Examen Maths pour SM

Classe :Terminal sm
Prof : m.idir
ConTrôle ConTinu 2:
Le 23/12/2021
2h
GrouPe eduCaTif
allal aouad – sale-
BAR
1pt
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1,5pt
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1pt
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1pt
1pt
exerCiCe 1 : ( 4 PTs)
Soient n tel que
2
n et
n
f
la fonction définie sur
1,
par :
1
n
n
f x x x
1- Montrer qu’il existe un unique réel
1
n
x
tel que :
0
n n
f x
.
2- Montrer que :
1
0
n n
f x
.
3- En déduire que la suite
2
nn
x
est décroissante et minorée.
4- Montrer que
lim 1
n
nx
(indication utiliser un raisonnement par absurde)
Problème : ( 16 PTs)
Partie 1 : (3 pts)
1- En utilisant le théorème des accroissements finies pour la fonction
: arctan
g x x
sur
,0
x
avec
0
x
, montrer que : tan
1 ²
x
x Arc x
x
2- En déduire : 2
0
arctan
lim
x
x x
x
.
3- Montrer que :
1
0 ; arctan arctan
2
x x
x
.
Partie 2 : (9,5 pts)
Soit
f
la fonction définie sur par :
2
2 2
( ) ; 2
tan 2
( ) 4 ; 2
x
f x x
Arc x
f x x x x
et
( )
f
C
sa courbe dans un
repère orthonormé
, i, j
O .
1- Etudier la continuité de
f
au point
2
.
2- Etudier la dérivabilité de
f
à droite du point
2
, et donner une interprétation géométrique .
3- Etudier la dérivabilité de
f
à gauche du point
2
, et donner une interprétation géométrique .
4- Montrer que :
2
2
2 2
2
arctan 2 1 2
( ) 2 ; 2
tan 2
4
( ) ; 2
4 4
x
xx
f x x
Arc x
f x x
x x x
5- Donner le tableau de variations de
f
sur .
6- a) Calculer
lim
x
f x
 , puis déduire la branche infinie de
( )
f
C
au voisinage de .
b) Calculer
lim
x
f x
 et montrer que
4
lim
x
f x
x
.
c) Montrer que la droite d’équation : 2
4 8 8
y x    est une asymptote à
( )
f
C
au
voisinage de .
7- Construire
( )
f
C
dans le repère
, i, j
O , on donne 2
4 8 8
1,3 et 3, 4

1pt
0,5pt
1pt
1pt
Partie 3 : (3,5 pts)
Soit
g
la fonction définie par
2
g x f x
sur
1,I
.
1- Montrer que :
2 2
1, :
2
x g x
x x
.
2- En déduire que :
2
2 4 2
1, :x g x
x x x
.
3- Soit
n
n
u
la suite définie par :
2
*
1
:
n
n
k
n
n u g
k
 .
a) En utilisant ce qui précède montrer que : *
3
1 2( 1)(2 1) 1
:
3
n
n n n n
n u
n n n
    .
b) En déduire que la suite
n
n
u
est convergente en déterminant sa limite.
Exercice Facultatif 1: (1 pts)
Soit fune fonction dérivable sur et admettant des limites finies égales en
et
.
Montrer que :
: '( ) 0
c f c
Exercice Facultatif 2: (1 pts)
Soit
1
n
n
u
une suite à valeurs entières convergente. Montrer que
1
n
n
u
est constante à partir
d’un certain rang.
NB : Un point sera réservé à la clarté des réponses et à la prise de soin apportée à la copie….
Bon courage !