Examen Maths pour SM

Classe :Terminal sm
Prof : m.idir
ConTrôle ConTinu 2:
GrouPe eduCaTif
allal aouad – sale-
Le 23/12/2021
2h
BAR exerCiCe 1 : ( 4 PTs)
Soient n   tel que n  2 et f n la fonction définie sur 1,  par : f n  x   x n  x  1
1pt
1- Montrer qu’il existe un unique réel xn  1 tel que : f n  xn   0 .
1pt
2- Montrer que : f n 1  xn   0 .
1pt
3- En déduire que la suite  xn n2 est décroissante et minorée.
1pt
4- Montrer que lim xn  1
n
(indication utiliser un raisonnement par absurde)
Problème : ( 16 PTs)
1pt
Partie 1 : (3 pts)
1- En utilisant le théorème des accroissements finies pour la fonction g : x  arctan x sur  x, 0
avec x  0 , montrer que : x  Arc tan x 
1pt
2- En déduire : lim
x 0
1pt
x  arctan x
.
x2
1

 .
x
2
Partie 2 : (9,5 pts)

2  x  2
 f ( x) 
Arc tan  x  2 

Soit f la fonction définie sur  par : 
2
 f ( x)  x  x  4



repère orthonormé O, i, j .
3- Montrer que :  x  0  ; arctan x  arctan

1pt
1pt
1pt
1,5pt
x
1  x²
1pt
1- Etudier la continuité de f au point 2 .
2- Etudier la dérivabilité de f à droite du point 2 , et donner une interprétation géométrique .
3- Etudier la dérivabilité de f à gauche du point 2 , et donner une interprétation géométrique .


 x  2

 arctan  x  2  
2
1   x  2
 

 f ( x)  2 
Arc tan 2  x  2 




4- Montrer que : 

4
 f ( x) 

x2  4 x  x2  4


5- Donner le tableau de variations de f sur  .


 ; x2



; x2

6- a) Calculer lim f  x  , puis déduire la branche infinie de (C f ) au voisinage de  .
x 
1pt
b) Calculer lim f  x  et montrer que lim
1pt
c) Montrer que la droite d’équation : y  
f  x
x
x 
x 
voisinage de  .
1pt
et (C f ) sa courbe dans un
; x2


1pt
; x2
4

x

4

.
8  8
2
est une asymptote à (C f ) au

4
8  8
 3, 4
7- Construire (C f ) dans le repère O, i, j , on donne  1, 3 et
2




Partie 3 : (3,5 pts)
Soit g la fonction définie par g  x   f  x  2  sur I  1,  .
1pt
0,5pt
1pt
1pt
2
2
 g  x .
x2
x
2- En déduire que : x  1,  : 2  42  g  x   2 .
x x
x
1- Montrer que : x  1,  :
n
 n2 
*
3- Soit  un n la suite définie par : n   : un   g   .
k 1  k 
n  1 2(n  1)(2n 1)
n 1
*

 un 
a) En utilisant ce qui précède montrer que : n   :
.
3
n
3n
n
b) En déduire que la suite  un n est convergente en déterminant sa limite.
Exercice Facultatif 1: (1 pts)
Soit f une fonction dérivable sur  et admettant des limites finies égales en  et   .
Montrer que : c   : f '(c)  0
Exercice Facultatif 2: (1 pts)
Soit  un n1 une suite à valeurs entières convergente. Montrer que  un n1 est constante à partir
d’un certain rang.
NB : Un point sera réservé à la clarté des réponses et à la prise de soin apportée à la copie….
Bon courage !