Rang en algèbre linéaire (on se limitera à des

Rang en algèbre linéaire
RANG EN ALGEBRE LINEAIRE
(ON SE LIMITERA A DES E.V. DE DIMENSION FINIE)
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimension finie.
1) Rang d'une famille de vecteurs, rang d'une application linéaire
définition (rang d'une famille de vecteurs)
Soit x = ( xi ) i∈I une famille d'éléments de E. La dimension du sous espace engendré par x est
appelée rang de x, noté rg (x) .
définition (rang d'une application linéaire)
Soit u une application linéaire de E dans F. F étant de dimension finie, Im(u) l'est également. On
appelle rang de u, noté rg (u ) , le nombre dim(Im(u )) .
théorème du rang
Soit u une application linéaire de E dans F. Alors dim( Ker (u )) + dim(Im(u )) = dim( E ) .
démonstration
Soit n = dim(E ) . Ker (u ) est de dimension finie p ( p ≤ n) . Notons (ei )1≤i≤ p une base de Ker (u ) .
Alors (ei )1≤i≤ p est une famille libre de E. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
e p +1 , ..., en éléments de E tel que (ei )1≤i≤n soit une base de E.
montrons que (u (ei ) ) p +1≤i≤n est une base de Im(u )
•
C'est une famille libre :
Soit (α i ) p +1≤i≤n des éléments de K tels que
n
∑ α u (e ) = 0 .
i = p +1
i
i
n
Alors u ( ∑ α i ei ) = 0
i = p +1
n
Donc
∑ α e ∈ Ker (u )
i = p +1
i i
donc ∃ (α i )1≤i≤ p ∈ K p ,
p
donc
n
∑α e − ∑α e
i =1
i i
i = p +1
i i
n
p
i = p +1
i =1
∑ α i ei = ∑ α i ei
=0
donc tous les α i sont nuls (car (ei )1≤i≤n est une base de E).
donc (u (ei ) ) p +1≤i≤n est libre.
• C'est une famille génératrice :
Soit y ∈ F . Il existe x ∈ E tel que y = u (x) .
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Rang en algèbre linéaire
n
⎛ n
⎞
∃ (α i )1≤i≤n ∈ K n , x = ∑ α i ei . Alors y = u⎜ ∑ α i ei ⎟ .
i =1
⎝ i =1
⎠
n
Donc y = ∑ α i u (ei ) (linéarité de u)
i =1
p
donc y = ∑ α i u (ei ) +
i =1
donc y =
n
∑ α u (e )
i = p +1
i
i
n
∑ α u (e ) car pour 1 ≤ i ≤ p, e ∈ Ker (u )
i = p +1
i
i
i
donc (u (ei ) ) p +1≤i≤n est une famille génératrice.
proposition
E, F et G sont des K espaces vectoriels. u est une application linéaire de E dans F. v est une
application linéaire de F dans G. Alors rg (u ) = rg (v D u ) − dim( Ker (v) ∩ Im(u )) .
démonstration
Soit f la restriction de v à Im(u).
f est linéaire de Im(u) dans G donc,
dim( Ker ( f )) + dim(Im( f )) = dim(Im(u )) .
Or, dim(Im( f )) = rg (v D u ) car Im(v D u ) = v(Im(u )) .
Donc :
rg (u ) = rg (v D u ) − dim( Ker ( f ))
= rg (v D u ) − dim( Ker (v) ∩ Im(u ))
car Ker ( f ) = Ker (v) ∩ Im(u ) .
d'après
le
théorème
du
rang,
proposition
E, F et G désignent des K espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F, v une
application linéaire de F dans G. Alors :
(i) rg (v D u ) ≤ min(rg (u ), rg (v))
(ii) Si u est bijective, alors rg (v D u ) = rg (v)
(iii) Si v est bijective, alors rg (v D u ) = rg (u )
démonstration
(i)
Im(v D u ) ⊂ Im(v) donc rg (v D u ) ≤ rg (v) .
D'après la proposition précédente, rg (v D u ) ≤ rg (u ) .
Par conséquent, rg (v D u ) ≤ min(rg (u ), rg (v)) .
(ii)
Si u est bijective, Im(u ) = F donc Im(v D u ) = v( F ) = Im(v) donc rg (v D u ) = rg (v) .
(iii)
Si v est bijective, alors Ker (v) = {0} donc dim( Ker (v) ∩ Im(u )) = 0 donc rg (v D u ) = rg (u ) d'après
la proposition précédente.
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Rang en algèbre linéaire
proposition
Soit u une application linéaire de E dans F.
(i) u est injective si et seulement si rg (u ) = dim( E ) .
(ii) u est surjective si et seulement si rg (u ) = dim( F ) .
démonstration
(i) Rappelons que u est injective si et seulement si Ker (u ) = {0}.
Supposons u injective. Alors Ker (u ) = {0} donc dim( Ker (u )) = 0 . D'après le théorème du rang,
dim(Im(u )) = dim( E ) .
Supposons que rg (u ) = dim( E ) . D'après le théorème du rang, dim( Ker (u )) = 0 donc Ker (u ) = {0}
donc u est injective.
(ii) Rappelons que u est surjective si et seulement si Im(u ) = F .
Si u est surjective, alors Im(u ) = F et donc rg (u ) = dim( F ) .
Si rg (u ) = dim( F ) : Im(u ) ⊂ F et dim(Im(u )) = dim( F ) donc Im(u ) = F , c'est-à-dire u est
surjective.
2) Rang d'une matrice
définition (rang d'une matrice)
On appelle rang d'une matrice M, noté rg (M ) , le rang du système de ses vecteurs colonnes.
théorème
Soit M = (mi j )1≤i≤n ∈ M n p ( K ) . Soit F un K espace vectoriel de dimension n, ( f1 ,..., f n ) une base de
1≤ j ≤ p
n
F. Alors rg ( M ) = rg (v1 ,..., v p ) où vk = ∑ mi k f i , 1 ≤ k ≤ p .
i =1
démonstration
Notons (e1 ,..., en ) la base canonique de K n .
φ: K n → F
ek 6 f k
est
un
isomorphisme
donc
rg (v1 ,..., vn ) = rg (φ(v1 ),..., φ(vn )) = rg (u1 ,..., u n )
où
n
u k = ∑ mi k ei .
i =1
théorème
Soient E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies non nulles p et n, u une application
linéaire de E dans F. Pour tout couple (e, f ) de bases de E et F, si M désigne la matrice de u
relativement à ces bases, on a rg (u ) = rg ( M ) .
démonstration
Notons e = (e1 ,..., e p ) ,
f = ( f1 ,..., f n ) ,
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M = (mi j )1≤i≤n .
1≤ j ≤ p
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Rang en algèbre linéaire
n
On a u (ek ) = ∑ mi k f i , 1 ≤ k ≤ p .
i =1
D'après
le
théorème
précédent,
rg ( M ) = rg (u (e1 ),..., u (e p ))
donc
rg ( M ) = rg (u )
car
vect (u (e1 ),..., u (e p )) = Im(u ) par conséquent, rg (u (e1 ),..., u (e p )) = rg (u ) .
proposition
Une matrice et sa transposée sont de rangs égaux.
démonstration
Soit M ∈ M n p (K ) . Soit e la base canonique de K n , f celle de K p . Notons e * la base duale de e,
f * celle de f.
Soit u l'application linéaire canoniquement associée à M, u : K p → K n .
D'après ce qui précède, rg ( M ) = rg (u ) .
Soit t u : ( K n )* → ( K p ) * .
rg ( t u ) = rg (u ) (voir chapitre concernant la dualité)
Or rg ( t u ) = rg (mat ( t u; f * , e* )) et mat ( t u; f * , e* )= t M (voir dualité)
Donc rg ( t u ) = rg ( t M ) et donc rg ( t M ) = rg ( t u ) = rg (u ) = rg ( M ) .
conséquence : Le rang d'une matrice est égal à celui de ses vecteurs lignes.
proposition
Soient A ∈ M n p ( K ), B ∈ M m n ( K ) .
(i) rg ( BA) ≤ min(rg ( A), rg ( B))
(ii) Si A est inversible, rg ( BA) = rg ( B)
(iii) Si B est inversible, rg ( BA) = rg ( A)
démonstration
Soient u et v les applications
u : K p → K n, v : K n → K m .
linéaires
canoniquement
associées
à
A
et
B,
(i) BA est la matrice canoniquement associée à v D u . rg ( BA) = rg (v D u ) .
Or, rg (v D u ) ≤ min(rg (u ), rg (v)) et rg (u ) = rg ( A), rg (v) = rg ( B) , d'où le résultat.
(ii)
rg ( BA) = rg (v D u )
= rg (v) (car u est inversible car A l'est)
= rg (B)
(iii)
rg ( BA) = rg (v D u )
= rg (u ) (car v est inversible car B l'est)
= rg (A)
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Rang en algèbre linéaire
3) Méthode pratique pour calculer le rang
voir chapitre sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice.
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