Rang en algèbre linéaire (on se limitera à des

Rang en algèbre linéaire
© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 1/5
RANG EN ALGEBRE LINEAIRE
(ON SE LIMITERA A DES E.V. DE DIMENSION FINIE)
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie.
1) Rang d'une famille de vecteurs, rang d'une application linéaire
définition (rang d'une famille de vecteurs)
Soit Iii xx ∈ =)( une famille d'éléments de E. La dimension du sous espace engendré par x est
appelée rang de x, noté )(xrg .
définition (rang d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F. F étant de dimension finie, Im(u) l'est également. On
appelle rang de u, noté )(urg , le nombre ))(Im(udim .
théorème du rang
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors )())(Im())(( EdimudimuKerdim =
+
.
démonstration
Soit )(Edimn =. )(uKer est de dimension finie p )( np
≤
. Notons pii
e≤≤1 )( une base de )(uKer .
Alors pii
e≤≤1 )( est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
np ee ...,, 1+ éléments de E tel que nii
e≤≤1 )( soit une base de E.
montrons que
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est une base de )Im(u
• C'est une famille libre :
Soit nipi ≤≤+
α1 )( des éléments de K tels que 0)(
1
=α
∑
+=
n
pi ii eu .
Alors 0)( 1
=α
∑
+=
n
pi iieu
Donc )(
1uKere
n
pi ii ∈α
∑
+=
donc ∑∑ =+=
≤≤ α=α∈α∃ p
iii
n
pi ii
p
pii eeK 11
1,)(
donc 0
11
=α−α ∑∑ +==
n
pi ii
p
iii ee
donc tous les i
α sont nuls (car nii e≤≤1 )( est une base de E).
donc
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est libre.
• C'est une famille génératrice :
Soit Fy∈. Il existe Ex∈ tel que )(xuy =.

Rang en algèbre linéaire
© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 2/5
∑
=
≤≤ α=∈α∃ n
iii
n
nii exK 1
1,)(. Alors ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛α= ∑
=
n
iiieuy 1.
Donc ∑
=
α= n
iii euy 1)( (linéarité de u)
donc ∑∑ +==
α+α= n
pi ii
p
iii eueuy 11 )()(
donc ∑
+=
α= n
pi ii euy 1)( car pour )(,1 uKerepi i
∈
≤≤
donc
()
nip
i
eu ≤≤+1 )( est une famille génératrice.
proposition
E, F et G sont des K espaces vectoriels. u est une application linéaire de E dans F. v est une
application linéaire de F dans G. Alors ))Im()(()()( uvKerdimuvrgurg
∩
−
=
D.
démonstration
Soit f la restriction de v à Im(u).
f est linéaire de Im(u) dans G donc, d'après le théorème du rang,
))(Im())(Im())(( udimfdimfKerdim =+ .
Or, )())(Im( uvrgfdim D= car ))(Im()Im( uvuv
=
D.
Donc :
))Im()(()(
))(()()(
uvKerdimuvrg
fKerdimuvrgurg
∩−=
−=
D
D
car )Im()()( uvKerfKer ∩= .
proposition
E, F et G désignent des K espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, v une
application linéaire de F dans G. Alors :
(i) ))(),(min()( vrgurguvrg ≤D
(ii) Si u est bijective, alors )()( vrguvrg =D
(iii) Si v est bijective, alors )()( urguvrg =D
démonstration
(i) )Im()Im( vuv ⊂
D donc )()( vrguvrg ≤D.
D'après la proposition précédente, )()( urguvrg
≤
D.
Par conséquent, ))(),(min()( vrgurguvrg
≤
D.
(ii)
Si u est bijective, Fu =)Im( donc )Im()()Im( vFvuv
=
=
D donc )()( vrguvrg
=
D.
(iii)
Si v est bijective, alors
{}
0)( =vKer donc 0))Im()((
=
∩
uvKerdim donc )()( urguvrg =D d'après
la proposition précédente.

Rang en algèbre linéaire
© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 3/5
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F.
(i) u est injective si et seulement si )()( Edimurg
=
.
(ii) u est surjective si et seulement si )()( Fdimurg
=
.
démonstration
(i) Rappelons que u est injective si et seulement si
{
}
0)(
=
uKer .
Supposons u injective. Alors
{
}
0)( =uKer donc 0))((
=
uKerdim . D'après le théorème du rang,
)())(Im( Edimudim =.
Supposons que )()( Edimurg =. D'après le théorème du rang, 0))(( =uKerdim donc
{
}
0)(
=
uKer
donc u est injective.
(ii) Rappelons que u est surjective si et seulement si Fu
=
)Im( .
Si u est surjective, alors Fu =)Im( et donc )()( Fdimurg
=
.
Si )()( Fdimurg = : Fu ⊂)Im( et )())(Im( Fdimudim
=
donc Fu =)Im( , c'est-à-dire u est
surjective.
2) Rang d'une matrice
définition (rang d'une matrice)
On appelle rang d'une matrice M, noté )(Mrg , le rang du système de ses vecteurs colonnes.
théorème
Soit )()( 1
1KMmM pn
pj niji ∈=
≤≤ ≤≤ . Soit F un K espace vectoriel de dimension n, ),...,( 1n
ff une base de
F. Alors ),...,()( 1p
vvrgMrg = où ∑
=
=n
iikik fmv 1, pk
≤
≤
1.
démonstration
Notons ),...,( 1n
ee la base canonique de n
K
.
kk
n
fe
FK
6
→φ: est un isomorphisme donc ),...,())(),...,((),...,( 111 nnn uurgvvrgvvrg =
φ
φ
=
où
∑
=
=n
iikik emu 1.
théorème
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies non nulles p et n, u une application
linéaire de E dans F. Pour tout couple ),( fe de bases de E et F, si M désigne la matrice de u
relativement à ces bases, on a )()( Mrgurg =.
démonstration
Notons ),...,( 1p
eee =, ),...,( 1n fff
=
, pj niji mM ≤≤ ≤≤
=
1
1
)( .

Rang en algèbre linéaire
© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 4/5
On a ∑
=
=n
iikik fmeu 1
)(, pk ≤
≤
1.
D'après le théorème précédent, ))(),...,(()( 1p
eueurgMrg
=
donc )()( urgMrg = car
)Im())(),...,(( 1ueueuvect p= par conséquent, )())(),...,(( 1urgeueurg p
=
.
proposition
Une matrice et sa transposée sont de rangs égaux.
démonstration
Soit )(KMM pn
∈. Soit e la base canonique de n
K
, f celle de p
K
. Notons * e la base duale de e,
*
f celle de f.
Soit u l'application linéaire canoniquement associée à M, np KKu →:.
D'après ce qui précède, )()( urgMrg =.
Soit ** )()(: pnt KKu →.
)()( urgurg t= (voir chapitre concernant la dualité)
Or )),;(()( ** efumatrgurg tt = et Mefumat tt =),;( ** (voir dualité)
Donc )()( Mrgurg tt = et donc )()()()( MrgurgurgMrg tt === .
conséquence : Le rang d'une matrice est égal à celui de ses vecteurs lignes.
proposition
Soient )(),( KMBKMA nmpn ∈∈ .
(i) ))(),(min()( BrgArgBArg ≤
(ii) Si A est inversible, )()( BrgBArg =
(iii) Si B est inversible, )()( ArgBArg =
démonstration
Soient u et v les applications linéaires canoniquement associées à A et B,
mnnp KKvKKu →→ :,:.
(i) BA est la matrice canoniquement associée à uvD. )()( uvrgBArg D
=
.
Or, ))(),(min()( vrgurguvrg ≤D et )()(),()( BrgvrgArgurg
=
=
, d'où le résultat.
(ii) )()( uvrgBArg D=
)(vrg= (car u est inversible car A l'est)
)(Brg
=
(iii) )()( uvrgBArg D=
)(urg
= (car v est inversible car B l'est)
)(Arg=

Rang en algèbre linéaire
© S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 5/5
3) Méthode pratique pour calculer le rang
voir chapitre sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice.