188-Exercices-MATH

22 février 2017
188 exercices de
mathématiques
pour
Terminale S
Stéphane PASQUET
i

Sommaire
Disponible sur http: // www. mathweb. fr
22 février 2017
I Continuité & dérivabilité ............................. 1
I.1 Calculs élémentaires en +∞................................ 1
I.2 En +∞avec des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 En un nombre fini avec des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.4 Règledel’Hôpital...................................... 2
I.5 Fonctionf:x7→ 2x−√x
2+√x.................................. 2
I.6 Fonctionsf:x7→ √x2+ 1 −2xet g:x7→ x
√x2+1 ................. 2
I.7 Prolongement par continuité def:x7→ x−2
√4−x−2en2 .................. 3
I.8 Prolongement par continuité def:x7→ √x2+x+2−2
x−1en1................ 3
I.9 Étude de la fonctionf:x7→ |2x2−x−1|
√1−x2.......................... 3
I.10 Approximation d’un angle par la longueur d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Fonction exponentielle .............................. 20
II.1 Produits, quotients et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.2 Simplification d’expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II.3 Équations.......................................... 20
II.4 Équations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.5 Inéquations......................................... 21
II.6 Inéquations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
II.7 Fonctionf:x7→ e2x−(x+ 1)ex............................ 21
II.8 CourbedeGauss...................................... 22
II.9 Fonctionf:x7→ ex−√x.................................. 23
II.10 Fonctionf:x7→ √xex................................. 23
II.11 Fonctionfk:x7→ ln (ex+kx)−x.......................... 23
II.12 Fonctionf:x7→ (x−1) (2 −e−x).......................... 24
II.13 Fonctionf(x) = (2x+ 1)e−x............................. 25
II.14 Fonction f:x7→ ex−e−x
ex+e−x................................ 26
III Logarithme népérien ............................... 42
III.1 Simplification d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
III.2 Équations ......................................... 42
III.3 Inéquations ........................................ 42
III.4 Limites........................................... 43
III.5 Limites........................................... 43
ii

III.6 Démonstration de cours : lim
x→+∞
ln x
x........................... 43
III.7 Calculsdedérivées..................................... 44
III.8 Fonctionf:x7→ ln(x2+1)
x2+1 sansconsignes ........................ 44
III.9 Fonctionf:x7→ ln 1 + 1
x.............................. 44
III.10 Fonctionf:x7→ (x+ 1) ln(x2−2x+ 1) ..................... 44
III.11 Comparaison de πeet eπ................................ 45
III.12 Concentration de bactéries dans le corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
III.13 Fonction f:x7→ (x2+ 1) ln x−x......................... 46
III.14 Équation ex−ln x= 0 ................................. 47
III.15 Étude de la fonction f(x) = ln x+xe
x2........................... 47
III.16 Fonctionf:x7→ 2 ln x
x[(ln x)2+1] avec intégrale à la fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.17 Étude de la fonction f(x) = xln x
x2+1 ............................ 49
IV Suites ........................................ 74
IV.1 Suite définie par un+1 =un+ 2n+ 3 ......................... 74
IV.2 Suite définie par un+1 =1
2−un.............................. 74
IV.3 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = 2x+1
x+1 .................. 74
IV.4 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = x+6
x+2 ................... 75
IV.5 Suite définie par un+1 =f(un)avec f(x) = 4x−1
4x.................. 75
IV.6 Suite définie par un+1 =1
2un+ 2n−1........................ 76
IV.7 Démonstration par récurrence :
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6............. 76
IV.8 Étude générale des suites de la forme un+1 =λun+P(n).............. 76
IV.9 Suite définie par un+1 =1
2un−2 3............................ 77
IV.10 Calcul de la limite de n+cos(n)
n2.............................. 77
IV.11 Suitesimbriquées..................................... 77
IV.12 Des suites dans les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
IV.13 Étude d’une fonction ln etsuiteextraite ........................ 79
IV.14 Étude générale des suites imbriquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
IV.15 Suite définie par un+1 =kun(1 −un)........................ 81
IV.16 Suite (αn)desolutiond’équations ........................... 82
IV.17 La puce (probabilités et suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IV.18 Équation ex=1
x..................................... 83
IV.19 Suite de points, suites imbriquées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
IV.20 MéthodedeNewton................................... 85
IV.21 L’escargotdeGardner .................................. 86
V Trigonométrie ................................... 116
V.1 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V.2 Équations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V.3 Inéquations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V.4 Inéquations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
V.5 Calculdelimites ......................................117
V.6 Encadrementdecosx ...................................117
V.7 Étude de la fonction x7→ cos x
1+sin x.............................117
V.8 Fonction x7→ cos3xcos(3x)..............................118
V.9 Fonction x7→ sin3xcos(3x)..............................118
V.10 D’après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
iii

VI Probabilités ..................................... 136
VI.1 Une histoire de QCM, Amérique du Sud 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VI.2 Sacs défectueux, La Réunion 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
VI.3 MP3 défectueux, Polynésie 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI.4 Uneécoleàtroisclasses..................................138
VI.5 AgenceLOCAR ......................................138
VI.6 Urne et variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
VI.7 Urne et fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
VI.8 Jeanneetsonportable ..................................140
VI.9 Ordinateur et automobile chez les étudiants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
VI.10 Enquêtedansunjournal.................................141
VII Nombres complexes ................................ 149
VII.1 Calculsalgébriques ....................................149
VII.2 Simplification de quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VII.3 Équationsquadratiques..................................149
VII.4 Équations quadratiques (résultat général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
VII.5 Application z7→ z2
i−z...................................149
VII.6 De la forme algébrique à la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
VII.7 Ensembledepoints....................................150
VII.8 Application complexe f(z) = z−2+i
z+2i ..........................151
VII.9 Racines n-ièmesdel’unité ................................151
VII.10 Calcul des valeurs exactes decos π
5,cos 2π 5et cos 4π 5.................152
VII.11 ThéorèmedeVanAubel.................................152
VII.12 PointdeVecten.....................................153
VII.13 ThéorèmedeNapoléon .................................154
VII.14 Équation à coefficients complexes et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
VII.15 Construction d’un pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
VII.16 Cocyclicité........................................156
VII.17 Application z7→ z
1+z..................................157
VIII Intégrales ...................................... 179
VIII.1 Décomposition en éléments simples de f(x) = 1
x3−2x2−5x+6 .............179
VIII.2 Trouverlecercle.....................................179
VIII.3 Volume d’un bouchon de pêche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
VIII.4 Suite et intégrale : In=R1
0
enx
ex+1 dx..........................180
VIII.5 Intégrale et suite définie par un=ln(n!)
ln(nn)........................180
VIII.6 Suite définie par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
VIII.7 Rπ
2
0e−nx sin xdxet Rπ
2
0e−nx cos xdx........................181
VIII.8 φ(x) = Rx
1
ln t
(1+t)3dt...................................181
VIII.9 Approximation d’une aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
VIII.10 Intégrale et fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
VIII.11 Suiteetintégrale....................................183
iv

IX Lois continues ................................... 196
IX.1 Feutricolore........................................196
IX.2 À la caisse d’un supermarché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
IX.3 Tempsdetrajet ......................................197
IX.4 Lapartiedejeuvidéo...................................197
IX.5 Lalivraisonàdomicile...................................197
IX.6 ParadoxedeBertrand...................................198
IX.7 Larencontre........................................198
IX.8 L’aiguilledeBuffon ....................................198
IX.9 Polynésie,2004 ......................................199
IX.10 Liban,2006........................................199
IX.11 Amériquedusud,2005 .................................199
IX.12 Le chauffe-eau (avec loi normale et intervalle de fluctuation) . . . . . . . . . . . . . . 200
IX.13 D’après Bac France métropolitaine, 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
IX.14 Vaches laitières de race « Française Frisonne Pis Noir » . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
IX.15 Testdeconformité....................................202
IX.16 Les premiers mots de la vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
IX.17 TestsdeQ.I........................................202
IX.18 Durée de vie d’un appareil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
X Géométrie dans l’espace ............................. 215
X.1 Coplanarité.........................................215
X.2 Section d’un cube par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
X.3 Section d’un cube par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
X.4 Représentations paramétriques de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
X.5 Droitesconfondues.....................................217
X.6 Récapitulatif ........................................217
X.7 Intersectiondeplans....................................218
X.8 Dansuncube .......................................218
X.9 Polynésie,2010.......................................219
XI Enseignement de spécialité : arithmétique ................... 231
XI.1 Critèrededivisibilité....................................231
XI.2 Avec une somme géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
XI.3 Divisibilitépar2et3 ...................................231
XI.4 Divisibilitépar8......................................231
XI.5 Reste de la division euclidienne par 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
XI.6 Critère de divisibilité par 7 sans calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
XI.7 Divisibilitépar10et20 ..................................232
XI.8 Calculd’unmaximum...................................232
XI.9 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
XI.10 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
XI.11 Nombrepremier .....................................232
XI.12 Nombrespremiers ....................................232
XI.13 31x−28y= 1 .....................................233
XI.14 108x+ 55y= 1 ....................................233
XI.15 Trouver le nombre d’hommes et de femmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
XI.16 Aveclanotiondepgcd..................................233
XI.17 Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
XI.18 Avec une équation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
v