Cours fonctions usuelles

Fonctions usuelles
Inverses des fonctions circulaires
1
1.1
1.1.1
Arcsinus (arcsin)
Dé…nition
h
i
à valeurs dans [ 1; 1] est bijective, donc
2 2
elle possède une fonction réciproque (inverse)
qu’
h
ion appelle arcsinus on la note
arcsin, dé…nie sur [ 1; 1] à valeurs dans
;
2 2
La fonction sinus dé…nie sur
;
Remarque
On a sinus est croissante, impaire et continue sur
croissante, impaire et continue sur h[ 1; 1]. i
; .
On a 8x 2 [ 1; 1] : arcsin (x) 2
2 2
h
On a 8x 2 [ 1; 1] : arcsin (x) = y () y 2
x.
2 h2
De plus 8x 2 [ 1; 1] : sin (arcsin (x)) = x et 8x 2
Exemple
0
;
h
arcsin (0) = y () y 2
arcsin
h
2 2
h
= y () y 2
1
2
arcsin
1
2
1.1.2
Dérivée de arcsinus
=
;
i
i
;
2 2
i
donc arcsinus est
et sin (y) = x.
i
;
: arcsin (sin (x)) =
2 2
et sin (y) = 0, donc y = 0, d’où arcsin (0) =
;
2 2
i
et sin (y) =
1
, donc y = , d’où
2
6
6
0
On a 8x 2 [ 1; 1] : (sin arcsin) (x) = sin0 (arcsin (x)) : arcsin0 (x) = 1 sauf si,
sin0 (arcsin (x)) 6= 0
On a (sin arcsin) (x) = x, pour tout x 2 [ 1; 1].
On a sin0 (arcsin (x)) = cos (arcsin (x)) = 0, donc arcsin (x) = ou arcsin (x) =
2
donc, x = 1 ou x = 1
2
Donc arcsinus n’est pas dérivable en 1 et 1.
pour x 2 ] 1; 1[ on a sin0 (arcsin (x)) : arcsin0 (x) = 1 donc arcsin0 (x) =
1
1
=
cos (arcsin (x))
sin0 (arcsin (x))
1
On a cos2 (arcsin (x)) + sin2 (arcsin (x)) = 1 donc cos2 (arcsin (x)) = 1
sin (arcsin (x))
h
i
Or cos (arcsin (x))
0 car arcsin (x) 2
donc cos (arcsin (x)) =
;
2 2
q
p
1 sin2 (arcsin (x)) = 1 x2
1
Donc 8x 2 ] 1; 1[ : arcsin0 (x) = p
1 x2
2
1.2
1.2.1
Arccosinus (arccos)
Dé…nition
La fonction cosinus dé…nie sur [0; ] à valeurs dans [ 1; 1] est bijective donc
possède une fonction réciproque (inverse) qu’on appelle arccosinus et on la note
arccos dé…nie sur [ 1; 1] à valeurs dans [0; ].
Remarque
On a cosinus est décroissante et continue sur [0; ] alors arccosinus est
décroissante et continue sur [ 1; 1].
On a 8x 2 [ 1; 1] : arccos (x) = y () y 2 [0; ] et cos (y) = x.
aussi 8x 2 [0; ] : arccos (cos (x)) = x et 8x 2 [ 1; 1] : (arccos (x)) = x.
Exemple
arccos (0) = y () y 2 [0; ] et cos (y) = 0, donc y = d’où arccos (0) =
2
p !
p2
2
2
arccos
= y () y 2 [0; ] et cos (y) =
, donc y =
d’où
2
2
4
!
p
2
arccos
=
2
4
1.2.2
Dérivée de arccosinus
8x 2 [ 1; 1] : cos (arccos (x)) = x donc si cos0 (arccos (x)) 6= 0 alors cos0 (arccos (x)) : arccos0 (x) =
1
On a cos0 (arccos (x)) = sin (arccos (x)) = 0 () arccos (x) = 0 ou arccos (x) =
, x = 1 ou x = 1
donc arccosinus n’est pas dérivable en 1 et 1.
donc 8x 2 ] 1; 1[ : cos0 (arccos (x)) : arccos0 (x) = 1 donc 8x 2 ] 1; 1[ :
1
arccos0 (x) =
.
cos0 (arccos (x))
1
1
On a arccos0 (x) =
=
.
cos0 (arccos (x))
sin (arccos (x))
2
2
Or, sin (arccos (x)) + cos (arccos (x)) = 1 donc sin2 (arccos (x)) = 1
2
cos (arccos (x)) = 1 x2
2
or, arccos (x) 2 [0; ] donc sin (arccos (x)) 0 d’où sin (arccos (x)) =
1
= arcsin0 (x).
donc arccos0 (x) = p
1 x2
1.3
1.3.1
p
1
x2 .
arctangente (arctan)
Dé…nition
La fonction tangente dé…nie sur
i
h
à valeurs dans R est bijective donc
2 2
possède une fonction réciproque (inverse)
i qu’onh appelle arctangente et on la
note arctan dé…nie sur R à valeurs dans
; .
2 2
;
Remarque
i
h
On a tangente est impaire, continue et croissante sur
;
donc la fon2 2
cyion arctangente est impaire, continue eticroissante
sur
R.
h
;
On a 8x 2 R : arctan (x) = y () y 2
et tan (y) = x.
2 2
On a 8x 2 R : arctan ( x) = arctan (x).
h
i
;
: arctan (tan (x)) =
De plus 8x 2 R : tan (arctan (x)) = x et 8x 2
2 2
x.
1.3.2
dérivée de arctangente
8x 2 R : tan (arctan (x)) = x donc 8x 2 R : tan0 (arctan (x)) : arctan0 (x) = 1.
or tan0 (arctan (x)) = 1 + tan2 (arctan (x)) = 1 + x2 .
1
1
donc arctan0 (x) =
=
.
tan0 (arctan (x))
1 + x2
2
2.1
Fonctions hyperboliques
Sinus hyperbolique (sh)
La fonction sinus hyperbolique est dé…nie sur R à valeues dans R par: sh (x) =
ex e x
.
2
On a lim sh (x) = +1 et lim sh (x) = 1.
x !+1
x ! 1
De plus 8x 2 R : sh ( x) = sh (x), donc sinus hyperbolique est impair.
Comme la fonction exponentielle est continue sur R donc sinus hyperbolique
est continu sur R.
3
2.2
cosinus hyperbolique (ch)
La fonction cosinus hyperbolique est dé…nie sur R à valeurs dans R par: ch (x) =
ex + e x
.
2
On a lim ch (x) = +1 et lim ch (x) = +1.
x !+1
x ! 1
On a 8x 2 R : ch ( x) = ch (x), donc cosinus hyperbolique est pair.
De plus cosinus hyperbolique est continu sur R car l’exponentiel est continu.
On a 8x 2 R : ch (x) ch (0) = 1.
On a 8x 2 R : ch (x) 2 [1; +1[.
2.3
Tangente hyperbolique (th)
La tangente hyperbolique est dé…nie sur R par: th (x) =
e2x 1
1 e 2x
=
.
2x
e +1
1 + e 2x
On a lim th (x) = 1 et
x !+1
lim th (x) =
x ! 1
sh (x)
ex e
= x
ch (x)
e +e
x
x
=
1
On a 8x 2 R : th ( x) = th (x), donc tangente hyperbolique est impaire.
De plus tangente hyperbolique est continue sur R.
2.4
Dérivées des fonctions hyperboliques
ex + e x
= ch (x) > 0.
2
x
e
e x
2/ 8x 2 R : ch0 (x) =
= sh (x).
2
2
ch (x) sh2 (x)
3/ 8x 2 R : th0 (x) =
=1
ch2 (x)
1/ 8x 2 R : sh0 (x) =
th2 (x) =
1
>0
ch2 (x)
Remarque
1/ 8x 2 R : ch2 (x) sh2 (x) = 1 (à faire).
2/ le sinus hyperbolique est strictement croissant sur R.
3/ la tangente hyperbolique est strictement croissante sur R et 8x 2 R :
th (x) 2 ] 1; 1[.
4/ le cosinus hyperbolique est décroissant sur R et croissant sur R+ .
Exercice
Soient x; y 2 R.
Calculer sh (x + y), sh (x y), ch (x + y), ch (x y), th (x + y), th (x y).
En déduire la valeur de sh (2x), ch (2x), th (2x).
Indication calculer sh (x) :sh (y) et ch (x) :ch (y) puis sh (x) :ch (y) et sh (y) :ch (x).
4
3
3.1
3.1.1
Inverses des fonctions hyperboliques
Argument sinus hyperbolique (argsh)
Dé…nition
La fonction sinus hyperbolique est bijective R vers R donc elle possède une
fonction inverse (réciproque) nomée argument sinus hyperbolique notée argsh
dé…nie sur R à valeurs dans R.
On a sinus hyperbolique est croissant, continu est impair sur R donc argument sinus hyperbolique est continu, croissant et impair sur R.
On a 8x 2 R : arg sh ( x) = arg sh (x).
On a 8x 2 R : arg sh (x) = y () sh (y) = x.
On a 8x 2 R : arg sh (sh (x)) = x et sh (arg sh (x)) = x.
3.1.2
Dérivée de Argument sinus hyperbolique
On a 8x 2 R : (sh arg sh) (x) = x donc 8x 2 R : sh0 (arg sh (x)) : arg sh0 (x) =
1.
1
1
Donc 8x 2 R : arg sh0 (x) = 0
=
.
sh (arg sh (x))
ch (arg sh (x))
2
2
2
Sachant que ch (arg sh (x)) sh (arg sh (x)) = 1 donc ch (arg sh (x)) =
1 + sh2 (arg sh (x)).
Donc ch2 (arg sh (x)) = 1 + x2 .
1
D’où 8x 2 R : arg sh0 (x) = p
.
1 + x2
3.1.3
Expression de l’Argument sinus hyperbolique
Soit x 2 R.
Ona arg sh (x) = y () sh (y) = x.
ey e y
sh (y) = x ()
= x () ey e y = 2x () e2y 1 = 2xey ()
2
e2y 2xey 1 = 0.
On pose ey = z > 0 et on résoud l’equation z 2 2xz 1 = 0 dans R+ .
2
On a = ( 2x) p+ 4 = 4x2 + 4.
p
p
2x
2x + 4x2 + 4
4x2 + 4
2
Donc z1 =
= x + x + 1 > 0 et z2 =
=
2
2
p
2
x + 1 < 0. p
x
p
Donc ey = x + x2 + 1 d’où y = ln x + x2 + 1 .
p
D’où 8x 2 R : arg sh (x) = ln x + x2 + 1 .
5
3.2
3.2.1
Argument cosinus hyperbolique
Dé…nition
La fonction cosinus hyperbolique dé…nie sur R+ à valeurs dans [1; +1[ est bijective donc elle possède une fonction inverse (réciproque) nomée Argument cosinus
hyperbolique notée argch dé…nie sur [1; +1[ à valeurs R+ .
On a cosinus hyperbolique est croissant et continue sur R+ donc Argument
cosinus hyperbolique est croissant et continue sur [1; +1[.
On a 8x 2 [1; +1[ : arg ch (x) 0.
On a 8x 2 [1; +1[ : arg ch (x) = y () y 2 R+ et ch (y) = x
On a 8x 2 [1; +1[ : (ch arg ch) (x) = x et 8x 2 R+ : (arg ch ch) (x) = x.
3.2.2
Dérivée de Argument cosinus hyperbolique
On a 8x 2 ]1; +1[ : (ch arg ch) (x) = x donc 8x 2 ]1; +1[ : ch0 (arg ch (x)) : arg ch0 (x) =
1.
1
1
D’où 8x 2 ]1; +1[ : arg ch0 (x) = 0
=
.
ch (arg ch (x))
sh (arg ch (x))
Sachant que ch2 (arg ch (x)) sh2 (arg ch (x)) = 1.
Donc sh2 (arg ch (x)) = ch2 (arg ch (x)) 1 = x2 1.
1
Donc 8x 2 ]1; +1[ : arg ch0 (x) = p
.
2
x
1
3.2.3
Expression de l’Argument cosinus hyperbolique
On a 8x 2 [1; +1[ : arg ch (x) = y () y 2 R+ et ch (y) = x.
ey + e y
= x () ey + e y = 2x () e2y + 1 =
On a ch (y) = x ()
2
2xey () e2y 2xey + 1 = 0.
Pour y 2 R+ , on pose ey = z 1 et on résoud l’équation z 2 2xz + 1 = 0
dans [1; +1[.
On a = 4x2 p
4, comme x 1 alors
0.
2
p
p
2x + 4x
4
Donc z1 =
= x + x2 1 1 et z2 = x
x2 1 1.
2
p
p
Donc ey = x + x2 1, d’où y = ln x + x2 1
p
Donc arg ch (x) = ln x + x2 1 .
3.3
3.3.1
Argument tangente hyperbolique
Dé…nition
La fonction tangente hyperbolique est bijetive de R vers ] 1; 1[ donc elle poss’de
une fonction inverse (réciproque) nomée argument tangente hyperbolique notée
argth dé…nie sur ] 1; 1[ à valeurs dans R.
6
On a tangente hyperbolique est continue, croissante et impaire sur R donc
la fonction argument tangente hyperbolique est continue, croissante et impaire
sur ] 1; 1[.
On a lim arg th (x) = 1 et lim arg th (x) = +1.
>
x ! 1
<
x !1
On a 8x 2 ] 1; 1[ : arg th (x) = y () th (y) = x.
On a 8x 2 ] 1; 1[ : (th arg th) (x) = x et 8x 2 R : (arg th th) (x) = x.
3.3.2
Derivée de argument tangente hyperbolique
On a 8x 2 ] 1; 1[ : (th arg th) (x) = x donc 8x 2 ] 1; 1[ : th0 (arg th (x)) : arg th0 (x) =
1.
1
1
=
.
Donc 8x 2 ] 1; 1[ : arg th0 (x) = 0
th (arg th (x))
1 th2 (arg th (x))
1
Donc arg th0 (x) =
.
1 x2
3.3.3
Expression de l’argument tangente hyperbolique
On a 8x 2 ] 1; 1[ : arg th (x) = y () th (y) = x.
e2y 1
= x () e2y 1 = x e2y + 1 () e2y =
On a th (y) = x () 2y
e +1
x+1
.
1 x
r
1+x
1+x
Donc 2y = ln
d’où arg th (x) = ln
.
1 x
1 x
7