construction point par point conique

République Islamique de Mauritanie
Ministère de l’Enseignement Secondaire
et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Chapitre
Coniques
Leçon 1/4
Généralités et Parabole
Niveau
7C
Savoirs faire  Connaitre la définition d’une conique
 Connaitre le vocabulaire relatif aux coniques
 Savoir distinguer les coniques
 Reconnaitre une parabole par son équation réduite
 Savoir représenter une parabole à partir de son équation réduite
 Savoir trouver les éléments géométriques d’une parabole
 Savoir représenter une parabole point par point
 Connaitre certaines propriétés des paraboles
 Savoir quelques applications relatives à la parabole
Plan du
1° Introduction
cours
2° Définitions
3° Propriétés
4° Exercice d’application
Auteur
Dah Mohamed Boubacar
I- Généralités:
1° Introduction :
Les coniques doivent leurs noms aux sections d’un cône de révolution par un plan. La nature de la
conique dépend de l’angle que forme ce plan avec l’axe du cône, comparé à l’angle que forme la
génératrice avec cet axe.
1° Définition :
Soient F un point, D une droite  F  D et e un réel strictement
positif, fixés.
Soit M un point du plan de projeté orthogonal H sur D.
L’ensemble des points M du plan tels que :
MF
 e est appelé conique de foyer F , de directrice associée D et
MH
d’excentricité e.
Remarque :
On fait la différence entre
MF
MA
 e et
 e car A et B sont fixés tandis que H dépend de M .
MH
MB
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 1
Classification
Lorsque e  1 la conique est appelée une parabole.
Lorsque 0  e  1 la conique est appelée une ellipse.
Lorsque e  1 la conique est appelée une hyperbole.
Définition :
La droite passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice est appelée l’axe focal de la conique
Propriétés générales
Propriété 1
L’axe focal Δ est un axe de symétrie de la conique.
Preuve : Soit Γ une conique de foyer F et de directrice  D  .
Soit M un point de Γ , de projeté orthogonal H sur  D 
Soit M  sΔ  M  et H le projeté orthogonal de M sur  D 
On a :
MF MF

 e donc M  Γ .
MH MH
Sommets sur l’axe focal
1° La parabole rencontre son axe focal Δ en un point unique S appelé sommet de la parabole qui est
le milieu du segment  FK  où K est le projeté orthogonal du foyer F sur la
directrice (D).
Preuve : En effet si M  Γ  Δ alors MF  MK ( tous les points de Δ se
projettent en K ). M est à l’intersection de Δ et la médiatrice de  FK  .
2° L’hyperbole et l’ellipse rencontrent chacune son axe focal en deux points S et S ' barycentres des
systèmes :
 F,1 ,  K,e  et  F,1 ,  K, e  .
Preuve : En effet si M  Γ  Δ alors
MF
 e . M est à l’intersection de Δ et du
MK
cercle de diamètre  SS  . F et K sont fixes et e  1 .
3° Application :
1° Soient F un point et D une droite  F  D .
Soit M un point du plan de projeté orthogonal H sur D. Donner la nature de chacun des ensembles
des points du plan tels que :
MF
MF
MF 1
 1 . b)
 2 . c)

a)
MH
MH
MH 3
2° Soient A et B deux points fixes du plan. Donner la nature de chacun des ensembles des points du
plan tels que :
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 2
a)
MA
MA
 2.
 1 . b)
MB
MB
II- Parabole:
1° Définition :
Soient F un point,  D  une droite  F  D fixés. Soit M un point du plan de projeté orthogonal H sur
 D  . L’ensemble des points M du plan tels que : MF  MH est la parabole de foyer F et de
directrice  D  .
Equation réduite
 
Il existe un repère orthonormé O ; i , j dans lequel l’équation de la parabole est de la forme :


y 2  2px ou x2  2py où p  FK est le paramètre de la parabole. O étant le sommet de la parabole.
Preuve : Montrons la première forme
Soit  P  une parabole de foyer F et de directrice  D  . Avec les notations précédentes on note
O  F  K et on pose p  FK . On munit le plan d’un repère orthonormé

 OF
 
p 
 p 
. On a F  , 0  et K   , 0  . Soit M un point du plan
O ; i , j avec i 
OF
2 
 2 


de coordonnées  x, y  . M   P   MF  MH .
2
2
p
p


Soit MF2  MH2 ou encore  x    y 2   x    02 . Il vient
2
2


p2
p2
. Après simplification on obtient y 2  2px .
 y 2  x2  px 
4
4
 
En échangeant les rôles de i et j on obtient x2  2py .
x2  px 
Pour la première construction on étudie les fonctions : ( y  2px et y   2px )  y 2  2px .
Après on aura des formes standards qu’on reconnaitra facilement.
2° Propriétés
Propriété 1
La parabole admet en chacun de ses points M0  x0 , y 0  une tangente d’équation : yy 0  p  x  x0 
pour la première forme ou xx0  p  y  y 0  pour la deuxième.
Propriété 2
La tangente à la parabole en un point M , autre que le sommet, coupe la
directrice au point T tel que le triangle TFM soit rectangle en F .
Cette tangente est la médiatrice de  FH  .
 
Elle est aussi la bissectrice intérieure de l’angle MH, MF


Preuve :
 y 
p 
 p

Soit U  F  H alors U  0, 0  car F  , 0  et H   , y 0  .
2 
 2

 2 
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 3
En remplaçant dans l’équation de la tangente on trouve à gauche y 0 
p  0  x0   px0 
y 0 y 02
et à droite

2
2
y 02
. Donc U appartient à la tangente. M est équidistant de F et H ce qui veut dire
2
que  MU   med  FH . La tangente  T  est la médiatrice de  FH  . Avec les notations de la figure, la
réflexion d’axe  MT  laisse M et T invariants et échange F et H . Le triangle MHT , rectangle en H
est transformé en MFT . La conservation des angles géométriques permet de dire que MFT est
rectangle en F .
Le triangle FMH étant isocèle en M , la médiatrice de  FH  est la bissectrice intérieure de l’angle
 
MH, MF


Propriété 3
Soit  P  une parabole de foyer F . Une droite  Δ  est tangente à  P  si et seulement si le projeté
orthogonal de F sur  Δ  appartient à la tangente au sommet de  P  .
Propriété 4
Soit  P  une parabole de foyer F et de directrice  D  . Une droite  Δ  est tangente à  P  si et
seulement si le symétrique orthogonal de F par rapport à  Δ  appartient à la directrice  D  .
Eléments géométriques

p
p 
Si y 2  2px . L’axe focal est O ; i . Le foyer est : F  , 0  . La directrice : D : x  
2
2 


p0
p0

p
 p
Si x2  2py . L’axe focal est O ; j . Le foyer est : F  0,  . La directrice : D : y  
2
 2

p0

p0
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 4
Construction point par point
On choisit un point H de la directrice  D  . Le
point M d’intersection de la médiatrice de  FH 
et de la perpendiculaire à  D  en H est un point
de la parabole.
La parabole de foyer F , de directrice  D  est
l’ensemble des centres des cercles passants
par F et tangents à  D  .
Applications
La tangente à la parabole passe par le milieu de  FH  . C’est la médiatrice du segment  FH  . Le triangle
FMH est isocèle en M , donc cette tangente est la bissectrice intérieure de
.
HMF
La bissectrice extérieure est la normale à la parabole en M .
Tout signal émis de F est réfléchi parallèlement à l’axe de la parabole. Tout
signal qui tombe sur la parabole, parallèlement à l’axe, est réfléchi vers F . Ces propriétés sont utilisées pour
émettre et recevoir des signaux via satellites et aussi dans les phares de voitures.
3° Exemples :
Exercice 1 :
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; i , j . On considère les courbes d’équations :


a) x2  2x  y  1  0 ; b) y 2  4x  2  0 .
Reconnaitre les courbes et donner leurs éléments géométriques, puis les construire.
Solution :
a) x2  2x  y  1  0   x  1  1  y  1  0  y  2    x  1 .
2
2
On pose X  x  1 et Y  y  2 , l’équation devient Y   X2 . On
reconnait l’équation d’une parabole de sommet O  1, 2  , d’axe

9
 7
focal O, j , de foyer F  1,  et de directrice  D  : y  .
4
 4


Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 5
1

b) y 2  4x  2  0  y 2  4x  2  y 2  4  x   .
2

1
On pose X  x  et Y  y , l’équation devient Y2  4X .
2
1 
On reconnait l’équation d’une parabole de sommet O  , 0  ,
2 

1
3 
d’axe focal O, i , de foyer F  , 0  et de directrice  D  : x   .
2
2 


Exercice 2 :
On considère un rectangle direct ABCD de centre O et tel que AB  2AD . On note I le milieu de
CD et J celui de  AB .
1° Montrer qu’il existe une seule parabole  P  de directrice  AB  et passant par C et D .
Préciser son foyer et son sommet.
2° Montrer que les droites  JC  et  JD  sont les tangentes à  P  respectivement en C et D .
3° Le cercle  Γ  de centre B et passant par I coupe  AB  en H1 et H 2 .
a) Construire les points M1 et M 2 , de  P  , de projetés orthogonaux respectifs H1 et H 2 sur  AB  .
b) Que peut-on dire des droites  BM1  et  BM 2  par rapport à  P  ?
c) Montrer que les points A,M1 ,I et M 2 sont alignés.
Solution :
1° Soit F le foyer d’une telle parabole alors CF  CB
et DF  DA . Donc F appartient aux cercles de centres
C et D et de rayons CB et DA . Or ces deux cercles sont
tangents en I car CB  DA  CD et par suite ce foyer
est unique F  I . Il existe une parabole unique
vérifiant les conditions, son foyer est I et son sommet
est O .
2° Rappel : Une droite est tangente à une parabole si et seulement si, le symétrique du foyer par
rapport à cette droite appartient à la directrice.
On a S JD  I   A   AB  et S JC  I   B   AB  donc les droites  JC  et  JD  sont les tangentes à  P 
respectivement en C et D .
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 6

 M H    AB 
3° a) Le point M1 est tel que  1 1

 M 1I  M 1 H 1
donc M1 est à l’intersection de la médiatrice de
IH1  et la perpendiculaire à  AB  en H1 .
De la même façon, on construit M 2 .
b) Les droites  BM1  et  BM 2  sont les
médiatrices respectives de IH1  et IH 2  .
Ceux sont les tangentes à  P  en M1 et M 2 .
c) Les triangles BH1M1 et BIM1 sont
symétriques par rapport à  BM1  . Le triangle
BH1M1 est rectangle en H1 et donc BIM1 est
rectangle en I . On retient que  BI    IM1  .
Les triangles BH 2M 2 et BIM 2 sont symétriques par rapport à  BM 2  . Le triangle BH 2M 2 est
rectangle en H 2 et donc BIM 2 est rectangle en I . On retient que  BI    IM 2  .
On a montré que :  BI    IM1  et  BI    IM 2  d’où l’alignement des points I, M1 et M 2 . D’autre
part le triangle ABI est rectangle isocèle en I et par suite  BI    IA  . Le point A est sur la
perpendiculaire à  BI  passant par I qui passe déjà par M1 et M 2 .
Les points A,M1 ,I et M 2 sont alignés.
3° Exercices d’application :
Exercice 1:
Dans le plan orienté on donne le cercle  de centre O et de diamètre  AB . On note  1 et  2 les

tangentes respectives de  en A,B . Soit  un réel de l’intervalle  0,  et F un point de  tel que
 2
 
 OB,OF     2 .  P 
est la parabole de foyer F et de directrice  AB  (pour la figure on prendra  

).
3
1° La tangente en F à  coupe  1 en A' et  2 en B' .
a) Montrer que A', B' sont deux points de  P  .
b) Préciser les tangentes à  P  en A',B' et vérifier qu’elles sont perpendiculaires.
2° Les droites  AB' et  A'B  se coupent en S ; la droite  FS  coupe  AB  en K .
a) Montrer que :
SB

FB'
.
SA' FA'
b) En déduire que K est le projeté orthogonal de F sur  AB  puis calculer, en fonction de  et OB , le
paramètre de  P  .
c) Montrer que S est le sommet de  P  .
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 7
3° Soit  D  la droite passant par A' et parallèle à  AB  et  P' la parabole de foyer F et de directrice
 D  . Montrer qu’il existe une valeur unique 0 de  pour laquelle A est un point de  P' .
4° On prend  

.
3
a) Montrer que si M est un point commun à  P  et  P' alors M appartient à la médiatrice de  AA' .
b) On note H et H' les projetés orthogonaux de M respectivement sur  AB  et  D  . Construire les
points communs à  P  et  P' .
c) Montrer que  P  et  P' n’ont pas de tangentes commune.
d) Construire les paraboles  P  et  P'
Exercice 2 :


3
Dans le plan orienté on considère un losange ABCD tel que  AB;AD   2  et AB  6 . Soit R la

3
rotation de centre D et d’angle  . On désigne par I, J, K et L les milieux respectifs de segments
 AB ,  BC ,  AD , et  AC . Soit
O et O’ les centres des cercles circonscrit à ABD et BCD .
1° Soit f  s DA  R  s DA où s DA  est la réflexion d’axe  AD  .
a) Déterminer la droite  telle que : R  S DA oS .
b) Donner la nature et les éléments de f .
2° a) On pose g  RoS(BC) . Déterminer g  B  et g  C  .
b) Montrer que g est une symétrie glissante dont on donnera la forme réduite.
1
et on pose : S  Roh . On désigne par
2
 C  et  C' les cercles circonscrit aux triangles BCD et DKL , E est le point diamétralement opposé à D
3° On désigne par h l’homothétie de centre D et de rapport
sur  C  .
a) Déterminer S  B  ,S  C et S  E  . Donner la nature et les éléments de S .
b) Montrer que  C' est le cercle de diamètre  DO' .On désigne par  l’ellipse de foyers D et B et
passant par I et par  ' celle de foyers D et A passant par I . Soit B' le point de la demi-droite  O'I 
tel que IB'  IB .
1° a) Monter que DB’ est la longueur du grand axe de  et  ' .
b) Représenter les sommets de  et  ' .
2) Montrer que si M est un point de  alors R  M  est un point de  ' .
3) a) Montrer que si M est commun aux deux ellipses  et  ' alors M   ID
b) Représenter le deuxième point I ' commun aux deux ellipses. Achever la construction de  et
'.
Ministère de l’Enseignement Secondaire et de la Formation Technique et Professionnelle
Cours en ligne
Niveau 7C
Coniques 1/4
Dah Mohamed Boubacar
Page 8