Poly-Mecanique-des-structures-de-poutres

Ecole Nationale d’Ing´enieurs de Tunis
Ecole Polytechnique de Tunis
MECANIQUE DES
STRUCTURES DE POUTRES
Equilibre thermo´elastique
Cours et Applications
Rached EL FATMI
Version 2005

Avant propos
Dans ce cours, la d´emarche, pour ´etablir la th´eorie des poutres, s’efforce de r´ealiser un
passage “naturel” :
– de la M´ecanique des Milieux Continus qui traite des milieux tridimensionnels en g´en´eral,
– `a la th´eorie des poutres, milieux dont la particularit´e g´eometrique autorise un point de
vue macroscopique unidimensionnel.
Par cette voie, la th´eorie 1D apparait comme une “particularisation” de la th´eorie tridi-
mensionnelle, dans laquelle, chemin faisant, chaque ´etape de mod´elisation est pr´ecis´ee.
Ce cours est donc, fatalement, destin´e aux ´el`eves des ´ecoles d’ing´enieurs, ou aux ´etudiants
des maˆıtrises1de M´ecanique, pour lesquels l’enseignement de la th´eorie2des poutres est
programm´e `a la suite du cours3de MMC.
La th´eorie, d´evelopp´ee dans ce cours, se place dans le cadre de l’hypoth`ese des petites
perturbations et de la solution lin´earis´ee de l’´equilibre. Le mat´eriau constituant la poutre
est suppos´e homog`ene et de comportement thermo´elastique isotrope.
L’objectif de cet ouvrage est de mettre en place une “M´ecanique unidimensionnelle” pour
les structures de poutres, o`u les variables d’espace se r´eduisent `a la seule abscisse curviligne.
Dans un premier temps, on identifie :
– les quantit´es unidimensionnelles qui d´ecrivent l’´etat de la structure : efforts int´erieurs,
d´eplacements et d´eformations,
– et le syst`eme d’´equations (´equations d’´equilibre global et local, de compatibilit´e, et de
comportement) et de conditions aux limites qui gouverne l’´equilibre d’une structure de
poutres.
Puis, nous donnons, en les illustrant, les principes des diff´erentes m´ethodes de r´esolution
(directe et variationnelles).
1Ce cours peut aussi s’adresser aux ´etudiants des maˆıtrises de Math´ematiques Appliqu´ees.
2R´esistance Des Mat´eriaux), ou Th´eorie des structures, selon les apellations
3ou bien M´ecanique des milieux d´eformables ou Elasticit´e, selon les appellations ou les contenus retenus

L’approche, pour ´etablir cette M´ecanique unidimensionnelle (1D), se distingue par la vo-
lont´e d’´eviter toute hypoth`ese cin´ematique. Le point de d´epart est ici la mod´elisation 1D
des actions ext´erieures et int´erieures. D´eplacements et d´eformations 1D sont identifi´es par
dualisation des ´equations d’´equilibre local.
La loi de comportement pour le milieu poutre est obtenue par l’identification des travaux
(virtuels) int´erieurs de la poutre r´eelle 3D et de celle de la mˆeme poutre mod´elis´ee 1D.
Cette identification est rendue possible par le d´eveloppement complet du probl`eme de Saint
Venant qui assure “un pont” entre les deux points de vue 3D et 1D. Par cette voie, la
loi de comportement obtenue, valable pour une section quelconque, peut ˆetre consid´er´ee
comme l’homologue 1D de la loi de comportement thermo´elastique 3D. Cette mˆeme voie,
permet de pr´eciser les hypoth`eses permettant d’aboutir au mod`ele classique associ´e `a Navier
Bernoulli, et dont l’exploitation est suffisante pour les applications courantes.
iv

Introduction
Sur la th´eorie des poutres
La M´ecanique des Milieux Continus (MMC) permet de d´eterminer, pour une pi`ece donn´ee
(forme et mat´eriau) soumise `a un chargement donn´e, les champs tridimensionnels de
d´eplacements, de d´eformations et de contraintes. La mod´elisation math´ematique du probl`e-
me conduit `a un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles bien pos´e, sous la condition
que les donn´ees aux limites en force ou en d´eplacement soient parfaitement identifi´ees. La
r´esolution, except´es quelques cas d’´ecole, ne peut se faire que num´eriquement sur ordina-
teur, notamment par la m´ethode des ´el´ements finis.
Mˆeme si les bureaux d’´etudes commencent `a disposer actuellement de moyens de calculs
performants, la richesse et le coˆut d’une solution MMC-El´ements finis ne se justifient que
rarement dans la construction courante. Une estimation plus grossi`ere de la solution est
souvent suffisante au sens de l’ing´enieur et des normes en vigueur. Cela d’autant, qu’on ne
connait souvent les conditions aux limites (efforts appliqu´es et les conditions d’appuis) que
de mani`ere approximative.
Dans le domaine de la construction, les formes des solides sont rarement massivement
tridimensionnelles, c’est `a dire de dimensions comparables dans les trois directions de
l’espace. Par exemple, la petite ´epaisseur de la coque d’un r´eservoir, d’une dalle ou d’un
voile autorise un point de vue macroscopique bidimensionnel (2D) permettant de consid´erer
ces milieux comme des surfaces mat´erielles. De mˆeme, les petites dimensions de la section
transversale d’un poteau, d’une poutre, d’un pieu, d’un cˆable ou d’un ressort, autorisent
un point de vue macroscopique unidimensionnel (1D) permettant de consid´erer ces milieux
comme des lignes mat´erielles.
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