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Résumé de Cours :logarithme népérien
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La fonction logarithme népérien
PROF: ATMANI NAJIB
2BAC SM
2)Si 𝑢 est une fonction dérivable sur 𝐼 et ne s’annule pas sur
La fonction logarithme népérien :
La fonction logarithme népérien notée ln est l’unique
u  x 
sont
fonction, définie et dérivable sur ]0, +∞ [et Vérifiant ln1= 0 𝐼 alors les fonctions primitives de la fonction x 
u  x
1
et pour tout réel x > 0,  ln x  
0
les fonctions ;𝐹(𝑥) = 𝑙 𝑛(|𝑢(𝑥)|) + 𝐶𝑡𝑒
x
Il est continu et strictement croissant sur ]0, +∞ [.
FONCTIONS LOGARITHMIQUES DE BASE 𝑎
Premières propriétés (directement liées à la définition)
Soit  a 0  et  a  1
Pour tous réels : x 0 ; y 0 ; r 
On note log a la fonction logarithmique de base 𝒂
1) ln x  ln y  x  y 2) x  y  ln x  ln y
ln x
définie sur ]0, +∞[ par :(∀𝑥 ∈]0, +∞[) ( log a 
)
ln a
3) lnx  0  x  1
4) lnx  0  0  x  1
5) ln  x  y   ln x  ln y 6) e 2,71828  et ln e   1
8) ln  x   ln x  ln y
1
7) ln     ln x
x
 y
10) ln x
11) ln  e x   x x 
13) e x  y  x  ln y x 
ln x
 x   x 0 
et y
0
(Limites usuelles)
1) lim lnx  
x
2) lim ln x  
x 0
x 


5) lim x ln x  0 (où r ∈
x 0
7) lim
x 0
)


r
x 1
4) log a
   r log
5) log a x
6) log e 
r
a
 x   1/ 2  log
)
x
x
ln x
 ln x
ln e
∀𝑥 ∈]0, +∞[ ;  log a  x   
1
donc La fonction log a
x ln a
est une bijection de ]0, +∞[ vers ℝ
1) (∀𝑥 > 0)(∀𝑦 > 0)( log a (𝑥) = log a (𝑦) ⟺ 𝑥 = 𝑦)
3) log a strictement croissante si  a
log a strictement décroissante si  0
1
a
1
Cas particulier 𝒂 = 𝟏𝟎 ; logarithme décimal :
ln x
1
x 1
La fonction logarithmique de base 10 s’appelle la fonction
logarithmique décimal et se note par 𝒍𝒐𝒈 et (∀𝒙 ∈]𝟎, +∞[)
ln  x  1
1
x
Dérivée et primitives de la fonction 𝒙 → 𝒍𝒏(𝒖(𝒙))
( log x  ln x ) et on a : 𝑙𝑜𝑔(10) = 1
ln10
1)Si 𝑢 est une fonction dérivable sur 𝐼 et ne s’annule pas sur
r
1) (∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)(𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑟 ⟺ x  10 )
𝐼 alors la fonction :𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(|𝑢(𝑥)|) est dérivable sur 𝐼
et (∀𝑥 ∈ 𝐼) ( f   x  
a
r
2) (∀𝑥 > 0)(∀𝑟 ∈ ℚ)( log a  x   r ⟺ x  a
ln x
0
x
ln x
4) lim r  0 (où r ∈
x  x
3) lim
6) lim
1) log a  x  y   log a x  log a y 2) log a 1/ x    log a x
r
e
12)
0 ; r 
3) log a  x / y   log a x  log a y
   r ln x
1
9) ln a  lna
2
x 0 ; y
u  x 
u  x
r
)
Prof/ATMANI NAJIB
2) (∀𝑟 ∈ ℚ)( 𝑙𝑜𝑔( 10 ) = 𝑟 3) 𝑙𝑜𝑔(𝑥) > 𝑟 ⟺ 𝑥 > 10
r
« C’est en forgeant que l’on devient forgeron »
Dit un proverbe.
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