construction point par point conique

Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne Niveau 7C Coniques 1/4 Dah Mohamed Boubacar Page 1
République Islamique de Mauritanie
Ministère de l’Enseignement Secondaire
et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Chapitre
Coniques
Leçon 1/4
Généralités et Parabole
Niveau
7C
Savoirs faire
 Connaitre la définition d’une conique
 Connaitre le vocabulaire relatif aux coniques
 Savoir distinguer les coniques
 Reconnaitre une parabole par son équation réduite
 Savoir représenter une parabole à partir de son équation réduite
 Savoir trouver les éléments géométriques d’une parabole
 Savoir représenter une parabole point par point
 Connaitre certaines propriétés des paraboles
 Savoir quelques applications relatives à la parabole
Plan du
cours
1° Introduction
2° Définitions
3° Propriétés
4° Exercice d’application
Auteur
Dah Mohamed Boubacar
I- Généralités:
1° Introduction :
Les coniques doivent leurs noms aux sections d’un cône de révolution par un plan. La nature de la
conique dépend de l’angle que forme ce plan avec l’axe du cône, comparé à l’angle que forme la
génératrice avec cet axe.
1° Définition :
Soient F un point, D une droite
FD
et e un réel strictement
positif, fixés.
Soit M un point du plan de projeté orthogonal
H
sur D.
L’ensemble des points M du plan tels que :
MF e
MH 
est appelé conique de foyer
F
, de directrice associée D et
d’excentricité e.
Remarque :
On fait la différence entre
MF e
MH 
et
MA e
MB 
car
A
et
B
sont fixés tandis que
H
dépend de
M
.

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Classification
Lorsque
e1
la conique est appelée une parabole.
Lorsque
0 e 1
la conique est appelée une ellipse.
Lorsque
e1
la conique est appelée une hyperbole.
Définition :
La droite passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice est appelée l’axe focal de la conique
Propriétés générales
Propriété 1
L’axe focal
Δ
est un axe de symétrie de la conique.
Preuve : Soit
Γ
une conique de foyer
F
et de directrice
D
.
Soit
M
un point de
Γ
, de projeté orthogonal
H
sur
D
Soit
Δ
M s M
et
H
le projeté orthogonal de
M
sur
D
On a :
M F MF e
M H MH
donc
MΓ
.
Sommets sur l’axe focal
1° La parabole rencontre son axe focal
Δ
en un point unique
S
appelé sommet de la parabole qui est
le milieu du segment
FK
où
K
est le projeté orthogonal du foyer F sur la
directrice (D).
Preuve : En effet si
MΓΔ
alors
MF MK
( tous les points de
Δ
se
projettent en
K
).
M
est à l’intersection de
Δ
et la médiatrice de
FK
.
2° L’hyperbole et l’ellipse rencontrent chacune son axe focal en deux points
S
et
S'
barycentres des
systèmes :
F,1 , K,e
et
F,1 , K, e
.
Preuve : En effet si
MΓΔ
alors
MF e
MK 
.
M
est à l’intersection de
Δ
et du
cercle de diamètre
SS
.
F
et
K
sont fixes et
e1
.
3° Application :
1° Soient F un point et D une droite
FD
.
Soit M un point du plan de projeté orthogonal
H
sur D. Donner la nature de chacun des ensembles
des points du plan tels que :
a)
MF 1
MH 
. b)
MF 2
MH 
. c)
MF 1
MH 3
2° Soient A et B deux points fixes du plan. Donner la nature de chacun des ensembles des points du
plan tels que :

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a)
MA 1
MB 
. b)
MA 2
MB 
.
II- Parabole:
1° Définition :
Soient F un point,
D
une droite
FD
fixés. Soit M un point du plan de projeté orthogonal
H
sur
D
. L’ensemble des points M du plan tels que :
MF MH
est la parabole de foyer
F
et de
directrice
D
.
Equation réduite
Il existe un repère orthonormé
O;i , j
dans lequel l’équation de la parabole est de la forme :
2
y 2px
ou
2
x 2py
où
p FK
est le paramètre de la parabole.
O
étant le sommet de la parabole.
Preuve : Montrons la première forme
Soit
P
une parabole de foyer
F
et de directrice
D
. Avec les notations précédentes on note
O F K
et on pose
p FK
. On munit le plan d’un repère orthonormé
O;i , j
avec
OF
iOF
. On a
p
F ,0
2
et
p
K ,0
2
. Soit
M
un point du plan
de coordonnées
x,y
.
MP
MF MH
.
Soit
22
MF MH
ou encore
22
22
pp
x y x 0
22
. Il vient
22
2 2 2
pp
x px y x px
44
. Après simplification on obtient
2
y 2px
.
En échangeant les rôles de
i
et
j
on obtient
2
x 2py
.
Pour la première construction on étudie les fonctions : (
y 2px
et
y 2px
)
2
y 2px
.
Après on aura des formes standards qu’on reconnaitra facilement.
2° Propriétés
Propriété 1
La parabole admet en chacun de ses points
0 0 0
M x ,y
une tangente d’équation :
00
yy p x x
pour la première forme ou
00
xx p y y
pour la deuxième.
Propriété 2
La tangente à la parabole en un point
M
, autre que le sommet, coupe la
directrice au point
T
tel que le triangle
TFM
soit rectangle en
F
.
Cette tangente est la médiatrice de
FH
.
Elle est aussi la bissectrice intérieure de l’angle
MH,MF
Preuve :
Soit
U F H
alors
0
y
U 0, 2
car
p
F ,0
2
et
0
p
H ,y
2
.

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En remplaçant dans l’équation de la tangente on trouve à gauche
2
00
0yy
y22
et à droite
2
0
00
y
p 0 x px 2
. Donc
U
appartient à la tangente.
M
est équidistant de
F
et
H
ce qui veut dire
que
MU med FH
. La tangente
T
est la médiatrice de
FH
. Avec les notations de la figure, la
réflexion d’axe
MT
laisse
M
et
T
invariants et échange
F
et
H
. Le triangle
MHT
, rectangle en
H
est transformé en
MFT
. La conservation des angles géométriques permet de dire que
MFT
est
rectangle en
F
.
Le triangle
FMH
étant isocèle en
M
, la médiatrice de
FH
est la bissectrice intérieure de l’angle
MH,MF
Propriété 3
Soit
P
une parabole de foyer
F
. Une droite
Δ
est tangente à
P
si et seulement si le projeté
orthogonal de
F
sur
Δ
appartient à la tangente au sommet de
P.
Propriété 4
Soit
P
une parabole de foyer
F
et de directrice
D
. Une droite
Δ
est tangente à
P
si et
seulement si le symétrique orthogonal de
F
par rapport à
Δ
appartient à la directrice
D
.
Eléments géométriques
Si
2
y 2px
. L’axe focal est
O;i
. Le foyer est :
p
F ,0
2
. La directrice :
p
D:x 2
p0
p0
Si
2
x 2py
. L’axe focal est
O; j
. Le foyer est :
p
F 0, 2
. La directrice :
p
D:y 2
p0
p0

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Construction point par point
On choisit un point
H
de la directrice
D
. Le
point
M
d’intersection de la médiatrice de
FH
et de la perpendiculaire à
D
en
H
est un point
de la parabole.
La parabole de foyer
F
, de directrice
D
est
l’ensemble des centres des cercles passants
par
F
et tangents à
D
.
Applications
La tangente à la parabole passe par le milieu de
FH
. C’est la médiatrice du segment
FH
. Le triangle
FMH
est isocèle en
M
, donc cette tangente est la bissectrice intérieure de
HMF
.
La bissectrice extérieure est la normale à la parabole en
M
.
Tout signal émis de
F
est réfléchi parallèlement à l’axe de la parabole. Tout
signal qui tombe sur la parabole, parallèlement à l’axe, est réfléchi vers
F
. Ces propriétés sont utilisées pour
émettre et recevoir des signaux via satellites et aussi dans les phares de voitures.
3° Exemples :
Exercice 1 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
O;i , j
. On considère les courbes d’équations :
a)
2
x 2x y 1 0   
; b)
2
y 4x 2 0  
.
Reconnaitre les courbes et donner leurs éléments géométriques, puis les construire.
Solution :
a)
2
x 2x y 1 0   
2
x 1 1 y 1 0    
2
y 2 x 1   
.
On pose
X x 1
et
Y y 2
, l’équation devient
2
YX
. On
reconnait l’équation d’une parabole de sommet
O 1,2
, d’axe
focal
O ,j
, de foyer
7
F 1, 4
et de directrice
9
D :y 4
.