1 Cinématique du point Changement de référentiel RAPPEL DE COURS ◗ SYSTÈMES USUELS DE COORDONNÉES • Coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques —➞ —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ ➞ OM = r e➞r + z e➞z ; base (e➞r , e➞q , e➞z ) (doc. 2). OM = x e x + y e y + z e z ; base (e x , e y , e z ) (doc. 1). y z eθ z r M ez z θ er x ez eθ M er ez ey O ex x H ez y y ex ey O θ H x x Doc. 1. Coordonnées cartésiennes (x , y , z) : —➞ ➞ ➞ ➞ OM = x e x + y e y + z e z . y eθ er r Doc. 2. Coordonnées cylindriques (r , q , z) : —➞ ➞ —➞ ➞ ➞ OH = r e r ; OM = r e r + z e z . —➞ ➞ ➞ ➞ ➞ • Coordonnées sphériques : OM = r e r ; base (e r , e q , e j ) (doc. 3). z y M ez ex x θ O z er e ϕ er eϕ eϕ r eθ ey y ϕ H u Doc. 3)a. Coordonnées sphériques. © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. n r si θ M θ u H eθ r ϕ x H u Doc. 3)b. Plans : z = 0 et j = cte . 15 MÉCANIQUE CINÉMATIQUE DU POINT – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL ◗ REPRÉSENTATIONS DU MOUVEMENT vM —➞ • La trajectoire est constituée de l’ensemble des positions successives OM (t) = ➞ r(t) du point mobile M étudié. —➞ ➞ • Dans l’espace des vitesses, l’ensemble des positions successives ON (t) = v (t) constitue l’hodographe du mouvement. —➞ —➞ —➞ • Dans l’espace des phases, le point P repéré par OP = (OM , ON ) décrit la trajectoire de phase du mobile. Pour un mouvement à un degré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase : —➞ OP = (x(t), v(t)). ◗ VITESSE D’UN POINT Soit O un point fixe du référentiel . Le vecteur vitesse de M par rapport à ce référentiel est : —➞ dOM v➞(M)/ = / dt ➞ · ➞ · ➞ ·➞ Expression en coordonnées cartésiennes : v (M) = • / x ex + y ey + z ez . • Expression en coordonnées cylindriques : y er eθ a(M) e y v M M θ a A z ex x O ez = ex ey ω = ω ez Doc. 4. Mouvement circulaire d’un point M dans un cercle de rayon a : · · v➞ = Rq e➞q et a➞ = – Rq 2e➞r + Rq¨ e➞q . Doc. 5. Si |v➞| = cte , l’accélération du point M est —➞ v2 dirigée suivant – OM : a➞ = – e➞r . R · v➞(M)/ = r· e➞r + rq e➞q + z· e➞z . ◗ ACCÉLÉRATION D’UN POINT Le vecteur accélération de M par rapport à ce référentiel est : ➞ d2OM d v (M)/ a ( M )/ = = . dt d t2 / / ➞ • Expression en coordonnées cartésiennes : a➞(M)/ = ẍ e➞x + ÿ e➞y + z̈ e➞z . • Expression en coordonnées cylindriques : · · a➞(M)/ = (r̈ – rq 2 ) e➞r + (rq¨ + 2r·q )e➞q + z̈ e➞z ; 1 d · · ou encore : a➞(M)/ = (r̈ – rq 2 ) e➞r + (r2q)e➞q + z̈ e➞z . r dt ◗ MOUVEMENT CIRCULAIRE Le point M se déplace sur un cercle de centre O , de rayon R , d’axe (Oz) . Il est repéré par ses coordonnées polaires sur le cercle (r = R , q ) . —➞ OM = R e➞r ; —➞ · v➞(M)/ = Rq e➞q = w➞ ∧ OM , où w➞ = w e➞z ; · a➞(M)/ = – Rq 2 e➞r + Rq¨ e➞q (doc. 4). · Si le mouvement est circulaire uniforme, v = Rq est constante, donc a➞ (M)/ est dirigée suivant – e➞r ; elle est centripète (doc. 5). 16 © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. 17 CINÉMATIQUE DU POINT – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL É N O N C É S 1 Une course automobile ●●●➤Conseils 1) Penser à remplacer cos2 q par 1 (1 + cos q) et 2 2 à utiliser les relations entre (x , y) et (r , q ) pour donner l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes. · 2) La condition v = kr permet d’exprimer q en fonction de q , donc de ne plus faire apparaître explicitement le temps dans les équations, mais seulement q . Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course automobile sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A, démarre avec une accélération constante de 4 m.s–2, le deuxième, B, a une voiture légèrement plus puissante et démarre avec une accélération constante de 5 m.s–2. A a cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde avant. 1 ■ Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A ? 2 ■ Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ? 3 ■ Quelle seront les vitesses à cet instant-là ? 4 ■ Représenter x(t) et v(t) et la trajectoire de phase de A et B, en précisant la position de l’événement « B dépasse A » sur ces représentations des mouvements. ●●●➤Conseil Déterminer l’équation horaire du mouvement de chaque voiture. 2 Mouvement d’un point matériel sur une parabole 3 Trois chiens se poursuivent À l’instant t = 0 , trois chiens A , B et C sont situés aux trois sommets d’un triangle équilatéral de côté d et se mettent en mouvement. Le module de leur vitesse, identique pour les trois, est v. Le chien A se dirige constamment vers B , qui se dirige constamment vers C , qui, lui-même, se dirige constamment vers A . 2 ■ Quelle distance auront-ils parcouru ? 3 ■ Déterminer la trajectoire suivie par chaque chien ainsi que les lois horaires définissant le mouvement sur ces trajectoires. y A yvA d d b) Déterminer la loi du mouvement q(t) en supposant que q est nul à l’instant t = 0 et que q croît. On donne q 0 18 dθ θ π = ln tan + . 2 4 cos θ Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan Un point M se déplace dans le plan (xOy) à la vitesse : v➞ = v 0(e➞x + e➞q ), où e➞q est le vecteur orthoradial de la base locale des coordonnées polaires (r,q ). 1 ■ Établir les équations polaire et cartésienne de la trajectoire à caractériser. x yvC C d yvB B 6 Chasseur et oiseau Un oiseau se trouve sur une branche d’arbre, à une hauteur H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le sol à la distance D du pied de l’arbre. Il vise l’oiseau et tire. Au moment du coup de feu, l’oiseau, voyant la balle sortir du canon, prend peur et se laisse tomber instantanément en chute libre. À chaque instant, l’accélération de la balle et de l’oiseau dans un référentiel fixe est – g e➞z (l’axe (Oz) est la verticale ascendante). L’oiseau est-il touché ? L’étude sera faite : a) dans le référentiel fixe ; b) dans le référentiel lié à l’oiseau. ●●●➤Conseil Déterminer les trajectoires de l’oiseau et de la balle dans le référentiel choisi et déterminer leur intersection. 3 ■ Faire le lien entre l’angle q = (je➞x , r➞) et l’angle j = (je➞x , v➞ ). ●●●➤Conseils Il suffit de passer du système de coordonnées cartésiennes (x, y) au système de coordonnées polaires (r,q ), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des équations recherchées. 1 ■ À quel instant les trois chiens se rencontrent-ils ? 1 ■ Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La construire. a) Calculer, en fonction de q , les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M . 4 2 ■ Faire de même pour l’hodographe. Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire θ r cos 2 = a , où a est une constante positive,q variant 2 de – π à + π . 2 ■ On suppose de plus que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v = kr , où k est une constante positive. —➞ 1) Dériver || AB ||2 = 2(t) pour obtenir l’expression . de d dt 3) Travailler dans la base polaire liée au point A, l’origine étant choisie au centre du triangle formé par les positions initiales des trois chiens. 5 Aller et retour sur un fleuve Un rameur s’entraîne sur un fleuve en effectuant le parcours aller et retour entre deux points A et B , distants de . Il rame à vitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve coule de A vers B à la vitesse u . Son entraîneur l’accompagne à pied le long de la rive en marchant à la vitesse v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B . Seront-ils de retour en même temps au point de départ ? Si non, lequel des deux (rameur ou entraîneur) arrivera le premier en A ? Commenter. ●●●➤Conseil Utiliser la composition des vitesses en faisant attention au sens des vecteurs vitesse. 7 Mouvement parabolique à accélération radiale Un point matériel se déplace dans le plan (xOy) en suix2 – a2 vant la parabole d’équation cartésienne : y = . 2a Son accélération reste à tout instant radiale, c’est-à-dire —➞ parallèle au vecteur position r➞ = OM . 1 ■ Établir l’équation polaire de la trajectoire : r = f(q ). · 2 ■ Montrer que le produit C = r 2q est une constante du mouvement. 3 ■ Exprimer l’accélération du point à l’aide de a, r et C. Ce genre de mouvement paraît-il physiquement réalisable ? ●●●➤Conseils 1) Exprimer x et y en fonction de r et q, et en déduire r (r 0!). 2) Quelle est la composante orthoradiale de l’accélération ? 3) Où trouve-t-on des interactions newtoniennes ? (au départ, à t = O) ●●●➤Conseils (Voir également H-Prépa, Mécanique I, 1re année, chapitre 1, exercice 10) La figure formée par les trois chiens à chaque instant est un triangle équilatéral de côté (t). Quand les chiens se rencontrent, ce triangle est réduit à un point. © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. 19 CINÉMATIQUE DU POINT – CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL C O R R I G É S θ π π + ∈] 0; [ 4 4 2 d’où sa tangente est positive. Si q = 0 à t = 0 , la constante est nulle. L’équation polaire de la trajectoire du chien A est donc : q ∈ ] − π ; + π [ donc π r = r0 exp 3 θ − . 2 3 Trois chiens se poursuivent 1 Une course automobile 2 Mouvement d’un point matériel sur une parabole 1 ■ Nous avons : 1 1 xA(t) = aAt 2 et xB(t) = aB(t – t 0)2, 2 2 cette deuxième expression étant applicable à t t 0 = 1 s. Les deux voitures sont au même niveau à l’instant t1, soit : aAt12 = aB(t1 – t 0)2 ce qui donne : 1 t1 = t 0 . ≈ 9,5 s. aA 1 – aB 2 q 1 1 ■ Sachant que = (1 + cos q), l’équation polaire 2 2 s’écrit : r = 2a – r cos q ; avec x = r cosq et y = r sinq, et en élevant au carré : r2 = x2 + y2 = (2a – x)2, ce qui donne : – y 2 + 4a2 x = , 4a parabole représentée ci-dessous. cos2 y 2 ■ À l’instant t1 : 3 ■ vA(t 1) = aAt 1 ≈ 38m.s– 1 et vB(t 1) = aB(t1 – t 0) ≈ 42 m.s– 1. 4■ x xB(t) t1 t0 θ sin • d r 2 • • θ 2 ■ a) v r = r = θ = a θ dθ cos3 2 t v • a θ . θ cos2 2 · II reste à éliminer q en utilisant : • vA(t) vB(t1) vA(t1) O 2•2 v = kr = r 2 + r θ • t1 t0 t B A vA(t1) d x v , d’où : 2r r 1 3v t 1 θ (t ) − θ ( 0 ) = ln 1 − ln = 2d 3 3 r0 • aθ . = θ cos3 2 On en déduit θ = − θ · q ∈ ]– π ; + π[ , cos est positif et q est positif par hypo 2 thèse, donc : sin q · ka q 2 ;v = q = k cos et v r = ka q . 2 cos q cos2 q 2 2 dθ · θ ⇔ = kd t b) q = k cos 2 θ cos 2 vB(t1) 20 3 3 3 d. v t avec r0 = r =− v et r(t ) = r0 − 2 3 2 • • v O avec (voir le schéma ci-dessous) : 13 v v➞(A). e➞r = – v et v➞(A). e➞q = – , 2 2 donc : et v θ = rθ = vB(t) π avec θ (0) = . 2 y θ π ⇔ 2 ln tan + = kt + cte . 4 4 © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. eθ A v (C) C er θ v (A) O v (B) x B © Hachette Livre, H-Prépa Exercices, Physique, MPSI-PCSI-PTSI. La photocopie non autorisée est un délit. Autres méthodes pour la question 1 • Soient A , B , C les positions des trois chiens à l’instant t et A′ , B′ , C′ leurs positions à l’instant t + dt . —➞ —➞ —➞ —➞ —➞ || A¢ B¢ ||2 = || A¢ B ||2 + || BB¢ ||2 + 2 A¢ B . BB¢ 2 ⇒ (t + dt) = ((t) – v dt)2 + (v dt)2 – 2((t) – v dt)v dt cos(60°) 2 2 ⇒ (t + dt) = (t) – 3v (t)dt + o (dt) au premier ordre en dt. ⇒ (t + dt) = (t) – Les trois chiens se rejoignent à l’instant où (t) s’annule, c’est2d . à-dire à l’instant t f = 3v 2 2 ■ Ils auront parcouru la distance L = v t f = d . 3 3 ■ Dans la base polaire liée au point A (avec origine en O, centre du triangle initial) : ·➞r + rq· e➞q v➞(A) = re x – 2a d O a xA(t) donc un angle de 60° avec BA , d’où : —➞ 1 v➞(B). AB = – v(t). 2 d = 3 Finalement : (t) – v(t). dt 2 d = 3 donc (t) = d 3 d’où – v, – vt compte tenu de dt 2 2 (0) = d. 2a 1 d = xA(t 1) = xB (t 1) = aAt12 ≈ 1,8 . 102 m. 2 —➞ 1 ■ || AB ||2 = l2(t) d’où : —➞ —➞ d AB —➞ d = (v➞(B) – v➞(A)). AB l(t) . AB . dt dt —➞ Or v➞(A) est parallèle à AB par hypothèse, donc ➞ — —➞ v➞(A). AB = v l(t) . De plus v➞(B) , qui est parallèle à BC , fait —➞ C’est l’équation d’une spirale logarithmique. Les trajectoires des chiens B et C se déduisent de celle-ci par rotation d’angle 2π autour de O . 3 3 d v dt + o (dt) = (t) + (dt)+ o (dt), 2 dt d 3 ce qui donne le même d’où = – v dt 2 résultat que par la première méthode. • Dans le référentiel lié à B , la vitesse de A s’écrit v➞(A)/B = v➞(A) – v➞(B) . Dans ce référentiel, la trajectoire de A est une droite (puisque A se dirige constamment vers B). Soit —➞ u➞AB le vecteur unitaire parallèle à AB et de même sens : d ➞ v➞(A)/B = – u AB. dt d = v➞(A) . u➞ = – v – = 3v ce qui donne Donc v – /B AB 2 2 dt encore le même résultat. 4 Trajectoire et hodographe d’un mouvement plan 1 ■ v➞ = v 0(e➞x + e➞q ) = v 0(cosq e➞r + (1 – sinq ) e➞q ). —➞ ➞ ➞ ➞ Le déplacement élémentaire d OM = d(r e r) = dr.e r + rdq . eq du point M est colinéaire au vecteur vitesse, donc : dr 1 – sinq cosq dr cosq dq = , soit : = = d ln 0 . r rdq 1 – sinq 1 – sinq 1 – sinq ce qui donne l’équation en coordonnées polaires : 1 – sinq r r = r0 0 = 1 – sinq 1 – sinq où r est un paramètre (longueur) caractéristique de la trajectoire. On en déduit : r = r + r sin q, soit, avec x = r cos q et y = r sinq, en élevant au carré : r2 = x 2 + y 2 = (r + y)2, ce qui donne finalement : x 2 – r2 y= 2r qui est l’équation d’une parabole d’axe (Oy). 21
