chapitre1

Plan
Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Probabilité sur un espace fini
Pr.Y.BENSLIMANE
EHTP
Université Hassan II Casablanca
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Probabilité sur un espace fini
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Probabilité sur un espace fini
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Probabilité sur un espace fini
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
1
Notations et définitions
2
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
3
Notion de probabilités
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
4
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
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Probabilité sur un espace fini
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
1
Notations et définitions
2
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
3
Notion de probabilités
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
4
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Introduction
Nombreux sont les domaines (scientifique, médical les sciences humaines,...) où
on s’intéresse à des phénomènes dans lesquels apparaît l’effet du hasard. La
théorie de probabilité a pour objectif de modéliser ce type de problème.
X Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque sont résultat est déterminé par le
hasard. Il ne peut pas être prévu à l’avance.
Exemple
Le lancer d’un dé non truqué, les résultats possibles sont 1,2,3,4,5 et 6. Mais le
lancer d’un dé dont les faces portent le numéro 2, ce ne serait pas une
expérience aléatoire.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Introduction
Nombreux sont les domaines (scientifique, médical les sciences humaines,...) où
on s’intéresse à des phénomènes dans lesquels apparaît l’effet du hasard. La
théorie de probabilité a pour objectif de modéliser ce type de problème.
X Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque sont résultat est déterminé par le
hasard. Il ne peut pas être prévu à l’avance.
Exemple
Le lancer d’un dé non truqué, les résultats possibles sont 1,2,3,4,5 et 6. Mais le
lancer d’un dé dont les faces portent le numéro 2, ce ne serait pas une
expérience aléatoire.
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Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Introduction
Nombreux sont les domaines (scientifique, médical les sciences humaines,...) où
on s’intéresse à des phénomènes dans lesquels apparaît l’effet du hasard. La
théorie de probabilité a pour objectif de modéliser ce type de problème.
X Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque sont résultat est déterminé par le
hasard. Il ne peut pas être prévu à l’avance.
Exemple
Le lancer d’un dé non truqué, les résultats possibles sont 1,2,3,4,5 et 6. Mais le
lancer d’un dé dont les faces portent le numéro 2, ce ne serait pas une
expérience aléatoire.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
X Univers
On représente le résultat d’une expérience aléatoire comme un élément ω de
l’ensemble Ω de tous les résultats possibles. Ω est appelé l’univers ou
l’ensemble fondamental (c’est-à-dire Ω représente tous les résultats possibles
dans l’expérience)
Exemple
L’univers peut être fini :
1
Lancer une pièce de monnaie : Ω = {P, F }
2
Lancer un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
Considérer une urnes dans laquelle il y a : deux boules vertes (V1 , V2 ) et
une boule rouge R. L’épreuve consiste à tirer simultanément deux boules
alors :
Ω = {{V1 , R}, {V2 , R}, {V1 , V2 }}
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X Univers
On représente le résultat d’une expérience aléatoire comme un élément ω de
l’ensemble Ω de tous les résultats possibles. Ω est appelé l’univers ou
l’ensemble fondamental (c’est-à-dire Ω représente tous les résultats possibles
dans l’expérience)
Exemple
L’univers peut être fini :
1
Lancer une pièce de monnaie : Ω = {P, F }
2
Lancer un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
Considérer une urnes dans laquelle il y a : deux boules vertes (V1 , V2 ) et
une boule rouge R. L’épreuve consiste à tirer simultanément deux boules
alors :
Ω = {{V1 , R}, {V2 , R}, {V1 , V2 }}
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
X Univers
On représente le résultat d’une expérience aléatoire comme un élément ω de
l’ensemble Ω de tous les résultats possibles. Ω est appelé l’univers ou
l’ensemble fondamental (c’est-à-dire Ω représente tous les résultats possibles
dans l’expérience)
Exemple
L’univers peut être fini :
1
Lancer une pièce de monnaie : Ω = {P, F }
2
Lancer un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
Considérer une urnes dans laquelle il y a : deux boules vertes (V1 , V2 ) et
une boule rouge R. L’épreuve consiste à tirer simultanément deux boules
alors :
Ω = {{V1 , R}, {V2 , R}, {V1 , V2 }}
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Exemple
L’univers peut contenir un nombre infini des éléments :
4. On note l’âge d’un individu choisir au hasard d’une population donnée :
Ω = [0h, 70 ans]
5. L’expérience consiste à déterminer la dose d’anésthésique minimale
(exprimée en ml) à administrer à un patient pour l’endormir. Ω =]0, +∞[
L’évènement ] 2, 3] est réalisé si la dose minimale à administrer est comprise
entre 2 et 3, c’est-à-dire si une quantité supérieure ou égale à 3 suffit à
endormir le patient, mais une quantité inférieure à 2 est insuffisante.
X Evénement
Toute sous ensemble de l’univers Ω est appelée événement.
Exemple
Lancer trois pièces de monnaies : "Le nombre de pile est supérieur à celui de
face" est un événement.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Exemple
L’univers peut contenir un nombre infini des éléments :
4. On note l’âge d’un individu choisir au hasard d’une population donnée :
Ω = [0h, 70 ans]
5. L’expérience consiste à déterminer la dose d’anésthésique minimale
(exprimée en ml) à administrer à un patient pour l’endormir. Ω =]0, +∞[
L’évènement ] 2, 3] est réalisé si la dose minimale à administrer est comprise
entre 2 et 3, c’est-à-dire si une quantité supérieure ou égale à 3 suffit à
endormir le patient, mais une quantité inférieure à 2 est insuffisante.
X Evénement
Toute sous ensemble de l’univers Ω est appelée événement.
Exemple
Lancer trois pièces de monnaies : "Le nombre de pile est supérieur à celui de
face" est un événement.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Remarque
On peut citer quelques événements particuliers :
1
Ω est l’événement certain (Il se réalise toujours) : Obtenir " pile ou face
en lançant une pièce de monnaie "
2
∅ (Ensemble vide) est l’événement impossible, c’est-à-dire il ne se réalise
jamais : " Obtenir 0 en lançant un dé non truqué "
3
Un événement est élémentaire s’il se réalise d’une seule façon : On lance
une paire de pièce de monnaie, l’événement : " Obtenir deux face " est
un événement élémentaire.
4
Ā est l’événement contraire de A c’est-à-dire l’événement complémentaire
de A dans Ω, c’est l’ensemble des éventualités ou événements
élémentaires de Ω n’appartiennent pas à A : On tire un dé, soit
l’événement A : " Obtenir 2,4,6 ", son événement contraire Ā c’est "
Obtenir 1,3,5 "
5
Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se
réaliser en même temps c’est-à-dire A ∩ B = ∅ :
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
On tire un dé non truqué, soient A e B les deux événements suivants :
A : " Obtenir 2,4 ou 6 "
B : " Obtenir 1 "
A et B sont deux événements incompatibles A ∩ B = ∅
Definition
Une suite des événements A1 , A2 , .., An est dite mutuellement incompatible si
i\
=n
Ai = ∅
i =1
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
X Cardinal
Pour un ensemble fini, le cardinal est le nombre des éléments contenus dans cet
ensemble. On note card(ensemble).
Exemple
Dans l’exemple d’un lancer de dé, on a Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et Card(Ω) = 6
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
1
Notations et définitions
2
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
3
Notion de probabilités
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
4
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
On considère Ω un espace fondamental associé à une expérience aléatoire, A et
B sont deux événements de Ω.
A ∪ B : événement A ou B=signifie qu’au moins un des événements A ou
B se réalise.
A ∩ B : événement A et B=signifie que A et B se réalisent simultanément.
A − B=signifie que A se réalise seul.
Exemple
On jete un dé et on considère les deux événements suivants :
A = {1, 2, 3, 5} et B = {2, 3, 4}
Déterminer A ∪ B, A ∩ B et A − B.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
A ⊂ B : A inclu dans B =signifie : Si A est réalisé⇒ B est réalisé, mais B
est réalisé; A est réalisé
A∆B (différence
symétrique)=(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)=signifie que
seulement un des deux événements A ou B se réalise.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
Soient A, B deux événements de Ω, alors on a :
A ∩ B = Ā ∪ B̄
Loi de Morgan généralisé
Soient A1 , A2 , ..., An des événements de Ω on a :
n
\
Ai =
i =1
n
[
Āi
i =1
Preuve :(Exercice)
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
Exercice
Soit Ω l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire, et soient A,
B et C des évènements. Traduire en termes ensemblistes les évènements :
1
les trois évènements A, B et C sont réalisés.
2
aucun des trois évènements n’est réalisé.
3
au moins un des évènements est réalisé.
4
deux au plus des évènements est réalisé.
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
Souvent on pose la question suivante sur le résultat d’une expérience aléatoire :
on choisit un sous ensemble A de Ω et on se demande : Le résultat ω de
l’expérience appartient à A ou non. L’idée de Kolmogrov est que l’ensemble A
d’événements a une structure de tribu.
Definition
On appelle une tribu ou σ−algèbre sur Ω, toute partie A de P(Ω) telle que :
∅∈A
∀A ∈ A ⇒ Ā ∈ A (A est stable par passage au complémentaire)
[
Si (An )n∈IN ∈ A alors
An ∈ A (A est stable par réunion dénombrable)
n
Definition
On appelle espace probabilisable le couple (Ω, A)
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
1
Notations et définitions
2
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
3
Notion de probabilités
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
4
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Apres avoir défini l’ensemble d’événements, on affecte une mesure de "
Croyance " à chaque événement afin de quantifier la " possibilité " de
réalisation de ces événements
Definition
On appelle probabilité P sur (Ω, A) une application P : A → [0, 1] telle que :
P(Ω) = 1
Pour toute suite d’événements An ∈ A, n ∈ I fini ou dénombrable deux à
deux incompatibles on a
[
X
P( An ) =
P(An )
n∈I
n∈I
Le triplet (Ω, A, P)) est appelé un espace probabilisé.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Remarque
Pour une suite d’événements quelconques, on a l’inégalité de Boole :
[
X
P( An ) ≤
P(An )
n∈I
n∈I
Proposition
Soit P : A → [0, 1] une probabilité, et A, B ∈ A on a les propriétés suivantes :
1
P(∅) = 0 (l’événement impossible est de probabilité nulle)
2
P(Ā) = 1 − P(A)
3
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) (P est croissante)
4
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (Formule de Poincaré)
Preuve
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Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Exemple
Soit Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωn }, on associé à chaque événement élémentaire un réel
n
X
pi , i = 1, 2, ..., n tel que P({ωi }) = pi , 0 ≤ pi ≤ 1 et
pi = 1.
i =1
P est une probabilité sur (Ω, P(Ω)) défini par :
X
P(A) =
{pi /ωi ∈ A}
La probabilité d’un événement quelconque A de P(Ω)=La somme des
probabilités de tous les événements élémentaires qui y sont inclus.
Cas particulier(quiprobabilité)
C’est le cas où tous les événements élementaires ont la même probabilité(loi
1
uniforme discrète) pi = , 1 ≤ i ≤ n
n
et alors
X1
Card (A)
1
P(A) =
= Card (A) =
n
n
Card
(Ω)
ω
i
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Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Remarque
Cette régle ne s’applique que dans le cas d’équiprobabilité des événements
élémentaires
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Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
On considère l’espace probabilisé (Ω, A, P), et B un événement tel que
P(B) > 0.
Si B est réalisable alors la probabilité de réalisation d’un événement A sera
modifier puisque l’ensemble des résultats possibles est devenu B et non plus Ω.
PB (A) = P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
Exemple
1. On lance un dé,sachant que le résultat est une face paire. Calculer la
probabilité pour que ce résultat soit supérieur à 3.
2. On lance trois fois une pièce de monnaie et on considère les événements :
A ="Obtenir au moins deux faces" et B ="Obtenir face au premier coup".
Calculer PB (A)
Remarque
Dans un espace probabilisé (Ω, A, P), si B est un événement irréalisable
(P(B) = 0), alors il est clair que PB (A) = 0
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Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Proposition
Soient A et B ∈ A
1
Si A et B sont incompatibles, tels que P(B) 6= 0 alors PB (A) = 0
2
Si B ⊂ A alors PB (A) = 1
3
Si A ⊂ B alors PB (A) =
4
Si (Ai )i ∈I (I ⊂ IN) une suite d’évenements deux à deux incompatible alors
[
X
PB ( Ai ) =
PB (Ai )
P(A)
P(B)
I ∈I
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I ∈I
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Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Definition
Deux événements A et B sont dits indépendants si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Remarques
1
Supposons que A et B sont deux événements indépendants, si de plus
P(B) > 0, alors :
PB (A) =
P(A ∩ B)
P(A) × P(B)
=
= P(A).
P(B)
P(B)
La réalisation d’un événement n’influence pas sur la réalisation de l’autre.
2
Ne pas confondre indépendance avec incompatibilité, car dans ce dernier
cas A ∩ B = ∅ et P(A ∩ B) = 0
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Notion de probabilités
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Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
On peut généraliser la notion d’indépendance. On considère (A)i , i = 1, ..., n
une suite d’événements mutuellement indépendants si :
\
Y
∀I ⊂ {1, 2, ....n} P( Ai ) =
P(Ai )
i ∈I
i ∈I
Proposition
A et B deux événements indépendants, alors :
1
Ā et B sont indépendants
2
A et B̄ sont indépendants
3
Ā et B̄ sont indépendants
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Definition
On dit que la suite d’événements (A)1≤i ≤n forme un système complet (ou
partition) de Ω si :
n
[
Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j et
=Ω
i =1
Proposition
Soit (A)1≤i ≤n un système complet de Ω et B ∈ A alors
P(B) =
n
X
P(Ai ∩ B)
i =1
(La formule de probabilité totale)
Preuve
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
Proposition
On considère (A)1≤i ≤n un système complet de Ω tel que P(Ai ) 6= 0, i = 1, ..., n.
Soit B ∈ A tel que P(B) 6= 0, alors :
PB (Ai ) =
PAi (B) × P(Ai )
n
X
PAj (B) × P(Aj )
j=1
Exemple
On tire au sort entre deux urnes U1 et U2 avec des probabilités respectives 13 et
2
, puis on tire une boule dans l’urne choisie.
3
U1 contient :5 boules rouges et 6 noires.
U2 contient 7 boules rouges et 3 noires.
Calculer la probabilité de choisir U1 sachant qu’on a obtenu une boule noire ?
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
1
Notations et définitions
2
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Opérateurs ensembliste
Loi de Morgan
Tribu d’événements
3
Notion de probabilités
Espace probabilisable
Espace probabilisé fini ou dénombrable
Probabilités conditionnelles
Indépendance en probabilité
Formule de Bays
4
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
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Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
Le but de cette partie est de rappeler quelques éléments de combinatoire afin
de résoudre des problèmes de dénombrements.
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Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
Une permutation sans répétition (arrangement) de p objets pris parmi n est une
suite ordonnée de p éléments choisis parmi n, et qui ne peuvent pas se répéter.
Apn = n(n − 1)(n − 2)...(n − p + 1)
Exemples
Le nombre de manières différentes de placer 10 personnes dans une file
d’attente est A10
10 = 10! = 3628800.
Le nombre de codes différents de quatre chiffres qu’on peut construire
avec {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et tels que tous les chiffres soient différents, vaut
A47 = 840
Pr.Y.BENSLIMANE EHTP Université Hassan II Casablanca
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Notations et définitions
Langage ensembliste (ou opérations logiques)
Notion de probabilités
Quelques éléments de l’analyse combinatoire
Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
Une permutation avec répétition de p objets pris parmi n est une suite
ordonnée de p éléments choisis parmi n, et et pouvant se répéter.
np = n × n × .... × n
|
{z
}
p fois
Exemple
Un mot de cinq lettres (avec sens ou non) est une permutation avec répétition
de cinq objets choisis parmi un ensemble, l’alphabet, de 26 éléments : EHTPC,
matin, boire,. . . Le nombre total de ces permutations est :
265 = 11 881 376
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Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
C’est une suite ordonnée de n objets dans p (p < n) classes distincts, où la
classe k contienne nk objets identiques, 1 ≤ k ≤ p avec n1 + n2 + ... + np = n.
n!
Alors on a
permutations possibles
n1 !n2 !...np !
Exemple
Une urne contenant dix boules numérotées de 1 à 10, avec trois couleurs
différentes (trois boules rouges, quatre boules vertes et trois jaunes, on tire
sans remise les 10 boules, l’une après l’autre. Il y a alors 10! tirages ordonnés
possibles. Maintenant on efface les numéros des boules vertes, les 4!
permutations de ces quatre boules conduisent à la même permutation, par
10!
conséquent le nombre de permutations distinctes devient
4!
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Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
C’est un sous-ensemble non ordonné de p objets choisis dans un ensemble qui
Ap
n!
en contient n, et on a Cnp = n =
sous-ensemble de ce type
p!
p!(n − p)!
Exemple
Dans une classe de 16 étudiants le nombre de binômes possibles est :
2
C16
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Permutations sans répétition
Permutations avec répétions
Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
Combinaisons sans répétition
Combinaison avec répétition
Une combinaison avec réplétion est un sous-ensemble non ordonné de p objets
p
dans une ensemble qui en contient n et qui peuvent se répéter et on a Cp+n−1
ensembles de ce type.
Exemple
De combien de façons différentes on peut distribuer trois bonbons identiques
sur deux enfants ?( Un enfant peut prendre les trois bonbons.) Si on note par
E1 , E2 les deux enfants, on peut écrire une possibilité par exemple sous la
forme :E1 E1 E2 pour dire on a donné deux bonbons au premier enfant et un seul
au deuxième.
Alors il y a C43 possibilités
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Permutation avec répétition de n objets non tous distincts
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Une combinaison avec réplétion est un sous-ensemble non ordonné de p objets
p
dans une ensemble qui en contient n et qui peuvent se répéter et on a Cp+n−1
ensembles de ce type.
Exemple
De combien de façons différentes on peut distribuer trois bonbons identiques
sur deux enfants ?( Un enfant peut prendre les trois bonbons.) Si on note par
E1 , E2 les deux enfants, on peut écrire une possibilité par exemple sous la
forme :E1 E1 E2 pour dire on a donné deux bonbons au premier enfant et un seul
au deuxième.
Alors il y a C43 possibilités
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Exercice
On jette quatre dés identiques non truqués. Calculer les probabilités suivantes :
1. quatre fois le même chiffre.
2. quatre chiffres
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