Cours fonctions usuelles

Fonctions usuelles
1Inverses des fonctions circulaires
1.1 Arcsinus (arcsin)
1.1.1 Dé…nition
La fonction sinus dé…nie sur h
2; 2ià valeurs dans [1;1] est bijective, donc
elle possède une fonction réciproque (inverse) qu’on appelle arcsinus on la note
arcsin, dé…nie sur [1;1] à valeurs dans h
2; 2i
Remarque
On a sinus est croissante, impaire et continue sur h
2; 2idonc arcsinus est
croissante, impaire et continue sur [1;1].
On a 8x2[1;1] : arcsin (x)2h
2; 2i.
On a 8x2[1;1] : arcsin (x) = y() y2h
2; 2iet sin (y) = x.
De plus 8x2[1;1] : sin (arcsin (x)) = xet 8x2h
2; 2i: arcsin (sin (x)) =
x.
Exemple
arcsin (0) = y() y2h
2; 2iet sin (y) = 0, donc y= 0, d’où arcsin (0) =
0
arcsin 1
2=y() y2h 2; 2iet sin (y) = 1 2, donc y= 6, d’où
arcsin 1
2= 6
1.1.2 Dérivée de arcsinus
On a 8x2[1;1] : (sin arcsin)0(x) = sin0(arcsin (x)) :arcsin0(x) = 1 sauf si,
sin0(arcsin (x)) 6= 0
On a (sin arcsin) (x) = x, pour tout x2[1;1].
On a sin0(arcsin (x)) = cos (arcsin (x)) = 0, donc arcsin (x) = 
2ou arcsin (x) =
2donc, x= 1 ou x=1
Donc arcsinus n’est pas dérivable en 1et 1.
pour x2]1;1[ on a sin0(arcsin (x)) :arcsin0(x)=1donc arcsin0(x) =
1
sin0(arcsin (x)) =1
cos (arcsin (x))
1

On a cos2(arcsin (x)) + sin2(arcsin (x)) = 1 donc cos2(arcsin (x)) = 1 
sin2(arcsin (x))
Or cos (arcsin (x)) 0car arcsin (x)2h
2; 2idonc cos (arcsin (x)) =
q1sin2(arcsin (x)) = p1x2
Donc 8x2]1;1[ : arcsin0(x) = 1
p1x2
1.2 Arccosinus (arccos)
1.2.1 Dé…nition
La fonction cosinus dé…nie sur [0; ]à valeurs dans [1;1] est bijective donc
possède une fonction réciproque (inverse) qu’on appelle arccosinus et on la note
arccos dé…nie sur [1;1] à valeurs dans [0; ].
Remarque
On a cosinus est décroissante et continue sur [0; ]alors arccosinus est
décroissante et continue sur [1;1].
On a 8x2[1;1] : arccos (x) = y() y2[0; ]et cos (y) = x.
aussi 8x2[0; ] : arccos (cos (x)) = xet 8x2[1;1] : (arccos (x)) = x.
Exemple
arccos (0) = y() y2[0; ]et cos (y) = 0, donc y=
2d’où arccos (0) =  2
arccos p2
2!=y() y2[0; ]et cos (y) = p2 2, donc y= 4d’où
arccos p2
2!= 4
1.2.2 Dérivée de arccosinus
8x2[1;1] : cos (arccos (x)) = xdonc si cos0(arccos (x)) 6= 0 alors cos0(arccos (x)) :arccos0(x) =
1
On a cos0(arccos (x)) = sin (arccos (x)) = 0 () arccos (x) = 0 ou arccos (x) =
,x= 1 ou x=1
donc arccosinus n’est pas dérivable en 1et 1.
donc 8x2]1;1[ : cos0(arccos (x)) :arccos0(x)=1donc 8x2]1;1[ :
arccos0(x) = 1
cos0(arccos (x)).
On a arccos0(x) = 1
cos0(arccos (x)) =1 sin (arccos (x)).
Or, sin2(arccos (x)) + cos2(arccos (x)) = 1 donc sin2(arccos (x)) = 1 
cos2(arccos (x)) = 1 x2
2

or, arccos (x)2[0; ]donc sin (arccos (x)) 0d’où sin (arccos (x)) = p1x2.
donc arccos0(x) = 1
p1x2=arcsin0(x).
1.3 arctangente (arctan)
1.3.1 Dé…nition
La fonction tangente dé…nie sur i
2; 2hà valeurs dans Rest bijective donc
possède une fonction réciproque (inverse) qu’on appelle arctangente et on la
note arctan dé…nie sur Rà valeurs dans i
2; 2h.
Remarque
On a tangente est impaire, continue et croissante sur i
2; 2hdonc la fon-
cyion arctangente est impaire, continue et croissante sur R.
On a 8x2R: arctan (x) = y() y2i
2; 2het tan (y) = x.
On a 8x2R: arctan (x) = arctan (x).
De plus 8x2R: tan (arctan (x)) = xet 8x2i
2; 2h: arctan (tan (x)) =
x.
1.3.2 dérivée de arctangente
8x2R: tan (arctan (x)) = xdonc 8x2R: tan0(arctan (x)) :arctan0(x) = 1.
or tan0(arctan (x)) = 1 + tan2(arctan (x)) = 1 + x2.
donc arctan0(x) = 1
tan0(arctan (x)) =1 1 + x2.
2Fonctions hyperboliques
2.1 Sinus hyperbolique (sh)
La fonction sinus hyperbolique est dé…nie sur Rà valeues dans Rpar: sh (x) =
exex
2.
On a lim
x!+1sh (x) = +1et lim x!1sh (x) = 1.
De plus 8x2R:sh (x) = sh (x), donc sinus hyperbolique est impair.
Comme la fonction exponentielle est continue sur Rdonc sinus hyperbolique
est continu sur R.
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2.2 cosinus hyperbolique (ch)
La fonction cosinus hyperbolique est dé…nie sur Rà valeurs dans Rpar: ch (x) =
ex+ex
2.
On a lim
x!+1ch (x) = +1et lim x!1ch (x) = +1.
On a 8x2R:ch (x) = ch (x), donc cosinus hyperbolique est pair.
De plus cosinus hyperbolique est continu sur Rcar l’exponentiel est continu.
On a 8x2R:ch (x)ch (0) = 1.
On a 8x2R:ch (x)2[1;+1[.
2.3 Tangente hyperbolique (th)
La tangente hyperbolique est dé…nie sur Rpar: th (x) = sh (x)
ch (x)=exex ex+ex=
e2x1
e2x+ 1 =1e2x 1 + e2x.
On a lim
x!+1th (x) = 1 et lim x!1th (x) = 1
On a 8x2R:th (x) = th (x), donc tangente hyperbolique est impaire.
De plus tangente hyperbolique est continue sur R.
2.4 Dérivées des fonctions hyperboliques
1/ 8x2R:sh0(x) = ex+ex
2=ch (x)>0.
2/ 8x2R:ch0(x) = exex
2=sh (x).
3/ 8x2R:th0(x) = ch2(x)sh2(x)
ch2(x)= 1 th2(x) = 1 ch2(x)>0
Remarque
1/ 8x2R:ch2(x)sh2(x) = 1 (à faire).
2/ le sinus hyperbolique est strictement croissant sur R.
3/ la tangente hyperbolique est strictement croissante sur Ret 8x2R:
th (x)2]1;1[.
4/ le cosinus hyperbolique est décroissant sur Ret croissant sur R+.
Exercice
Soient x; y 2R.
Calculer sh (x+y),sh (xy),ch (x+y),ch (xy),th (x+y),th (xy).
En déduire la valeur de sh (2x),ch (2x),th (2x).
Indication calculer sh (x):sh (y)et ch (x):ch (y)puis sh (x):ch (y)et sh (y):ch (x).
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3Inverses des fonctions hyperboliques
3.1 Argument sinus hyperbolique (argsh)
3.1.1 Dé…nition
La fonction sinus hyperbolique est bijective Rvers Rdonc elle possède une
fonction inverse (réciproque) nomée argument sinus hyperbolique notée argsh
dé…nie sur Rà valeurs dans R.
On a sinus hyperbolique est croissant, continu est impair sur Rdonc argu-
ment sinus hyperbolique est continu, croissant et impair sur R.
On a 8x2R: arg sh (x) = arg sh (x).
On a 8x2R: arg sh (x) = y() sh (y) = x.
On a 8x2R: arg sh (sh (x)) = xet sh (arg sh (x)) = x.
3.1.2 Dérivée de Argument sinus hyperbolique
On a 8x2R: (sh arg sh) (x) = xdonc 8x2R:sh0(arg sh (x)) :arg sh0(x) =
1.
Donc 8x2R: arg sh0(x) = 1
sh0(arg sh (x)) =1 ch (arg sh (x)).
Sachant que ch2(arg sh (x)) sh2(arg sh (x)) = 1 donc ch2(arg sh (x)) =
1 + sh2(arg sh (x)).
Donc ch2(arg sh (x)) = 1 + x2.
D’où 8x2R: arg sh0(x) = 1
p1 + x2.
3.1.3 Expression de l’Argument sinus hyperbolique
Soit x2R.
Ona arg sh (x) = y() sh (y) = x.
sh (y) = x() eyey
2=x() eyey= 2x() e2y1=2xey()
e2y2xey1 = 0.
On pose ey=z > 0et on résoud l’equation z22xz 1 = 0 dans R
+.
On a =(2x)2+ 4 = 4x2+ 4.
Donc z1=2x+p4x2+ 4
2=x+px2+ 1 >0et z2=2xp4x2+ 4 2=
xpx2+ 1 <0.
Donc ey=x+px2+ 1 d’où y= ln x+px2+ 1.
D’où 8x2R: arg sh (x) = ln x+px2+ 1.
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