B) = f (A) [ f (B).
(2) (a) Montrer que: f (A \ B)
f (A) \ f (B).
(b) Montrer que si f est injective alors: f (A \ B) = f (A) \ f (B).
(3) Montrer que: 8C; D
F; f
1 (C
\ D) = f
Exercice 13: f : E ! F une application, X
E et Y
1 (C)
\f
1 (D) :
E:
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
(1) f est injective.
(2) X \ Y = ; ) f (X) \ f (Y ) = ;:
(3) Y
X ) f (X
Y ) = f (X)
f (Y ) :
Exercice 14: Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)
P (B) dé…nie par:
f (X) = (X \ A; X \ B) :
(1) Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E.
111
(2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ;.
(3) Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective. Déterminer f
1:
Exercice 15: Soit f : E ! F une application. Montrer que:
1 (F
(1) 8B
F; f
(2) 8B
F; f f
r B) = E r f
1 (B)
1 (B) :
= B \ f (E) :
1 (B)
(3) f est surjective , 8B
F; f f
(4) f est bijective , 8A
E; f CEA
= B:
f (A)
= CF
:
Exercice 16: Soit E un ensemble non vide et f une application de E ! E. Pour toute partie A non
vide de E, on pose: B = A \ f A où: A est le complémentaire de A dans E:
(1) On suppose que f est injective.
(a) Montrer que f ne possède pas de point …xe dans B (un élément x est un point …xe de f
si f (x) = x).
(b) Montrer que si A
f (A) alors B = ;:
(2) On donne E = Z:
(a) On suppose f (n) = 2n; 8n 2 Z et que A = Im f . Déterminer B:
(b) On suppose f (n) = 2n + 1; 8n 2 Z et que A = 2Z. Déterminer B:
Exercice 17: On dé…nit dans E la relation < par:
8A; B 2 E; A<B , 9f : A ! B une fonction bijective.
Cette relation est-elle une relation d’équivalence?
112
4.13
Solutions des exercices
Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l’application de E dans f0; 1g
dé…nie par:
8
< 1 si t 2 X
:
'X (t) =
: 0 si non
(1) Montrons que:8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A
On sait que 'A\B et 'A
'B .
'B ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivé
f0; 1g. Il su¢ t de montrer que:
8t 2 E; 'A\B (t) = ('A
'B ) (t)?
On distingue les cas suivants (les zones dans E sachant qu’on a l’ensemble A \ B):
(a) Si t 2 (A \ B) ) 'A\B (t) = 1, et ('A
'B ) (t) = ('A ) (t)
('B ) (t) = 1
1=1
'B ) (t) = ('A ) (t)
('B ) (t) = 1
0=1
(car t 2 A et t 2 B),
(b) Si (2 (A r B) ) 'A\B (t) = 0, et ('A
(car t 2 A et t 2
= B),
(c) Si t 2 (B r A) ) 'A\B (t) = 0, et ('A
'B ) (t) = N ('A ) (t)
('B ) (t) = 0
1=1
(car t 2
= A et t 2 B),
(d) Si t 2
= (A [ B) ) 'A\B (t) = 0, et ('A
'B ) (t) = ('A ) (t)
('B ) (t) = 0
(car t 2
= A et t 2
= B).
Donc, pour tout t 2 E; 'A\B (t) = ('A
(2) Puisque: 8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A
Alors: 'A\A = 'A
'B ) (t) et par suite 'A\B = 'A
'B :
'A = ('A )2 ,
mais: 'A\A = 'A car: A \ A = A ) 'A = ('A )2 :
(3) Montrons que: 'A = 1
'A :
8
8
< 1 si t 2 A
< 0 si t 2 A
'A (t) =
=
: 0 si t 2
: 1 si t 2
=A
= A;
113
'B :
0=0
8
< 1
'A ) (t) =
: 1
8
< 0 si t 2 A;
et (1
=
: 1 si t 2
0 si t 2
= A;
= A;
de plus: 'A (t) : E ! f0; 1g et 1 'A : E ! f0; 1g
) 'A = 1
1 si t 2 A;
'A :
(4) Montrons que: 'A[B = 'A + 'B
'A
'B :
8
8
< 1 si t 2 A [ B
< 1 si t 2 A
=
'A[B (t) =
: 0 si t 2
: 0 si t 2
= A[B
=A
8
>
1+0
>
>
>
>
>
< 0+1
'A (t) + 'B (t) 'A (t) 'B (t) =
>
>
0+0
>
>
>
>
: 1+1
8
< 1 si t 2 A ou t 2 B
=
= 'A[B (t) :
: 0 si t 2
= A et t 2
= B;
et on a: 'A[B : E ! f0; 1g et 'A (t) + 'B (t)
) 'A[B = 'A + 'B
'A
ou t 2 B
:
et t 2
=B
0 si t 2 A et t 2
=B
0 si t 2
= A ou t 2 B
0si t 2
= A ou t 2
=B
1si t 2 A ou t 2 B;
'A (t)
'B (t) : E ! f0; 1g ;
'B :
Exercice 02: Soient f et g deux applications dé…nies de R dans R telles que:
f (x) = 2x + 5 et g (x) =
x2
1
:
+1
(1) g est- elle injective? surjective?
g n’est pas injective car:
1 6= 1 et g ( 1) = g (1) :
Elle n’est pas surjective car: pour y =
(2) A- t- on f
2 (g (x) est toujours positive):
g = g f ? Justi…er.
f g (x) = f (g (x)) = f
)f
2; 8x 2 R; g (x) 6=
1
x2 +1
=
2
x2 +1
+ 5 et g f (x) = g (f (x)) = g (2x + 5) =
g 6= g f:
(3) Disons si les propositions sont vraies ou fausses.
114
1
;
(2x+5)2 +1
Notons que f est bijective car: f 0 (x) = 3 > 0;
) f est strictement croissante d’où l’injectivité de f:
d’autre part: y = 2x + 5 ) x =
) 8y 2 R; 9x =
y 5
2
y 5
2 ;
2 R tel que: f (x) = y ) f est surjective.
(a) f (f0g) = f5g est vraie car: f (0) = 5:
(b) 0 2 f
1 (f5g)
est vraie car: f (0) = 5:
(c) f
1 (5)
(d) g
1 (f1g)
= f0g est vraie car: g (0) = 1 et 8x 2 R; g (x) 6= 1:
(e) g
1 (f0g)
= ; est vraie car: 8x 2 R; g (x) 6= 0:
= 0 est vraie car: f est bijective et f (0) = 5:
1 ([5; 7]) ;
(4) Déterminons: f ([0; 1]) ; f
f (R) ; g ([ 4; 1]) ; g ([ 2; 1]) et g ([ 4; 1] \ [ 2; 1]) :
f est une fonction croissante et g est une fonction décroissante sur R+ et croissante sur
R donc:
(i) f ([0; 1]) = [f (0) ; f (1)] = [5; 7] :
(ii) f
1 ([5; 7])
(iii) f (R) =
1 (5) ; f 1 (7)
= f
= [0; 1] :
lim f (x) ; lim f (x) = ] 1; +1[ :
x! 1
x!+1
(iv) g ([ 4; 1]) = [g ( 4) ; g ( 1)] =
(v) g ([ 2; 1]) = [g ( 2) ; g ( 1)] =
1 1
17 ; 2
1 1
5; 2
:
:
(vi) g ([ 4; 1] \ [ 2; 1]) = g ([ 2; 1]) =
(5) Déterminons g
(i) g
(ii) g
(iii) g
1 ([
1 ([
4; 1]) ; g
1
1 1
5; 2
([0; 4[) et g
:
1 ([1; +1[) :
4; 1]) = ; car: g (x) > 0:
1 ([0; 4[)
=g
1 ([1; +1[)
1 (]0; 1[)
=g
= R:
1 f1g
= f0g ;car: 0 < g (x)
1; 8x 2 R:
Exercice 03:
(1) Montrons que f de R dans ] 1; 1[ dé…nie par:
f (x) =
x
est bijective et déterminer sa réciproque.
1 + jxj
115
(a) f est elle injective?
8x1 ; x2 2 R, si f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 ?
x1
x2
Soient x1 ; x2 2 R, si f (x1 ) = f (x2 ) ) 1+jx
= 1+jx
(x1 ; x2 ont le même signe);
1j
2j
8
x2
x1
>
>
> 1+x1 = 1+x2 si x1 0 et x2 0 ) x1 = x2 ;
>
>
>
< x1 = x2 si x1 0 et x2 0; ne convient pas car x1 ; x2 ont le même signe,
1+x1
1 x2
)
x
x2
>
1
>
0 et x2 0; ne convient pas car x1 ; x2 ont le même signe,
>
1 x1 = 1+x2 si x1
>
>
>
: x1 = x2 si x
0 et x
0)x =x ;
1 x1
1
1 x2
2
1
2
) x1 = x2 ) f est injective.
(b) f est elle surjective?
Montrons que: 8y 2 ] 1; 1[ ; 9x 2 R tel que: f (x) = y:
(i) Si y 2 ] 1; 0[ ) x < 0 )
(ii) Si y 2 [0; 1[ ) x
0)
x
1 x
x
1+x
=y)x=
=y)x=
y
1+y
y
1 y
< 0 qui existe si: y 2 ] 1; 0[ :
< 0 qui existe si: y 2 [0; 1[ :
conclusion: f est une application bijective car elle est injective et surjective avec:
f
1
:
] 1; 1[ ! R
8
< y si y 2 [0; 1[ ;
1 y
y !
7
: y si y 2 ] 1; 0[ :
1+y
(2) Soit g l’application de R dans l’intervalle [ 1; 1] dé…nie par:
g (x) = sin ( x) :
(a) Cette application est-elle injective? surjective? bijective?
(i) g n’est pas injective car: si x1 = 0 et x2 = 2; x1 6= x2 mais: g (x1 ) = g (x2 ) = 0:
(ii)
1
sin ( x)
1 ) g est surjective.
(iii) g n’est pas bijective car elle n’est pas injective.
116
1 1
2 ;2
(b) Montrons que la restriction de g à
Soit h la restriction de g à
1 1
2 ;2
est une bijection de
1 1
2 ;2
sur ] 1; 1[.
)
1 1
! ] 1; 1[
;
2 2
x !
7
h (x) = sin ( x) :
h
(i) h est surjective car: si x 2
1 1
2 ;2
:
alors
1 < sin ( x) < 1:
(ii) il reste à montrer que: h est injective?
Soient x1 ; x2 2
1 1
2 ;2
(x1 x2 )
2
, si h (x1 ) = h (x2 ) ) sin ( x1 )
sin ( x2 ) = 0
(x1 +x2 )
2
) 2 sin
cos
=0
8
>
sin (x1 2 x2 ) = 0 ) x1 x2 = 0 ou x1 x2 = 2 (impossible dans
>
>
<
)
ou bien
>
>
>
: cos (x1 +x2 ) = 0 ) x + x = 1 cas qui n’est pas possible.
1
2
2
) x1 = x2 ) h est injective
1 1
2 ;2
) ,
Conclusion: h est bijective car elle est injective et bijective.
Exercice 04: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?
(a) f
:
R !R
sin x
:
x !
7
x
(b) g : Z ! N
x 7! jxj
[x] :
(c) h : R+ ! R+
p
x 7! x:
(a)
f
:
R !R
sin x
x !
7
.
x
(i) f n’est pas injective car: x1 = 2 ; x2 = 4 ; x1 6= x2 mais f (x1 ) = f (x2 ) = 0:
(ii) Pour surjective: si on pose l’application h (x) = sin x
) h0 (x)
x ) h0 (x) = cos x
1;
0 ) h est décroissante,
) le seul cas pour que h (x) = 0 quand x = 0 donc pour y = 1; 8x 2 R ; sin x 6= x;
117
)
sin x
x
6= 1 ) f (x) 6= 1:
Alors f n’est pas surjective.
Conclusion: f n’est pas bijective car elle est ni injective ni surjective.
(b)
g
:
Z!N
x 7! jxj
[x] ;
[x] désigne la partie entière qui est donnée par dé…nition: [x] = max y avec y 2 Z et y
x:
(i) g n’est pas injective car: x1 = 1; x2 = 2; x1 6= x2 mais g (x1 ) = g (x2 ) = 0:
(ii) Pour surjective: on a pour x 2 Z+ ; g (x) = 0 et si x 2 Z ; g (x) =
x
x=
2x 2 N qui
est pair.
) 8y = 2k + 1 (impair); 8x 2 Z; g (x) 6= y: Alors g n’est pas surjective.
(c)
R+ ! R+
p
x !
7
x:
h
:
p
(i) Soient x1 ; x2 2 R+ ; h (x1 ) = h (x2 ) )
p
x1 =
x2 ) x1 = x2 car h est strictement
croissante, ce qui implique que h est injective.
(ii) Pour surjective: 8y 2 R+ ; 9x 2 R+ tel que: y =
p
x (il su¢ t de prendre x = y 2 ).
) h est surjective
Conclusion: h est bijective car elle est injective et surjective.
Exercice 05: Soit f de [0; 1[ dans [1; +1[ dé…nie par:
f (x) = p
118
1
1
x2
:
(1) Montrons que f est une application et qu’elle est bijective.
(i) f est une application , 8x 2 [0; 1[ ; 9y 2 [1; +1[ tel que: f (x) = y?
f 0 (x) =
x
0 car x 2 [0; 1[ ) f est croissante de plus on a:
3
(1 x2 ) 2
f (0) = 1 et lim f (x) = +1;
x!1
) f ([0; 1[) = [1; +1[ d’où f est une application de [0; 1[ dans[1; +1[.
(ii) Montrons que f est bijective.
* f est injective car: 8x1 ; x2 2 [0; 1[ ; f (x1 ) = f (x2 ) ) p 1
1 x21
= p1
1 x22
;
) x21 = x22 ) x1 = x2 :
* f est surjective car: 8y 2 [1; +1[ ; 9x 2 [0; 1[ tel que: f (x) = y )
p
y2 1
)x= y
2 [0; 1[car y 1:(c’est la formule qui donne f 1 )
p 1
1 x2
Conclusion: f est bijective car elle est injective et surjective.
(2) Puisque f est bijective alors l’application réciproque est donnée par:
f
1
[1; +1[ ! [0; 1[
p
y2 1
1
:
y 7! f (y) =
y
Exercice 06: Soit h : R ! R dé…nie par: h (x) =
:
p x
:
x2 +1
(1) h est elle injective? Justi…er.
Montrons que: 8x1 ; x2 2 R, si h (x1 ) = h (x2 ) alors x1 = x2 ?
Soient x1 ; x2 2 R, si h (x1 ) = h (x2 ) ) p x21
x1 +1
= p x22
x2 +1
;
) x1 et x2 ont le même signe,
)
x21
x21 +1
=
x22
x22 +1
) x21 = x22 ;
) x1 = x2 (car x1 et x2 ont le même signe) ) f est injective.
(2) h est elle surjective?
119
= y;
Montrons que: 8y 2 R; 9x 2 R tel que: f (x) = y:
p x
= y (x
x2 +1
:y 2 = x2 , x2
f (x) = y ,
et y ont le même signe),
) x2 + 1
1
) y 6=
y2 = y2;
1 et y 2 ] 1; 1[ pour garder les signe donc:
Si y 2 ] 1; 1[ ; x =
s
y2
:
1 y2
Conclusion: pour y 2 ] 1; 1] [ [1; +1[ le x n’existe pas
donc h n’est pas surjective.
(3) D’après (1) et (2)
g
:
R ! ] 1; 1[
x
;
x !
7
g (x) = p
2
x +1
est une application bijective avec:
g
1
:
] 1; 1[ ! R
8 q
x2
<
si x 0
1 x2
1
q
x 7! g (x) =
:
2
:
x
si
x
<
0
2
1 x
Exercice 07: Soit h l’application de R dans R dé…nie par: h (x) =
4x
:
x2 +1
(1) Véri…ons que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h
h (a)
h
1
a
=
4a
4 a1
= 0 ) h (a) = h
2
( a1 ) +1
L’application h est-elle injective? Justi…er.
a2 +1
1
a
1
a
:
:
h n’est pas injective car pour: x1 = 2 et x2 = 12 ; x1 6= x2 mais d’après (1) h (2) = h
(2) Soit f la fonction dé…nie sur l’intervalle I = [1; +1[ par f (x) = h (x) :
(a) Montrons que f est injective ç-à-d :
8x1 ; x2 2 R; si f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 :
120
1
2
:
En e¤et: si f (x1 ) = f (x2 ) )
) (x1 = x2 ) ou
x1 =
1
x2
4x1
x21 +1
=
4x2
x22 +1
) (x1
x2 ) (1
x1 x2 ) = 0
cas qui n’est pas possible pour: x1 ; x2 2 [1; +1[ sauf si x1 =
x2 ) f est injective:
(b) Véri…ons que: 8x 2 I; f (x)
Soit x 2 I; f (x)
2=
2:
2(x 1)2
1+x2
0 ) f (x)
2:
(c) Montrons que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouvons f
1 (x) :
On a: f est injective de plus:
f est surjective car: 8y 2 ]0; 2] ; 9x 2 [1; +1[ tel que: f (x) = y:
4x
x2 +1
= y ) yx2 4x + y = 0; 4 = 16
p
p
) x1 = 2 + 2 4 y 2 ou x2 = 2 2 4 y 2
p
) x = 2 + 2 4 y 2 qui existe 8y 2 ]0; 2] :
En e¤et:
4y 2
0 car: y 2 ]0; 2] ;
0 une solution qui ne convient pas,
Conclusion: f est bijective car elle est injective et surjective.
De plus l’application réciproque est:
f
1
:
]0; 2] ! [1; +1[
p
x !
7
f 1 (x) = 2 + 2 4
Exercice 08: Soit f : R ! R dé…nie par: f (x) =
(1) Calculons f (2) et f
f (2) = f
1
2
=
2
5
1
2
x2 :
x
:
x2 +1
: f est-elle injective?
) f n’est pas injective car:
pour x1 = 2 et x2 = 21 ; x1 6= x2 mais f (2) = f
1
2
:
(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?
f (x) = 2 ,
x
x2 +1
= 2 , 2x2
x+2=0)4=
15 < 0;
) l’ensemble des solutions est vide (;), donc pour y = 2; 8x 2 R; f (x) 6= 2;
) f n’est surjective.
121
(3) Déterminons f (R) :(Indication: utiliser (x + 1)2
on a: (x + 1)2
)
x
x2 +1
1
2
1)2
0 et (x
1
2
0 ) x2 + 1
1 1
2; 2
) f (R) =
0 et (x
2x et x2 + 1
1)2
0):
2x;
:
Exercice 09: Soient a; b; c et d des réels non nuls donnés, et soit f dé…nie comme suit:
f
:
A!B
x 7! f (x) =
ax + c
:
bx + d
Comment doit-on choisir les plus grands inconnus A et B et les autres constantes pour
que f soit:
(1) f est une application si 8x 2 A; 9y 2 B tel que: y = f (x) :
On remarque que f (x) existe pour tout x 6=
d
b
)A=R
d
b
:
(2) f est injective , 8x1 ; x2 2 A; f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 :
f (x1 ) = f (x2 ) )
ax1 +c
bx1 +d
=
ax2 +c
bx2 +d
) (ax1 + c) (bx2 + d) = (bx1 + d) (ax2 + c),
) abx1 x2 + adx1 + cbx2 + cd = abx1 x2 + bcx1 + dax2 + cd;
) adx1 + cbx2 = bcx1 + dax2 ;
) (ad
bc) x1 = (ad
bc) x2 ;
donc pour que x1 = x2 il su¢ t que: (ad
bc) 6= 0:
Conclusion: pour que f est injective il faut que:
(ad
bc) 6= 0 et A = R
d
b
(la condition de l’application):
(3) f est surjective , 8y 2 B; 9x 2 A tel que: f (x) = y:
f (x) = y ,
ax+c
bx+d
= y , ax + c = (bx + d) y , x =
f est surjective , y 6= ab ;
,B=R
a
b
et A = R
d
b
dy c
a by
qui existe si y 6= ab :
(la condition de l’application):
(4) f soit une application bijective , f est une application injective et surjective donc:
122
d
b
A=R
; (ad
a
b
bc) 6= 0 et B = R
:
Exercice 10: Soient E; F; G trois ensembles et f : E ! F; g : F ! G deux applications:
(1) Montrons que: g f est injective ) f est injective.
Supposons par l’absurde que f n’est pas injective,
) 9x1 ; x2 2 E avec x1 6= x2 et f (x1 ) = f (x2 ) ) g [f (x1 )] = g [f (x2 )] ;
car g est une application alors g f (x1 ) = g f (x2 ) avec x1 6= x2 ;
) g f n’est pas injective. (contradiction)
) f est injective.
(2) Montrons que: g f est surjective ) g est surjective.
g f est surjective avec g f : E ! G;
) 8z 2 G; 9x 2 E tel que: g f (x) = z;
) g [f (x)] = z ) 9y = f (x) 2 F car f est une application d’où: g (y) = z;
alors g est surjective.
(3) f et g sont bijectives ) g f est bijective et (g f )
1
=f
1
g
1.
Si f et g sont bijectives. Montrons alors que: g f est injective ensuite qu’elle est surjective?
(a) Pour l’injectivité:
Soient x1 ; x2 2 E avec x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) car f est injective,
) g [f (x1 )] 6= g [f (x2 )]car g est injective) g f est injective.
(b) Pour la surjectivité:
8z 2 G; 9y 2 F tel que: g (y) = z car g est surjective,
) 9x 2 E tel que f (x) = y d’où: g [f (x)] = z car f est surjective,
) g f (x) = z ) g f est surjective.
Conclusion:g f est bijective.
De plus si ona: h k = k h = Id ) k = h
f
1
g
1
(g f ) = f
1
Id f = f
1
1,
dans notre cas:
f = Id;
123
de plus (g f )
) (g f )
1
=f
f
1
g
1
g
1.
1
= g Id g
1
=g g
1
= Id:
Exercice 11: Soient E; F; G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E
dans F et h une application injective de F dans G: montrons que:
h f = h g ) f = g:
On a: f : E ! F et g : E ! F , il reste à montrer que:
8x 2 E; f (x) = g (x) :
Par l’absurde, supposons que: 9x 2 E tel que: f (x) 6= g (x) ;
) 9x 2 E tel que: h [f (x)] 6= h [g (x)] car h est injective,
) 9x 2 E tel que: h f (x) 6= h g (x) ) h f 6= h g (contradiction avec l’hypothèse).
Conclusion: f = g:
Exercice 12: f : E ! F une application, A
E et B
E:
(1) Montrons que: f (A [ B) = f (A) [ f (B).
(a) Montrons que: f (A [ B)
f (A) [ f (B) :
Soit y 2 f (A [ B) ) 9x 2 A [ B tel que: f (x) = y;
) 9x 2 A ou 9x 2 B tel que: f (x) = y,
)(9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y);
) y 2 f (A) ou y 2 f (B) ) y 2 f (A) [ f (B) :
(b) Montrons que: f (A) [ f (B)
f (A [ B) :
Soit y 2 f (A) [ f (B) ) y 2 f (A) ou y 2 f (B),
) (9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y);
) (9x 2 A ou 9x 2 B) tel que: f (x) = y,
) 9x 2 A [ B tel que: f (x) = y ) y 2 f (A [ B) :
(2) (a) Montrons que: f (A \ B)
f (A) \ f (B).
124
Soit y 2 f (A \ B) ) 9x 2 A \ B tel que: f (x) = y
) (9x 2 A et 9x 2 B) tel que: f (x) = y,
) (9x 2 A tel que: f (x) = y) et (9x 2 B tel que: f (x) = y);
) y 2 f (A) et y 2 f (B) ) y 2 f (A) \ f (B) :
(b) Montrons que si f est injective alors: f (A \ B) = f (A) \ f (B).
Il su¢ t de montrer que: f (A) \ f (B)
f (A \ B) :
y 2 f (A) \ f (B) ) y 2 f (A) et y 2 f (B),
) (9x1 2 A tel que: f (x1 ) = y) et (9x2 2 B tel que: f (x2 ) = y);
mais f est injective alors: x1 = x2 = x;
) 9x 2 A et 9x 2 B tel que: f (x) = y,
) 9x 2 A \ B tel que: f (x) = y ) y 2 f (A \ B) :
Conclusion: Si f est injective alors: f (A \ B) = f (A) \ f (B).
(3) Montrons que: 8C; D
Soit x 2 f
1 (C
F; f
1 (C
\ D) = f
1 (C)
\f
1 (D) :
\ D) , 9y 2 C \ D tq: f (x) = y , 9y 2 C et y 2 D tq: f (x) = y;
, 9y 2 C tq: f (x) = y et 9y 2 D tq: f (x) = y;
,x2f
1 (C)
et x 2 f
1 (D)
1 (C)
,x2f
1 (C
\ D) = f
Exercice 13: f : E ! F une application, X
E et Y
Conclusion: 8C; D
F; f
\f
1 (C)
\f
1 (D) :
1 (D) :
E:
Montrons que les propriétés suivantes sont équivalentes:
(1) f est injective.
(2) X \ Y = ; ) f (X) \ f (Y ) = ;:
(3) Y
X ) f (X
Y ) = f (X)
f (Y ) :
Montrons que: (1) ) (2); (2) ) (3) et (3) ) (1).
(a) Montrons que: [f est injective] ) [X \ Y = ; ) f (X) \ f (Y ) = ;] :
125
Montrons par contraposée que: [X \ Y = ; ) f (X) \ f (Y ) = ;] :
En e¤et: Si f (X) \ f (Y ) 6= ; ) 9 2 f (X) \ f (Y ) ;
) 9 2 f (X) et
2 f (Y ) ;
) 9x 2 X tel que: f (x) =
et 9y 2 Y tel que: f (y) =
) f (x) = f (y) = ;
) x = y car f est injective, avec x 2 X et y 2 Y;
) x 2 X \ Y ) X \ Y 6= ;.
(b) Montrons que:
[X \ Y = ; ) f (X) \ f (Y ) = ;] ) [Y
Montrons que: [Y
X ) f (X
X ) f (X
Y ) = f (X)
Y ) = f (X)
f (Y )] :
f (Y )] :
1er cas: Si Y = X alors:
f (X
Y ) = f (;) = ; = f (X)
f (X) = f (X)
f (Y ) :
2ème cas: Si Y = ; alors:
f (X
Y ) = f (X
;) = f (X) = f (X)
3ème cas: Si Y
2 f (X
) 9 2 (X
)
Y)
f (X)
f (Y ) :
Y)
Y ) tel que: f ( ) =
2 f (X) et on a: (X
) f (X
) 9 2 X et
Y ) \ Y = ;;
Y ) \ f (Y ) = ; d’après l’hypothèse,
)
2
= f (Y ) car
)
2 f (X)
2 f (X
Y );
f (Y ) :
(ii) Montrons que: f (X)
f (Y )
Soit
2 f (X) et
2 f (X)
f (Y ) )
) 9 2 X tel que: f ( ) =
)
6=
)
2 (X
)
2 f (X
f (Y ) :
X avec Y 6= ; et Y 6= X
(i) Montrons que: f (X
Soit
f (;) = f (X)
pour tout
f (X
Y ):
2
= f (Y ) ;
et 8 2 Y; f ( ) 6= ;
2 Y tel que: f ( ) = ;
Y ) tel que: f ( ) = ;
Y ):
(c) Montrons que:
126
2
= Y tel que: f ( ) = ;
[Y
X ) f (X
Y ) = f (X)
f (Y )] ) f est injective.
Par l’absurde on suppose que f n’est pas injective alors 9x 6= y et f (x) = f (y) :
Pour: Y = fxg et X = fx; yg on a: Y
mais f (X
X;
Y ) = f (fyg) 6= ; car f est une application,
et f (X)
f (Y ) = f (fxg)
) f (X)
f (Y ) = ; ) f (X
f (fx; yg) = f (fxg)
Y ) 6= f (X)
f (fxg) car: f (x) = f (y) :
f (Y ) contradiction avec l’hypothèse.
Conclusion: Les propriétés sont équivalentes.
Exercice 14: Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)
P (B) dé…nie par:
f (X) = (X \ A; X \ B) :
(1) Montrons que f est injective si et seulement si A [ B = E.
" ) " hyp: f est injective.
Pb: A [ B = E?
"
" evident car: A; B 2 P (E) :
"
" Par l’absurde supposons que E n’est pas inclu dans A [ B.
Alors: 9x 2 E et x 2
= A [ B ) 9x 2 E et x 2
= A et x 2
= B;
) fxg \ A = fxg \ B = ;;
) f (fxg) = (fxg \ A; fxg \ B) = (;; ;) = f (;) avec ; =
6 fxg ;
) f n’est pas injective (contradiction), ce qui implique que: A [ B = E:
" ( " hyp: A [ B = E:
Pb: f est injective?
Soient X1 ; X2 2 P (E) avec f (X1 ) = f (X2 ) ) (X1 \ A; X1 \ B) = (X2 \ A; X2 \ B) ;
) X1 \ A = X2 \ A et X1 \ B = X2 \ B ) (X1 \ A) [ (X1 \ B) = (X2 \ A) [ (X2 \ B) ;
) X1 \ (A [ B) = X2 \ (A [ B), (la distributivité)
) X1 \ E = X2 \ E ) X1 = X2 ) f est injective.
127
(2) Montrons que f est surjective si et seulement si A \ B = ;.
" ) " hyp: f est surjective.
Pb: A \ B = ;?
"
" évident car l’ensemble vide est inclu dans n’importe quel ensemble.
"
" Par l’absurde supposons que A \ B n’est pas inclu dans ; alors:
9x 2 A \ B ) fxg \ A = fxg = fxg \ B;
mais (fxg ; ;) 2 P (A)
P (B) alors:
8Y 2 P (E) on a: f (Y ) = (Y \ A; Y \ B) 6= (fxg ; ;) car x 2 B;
) f n’est pas surjective:
" ( " hyp: A \ B = ;:
Pb: f est surjective?
Supposons que f n’est pas surjective,
) 9 (Y1 ; Y2 ) 2 P (A)
P (B) et (Y1 ; Y2 ) 6= f (X) ; 8X 2 P (E) ;
) (Y1 ; Y2 ) 6= (X \ A; X \ B) ; 8X 2 P (E), en particulier si X = Y1 [ Y2 ;
) (Y1 ; Y2 ) 6= ((Y1 [ Y2 ) \ A; (Y1 [ Y2 ) \ B),maisY1 2 P (A) ; Y2 2 P (B) et A \ B = ;;
) (Y1 ; Y2 ) 6= (Y1 \ A; Y2 \ B) = (Y1 ; Y2 ) d’où la contradiction.
) f est surjective.
(3) Donnons une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective. Déterminer f
une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective est:
A [ B = E et A \ B = ; ) A = CEB :
On a: f (X) = (X \ A; X \ B) = (Y1 ; Y2 ) 2 P (A)
P (B) ;
) X \ A = Y1 et X \ B = Y2 et puisque A [ B = E;
)f
1 (Y ; Y )
1 2
= X = Y1 [ Y2 :
Exercice 15: Soit f : E ! F une application. Montrons que:
(1) 8B
F; f
1 (F
r B) = E r f
1 (B) :
128
1:
En e¤et: Soit B
1 (F
F; f
r B) = fx 2 E=9y 2 F r B tel que : f (x) = yg
= fx 2 E=y 2
= B tel que : f (x) = yg = x 2 E=x 2
=f
(2) 8B
F; f f
Soit B
1 (B)
F; f f
= y 2 F=9x 2 f
1 (B)
=Erf
1 (B) :
= B \ f (E) :
1 (B)
1 (B)
= y 2 F=9x 2 f
1 (B)
tel que : f (x) = y
E tel que : f (x) = y
= fy 2 B et y 2 f (E)g = B \ f (E) :
(3) f est surjective , 8B
1 (B)
F; f f
= B:
" ) " hyp: f est surjective.
pb: 8B
F; f f
1 (B)
= B?
D’après la question (2) 8B
) 8B
F; f f
" ( " hyp: 8B
1 (B)
F; f f
F; f f
1 (B)
= B \ f (E), et f (E) = F car f est surjective,
= B \ F = B car: B
1 (B)
F:
= B:
pb: f est surjective?
Montrons que: 8y 2 F; 9x 2 E tel que f (x) = y:
1 (F )
Soit y 2 F ) y 2 f f
1 (F )
) 9x 2 f
d’après l’hypothèse car: F
F;
E tel que f (x) = y;
) f est surjective.
(4) f est bijective , 8A
E; f CEA
f (A)
= CF
:
" ) " hyp: f est bijective.
f (A)
pb: 8A
E; f CEA
= CF
Soit A
E; f CEA
= y 2 F=9x 2 CEA tel que f (x) = y ;
?
= fy 2 F=9x 2
= A tel que f (x) = yg
= fy 2 F=y 2
= f (A)gcar f est bijective donc 8y 2 F; 9!x 2 E tel que f (x) = y:
f (A)
= CF
:
" ( " hyp: 8A
E; f CEA
f (A)
= CF
:
129
pb: f est bijective?
f (;)
(a) Pour A = ; ) f CE;
= CF
f (;)=;
= CF
d’après l’hypothèse
) f (E) = F ) f est surjective.
(b) Pour l’injectivité: Supposons par l’absurde que f n’est pas injective.
Alors 9x1 ; x2 2 E tels que: x1 6= x2 et f (x1 ) = f (x2 ) ) f fx1 g = f fx2 g :
Ce qui implique que:
f fx1 g
(i) f (x2 ) 2
= CF
(ii) x2 2
(i) et (ii)
. D’autre part on a:
fx g
CE 1 car x1
f fx g
) CF 1 6= f
fx1 g
6= x2 ) f (x2 ) 2 f CE
fx g
CE 1
:
contradiction avec 8A
E; f CEA
f (A)
= CF
:
) f est injective.
Conclusion: f est bijective.
Exercice 16: Soit E un ensemble non vide et f une application de E ! E.
Pour toute partie A non vide de E, on pose: B = A \ f A où: A est le complémentaire de
A dans E:
(1) On suppose que f est injective.
(a) Montrons que f ne possède pas de point …xe dans B (un élément x est un point …xe de
f si f (x) = x).
Supposons par l’absurde que f possède un point …xe dans B ) 9 2 B tel que: f ( ) = :
)
2 A et
)x=
)
2f A )
2 A et 9x 2 A=f (x) = ;
car f est injective,
2 A et
2 A d’où la contradiction.
(b) Montrons que si A
f (A) alors B = ;:
Par contraposé si B 6= ; ) 9 2 B )
)
2 A et
2 A et 9x 2 A=f (x) = ;
130
2f A ;
)
2 A et 9x 2
= A=f (x) = ;
)
2 A et
)A6
2
= f (A) car f est injective,
f (A) :
(2) On donne E = Z:
(a) On suppose f (n) = 2n; 8n 2 Z et que A = Im f . Déterminons B:
A = 2Z ) A = 2Z + 1 ) f A = 4Z + 2 ) B = 4Z + 2:
(b) On suppose f (n) = 2n + 1; 8n 2 Z et que A = 2Z. Déterminons B:
A = 2Z ) A = 2Z + 1 ) f A = 4Z + 3 ) B = ;:
Exercice 17: On dé…nit dans E la relation < par:
8A; B 2 E; A<B , 9f : A ! B une fonction bijective.
Cette relation est-elle une relation d’équivalence?
(1) Il su¢ t de prendre l’application identité de A vers A alors:
9f = id : A ! A qui est une fonction bijective
Alors:8A 2 E; A<A ce qui implique que: < est re‡exive:
(2) Si A<B , 9f : A ! B une fonction bijective,
) 9f
1
: B ! A une fonction bijective,
) B<A alors < est symétrique:
(3) Pour A; B et C 2 E;si A<B et B<C
, 9f : A ! B une fonction bijective et 9g : B ! C une fonction bijective,
) 9h = g f : A ! C une fonction bijective car:
Si f injective alors g f injectiveet si g est surjective alors g f surjective.
Donc g f est bijective de A vers C ) A<C, d’où: < est transitive:
Conclusion: < est une relation d’équivalence car elle est re‡exive, symétrique et transitive.
131
Chapitre 5
Fonctions numériques d’une variable
réelle.
5.1
5.1.1
Dé…nitions et propriétés
Dé…nition d’une fonction
Dé…nition 5.1 On appelle fonction numérique réelle, sur un ensemble E
R, toute ap-
plication de E dans R, et on la note:
f
:
E!R
x ! f (x) :
On note l’ensemble de ces fonctions par F (E; R) où E s’appelle l’ensemble de départ.
Exemple 5.1 Soit la fonction dé…nie par:
f
:
R+ ! R
p
x ! f (x) = x:
132
5.2
Ensemble de dé…nition
Dé…nition 5.2 L’ensemble de dé…nition d’une fonction est les élément de l’ensemble de départ
qui ont des images ou dire que la fonction à un sens ou elle est bien dé…nie qu’on le note par
Df .
Exemple 5.2 (1)
f (x) =
1
; Df = fx 2 R=x 6= 0g = R :
x
(2)
f (x) =
p
x; Df = fx 2 R=x
0g = R+ :
(3)
f (x) = ln x; Df = fx 2 R=x > 0g = R+ :
(4)
f (x) = cos x; Df = R:
(5)
f (x) = ex ; Df = R:
Égalité de deux fonctions
Deux fonctions f et g dé…nies de E
R dans R sont égales si f (x) = g (x) pour tout x élément
de E.
Propriétés
(1) Pour chaques deux fonctions f et g dé…nies de E
R dans R alors on a:
8x 2 E; (f + g) (x) = f (x) + g (x) :
(2) Soit la fonction f dé…nie de E
R dans R et soit
2 R alors on a:
8x 2 E; 8 2 R; ( f ) (x) = f (x) :
133
5.3
Composition des fonctions
proposition 5.1 Soient f et g deux fonctions dé…nies par:
f : Df ! R
et g : Dg ! R
x 7! f (x)
x 7! g (x) ;
le composé de la fonction f sur g existe si et seulement si on a la condition suivante:
g (Dg )
Df ;
et on a:
f
g (x) = f [g (x)] ;
sachant que le composé n’est pas commutative c’est-à-dire:
f
g (x) 6= g f (x) :
Exemple 5.3
f : R+ ! R+
x 7! f (x) =
p
et g : R+ ! R
x
x 7! g (x) = ln x;
donc:
g f
:
R+ ! R
p
x 7! g f (x) = g [f (x)] = ln x;
mais:
f
g n’existe pas car il existe des valeurs où ln x < 0 donc
134
p
ln x n’existe pas.
5.4
Fonctions périodiques
Dé…nition 5.3 Une fonction f est dite périodique dans E de période T si et seulement si:
9T > 0; 8x 2 E; f (x + T ) = f (x) :
Exemple 5.4 (1) La fonction f (x) = cos x est une fonction périodique de période 2 :
(2) La fonction f (x) = tan x est
5.5
5.5.1
périodique.
La parité d’une fonction
Fonction paire
Dé…nition 5.4 Soit f une fonction dé…nie de Df vers R, alors f est une fonction paire si et
seulement si on a:
8x 2 Df ; f ( x) = f (x) :
Exemples 5.1
f1 : R ! R
f2 : R ! R
x 7! f1 (x) = x2
5.5.2
x 7! f2 (x) = jxj
f3 : R ! R
x 7! f3 (x) = cos x:
Fonction impaire
Dé…nition 5.5 Soit f une fonction dé…nie de Df vers R, alors f est une fonction impaire si
et seulement si on a:
8x 2 Df ; f ( x) =
f (x) :
Exemples 5.2
g1 : R ! R
x 7! g1 (x) =
g2 : R ! R
1
x
x 7! g2 (x) = x3
g3 : R ! R
x 7! g3 (x) = sin x:
Remarque 5.1 Les fonctions paires admets des graphes symétriques par rapport à l’axe (yy 0 ):
Les fonctions impaires admets des graphes symétriques par rapport à l’origine:
135
5.6
5.6.1
Fonction majorée, minorée et bornée
Fonction majorée
Dé…nition 5.6 Une fonction f est dite majorée dans E s’il existe une constante M 2 R qui
véri…e:
8x 2 E; f (x)
M:
Exemple 5.5 La fonction:
f
[1; +1[ ! R
1
x ! f (x) = est majorée par 1.
x
5.6.2
:
Fonction minorée
Dé…nition 5.7 Une fonction f est dite minorée dans E s’il existe une constante m 2 R qui
véri…e:
8x 2 E; m
f (x) :
Exemple 5.6 La fonction:
f
]0; 1] ! R
1
x ! f (x) = est minoée par 1.
x
5.6.3
:
Fonction bornée
Dé…nition 5.8 Une fonction f est dite bornée dans E si elle est majorée et minorée à la fois.
Exemple 5.7 La fonction:
f
:
R!R
x ! f (x) = sin x est minoée par
136
1 et majorée par 1.
5.7
La monotonie d’une fonction ou sens de variations d’une
fonction (croissance-décroissance et constante)
L’étude de la monotonie d’une fonction est de dire si elle est croissante ou décroissante dans un
ensemble E:
5.7.1
La croissance
Dé…nition 5.9 Une fonction f est dite croissante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1
x2 ) f (x1 )
f (x2 ) :
et elle est strictement croissante si:
8x1 ; x2 2 E; x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ) :
Exemple 5.8 La fonction:
f
R+ ! R
p
x ! f (x) = x est strictement croissante sur R+ :
5.7.2
:
La décroissance
Dé…nition 5.10 Une fonction f est dite décroissante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1
x2 ) f (x1 )
f (x2 ) ;
et elle est strictement décroissante si:
8x1 ; x2 2 E; x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) :
137
Exemple 5.9 La fonction:
f
:
R !R
x ! f (x) = x2 est strictement décroissante sur R :
Dé…nition 5.11 Une fonction monotone (resp. strictement monotone) est une fonction
qui est ou bien croissante ou bien décroissante (resp. strictement croissante ou bien strictement
décroissante), mais surtout pas les deux car si une fonction dans un ensemble E est croissante
et à la fois décroissante alors la répense est ni croissante ni décroissante.
5.7.3
Fonction constante
Dé…nition 5.12 Une fonction f est dite constante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1 ) = f (x2 ) :
Exemple 5.10
f
:
R !R
x ! f (x) = 1 est fonction constante sur R:
5.8
Limite et continuité
Théorème 5.1 La limite d’une fonction f en un point x0 si elle existe alors elle est unique et
elle est égale à la limite à droite et la limite à gauche, et on écrit:
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = l;
x!x0
x!x+
0
x!x0
ou:
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = l;
x!x0
>
<
x!x0
x!x0
138
5.8.1
Opéraions sur les limites
lim f (x)
l1 2 R
l2R
l2R
+1
+1
1
0
lim g (x)
l2 2 R
+1
1
+1
1
1
+1
lim f + g
(l1 l2 ) 2 R
+1
1
+1
F-I
1
lim f
(l1 l2 ) 2 R
1
1
+1
1
F-I
F-I
g
(x)
l1
lim fg(x)
0
0
l2 2 R; l2 6= 0
F-I: désigne une forme indéterminée.
0
0
0
1
l2R
0
+1
1
l
0
+1
F-I
F-I
0
0
F-I
0
0
0
F-I
Théorème 5.2 Si on a f (x) est une fonction bornée et lim g (x) = 0, alors:
x!x0
lim f (x)
g (x) = 0:
x!x0
Exemple 5.11
lim x2
cos
x!0
5.8.2
1
= 0 car: lim x2 = 0 et
x!0
x
1
cos
1
x
1:
Continuité
Dé…nition 5.13 Soit f une fonction dé…nie en un point x0 de E. On dit que f est continue
en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche de x0 c’est-à-dire:
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) :
x!x0
>
<
x!x0
x!x0
Exemple 5.12
f
:
R!R
x ! f (x) =
alors puisque :
lim
x!0
8
<
sin x
x
si x 6= 0
: 1 si x = 0:
sin x
= 1 = f (0) alors f est continue en 0:
x
et elle est continue dans R; car si x 6= 0 la fonction
fonctions continues sur R .
139
sin x
x
= (sin x)
1
x
qui est le produit de deux
5.8.3
Propriétés des fonctions continues
(1) Soient f et g deux fonctions continues sur I
a) f + g est continue sur I
b)
f est continue sur I
R avec
2 R alors:
R:
R:
c) f
g est continue sur I
R:
d) f
g est continue sur I
R:
De plus toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a; b] véri…e les propriétés
suivantes:
(1) Atteint son minimum m = inf f (x)et son maximum M = max f (x) pour x 2 [a; b].
(2) Elle est bornée dans [a; b] :
(3) Atteint au moins une fois toute valeur strictement comprise entre m et M:
Exemple 5.13 La fonction:
f
:
[0; ] ! [ 1; 1]
x ! f (x) = cos x:
est une fonction continue,bornée avec inf f (x) =
toute les valeurs comprises entre
5.8.4
1 et max f (x) = 1, ainsi que cos x prend
1 et 1:
Lien entre les fonctions discontinues et les limites des suites
Théorème 5.3 Soient f une fonction dé…nie sur une partie E de R et a un point de E: Alors
si la fonction f admet une limite
en un point a alors elle est unique de plus pour toute suite
(xn )n2N telle que:
lim xn = a;
n!+1
on trouve:
lim f (xn ) = :
n!+1
140
Par contre si on peut trouver deux suites (xn )n2N et (yn )n2N telles que:
lim xn = lim yn = a;
n!+1
n!+1
avec:
lim f (xn ) 6= lim f (yn )
n!+1
n!+1
alors la fonction n’admet pas une limite au point a et elle est dite discontinue en a.
Exemple 5.14 Soit f la fonction de R dans Z dé…nie par: f (x) = E [x] où E [x] désigne la
partie entière de x (E [x] = maxy; avec y
x). Montrons que f n’est pas continue en tout
y2Z
point de Z:
Soit a 2 Z, et considérons les deux suites (xn )n et (yn )n2N dé…nies par:xn = a
1
n
et yn =
a + n1 :On a:
lim xn
n!+1
=
)
lim yn = a avec f (xn ) = [xn ] = a
n!+1
1 et f (yn ) = [yn ] = a;
lim f (xn ) 6= lim f (yn ) :
n!+1
n!+1
donc f est discontinue en a 2 Z:
5.8.5
Fonction continue sur un intervalle
On dit qu’une fonction dé…nie sur I
R est continue sur I si elle est continue en chaque point
de I:
Exemples 5.3 (1)
f (x) = ex est continue sur R:
(2)
f (x) = ln x est continue sur R+ :
(3)
f (x) = cos x est continue sur R:
141
5.9
Théorème des valeurs intermédiares
Le théorème des valeurs intermédiares est un outil pour résoudre les équations de type:
f (x) = 0 (les point d’intersection du graphe avec l’axe xx0 ):
Théorème 5.4 (des valeurs intermédiares) Soit f une fonction continue dans un intervalle [a; b] avec a; b 2 R, telle que:
f (a)
f (b) < 0;
c’est-à-dire f (a) et f (b) ont deux signes opposés. Alors il existe une constante
2 ]a; b[ tel
que:
f ( ) = 0:
Explication géométrique du théorème: Si on a une fonction continue dans un intervalle
[a; b] avec l’un des deux images f (a) et f (b) se trouve au-dessus de l’axe des x et l’autre
au-dessous de l’axe des x alors pour tracer une courbe continue de f (a) vers f (b), cette
courbe doit au moins couper l’axe des x en un point
Exemple 5.15 Soit f : R ! R dé…nie par: f (x) = cos
2 ]a; b[, ce qui a¢ rme que f ( ) = 0:
p
x: Montrons que l’équation: f (x) = 0
admet une solution dans ]0; 10[. En e¤ et, la valeur qui est prés de 10 tel que sont cosinus est
connu est:
2,
alors f est continue (composé de deux fonctions continues) et on a: f
2
et f (0) = 1 ) f
constante
2 0;
2
=
1
f (0) < 0. D’après le théorème des valeurs intermédiares, il existe une
]0; 10[ tel que:
f ( ) = cos
Remarque 5.2 On a la même chose si a =
f (a)
p
= 0:
1 ou b = +1 sauf au lieu d’écrire:
f (b) < 0;
on écrie:
lim f (x)
x! 1
2
lim f (x) < 0 ou bien
x!+1
142
lim f (x)
x! 1
f (b) < 0;
ou bien:
f (a)
lim f (x) < 0;
x!+1
par suite on trouve le même résultat.
Exemple 5.16 Montrons que l’équation:
x3 + 2x2
5x + 3 = 0;
admet au moins une solution, en e¤ et on pose:
f (x) = x3 + 2x2
5x + 3;
qui un polynôme continue sur R de plus:
lim f (x)
x! 1
lim f (x) = ( 1) (+1) < 0;
x!+1
alors d’après le théorème des valeurs intermédiares, il existe une constante
2 R tel que:
f ( ) = 0:
Remarque 5.3 Si on a les conditions du théorème des valeurs intermédiares avec la monotonie
stricte de la fonction alors la constante
5.10
est unique.
Le prolongement par continuité
Supposons que f est une fonction dé…nie dans R fag : Alors comme question peut-on prolonger
par continuité la fonction f sur R? C’est à dire; existe elle une autre fonction qui dépend de
la fonction f et qui est dé…nie sur R?(cela signi…e le prolongement du domaine de dé…nition et
qui rend la fonction continue). Pour répondre à cette question on suit les démarches suivantes:
1ère étape: On calcul la limite de la fonction f au point a, par suite on a l’un des cas suivants:
143
1er cas: La limite est égale à l’in…ni, c’est-à-dire:
lim f (x) =
x!a
1 ou bien lim f (x) = +1:
x!a
Dans ce cas on dit que le prolongement par continuété n’existe pas au point a.
Exemple 5.17 f : R
f0g ! R avec f (x) = x1 , on a:
lim f (x) =
x!0
1 et lim f (x) = +1;
x!0+
le prolongement par continuité n’existe pas au point 0.
2ème cas: La limite à gauche de a est di¤érente de la limite à droite de a, c’est-à-dire:
lim f (x) 6= lim f (x) :
x!a+
x!a
La même chose on dit que le prolongement par continuité n’existe pas au point a.
8
< x ln x si x > 0
Exemple 1 f : R f0g ! R avec f (x) =
: sin x si x < 0
x
lim f (x) = lim
x!0
x!0
sin x
= 1 6=
x
lim f (x) = lim x ln x = 0 (0 6= 1) ;
x!0+
x!0+
ce qui donne que le prolongement par continuité n’existe pas au point 0.
3ème cas: Dans le calcul de la limite au point a on trouve deux limite ou plus, ce qui a¢ rme
que le prolongement par continuité n’existe pas au point a.
Exemple 5.18 f : R
f0g ! R avec f (x) = cos
1
x
. La fonction cosinus est périodique et
cos (1) n’existe pas, si on pose dans l’exemple:
xn =
mais
1 = lim f (xn )
n!+1
6=
1
2n
et yn =
lim
n!+1
1
2n +
f (yn ) =
alors
lim xn = lim
n!+1
n!+1
yn = 0;
1
alors la limite n’existe pas car les deux limites sont di¤ érentes, donc le prolongement par continuité n’existe pas au point 0.
144
4ème cas: On trouve une limite constante unique:
lim f (x) = lim f (x) =
x!a+
x!a
(une constante unique):
Alors le prolongement par continuité existe.
2ème étape: Dans les trois premier cas le prolongement par continuité n’existe pas et là on
termine la question. Mais dans le dernier cas le prolongement par continuité est de la
forme:
F
:
R
8! R
< f (x) si x 6= a
x !
7
:
si x = a:
Alors dans ce cas la fonction F est dé…nie dans R et elle est continue.
Exemple 5.19 f : R
f0g ! R avec f (x) =
lim
x!0
sin x
x
sin x
= 1;
x
alors le prolongement par continuité de la fonction f existe et il est de la forme:
F
5.10.1
:
R
8! R
< sin x si x 6= 0
x
x 7!
:
: 1 si x = 0
Fonctions monotones continues
proposition 5.2 Si f est une fonction continue strictement monotone dans un intervalle I
R, alors f est bijective.
Exemple 5.20
f
:
R+ ! R
x 7! ln x:
145
5.11
Dérivation d’une fonction réelle
5.11.1
Dé…nition de la dérivée
Dé…nition 5.14 Soient I un intervalle de R, x0 un point de I, et une fonction f : I ! R
continue en x0 : On dit que f est dérivable en x0 , s’il existe un nombre réel unique
lim
>
x!x0
f (x)
x
f (x)
f (x0 )
= lim
<
x0
x
x!x0
f (x0 )
f (x)
= lim
x!x0
x0
x
tel que:
f (x0 )
= ;
x0
est appelé la dérivée de f au point x0 est noté f 0 (x0 ) :D’autre part si on pose: x
x0 = h
alors on a:
f (x0 + h)
>
h
h!0
lim
f (x0 )
f (x0 + h)
<
h
h!0
= lim
f (x0 )
f (x0 + h)
h!0
h
= lim
f (x0 )
= :
De plus si on a:
lim
>
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
=
x0
1
2 R;
2
2 R;
on dit que f est dérivable à droite de x0 et si on a:
lim
<
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
=
x0
on dit que f est dérivable à gauche de x0 :
La fonction est dérivable dans tout l’intervalle I quand elle est dérivable en tout point x0 de I:
Exemple 5.21 Trouver la dérivée de f (x) = sin x en utilisant la dé…nition de la dérivée. En
un point x0 :
f (x0 )
sin x
= lim
x!x0
x0
x
x x0
x+x0
cos 2
2
=
x!x0
x x0
x x0
sin 2
x + x0
= lim
cos
x x0
x!x0
2
2
f 0 (x0 ) =
f (x)
x
sin
lim 2
lim
x!x0
= cos x0 , car: lim
x!x0
146
sin
x x0
2
x x0
2
= 1;
sin x0
x0
alors 8x 2 R; (sin x)0 = cos x:
Proposition 2 Si f n’est pas continue en un point x0 , alors elle n’est pas dérivable en ce point.
5.11.2
Lien entre la dérivée et la monotonie
Proposition 3 Si f est une fonction qui est dérivable dans un intervalle I alors on a les cas
suivants:
(1) 8x 2 I; f 0 (x)
0, alors f est une fonction croissante.
(2) 8x 2 I; f 0 (x) > 0, alors f est une fonction strictement croissante.
(3) 8x 2 I; f 0 (x)
0, alors f est une fonction décroissante.
(4) 8x 2 I; f 0 (x) < 0, alors f est une fonction strictement décroissante.
(5) 8x 2 I; f 0 (x) = 0, alors f est une fonction constante.
5.11.3
Quelques propriétés sur les fonctions dérivables
Proposition 4 Etant donnés un intervalle I et deux fonctions f : I ! R et g : I ! R
dérivables en un point x0 de I, alors:
(1) f + g est dérivable en x0 et (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) :
(2) a
f est dérivable en x0 et (a
f )0 (x0 ) = a
(3) f
g est dérivable en x0 et (f
g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )
(4) Si g (x0 ) 6= 0; donc
5.11.4
f
g
est dérivable en x0 et
f 0 (x0 ) ; 8a 2 R:
f
g
0
g (x0 ) + f (x0 )
(x0 ) =
g 0 (x0 ) :
[f 0 (x0 ) g(x0 )] [f (x0 ) g 0 (x0 )]
:
(g(x0 ))2
Dérivée d’une fonction composée
Proposition 5 Soient f : I ! J et g : J ! R et x0 un point de I:
Si la fonction f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f (x0 ) alors g
x0 et on a:
(g f )0 (x0 ) = f 0 (x0 )
g 0 (f (x0 )) :
Exemple 5.22
[sin (f (x))]0 = f 0 (x)
147
cos (f (x)) :
f est dérivable en
5.11.5
Dérivées d’ordre supérieure
On note les dérivées d’ordre supérieure d’une fonction f qui est dérivable dans I un intervalle
de R par: f
(n)
: I ! R véri…ant:
i) f (0) = f:
0
ii) f (k+1) = f (k) , pour tout k = 0; 1; :::; n
1:
Pour calculer les dérivée d’ordre supérieure, on calcul les première dérivée et à partir de ces
calculs on s’inspire pour trouver une relation plus générale qu’on peut utiliser le raisonnement
par récurrence pour la démontrer.
Exemple 5.23 Calculer les dérivée d’ordre n des deux fonctions:
(1)f (x) = cos x:
f 0 (x)
00
(x) = cos x; f (3) (x) = sin x et f (4) (x) = cos x;
8
>
cos x si n = 4k; k 2 N
>
>
>
>
>
< sin x si n = 4k + 1; k 2 N
(n)
) f (x) =
:
= cos x + n
>
2
>
cos
x
si
n
=
4k
+
2;
k
2
N
>
>
>
>
: sin x si n = 4k + 3; k 2 N
=
sin x; f
car le calcul devient périodique.
(2)g (x) =
g 0 (x) =
1
(1
2;
x)
1
1
x
:
1 2
1 2 3
(3)
(x) =
;
3;g
(1 x)
(1 x)4
g 00 (x) =
ce qui a¢ rme que la forme générale de la dérivée d’ordre n est:
f (n) (x) =
n!
:
(1 x)n+1
par récurrence, pour n = 1 est vraie d’après le premier calcul, on suppose que la relation est
148
vaie pour un n …xé et on démontre qu’elle est vraie pour n + 1, en e¤ et:
h
i0
f (n+1) (x) = f (n) (x) =
(n + 1) ( 1) (1
(1
x)n+1
x)n n!
2
=
(n + 1)!
;
(1 x)n+2
ce qui donne que la relation est vraie pour (n + 1) : Conclusion:
8n 2 N; f (n) (x) =
5.12
n!
:
(1 x)n+1
Exercice:
Exercice 01: Calculer les limites suivantes:
p
1
ln 1 + x2
ln x 2) lim x e x 3) lim (ln (sin x) ln x)
x!+1 2
x!+1
x!0+
x
x
1
cos x cos a
sin nx
5) lim
6) lim
4) lim n
+
x!a
x!0 sin mx
x
x a
x!0
p
p
p
p
p
x
a+ x a
1 + xn
1 xm
p
7) lim
8)m; n 2 N étudier lim
n
x!+1
x!0
x
x2 a2
1) lim
Exercice 02 :
Trouver le domaine de dé…nition des fonctions suivantes: f (x) =
p
ln (4x + 3) ; h (x) = x2 2x 5
Exercice 03: Soient:h (x) =
p
x2 + 1;
(1) Montrer que:h (x) >
g (x) = ln (x + h (x)) ; f (x) =
q
2+3x
5 2x ;
g (x)
x :
x 8x 2 R, en déduire Df :
(2) Calculer g (x) + g ( x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.
(3) Véri…er que:
p
p
x2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x + x x2 + 1:
Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
ln(1+x)
si
x
x 6= 0 et f (0) = 1
Montrer que f est continue en 0.
Exercice05: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
149
cos x 1
si
x
x 6= 0 et f (0) = 0
g (x) =
Montrer que f est continue en 0.
Exercice06: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) = x
[x] ; [] est la partie entière.
Montrer que f est discontinue en tout point de Z.
Exercice 07:
Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:
1
f (x) = sin x sin ;
x
g (x) =
1
1
2
x
1
1
; h (x) = ln
2
x
x
Exercice 08: Soit f : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: f (x) =
1
x
ex + e
2
x
ln x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution?
Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2 ] ! R une fonction dé…nie par: f (x) =e
x sin x
x cos x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2 [?
Exercice 10: En utilisant la dé…nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0 de f dans les cas suivants
(préciser sur quel ensemble f est dérivable):
a)f (x) =
2
(x
3)2
b) (supp) g (x) =
p
1 + x2 c)h (x) = sin 2x:
Exercice 11: Démontrer qu’entre deux racines réelles de ex sin x = 1, il existe au moins une racine réelle
de ex cos x =
1:
Exercice 12: Calculer en utilisant la règle de l’hôpital les limites suivantes:
e2x 1
1 + cos x
ln (cos 3x)
; lim 2
; lim
x!0
x!1 x
x
2x + 1 x!0 ln (cos 2x)
lim
Exercice 13: Soit la fonction :
8
< x2 log jx j si x 6= 0
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
150
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
Exercice 14:
Soit la fonction :
8
< x sin 1 si x 6= 0
x
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
(3) Les mêmes questions pour la fonction:
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! g (x) =
:
0 si x = 0
Exercice 15: Soient:
f
:
R!R
et
x 7! sin x5
g :R ! R
p
x 7! sin 5 x
Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l’est pas .
Exercice 16: Déterminer f
f (x) =
(n) (x)
dans les cas suivants: a) f (x) = cos x; b) f (x) = sin x; c)(supp)
1
1 x:
Exercice 17: (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:
f (x) = x
p
x2 2x + 1
si x 6= 1 , f (1) = 1
x 1
(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé…nie sur R+ par:
f (x) =
p
x si 0
x
1 , f (x) = ax2 + bx + 1 si non
151
soit dérivable sur R+ :
Exercice18:
(1) Montrer que:
8x
x2
2
0; x
log (1 + x)
x2 x3
+
2
3
x
(on ne calculera qu’une seule dérivée pour chaque inégalité).
(2) En déduire que :
log (1 + x)
= 1:
x !0
x
lim
5.13
Solutions des exercices:
Exercice 01: Calculer les limites suivantes:
1)
1
1) lim
ln 1 + x2
x!+1 2
2) lim x e
p
x
x!+1
!
(1 + x2 )
ln x =
lim ln
x!+1
x
0 q
1
s
!
1
x
+
1
2
1
x
A = lim ln
=
lim ln @
+1
= 0:
x!+1
x!+1
x
x2
p
= lim e
x!+1
3) lim (ln (sin x)
x!0+
4) lim n
x!0
ln x
e
p
x
= lim e
ln x
x!+1
ln x) = lim ln
x!0+
sin nx
nx
= lim n
x!0 mx
sin mx
sin nx
nx
sin mx
mx
152
x
p
= lim e
x
2
p
ln x
p
x
1
x!+1
sin x
x
=
p
= 0 car: lim
x!0+
sin x
x
= 1:
n2
sin y
car:
! 0 qd: y ! 0:
m
y
= 0:
5) lim
xx
x!0+
1
x
car
=
:
ex ln x 1 ln x
ex ln x 1
= lim
= lim ln x = 1
x
x ln x
x!0+
x!0+
x!0+
ex ln x 1
(ey 1)
lim
= lim
= e0 = 1 par dé…nition de la dérivée.
+
y!0
x
ln
x
y
x!0
lim
6) lim
x!a
7)
cos x
x
p
lim
x!+1
x
cos a
=
a
sin a par dé…nition de la dérivée.
p
p
a+ x
p
x2 a2
a
=
8) lim
p
1 + xn
1
xm
=
xn
x!0
=
=
Exercice 02 :
lim
p
lim
x!0
8
>
>
>
<
>
>
>
:
p
1
xm
xn
xn
1
2
p
1
p
1
a
x
a2
x2
x!+1
1 + xn
x!0
q
+
1
lim p = 0:
x
=
p
p
pa
x
p 1
x
lim
x!+1 x
xm
p
1 + xn + 1
p
p
1 + xn + 1
p
p
1 + xn + 1
xn
xm
xm
xm
1 xm n
p
= lim p
x!0
1 + xn + 1
si m > n
:
0 si m = n
1 si m < n
Trouver le domaine de dé…nition des fonctions suivantes:
f (x) =
Df =
x 2 R=
r
2 + 3x
5 2x
2 + 3x
:
5 2x
0 et 5
2x 6= 0 ;
alors:
2 + 3x
5 2x
0 , [2 + 3x
, [x
0 et 5
2x > 0] ou [2 + 3x
2
5
et x < ] ou [x
3
2
2
5
et x > ] , x 2
3
2
(2) g (x) = ln (4x + 3) :
153
0 et 5
2x < 0]
2 5
;
:
3 2
xm
3
; +1 :
4
Dg = fx 2 R=4x + 3 > 0g , x 2
(3) h (x) =
Dh = x 2 R=x2
Exercice 03: Soient: h (x) =
p
x2 + 1;
(1) Montrons que: h (x) >
2x
5
p
x2
0 ,x2
2x
i
5:
1; 1
h
p i h
p
6 [ 1 + 6; +1 :
g (x) = ln (x + h (x)) et f (x) =
g (x)
x :
x 8x 2 R, en déduire Df :
Soit x 2 R;
h (x) + x =
p
x2 + 1 + x > 0 si x
0;
et
h (x) + x = p
x2
1
+1
x
> 0 si x < 0:
Alors:
8x 2 R; h (x) + x > 0 ) Df = R :
(2) Calculons g (x) + g ( x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.
g (x) + g ( x) = ln (x + h (x)) + ln ( x + h ( x))
h p
i
p
= ln
x2 + 1 + x
x2 + 1 x = ln 1 = 0;
)
g (x) =
(3) Véri…ons que:
p
p
g ( x) ) g est impaire.
p
x2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x + x x2 + 1:
p
x2 + 1h0 (x) + xh (x)
p
p
p
2x
=
x2 + 1 p
+ x x2 + 1 = x + x x2 + 1:
2 x2 + 1
x2 + 1h0 (x) + xh (x) =
Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
154
ln(1+x)
si
x
x 6= 0 et f (0) = 1
Montrons que f est continue en 0.
ln (1 + x) ln (1 + 0)
ln (1 + x)
= lim
x!0
x
x 0
1
ln (1 + x)
1
=
car la dérivée de
est
1+0
x
1+x
= 1 = f (0) ) f est continue en 0:
lim f (x) =
x!0
lim
x!0
Exercice05: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
cos x 1
si
x
x 6= 0 et f (0) = 0
Montrer que f est continue en 0.
lim f (x) =
x!0
cos x 1
cos x cos 0
= lim
x!0
x
x 0
sin 0 car la dérivée de cos x est sin x
lim
x!0
=
= 0 = f (0) ) f est continue en 0:
Exercice06: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) = x
Par dé…nition: [x] = max
avec
x et
[x] ; [] est la partie entière.
2 Z:
Montrer que f est discontinue en tout point de Z.
Théorème: Si
lim f (x)
x!x0
=
avec:
est une constante unique
) 8Xn une suite avec xn ! x0 qd n ! +1
alors
lim
n!+1
f (xn )
=
Pour notre problème soit x0 2 Z, on f (x0 ) = x0
Mais si on pose: xn = x0
1
n
[x0 ] = 0
qui ont des valeurs à gauche de x0 ) [xn ] = x0
1
et on a:
lim
n!+1
f (xn )
1
x0
n!+1
n!+1
n
) f est discontinue en tout point de Z:
=
lim xn
[xn ] = lim x0
155
1 = 1 6= f (x0 )
Exercice 07:
Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:
1
f (x) = sin x sin ;
x
g (x) =
1
1
2
x
1
ex + e
2
1
; h (x) = ln
x2
x
x
1) f : R ! R et f (x) = sin x sin x1
lim f (x) = lim sin x sin
x!0
x!0
1
= 0 car lim sin x = 0 et
x!0
x
1
sin
1
x
1
Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:
F
2) g : R
R!R 8
< sin x sin 1 si x 6= 0
x
x 7! F (x) =
:
0 si x = 0
f1; 1g ! R
:
lim g (x) = lim
x! 1
1
x! 1
1
2
x
x2
1
=
1
Alors le prolongement par continuité n’existe pas.
3) h : R ! R
ex + e
2
1
lim h (x) = lim ln
x!0
x!0 x
=
e0
e
2
ex +e
2
ln
x
= lim
x
x
x!0
0
= 0 car:
ex + e
2
0
x
e0 +e
2
ln
=
0
ex
e
2
Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:
H
:
R!R 8
<
x !
7
H (x) =
:
1
x
ln
ex +e
2
x
0 si x = 0
Exercice 08: Soit f : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: f (x) =
156
si x 6= 0
1
x
ln x:
x
0
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution?
lim f (x) = lim
x!0
x!0
1
(1
x
x ln x) = +1 et
lim
x!+1
f (x) =
1
Alors la fonction f est continue dans ]0; +1[ en plus:
h
i
lim f (x)
x!0
lim
x!+1
f (x) < 0
d’après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0; +1[ tel que: f (c) = 0:
Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2 ] ! R une fonction dé…nie par: f (x) =e
x sin x
x cos x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2 [?
On a: f ( ) =
et f (2 ) =
2 ; Alors la fonction f est continue dans [0; 2 ] en plus:
[f ( )] [ f (2 )] < 0
d’après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0; 2 [ tel que: f (c) = 0:
Exercice 10: En utilisant la dé…nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0 de f dans les cas suivants
(préciser sur quel ensemble f est dérivable):
a)f (x) =
2
(x
3)2
b) (supp) g (x) =
p
1 + x2 c)h (x) = sin 2x:
Par dé…nition:
f 0 (x0 ) = lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
f (x0 + h)
= lim
h!0
x0
h
En un point x0 on a:
157
f (x0 )
1)
f (x0 + h)
f (x0 ) = lim
h!0
h
0
=
=
Alors: 8x 2 R
lim 2
h
4
3)3
f3g on a : f 0 (x) =
= lim
2
(x0 +h 3)2
= lim 2
2
(x0 3)2
h
h!0
(x0 3)2 (x0 +h 3)2
(x0 +h 3)2 (x0 3)2
h!0
(x0
f (x0 )
2(x0 3)h+h2
(x0 +h 3)2 (x0 3)2
h!0
h
:
4
:
(x 3)3
2)
p
p
1 + x2
1 + x20
f (x) f (x0 )
= lim
f (x0 ) = lim
x!x0
x!x0
x x0
x x0
p
p
1 + x2
1 + x20
x2 x20
= lim
= lim
p
p
x!x0
x!x0
x x0
x x0
1 + x2 + 1 + x20
0
=
lim
x!x0
p
Alors: 8x 2 R on a : g 0 (x) =
x + x0
p
1 + x2 + 1 + x20
x0
=p
1 + x20
p x
:
1+x2
3)
sin 2x sin 2x0
f (x) f (x0 )
= lim
x!x
x x0
x x0
0
0
sin 2x 22x0 cos 2x+2x
2
= lim 2
x!x0
x x0
sin (x x0 )
= lim 2
cos (x + x0 )
x!x0
x x0
sin (x x0 )
= 2 cos 2x0 , car: lim
=1
x!x0
x x0
f 0 (x0 ) =
lim
x!x0
Alors: 8x 2 R on a : h 0 (x) = 2 cos 2x
Exercice 11: Démontrer qu’entre deux racines réelles de ex sin x = 1, il existe au moins une racine réelle
de ex cos x =
1:
ex sin x = 1 , sin x = e
x.
Alors si on pose: f (x) = sin x
et dérivable dans R.
158
e
x
la fonction est continue
Donc si on deux racines de f (x) ) f (a) = f (b) = 0, d’aprés le théorème de Rolle,
9c 2 R telle que: f 0 (c) = 0 ) cos c + e
c
= 0 ) cos c =
e
c
) ec cos c =
1 d’où
l’existence de la racine.
Exercice 12: Calculons en utilisant la règle de l’hôpital les limites suivantes:
e2x 1
1 + cos x
ln (cos 3x)
; lim 2
; lim
x!0
x!1
x!0
x
x
2x + 1
ln (cos 2x)
lim
e2x 1
2e2x
1 + cos x
sin x
= lim
= 2; lim 2
= lim
= lim
x!0
x!0
x!1
x!1
x!1
x
1
x
2x + 1
2x 2
lim
ln (cos 3x)
= lim
x!0 ln (cos 2x)
x!0
lim
3 sin 3x
cos 3x
2 sin 2x
cos 2x
=
3
lim
2 x!0
3x sin 3x
3x
2x sin 2x
2x
9
= :
4
Exercice 13: Soit la fonction :
8
< x2 log jx j si x 6= 0
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est de classe C 2 :
Pour x = 0 :
lim x2 log jx j = 0 = f (0)
x!0
Alors f est une fonction continue en 0.
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
Pour x = 0 :
lim
x!0
f (x)
x
f (0)
= lim x log jx j = 0
x!0
0
Alors la fonction est dérivable en 0.
159
2 cos
2
x
2
=
2
(3) La fonction f est-elle de classe C 1 ? de classe C 2 ? Justi…er.
8
< 2x log x + x si x > 0
= 2x log jx j + jx j si x 6= 0
f 0 (x) =
: 2x log x x si x < 0
lim f 0 (x) =
x!0
f (x)
x!0
x
lim 2x log jx j + jx j = 0 = lim
x!0
f (0)
:
0
Alors la première dérivée existe et elle est continue, donc f est de classe C
Pour la classe C 2 ?
f 0 (x)
x!0
x
f 0 (0)
jx j
= lim 2 log jx j +
=
x!0
0
x
lim
Ce qui implique que f n’est pas de classe C
Exercice 14:
2
1
dans R:
Soit la fonction :
8
< x sin 1 si x 6= 0
x
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est dérivable:
Pour x = 0 :
lim x sin
x!0
1
= 0 = f (0)
x
car:
1
sin
1
x
1 et lim x = 0 0
x!0
Alors f est une fonction continue en 0.
(2) :
Pour x = 0 :
f (x)
x!0
x
lim
f (0)
1
= lim sin n’existe pas.
x!0
0
x
Alors la fonction n’est pas dérivable en 0.
160
1
dans R:
(3) Les mêmes questions pour la fonction:
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! g (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction g sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est de classe C 2 :
Pour x = 0 :
lim x2 sin
x!0
1
= 0 = f (0)
x
car:
1
sin
1
x
1 et lim x2 =0
x!0
Alors g est une fonction continue en 0.
(2) :
Pour x = 0 :
f (x)
x!0
x
lim
1
f (0)
= lim x sin = 0.
x!0
0
x
car:
1
sin
1
x
1 et lim x =0
x!0
Alors la fonction est dérivable en 0.
b) g est-elle de classe C 1 ?
f 0 (x) = 2x sin
1
x
sin
1
) lim f 0 (x) n’existe pas
x!0
x
Donc g n’est pas de classe C 1 , alors elle n’est pas de classe C 2 :
Exercice 15: Soient:
f
:
R!R
et
x 7! sin x5
161
g :R ! R
p
x 7! sin 5 x
Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l’est pas .
sin x5
f (0)
= lim
lim x4
x!0
0
x x!0
f (x)
x!0
x
lim
sin x5
x5
=0
Alors f est dérivable en 0:
g (x)
lim
x!0
x
1
g (0)
sin x 5
= lim
lim x
x!0
0
x x!0
1
sin x 5
4
5
1
x5
!
= +1
Alors g n’est pas dérivable en 0:
(n) (x)
Exercice 16: Déterminer f
f (x) =
dans les cas suivants: a) f (x) = cos x; b) f (x) = sin x; c)(supp)
1
1 x:
a) f 0 (x)
(x) = cos x; f (3) (x) = sin x; f (4) (x) = cos x
8
>
cos x si n = 4k; k 2 N
>
>
>
>
>
< sin x si n = 4k + 1; k 2 N
) f (n) (x) =
:
= cos x + n
>
2
>
cos
x
si
n
=
4k
+
2;
k
2
N
>
>
>
>
: sin x si n = 4k + 3; k 2 N
b) f 0 (x)
(x) = sin x; f (3) (x) = cos x; f (4) (x) = sin x
8
>
sin x si n = 4k; k 2 N
>
>
>
>
>
< cos x si n = 4k + 1; k 2 N
) f (n) (x) =
:
= sin x + n
>
2
>
sin
x
si
n
=
4k
+
2;
k
2
N
>
>
>
>
: cos x si n = 4k + 3; k 2 N
=
=
00
sin x; f
cos x; f
c) f 0 (x) =
00
1
(1
2;
x)
f
00
(x) =
2
(1
3;
x)
f
Donc par récurrence on trouve:
f (n) (x) =
162
n!
:
(1 x)n+1
(3)
(x) =
2 3
;
(1 x)4
Exercice 17: (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:
f (x) = x
p
x2 2x + 1
si x 6= 1 , f (1) = 1
x 1
Si x 6= 1 alors la fonction est dérivable. Pour x = 1
f (x)
lim
x
x!1+
f (1)
1
=
=
x
lim
p
x2 2x+1
x 1
x
x!1+
lim
x!1+
1
1
x (x 1)
x 1
= lim
x
p
(x 1)2
x 1
x
x!1+
1
1
1
= +1
Alors f n’est pas dérivable au point 1.
(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé…nie sur R+ par:
f (x) =
p
x si 0
x
1 , f (x) = ax2 + bx + 1 si non
soit dérivable sur R+ : Le seul problème est le point 1
lim
x!1+
f (x)
x
f (1)
ax2 + bx + 1 a
= lim
1
x 1
x!1+
f (x)
lim
x
x!1
f (1)
= lim
1
x!1
b
1
= lim
x!1+
ax2 + bx a
x 1
b
= lim
(x
x!1+
p
x 1
1
1
= lim p
=
x 1
2
x
+
1
x!1
Alors pour que f soit dérivable au point 1, en particulier sur R+ : il su¢ t que: 2a + b = 21 :
Exercice18:
(1) Montrer que:
8x
0; x
x2
2
log (1 + x)
x
x2 x3
+
2
3
(on ne calculera qu’une seule dérivée pour chaque inégalité).
En e¤et si on pose:
f (x) = x
x2
2
log (1 + x) et g (x) = log (1 + x)
163
x+
x2
2
x3
3
1) (ax + b +
(x 1)
On trouve:
f 0 (x)
(1 + x) (1 x) 1
x2
1
=
=
0 si x 0
1+x
1+x
1+x
) f est une fonction décroissante ) f (x) f (0) = 0; 8x 0
=
1
x
et:
g 0 (x)
1 + (1 + x) 1 + x x2
1
x3
1 + x x2 =
=
1+x
1+x
1+x
) g est une fonction croissante ) g (x) g (0) = 0; 8x 0
=
Conclusion:
8x
0; x
x2
2
log (1 + x)
x2 x3
+
2
3
x
(2) En déduire que :
log (1 + x)
= 1:
x !0
x
lim
On a:
8x
0; x
) 8x
x2
2
0; 1
log (1 + x)
x
2
x
log (1 + x)
x
d’après la régle d’encadrement on trouve:
log (1 + x)
= 1:
x !0
x
lim
164
x2 x3
+
2
3
x x2
1
+
2
3
0
Chapitre 6
Fonctions réciproques
Dé…nition 6.1 Soit f : E ! F une fonction, alors si f est bijective alors la fonction réciproque
ou dite inverse existe qu’on la note par f
f
6.1
6.1.1
f
1
=f
1
1
et on a: f
1
: F ! E, sachant que:
f = Id (la fonction identité).
Propriétés de la fonction réciproque
La monotonie
proposition 6.1 Soit f : E ! F une fonction bijective, alors si f est strictement croissante
sur I
E alors f
Preuve:
1
à le même sens sur f (I)
F:
1er cas: Si f est strictement croissante, soient y1 = f (x1 ) ; y2 = f (x2 ) 2 f (I) avec
y1 < y2 , alors:
f (x1 )
<
f (x2 ) ) x1 < x2 car f est croissante
) f
1
(y1 ) < f
1
(y2 ) ) f
De même si f est strictement décroissante.
165
1
est croissante.
6.1.2
La continuité
proposition 6.2 Si f est une fonction strictement monotone et continue sur I alors f
1
à le
même sens de variation de f et elle est continue.
6.1.3
La dérivabilité
Proposition 6 Soient f : I ! J une fonction bijective, x0 un élément de I et y0 = f (x0 )
l’élément de J. Pour que f
1
est dérivable en y0 il faut et il su¢ t que:
f est dérivable en x0 ; f 0 (x0 ) non nul et f
f
1 0
(y0 ) =
1
est continue en y0 : Alors:
1
=
f 0 (x0 )
(f
0
1
:
f 1 ) (y0 )
Comme on peut changer les deux positions de y0 et x0 entre eux.
2; 2
Exemple 6.1 On note la fonction réciproque de sin x par arcsin x dé…nie sur
vers
[ 1; 1], alors la dérivée est:
(arcsin x)0 =
1
1
1
=p
=p
0 =
cos y
(sin y)
1
1 sin2 y
car sin (arcsin x) = x sur
2; 2
1
2
sin (arcsin x)
=p
1
1
x2
;
:
Remarque 6.1 Toujours on donne le résultat en fonction de la première variable de la fonction
réciproque donnée.
Remarque 6.2 Les deux graphes de la fonction et leures fonctions réciproques sont symétriques
par rapport à la première bisectrice ((4) : y = x).
6.2
6.2.1
Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques
La fonction arccos x
La fonction cos x : R ! [ 1; 1], n’est pas bijective car c’est une fonction 2
périodique, mais
le premier intervalle où on a les valeur de cos x dans [ 1; 1] est l’intervale [0; ] donc la fonction
166
restriction:
f
:
[0; ] ! [ 1; 1]
x 7! f (x) = cos x;
est une fonction bijective avec:
f
1
:
[ 1; 1] ! [0; ]
x 7! f
1
(x) = arccos x: (fonction inverse de cos x)
Sachant que:
1)8x 2 [ 1; 1] ; cos (arccos x) = x;
et
2)8x 2 [0; ] ; arccos (cos x) = x:
Exemples 6.1
1) cos arccos
2) arccos cos
3) arccos cos
5
4
1
2
1
:
2
=
=
2
2
= arccos cos
:
3
4
=
3
;
4
c’est-à-dire toujours rendre la valeur donnée à une valeur équivalente qui a le même cosinus
dans [0; ] :
Dérivée d’une fonction réciproque
(arccos x)0 =
De plus:
1
1
=p
0 =
sin y
(cos y)
1
1
cos2 y
(arccos (x))0 = q
La représentation graphique
167
=p
1
1
cos2 (arccos x)
g 0 (x)
1
[g (x)]2
:
=p
1
1
x2
:
6.3
La fonction arcsin x
La fonction sin x : R ! [ 1; 1], qui n’est pas bijective car c’est une fonction 2
mais le premier intervalle où on a les valeur de sin x dans [ 1; 1] est l’intervale
fonction restriction:
f
h
:
i
;
! [ 1; 1]
2 2
x 7! f (x) = sin x;
est une fonction bijective avec:
f
1
:
[ 1; 1] !
x 7! f
1
h
i
;
2 2
(x) = arcsin x: (fonction inverse de sin x)
Sachant que:
1)8x 2 [ 1; 1] ; sin (arcsin x) = x;
et
2)8x 2
h
;
2 2
i
; arcsin (sin x) = x:
168
périodique,
2; 2
donc la
Exemples 6.2
1
1
=
:
3
3
2) arcsin (sin 0) = 0:
1) sin arcsin
3) arcsin sin
3
4
= arcsin sin
=
4
4
;
c’est-à-dire toujours rendre la valeur donnée à une valeur équivalente qui a le même sinus dans
2; 2
:
La dérivée
(arcsin x)0 =
De plus:
1
1
1
1
=p
=p
0 =
cos y
(sin y)
1
1 sin2 y
Formule usuelle
(arcsin g (x))0 = q
2
sin (arcsin x)
g 0 (x)
1
:
2
[g (x)]
8x 2 [ 1; 1] ; arccos x + arcsin x =
La représentation graphique
169
2
:
=p
1
1
x2
:
6.4
La fonction arctan x
La fonction tan x : R
2
+ k ;k 2 Z
! R, qui n’est pas bijective car c’est une fonction
périodique, mais le premier intervalle où on a les valeur de tan x dans R est l’intervale
2; 2
donc la fonction restriction:
f
i
:
;
h
!R
2 2
x !
7
f (x) = tan x;
est une fonction bijective avec:
f
1
:
R!
x 7! f
1
i
h
;
2 2
(x) = arctan x: (fonction inverse de tan x)
Sachant que:
1)8x 2 R; tan (arctan x) = x;
et
2)8x 2
i
;
2 2
h
; arctan (tan x) = x:
170
Exemples 6.3
1) tan (arctan 5) = 5:
2) arctan (tan 0) = 0:
3) arctan tan
3
4
= arctan tan
=
4
4
;
c’est-à-dire toujours rendre la valeur donnée à une valeur équivalente qui a le même cosinus
dans
2; 2
:
La dérivée
(arctan x)0 =
1
1
1
1
=
=
:
0 =
2
2
1 + x2
1 + tan y
1 + tan arctan x
(tan y)
De plus:
(arctan g (x))0 =
Formule usuelle
8x 2 R ; arctan x + arctan
La représentation graphique
171
g 0 (x)
:
1 + [g (x)]2
8
<
1
=
x :
si x > 0;
2
2
si x < 0:
6.5
La fonction arccot x
La fonction cot x : R fk ; k 2 Zg ! R, n’est pas bijective car c’est une fonction
périodique,
mais le premier intervalle où on a les valeur de cot x dans R est l’intervale ]0; [ donc la fonction
restriction:
f
:
]0; [ ! R
x 7! f (x) = cot x;
est une fonction bijective avec:
f
1
:
R ! ]0; [
x 7! f
1
(x) = arccot x: (fonction inverse de cot x)
Sachant que:
1)8x 2 R; cot (arccot x) = x;
et
2)8x 2 ]0; [ ; arccot (cot x) = x:
172
Exemples 6.4
1) cot (arccot 10) = 10:
2) arccot cot
3) arccot cot
5
4
2
=
2
= arccot cot
:
4
=
4
;
c’est-à-dire toujours rendre la valeur donnée à une valeur équivalente qui a le même cosinus
dans ]0; [ :
La dérivée
(arccot x)0 =
1
1
1
1
=
=
:
0 =
2
2
1 + x2
1 + cot y
1 + cot arccot x
(cot y)
De plus:
(arccot g (x))0 =
La représentation graphique
173
g 0 (x)
:
1 + [g (x)]2
6.6
6.6.1
Les fonctions hyperboliques et leures fonctions inverses
Fonctions hyperbolique
Dé…nition 6.2 Pour tout x 2 R, on dé…nit les fonctions hyperbolique suivantes:
cos x =
cosh x =
ex + e
2
eix + e
2
x
; sinh x =
ix
et sin x =
ex
et pour tout x 2 R , on a:
coth x =
e
eix
e
2i
x
2
et tanh x =
ix
sinh x
e2x 1
= 2x
;
cosh x
e +1
cosh x
e2x + 1
= 2x
:
sinh x
e
1
Formules établies
(1) cosh2 x
sinh2 x = 1:
(2) (cosh x)0 = sinh x et (sinh x)0 = cosh x:
(3) cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b:
(4) sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b:
f (x) = cosh x
174
y 70
60
50
40
30
20
10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
x
f (x) = sinh x
y
60
40
20
-5
-4
-3
-2
-1
-20
-40
-60
f (x) = tanh x
175
5
x
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
-0.2
5
x
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
f (x) = coth x
y
1
-5
-4
-3
-2
-1
5
x
-1
-2
-3
6.6.2
Les fonctions inverses des fonctions hyperboliques
Argument sinus hyperbolique
La fonction sinh est bijective de classe C 1 strictement croissante de R vers R, avec une dérivée
non nulle, alors sa fonction réciproque existe et elle est strictement croissante de classe C 1 et
176
elle est impaire, qu’on la note arg sinh, sachant que:
8x 2 R; (arg sinh x)0 = p
1
:
1 + x2
De plus on a une formule équivalente en fonction de la fonction logarithme:
8x 2 R; arg sinh x = ln x +
p
1 + x2 :
Preuve:
y = arg sinh x , sinh y = x ,
ey
e
y
2
2xey
= x , e2y
1 = 0;
on pose:
X = ey ) X 2
2xX
1 = 0;
qui admet comme solutions:
X =x+
p
1 + x2 ou
X=x
p
1 + x2 < 0 ;
ce qui implique que:
ey = x +
p
1 + x2 ) y = arg sinh x = ln x +
Représentation graphique
177
p
1 + x2 :
Argument cosinus hyperbolique
La fonction cosh est bijective de classe C 1 strictement croissante de [0; +1[ vers [1; +1[, alors
sa fonction réciproque existe et elle est strictement croissante de classe C 1 mais sur ]1; +1[,
qu’on la note arg cosh, sachant que:
8x 2 ]1; +1[ ; (arg cosh x)0 = p
1
x2
1
:
De plus on a une formule équivalente en fonction de la fonction logarithme:
8x 2 [1; +1[ ; arg cosh x = ln x +
Représentation graphique
178
p
x2
1 :
Argument tangente hyperbolique
La fonction arg tanh est dé…nie sur ] 1; 1[, de classe C 1 , strictement croissante et elle est
impaire, avec:
8x 2 ] 1; 1[ ; (arg tanh x)0 =
1
1
x2
:
De plus on a une formule équivalente en fonction de la fonction logarithme:
8x 2 ] 1; 1[ ; arg tanh x =
Représentation graphique
179
1
ln
2
1+x
1 x
:
Argument cotangente hyperbolique
La fonction arg coth est dé…nie sur R
8x 2 R
[ 1; 1] à valeurs dans R , avec:
[ 1; 1] ; (arg coth x)0 =
1
1
x2
:
De plus on a une formule équivalente en fonction de la fonction logarithme:
8x 2 R
[ 1; 1] ; arg coth x =
Représentation graphique
180
1
ln
2
1+x
x 1
:
181
Chapitre 7
Structures algébriques
Les notions qui suivent présentent de l’intérêt sur le plan terminologique que structurel avant
d’aborder l’étude des espaces vectoriels.
7.1
Dé…nitions et propriétés
7.1.1
Loi de composition interne
Dé…nition 7.1 Soient E et F deux ensembles non vides et f une application de E
F . Si f (E
E dans
E) est inclus dans E, alors f est une loi de composition interne sur E. Qu’on la
note pour chaque couple (x; y) 2 E
E par:
x y, x4y ou x ? y:::
autrement dit
est une loi de composition interne dans E si et seulement si:
8x; y 2 E; x y 2 E:
Exemple 7.1 L’addition et la multiplication sont des lois de compositions internes sur N; Z; Q; R
et C mais la soustraction n’est pas interne sur N:
182
7.1.2
La commutativité
Dé…nition 7.2 Une loi de composition interne
sur E est dite commutative si et seulement
si:
8x; y 2 E; x y = y x:
Exemple 7.2 L’intersection et la réunion sont des lois de composition internes commutatives
sur l’ensemble des parties d’un ensemble E.
7.1.3
L’associativité
Dé…nition 7.3 Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E.
est asso-
ciative si et seulement si:
8x; y; z 2 E; (x y) z = x (y z) :
Exemple 7.3 La composition des applications est une loi de composition interne associative.
Par contre la loi de composition
dé…nie dans Q par:
x y=
x+y
n’est pas associative.
2
car pour x; y; z 2 Q;
(x y) z =
x+y
2
z=
x+y
2
2
et
x (y z) = x
y+z
2
=
+z
x+
y+z
2
2
ce qui a¢ rme que:
(x y) z 6= x (y z) :
183
=
x y z
+ + ;
4 4 2
=
x y z
+ + ;
2 4 4
7.1.4
L’élément neutre
Dé…nition 7.4 Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E. e est un
élément neutre pour la loi
dans l’ensemble E si et seulement si:
8x 2 E; x e = e x = x:
Autrement, l’élément neutre est l’élément qui n’in‡ue pas à droite et à gauche sur la loi.
Si on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de montrer que:
8x 2 E; x e = x ou bien e x = x:
Exemple 7.4 1 est un élément neutre de la multiplication dans R:
7.1.5
L’élément symétrique
Dé…nition 7.5 Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E et admettant
un élément neutre e. Deux éléments x et x0 sont symétriques pour la loi
si et seulement si:
x x0 = x0 x = e:
Si, on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de trouver x0 2 E tel que:
x x0 = e ou bien x0 x = e:
Généralement on note l’élément symétrique de x par: x
1
ou ( x) sachant que la puissance et
le moins sont que des symboles.
Exemple 7.5 Le symétrique de x dans Z muni de l’addition est: ( x) :
184
7.1.6
L’élément régulier
Dé…nition 7.6 On dit que
est un élément régulier pour une loi
de composition interne
dé…nie sur un ensemble E s’il véri…e:
8x; y 2 E; [(x
Si, on outre, la loi
=y
) ) x = y] et [(
x=
y) ) x = y] :
est commutative, il su¢ t de véri…er l’un des deux implications.
Exemple 7.6 Dans C muni de l’addition, tout élément est régulier.
7.1.7
La distributivité
Dé…nition 7.7 Soient
et 4 deux lois de composition internes sur un ensemble E. Alors
est distributive par rapport à 4 si et seulement si:
8x; y; z 2 E; x (y 4 z) = (x y) 4 (x z) et (y 4 z) x = (y x) 4 (z x) :
Si, on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de montrer l’un des deux égalités.
Exemple 7.7 La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C.
7.1.8
Partie stable
Dé…nition 7.8 Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E. Une partie
A est dite stable de E pour la loi , si pour tout x; y 2 A; x y 2 A ( est interne dans A):
Exemple 7.8 L’ensemble des entiers naturels pairs est stable pour l’addition, par contre l’ensemble
des entiers impairs n’est pas stable pour l’addition car:
(3) + (5) = 8 est pair.
7.1.9
Loi de composition externe
Dé…nition 7.9 Soient E; F;
trois ensembles non vides, et f une application de
F:
185
E dans
f est une loi de composition externe sur E à opérateurs dans
, si et seulement si:
8 2 ; x 2 E ) f ( ; x) 2 E:
f ( ; x) est souvent notée:
x:
Exemple 7.9 Dans l’ensemble des vecteurs la multiplication par un scalaire est une loi de
composition externe.
7.2
7.2.1
Structure d’un groupe
Dé…nition d’un groupe
Dé…nition 7.10 Un ensemble G muni d’une loi de composition interne
est un groupe si on
a les trois propriétés suivantes:
(1)
est associative.
(2) G admet un élément neutre correspond à .
(3) Chaque élément de G possède un symétrique par rapport à .
Si de plus
est commutative alors le groupe est dit un groupe commutatif ou bien un groupe
abélien.
Exemple 7.10 (Z; +) est un groupe commutatif.
7.2.2
Propriétés des groupes
Les dé…nitions précédentes découlent les propriétés suivantes:
(1) L’élément neutre d’un groupe est unique.
Preuve:
Par absurde supposons qu’ils existes deux élément neutre e1 et e2 alors:
e1 e2 = e1 car e2 est un élément neutre,
et e1 e2 = e2 car e1 est un élément neutre,
alors
:
e1 = e2 :
186
(2) Le symétie d’un élément est unique car
1:
est associative, noté x
Supposons par l’absurde que x 2 E admet deux éléments symétriques x1 1 et x2 1
Preuve:
alors:
x x1 1
=
e ) x2 1
x x1 1 = x2 1 e
)
x2 1 x
x1 1 = x2 1 e car
est associative.
) e x1 1 = x2 1 ) x1 1 = x2 1 :(contradiction).
(3)
1
8x 2 G; 8y 2 G; x
(a) 8x 2 G; x
Preuve:
que: x
1
1
1
x
1
Alors: (x y)
7.2.3
1
=x
y
1
x
1
= x et (x y)
1
1
=y
x
1
x = e, alors x est le symétrie de x
:
1,
ce qui implique
= x:
(b) 8x; y 2 G; (x y)
et y
x
1
1
(x y) = y
1
=y
1
x
1
=x
x
1
x
y y
1
y=y
x
1
1
=x e x
e y=y
1
1
=x x
1
= e;
y = e:
1:
Sous-groupe
Soit (G; ) un groupe. Une partie H non vide de G muni de la loi
est dite un sous-groupe si
et seulement si:
(1) e 2 H (H contient l’élément neutre).
(2) 8x 2 H; 8y 2 H; x y 2 H:
(3) 8x 2 H; x
1
2 H:
Exemple 7.11 On appelle le centre d’un groupe G l’ensemble dé…nie par:
C = fx 2 G tel que: 8y 2 G; x y = y xg :
187
Montrons que: (C; ) est un sous-groupe de G:
(1) On a: 8y 2 G; y e = e y = y ) e 2 C:
(2) 8x1; x2 2 C; 8y 2 G:
(x1 x2 ) y
=
x1 (x2 y) (l’associativité),
=
x1 (y x2 ) (x2 2 C),
=
(x1 y) x2 (l’associativité),
=
(y x1 ) x2 (x1 2 C),
=
y (x1 x2 ) (l’associativité),
) x1 x2 2 C:
(3)
1
8x 2 C; 8y 2 G; x
=
1
x y
= y x
1
1
y= y
1
)x
2 C:
Propriétés des sous-groupes
(1) L’intersection des sous-groupes est un sous groupe.
(2) La réunion n’est pas un sous-groupe.
Pour la preuve voir l’exercice 07.
188
1
x
car: x 2 C et y
Conclusion: (C; ) est un sous-groupe de G:
7.2.4
1
1
2G
7.2.5
Homomorphisme de groupes (morphisme de groupes)
Dé…nition 7.11 Soient (G; ) et (G0 ; 4) deux groupes, un homomorphisme f de (G; ) vers
(G0 ; 4) est une application:
f
:
G ! G0
x 7! f (x) = x0 ;
telle que:
8x 2 G; 8y 2 G; f (x y) = f (x) 4 f (y) :
Exemple 7.12
f
:
R+ ;
! (R; +)
x 7! f (x) = ln x;
est un homomorphisme car:
ln (x
y) = ln x + ln y:
Remarque 7.1 Si f est un homomorphisme de groupes bijectif, il est dite un isomorphisme.
7.2.6
Le noyau et l’image d’un morphisme
(1) On appelle noyau du morphisme f : G ! H le sous-groupe de G dé…ni par:
ker f = f
1
(eH ) = fx 2 G=f (x) = eH g:
(2) On appelle image du morphisme f : G ! H le sous-groupe de H donnée par:
Im(f ) = f (G) = ff (x)=x 2 Gg:
Proposition 7 Un morphisme de groupesf : G ! H est:
(1) injectif si et seulement si ker f = feG g.
(2) surjectif si et seulement si Im(f ) = H.
189
7.3
Structure d’anneau
Dé…nition 7.12 Soit A un ensemble muni de deux lois de compositions internes
et 4 alors
(A; ; 4) est un anneau si et seulement si:(1)
(1) (A; ) est un groupe commutatif, dans l’élément neutre est noté 0A .
(2) 4 possède un élément neutre noté 1A .
(3) 4 est associative.
(4) La loi 4 est distributive àdroite et à gauche sur la loi .
Si de plus la loi 4 est commutative, l’anneau est commutatif.
7.3.1
Sous-anneau
Dé…nition 7.13 Une partie B de l’anneau (A; ; 4) est dite un sous-anneau de A si et seulement si:
(1) 1A 2 B:
(2) 8a; b 2 B; a b
1
2 B:
(3) 8a; b 2 B; a4b 2 B:
7.3.2
Morphisme d’anneaux
Dé…nition 7.14 Soient A; B deux anneaux. Une application f : (A; ; 4) ! (B; ; 4) est un
morphisme d’anneaux si les conditions suivantes sont véri…ées:
(1) f (1A ) = 1B :
(2) 8a; b 2 B; f (a b) = f (a) f (b) :
(3) 8a; b 2 B; f (a4b) = f (a) 4f (b) :
Si de plus f est bijective, on dit que c’est un isomorphisme d’anneaux.
Dé…nition 7.15 Un anneau (A; ; 4) est intègre si l’équation a4b = 0A entraîne a = 0A ou
b = 0A .
190
7.4
Structure d’un corps
7.4.1
Élément inversible
Dé…nition 7.16 Un élément x 2 K est inversible par rapport à la loi 4 s’il existe un élément
y 2 K telle que:
x 4 y = y 4 x = e2 ; (e2 est l’élément neutre par rapport à 4) :
Remarque 7.2 La dé…nition de l’élément inversible est la même que l’élément symétrique sauf
le premier est pour la 2ème loi noté ( x)et le symétrique est pour le 1ère loi noté x
7.4.2
1
:
Structure d’un corps
Dé…nition 7.17 On dit que (K; ; 4) est un corps si et seulemnt si:
(1) (K; ; 4) est un anneau.
(2) Tout élément di¤ érent de e1 ( l’élément neutre pour l’opération ) est inversible pour la
loi 4.
i de plus 4 est commutative, on parle de corps commutatif.
Exemple 7.13 (R; +; )est un corps commutatif, mais (Z; +; ) n’est pas un corps.
7.4.3
Sous-corps
Dé…nition 7.18 une partie L d’un corps K est un sous-corps de K si L est un sous-anneau
de K.
7.5
Exercices
Exercice 01: On considère la loi de composition interne
sur N dé…nie par:
a b = a2 + b2 . Cette loi est-elle:
(1) commutative ? (2) associative ? (3) munie d’un élément neutre ?.
191
Exercice 02: Soit E = f1; 2; 3; 4g et
une l.c.i dans E telle que 4 soit neutre, tout élément soit son
propre symétrique et tout élément soit simpli…able.
(1) Dresser la table de Pythagore de la loi :
(2)
est-elle commutative? Justi…er.
Exercice 03: Dans l’intervalle I = [1; +1[, on considère une loi notée
et dé…nie par:
8
< a:b si a < b;
8 (a; b) 2 I 2 ; a b =
: a si a b:
b
(1) Montrer que
est une loi de composition interne dans I:
(2) Calculer: 2 (6 2); (2 6) 2; 6 3; 2 2; 12 3:
(3) La loi est-elle commutative? associative? Justi…er.
(4) Véri…er que 1 est neutre pour la loi :
(5) Montrer que tout élément de I admet un symétrique.
(6) (I; ) est-il un groupe? Justi…er.
Exercice 04:
(1) L’ensemble des réels a-t-il une structure de groupe pour l’une des opérations internes
suivantes:
(a) x y = x + 2y;(b) x y =
x+y+jx yj
;(c)
2
x y=
p
3
x3 + y 3 et (d) x y = x + y + xy:
(2) Pour la loi (4), résoudre l’équation: 2 3 x 5 = 5 3:
Exercice 05: Dans l’ensemble N des entiers naturels, on dé…nit la loi de composition interne
8 (a; b) 2 N2 ; a b = a + b + ab:
(1) Montrer que la loi
admet un élément neutre e que l’on déterminera.
192
par:
(2) Quels sont les éléments symétrisables pour la loi ? Justi…er.
(3) (N; ) est-il un groupe? Justi…er.
(4) On pose: a[1] = a et 8n
2; a[n] = a[n
1]
a:
(a) Déterminer a[2] ; a[3] et a[4] , puis comparer respectivement à (1 + a)2 ; (1 + a)3 et (1 + a)4 :
(b) Résoudre dans N l’équation: 3 x[2] + 2 x = 160: (on donne 512 = 2601)
(c) En utilisant les résultats du 4)a), donner une expression de a[n] pour n 2 N et démontrer
la formule trouvée par récurrence.
(d) En déduire que 8 (m; n) 2 N
N ; a[m] a[n] = a[m+n] :
Exercice 06: Dans l’ensemble R+ on dé…nit la loi
par:
8 (a; b) 2 R+
(1) Montrer que
2
;a b =
p
a2 + b2 :
est une l.c.i dans R+ :
(2) La loi est-elle commutative? associative? Justi…er.
(3) Montrer quela loi
admet un élément neutre e que l’on déterminera:
(4) Déterminer les éléments symétrisables de R+ qui sont symétrisables.
(5) (R+ ; ) est-il un groupe? Justi…er.
Exercice 07: Soit (G; ) un groupe, H1 ; H2 deux sous groupes de G.
(1) Montrer que H1 \ H2 est aussi un sous groupe de G:
(2) Donner un exemple où: H1 [ H2 n’est pas un sous groupe de G:
Exercice 08: Dans N, on dé…nit les deux lois
et
par:
8 (a; b) 2 N2 ; a b = max (a; b) et a
193
b = min (a; b) :
(1) Véri…er que
et
sont deux lois de composition internes dans N:
(2) Etudier les propriétés de ces deux lois.
Exercice 09: Soient deux groupes (G1 ;
1)
et (G2 ;
2 ),
on dé…nit sur le produit caetésien G = G1
G2
la loi 4 par:
8 (x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 ) 2 G; (x1 ; x2 ) 4 (y1 ; y2 ) = (x1
1
y1 ; x2
2
y2 ) :
Montrer que (G; 4) est un groupe.
Exercice 10: Dans E = ] 1; 1[, on dé…nit une loi notée
par:
8 (a; b) 2 E 2 ; a b =
(1) Véri…er que
a+b
:
1 + ab
est une loi de composition interne dans E:
(2) Montrer que (E; ) est une groupe.
Exercice 11:
(1) Soit (G; ) est un groupe véri…ant (8x 2 G) (x x = x), montrer que G est commutatif.
(2) La même question si: (8x 2 G) (x x = e)(où e est l’élément neutre).
Exercice 12: Soit (G; ) est un groupe, on appelle centre du groupel’ensemble des éléments de G qui
commutent avec tous les éléments de G, ç-à-d:
C = fx 2 G; (8y 2 G) (x y = y x)g :
(1) Montrer que (C; ) est un sous-groupe de(G; ).
(2) Montrer que la relation binaire dé…nie sur G par:
x<y , x y
est une relation d’équivalence.
194
1
2 C:
Exercice 13: Soit (G; ) un groupe et A une partie de G. On pose:
Z (A) = fx 2 G=8a 2 A;x a = a xg. Montrer que Z (A) est un sous-groupe de G:
Exercice 14: Soit (G; ) un groupe dont l’élément neutre est e1 et dont l’inverse d’un élément x est noté
x
1.
Soit a un élément de G, on dé…nit la loi notée
dans G par:
(8x 2 G) (8y 2 G) ; (x y = x a y) :
Montrer que (G; ) est un groupe dont on précisera l’élément neutre e2 et le symétrique x0 d’un
élément x de G:
Exercice 15: Soient A et B deux sous groupes d’un groupe (E; ). Soit:
AB = fa b =a 2 A; b 2 Bg et BA = fb a =b 2 B; a 2 Ag :
Montrer que AB est un sous groupe de E si et seulement si AB = BA:
(attention cela ne signi…e pas que a b = b a pour a 2 A et b 2 B !).
Exercice 16: On munit E = R
f 3g de la loi
dé…nie par:
8 (a; b) 2 E 2 ; a b = ab + 3 (a + b + 2) :
(1) Véri…er que
est une l.c.i dans E:
(2) Montrer que (E; ) est un groupe commutatif.
(3) Soit l’application:
f
:
(R ; ) ! (E; )
x 7! f (x) = x
3:
Montrer que f est un homomorphisme de groupes ( est la multiplication usuelle).
195
p
Exercice 17: Soit A = x 2 R = 9 (a; b) 2 Q2 ; x = a + b 2 :
(1) Montrer que (A; +) est un sous-groupe de (R; +) :
(2) Véri…er que (A; +; :) est un anneau.
(3) (A; +; :) est-il un corps? Justi…er.
Exercice 18: Soient G = R
R et f : R ! R une application. On pose:
8 (a; b) ; (c; d) 2 G; (a; b) (c; d) = (ac; bc + f (a) d) :
Quelles conditions doit véri…er f pour que (G; ) soit un groupe?
Exercice 19: Soit (G; ) un groupe. Pour tout a 2 G on dé…nit l’application fa par:
fa
:
(G; ) ! (G; )
x 7! fa (x) = a x:
(1) Montrer que fa est bijective.
On note par BG l’ensemble des applications bijectives de G vers G:
(2) Montrer que (BG ; ) est un groupe (avec: g f (x) = g (f (x))).
(3) On dé…nit l’application
par:
:
a 7!
a) Montrer que
b)
(G; ) ! (BG ; )
(a) = fa :
est un morphisme de groupe.
est-elle injective?
196
7.6
Solutions des exercices
Exercice 01: On considère la loi de composition interne
sur N dé…nie par:
a b = a2 + b2 :
(1) La commutativité: soient a; b 2 N;
a b = a2 + b2 = b2 + a2 = b a:
Alors la loi
est commutative.
(2) L’associativité: soient a; b; c 2 N;
2
+ c2 :::(1)
b2 + c2 = a2 + b2 + c2
a (b c) = a
(1) 6= (2) )
c = a2 + b2
a2 + b2
(a b) c =
2
:::(2)
n’est pas associative.
(3) L’existence de l’élément neutre: Soit a 2 N alors e est un élément neutre ssi:
a e = a , a2 + e2 = a;
ce qui est impossible car dans N; a2 + e2 > a: Alors l’élément neutre n’existe pas.
Exercice 02: Soit E = f1; 2; 3; 4g et
une l.c.i dans E telle que 4 soit neutre, tout élément soit son
propre symétrique et tout élément soit simpli…able.
(1) Dressons la table de Pythagore de la loi
:
1
2
3
4
1
4
3
2
1
2
3
4
1
2
3
2
1
4
3
4
1
2
3
4
197
car: 4 soit neutre, tout élément soit son propre symétrique et une l.c.i dans E
8
>
1 = 1 4 ) 2 = 4 car 1 est simpli…able donc contradiction,
>
>
>
>
>
< ou 2 = 4 2 ) 1 = 4 car 2 est simpli…able donc contradiction,
)1 2=
>
>
ou 3;
>
>
>
>
: ou 4 = 2 2 ) 1 = 4 car 2 est simpli…able donc contradiction,
) 1 2 = 3:
De même pour les autres.
(2)
est-elle commutative? Justi…er.
Puisque on a une symétrie dans la table et on trouve dans la diagonale le même élément 4
alors
est commutative.
Exercice 03: Dans l’intervalle I = [1; +1[, on considère une loi notée
et dé…nie par:
8
< a:b si a < b;
8 (a; b) 2 I 2 ; a b =
: a si a b:
b
(1) Montrer que
est une loi de composition interne dans I:
8
< a:b 2 I si a < b;
8 (a; b) 2 I 2 ; a b =
: a 2 I si a b;
b
donc cette loi est interne dans I:
(2) Calculons:
(a) 2 (6 2) = 2
6
2
= 2 3 = 2:3 = 6:
(b) (2 6) 2 = (2:6) 2 = 12 2 =
(c) 6 3 =
6
3
= 2:
(d) 2 2 =
2
2
= 1:
(e) 12 3 =
12
3
12
2
= 6:
= 4:
(3)
198
(a) La commutativité?
2 3 = 2 et 3 = 6 car 2 < 3 et 3 2 =
Donc 2 3 6= 3 2 )
3
2
car 3
2:
n’est pas commutative.
(b) L’associativité?
(2 3) 4 = 6 4 =
6
4
et 2 (3 4) = 2 12 = 2:12 = 24;
) (2 3) 4 6= 2 (3 4) ;
)
n’est pas associative.
(4) Véri…ons que 1 est neutre pour la loi :
a
8a 2 I; a 1 = 8
1:
1 = a car a
< 1:a si 1 < a
) 1 a = a:
8a 2 I; 1 a =
: 1 si 1 = a
1
Donc 8a 2 I; a 1 = 1 a = a ce qui implique que 1 est un élément neutre.
(5) Montrons que tout élément de I admet un symétrique.
8
< a:a 1 = 1 si a < a 1 ) a 1 = 1 2
a = I;
8a 2 I; a a 1 = 1 ,
: a = 1 si a a 1 ) a 1 = a;
a 1
) le symétrique de a est a lui même.
(6) (I; ) est-il un groupe? Justi…er.
(I; ) n’est pas un groupe car la loi n’est pas associative.
Exercice 04:
(1) L’ensemble des réels a-t-il une structure de groupe pour l’une des opérations internes
suivantes:
(a) Pour la loi: 8x; y 2 R; x y = x + 2y:
199
Pour l’associativité: 8x; y; z 2 R;
(x y) z = (x + 2y) z = x + 2y + 2z; ::::(1)
x (y z) = x (y + 2z) = x + 2y + 4z; :::(2)
(1) 6= (2), pour z 6= 0 )
n’est pas associative, ce qui implique que (R; ) n’est pas un groupe.
(b) Pour la loi: 8x; y 2 R; x y =
x+y+jx yj
:
2
Pour l’associativité: 8x; y; z 2 R;
x + y + jx
2
(x y) z =
x (y z) = x
(1) 6= (2) )
yj
y + z + jy
2
z=
zj
x+y+jx yj
2
+z+
x+y+jx yj
2
2
x+
=
y+z+jy zj
2
+ x
y+z+jy zj
2
2
p
3
x3 + y 3 :
(i) Pour l’associativité: 8x; y; z 2 R;
(x y) z =
x (y z) = x
(ii)
p
3
p
x3 + y 3
z = 3 x3 + y 3 + z 3 ;::::(1)
p
p
3
y 3 + z 3 = 3 x3 + y 3 + z 3 ;:::(2)
est pas associative.
est-elle interne?
8x; y 2 R; x y =
)
; ::::(1)
; :::(2)
n’est pas associative, ce qui implique que (R; ) n’est pas un groupe.
(c) Pour la loi: 8x; y 2 R; x y =
(1) = (2) )
z
p
3
x3 + y 3 2 R:
est interne.
De plus la loi est commutative car:
8x; y 2 R; x y =
p
p
3
x3 + y 3 = 3 y 3 + x3 = y x:
200
(iii) L’existence de l’élément neutre?
8x 2 R; x 0 = x:
Alors l’élément neutre est 0.
(iv) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément:
8x
2
R; x x
, x3 + x
1
q
3
= 0 , x3 + (x
1 3
=0,x
Alors l’élément symétrique pour chaque élément x est
1
=
1 )3
= 0;
x:
x:
Ce qui implique que (R; ) est un groupe abélien.
(d) Pour la loi: 8x; y 2 R; x y = x + y + xy:
(i)
est associative car:
8x; y; z 2 R : (x y) z = x (y z) .
En e¤et:
(x y) z
=
(x + y + xy) z = x + y + xy + z + (x + y + xy) z. ..(1)
et x (y z)
=
x (y + z + yz) = x + y + z + yz + x (y + z + yz) ....(2)
) (x y) z = x (y z) .
De plus la loi est commutative car:
8x; y 2 R; x y = x + y + xy = x + y + yx = y x:
(ii) L’existence de l’élément neutre?
8x 2 R : x e = x ) x + e + xe = x ) e (1 + x) = 0 ) e = 0:
201
Alors l’élément neutre est 0.
(iii) l’existence de l’élément symétrique pour chaque élément x?
8x
2
R; x x
, x+x
x
1
n’existe pas si x =
1
1
=0,x+x
(1 + x) = 0 , x
1
+x
1
1
x=0
x
avec 1 + x 6= 0:
=
1+x
1.
Alors (R; ) n’est plus un groupe car x =
1 n’admet pas un élément symétrique.
(2) Pour la loi (4):
Résoudre l’équation: 2 3 x 5 = 5 3:(utilisant la notion de l’élément symétrie)
2 3 x 5=5 3,3 x 5=
,x 5=
,x=
,x=
3
4
2
3
11
12
23
71
72
23 =
5
6
5 3,x=
2
3
3
4
11
12
,x=
5 3
2
3
5
6
(5 3)
5
6
23
71
72 :
Exercice 05: Dans l’ensemble N des entiers naturels, on dé…nit la loi de composition interne
par:
8 (a; b) 2 N2 ; a b = a + b + ab:
(1) Montrons que la loi
admet un élément neutre e que l’on déterminera.
e est un élément neutre ssi: 8a 2 N; a e = a , a + e + ae = a;
, e (1 + a) = 0; 8a 2 N ) e = 0:
(2) Quels sont les éléments symétrisables pour la loi ? Justi…er.
a
1
est un élément symétrique de a , a a
,a+a
1
+ a:a
1
=0,a
1
=
a
1+a
1
= e = 0;
2 N si a = 0:
Alors le seul élément qui admet un symétrie est le 0.
(3) (N; ) est-il un groupe? Justi…er.
(N; ) n’est pas un groupe car il existe des élément de N qui n’admet pas un symétrie.
202
(4) On pose: a[1] = a et 8n
2; a[n] = a[n
1]
a:
(a) Déterminons a[2] ; a[3] et a[4] , puis comparer respectivement à (1 + a)2 ; (1 + a)3 et (1 + a)4 :
a[2] = a a = a + a + a2 = (1 + a)2 1:
h
i
a[3] = a[2] a = (1 + a)2 1 a
h
i
h
i
2
2
= (1 + a)
1 + a + a (1 + a)
1 = a3 + 3a2 + 3a = (1 + a)3
a[4] = a[3] a = a3 + 3a2 + 3a
1:
a
= a3 + 3a2 + 3a + a + a3 + 3a2 + 3a a = (1 + a)4
1:
(b) Résoudre dans N l’équation 3 x[2] + 2 x = 160: (on donne 512 = 2601):
h
i
3 x[2] + 2 x = 160 , 3 (1 + x)2 1 + 2 x = 160;
h
i
h
i
, 3 + (1 + x)2 1 + 3 (1 + x)2 1 + 2 + x + 2x = 160;
, 4 1 + 2x + x2 + 1 + 3x = 160 , 4x2 + 11x
155 = 0;
) 4 = 2601 = 512 ) x = 5 2 N:
(c) En utilisant les résultats du 4)a), donner une expression de a[n] pour n 2 N et démontrer
la formule trouvée par récurrence.
Montrons par récurrence que: a[n] = (1 + a)n
Pour n = 1; a[1] = (1 + a)1
1:
1 = a supposons que la relation est vraie pour un n …xé et
montrons qu’elle est vraie pour n + 1:
a[n+1] = a[n] a = [(1 + a)n
= [(1 + a)n
1] a
1] + a + [(1 + a)n
h
1] a = (1 + a)n+1
Donc pour tout n 2 N ; a[n] = (1 + a)n
(d) En déduire que 8 (m; n) 2 N
Soit (m; n) 2 N
= [(1 + a)m
= (1 + a)m+n
1:
N ; a[m] a[n] = a[m+n] :
N ; a[m] a[n] = [(1 + a)m
1] + [(1 + a)n
i
1 :
1] + [(1 + a)m
1] [(1 + a)n
1] [(1 + a)n
1]
1]
1 = a[m+n] :
Exercice 06: Dans l’ensemble R+ on dé…nit la loi
par:
8 (a; b) 2 R+
2
203
;a b =
p
a2 + b2 :
(1) Montrons que
est une l.c.i dans R+ :
2
8 (a; b) 2 (R+ ) ; a b =
p
a2 + b2 2 R+ )
est interne.
(2) La loi est-elle commutative? associative? Justi…er.
2
(a) La commutativité: 8 (a; b) 2 (R+ ) ; a b =
)
p
a2 + b2 =
p
b2 + a2 = b a:
est commutative.
(b) L’associativité:
8a; b; c 2 R+ ; (a b) c = a (b c)?
Soient a; b; c 2 R+ ;
r
2
p
p
p
2
2
a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2
(a b) c = a + b c =
r
2
p
p
p
2
2
et a (b c) = a
b + c = a2 +
b2 + c2 = a2 + b2 + c2 ;
) (a b) c = a (b c) )
(3) Montrons que la loi
est associative:
admet un élément neutre e que l’on déterminera:
e est un élément neutre , 8a 2 R+ ; a e = a
p
, a2 + e2 = a , a2 + e2 = a2 ) e2 = 0 ) e = 0:
(4) Déterminons les éléments symétrisables de R+ qui sont symétrisables.
est un élément symétrique de a , a a 1 = e = 0
q
2
, a2 + (a 1 )2 = 0 , a2 + a 1 = 0 (somme de deux nombres positifs).
a
1
,a=a
1
= 0 donc le seul élément qui admet un élément symétrique est: 0.
(5) (R+ ; ) est-il un groupe? Justi…er.
(R+ ; ) n’est pas un groupe car on a pas chaque élément de R+ admet un élément symétrique.
Exercice 07: Soit (G; ) un groupe, H1 ; H2 deux sous-groupes de G.
(1) Montrons que H1 \ H2 est aussi un sous groupe de G:
204
(a) Montrons que H1 \ H2 contient l’élément neutre.
H1 ; H2 sont deux sous-groupes de G et l’élément neutre de G unique
) e 2 H1 et e 2 H2 ) e 2 H1 \ H2 .
(b) Montrons que: 8x 2 H1 \ H2 ; 8y 2 H1 \ H2 ) x y 2 H1 \ H2 :
Soient x; y 2 H1 \ H2 ) x; y 2 H1 et x; y 2 H2 ;
) x y 2 H2 et x y 2 H2 car H1 ; H2 sont deux sous-groupes de G;
) x y 2 H1 \ H2 :
(c) Montrons que: 8x 2 H1 \ H2 ) x
1
2 H 1 \ H2 .
Soit x 2 H1 \ H2 ) x 2 H1 et x 2 H2 puisque l’élément symétrique est unique et H1 ; H2
sont deux sous-groupes de G:
Alors: x
1
2 H1 et x
1
2 H2 ) x
1
2 H1 \ H2 :
Conclusion: H1 \ H2 est aussi un sous-groupe de G:
(2) Donnons un exemple où H1 [ H2 n’est pas un sous-groupe de G:
(2Z; +) ; (3Z; +) sont deux sous-groupe de Z:
Par contre: (2Z; +) [ (3Z; +) n’est pas un sous-groupe de Z, car: 2; 3 2 (2Z; +) [ (3Z; +) ;
mais 2 + 3 = 5 2
= (2Z; +) [ (3Z; +) :Sachant que: nZ = fnk; k 2 Zg :
Exercice 08: Dans N, on dé…nit les deux lois
et
par:
8 (a; b) 2 N2 ; a b = max (a; b) et a b = min (a; b) :
(1) Véri…ons que
et
sont deux lois de composition internes dans N:
(a) 8 (a; b) 2 N2 ; a b = max (a; b) = a ou b et dans les deux cas a b 2 N;
)
est interne dans N:
(b) 8 (a; b) 2 N2 ; a b = min (a; b) = a ou b et dans les deux cas a b 2 N;
205
)
est interne dans N:
(2) Etudions les propriétés de ces deux lois.
(a) La commutativité:
(i) Soit (a; b) 2 N2 ; a b = max (a; b) = max (b; a) = b a )
(ii) Soit (a; b) 2 N2 ; a b = min (a; b) = min (b; a) = b a )
est commutative.
est commutative.
(b) L’associativité:
(i) Soit (a; b; c) 2 N3 ;
(a b) c = max (a; b) c = max [max (a; b) ; c] = max (a; b; c) ;
et a (b c) = a (max (b; c)) = max [a; max (b; c)] = max (a; b; c) ;
ce qui donne que: 8 (a; b; c) 2 N3 ; (a b) c = a (b c)
)
est associative.
(ii) Soit (a; b; c) 2 N3 ;
(a b) c = min (a; b) c = min [min (a; b) ; c] = min (a; b; c) ;
et a (b c) = a (min (b; c)) = min [a; min (b; c)] = min (a; b; c) ;
ce qui donne que: 8 (a; b; c) 2 N3 ; (a
)
b)
c=a
(b
c) ;
est associative.
(c) L’élément neutre: Puisque les deux lois sont commutative alors il su¢ t de véri…er un seul
sens de la dé…nition.
(i) e1 est un élément neutre de
ssi 8a 2 N; a e1 = a;
a e1 = a , max (a; e1 ) = a; 8a 2 N ) e1 = 0:
(ii) e2 est un élément neutre de
ssi 8a 2 N; a e2 = a;
a e2 = a , min (a; e2 ) = a; 8a 2 N )
e2 n’existe pas (un élément qui est plus grand de tous les éléments de N!):
206
(d) L’élément symétrique:
(i) Puisque
a
1
est commutative alors il su¢ t de véri…er que:
est un élément symétrique de a ssi a a
a a
1
= 0 () max a; a
1
1
= e1 = 0;
= 0:
Donc que l’élément 0 admet un élément symétrique qui est lui même.
Mais les autres non car si a 6= 0 alors 8 2 N; max (a; ) 6= 0:
(ii) Pour
puisque l’élément neutre n’existe pas alors les éléments symétriques n’existes pas.
(e) L’élément simpli…able ( ou dit régulier). puisque ;
véri…er que
sont commutatives alors il su¢ t de
est simpli…able à gauche ou à droite.
(i) 8 (a; b) 2 N2 ; a
=b
) a = b;
, max (a; ) = max (b; ) , a = b:
Donc le seul élément simpli…able est:
(ii) 8 (a; b) 2 N2 ; a
=b
= 0:
) a = b;
, min (a; ) = min (b; ) , a = b:
Donc l’élément simpli…able n’existe pas.
Exercice 09: Soient deux groupes (G1 ;
1)
et (G2 ;
2 ),
on dé…nit sur le produit cartésien G = G1
la loi 4 par:
8 (x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 ) 2 G; (x1 ; x2 ) 4 (y1 ; y2 ) = (x1
1
y1 ; x2
2
y2 ) :
Montrons que (G; 4) est un groupe.
(1) Montrons que: 4 est une loi de composition interne dans G:
8 (x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 ) 2 G; (x1 ; x2 ) 4 (y1 ; y2 ) = (x1
car x1
1
y1 2 G1 parce que G1 est un groupe donc
207
1
1
y1 ; x2
2
y2 ) 2 G 1
est interne,
G2 = G;
G2
et x2
2
y2 2 G2 parce que G2 est un groupe donc
est interne.
2
(2) L’associativité: 8 (x1 ; x2 ) ; (y1 ; y2 ) ; (z1 ; z2 ) 2 G;
[(x1 ; x2 ) 4 (y1 ; y2 )] 4 (z1 ; z2 ) = [(x1
= ((x1
1
y1 )
1
z1 ; (x2
y2 )
2
2
1
y1 ; x2
2
z2 ) ::::(1)
(x1 ; x2 ) 4 [(y1 ; y2 ) 4 (z1 ; z2 )] = (x1 ; x2 ) 4 [(y1
= (x1
1
(y1
1
z1 ) ; x2
Mais (1) = (2) car:
1
2
(y2
et
2
2
y2 )] 4 (z1 ; z2 )
1
z1 ; y 2
2
z2 )]
z2 )) ::::(2)
sont deux lois associatives.
Alors: 4 est une loi associative.
(3) L’existence de l’élément neutre:
Comme remarque l’élément neutre s’il existe il a un lien avec les deux éléments neutres de
1
et
2:
Si on pose e1 l’élément neutre de G1 et e2 l’élément neutre de G2 :
8 (x1 ; x2 ) 2 G; (x1 ; x2 ) 4 (e1 ; e2 ) = (x1
1
e1 ; x2
2
e2 ) = (x1 ; x2 ) ;
8 (x1 ; x2 ) 2 G; (e1 ; e2 ) 4 (x1 ; x2 ) = (e1
1
x1 ; e2
2
x2 ) = (x1 ; x2 ) :
et
Alors: (e1 ; e2 ) est l’élément neutre de G:
(4) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément (x1 ; x2 ) 2 G:
Si on pose x
1
l’élément symétrique de chaque élément x de G1 qui existe car G1 est un
groupe et x0 l’élément symétrique de chaque élément x de G2 qui existe car G2 est un groupe.(les
notations x
1
et x0 pour faire la di¤érence).
Alors:
8 (x1 ; x2 ) 2 G; (x1 ; x2 ) 4 x1 1 ; x02 = x1
1
x1 1 ; x2
2
x02 = (e1 ; e2 ) ;
x1 ; x02
2
x2 = (e1 ; e2 ) :
et
8 (x1 ; x2 ) 2 G; x1 1 ; x02 4 (x1 ; x2 ) = x1 1
208
1
Alors x1 1 ; x02 est l’élément symétrique de (x1 ; x2 ) :
Conclusion: (G; 4) est un groupe.
Exercice 10: Dans E = ] 1; 1[, on dé…nit une loi notée
par:
8 (a; b) 2 E 2 ; a b =
(1) Véri…ons que
a+b
:
1 + ab
est une loi de composition interne dans E:
Montrons que: 8 (a; b) 2 E 2 ; a b 2 E, c’est-à-dire:
8 (a; b) 2 E 2 ; 1 <
a+b
< 1?
1 + ab
(a) Calculons:
a+b
1 + ab
1
=
)
a + b 1 ab
(1 b) (a 1)
=
< 0 car: b < 1 et a < 1
1 + ab
1 + ab
a+b
< 1:
1 + ab
(b) de même:
a+b
+1
1 + ab
=
)
a + b + 1 + ab
(1 + b) (1 + a)
=
> 0 car: b >
1 + ab
1 + ab
a+b
> 1:
1 + ab
) 8 (a; b) 2 E 2 ; a b 2 E ) la loi
est interne dans E:
(2) Montrons que (E; ) est une groupe.
(a) Montrons que
est associative?
8a; b; c 2 E; (a b) c = a (b c)?
Soient a; b; c 2 E;
a+b
1+ab
c=
et a (b c) = a
b+c
1+bc
(a b) c =
a+b
+c
1+ab
a+b
1+ 1+ab :c
b+c
a+ 1+bc
b+c
1+a: 1+bc
=
=
a+b+c+abc
1+ab+ac+bc ;
=
a+b+c+abc
1+ab+ac+bc ;
209
1 et a >
1
) (a b) c = a (b c) )
de plus
est associative.
a+b
1+ab
est commutative car: 8 (a; b) 2 E 2 ; a b =
=
b+a
1+ba
= b a:
(b) L’existence de l’élément neutre?
Il su¢ t pour l’élément neutre de résoudre: 8a 2 E; a e = a:
a e=a)
a+e
=a)e 1
1 + ae
a2 = 0; 8a 2 E ) e = 0:
(c) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément a 2 E?
a admet un élément symétrique a
a a
1
=0)
a+a
1+aa
1
1
1
1
=0)a+a
1
)a a
=0)a
= e = 0:
1
=
a 2 E si a 2 E:
Conclusion: (E; ) est une groupe abélien.
Exercice 11: (1) Soit (G; ) est un groupe véri…ant (8x 2 G) (x x = x), montrer que ce groupe est
commutatif. Il su¢ t de montrer que est commutative?
ç-à-d: 8x; y 2 G; x y = y x?
Soient x; y 2 G; y x 2 G car
est interne.
D’après l’hypothèse: (y x) (y x) = (y x) ;
) (y x) (y x) = (y y) (x x) ;
)y
) y
1
(y x y x) x
1
y
x y
1
x x
=y
1
(y y x x) x
= y
) e x y e = e y x e car
) x y = y x. Alors
1
1
y
y x
1;
x x
1
;
est associative,
est commutative.
Conlusion: G est un groupe commutatif.
(2) La même question si: (8x 2 G) (x x = e)(où e est l’élément neutre).
(8x 2 G) (x x = e) , x
1
= x où: x
1
est l’élément symétrique de x::::(1)
Pour montrer que le groupe est commutatif, il su¢ t de montrer que
ç-à-d: 8x; y 2 G; x y = y x?
Soient x; y 2 G; x y 2 G car
est interne,
210
est commutative.
) (x y)
1
= (x y) d’après (1) ) (x y) (x y) = e;
) x (x y) (x y) = x e = x;
) (x x) (y x) y = x car
est associative,
) e (y x) y = x ) (y x) y = x;
) (y x) y y = x y ) (y x) e = x y;
) y x = x y. Alors
est commutative.
Conlusion: G est un groupe commutatif.
Exercice 12: Soit (G; ) est un groupe, on appelle centre du groupe l’ensemble des éléments de G qui
commutent avec tous les éléments de G, ç-à-d:
C = fx 2 G; (8y 2 G) (x y = y x)g :
(1) Montrons que (C; ) est un sous-groupe de(G; ).
(a) On a: 8x 2 G; x e = e x ) e 2 C:
(b) 8x1 2 C; 8x2 2 C; alors:
8y
2
G; (x1 x2 ) y = x1 (x2 y) (l’associativité),
=
x1 (y x2 ) ( x1 2 C),
=
(x1 y) x2 (l’associativité),
=
(y x1 ) x2 ( x1 2 C),
=
y (x1 x2 ) (l’associativité),
) x1 x2 2 C:
(c) 8x 2 C; 8y 2 G; x
1
y= y
1
x
1
= x y
1
1
(car: x 2 C) = y x
Conclusion: (C; ) est un sous-groupe de G:
(2) Montrons que la relation binaire dé…nie sur G par:
8x; y 2 G; x<y , x y
211
1
2 C;
1
)x
1
2 C:
est une relation d’équivalence. En présisons les classes.
(a) La ré‡exivité:
1
8x 2 G; x x
= e 2 C ) x<x ) < est ré‡exive.
(b) La symétrie:
8x; y 2 G; x<y , x y
1
, x y
,y x
1
1
1
2 C;
2 C car C est un groupe,
2 C , y<x. Alors < est symétrique.
(c) La transitivité:
8x; y; z 2 G; x<y et y<z , x y
, x y
1
,x
1
y
,x e z
1
y z
y
1
z
1
1
et y z
1
2 C;
2 C car C est un groupe donc
2 C car
2C,x z
1
est interne,
est associative,
2 C , y<x. Alors < est transitive.
Conclusion: < est une relation d’équivalence.
Exercice 13: Soit (G; ) un groupe et A une partie de G. On pose:
Z (A) = fx 2 G=8a 2 A, x a = a xg :
Montrons que Z (A) est un sous-groupe de G:
(1) Montrons que: 8x1 ; x2 2 Z (A) alors x1 x2 2 Z (A)?
8a 2 A; (x1 x2 ) a = x1 (x2 a) car
est associative,
= x1 (a x2 ) car x2 2 Z (A) ;
= (x1 a) x2 car
est associative,
= (a x1 ) x2 car x2 2 Z (A) ;
= a (x1 x2 ) car
) x1 x2 2 Z (A) :
(2) Montrons que: 8x 2 Z (A) alors x
1
2 Z (A)?
212
est associative,
8a 2 A;x
1
a=x
1
1
a e=x
=x
1
1
(a x) x
1
= x
x
a x
1
=e a x
1;
a x x
1
=x
1 car
=a x
1
(x a) x
1
car x 2 Z (A) ;
est associative,
)x
1
2 Z (A) :
Conclusion: Z (A) est un sous-groupe de G:
Exercice 14:
Soit (G; ) un groupe dont l’élément neutre est e1 et dont l’inverse d’un élément x est noté
x
1.
Soit a un élément de G, on dé…nit la loi notée
dans G par:
(8x 2 G) (8y 2 G) ; (x y = x a y) :
Montrons que (G; ) est un groupe dont on précisera l’élément neutre e2 et le symétrique x0
d’un élément x de G:
(1) Montrons que
est interne?
(8x 2 G) (8y 2 G) (x y = x a y 2 G car
(2) Montrons que
est interne) )
est interne.
est associative?
Montrons que: 8x; y; z 2 G; (x y) z = x (y z)?
En e¤et: Soient x; y; z 2 G; (x y) z = (x a y) z;
= x a y a z = x a (y a z) car est associative,
= x a (y z) = x (y z) :
(3) L’existence de l’élément neutre?
e2 est un élément neutre de G pour la loi
x e2 = x ) x a e2 = x ) x
) a e2 = e1 ) e2 = a
1
1
e1 = a
ssi: 8x 2 G; x e2 = e2 x = x:
x a e2 = x
Alors l’élément neutre pour
1
=a
x = e1 ;
1:
et e2 x = x ) e2 a x = x ) e2 a x x
) e2 a = e1 ) e2 = e1 a
1
1
1:
est: a
1:
213
=x
1
x = e1 ;
(4) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément x?
x0 est un élément symétrique de x ssi: x x0 = x0 x = a
x x0 = a
1
, x a x0 = a
1
) x0 = a
1
x
1
a
1:
x0 x = a
1
, x0 a x = a
1
) x0 = a
1
x
1
a
1:
est: x0 = a
1
Alors l’élément symétrique de x pour
x
1?
1
1:
a
Conclusion: (G; ) est un groupe .
Exercice 15: Soient A et B deux sous groupes d’un groupe (E; ). Soit:
AB = fa b=a 2 A; b 2 Bg et BA = fb a=b 2 B; a 2 Ag :
Montrons que AB est un sous groupe de E ssi AB = BA:
8
< 8 1 ; 2 2 AB )
" ) " Hyp: AB est un sous groupe de E ,
: et 8 2 AB )
2 AB;
1
2
1
2 AB:
Pb: AB = BA.
"
"Si
1
)
)
"
"Si
1
1
= (b0 )
2 BA )
=a
1
1
)
= a b=a 2 A; b 2 B;
2 AB ) 9a0 2 A et b0 2 B tel que:
= (a0 b0 )
)
)
2 AB )
1
b
1
1
(a0 )
1
1
= a0 b0 ;
2 BA car A et B deux sous groupes d’un groupe (E; ) :
= b a=a 2 A; b 2 B;
2 AB car A et B deux sous groupes d’un groupe (E; ) ;
2 AB car AB est un sous groupe,
2 AB car
1
1
=
:
" ( " Hyp: AB = BA:
8
< 8 1 ; 2 2 AB )
Pb: AB est un sous groupe de E ,
: et 8 2 AB )
(a) Soient 1 ; 2 2 AB;
) 9a1 ; a2 2 A et b1 ; b2 2 B tel que:
)
1
2
1
= a1 b1 et
2
2 AB;
1
2
1
2 AB:
= a2 b2 :
= a1 b1 a2 b2 = a1 (b1 a2 ) b2 avec b1 a2 2 BA ) b1 a2 2 AB car AB = BA;
) 9a0 2 A; b0 2 B tel que b1 a2 = a0 b0 ;
214
)
1
2
= a1 (a0 b0 ) b2 = (a1 a0 ) (b0 b2 ) 2 AB;
car a1 a0 2 A et b0 b2 2 B avec A et B deux sous groupes d’un groupe (E; ) :
Conclusion:
(b) Soit
)
1
1
2
2 AB )
=b
1
a
1
2 AB:
= a b=a 2 A; b 2 B;
mais b
1
a
1
2 BA = AB )
1
2 AB:
Conclusion: AB est un sous groupe de E:
Exercice 16: On munit E = R
f 3g de la loi
dé…nie par:
8 (a; b) 2 E 2 ; a b = ab + 3 (a + b + 2) :
(1) Véri…ons que
Pour que
est une l.c.i dans E:
est une l.c.i dans E il su¢ t de montrer que:
ab + 3 (a + b + 2) 6=
ab + 3 (a + b + 2) =
)a=
3 ou b =
3:
3 ) ab + 3a + 3b + 9 = 0 ) (a + 3) (b + 3) = 0;
3 contradiction.
Donc 8 (a; b) 2 E 2 ; a b 2 E )
est interne dans E:
(2) Montrons que (E; ) est un groupe commutatif.
(a) La commutativité: 8 (a; b) 2 E 2 ;
a b = ab + 3 (a + b + 2) = ba + 3 (b + a + 2) = b a. Alors
est commutative.
(b) L’associativité: 8a; b; c 2 E; (a b) c = a (b c)?
Soient a; b; c 2 E;
(a b) c = [ab + 3 (a + b + 2)] c = [ab + 3 (a + b + 2)] c+3 [(ab + 3 (a + b + 2) + c + 2)] :::(1)
et
a (b c) = a (bc + 3(b + c + 2) = a (bc + 3(b + c + 2) + 3 [a + bc + 3 (b + c + 2)] ; :::(2)
(1) = (2) ) (a b) c = a (b c) :
Alors
est associative.
215
(c) L’existence de l’élément neutre:
Puisque
est commutative, il su¢ t de résoudre l’équation:
8a 2 E; a e = a ) ae + 3 (a + e + 2) = a ) e (a + 3) =
)e=
2a 6
(a+3)
=
2 (a+3)
(a+3) =
2 car: a 6=
Alors l’élément neutre est: e =
2a
6;
3:
2:
(d) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément a:
8a 2 E; a a
)a
1
=
1
3a 8
a+3
=e=
2 ) aa
1
1
+3 a+a
qui existe 8a 2 E, car a 6=
+2 =
2;
3:
Conclusion: (E; ) est un groupe commutatif.
(3) Soit l’application:
f
:
(R ; ) ! (E; )
x 7! f (x) = x
3:
Montrons que f est un homomorphisme de groupes.
(a) Notons que: (R ; ) et (E; ) sont deux groupes.
(b) De plus: 8x1 ; x2 2 R ; f (x1 x2 ) = (x1 x2 )
et f (x1 ) f (x2 ) = (x1
3) (x2
= (x1
3) (x2
3;
3)
3) + 3 [(x1
3) + (x2
3) + 2] = (x1 x2 )
Alors:
8x1 ; x2 2 R ; f (x1 x2 ) = f (x1 ) f (x2 ) :
Conclusion: f est un homomorphisme de groupes.
p
Exercice 17: Soit A = x 2 R = 9 (a; b) 2 Q2 ; x = a + b 2 :
(1) Montrons que (A; +) est un sous-groupe de (R; +) :
p
(a) L’élément neutre: 0 = 0 + 0 2 2 A:
216
3:
p
p
(b) Soient x1 = a1 + b1 2 2 A; x2 = a2 + b2 2 2 A;
p
) x1 + x2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) 2 2 A, car: (a1 + a2 ) et (b1 + b2 ) 2 Q:
p
(c) Si x = a + b 2 2 A )
x=
a
p
b 2 2 A car ( a) ; ( b) 2 Q:
Conclusion: (A; +) est un sous-groupe de (R; +) :
(2) Véri…ons que (A; +; :) est un anneau.
(a) (A; +) est un sous-groupe de (R; +) ;
) (A; +) est un goupe de plus + est commutative alors le groupe est commutatif:
p
(b) la multiplication est associative, admet un élément neutre 1 = 1 + 0 2 2 A; distributive
par rapport à +. Ce qui implique que (A; +; :) est un anneau.
(3) (A; +; :) est-il un corps? Justi…er.
(a) (A; +; :) est un anneau.
(b) Chaque élément de A
p
f0g est inversible, car si x 2 A ) x = a + b 2;
) l’élément inverse pour la multiplication est: x0 = a+b1p2 =
p
2
car si a2 2b2 = 0 ) 2 = ab ) 2 2 Q contradiction,
p
a b 2
a2 2b2
avec a2
) x0 2 A:
Conclusion: (A; +; :) est un corps.
Exercice 18: Soient G = R
R et f : R ! R une application:
On pose:
8 (a; b) ; (c; d) 2 G; (a; b) (c; d) = (ac; bc + f (a) d) :
Quelles conditions doit véri…er f pour que (G; ) soit un groupe?
(G; ) soit un groupe ssi:
(1)
est interne dans G , 8 (a; b) ; (c; d) 2 G; (a; b) (c; d) 2 G:
217
2b2 6= 0;
(a; b) (c; d) = (ac; bc + f (a) d) 2 R
R = G car:
ac 2 R et f (a) d 2 R car f est une application.
(2)
est associative , 8 (a1 ; b1 ) ; (a2 ; b2 ) ; (a3 ; b3 ) 2 G;
[(a1 ; b1 ) (a2 ; b2 )] (a3 ; b3 ) = (a1 ; b1 ) [(a2 ; b2 ) (a3 ; b3 )] :
En e¤et: Soient (a1 ; b1 ) ; (a2 ; b2 ) ; (a3 ; b3 ) 2 G;
[(a1 ; b1 ) (a2 ; b2 )] (a3 ; b3 ) = (a1 a2 ; b1 a2 + f (a1 ) b2 ) (a3 ; b3 )
= (a1 a2 a3 ; b1 a2 a3 + f (a1 ) b2 a3 + f (a1 a2 ) b3 ) :::(1)
et (a1 ; b1 ) [(a2 ; b2 ) (a3 ; b3 )] = (a1 ; b1 ) (a2 a3 ; b2 a3 + f (a2 ) b3 )
= (a1 a2 a3 ; b1 a2 a3 + f (a1 ) b2 a3 + f (a1 ) f (a2 ) b3 ) :::(2)
(1) = (2) , f (a1 a2 ) = f (a1 ) f (a2 ) :
Alors la 1ère condition est pour tout a1 ; a2 2 R ; f (a1 a2 ) = f (a1 ) f (a2 ) :
(3) L’existence de l’élément neutre:
(e1 ; e2 ) est un élément neutre de G ssi:
8 (a; b) 2 G; (a; b) (e1 ; e2 ) = (a; b) et (e1 ; e2 ) (a; b) = (a; b) :
En e¤et, soit (a; b) 2 G;
(a) (a; b) (e1 ; e2 ) = (a; b) , (ae1 ; be1 + f (a) e2 ) = (a; b) ) e1 = 1 et e2 = 0:
(b) (e1 ; e2 ) (a; b) = (a; b) , (e1 a; ae2 + f (e1 ) b) = (a; b) ) e1 = 1, e2 = 0 et f (e1 ) = 1:
Alors l’élément neutre est: (1; 0) sous la 2ème condition sur f : f (1) = 0:
(4) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément:
(a0 ; b0 ) est un élément symétrique pour un (a; b) 2 G ssi:
(a; b) (a0 ; b0 ) = (1; 0)et (a0 ; b0 ) (a; b) = (1; 0) :
En e¤et:
(a)8
(a; b) (a0 ; b0 ) = (1; 0) ,8
(aa0 ; ba0 + f (a) b0 ) = (1; 0)
>
>
>
>
aa0 = 1
a0 = a1
>
>
<
<
,
)
et
et
>
>
>
>
>
>
: ba0 + f (a) b0 = 0:
: b0 =
b
af (a) , avec f (a) 6= 0:
218
(b)8
(a0 ; b0 ) (a; b) = (1; 0) ,8(a0 a; b0 a + f (a0 ) b) = (1; 0)
>
>
>
>
a0 = a1
a0 a = 1
>
>
<
<
,
)
et
et
>
>
>
>
>
>
: b0 a + f (a0 ) b = 0
: b0 = bf ( a1 ) :
a
Alors pour que l’élément symétrique existe pour chaque (a; b) 2 G il su¢ t que:
1
a
f
=
1
et f (a) 6= 0: (3ème condition)
f (a)
avec l’élément symétrique de (a; b) est: (a0 ; b0 ) =
1
a;
b
af (a)
:
Conclusion: (G; ) soit un groupe sous les conditions suivantes:
(1) 8a1 ; a2 2 R ; f (a1 a2 ) = f (a1 ) f (a2 ) :
(2) f (1) = 0:
(3) 8a 2 R; f
1
a
=
1
f (a)
et f (a) 6= 0:
Exercice 19: Soit (G; ) un groupe. Pour tout a 2 G on dé…nit l’application fa par:
fa
:
(G; ) ! (G; )
x 7! fa (x) = a x:
(1) Montrons que fa est bijective.
(a) L’injectivité:
Montrons que: 8x1 ; x2 2 G; fa (x1 ) = fa (x2 ) ) x1 = x2 :
Soient x1 ; x2 2 G; fa (x1 ) = fa (x2 ) ) a x1 = a x2
) x1 = x2 car chaque élément dans un groupe est régulier. Alors fa est injective.
(b) La surjectivité:
Montrons que: 8y 2 G; 9x 2 G tel que: fa (x) = y:
fa (x) = y , a x = y , x = a
1
y avec a
1
est le symétrie de a qui existe car (G; ) est
un groupe.
Alors: 8y 2 G; 9x = a
1
y 2 G ( est interne) tel que: fa (x) = y:
219
Ce qui implique que fa est surjective.
Conclusion: fa est bijective.
On note par BG l’ensemble des applications bijectives de G vers G:
(2) Montrer que (BG ; ) est un groupe. (avec: g f (x) = g (f (x)))
(a) 8f; g 2 BG ) g f est bijective (ex 10 chapitre 3) ) g f 2 BG :
Alors
est interne dans BG :
(b) 8f; g; h 2 BG ) ((g f ) h) (x) = g (f (h (x))) = (g (f
) (g f ) h = g (f
h) )
h)) (x)
est associative.
(c) L’existence de l’élément neutre.
On note que l’application identité
id
:
G!G
x 7! id (x) = x;
est bijective donc id 2 BG . Alors: 8f 2 BG ) f
id = id f = f:
Alors l’élément neutre de BG est id:
(d) L’existence de l’élément symétrique pour chaque élément de BG :
8f 2 BG ) 9f
1
2 BG telle que: f
Alors l’élément symétrique de f est f
1
f
=f
1
f = id:
1:
Conclusion: (BG ; ) est un groupe.
(3) On dé…nit l’application
par:
:
a 7!
(a) Montrons que
(G; ) ! (BG ; )
(a) = fa :
est un morphisme de groupe.
220
(i) (G; ) et (BG ; ) sont deux groupes.
(ii) 8a1 ; a2 2 G;
(a1 a2 ) (x) = fa1
a2
(x) = a1 a2 x;
et (fa1
fa2 ) (x) = fa1 (fa2 (x)) = fa1 (a2 x) = a1 a2 x:
Alors:
(a1 a2 ) = (fa1
De (i) et (ii)
(b)
fa2 ) =
(a1 )
(a2 ) :
est un morphisme de groupe.
est-elle injective?
8a1 ; a2 2 G;
(a1 ) =
(a2 ) ) fa1 = fa2 ;
d’où: fa1 (x) = fa2 (x) ) a1 x = a2 x
) a1 = a2 car chaque élément dans un groupe est régulier. Alors
221
est injective.
Chapitre 8
Espaces vectoriels
8.1
Introduction
Sur les vecteurs, au sens de la géométrie élémentaire, c’est-à-dire tels qu’on les rencontre en
physique élémentaire, on a pu dé…nir deux types d’opération qui donnes comme résultat un
vecteur : l’addition et la multiplication par un réel. Dans ce chapitre, nous allons généraliser
ces notions en leur donnant une portée plus abstraite, donc plus vaste.
8.2
Dé…nition d’un espace vectoriel
Dé…nition 8.1 On dit qu’un ensemble E est un espace vectoriel ( ou possède une structure
d’espace vectoriel) sur un corps commutatif | ( le plus souvent R ou C) si on peut dé…nir sur
les éléments de E (appelés vecteurs) deux opérations, ou lois de composition qui véri…es les
propriétés suivantes:
I- Une opération interne, L’addition (notée +) qui véri…e:
(E; +) un groupe abélien.
II- Une opération externe, la multiplication d’un vecteur par un élément de |:
Cette lois externe (produit noté :) posséde les propriétés suivantes:
222
8 ;
2 |; 8u; v 2 E :
(1) : (u + v) = ( :u) + ( :v) (distributivité d’un scalaire sur E).
(2) ( + ) :u = ( :u) + ( :u) (distributivité d’un vecteur sur |).
(3) : ( :u) = (
) :u:
(4)1| :u = u (1 étant l’élément neutre de |).
Remarque 8.1 On remarque dans le passage de la propriété (3) que dans le premier membre
les deux multiplications sont externes c’est-à-dire entre un scalaire et un vecteur par contre dans
le second membre la première est entre deux scalaires (notée:
) et la deuxième et entre un
scalaire et un vecteur (notée: :).
Exemples 8.1 Les ensembles suivants possèdent des structures d’espaces vectoriels sur R (éventuellement sur C):
(1) L’ensemble Rn ; n
1:
(2) L’ensemble des suites réelles ou complexes.
(3) L’ensemble des fonctions continues sur un intervalle I.
(4) L’ensemble des polynômes à une variable, de degré inférieur ou égal à n.
(5) Par contre l’ensemble des polynômes à une variable, de degré égal à n 2 N n’est plus un
espace vectoriel car le polynôme nul ( l’élément neutre) n’est plus de degré n.
8.3
Propriétés immédiates des opérations dans un espace vectoriel
Notons que dans les espaces vectoriels on peut écrire
u au lieu de
:u, pour simpli…er les
notions.
Des axiomes de la dé…nition d’un espace vectoriel, il résulte les propriétés suivantes:
(1)8u 2 E; 0:u = 0E . (0E est l’élément neutre de E qui est le vecteur nul).
(2)8 2 |; :0E = 0E :
(3)8 2 |; 8u 2 E; u = 0E =)
(4)8u 2 E; ( 1) u =
= 0 ou u = 0E :
u:
(5)8 ( ; ) 2 |2 ; 8u 2 E
f0E g : u = u )
223
= :
(6)8 2 | ; 8 (u; v) 2 E 2 : u = v ) u = v:
8.4
Sous -espaces vectoriels
Dé…nition 8.2 On appelle sous-espace vectoriel (notation abrégée: s.e.v) d’un espace vectoriel E, sur un corps |, toute partie de E qui possède la structure d’espace vectoriel sur |.
Autrement pour qu’une partie non vide F d’un espace vectoriel E soit un sous-espace vectoriel
de E, il faut et il su¢ t que toute combinaison de deux vecteurs de F soit un vecteur de F ,
c’est à dire:
(1)F 6= ?;
(8.1)
(2)8u; v 2 F; u + v 2 F;
(3)8 2 |; 8u 2 F; u 2 F:
Ou bien on combine les deux dernières propriètés on trouve:
(1)F 6= ?;
(2)8u; v 2 F; 8 ;
2 |; u + v 2 F:
De plus on écrit:
F
s:e:v
E:
Exemples 8.2 (1) L’ensemble des suites convergentes est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des suites réelles ou complexes.
(2) A = f(x; y; z) ; x = y = zg est un sous-espace de R3 :
(3) B = f(x; y; 1)g n’est pas un sous-espace de R3 car:
(x; y; 1) 2 B mais 3 (x; y; 1) = (3x; 3y; 3) 2
= B:
Proposition 8 Si F est un s.e.v de E alors il contient l’élément neutre de E.
Preuve:
F est un s.e.v de E ) F 6= ; ) 9u 2 F ) si
0:u = 0E 2 F:
Remarques:
224
= 0 alors d’après (3) de (8.1)
(1) 0 est l’élément neutre de R:
(2) (0; 0) est l’élément neutre de R2 :
(3) (0; 0; 0) est l’élément neutre de R3 :
(4) Le polynôme nul est l’élément neutre de l’ensemble des polynômes.
(5) La suite nulle est l’élément neutre de l’ensemble des suites.
(6) La fonction nulle est l’élément neutre de l’ensemble des fonctions.
Donc d’après la proposition 8 pour montrer que F 6= ; c’est plus pratique de voir l’élément
neutre car si OE 2
= F alors F n’est plus un s.e.v de E.
8.5
Intersection et la réunion de deux sous-espaces vectoriels
proposition 8.1 L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un s.e.v de E.
Preuve:
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E alors:
(1)0E 2 F et 0E 2 G (l’unicité de l’élément neutre) ) 0E 2 F \ G ) F \ G 6= ;:
(2)8u; v 2 F \ G ) u; v 2 F et u; v 2 G, donc:
u + v 2 F et u + v 2 G car F et G sont tous les deux des s.e.v de E, ce qui implique que:
u + v 2 F \ G:
(3) 8 2 |; 8u 2 F \ G ) u 2 F et u 2 G ) u 2 F et u 2 G ) u 2 F \ G:
Conclusion: F \ G est un s.e.v de E:
proposition 8.2 La réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n’est plus un s.e.v de E:
Exemple 8.1
Soient A = f(x; 0) ; x 2 Rg et B = f(0; y) ; y 2 Rg deux s.e.v de R2 , car par
exemple pour l’ensemble A on a:
(1) (0; 0) 2 A ) A 6= ;:
(2) 8u; v 2 A ) u = (a; 0) et v = (b; 0) ) u + v = (a + b; 0) 2 A:
225
(3) 8 2 R; 8u 2 A ) u = (a; 0) ) u = ( a; 0) 2 A:
Conclusion: A est un s.e.v de R2 :
De même pour l’ensemble B:D’autre part:
u = (1; 0) 2 A
A [ B et v = (0; 2) 2 B
A [ B;
mais:
u + v = (1; 2) 2
= A [ B;
alors: A [ B n’est plus un s.e.v de R2 :
8.6
8.6.1
Somme des sous-espaces vectoriels - Somme directe
Somme des sous-espaces vectoriels
Dé…nition 8.3 Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors la somme de F et G
est dé…ne par:
F + G = fu 2 E tel que: u = u1 + u2 avec u1 2 F et u2 2 Gg :
Exemple 8.2 Soient A = f(x; 0) ; x 2 Rg et B = f(0; y) ; y 2 Rg :Alors:
R2 = A + B;
car:
(x; y) = (x; 0) + (0; y) :
8.6.2
Somme directe (Espaces supplémentaires)
Dé…nition 8.4 On dit que la somme F + G est directe, ou encore que F et G sont supplémentaires vis-à-vis de E, si la décomposition u = u1 + u2 d’un élément quelconque de E en
226
somme de deux éléments de F et G est unique, et on note:
E=F
Autrement dit on a:
G:
8
>
>
E = F + G;
>
<
G,
:
et
>
>
>
: F \ G = f0 g
E=F
E
Exemple 8.3 Dans R3 les deux s.e.v suivants:
F = f(x; y; z) ; x = y = zg et G = f(x; y; 0) ; x; y 2 Rg ;
sont supplémentaires (R3 = F
G). En e¤ et:
(1) On a: R3 = F + G car:
a) F
R3 et G
R3 ) F + G
R3 :
b) 8u 2 R3 ; u = (x; y; z) = (z; z; z) + (x
z; y
z; 0) 2 F + G ) R3
F + G:
(2) F \ G = f0E g car:
a) On a: 0E 2 F et 0E 2 G car F et G sont deux s.e.v de E
) 0E 2 F \ G ) f0E g
F \ G:
b) Si u 2 F \ G ) u 2 F et u 2 G ) u = (x; x; x) et u = ( ; ; 0) )
) u = (0; 0; 0) ) F \ G
8.7
8.7.1
=
= x = y = 0:
f0E g :
La base d’une famille de vecteurs d’un espace vectoriel
Dépendance (Famille liée)
2!
!
u = !
v =
Dé…nition 8.5 Une famille (ai )1
les vecteurs (ai )1
i n
1
i n de
v )
1
!
u
2
!
v = ~0
vecteurs d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est liée ou
sont linéairements dépendants s’ils existes
nuls tels que:
1 a1
+
2 a2
+ ::: +
227
n an
= 0E :
1;
2 ; :::;
n
2 | non tous
Exemple 8.4 Dans E = R2 [x] (l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur
ou égale à 2 et à coe¢ cients réels), les vecteurs f1 ; f2 ; f3 dé…nies pour tout x 2 R par:
f1 (x) = x2 + 1; f2 (x) = x2
Car si
1;
2;
3
1 et f3 (x) = x2 sont liées.
2 R tels que:
1 f1
+
2 f2
+
3 f3
=0)
) ( 1 + 2 + 3 ) x2 + ( 1
8
< 1+ 2+ 3=0
)
)
:
=0
1
x2 + 1 +
1
2)
1
x2
2
2
3x
1 +
= 0;
= 0; 8x 2 R;
=
2
1
2 3;
=
2
ce qui donne une in…nité de solutions
3
2
;
3
2
;
3
avec
3
réel arbitraire par exemple:(1; 1;
2),
ce qui a¢ rme que les vecteurs f1 ; f2 ; f3 sont linéairements dépendants.
8.7.2
Indépendance (famille libre)
Dé…nition 8.6 Une famille (ai )1
les vecteurs (ai )1
i n
i n de
vecteurs d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est libre ou
sont linéairements indépendants si pour tout
1 a1
+
2 a2
+ ::: +
n an
= 0E =)
1
=
2
= ::: =
Exemple 8.5 Dans R3 les vecteurs u1 = (0; 1; 3) ; u2 = (2; 0;
car:
1 u1
+
2 u2
+
)
2
=
3
=
)
1
=
2
=
3 u3
= (0; 0; 0) )
3;
3
= 0;
donc fu1 ; u2 ; u3 g est une famille libre.
228
8
>
>
2
>
<
2
1;
+2
1 =0
>
>
>
: 3
1
2 ; :::;
n
n
2|:
= 0:
1) et u3 = (2; 0; 1) sont libres
3
2
=0
+
3
=0
8.7.3
Famille génératrice ou systéme générateur (vecteurs qui engendre un
espace)
Dé…nition 8.7 Une famille de vecteurs fa1 ; a2 ; :::; an g d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est dite
génératrice de E ou engendre E si tout élément u de E est une combinaison linéaire en fonctions
des (ai )1
i n
c’est-à-dire:
8u 2 E; 9
1;
2 ; :::;
n
2 | tels que: u =
1 a1
+
2 a2
+ ::: +
n an :
Exemple 8.6 Dans R2 les deux vecteurs u = (2; 3) et v = ( 1; 5) est une famille génératrice
car:8w 2 R2 ; 9
1;
2
2 R tels que:
w
=
(x; y) =
=
1 (2; 3) +
8
< 2 1
)
: 3 +5
1
donc (
8.7.4
1;
1u
2
+
2v
2(
2
2
1; 5) = (2
8
<
=x
)
:
=y
1
1
2
=
=
2; 3 1
+5
5x+y
13
3x+2y
13
;
2)
) existe pour tout (x; y) 2 R2 :
La notion d’une base
Dé…nition 8.8 Une famille de vecteurs fa1 ; a2 ; :::; an g d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est une
base de E si elle est à la fois libre et génératrice.
Exemple 8.7 Dans R3 les vecteurs u = (2; 3; 0) ; v = (1;
1; 1) et w = ( 1; 3; 5) formes une
base de R3 :
Remarque 8.2 Il existe dans les espaces vectoriels ce qu’on appelle la base canonique de
l’espace citons par exemples:
(1) f(1; 0) ; (0; 1)g est la base canonique de R2 :
(2) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)g est la base canonique de R3 :
(3) 1; X; X 2 ; :::; X n est la base canonique de Rn [X] : ensemble des polynômes de degré
229
n:
8.7.5
Dimension d’un espace vectoriel
Dé…nition 8.9 La dimension …nie n d’un espace vectoriel E, est le nombre maximum de
vecteurs que peut renfermer un système libre extrait de E. Autrement dit la dimension d’un
espace vectoriel E est le nombre de vecteurs qui formes la base de E, et on note dim E = n:
Si le nombre des éléments d’un système libre de E n’est pas majoré, on dit que E est de dimension in…nie par exemple l’espace vectoriel des fonctions.
Par convention on pose:
dim (f0E g) = 0:
Remarque 8.3 Pour montrer que la famille de vecteurs fa1 ; a2 ; :::; an g d’un |-espace vectoriel
(E; +; :) est une base de E, sachant que dim E = n, alors il su¢ t de montrer que fa1 ; a2 ; :::; an g
est soit libre ou bien génératrice.
Exemple 8.8 Dans R3 , pour montrer que les vecteurs u = (1; 3; 1) ; v = (4; 2; 1) et w =
(0; 0; 5) formes une base de R3 , il su¢ t de montrer que fu; v; wg est libre car dim R3 = 3 et on
a trois vecteurs, en e¤ et:
1u
+
2v
+
3w
= (0; 0; 0) )
) ( 1 + 4 2; 3 1 + 2 2; 5
8
>
>
+ 4 2 = 0:::(1)
>
< 1
)
3 1 + 2 2 = 0:::(2)
>
>
>
:
= 0;
3)
1 (1; 3; 1)
+
2 (4; 2; 1)
+
3 (0; 0; 5)
= (0; 0; 0)
= (0; 0; 0)
3
[3
(1)]
(2) ) 10
2
=0)
1
=
2
=
3
= 0;
donc fu; v; wg est une famille libre et par suite c’est une base de R3 car dim R3 = 3:
Exemple 8.9 Les ensembles suivants sont-ils des bases?
(1) A = f(2; 1) ; (3; 1); (4; 5)g :
A n’est plus une base de R2 car:
cardA = 3 > 2 = dim R2 :
(2) B = f(2; 1; 0) ; (3; 1; 4)g :
230
B n’est plus une base de R3 car:
cardB = 2 < 3 = dim R3 :
Remarque 8.4
dim Rn = n:
dim Rn [x] = n + 1;
avec: Rn [x] est l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égale à n:
proposition 8.3 Si F est un s.e.v d’un espace vectoriel E de dimension n alors:
F
8.7.6
E ) dim F
dim E:
Rang d’un système de vecteurs
Dé…nition 8.10 On appelle rang d’un système de p vecteurs F = fu1 ; u2 ; :::; up g de E, avec
dim E = n, la dimension r du sous-espace vectoriel F . En d’autres termes, r est le nombre
maximum de vecteurs que peut comporter un système libre extrait du système donné sachant
que r
n et on note r par rangF ou rgF .
Exemple 8.10 F = fu1 ; u2 ; u3 g avec u1 = (1; 2) ; u2 = (2; 3) ; u3 = (6; 7) :
Puisque les vecteurs sont dans R2 alors:
1
1 u1
+
2 u2
rangF
= (0; 0) )
2:
1 (1; 2)
+
) ( 1 + 2 2 ; 2 1 + 3 2 ) = (0; 0)
8
< 1 + 2 2 = 0::: (1)
)
: 2 + 3 = 0::: (2)
1
2
[2
(1)]
(2) )
2
=0)
alors fu1 ; u2 g est libre alors rangF = 2:
231
1
= 0;
2 (2; 3)
= (0; 0)
8.7.7
Lien entre la dimension et la somme directe
proposition 8.4 Dans les espaces de dimensions …nies on a la formule:
dim (F + G) = dim F + dim G
dim (F \ G) :
Dans le cas de la somme directe on a: F \ G = f0E g, d’où:
dim (F
G) = dim F + dim G:
En…n pour montrer que de sous espaces vectoriels de dimensions …nies sont supplémentaires
vis-à-vis de E, on a:
E=F
G,
8
>
>
dim E = dim F + dim G
>
<
>
>
>
:
et
F \ G = f0E g :
Exemple 8.11 Dans R3 les deux s.e.v suivants:
F = f(x; y; z) ; x = y = zg et G = f(x; y; 0) ; x; y 2 Rg sont supplémentaires.
En e¤ et:
(1) 8u 2 F; u = (x; x; x) = x (1; 1; 1) ) u = (1; 1; 1) engendre F
) f(1; 1; 1)g est une base de F ) dim F = 1:
(2) 8v 2 G; v = (x; y; 0) = x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0)
) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g engendre G; de plus:
(1; 0; 0) +
(0; 1; 0) = 0 )
=
=0
) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g est une famille libre donc une base de G;
) dim G = 2
) dim R3 = dim F + dim G = 3:
Le reste de la preuve est déja fait, donc la somme est directe (F et G sont supplémentaires).
232
8.8
Sous-espace engendré par un ensemble ou une famille de
vecteurs
Dé…nition 8.11 Soit A une partie d’un espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré
par un ensemble A est le plus petit sous-espace vectoriel contenant l’ensemble A, et on le note
par: S (A).
Exemple 8.12 (1) Si A est un s.e.v de E alors: S (A) = A:
(2) S (;) = f0E g :
Dé…nition 8.12 On dit qu’un espace vectoriel E est engendré par une famille de vecteurs
fu1 ; u2 ; :::; un g si et seulement si:
8u 2 E; 9
i
2 R; 1
i
n tels que: u =
1 u1
+
2 u2
+ ::: +
n un ;
et on écrit:
E = V ect fu1 ; u2 ; :::; un g ou E = Lin fu1 ; u2 ; :::; un g :
Exemple 8.13
R3 = V ect fu1 ; u2 ; u3 g avec: u1 (1; 0; 0) ; u2 (0; 1; 0) et u3 (0; 0; 1) ;
car:
8u 2 R3 ; 9
i
sachant que:
8.9
2 R; 1
1
= x;
i
2
3 tels que: u (x; y; z) =
= y et
3
1 u1
+
2 u2
+
3 un ;
= z:
Exercices
Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s.e.v de R2 ?
(1)A =
(3)C =
x; x2 ; x 2 R
(2)B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.
(x; y) ; x 2 R; y 2 R x2 + y 2
1 :
233
Exercice 02: Soit:
E = (x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0 :
E ainsi dé…ni est-il un sous espace vectoriel de R3 ? Si oui donner sa dimension.
Exercice 03: Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous espaces vectoriels.
(1) E1 = (x; y; z) 2 R3 =x + y
z =x+y+z =0 :
(2) E2 = (x; y; z) 2 R3 =x2
z2 = 0 :
(3) E3 = (x; y; z) 2 R3 =ex
ey = 0 :
(4) E4 = (x; y; z) 2 R3 =z x2 + y 2 = 0 :
(5) E5 = (x; y) 2 R2 =x + y + 1
0 :
(6) E6 = (x; y) 2 R2 = sin (x + y) = 0 :
(7) E7 = ff 2 E; f (1) = 1 + f (0)g :(E = F(R; R) l’ensemble des fonctions)
(8) E8 = ff 2 E; f (1)
f (0)g :
(9) E9 = ff 2 E1 ; f (0) = f 0 (0) = 0g :(E1 = F(R; R) l’ensemble des fonctions dérivables)
(10) E10 = fP 2 Rn [x] = P 0 = 3g :
Exercice 04: Soit E le R-espace vectoriel des applications réelles dé…nies sur R:Déterminer parmi les
sous-ensembles suivants de E, ceux qui sont des s.e.v.
(1) A = ff 2 E; 8x 2 R; f (2x) = f (x)g :
(2) B = ff 2 E; f est une application paireg :
Exercice 05: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s.e.v ?
(1) L’ensemble C des suites réelles convergentes.
(2) L’ensemble D des suites réelles divergentes.
(3) L’ensemble Cr des suites réelles croissantes.
234
Exercice 06: On pose E = F(R; R) l’ensemble des fonction et Cr l’ensemble des fonctions de E croissantes avec:
G = ff
g tel que f; g 2 Cr g :
Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E:
Exercice 07:
(1) Ecrire le vecteur v = (1; 2; 5) comme combinaison linéaire des vecteurs:
v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 2; 3) et v3 = (2; 1; 1) :
(2) Ecrire le vecteur u = (2; 5; 3) comme combinaison linéaire des vecteurs:
u1 = (1; 3; 2) ; u2 = (2; 6; 1) et u3 = (1; 5; 7) :
(3) Dans E = R2 [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à
coe¢ cients réels, les vecteurs suivants forment-ils une famille génératrice?
a) P = 2X 2
5; Q = 7X et R = 3X 2 + 4:
b)P = 1; Q = X et R = X (X
1) :
Exercice 08: (1) Soit, dans R4 , les vecteurs e1 = (1; 2; 3; 4) et e2 = (1; 2; 3; 4) :
Peut-on déterminer x et y pour que (x; 1; y; 1) 2 V ect fe1 ; e2 g? pour que (x; 1; 1; y) 2
V ect fe1 ; e2 g?
(sachant que V ect fe1 ; e2 g est le sous espace engendré par e1 et e2 ; qu’on peut le noté par
Lin fe1 ; e2 g)
(2) a) Soit a un nombre réel . Pour quelles valeurs de a, les vecteurs:
v1 = (1; 2; a) ; v2 = (2; 1; a) et v3 = (3a; 0; 1) ;
forment-ils une famille libre de R3 ?
235
b) Discuter suivant les valeurs de a, la dimension de A = V ect fv1 ; v2 ; v3 g.
(3) Dans F(R; R); montrer que les familles suivantes sont libres :
F1 = fx; ex g; F2 = fx; sin xg et F3 = fsin x; cos xg:
Exercice 09: On considère, dans l’espace vectoriel R3 , le vecteur v = (3; 1; 4) et l’ensemble B =
fe1 ; e2 ; e3 g où e1 = (1; 1; 1) ; e2 = (0; 1; 1) et e3 = (0; 0; 1) :
(1) Véri…er que B est une base de R3 :
(2) Déterminer les coordonnées du vecteur v dans B:
Exercice 10: Soient a; b et c trois réels distincts et
B0 =
(X
(a
b) (X c) (X
;
b) (a c)
(b
a) (X c) (X
;
a) (b c)
(c
une famille de R2 [X] (ensemble des polynômes de degré
a) (X b)
a) (c b)
;
2).
(1) Véri…er que B 0 est une base de R2 [X].
(2) Trouver Q 2 R2 [X] tel que Q(0) = 4, Q(3) = 2 et Q(4) = 1:
(3) Ecrire le polynôme Q dans dans la base B 0 puis dans la base canonique B.
Exercice 11: (R [X] ; +; :) le R-espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et P3 le sous-ensemble
de R [X] tel que P3 = P 2 R [X] =d0 P
3 :
(1) Montrer que P3 est un sous-espace vectoriel de R [X].
(2) Soit les polynômes Q0 = 1; Q1 = 1
X; Q2 = X
X 2 et Q3 = X 2
X 3:
a) Véri…er que B2 = fQ0 ; Q1 ; Q2 ; Q3 g est une base de P3 :
b) Déterminer les coordonnées du polynôme P = 1 + 5X
3X 2
X 3 dans la base B2 :
Exercice 12: Soit F = V ect fu1 ; u2 ; u3 g, déterminer dans chaque cas la dimension de F:
236
(1) u1 = (1; 0; 2) ; u2 = ( 4; 2; 3) et u3 = 0; 1; 11
2 :
(2) u1 = (1; x; 3) ; u2 = ( 4; 0; 3) et u3 = (0; 1; 1) :
(3) u1 = (1; 0; 2; 1) ; u2 = ( 1; 0; 3; 0) et u3 = (0; 1; 0; 5) :
Exercice 13: Soient:
E1 = (a; b; c) 2 R3 ; a = c , E2 = (a; b; c) 2 R3 ; a + b + c = 0
et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :
(1) Montrer que: Ei avec i = 1; 2; 3 sont des s.e.v de R3 :
(2) Montrer que: R3 = E1 + E2 ; R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3 :
(3) Dans quel cas la somme est directe?
Exercice 14: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a + b; b
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 = c 2 R .
avec E2 est un s.e.v de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s.e.v de R3 :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) Montrer que: R3 = E1 + E2 :
(5) Déduire si la somme est directe ou non.
Exercice 15: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a; b; b) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (a; b
avec E2 est un s.e.v de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s.e.v de R3 :
237
a; b) 2 R3 = a; b 2 R :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) Est ce que: R3 = E1 + E2 ? Justi…er votre réponse.
(5) Déterminer E1 \ E2 :
(6) Déduire si E1 et E2 sont supplémentaires dans R3 :
Exercice 16: Dans R8 [x] l’espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels de degré inférieur ou égale
à 8. On pose:
E0 = fP 2 R8 [x] / P (0) = 0g ;
Ep = fP 2 R8 [x] / 8x 2 R; P (x) = P ( x)g ;
et Ei = fP 2 R8 [x] / P (x) =
P ( x)g :
(1) Montrer que E0 ; EP et Ei sont des s-ev de R3 :
(2) Montrer que: R8 [x] = E0 + Ep et R8 [x] = Ei + Ep :
(3) Dans quel cas la somme est directe.
Exercice 17: (1) Dans R3 ; déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:
a) F1 = vect fu; v; wg où u = ( 2; 4; 1) ; v (1; 2; 1) et w = ( 3; 2; 0) :
b) F2 = (x; y; z) 2 R3 =3x
y + 3z = 0 :
(2) Déterminer un supplémentaire de G3 = vect fu3 g avec u3 (2; 1; 1) :
Exercice 18: Sachant que F = fP 2 R2 [x] =P (0) = P 0 (0)g est un sous-espace vectoriel de R2 [x] :
(1) Déterminer une base et la dimension de F:
(2) Déterminer un supplémentaire de F:
Exercice19: Dans E = Rn [x] l’espace des polynômes de degré
Ea = fP 2 E; (x
n, on dé…nit:
a) divise P g pour a 2 R:
238
(1) Montrer que Ea est un sous espace vectoriel de E:
(2) Montrer que si a 6= b il existe un couple de réels (c; d) tel que: 1 = c (x
a) + d (x
b) :
(3) En déduire que E = Ea + Eb : La somme est-elle directe?
Exercice 20: Montrer que dans l’espace F(R; R) des fonctions réelles dé…nies sur R, les sous-espaces }
et = respectivement constitués des fonctions paires et impaires sont supplémentaires.
Exercice 21: Soit E un espace vectoriel de dimension …nie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E:
(1) Montrer que F [ G est un s.e.v de E si et seulement si [F
G ou G
F ]:
(2) Montrer que F + G est le sous espace engendré par F [ G:
8.10
Solutions des exercices
Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s.e.v de R2 ?
(1)A =
x; x2 ; x 2 R (2)B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.
(3)C = (x; y) ; x 2 R; y 2 R; x2 + y 2
(1) A =
x; x2 ; x 2 R
1 :
n’est pas un sous espace vectoriel car:
(2; 4) ; (3; 9) 2 A mais (2; 4) + (3; 9) = (5; 13) 2
= A:
(2) B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg :
1er cas: Si b 6= 0 on a (0; 0) 2
= B alors B n’est pas un sous espace vectoriel car chaque s.e.v contient
l’élément neutre de l’espace.
2ème cas: Si b = 0 alors: B = f(x; ax) ; x 2 Rg :
a) (0; 0) 2 B ) B 6= ;:
b) Si v1 ; v2 2 B ) v1 = (x1 ; ax1 ) et v2 = (x2 ; ax2 ) ) v1 + v2 = (x1 + x2 ; a (x1 + x2 )) 2 B:
239
c) Si v1 2 B;
2 R ) v1 = ( x1 ; a ( x1 )) 2 B:
Conclusion: B est un sous espace vectoriel de R2 :
(3) C = (x; y) ; x 2 R; y 2 R x2 + y 2
1 n’est pas un s.e.v de R2 car:
(1; 0) 2 C mais 4
(1; 0) = (4; 0) 2
= C:
Exercice 02: Soit:
E = (x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0
On a:
x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0 , x2 + y 2 + 2yx + z 2 + y 2 + 2yz = 0
, (x + y)2 + (y + z)2 = 0 , x =
y et z =
y;
alors:
E = ( y; y; y) 2 R3 ; y 2 R :
(1) a) (0; 0; 0) 2 E ) E 6= ;:
b)
Si v1 ; v2 2 E ) v1 = ( y1 ; y1 ; y1 ) et v2 = ( y2 ; y2 ; y2 )
) v1 + v2 = ( (y1 + y2 ) ; (y1 + y2 ) ;
(y1 + y2 )) 2 E:
c)
Si v 2 E;
2 R ) v = ( ( y) ; ( y) ;
( y)) 2 E:
Alors E est un s.e.v de R3 .
(2) Si v 2 E alors v = ( y; y; y) = y ( 1; 1; 1) ce qui implique que le vecteur ( 1; 1; 1)
engendre E. Puisque on a qu’un seul vecteur alors B = f( 1; 1; 1)g est une base de E
ce qui implique que dim E = 1:
Exercice 03: Parmi les ensembles suivants reconnaître ceux qui sont des sous espaces vectoriels.
240
(1) E1 = (x; y; z) 2 R3 =x + y
x+y
z =x+y+z =0 :
z =x+y+z =0)x+y =z =
z)z=0)x=
y;
) E1 = f(x; x; 0) =x 2 Rg :
a) (0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;:
b) Si v1 ; v2 2 E1 :
v1 = (x1 ; x1 ; 0) et v2 = (x2 ; x2 ; 0)
) v1 + v2 = (x1 + x2 ;
(x1 + x2 ) ; 0) 2 E1 :
c)
Si v = (x; x; 0) 2 E1 et
2 R alors:
v = ( x;
x; 0) 2 E1 :
Conclusion: E1 est un s.e.v de R3 :
(2) E2 = (x; y; z) 2 R3 =x2
z 2 = 0 n’est pas un s.e.v car:
v1 = ( 2; 0; 2) ; ( 3; 0; 3) 2 E2 mais: v1 + v2 = ( 5; 0; 1) 2
= E2 :
(3) E3 = (x; y; z) 2 R3 =ex
ey = 0 n’est pas un s.e.v car:
e0
e0 = 1 6= 0 ) (0; 0; 0) 2
= E3 :
(4) E4 = (x; y; z) 2 R3 =z x2 + y 2 = 0 n’est pas un s.e.v car:
(0; 0; 1) ; (1; 1; 0) 2 E4 mais: (0; 0; 1) + (1; 1; 0) = (1; 1; 1) 2
= E4 :
(5) E5 = (x; y) 2 R2 =x + y + 1
0 n’est pas un s.e.v car:
(1; 0) 2 E5 mais: ( 5)
241
(1; 0) = ( 5; 0) 2
= E5 :
(6) E6 = (x; y) 2 R2 = sin (x + y) = 0 n’est pas un s.e.v car:
;
2 2
2 E6 sin
;
2
= E6 sin
2
+
=0 ;
2
mais:
p
5
2 2
p
5
2
+
p
5
2
6= 0 :
(7) E7 = ff 2 E; f (1) = 1 + f (0)g n’est pas un s.e.v car:
Pour la fonction nulle f0 (8x 2 R; f0 (x) = 0) on a: f0 2
= E7 :
(8) E8 = ff 2 E; f (1)
f (0)g n’est pas un s.e.v car:
pour f1 (x) =
x on a: f1 2 E8 et ( 2) f1 2
= E8 :
(9) E9 = ff 2 E1 ; f (0) = f 0 (0) = 0g :
a) Pour la fonction nulle f0 (x) = 0; 8x 2 R, on a:
f0 (0) = f00 (0) = 0 ) f0 2 E9 ) E9 6= ;:
b) Soient f et g 2 E9 alors:
(f + g) (0) = (f + g)0 (0) = 0 ) f + g 2 E9 ;
car:
f (0) = f 0 (0) = 0 et g (0) = g 0 (0) = 0:
c) Soient f 2 E9 et
2 R alors:
( f ) (0) = ( f )0 (0) = 0 ) f 2 E9 ;
car:
f (0) = f 0 (0) = 0:
242
(10) E10 = fP 2 Rn [x] =P 0 = 3g n’est pas un s.e.v car:
Pour le polynôme null p0 (8x 2 R; p0 (x) = 0) on a: f0 2
= E10 :
Exercice 04: Soit E le R-espace vectoriel des applications réelles dé…nies sur R. Déterminons parmi les
sous-ensembles suivants de E, ceux qui sont des s.e.v.
(1) A = ff 2 E; 8x 2 R; f (2x) = f (x)g :
a) Pour l’application nulle f0 (x) = 0; 8x 2 R, on a:
f0 2 A car: f0 (2x) = f0 (x) = 0; donc A 6= ;:
b) Si f; g 2 A alors:
8x 2 R; f (2x) = f (x) et g (2x) = g (x)
ce qui implique que:
(f + g) (2x) = (f + g) (x) donc: (f + g) 2 A:
c) Si f 2 A et
2 R alors:
8x 2 R; f (2x) = f (x) ;
d’où:
( f ) (2x) = ( f ) (x) donc: ( f ) 2 A:
Conclusion: A
s.e.v
E:
(2) B = ff 2 E; f est une application paireg :
a) Pour l’application nulle f0 (x) = 0; 8x 2 R, on a:
f0 2 B;
car:
f0 est une application à la fois paire et impaire,
243
donc:
B 6= ;:
b) Si f; g 2 B alors:
8x 2 R; f (x) = f ( x) et g (x) = g ( x) ;
ce qui implique que:
(f + g) (x) = (f + g) ( x) donc: (f + g) 2 B:
c) Si f 2 B et
2 R alors:
8x 2 R; f (x) = f ( x) ;
donc:
( f ) (x) = ( f ) ( x) ) ( f ) 2 B:
Conclusion: B
s.e.v
E:
Exercice 05: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s.e.v ?
(1) L’ensemble C des suites réelles convergentes.
a) Un = 0; 8n 2 N (la suite nulle) est une suite convergente donc appartient à C.
b) Si Un ; Vn 2 C alors:
Un + Vn 2 C. (la somme de deux séries convergentes est une série convergente)
c) Si Un 2 C et
2 R alors:
Un 2 C:
(2) L’ensemble D des suites réelles divergentes.
Non car l’élément neutre Un = 0; 8n 2 N (la suite nulle) est une suite convergente .
(3) L’ensemble Cr des suites réelles croissantes.
Non car pour
< 0 et Un 2 Cr; on trouve Un 2
= Cr (c’est une suite décroissante).
244
Exercice 06: On pose E = F(R; R) l’ensemble des fonction et Cr l’ensemble des fonctions de E croissantes avec:
G = ff
g tel que f; g 2 Cr g :
Montrons que G est un sous-espace vectoriel de E:
a) Pour la fonction nulle f0 (x) = 0; 8x 2 R, on a:
f0 = f0
f0 avec f0 2 Cr ) f0 2 G ) G 6= ;:
b) Soient h1 et h2 2 G alors:
h1 = f1
g1 tel que f1 ; g1 2 Cr et h2 = f2
g2 tel que f2 ; g2 2 Cr ;
donc:
h1 + h2 = (f1
g1 ) + (f2
g2 ) = (f1 + f2 )
(g1 + g2 ) 2 G;
car:
f1 + f2 2 Cr et g1 + g2 2 Cr ;
(somme de deux fonctions croissantes est une fonction croissante).
c) Soient h 2 G et
2 R alors:
h=f
1er cas: Si
g tel que f; g 2 Cr ;
0:
h = ( f)
( g) 2 G car f; g 2 Cr ;
un nombre positif fois une fonction croissante est une fonction croissante.
2ème cas: Si
<0:
h = ( f)
( g) = (
g)
(
245
f ) 2 G car
f;
g 2 Cr ;
un nombre positif (
) fois une fonction croissante est une fonction croissante.
Conclusion: G est un s.e.v de E:
Exercice 07:
(1) Ecrire le vecteur v = (1; 2; 5) comme combinaison linéaire des vecteurs:
v1 = (1; 1; 1) ; v2 = (1; 2; 3) et v3 = (2; 1; 1) :
9
1;
2;
2 R tel que: v =
3
(1; 2; 5) =
8
>
>
1=
>
<
)
2=
>
>
>
: 5=
1 (1; 1; 1)
+
1
1
1
1
=
6;
2
+2
+2
+3
(2) + (3) et 2
)
2
+
+
+
2 (1; 2; 3)
+
2 v2
+
3 v3 ?
3 (2;
1; 1)
3 ::::(1)
3 ::::(2)
2
2
1 v1
3 ::::(3)
8
< 2 1+5 2 =3
(2) + (1) )
: 3 +5 = 3
1
2
= 3 et
3
= 2;
donc:
v=
6v1 + 3v2 + 2v3 :
(2) Ecrire le vecteur u = (2; 5; 3) comme combinaison linéaire des vecteurs:
u1 = (1; 3; 2) ; u2 = (2; 6; 1) et u3 = (1; 5; 7) :
9
1;
2;
3
2 R tel que: u =
246
1 u1
+
2 u2
+
3 u3 ?
(2; 5; 3) = 1 (1; 3; 2) + 2 (2; 6; 1) +
8
>
>
2 = 1 + 2 2 + 3 ::::(1)
>
<
)
5 = 3 1 6 2 5 3 ::::(2)
>
>
>
: 3=2 +
+ 7 ::::(3)
1
2
(1) + (2) + (3) )
(2) + 3
)
1
(1) )
=2+
3
2
5; 7)
3
3
2
3 (1;
3
= 72 ;
2
+3
3
=0)
2
=
=
=1)
2
1
2
=
3;
3;
d’où:
7
u = u1
2
1
u2
2
1
u3 :
2
(3) Dans E = R2 [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et à
coe¢ cients réels, les vecteurs suivants forment-ils une famille génératrice?
a)P = 2X 2
5; Q = 7X et R = 3X 2 + 4:
a) fP; Q; Rg est une famille génératrice de E
, 8M 2 E; 9
1;
2;
3
2 R tel que: M =
1P
+
2Q
+
3 R;
par suite on a:
M = ax2 + bx + c = 1 2X 2
8
>
>
a = 2 1 + 3 3 ::: (1)
>
<
)
b=7 2
>
>
>
: c = 5 + 4 ::: (3)
1
5 +
2 (7X)
3
3X 2 + 4
3
5
(1) + 2
(3) )
3
=
1
23
(5a + 2c) :
4
(1)
(2) )
1
=
1
23
(4a
3
+
3c) et
2
= 7b :
Ce qui implique que fP; Q; Rg est une famille génératrice de E:
b)P = 1; Q = X et R = X (X
1) :
b) fP; Q; Rg est une famille génératrice de E
, 8M 2 E; 9
1;
2;
3
2 R tel que: M =
247
1P
+
2Q
+
3 R;
donc:
M = ax2 + bx + c =
1
+
2X
+
3X
(X
1) )
1
= c;
3
= a et
2
= b + a:
Ce qui implique que fP; Q; Rg est une famille génératrice de E:
Exercice 08: (1) Soit, dans R4 , les vecteurs e1 = (1; 2; 3; 4) et e2 = (1; 2; 3; 4) :
i) Peut-on déterminer x et y pour que (x; 1; y; 1) 2 V ect fe1 ; e2 g?
(x; 1; y; 1) 2 V ect fe1 ; e2 g , 9
1;
) (x; 1; y; 1) = 1 (1; 2; 3; 4) +
8
>
x= 1+ 2
>
>
>
>
>
< 1 = 2 1 2 2 :::::(2)
)
>
>
y =3 1+3 2
>
>
>
>
: 1=4
4 :::::(4)
1
2
2 (1;
2 R tel que: (x; 1; y; 1) =
1 e1
+
2 e2
2; 3; 4)
2
(2) et (4) ) 1 = 2 contradiction donc le système n’est jamais véri…e, alors (x; 1; y; 1) 2
=
V ect fe1 ; e2 g :
ii) pour que (x; 1; 1; y) 2 V ect fe1 ; e2 g?
(x; 1; 1; y) 2 V ect fe1 ; e2 g , 9
) (x; 1; 1; y) = 1 (1; 2; 3; 4) +
8
>
x= 1+ 2
>
>
>
>
>
< 1 = 2 1 2 2 :::::(2)
)
>
>
1=3 1+3 2
>
>
>
>
: y = 4 + 4 :::::(4)
1
)x=
1
3
1;
2
2 (1;
2 R tel que: (x; 1; 1; y) =
1 e1
+
2 e2
2; 3; 4)
2
et y = 2:
(2) a) Soit a un nombre réel . Pour quelles valeurs de a, les vecteurs: v1 = (a; 1; 1) ; v2 =
(1; a; 1) ; v3 = (1; 1; a) forment-ils une famille libre de R3 ?
248
1 v1
)
)
+
2 v2
+
3 v3
= (0; 0; 0)
1 (a; 1; 1) + 2 (1; a; 1) +
8
>
>
a 1 + 2 + 3 = 0:::(1)
>
<
>
>
>
:
(1)
1
+a
1
+
+
3
= 0:::(2)
+a
3
= 0:::(3)
2
2
(2) et (2)
) (a
1)
) a = 1 ou [
= (0; 0; 0)
(3)
= (a
1
3 (1; 1; a)
1
1)
=
2
) a = 1 ou [ (a + 2)
) a = 1 ou a =
2
=
1
2 ou
= (a
3
1)
3
et a 6= 1]
= 0 et a 6= 1]
1
=
2
=
3
= 0:
Conclusion: fv1 ; v2 ; v3 g est une famille libre ssi: [a 6= 1 et a 6=
2] :
b) Discuter suivant les valeurs de a, la dimension de A = V ect fv1 ; v2 ; v3 g.
1er cas: Si [a 6= 1 et a 6=
2] alors fv1 ; v2 ; v3 g est une famille de trois vecteurs libre de R3 , avec
dim R3 = 3 ce qui implique que fv1 ; v2 ; v3 g est une base donc dim A = 3:
2ème cas: Si a = 1 alors: v1 = v2 = v3 = (1; 1; 1) ) A = fv1 g ) dim A = 1:
3ème cas: Si a =
2 alors fv1 ; v2 ; v3 g est une famille liée avec:
1 v1
)
)
8
>
>
>
<
>
>
>
:
+
1
2 v2
2
1
+
2
1
1
=
=0)
2
2
1(
2; 1; 1) +
2 (1;
= 0::: (1)
=0
+
2
=0
2
)
1
=
2
= 0 d’après (1) :
Alors fv1 ; v2 g est une famille libre ce qui donne que:
dim A = 2:
249
2; 1) = (0; 0; 0)
(3) Dans F(R; R); montrer que les familles suivantes sont libres :
a)
F1 = fx; ex g:
Soient ;
2 R donc:
pour x = 0 on trouve
x + ex = 0; 8x 2 R;
= 0 donc
x = 0; 8x 2 R )
= 0;
ce qui implique que F1 est libre.
b)
F2 = fx; sin xg:
Soient ;
2 R donc:
x+
pour x =
on trouve
sin x = 0; 8x 2 R;
= 0 donc
sin x = 0; 8x 2 R )
= 0;
ce qui implique que F2 est libre.
c)
F3 = fsin x; cos xg:
Soient ;
2 R donc:
sin x +
pour x = 0 on trouve
cos x = 0; 8x 2 R;
= 0 donc:
sin x = 0; 8x 2 R )
250
= 0;
ce qui implique que F3 est libre.
Exercice 09: On considère, dans l’espace vectoriel R3 , le vecteur v = (3; 1; 4) et l’ensemble B =
fe1 ; e2 ; e3 g où e1 = (1; 1; 1) ; e2 = (0; 1; 1) et e3 = (0; 0; 1) :
(1) Véri…ons que B est une base de R3 :
a) Montrons que fe1 ; e2 ; e3 g est une famille libre (Linéairements indépendants)
1 e1
)
+
2 e2
+
1 (1; 1; 1)
)(
1;
)
1
+
1
=
2
3 e3
+
2 (0; 1; 1)
2;
=
= (0; 0; 0)
1
3
+
2
+
+
3 (0; 0; 1)
3)
= (0; 0; 0)
= (0; 0; 0)
= 0;
ce qui implique que B est une famille libre.
De plus:
cardB = 3 = dim R3 :
Conclusion : B est une base de R3 :
(2) Déterminons les coordonnées du vecteur v dans B:
v=
1 e1
+
2 e2
+
3 e3
) (3; 1; 4) = 1 (1; 1; 1) +
8
>
>
3= 1
>
<
)
1= 1+ 2
>
>
>
: 4=
+
+
1
)
1
= 3;
2
=
2
2;
2 (0; 1; 1)
+
3 (0; 0; 1)
3
3
=
5
) v = (3; 2; 5) dans B:
Exercice 10: Soient a; b et c trois réels distincts et
B0 =
(X
(a
b) (X c) (X
;
b) (a c) (b
a) (X c) (X
;
a) (a c)
(c
une famille de R2 [X] (ensemble des polynômes de degré
251
a) (X b)
a) (c b)
2).
;
(1) Véri…ons que B 0 est une base de R2 [X].
Montrons que B 0 est une famille libre.
(X
b) (X c)
+
b) (a c)
(b
(X
(a
pour X = a on trouve
a) (X c)
(X
+
a) (b c)
(c
= 0; pour X = b on trouve
a) (X b)
= 0; 8X 2 R;
a) (c b)
= 0 et pour X = c on trouve
= 0;
ce qui implique que B 0 est une famille libre. De plus dim R2 [X] = card B 0 = 3, alors B 0
est une base de R2 [X].
(2) Trouvons Q 2 R2 [X] tel que Q(0) = 4, Q(3) = 2 et Q(4) = 1:
On a:
8Q 2 R2 [X] ; Q (X) =
(X
(a
(X
b) (X c)
+
b) (a c)
(b
a) (X c)
(X
+
a) (b c)
(c
a) (X b)
;
a) (c b)
avec:
Q (a) = ; Q (b) =
et Q (c) = ;
mais a; b et c sont des constantes arbtraires donc par exemple pour:
[a = 0 )
= 4] ; [b = 3 )
= 2] et [c = 4 )
= 1] ;
ce qui implique que:
(X 3) (X 4)
(X 0) (X 4) (X 0) (X 3)
+2
+
(0 3) (0 4)
(3 0) (3 4)
(4 0) (4 3)
1
2
1
X 2 7X + 12
X 2 4X +
X 2 3X
3
3
4
1 2
5
X
X + 4:
12
12
Q (X) = 4
=
=
(3) Ecrire le polynôme Q dans dans la base B 0 puis dans la base canonique B.
a) Puisque:
Q (X) = 4
(X
(0
3) (X 4)
(X
+2
3) (0 4)
(3
252
0) (X 4) (X
+
0) (3 4)
(4
0) (X 3)
;
0) (4 3)
alors:
0
4
1
B C
B C
QB 2 C
@ A
1
:
B0
b) Puisque:
Q (X) =
alors:
0
B
B
QB
@
4
5
12
1
12
1 2
X
12
5
X + 4;
12
1
C
C
C , B est la base canonique.
A
B
Exercice 11: (R [X] ; +; :) le R-espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels et H3 le sous-ensemble
de R [X] tel que H3 = P 2 R [X] =d0 P
3 :
(1) Montrons que P3 est un sous-espace vectoriel de R [X] .
a) Si on pose: P0 le polynôme nul alors P0 2 H3 ce qui implique que:
H3 6= ;:
b) Soient P1 ; P2 2 H3 alors:
P1 + P2 2 H3 car : d0 (P1 + P2 )
3:
c) Si P 2 H3 alors 8 2 R on a:
P 2 H3 car: d0 ( P )
3
Conclusion: H3 est un s.e.v de R [X] :
(2) Soit les polynômes Q0 = 1; Q1 = 1
X; Q2 = X
X
2
et Q3 = X
a) Véri…ons que B2 = fQ0 ; Q1 ; Q2 ; Q3 g est une base de H3 :
253
2
X 3:
Sachant que la base canonique de H3 est B1 = 1; X; X 2 ; X 3 ce qui donne: dim H3 = 4:
Alors il su¢ t de démontrer que la famille B2 est libre, en e¤et:
0 Q0
)(
0
1) +
1 (1
+
1 Q1
X) +
2
en particulier pour X = 0 on trouve:
+
+
X2 +
X
0
2 Q2
+
3 Q3
3
= 0;
X2
X 3 = 0; 8X 2 R;
(8.2)
= 0:
1
Si on dérive l’équation (8.2) alors pour X = 0 on trouve:
1
+
2
= 0;
la dérivée seconde de l’équation (8.2) avec X = 0 donne: 2 (
2
+
=0)
0
3)
= 0:
d’où:
pour X = 0 on a:
3
=0)
2
=0)
1
= 0:
Conclusion: La famille est libre donc B2 = fQ0 ; Q1 ; Q2 ; Q3 g est une base de H3 :
b) Déterminons les coordonnées du polynôme P = 1 + 5X
P = 1 + 5X
3X 2
X3 = 2
(1) + ( 1) (1
3X 2
X) + 4 X
X 3 dans la base B2 :
X2 + X2
X3 :
Remarque 8.5 Il faut mettre les coe¢ cients on commence par le coe¢ cient du dernier terme
X2
X 3 jusqu’au le premier terme.
Alors: PB2 = (2; 1; 4; 1) par contre PB1 = (1; 5; 3; 1) :
Exercice 12: Soit F = V ect fu1 ; u2 ; u3 g ; déterminons dans chaque cas la dimension de F:
(1) u1 = (1; 0; 2) ; u2 = ( 4; 2; 3) et u3 = 0; 1; 11
2 :
254
Véri…ons si les trois vecteurs sont libres ou non?
1 u1
)
+
4
1
1
3
3 u3
+
2;
4; 2; 3) +
+
3; 2 1
1
2
=
2
3
2
3)
=0
2(
2; 2 2
=4
) 2( 2
)
+
1 (1; 0; 2)
)
)
2 u2
+
3
11
2
2 R donc pour
) u3 =
(
1 u1
+
+3
)
3
1
0; 1; 11
2 = (0; 0; 0)
3
2
+
11
2
2
3
=
=0)0
3
3
= (0; 0; 0)
3
=0
= 1 par exemple,
3
2 u2 )
=
1
2 u2
2u1
donc:
F = V ect fu1 ; u2 g ;
de plus:
1 u1
)
+
2 u2
=0
1 (1; 0; 2)
)(
)
4
1
1
=
+
2(
4; 2; 3) = (0; 0; 0)
2; 2 2; 2 1
+3
2)
= (0; 0; 0)
= 0;
2
alors fu1 ; u2 g est une famille libre ce qui donne:
dim F = 2:
(2) u1 = (1; x; 3) ; u2 = ( 4; 0; 3) et u3 = (0; 1; 1) :
Véri…ons si les trois vecteurs sont libres ou non?
1 u1
)
1er cas: Si
13
4
+
2 u2
+
1 (1; x; 3)
)(
1
4
)
1
4
1
=
)3
1
+
1
4
3 u3
+
2(
2; x 1
+
2;
1
1
x 6= 0 donc x 6=
x
x
13
4
=0
4; 0; 3) +
3; 3 1
=
1
)
3
+3
et 3
=
1
2
2
255
=
+
+3
13
4
=0)
1
3 (0; 1; 1)
x
3
3)
2
+
1
= 0;
= (0; 0; 0)
= (0; 0; 0)
3
=0
=0
ce qui implique que: fu1 ; u2 ; u3 g est libre d’où:
dim F = 3:
2ème cas: Si
)
1
13
4
13
4
x = 0 donc x =
2 R donc pour
1
=1:
u1 =
(
2 u2
+
3 u3 )
1
u2
4
=
13
u3
4
donc:
F = V ect fu2 ; u3 g ;
de plus:
2 u2
)
+
2(
)( 4
)
2
3 u3
=0
4; 0; 3) +
2;
=
3; 3 2
3
3 (0; 1; 1)
+
3)
= (0; 0; 0)
= (0; 0; 0)
= 0;
alors fu2 ; u3 g est une famille libre ce qui donne:
dim F = 2:
(3) u1 = (1; 0; 2; 1) ; u2 = ( 1; 0; 3; 0) et u3 = (0; 1; 0; 5) :
Véri…ons si les trois vecteurs sont libres ou non?
1 u1
)
+
2 u2
+
3 u3
1 (1; 0; 2; 1)
)(
1
2;
)
1
=
2;
)
1
=
2
=
+
2(
3; 2 1
3
=0
+3
= 0; 2
3
1; 0; 3; 0) +
1
3 (0; 1; 0; 5)
2;
1
+5
+3
2
= 0 et
= 0;
256
3)
= (0; 0; 0; 0)
= (0; 0; 0; 0)
1
+5
3
=0
alors fu1 ; u2 ; u3 g est une famille libre ce qui donne:
dim F = 3:
Exercice 13: Soient:
E1 = (a; b; c) 2 R3 ; a = c , E2 = (a; b; c) 2 R3 ; a + b + c = 0
et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :
(1) Montrons que: Ei ; pour i = 1; 2; 3 sont des s.e.v de R3 :
a) Pour E1 :
i) (0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;:
ii) Si v1 ; v2 2 E1 ) v1 = (x1 ; y1 ; x1 ) et v2 = (x2 ; y2 ; x2 )
) v1 + v2 = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; x1 + x2 ) 2 E1 :
iii) Si v 2 E1 ;
2 R ) v = ( x; y; x) 2 E1 :
Conclusion: E1 est un s.e.v de R3 :
b) Pour E2 :
i) (0; 0; 0) 2 E2 ) E2 6= ;:
ii) Si v1 ; v2 2 E2 ) v1 = (x1 ; y1 ; x1
) v1 + v2 = (x1 + x2 ; y1 + y2 ;
iii) Si v 2 E2 ;
y1 ) et v2 = (x2 ; y2 ; x2
(x1 + x2 )
2 R ) v = ( x; y;
x
(y1 + y2 )) 2 E2 :
y) 2 E2 :
Conclusion: E2 est un s.e.v de R3 :
c) Pour E3 :
i) (0; 0; 0) 2 E3 ) E3 6= ;:
257
y2 )
ii) Si v1 ; v2 2 E3 ) v1 = (0; 0; z1 ) et v2 = (0; 0; z2 )
) v1 + v2 = (0; 0; z1 + z2 ) 2 E3 :
iii) Si v 2 E3 ;
2 R ) v = (0; 0; z) 2 E3 :
Conclusion: E3 est un s.e.v de R3 :
(2) a) Montrons que: R3 = E1 + E2 ?
R3 et E2
i) On a: E1
R3 ) E1 + E2
R3 :
ii) Si v 2 R3 alors:
v
=
(x; y; z) = ( ; ; ) + ( ; ;
8
>
>
x= + ;
>
<
)
y= + ;
>
>
>
: z=
:
)=( + ;
+ ;
)
Il su¢ t de prendre par exemple:
=
)
0)
=
=y)
8
<
x=
: z=
1
(x + y + z) )
2
+
y
=
1
(x
2
y
y
z) ; y;
z) :
D’où:
v = (x; y; z) =
1
1
1
(x + y + z) ; 0; (x + y + z) +
(x
2
2
2
1
(x
2
b) Montrons que: R3 = E1 + E3 ?
i) On a: E1
R3 et E3
R3 ) E1 + E3
R3 :
ii) Si v 2 R3 alors:
v = (x; y; z) = (x; y; x) + (0; 0; z
258
x) 2 E1 + E3 :
y
z)
y
2 E1 +E2 :
c) Montrons que: R3 = E2 + E3 ?
i) On a: E3
R3 et E2
R3 ) E2 + E3
R3 :
ii) Si v 2 R3 alors:
v = (x; y; z) = (x; y; x
y) + (0; 0; z + x + y) 2 E2 + E3 :
D’où:
R3 = E1 + E2 ; R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3 :
(3) Dans quel cas la somme est directe.
a) Il su¢ t de véri…er si on a: E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g?
i) (0; 0; 0) 2 E1 \ E2 :
ii) Si v 2 E1 \ E2 ) v 2 E1 et v 2 E1 alors:
v = (a; b; a) et v = (a; b; a
b) ) a =
a
b)b=
2a:
Donc par exemple (1; 2; 1) 2 E1 \ E2 ) E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g ;ce qui implique que la
somme n’est pas directe.
b) Il su¢ t de véri…er si on a: E2 \ E3 = f(0; 0; 0)g?
i) (0; 0; 0) 2 E2 \ E3 :
ii) Si v 2 E2 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 alors:
v
=
(a; b; a
b) et v = (0; 0; c) ) a = b = c = 0 ) v = (0; 0; 0) ;
) E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g ;
ce qui implique que la somme est directe.
c) Il su¢ t de véri…er si on a: E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g?
259
i) (0; 0; 0) 2 E1 \ E3 :
ii) Si v 2 E1 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 alors:
v
=
(a; b; a) et v = (0; 0; c) ) a = b = c = 0 ) v = (0; 0; 0) ;
) E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g ;
ce qui implique que la somme est directe.
Exercice 14: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a + b; b
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 =c 2 R :
(1) Montrons que E1 est un s.e.v de R3 ?:
a) (0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;:
b) 8u1 ; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1 ?
Soient u1 ; u2 2 E1 ) u1 = (a1 + b1 ; b1
3a1 ; a1 ) et u2 = (a2 + b2 ; b2
3a2 ; a2 ) :
Ce qui implique que:
u1 + u2 = ((a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) ; (b1 + b2 )
3 (a1 + a2 ) ; (a1 + a2 )) 2 E1 :
c) 8u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E1 ?
Soient u 2 E1 et
2 R ) u = (a + b; b
3a; a) d’où:
u = ( a + b; b
3 a; a) 2 E1 :
Conclusion: E1 est un s.e.v de R3 :
(2) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a)
u 2 E1 ) u = (a + b; b
3a; a) = a (1; 3; 1) + b (1; 1; 0) ;
260
alors B1 = f(1; 3; 1) ; (1; 1; 0)g engendre E1 ; mais:
(1; 3; 1) +
(1; 1; 0) = (0; 0; 0)
) ( + ; 3 + ; ) = (0; 0; 0) )
=
= 0;
alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B1 = f(1; 3; 1) ; (1; 1; 0)g est une base de E1 :
b)
u 2 E2 ) u = (c; 2c; c) = c (1; 2; 1)
alors B2 = f(1; 2; 1)g engendre E2 , mais:
(1; 2; 1) = (0; 0; 0) )
= 0;
ce qui implique que B2 = f(1; 2; 1)g est une base de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et dim E2 = 1:
(4)
Montrons que: R3 = E1 + E2 :
a) "
"E1
b) "
"Soit:
R3 et E2
R3 ) E 1 + E2
R3 :
u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a + b; b
3a; a) + (c; 2c; c) ;
ce qui implique que:
8
8
>
>
>
>
x=a+b+c
b=x
>
>
<
<
y = b 3a 2c )
y=x
>
>
>
>
>
>
: z =a+c
: c=z
z
z
a
a=z
261
2z ) a =
( y+x
y+x
3z) =
3z
x + y + 4z
) u = (2x
y
4z; 2x + 3y
8z; y + x
3z)+ ( x + y + 4z; 2 ( x + y + 4z) ; x + y + 4z)
) u 2 E1 + E2 ;
d’où:
R3 = E1 + E2 :
(5)
On déduire que: R3 = E1
E2 :
a)
dim E1 = 2 et dim E2 = 1;
) dim E1 + dim E2 = 3 = dim R3 = 3;
ou bien on a:
R3 = E1 + E2 :
b) i) f(0; 0; 0)g
E1 \ E2 car E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels.
ii) De plus si: u 2 E1 \ E2 alors:
u = (a + b; b 3a; a) et u = (c; 2c; c)
8
>
>
a+b=c
>
<
)
b 3a = 2c ) a + b = a ) b = 0 ) a = c = 0;
>
>
>
: a=c
) E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g :
Donc:
8
< R3 = E1 + E2
: E \ E = f(0; 0; 0)g ;
1
ou bien:
2
8
< dim E1 + dim E2 = dim R3
:
E \ E = f(0; 0; 0)g ;
1
2
ce qui a¢ rme que la somme est directe R3 = E1
262
E2 :
Exercice 15: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a; b; b) 2 R3 = a; b 2 R
a; b) 2 R3 = a; b 2 R :
et E2 = (a; b
avec E1 s.e.v de R3 :
(1) Montrons que E2 est un s.e.v de R3 :
a) (0; 0; 0) 2 E2 ) E2 6= ;:
b) 8 u1 ; u2 2 E2 ) u1 + u2 2 E2 ?
Soient u1 ; u2 2 E2 :
u1
=
(a1 ; b1
a1 ; b1 ) et u2 = (a2 ; b2
) u1 + u2 = ((a1 + a2 ) ; (b1 + b2 )
a2 ; b2 )
(a1 + a2 ) ; (b1 + b2 )) 2 E2 :
c) 8u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E2 ?
Soient
2 R et u 2 E1 :
u = (a; b
a; b) ) u = ( a; b
a; b) 2 E2 :
Conclusion: E2 est un s.e.v de R3 :
(2) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a) Pour E1 :
u 2 E1 ) u = (a; b; b) = a (1; 0; 0) + b (0; 1; 1) ;
alors B1 = f(1; 0; 0) ; (0; 1; 1) g engendre E1 ; mais:
(1; 0; 0) +
(0; 1; 1) = (0; 0; 0) )
=
= 0;
ce qui donne que les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants, et par suite
B1 = f (1; 0; 0) ; (0; 1; 1)g est une base de E1 :
263
b) Pour E2 :
u 2 E2 ) u = (a; b
a; b) = a (1; 1; 0) + b (0; 1; 1)
alors B2 = f (1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g engendre E2 ; mais:
(1; 1; 0) +
(0; 1; 1) = (0; 0; 0) )
=
= 0;
ce qui donne que les deux vecteurs de B2 sont linéairements indépendants, et par suite
B2 = f (1; 1; 0) ; (0; 1; 1)g est une base de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et dim E2 = 2:
(4) A-t-on: R3 = E1 + E2 ? Justi…er votre réponse.
a) "
" E1
R3 et E2
R3 ) E1 + E2
R3 :
b) " " Soit u 2 R3 alors:
u
=
(x; y; z) = (a; b; b) + ( ;
8
>
>
x=a+
>
<
)
y = b+
>
>
>
:
z =b+ ;
; )
pour b = 0 par exemple on trouve:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
=z
y
a=x+y
z
=z
) u = (x; y; z) = (x + y
) u 2 E1 + E2 ;
264
z; 0; 0) + (z
y; y; z)
d’où:
R3 = E 1 + E2 :
(5) Déterminons E1 \ E2 :
Si: u 2 E1 \ E2 ) u = (a; b; 2b) et u = (a; b
) b
a=
a; b)
b ) a = 2b
) E1 \ E2 = f(2b; b; b) ; b 2 Rg = fb (2; 1; 1) ; b 2 Rg :
(6) En déduire si E1 et E2 sont supplémentaires dans R3 :
dim E1 = 2 et dim E2 = 2 ) dim E1 + dim E2 = 4 6= dim R3 = 3:
Ou bien:
E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g ;
ce qui implique que la somme n’est pas directe ou bien dire que E1 et E2 ne sont pas supplémentaires dans R3 .
Exercice 16: Dans R8 [x] l’espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels de degré inférieur ou égale
à 8. On pose:
E0 = fP 2 R8 [x] =P (0) = 0g ; Ep = fP 2 R8 [x] =8x 2 R; P (x) = P ( x)g
et
Ei = fP 2 R8 [x] =P (x) =
(1) Montrons que E0 ; EP et Ei sont des s-ev de R8 [x] :
Notons par P0 le polynôme nul (P0 (x) = 0; 8x 2 R).
265
P ( x)g :
a) Pour E0 :
i) P0 2 E0 ) E0 6= ;:
ii) Si P1 ; P2 2 E0 ) P1 (0) = 0 et P2 (0) = 0
) (P1 + P2 ) (0) = 0 ) P1 + P2 2 E0 :
iii) Si P 2 E0 ;
2 R ) ( P ) (0) =
(P (0)) =
0 = 0 ) P 2 E0 :
Conclusion: E0 est un s.e.v de R8 [x] :
b) Pour Ep :
i) P0 2 Ep ) Ep 6= ;:
ii) Si P1 ; P2 2 Ep ) P1 (x) = P1 ( x) et P2 (x) = P2 ( x)
) (P1 + P2 ) (x) = (P1 + P2 ) ( x) ) P1 + P2 2 Ep :
iii) Si P 2 Ep ;
2 R ) ( P ) (x) =
(P (x)) =
(P ( x)) = ( P ) ( x) ) P 2 Ep :
Conclusion: Ep est un s.e.v de R8 [x] :
c) Pour Ei :
i) P0 2 Ei ) Ei 6= ;:
ii) Si P1 ; P2 2 Ei ) P1 (x) =
) (P1 + P2 ) (x) =
iii) Si P 2 Ei ;
P1 ( x) et P2 (x) =
P2 ( x)
(P1 + P2 ) ( x) ) P1 + P2 2 Ei :
2 R ) ( P ) (x) =
(P (x)) =
( P ( x)) =
Conclusion: Ei est un s.e.v de R8 [x] :
(2) a) Montrons que: R8 [x] = E0 + Ep :
266
( P ) ( x) ) P 2 Ei :
On a: E0 + Ep
R8 [x], de plus si P 2 R8 [x]:
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + a8 x8 = P1 + P2 ;
avec P1 = a1 x + a2 x2 + ::: + a8 x8 2 E0 et P2 = a0 2 Ep , ce qui implique que: R8 [x]
E0 + Ep :
Conclusion: R8 [x] = E0 + Ep :
b) Montrons que: R8 [x] = Ei + Ep :
On a: Ei + Ep
R8 [x], de plus si P 2 R8 [x]:
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + a8 x8 = P1 + P2 ;
avec P1 = a1 x + a3 x3 + a5 x5 + a7 x7 2 Ei et P2 = a0 + a2 x2 + a4 x4 + a6 x6 + a8 x8 2 Ep ,
ce qui implique que: R8 [x]
Ei + Ep :
Conclusion: R8 [x] = Ei + Ep :
(3) Dans quel cas la somme est directe?
a) Pour R8 [x] = E0 + Ep :
P 2 E0 \ Ep ) [P 2 E0 ) a0 = 0] ; mais P 2 Ep ) P = a2 x2 + a4 x4 + a6 x6 + a8 x8 :
Donc par exemple P (x) = x2 2 E0 \ Ep avec x2 6= 0 donc la somme n’est pas directe.
b) Pour R8 [x] = Ei + Ep :
Le seul polynôme qui est à la fois pair et impair est le polynôme nul donc la somme est
directe.
Exercice 17: (1) Dans R3 , déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants:
a) F1 = vect fu; v; wg où u = ( 2; 4; 1) ; v (1; 2; 1) et w = ( 3; 2; 0) :
267
Véri…ons si fu; v; wg est libre ou non?
On remarque que:
u
v = w ) fu; v; wg est liée ) F1 = V ect fu; vg ,
de plus:
1u
)
+
2v
1(
2; 4; 1) +
)( 2
)
1
=
1
= (0; 0; 0)
+
2
2 (1; 2; 1)
2; 4 1
+2
)
=
1
2;
2
= (0; 0; 0)
1
+
2)
= (0; 0; 0)
= 0;
ce qui implique que fu; vg est une famille libre donc une base d’où:
dim F1 = 2:
Déterminons un s.e.v G1 supplémentaire de F dans R3 :
On a:
dim F1 + dim G1 = dim R3 = 3 ) dim G1 = 1 ) G1 = V ect fx1 g :
Cherchons un vecteur x1 avec F1 \ G1 = f(0; 0; 0)g c’est à dire x1 2
= F1 ;
mais
F1 = f u + v; ;
2 Rg
= f ( 2; 4; 1) +
(1; 2; 1) ; ;
= f( 2 + ; 4 + 2 ;
par exemple pour
=
2 Rg
+ ); ;
2 Rg ;
= 1 on trouve le vecteur ( 1; 6; 2) donc on peut prendre le vecteur
(0; 6; 2) ; donc:
G1 = V ect fx1 g ; avec x1 = (0; 6; 2) :
268
b) F2 = (x; y; z) 2 R3 =3x
3x
y + 3z = 0 :
y + 3z = 0 ) y = 3x + 3z
) F2 = f(x; 3x + 3z; z) =x; z 2 Rg
) F2 = fx (1; 3; 0) + z (0; 3; 1) =x; z 2 Rg
) F2 = V ect fu1 ; u2 g avec u1 (1; 3; 0) et u2 (0; 3; 1) ;
mais:
1 u1
)
+
= (0; 0; 0)
1 (1; 3; 0)
)(
)
2 u2
1; 3 1
1
=
2
+
+3
2 (0; 3; 1)
2;
2)
= (0; 0; 0)
= (0; 0; 0)
= 0;
ce qui implique que fu1 ; u2 g est une famille libre donc une base d’où:
dim F2 = 2:
Déterminons un s.e.v G2 supplémentaire de F2 dans R3 :
On a:
dim F2 + dim G2 = dim R3 = 3 ) dim G2 = 1 ) G2 = vect fw2 g :
Cherchons un vecteur w2 avec F2 \ G2 = f(0; 0; 0)g c’est à dire w2 2
= F2 ;
mais:
F2 = f(x; 3x + 3z; z) =x; z 2 Rg ;
par exemple pour x = z = 1 on trouve le vecteur (1; 6; 1) donc on peut prendre le vecteur
(1; 6; 0) ; donc:
G2 = V ect fw2 g ; avec w2 = (0; 6; 2) :
(2) Déterminer un supplémentaire de G3 = V ect fu3 g avec u3 (2; 1; 1) :
On a:
dim G3 = 2:
Déterminons un s.e.v F3 supplémentaire de G3 dans R3 :
269
On a:
dim F3 + dim G3 = dim R3 = 3 ) dim F3 = 2 ) F3 = vect fw1 ; w2 g :
Cherchons deux vecteurs fw1 ; w2 g libre avec F3 \ G3 = f(0; 0; 0)g c’est à dire w1 2
= G3 et
w2 2
= G3 mais:
G3 = V ect fu3 g = fx (2; 1; 1) =x 2 Rg = f(2x; x; x) =x 2 Rg ;
par exemple pour x = 1 on trouve le vecteur (2; 1; 1) donc on peut prendre le vecteur w1 (2; 1; 0)
et w2 (0; 1; 1) donc:
F3 = V ect fw1 ; w2 g ; avec w1 (2; 1; 0) et w2 (0; 1; 1) ;
sachant que fw1 ; w2 g est une famille libre car:
1 w1
+
2 w2
= 0 ) (2
1;
1
+
2;
2)
= (0; 0; 0) )
1
=
2
= 0:
Exercice 18: Sachant que F = fP 2 R2 [x] =P (0) = P 0 (0)g est un sous-espace vectoriel de R2 [x] :
(1) Déterminons une base et la dimension de F:
P 2 F ) P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 avec P (0) = P 0 (0)
) a0 = a1
) P (x) = a0 + a0 x + a2 x2 = a0 (1 + x) + a2 x2
) F = V ect fP1 ; P2 g avec P1 = 1 + x et P2 = x2 ;
mais:
1 P1
+
2 P2
=0)
pour x = 0 )
)
2
1
1 (1
+ x) +
= 0 donc
= 0;
270
2
2x
2
2x
= 0; 8x 2 R
= 0; 8x 2 R
ce qui implique que fP1 ; P2 g est libre donc une base de F d’où:
dim F = 2:
(2) Déterminons un supplémentaire de F:
On a:
dim F + dim G = dim R2 [x] = 3 ) dim G = 1 ) G = V ect fP3 g :
Cherchons un vecteur P3 avec F \ G = fP0 g (P0 est le polynôme nul)
c’est-à-dire P3 2
= F , mais:
F = a0 + a0 x + a2 x2 ; a0 ; a2 2 R ;
par exemple pour a0 = 1 et a2 = 1 on trouve 1+ x+x2 ; donc on peut prendre le polynôme
P3 = x + x2 ; donc:
G = vect fP3 g , avec P3 = x + x2 :
Exercice19: Soit E = Rn [x] l’espace des polynômes de degré
Ea = fP 2 E; (x
n: On dé…nit Ea par:
a) divise P g pour a 2 R:
(1) Montrons que Ea est un sous espace vectoriel de E:
Notons par P0 le polynôme nul (P0 (x) = 0; 8x 2 R).
i) P0 = (x
a)
P0 ) P0 2 Ea ) Ea 6= ;:
ii) Si P1 ; P2 2 Ea ) P1 (x) = (x
) (P1 + P2 ) (x) = (x
iii) Si P 2 Ea ;
a) Q1 (x) et P2 (x) = (x
a) Q2 (x)
a) (Q1 + Q2 ) (x) ) P1 + P2 2 Ea :
2 R ) ( P ) (x) =
((x
a) Q (x)) = (x
a) ( Q (x)) ) P 2 Ea :
Conclusion: Ea est un s.e.v de E:
271
(2) Montrons que si a 6= b il existe un couple de réels (c; d) tel que: 1 = c (x
1 = c (x
a) + d (x
) c + d = 0 et
)c=
)c=
ca
d et da
1
b a
b) , (c + d) x
et d =
ca
a) + d (x
b) :
bd = 1; 8x 2 R;
bd = 1
bd = 1 ) d =
1
a b
1
a b
avec a 6= b:
avec a 6= b:
(3) En déduire que E = Ea + Eb : La somme est-elle directe?
On a: Ea + Eb
E, d’autre part:
8P 2 E on a: P (x) = P (x)
) P (x) = (x
1 = P (x)
a) Q1 (x) + (x
h
1
b
a (x
a) +
1
a
b (x
b) Q2 (x)
i
b) avec a 6= b:
) P (x) = P1 (x) + P2 (x) 2 Ea + Eb
)E
Ea + Eb :
Conclusion: E = Ea + Eb :
D’autre part:
(x
a) (x
b) 6= 0 avec (x
a) (x
b) 2 Ea et (x
a) (x
b) 2 Eb :
Donc la somme n’est pas directe.
Exercice 20: Montrons que dans l’espace F (R; R) des fonctions réelles dé…nies sur R, les sous-espaces
} et = respectivement constitués des fonctions paires et impaires sont supplémentaires.
(1) Notons par P0 le polynôme nul (P0 (x) = 0; 8x 2 R), donc:
P0 (x) = P0 ( x) =
P0 (x) = 0; 8x 2 R;
Alors la seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle P0 .
(2) Montrons que F = } + =?
a) } + =
F:
272
b)
8x 2 R; f (x) =
f (x) f ( x)
f (x) + f ( x)
+
2 } + =:
2
2
car si on pose:
g (x) =
f (x) + f ( x)
2
on trouve que: 8x 2 R; g (x) = g ( x) ) g 2 };
et si on pose:
h (x) =
f (x)
ce qui a¢ rme que: F
f ( x)
2
on trouve que: 8x 2 R; h (x) =
h ( x) ) h 2 =:
} + = et par suite on a: F = } + = :
Conclusion: F = }
=:
Exercice 21: Soit E un espace vectoriel de dimension …nie, F et G deux sous-espaces vectoriels de E:
(1) Montreons que F [ G est un s.e.v de E si et seulement si [F
a) " ( " Si F
G ) F [ G = G et si G
G ou G
F ]:
F ) F [ G = F qui sont tous les deux des s.e.v.
b) " ) " 8u 2 F et 8w 2 G on a:
8
>
>
u2F )u2F [G
>
<
et
>
>
>
: w 2G)w 2F [G
Donc:
) u + w 2 F [ G car F [ G est un s.e.v:
8
>
>
u + w 2 F ) (u + w) + ( u) 2 F car F est un s.e.v ) w 2 F .
>
<
)
ou
>
>
>
: u + w 2 G ) (u + w) + ( w) 2 G car G est un s.e.v ) u 2 G.
[u 2 F et w 2 G] ) [u 2 G ou w 2 G] ) [F
Conclusion: F [ G est un s.e.v de E , [F
273
G ou G
G ou G
F ]:
F ]:
(2) Montrons que F + G est le sous espace engendré par F [ G:
Rappel: Le sous espace engendré par F [G noté par S (F [ G) est le plus petit sous espace
vectoriel contenant F [ G:
Montrons alors que:
a) F + G est un s.e.v de E?
i) 0E 2 F et 0E 2 G (car F et G sont deux s.e.v de E ) donc:
0E = 0E + 0E 2 F + G ) F + G 6= ;:
ii) 8u; v 2 F + G :
u = u1 + u2 avec u1 2 F et u2 2 G et v = v1 + v2 avec v1 2 F et v2 2 G
) u + v = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) 2 F + G car F et G sont deux s.e.v de E
) u + v 2 F + G:
iii) 8 2 |; 8u 2 F + G :
u = u1 + u2 avec u1 2 F et u2 2 G
) u = ( u1 ) + ( u2 ) 2 F + G car F et G sont deux s.e.v de E
) u 2 F + G:
Conclusion: F + G est un s.e.v de E:
b) F [ G
F + G?
Soit u 2 F [ G :
8
>
>
u 2 F ) u + 0E = u 2 F + G car 0E 2 G
>
<
ou
>
>
>
: u 2 G ) 0 + u = u 2 F + G car 0 2 F
E
E
) u 2 F + G:
)F [G
F + G:
274
c) F + G est le plus petit s.e.v contenant F [ G?
Par l’absurde supposons qu’il existe un s.e.v H de E avec F [ G
H
plus petit contenant F [ G).
Montrons alors que: F + G
H?
Soit w 2 F + G ) 9u 2 F et v 2 G tel que: w = u + v
)w
u=v2G)w
u2F [G
H (par hypothèse),
u2F
F [G
H,
) (w
u) + u 2 H car H est un s.e.v de E
mais:
)w 2H )F +G
H;
) F + G = H (c’est le plus petit):
Conclusion: F + G = S (F [ G) :
275
F + G (H est le
Chapitre 9
Applications linéaires
9.1
Application linéaire
Dé…nition 9.1 Soient E, F deux |-espaces vectoriels et f une application de E dans F . Alors
f est linéaire, si les propriétés suivantes sont satisfaites:
(1) 8u; v 2 E on a: f (u + v) = f (u) + f (v) :
(2) 8u 2 E , 8 2 | on a f ( u) = f (u) :
ou bien on combine les deux propriétés on trouve:
8u; v 2 E; 8 ;
2 | on a : f ( u + v) = f (u) + f (v) :
Remarque 9.1 On donne les notations des éléments de E des cas les plus utilisés dans le
tableau suivant:
L’espace E
Notation de u et v
R
x et y
R2
(x1 ; y1 ) et (x2 ; y2 )
R3
(x1 ; y1 ; z1 ) et (x2 ; y2 ; z2 )
Des fonctions
f1 et f2
Des polynômes
P1 et P2
Des suites
Un et Vn
276
Exemple 9.1 L’application de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
y; y + 2z)
est une application linéaire car:
8u; v
2 R3 ; 8 ;
2 R on a f ( u + v) = f ( (x1 ; y1 ; z1 ) +
(x2 ; y2 ; z2 ))
= f ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
= (( x1 + x2 )
9.2
( y1 + y2 ) ; ( y1 + y2 ) + 2 ( z1 + z2 ))
=
(x1
y1 ; y1 + 2z1 ) +
(x2
y2 ; y2 + 2z2 )
=
f ((x1 ; y1 ; z1 )) + f ((x2 ; y2 ; z2 ))
=
f (u) + f (v) :
Noyau d’une application linéaire
Dé…nition 9 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F .
Alors le noyau d’une application linéaire noté par ker f est donné par:
ker f = fx 2 E; f (x) = 0F g :
qui est un sous-espace vectoriel de E.
Remarque 9.2 L’élément neutre 0E 2 ker f car:
f (0E ) = f (0
0E ) = 0
f (0E ) = 0F :
Exemple 9.2 L’application de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
277
y; y + 2z) ;
est une application linéaire, dont le noyau est donné par:
ker f = u 2 R3 ; f (u) = 0R2 :
Soit u = (x; y; z) 2 R3 , donc:
u
2
ker f , f (u) = (0; 0) , (x y; y + 2z) = (0; 0)
8
>
8
>
x y=0
>
<
< x=y
() u = y 1; 1;
,
()
et
>
: z= y
>
>
2
: y + 2z = 0
donc ker f est le s.e.v engendré par le vecteur 1; 1;
ker f = V ect
9.3
1; 1;
1
2
1
2
;
noté:
1
2
:
Injectivité d’une application linéaire
Dé…nition 9.2 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans
F . Notons que f est injective si et seulement si:
8u1 ; u2 2 E; u1 6= u2 ) f (u1 ) 6= f (u2 ) : ou bien f (u1 ) = f (u2 ) ) u1 = u2 :
Mais pour les applications linéaires:
f est injective , ker f = f0E g :
Preuve:
")"
ker f 6= f0E g ) 9u 6= 0E tel que: f (u) = 0F
) u 6= 0E et f (u) = f (0E ) = 0F
) f n’est pas injective.
278
"("
f n’est pas injective ) 9u1 6= u2 et f (u1 ) = f (u2 ) ;
) u1
u2 6= 0E et f (u1 )
) u1
u2 6= 0E et f (u1
) u1
u2 2 ker f;
f (u2 ) = 0F ;
u 2 ) = 0F ;
) ker f 6= f0E g :
Exemple 9.3 Soit f l’application linéaire de R2 dans R2 dé…nie par:
f (x; y) = (x
y; y + x) :
On a:
u
(x; y) 2 ker f , f (u) = 0R2 , (x y; y + x) = (0; 0)
8
< x y=0
,
, x = y et x = y , x = y = 0;
: y+x=0
=
, u = (0; 0) ;
Alors f est injective car:
ker f = f(0; 0)g :
9.4
Image d’une application linéaire
Dé…nition 9.3 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans
F . L’image de f est l’ensemble de toutes les images des éléments de E par f Ainsi:
Im f = ff (u) ; u 2 Eg :
De plus si fe1 ; e2 ; :::; en g est une base de E, alors:
Im f = V ect ff (e1 ) ; f (e2 ) ; :::; f (en )g ;
279
c’est à dire le sous-espace engendré par les vecteurs ff (e1 ) ; f (e2 ) ; :::; f (en )g :
Exemple 9.4 Soient B = ~i; ~j; ~k la base canonique de R3 et f l’endomorphisme de R3 dé…ni
par:
f ~i = ~i + ~k; f ~j = ~j + ~k et f ~k = ~i + ~j:
Alors l’image de f est dé…nie comme suit:
Im f
n
V ect f ~i ; f ~j ; f
n
) Im f = V ect f ~i ; f
=
=
9.5
~k
o
mais : f ~k = f ~j
f ~i
o n
o
~j
= x ~i + ~k + y ~j + ~k ; x; y 2 R
f( x; y; x + y) ; x; y 2 Rg :
Rang d’une application linéaire
Dé…nition 9.4 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans
F . Le rang d’une application linéaire est la dimension de l’image de cette application noté rang
f ou rgf c’est-à-dire:
rangf = rgf = dim (Im f ) :
de plus si E et F sont de dimensions …nies, on a le théorème du rang suivant:
dim E = rang f + dim (ker f ) :
Exemple 9.5 Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par:
f (x; y) = (4x
2y; 6x
3y) :
Alors on a :
Im f
= ff (x; y) ; x; y 2 Rg = f(4x
= f(2x
2y; 6x
y) (2; 3) ; x; y 2 Rg = f (2; 3) ;
= V ect f(2; 3)g ;
280
3y) ; x; y 2 Rg
2 Rg
le vecteur (2; 3) est une base de Im f et par suite rang f = 1:
9.6
Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme
Dé…nition 9.5 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans
F alors:
(1) Si f est bijective, alors f est dite un isomorphisme.
(2) Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
(3) Un automorphisme est une isomorphisme de E dans E.
Exemple 9.6 Soit f : R2 ! R2 l’application dé…nie par:
f (x; y) = (x
y; x + y) :
Alors f est un automorphisme car:
ker f = (x; y) 2 R2 =f (x; y) = (0; 0) ;
f (x; y)
=
(0; 0) ) (x
y; x + y) = (0; 0) )
8
>
>
x
>
<
y=0
) (x; y) = (0; 0)
et
>
>
>
: x+y =0
) ker f = f(0; 0)g ) dim ker f = 0 ) f est injective;
mais
:
dim R2 = rang f + dim (ker f )
) rang f = 2, avec f R2
R2 ) Im f = R2 ;
) f est surjective:
) f est bijective:
281
9.7
Projecteur
Dé…nition 9.6 Soit f un endomorphisme d’un |-espace vectoriel. On dira que f est un projecteur, si et seulement si:
f
f = f;
ou bien:
Im f et ker f sont supplémentaires et que: 8x 2 Im f; f (x) = x:
On dira que f est la projection sur Im f parallèlement à ker f .
Exemple 9.7 Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y) = (4x
2y; 6x
3y) :
Alors on a :
(f
f ) (u) =
f (f (u)) = f (f (x; y)) = f (4x
= (4x
2y; 6x
2y; 6x
3y)
3y) = f (u) ;
et par suite f est un projecteur.
9.8
Symétrie
Dé…nition 9.7 Soit f un endomorphisme d’un |-espace vectoriel. On dira que f est une
symétrie, si l’on a:
f
f = IdE (l’application identitée),
ou bien:
ker (f
IdE ) et ker (f + IdE ) sont supplémentaires.
On dira que f est la symétrie de E par rapport à ker (f
IdE )et parallèlement à ker (f + IdE ).
Exemple 9.8 Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y) = (y; x) : Alors on a
:
(f
f ) (u) = f (f (u)) = f (y; x) = (x; y) = u;
et par suite f est une symétrie.
282
9.9
Exercices
Exercice 01:
(1) On considère les applications suivantes dé…nies de R2 dans R2 , lesquelles sont linéaires?
a) f : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y) :
b) g : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y + 1) :
c) h : (x; y) 7! (x + y; 2xy) :
y2 :
d) k : (x; y) 7! x + y; x
(2) Soit f l’application de R [X] dans R [X] dé…nie par: f (P ) = P (1).
Montrer que f est une application linéaire. ( R [X] : est l’espace vectoriel des polynômes
à coe¢ cients réels).
Exercice 02: Les applications suivantes sont-elles linéaires? Justi…er.
(1) f1 : R ! R; x 7! x2 + 3x:
(2) f2 : R ! R; x 7! 2x
(3) f3 : R ! R; x 7!
p
1:
x2 :
(4) f4 : R2 ! R2 ; (x; y) 7! (y; x) :
(5) f5 : R2 ! R; (x; y) 7! 2x + 5y:
(6) f6 : R ! R; x 7! E (x) :
(7) f7 : R ! R; x 7! la 2ème décimale de x:
Exercice 03:
(1) Trouver les noyaux des applications linéaires suivantes:
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
283
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies par:
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
b) k (x; y; z) = (y + z; x + y + z; x) :
Exercice 04:
(1) Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
2y; x + y + 2z) :
f est-elle injective?
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies ci-dessous:
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
b) k (x; y; z) = (x
y + z; x
y + 3z; x
y) :
Exercice 05: On considère l’application de R3 dans R3 dé…nie par:
f (x; y; z) = (2x
6z; y + 5z; x
3z) :
(1) Montrer que f est une application linéaire.
(2) trouver le noyau de f (ker f ) :
(3) Déduire dim (ker f ) et dim (Im f ) :
Exercice 06:
(1) Déterminer les images des applications linéaires de R2 dans R2 suivantes:
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
(2) Soit f l’application de R3 [X] dans R3 [X] dé…nie par: k (P ) = P + (1
Déterminer l’image de cette application linéaire.
284
X) P 0 .
Exercice 07: Soit :
f : R4 ! R2
(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 7! (x1 ; x3 ) :
(1) Montrer que f est application linéaire.
(2) Déterminer ker f; puis donner sa dimension.
(3) En déduire Im f ?
Exercice 08: E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension …nie E,
on dé…nit l’application:
f : E1
E2 ! E
(x1 ; x2 ) 7! f (x1 ; x2 ) = x1 + x2 :
(1) Montrer que f est application linéaire.
(2) Déterminer ker f et Im f puis véri…er que ker f est isomorphe à E1 \ E2 :
(3) Que donne le théorème du rang.
Exercice 09: R3 et R2 sont rapportés aux bases canoniques Be = fe1 ; e2 ; e3 g et Bf = ff1 ; f2 g respectivement. On considère l’application linéaire f : R3 ! R2 dé…nie par:
f (e1 ) = f1 ; f (e2 ) =
f1 + f2 et f (e3 ) =
(1) Trouver f (x; y; z) en fonction de x; y et z:
(2) Déterminer ker f , dim (ker f ) et dim Im f:
(3) En déduire Im f:
(4) f est-elle injective? surjective? Justi…er.
Exercice 10: Soit f une application de R3 [x] vers R2 dé…nie par:
f (P ) = (P (1) ; P ( 1)) :
285
f2 :
Rn [X] : est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n et à coe¢ cients
réels.
(1) Montrer que f est linéaire.
(2) Déterminer le noyau et l’image de f:
(3) Soit g une application linéaire de R1 [x] vers R2 dé…nie par:
g (P ) = (P (1) ; P ( 1)) :
Montrer que g est bijective.
Exercice 11: Soit C (R) l’ensemble des fonctions continues sur R: Soient g1 et g2 les fonctions continues
dé…nies par:
g1 (x) =
ex + e
2
x
et g2 (x) =
ex
e
x
2
On pose F = V ect fg1 ; g2 g et H = ff 2 F=f (ln 2) = 0g :
(1) Determiner la dimension de F:
(2) Montrer que H est un sous espace vectoriel de F:
(3) Trouver la dimension de H:
(4) Soit ' dé…nie par:
'
f
:
F ! R2
7! ' (f ) = (f (ln 2) ; f ( ln 2)) :
(a) Montrer que ' est linéaire.
(b) Montrer que ' est un isomorphisme.
Exercice 12:
286
:
(1) Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont ~i; ~j; ~k
est une base. On considère
l’endomorphisme f de E dé…ni par:
f ~i = ~i + 2~k; f ~j = ~j + 2~k; f ~k = 2~i + 2~j:
Déterminer le rang de f:
(2) Soit E3 le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, et soit f
l’application dé…nie sur E3 par:
g (P ) = X 2 P 00
4XP 0 + 6P:
Déterminer le rang de g:
Exercice 13: On considère l’application linéaire de R2 dans R2 dé…nie par:
1
f ~i = ~i
2
1~
1
j et f ~j = ~i + ~j:
4
2
(1) Démontrer que f est un projecteur.
(2) Déterminer l’image et le noyau de f .
(3) Véri…er que Im f et ker f sont supplémentaires dans R2 et que:
8~v 2 Im f; f (~v ) = ~v :
Exercice 14: Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, (e1 ; e2 ) une base de E et f l’endomorphisme
de E dé…ni par:
f (e1 ) = 2e1
e2 et f (e2 ) = 3e1
(1) Démontrer que f est une symétrie.
(2) Trouver E1 = ker (f
IdE ) et E2 = ker (f + IdE ) :
287
2e2 :
Exercice 15: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E de dimension …nie n: Montrer que
les deux assertions suivantes sont équivalentes:
(a) ker f = Im f:
(b) f
f = 0E et n = 2rang f:
Exercice 16: Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f
g=g
f . Montrer que ker f et
Im f sont stables par g.
Exercice 17: Soient E et F des sous espaces vectoriels de dimensions …nies et f; g deux applications de
E vers F:
(1) Montrer que:
rang (f + g)
rang f + rang g:
(2) En déduire que:
jrang f
rang gj
rang (f + g) :
Exercice 18: Soient E, F deux espaces vectoriels de dimensions …nies n et m respectivement et f :
E ! F une application linéaire. Montrer que:
(1) Si n < m alors f n’est pas surjective.
(2) Si n > m alors f n’est pas injective.
Exercice 19: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E: Montrer que:
(1) ker f
ker f 2 f 2 = f
(2) Im f 2
Im f:
f :
Exercice 20: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E: Montrer que les assertions suivantes
sont équivalentes:
(a) ker f \ Im f = f0E g :
(b) ker f = ker f 2 :
288
9.10
Solutions des exercices
Exercice 01:
Dé…nition 9.8 Soient E, F deux |-espaces vectoriels et f une application de E dans F . Alors
f est linéaire, si les propriétés suivantes sont satisfaites:
(1) 8u1 ; u2 2 E on a: f (u1 + u2 ) = f (u1 ) + f (u2 ) :
(2) 8u 2 E , 8 2 | on a: f ( u) =
f (u) :
ou encore:
8u1 ; u2 2 E; 8 ;
2 | on a: f ( u1 + u2 ) = f (u1 ) + f (u2 ) :
(1) On considère les applications suivantes dé…nies de R2 dans R2 . Lesquelles sont linéaires?
a) f : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y) :
8u1 (x1 ; y1 ) ; u2 (x2 ; y2 ) 2 R2 ; 8 ;
2 R on a:
f ( u1 + u2 ) = f ( (x1 ; y1 ) +
(x2 ; y2 )) = f ( x1+ x2 ; y1+ y2 )
= ( x1+ x2 + 2 ( y1+ y2 ) ; 2 ( x1+ x2 )
=
(x1 + 2y1 ; 2x1
y1 ) +
=
f (u1 ) + f (u2 ) ;
( y1+ y2 ))
(x2 + 2y2 ; 2x2
y2 )
alors f est linéaire.
b) g : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y + 1) :
8u (x; y) 2 R2 , 8 2 R on a:
g ( u) = g ( (x; y)) = g ( x; y) = ( x + 2 y; 2 x
y + 1) ;
et
g (u) = g ((x; y)) =
puisque
(x + 2y; 2x
y + 1) = ( x + 2 y; 2 x
est quelconque alors:
g ( u) 6= g (u) ; 8 6= 1;
289
y + );
donc g n’est pas linéaire.
c) h : (x; y) 7! (x + y; 2xy) :
8u (x; y) 2 R2 , 8 2 R on a:
h ( u) = h ( (x; y)) = h ( x; y) =
x + y; 2
2
xy ;
et
h (u) = h ((x; y)) =
puisque
(x + y; 2xy) = ( x + y; 2 xy) ;
est quelconque alors:
h ( u) 6= h (u) ; 8 2 R
f0; 1g ;
donc h n’est pas linéaire.
d) k : (x; y) 7! x + y; x
y2 :
8u (x; y) 2 R2 , 8 2 R on a:
k ( u) = k ( (x; y)) = k ( x; y) =
x + y; x
2 2
y
;
et
k (u) = k ((x; y)) =
puisque
x + y; x
y2 =
x + y; x
est quelconque alors:
k ( u) 6= k (u) ; 8 2 R
f0; 1g ;
donc k n’est pas linéaire.
(2) f est l’application de R [X] dans R [X] dé…nie par: f (P ) = P (1);
R [X] : est l’espace vectoriel des polynômes à coe¢ cients réels.
290
y2 ;
8P1 ; P2 2 R [X] ; 8 ;
2 R on a:
f ( P1 + P2 ) = ( P1 + P2 ) (1) = P1 (1) + P2 (1)
=
f (P1 ) + f (P2 ) ;
alors f est linéaire.
Exercice 02: Les applications suivantes sont-elles linéaires? Justi…er.
(1) f1 : R ! R; x 7! x2 + 3x:
8x 2 R; 8 2 R on a:
f1 ( x) =
2 2
x + 3 x;
et
f1 (x) =
puisque
x2 + 3x = x2 + 3 x;
est quelconque alors:
f1 ( x) 6= f1 (x) ; 8 2 R
f0; 1g ;
donc f1 n’est pas linéaire.
(2) f2 : R ! R; x 7! 2x
1:
8x 2 R , 8 2 R on a:
f2 ( x) = 2 x
1;
et
f2 (x) =
puisque
(2x
1) = 2 x
est quelconque alors:
f2 ( x) 6= f2 (x) ; 8 6= 1;
donc f2 n’est pas linéaire.
291
;
(3) f3 : R ! R; x 7!
p
x2 : Sachant que:
p
x2 = jxj :
8x 2 R , 8 2 R on a:
f3 ( x) = j xj = j j jxj ;
et
f3 (x) =
puisque
jxj ;
est quelconque alors:
f3 ( x) 6= f3 (x) ; 8 < 0;
donc f3 n’est pas linéaire.
(4) f4 : R2 ! R2 ; ( x; y) 7! (y; x) :
8u1 (x1 ; y1 ) ; u2 (x2 ; y2 ) 2 R2 ; 8 ;
2 R on a:
f4 ( u1 + u2 ) = f4 ( (x1 ; y1 ) +
(x2 ; y2 )) = f4 ( x1+ x2 ; y1+ y2 )
= ( y1+ y2 ; x1+ x2 )
=
(y1 ; x1 ) +
(y2 ; x2 )
=
f4 (u1 ) + f4 (u2 ) :
Alors f4 est linéaire.
(5) f5 : R2 ! R; ( x; y) 7! 2x + 5y:
8u1 (x1 ; y1 ) ; u2 (x2 ; y2 ) 2 R2 ; 8 ;
2 R on a:
f5 ( u1 + u2 ) = f5 ( (x1 ; y1 ) +
(x2 ; y2 )) = f5 ( x1+ x2 ; y1+ y2 )
= 2 ( x1+ x2 ) + 5 ( y1+ y2 )
=
(2x1 + 5y1 ) +
=
f5 (u1 ) + f5 (u2 ) :
Alors f5 est linéaire.
292
(2x2 + 5y2 )
(6) f6 : R ! R; x 7! E (x) :
Pour x = 0; 1 et y = 0; 9 on a:
f6 (x + y) = f6 (1) = 1;
et
f6 (x) + f6 (y) = 0 + 0 = 0;
donc:
f6 (x + y) 6= f6 (x) + f6 (y) ;
donc f6 n’est pas linéaire.
(7) f7 : R ! R; x 7! la 2ème décimale de x:
Pour x = 0; 129 et y = 0; 132 on a:
f7 (x) + f7 (y) = 2 + 3 = 5;
et
f7 (x + y) = f7 (0; 261) = 6;
donc:
f7 (x + y) 6= f7 (x) + f7 (y) ;
donc f7 n’est pas linéaire.
Exercice 03:
(1) Trouver les noyaux des applications linéaires suivantes:
293
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
ker f = (x; y) 2 R2 =f (x; y) = (0; 0) :
f (x; y) = (0; 0) , (4x 3y; 5x + 4y) = (0; 0)
8
< 4x 3y = 0::: (1)
)
: 5x + 4y = 0::: (2)
4
(1) + 3
(2) ) 31x = 0
)x=y=0
) ker f = f(0; 0)g :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
ker g = (x; y) 2 R2 =g (x; y) = (0; 0) :
g (x; y) = (0; 0) , (6x 4y; 9x
8
< 6x 4y = 0::: (1)
)
: 9x 6y = 0::: (2)
(1) et (2) ) 3x
) x = 23 y
) ker f =
2
3 y; y
) ker f = V ect
6y) = (0; 0)
2y = 0
;y 2 R = y
2
3; 1
2
3; 1
;y 2 R
(sous espace engendré par v =
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies par:
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
ker h = (x; y; z) 2 R2 =h (x; y; z) = (0; 0; 0) :
h (x; y; z) = (0; 0; 0) , (x + y + z; y; z) = (0; 0; 0)
8
>
>
x+y+z =0
>
<
)
y=0
>
>
>
:
z=0
)x=y=z=0
) ker h = f(0; 0; 0)g :
294
2
3; 1
):
b) k (x; y; z) = (y + z; x + y + z; x) :
ker k = (x; y; z) 2 R2 =k (x; y; z) = (0; 0; 0) :
k (x; y; z) = (0; 0; 0) , (y + z; x + y + z; x) = (0; 0; 0)
8
>
>
y+z =0
>
<
)
x+y+z =0
>
>
>
:
x=0
) x = 0 et y =
z
) ker k = f(0; z; z) ; z 2 Rg = fz (0; 1; 1) ; z 2 Rg
) ker k = V ect f(0; 1; 1)g :
Exercice 04:
(1) Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
2y; x + y + 2z) :
f est-elle injective?
ker f = (x; y; z) 2 R2 =f (x; y; z) = (0; 0) :
f (x; y; z) = (0; 0; 0) , (x
8
< x 2y = 0
)
: x + y + 2z = 0
3
2y
) x = 2y et z =
) ker f =
2y; y;
) ker f = V ect
2y; x + y + 2z) = (0; 0)
3
2y
2; 1;
; y 2 R = y 2; 1;
3
2
3
2
;y 2 R
6= f(0; 0; 0)g ;
) f n’est pas injective.
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies ci-dessous:
295
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
ker h = (x; y; z) 2 R2 =h (x; y; z) = (0; 0) :
h (x; y; z) = (0; 0; 0) , (x + y + z; y; z) = (0; 0; 0)
8
>
>
x+y+z =0
>
<
)
y=0
>
>
>
:
z=0
)x=y=z=0
) ker h = f(0; 0; 0)g ;
) h est pas injective.
b) k (x; y; z) = (x
y + z; x
y + 3z; x
y) :
ker k = (x; y; z) 2 R2 =k (x; y; z) = (0; 0) :
k (x; y; z) = (0; 0; 0) , (x
8
>
>
x y + 3z = 0
>
<
)
x y+z =0
>
>
>
:
x y=0
y + 3z; x
y + z; x
) x = y et z = 0
) ker k = f(x; x; 0) ; x 2 Rg = fx (1; 1; 0) ; x 2 Rg
) ker k = V ect f(1; 1; 0)g =
6 f(0; 0; 0)g ;
) k n’est pas injective.
Exercice 05: On considère l’application de R3 dans R3 dé…nie par:
f (x; y; z) = (2x
(1) Montrons que f est une application linéaire.
296
6z; y + 5z; x
3z) :
y) = (0; 0)
8 ;
2 R; u1 (x1 ; y1 ; z1 ) ; u2 (x2 ; y2 ; z2 ) 2 R3 :
f ( u1 + u2 ) = f ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )
= (2 ( x1 + x2 )
=
(2x1
6 ( z1 + z2 ) ; ( y1 + y2 ) + 5 ( z1 + z2 ) ; ( x1 + x2 )
6z1 ; y1 + 5z1 ; x1
3z1 ) +
(2x2
6z2 ; y2 + 5z2 ; x2
3z2 )
= f (u1 ) + f (u2 )
) f est linéaire.
(2) trouvons le noyau de f (ker f ) :
ker f = (x; y; z) 2 R3 =f (x; y; z) = (0; 0)
f (x; y; z) = (0; 0) ) (2x
8
>
>
2x 6z = 0
>
<
)
y + 5z = 0
>
>
>
: x 3z = 0
) x = 3z et y =
6z; y + 5z; x
3z) = (0; 0)
5z ) ker f = (3z; 5z; z) 2 R3 =z 2 R
= z (3; 5; 1) 2 R3 =x 2 R
= V ect fv1 g avec v1 = (3; 5; 1) :
(3) Déduire dim (ker f ) et dim (Im f ) :
dim (ker f ) = 1;
mais:
dim R3 = dim Im f + dim ker f
) dim Im f = dim R3
dim ker f = 2:
Exercice 06:
(1) Déterminons les images des applications linéaires de R2 dans R2 suivantes:
297
3 ( z1 + z2 ))
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
ker f = (x; y) 2 R2 =f (x; y) = (0; 0) :
f (x; y) = (0; 0) , (4x 3y; 5x + 4y) = (0; 0)
8
< 4x 3y = 0::: (1)
)
: 5x + 4y = 0::: (2)
5
(1)
4
(2) )
31y = 0
)x=y=0
) ker f = f(0; 0)g ;
) f est injective donc surjective, ce qui implique que:
Im f = R2 :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
Im g = V ect fg (e1 ) ; g (e2 )g ; avec e1 (1; 0) et e2 = (0; 1) ;
) Im g = V ect f (6; 9) ; ( 4; 6)g = V ect f3 (2; 3) ; 2 (2; 3)g
) Im g = V ect f (2; 3)g, donc rang g = 1:
(2) Soit k l’application de R3 [X] dans R3 [X] dé…nie par: k (P ) = P + (1
Déterminons l’image de cette application linéaire.
La base canonique de R3 [X] est: B = 1; X; X 2 ; X 3
Im k = V ect k (1) ; k (X) ; k X 2 ; k X 3
= V ect 1; 1; 1
= V ect 1; 1
X 2; 1
X 2; 1
2X 3
2X 3 avec rang g = 3;
car:
1 (1)
+
2
1
X2 +
298
3
1
2X 3 = 0; 8X 2 R;
X) P 0 .
alors pour:
8
>
>
X=0)
>
<
X=1)
>
>
>
: )
=
1
+
1
1
2
=
2
=0
3
=0
3;
et si on dérive trois fois on trouve:
12
3X
=
0; 8X 2 R alors pour X = 0 )
)
1
=
2
=
) B = 1; 1
3
3
=0
=0
X 2; 1
2X 3
est libre donc une base de Im k.
Exercice 07: Soit :
f : R4 ! R 2
( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 7! (x1 ; x3 ) :
(1) Montrons que f est application linéaire.
8u1 ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ; u2 (y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) 2 R4 ; 8 ;
2 R on a:
f ( u1 + u2 ) = f [ ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) +
(y1 ; y2 ; y3 ; y4 )]
= f ( x1 + y1 ; x2 + y2 ; x3 + y3 ; x4 + y4 )
= ( x1 + y1 ; x3 + y3 ) :::(1)
et
f (u1 ) +
=
f (u2 ) = f ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) + f (y1 ; y2 ; y3 ; y4 )
(x1 ; x3 ) +
(y1 ; y3 )
= ( x1 + y1 ; x3 + y3 ) :::(2)
(1) et (2) implique que:
f ( u1 + u2 ) = f (u1 ) + f (u2 ) ;
ce qui a¢ rme que f est linéaire.
299
(2) Déterminons ker f; puis donnons sa dimension.
ker f = ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 R4 =f ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = (0; 0)
f ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = (0; 0) ) (x1 ; x3 ) = (0; 0) ) x1 = x3 = 0:
) ker f = f( 0; x2 ; 0; x4 ) = x2 ; x4 2 Rg
= fx2 ( 0; 1; 0; 0) + x4 (0; 0; 0; 1) = x2 ; x4 2 Rg
= V ect fv1 ; v2 g avec v1 = ( 0; 1; 0; 0) et v2 = (0; 0; 0; 1) ;
mais:
1 v1
+
2 v2
=
(0; 0; 0; 0) )
1
=
=0
2
) fv1 ; v2 g est libre.
Conclusion: fv1 ; v2 g est une base du ker f , donc dim ker f = 2:
(3) En déduire Im f ?
dim R4 = dim ker f + dim Im f
) dim Im f = dim R4
dim ker f = 4
2=2
) Im f = R2 :
ou bien dire:
Im f = ff (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = (x1 ; x3 ) =x1 ; x3 2 Rg
= fx1 (1; 0) + x3 (0; 1) =x1 ; x3 2 Rg
= vect fe1 ; e2 g avec e1 = (1; 0) ; e2 = (0; 1)
) Im f = R2 :
Exercice 08: E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension …nie E,
on dé…nit l’application f par:
f : E1
E2 ! E
(x1 ; x2 ) 7! x1 + x2 :
(1) Montrons que f est application linéaire.
300
8u1 ( x1 ; x2 ) ; u2 (y1 ; y2 ) 2 R4 ; 8 ;
2 R on a:
f ( u1 + u2 ) = f [ ( x1 ; x2 ) +
(y1 ; y2 )]
= f ( x1 + y1 ; x2 + y2 )
= x1 + y1 + x2 + y2 ; :::(1)
et
f (u1 ) +
=
f (u2 ) = f ( x1 ; x2 ) + f (y1 ; y2 )
(x1 + x2 ) +
(y1 + y2 )
= x1 + y1 + x2 + y2 ; :::(2)
(1) et (2) implique que:
f ( u1 + u2 ) = f (u1 ) + f (u2 ) ;
alors f est linéaire.
(2) Déterminons ker f et Im f , puis véri…ons que ker f est isomorphe à E1 \ E2 :
ker f = f(x1 ; x2 ) 2 E1
E2 =f (x1 ; x2 ) = 0E g
f (x1 ; x2 ) = 0E ) x1 + x2 = 0E
) ker f = f(x1 ; x1 ) = x1 2 E1 \ E2 g :
Et
Im f = ff (x1 ; x2 ) = (x1 ; x2 ) 2 E1
= fx1 + x2 = (x1 ; x2 ) 2 E1
E2 g
E2 g
= E1 + E 2 :
D’autre part l’application:
T : ker f ! E1 \ E2
(x1 ; x1 ) 7! T (x1 ; x1 ) = x1 est une application linéaire,
car:
T ( u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) ;
301
avec T est une bijection donc c’est un isomorphisme.
Alors ker f est isomorphe à E1 \ E2 :
(3) Que donne le théorème du rang.
D’après le théorème du rang on a:
dim (E1
E2 ) = dim ker f + dim Im f;
sachant qu’on a l’isomorphisme entre ker f et E1 \ E2 on obtient:
dim (E1
E2 ) = dim (E1 \ E2 ) + dim (E1 + E2 ) ;
mais:
dim (E1
E2 ) = dim E1 + dim E2 ;
ce qui a¢ rme le théorème des quatre dimensions:
dim (E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2
dim (E1 \ E2 ) :
Exercice 09: R3 et R2 sont rapportés aux bases canoniques Be = fe1 ; e2 ; e3 g et Bf = ff1 ; f2 g respectivement. On considère l’application linéaire
f : R3 ! R2 dé…nie par: f (e1 ) = f1 ; f (e2 ) =
f1 + f2 et f (e3 ) =
f2 :
(1) Trouvons f (x; y; z) en fonction de x; y et z:
f (x; y; z) = f [(x; 0; 0) + (0; y; 0) + (0; 0; z)]
= f [x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0) + z (0; 0; 1)]
= f [xe1 + ye2 + ze3 ]
= xf (e1 ) + yf (e2 ) + zf (e3 )
= xf1 + y ( f1 + f2 ) + z ( f2 )
= x (1; 0) + y ( (1; 0) + (0; 1)) + z ( (0; 1)) = (x
302
y; y
z) :
(2) Déterminons ker f , dim (ker f ) et dim Im f:
ker f = (x; y; z) 2 R3 =f (x; y; z) = (0; 0)
f (x; y; z) = (0; 0) ) (x
y; y
z) = (0; 0)
) y = x = z ) ker f = (x; x; x) 2 R3 =x 2 R
= x (1; 1; 1) 2 R3 =x 2 R
= V ect fv1 g avec v1 = (1; 1; 1) ;
) dim (ker f ) = 1;
mais:
dim R3 = dim Im f + dim ker f
) dim Im f = dim R3
dim ker f = 2:
(3) En déduire Im f:
1ère méthode: Puisque Im f
R2 et dim Im f = 2 alors: Im f = R2 :
2ème méthode:
Im f = V ect ff (e1 ) ; f (e2 ) ; f (e3 )g ;
mais:
f (e2 ) =
f (e1 )
f (e3 )
) Im f = vect ff (e1 ) ; f (e3 )g
= fxf (e1 ) + zf (e3 ) ; x; z 2 Rg
= fxf1
zf2 ; x; z 2 Rg = fx (1; 0)
z (0; 1) ; x; z 2 Rg
= V ect ff1 ; f2 g = R2
(4) f est-elle injective? surjective? Justi…er.
ker f 6= f(0; 0; 0)g ) f n’est pas injective:
D’après l’équation (9.1) l’application f est surjective.
303
(9.1)
Exercice 10: Soit f une application de R3 [x] vers R2 dé…nie par:
f (P ) = (P (1) ; P ( 1)) :
Rn [X] : est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n et à coe¢ cients
réels.
(1) Montrons que f est linéaire.
Soient P1 ; P2 2 R3 [x] et ;
2R:
f ( P1 + P2 ) = (( P1 + P2 ) (1) ; ( P1 + P2 ) ( 1))
=
(P1 (1) ; P1 ( 1)) +
=
f (P1 ) + f (P2 ) ;
(P2 (1) ; P2 ( 1))
ce qui montre que f est linéaire.
(2) Déterminons le noyau et l’image de f:
ker f = fP 2 R3 [x] =f (P ) = (0; 0)g
f (P ) = (0; 0) ) (P (1) ; P ( 1)) = (0; 0) ;
mais:
P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
) (a0 + a1 + a2 + a3 ; a0 a1 + a2
8
< a0 + a1 + a2 + a3 = 0:::(1)
)
;
: a
a +a
a = 0:::(2)
0
par suite:
1
2
(1) + (2) ) a0 =
a3 ) = (0; 0)
3
a2 et (1)
(2) ) a1 =
a3 ;
donc
P (x) = a0 + a1 x
a0 x2
a1 x3 = a0 1
304
x2 + a1 x
x3 ;
ce qui implique que:
ker f = V ect fQ1 ; Q2 g avec: Q1 = 1
x2 et Q2 = x
x3 ;
de plus:
x2 +
1
pour x = 0 )
x
x3 = 0; 8x 2 R;
= 0 et
x
x3 = 0; 8x 2 R )
= 0;
ce qui prouve que fQ1 ; Q2 g est libre donc une base de ker f , alors:
dim ker f = 2:
Pour l’image:
Im f = V ect f (1) ; f (x) ; f x2 ; f x3
= V ect f(1; 1) ; (1; 1) ; (1; 1) ; (1; 1)g
= V ect f(1; 1) ; (1; 1)g ;
de plus:
par suite:
(1; 1) + (1; 1) = (0; 0) ) ( + ;
8
< + = 0:::(1)
)
;
:
= 0:::(2)
(1) + (2) )
=0)
) = (0; 0)
= 0;
ce qui a¢ rme que f(1; 1) ; (1; 1)g est libre donc une base de Im f:
Im f
R2 avec dim Im f = 2 ) Im f = R2 :
(3) Soit g une application linéaire de R1 [x] vers R2 dé…nie par:
g (P ) = (P (1) ; P ( 1)) :
305
Montrons que g est bijective.
Pour P 2 R1 [x] ; P (x) = a0 + a1 x;
ker g = fP 2 R1 [x] =g (P ) = (0; 0)g
g (P ) = (0; 0) ) (P (1) ; P ( 1)) = (0; 0)
) (a0 + a1 ; a0 a1 ) = (0; 0)
8
>
>
a + a1 = 0:::(3)
>
< 0
)
;
et
>
>
>
: a
a1 = 0:::(4)
0
par suite:
(3) + (4) ) a0 = 0 ) a1 = 0 ) P = 0 ) ker g = f0g ;
donc g est injective d’après le théorème du cours. De plus:
dim ker g + dim Im g = dim R1 [x]
) dim Im g = dim R1 [x] = 2 avec Im g
R1 [x]
) Im g = R1 [x] ;
donc g est surjective.
Conclusion: g est bijective.
Exercice 11: Soient C (R) l’ensemble des fonctions continues sur R et g1 et g2 les fonctions continues
dé…nies par:
g1 (x) =
ex + e
2
x
et g2 (x) =
ex
On pose F = V ect fg1 ; g2 g et H = ff 2 F=f (ln 2) = 0g :
306
e
2
x
:
(1) Determinons la dimension de F:
1 g1
+
2 g2
=0)
pour x = 0 )
)
2
1
ex +e
2
1
=0)
x
+
ex
2
e
2
ex e
2
2
x
x
= 0; 8x 2 R;
= 0; 8x 2 R
=0
) fg1 ; g2 g est libre donc une base,
) dim F = 2:
(2) Montrons que H est un sous espace vectoriel de F:
H = ff 2 F=f (ln 2) = 0g :
a) La fonction nulle f0 2 H ) H 6= ;:( f0 (x) = 0; 8x 2 R)
b) Soient f1 ; f2 2 H et
1;
2
2 R alors:
f1 ; f2 2 F=f1 (ln 2) = f2 (ln 2) = 0
)
1 f1
+
2 f2
2 F= (
)
1 f1
+
2 f2
2H
1 f1
Conclusion: H
+
s.e.v
2 f2 ) (ln 2)
=0
F:
(3) Trouvons la dimension de H:
f 2H)f 2F )9 ;
) f (x) =
ex +e
2
x
307
+
2 R=f = g1 + g2
ex e
2
x
mais:
2+ 21
2
f (ln 2) = 0 )
)
5
2
+
3
2
1
2
2
= 0;
2
=0)5 +3 =0)
) f (x) =
) f (x) =
+
h
2
ex +e
2
x
ex e
2
5
3
x
2 e3 + 8 e 3
x
i
) H = V ect fg3 g avec g3 = (4e
=
=
x
5
3
;
;
3
x
(4e
x
ex ) ;
ex )
) dim H = 1:
(4) Soit ' dé…nie par:
'
f
F ! R2
:
7! ' (f ) = (f (ln 2) ; f ( ln 2)) :
(a) Montrons que ' est linéaire.
Soient f1 ; f2 2 F et
1;
'(
2 f2 )
1 f1
+
2
2 R alors:
= ((
1 f1
+
2 f2 ) (ln 2) ; ( 1 f1
=
1 (f1 (ln 2) ; f1 (
=
1 ' (f1 )
+
ln 2)) +
2 ' (f2 ) ;
donc ' est linéaire.
(b) Montrer que ' est un isomorphisme.
308
+
2 f2 ) (
ln 2))
2 (f1 (ln 2) ; f2 (
ln 2))
Il reste à montrer que ' est bijective?
ker ' = ff 2 F=' (f ) = 0R2 g
' (f ) = 0R2 ) (f (ln 2) ; f ( ln 2)) = (0; 0)
8
>
>
f (ln 2) = 0
>
<
)
avec f 2 F;
et
>
>
>
: f ( ln 2) = 0
x
1
par suite:
x
x
x
) f = 1 e +e
+ 2 e 2e
2
8
1
1
< 1 2+ 2 + 2 2 2 = 0
2
2
)
1
1
+2
2
:
2
2
+
=0
2
1
2
2
8
< 5 1 + 3 2 = 0:::(1)
)
: 5
3 = 0:::(2)
(1) + (2) )
2
1
=0)
2
= 0 ) f = 0;
donc:
ker ' = f0g ) ' est injective,
de plus:
dim ker ' + dim Im ' = dim F ) dim Im ' = 2
avec:
Im '
R2 ) Im '
R2 ) ' est surjective.
Conclusion: ' est une application linéaire bijective donc c’est un isomorphisme.
Exercice 12:
(1) Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont ~i; ~j; ~k
est une base. On considère
l’endomorphisme f de E dé…ni par:
f ~i = ~i + 2~k; f ~j = ~j + 2~k et f ~k = 2~i + 2~j:
309
Déterminons le rang de f:
n
o
Im f = V ect f ~i ; f ~j ; f ~k
mais:
f
~k = 2f ~j
2f ~i (combinaison linéaire en fonction des deux autres);
alors:
n
o
Im f = V ect f ~i ; f ~j ;
de plus:
~i + 2~k +
f ~i + f ~j = (0; 0) )
)(
; ; 2 + 2 ) = (0; 0; 0) )
=
~j + 2~k = (0; 0; 0)
= 0;
ce qui implique que les deux vecteurs sont libres.
Conclusion: rang f = dim Im f = 2:
(2) Soient E3 le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et soit f
l’application dé…nie sur E3 par:
g (P ) = X 2 P 00
4XP 0 + 6P:
Déterminons le rang de g:
Im g = V ect g (1) ; g (X) ; g X 2 ; g X 3
= V ect f6; 2X; 0; 0g = V ect f6; 2Xg ;
mais:
(6) +
(2X) = 0; 8X 2 R )
310
=
= 0;
donc:
B = f6; Xg est une base de Im g, alors: rang g = dim Im g = 2:
Exercice 13: On considère l’application linéaire de R2 dans R2 dé…nie par:
1
f ~i = ~i
2
1
1~
j et f ~j = ~i + ~j:
4
2
(1) Montrons que f est un projecteur.
f (~v ) = f (f (~v )) = f f x~i + y~j
8~v (x; y) 2 V2 ; f
= f xf
x
2
=f
~i + yf ~j
y ~i +
x
4
=
x
2
y f ~i +
=
x
2
y
x
2
=
1
2
~i
y ~i +
+
x
4
1
4
x
4
1
2
=f x
+
~j +
+
y
2
y
2
~i
1
4
~j + y
~i +
1
2
~j
~j
y
2
~j
f
x
4
+
y
2
~i +
1
2
~j
~j = f (~v ) ;
alors f est un projecteur.
(2) Déterminons l’image et le noyau de f .
n
o
Im f = V ect f ~i ; f ~j ;
mais:
f
~j
n
o
1 ~
1
f i ) Im f = V ect f ~i
= x ~i
2
2
n x x
o
x
1
=
;
;x 2 R =
1;
;x 2 R
2
4
2
2
1
= V ect fw
~ 1 g avec w
~ 1 1;
:
2
=
Pour:
ker f = f~v (x; y) =f (~v ) = (0; 0)g ;
311
1~
j ;x 2 R
4
4
y ~i +
x
2
f (~v ) = (0; 0) )
8
< x y=0
2
)
: x+y =0
x
4
+
y
2
~j = (0; 0)
2
) x = 2y
) ker f = f(2y; y) ; y 2 Rg ;
) ker f = V ect fw
~ 2 g avec w
~ 2 (2; 1) :
(3) a) Véri…ons que Im f et ker f sont supplémentaires dans R2 :
dim Im f + dim ker f = 1 + 1 = 2 = dim R2 ;
de plus:
~v 2 Im f \ ker f )
alors:
=
1
2
1
2
=
8
>
>
~v =
>
<
1
2
;
et
>
>
>
: ~v = (2 ; ) ;
)
=
= 0;
donc:
~v = (0; 0) :
Conclsion: Im f \ ker f = f(0; 0)g donc Im f et ker f sont supplémentaires.
b) Véri…ons que:
8~v 2 Im f; f (~v ) = ~v :
8~v 2 Im f; ~v
;
1
2
;
) f (~v ) = f
;
1
2
= f ~i
~j =
1~
2i
= f ~i
= ~i
1
2f
2
~j =
;
1
2
2R
1~
2j
1~
4j
1
2
~i + 1~j
2
= ~v :
Exercice 14: Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, (e1 ; e2 ) une base de E et f l’endomorphisme
312
de E dé…nit par:
f (e1 ) = 2e1
e2 ; f (e2 ) = 3e1
2e2 :
(1) montrons que f est une symétrie.
f
f (e1 ) = f (f (e1 )) = f (2e1
= 2 (2e1
e2 )
e2 ) = 2f (e1 )
(3e1
f (e2 )
2e2 )
= e1 ;
et
f
f (e2 ) = f (f (e2 )) = f (3e1
= 3 (2e1
e2 )
2e2 ) = 3f (e1 )
2 (3e1
2f (e2 )
2e2 )
= e2 ;
alors f est une symétrie.
Remarque 9.3 On peut utiliser cette méthode dans la 1ère question de l’exercice 10 on montre
que:
f ~i = f ~i
f
(2) Trouvons E1 = ker (f
et f
f ~j = f ~j :
IdE ) et E2 = ker (f + IdE ) :
E1 = ker (f
IdE ) = fv 2 E= (f
IdE ) (v) = (0; 0)g :
Soit v (x; y) 2 E :
(f
IdE ) (v) = (0; 0) ) f (v)
) x (2e1
) (2x + 3y
e2 ) + y (3e1
x; x
) (x + 3y; x
2y
2e2 )
v = (0; 0) ) xf (e1 ) + yf (e2 )
(x; y) = (0; 0)
y) = (0; 0)
3y) = (0; 0) ) x =
) v = ( 3y; y)
) E1 = V ect fw1 g avec w1 ( 3; 1) :
313
3y
(x; y) = (0; 0)
D’autre part:
E2 = ker (f + IdE ) = fv 2 E= (f + IdE ) (v) = (0; 0)g :
Soit v (x; y) 2 E :
(f + IdE ) (v) = (0; 0) ) f (v) + v = (0; 0) ) xf (e1 ) + yf (e2 ) + (x; y) = (0; 0)
) x (2e1
e2 ) + y (3e1
) (2x + 3y + x; x
) (3x + 3y; x
2e2 ) + (x; y) = (0; 0)
2y + y) = (0; 0)
y) = (0; 0) ) x =
y
) v = ( y; y)
) E1 = V ect fw2 g avec w2 ( 1; 1) :
Exercice 15: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E de dimension …nie n: Montrer que
les deux assertions suivantes sont équivalentes:
(a) ker f = Im f:
(b) f
f = 0E et n = 2 rang f:
(1) Montrons que (a) ) (b) :
Soit x 2 E ) f (x) 2 Im f ) f (x) 2 ker f par hypothèse,
) f (f (x)) = 0E ;
de plus:
dim E
=
dim Im f + dim ker f = 2 dim Im f , d’après (a)
) dim E = n = 2 rangf:
(2) Montrons que (b) ) (a) :
314
Montrons que Im f
ker f :
Soit y 2 Im f ) 9x 2 E tel que f (x) = y
) f (f (x)) = f (y) car f est une application,
) 0 = f (y), d’après (b)
) y 2 ker f ) Im f
ker f; :::(i)
de plus:
dim E
=
dim Im f + dim ker f = 2 rangf = 2 dim Im f
) dim ker f = dim Im f:::(ii)
(i) et (ii) implique que:
Im f = ker f:
Exercice 16: Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f
g=g
f . Montrons que ker f et
Im f sont stables par g.
Rappel: Une partie A est stable par g si g (A)
a) Montrons que g (ker f )
A:
ker f:
Soit y 2 g (ker f ) ) 9x 2 ker f tel que y = g (x) ;
d’autre part:
f (y)
=
f (g (x)) = f
g (x) = g f (x) par hypothèse,
) f (y) = g (f (x)) = g (0E ) car x 2 ker f;
) f (y) = 0E car g est une application linéaire,
) y 2 ker f ) g (ker f )
315
ker f:
b) Montrons que g (Im f )
Im f:
Soit z
2
g (Im f ) ) 9y 2 Im f tel que z = g (y) ;
) 9x 2 E tel que y = f (x) ;
donc:
g (y)
=
g (f (x)) = g f (x) = f
g (x) par hypothèse,
) g (y) = f (g (x)) 2 Im f;
) z 2 Im f .
Exercice 17: Soient E et F de dimensions …nies et f; g deux applications de E vers F:
(1) Montrons que:
rang (f + g)
rang f + rang g:
On a:
dim (A + B) = dim A + dim B
) dim (A + B)
dim (A \ B)
dim A + dim B;
si on pose:
A = Im f et B = Im g;
on obtient:
dim (Im f + Im g)
dim Im f + dim Im g;
mais:
Im (f + g)
Im f + Im g;
en e¤et:
y
2
Im (f + g) ) 9x 2 E tel que (f + g) (x) = y
) y 2 f (x) + g (x) avec f (x) 2 Im f et g (x) 2 Im g;
)
y 2 Im f + Im g:
316
Alors
dim (Im (f + g))
dim (Im f + Im g)
) rang (f + g)
rang f + rang g:
(2) En déduire que:
jrang f
rang gj
rang (f + g) :
On applique la formule précédente à (f + g) et ( g) sachant que:
rang ( g) = rangg;
donc:
rang ((f + g) + ( g))
rang (f + g) + rang ( g)
) rang (f )
rang (f + g) + rang (g)
) rang (f )
rang (g)
rang (f + g) :::(1)
De même pour (g + f ) et ( f ) sachant que:
rang ( f ) = rangf;
donc:
rang ((g + f ) + ( f ))
rang (g + f ) + rang ( f )
) rang (g)
rang (f + g) + rang (f )
) rang (g)
rang (f )
rang (f + g) :::(2)
(1) et (2) donne:
jrangf
ranggj
rang (f + g) :
Exercice 18: Soient E, F deux espaces vectoriels de dimensions …nies n et m respectivement et f :
E ! F une application linéaire. Montrons que:
(1) Si n < m alors f n’est pas surjective.
Par l’absurde on suppose que f est surjective alors:
Im f = F donc: dim Im f = m;
317
mais:
dim ker f + dim Im f = dim E
) dim ker f + m = n ) n > m;
d’où la contradiction.
Conclusion: Si n < m alors f n’est pas surjective:
(2) Si n > m alors f n’est pas injective.
On suppose que f est injective alors:
ker f = f0E g donc: dim ker f = 0;
mais:
dim ker f + dim Im f = dim E ) dim Im f = n;
mais:
Im f
F ) dim Im f
dim F = m ) n
m;
d’où la contradiction.
Conclusion: Si n > m alors f n’est pas injective:
Exercice 19: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E: Montrons que:
(1) ker f
ker f 2 f 2 = f
f :
Soit x 2 ker f ) f (x) = 0E
) f (f (x)) = f (0E ) = 0E car f est une application linéaire,
)f
f (x) = 0E ) x 2 ker f 2 :
Conclusion: ker f
318
ker f 2 :
(2) Im f 2
Im f:
Soit y 2 Im f 2 ) 9x 2 E tel que: f 2 (x) = y
) f (f (x)) = y ) 9z = f (x) 2 E tel que: f (z) = y;
) y 2 Im f:
Conclusion: Im f 2
Im f:
Exercice 20: Soit f un endomorphisme dans un espace vectoriel E: Montrons que les assertions suivantes sont équivalentes:
(a) ker f \ Im f = f0E g :
(b) ker f = ker f 2 :
(1) Montrons que: (a) ) (b)
D’après l’exercice (16) ker f
ker f 2 ; il reste à montrer que:
ker f 2
Soit x 2 ker f 2 ) f
ker f ?
f (x) = 0E
) f (f (x)) = 0E ) f (x) 2 ker f mais f (x) 2 Im f;
) f (x) 2 ker f \ Im f
) f (x) = 0E , d’après l’ypothèse,
) x 2 ker f
) ker f 2
ker f:
319
(2) Montrons que: (b) ) (a)
On a: f (0E ) = 0E ) 0E 2 ker f \ Im f
) f0E g
ker f \ Im f:::(1)
D’autre part: Si y 2 ker f \ Im f
8
>
>
y 2 ker f ) f (y) = 0E
>
<
)
et
>
>
>
: y 2 Im f ) 9x 2 E tel que : f (x) = y;
) f (f (x)) = f (y) = 0E ) x 2 ker f 2
) x 2 ker f par hypothèse,
) f (x) = 0E ) y = 0E
) ker f \ Im f
f0E g :::(2)
(1) et (2) implique que:
ker f \ Im f = f0E g ;
d’où l’équivalence entre les deux assertions.
320