Sequence-1-Calculs-Numeriques-Litteraux-Cours

Séquence : Calculs numériques et littéraux
I-
Fraction ou nombre rationnel
A- Définition et vocabulaire:
Définition :
- Une fraction est un nombre qui peut être écrit sous la forme d’un quotient
deux nombres relatifs a et b avec b  0 .
- Le nombre a est le produit de b par
a
de
b
a
.
b
Vocabulaire et notations :
Dividende
Diviseur


a

b
a

b

Numérateur

Dénominateur
- Une fraction est un nombre rationnel dont le numérateur et le dénominateur
sont des nombres entiers relatifs.
- Une écriture fractionnaire est un nombre rationnel dont le numérateur ( ou le
dénominateur) n’est pas un nombre entier relatif.
Remarque :
1- Tous les nombres entiers ( relatifs ) sont des nombres rationnels.
2- Tous les nombres décimaux ( relatifs ) sont des nombres rationnels.
3- Tous les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux.
Exemples :
1- Le nombre rationnel
52
52
 13
est un nombre entier relatif car
4
4
2- Le nombre rationnel
8
8
16

 1, 6
est un nombre décimal car
5
5
10
3- Le nombre rationnel
10
10
n’est pas un nombre décimal car
ne peut pas être écrit
3
3
comme une part de 1, 10, 100, 1000, ….
4- Le nombre rationnel
la fraction
1, 25
n’est pas une fraction. Il est une écriture fractionnaire de
3
125
.
300
1
B- Fractions équivalentes :
Définition-Propriété :
Deux fractions sont équivalentes si et seulement si l’une s’obtient en multipliant ou en
divisant à la fois le numérateur et le dénominateur de l’autre par un même nombre non nul.
Exemples :
1- Comme :
8 8 3
24
8
24


alors les nombres rationnels
et
sont équivalents.
5 5  3 15
5
15
2- Comme :
6
62
3
6
3


alors les nombres rationnels
et
sont équivalents.
10 10  2
5
10
5
Remarque :
On ne peut pas faire la même chose avec des additions ou des soustractions.
C- Simplification de fractions :
Définition :
Simplifier une fraction revient à trouver un nombre rationnel équivalent avec un
numérateur et un dénominateur plus petit.
Exemples :
1-
75
75  25
3


100 100  25
4
2-
20
20  20
1


100 100  20 5
2
D- Comparaison de fractions:
Règle:
1-
Les réduire si nécessaire au même dénominateur.
2-
Un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif.
3-
De deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.
4-
De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Exemples:
1- 
5
3

4
4
2-
2
5

7
7
3-
7
5
7
7  3 21
5
5  2 10





car
et
4
6
4
4  3 12
6
6  2 12
E- Addition ou soustraction de deux fractions :
Règle :
1- Les réduire si nécessaire au même dénominateur.
2- Additionner ( ou soustraire ) les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
Exemples:
1-
5 3 53 8
 

4 4
4
4
2-
5 7
5  2 7  3 10 21 10  21
11
 





6 4
6  2 4  3 12 12
12
12
3-
6 7
6  4 7  5 24 35
24  35 59
 





5 4
5 4 4 5
20 20
20
20
3
F- Produit de deux nombres rationnels:
Règle:
Le produit de deux nombres rationnels est la fraction dont :
- Le numérateur est le produit des numérateurs des deux fractions.
- Le dénominateur est le produit des dénominateurs des deux fractions
Exemples:
1-
a c
ac
 
b d
bd
2- a 
(b  0 et d  0)
c
a c
ac
ac
  

( d  0)
d
1 d
1 d
d
3- A 
5, 5 4
  …………………………………………………………………………
3
7
4- B 
2
6

 ……………………………………………………………………………
9
5
G- Multiplier un nombre par un quotient :
Définition :
Prendre un quotient ( une fraction ou une part ) d'un nombre ( ou d’une quantité ) revient
à multiplier ce nombre par ce quotient.
Exemple: Les deux cinquièmes de 6,5 sont égaux à :
2
 6, 5 
5
………………………….
H- Inverse d’un nombre relatif non nul :
Définition et notation :
- L’inverse d’un nombre relatif non nul a est le nombre dont le produit par a donne 1.
- L’inverse de a est le nombre
1
a
4
Exemples:
- Comme : 5  0, 2  ...... alors l’inverse de 5 est ……………………………………...
- Comme : 8  ...........  1 alors l’inverse de 8 est ……………………………….…...
- Comme : ...........  ( 0,1)  1 alors l’inverse de ………. est ………………………
- Comme : a  ......  1 alors l’inverse de a ………. est …………………… ( a  0)
I- Inverse d’un nombre rationnel non nul :
Définition et notation:
-L’inverse d’un nombre rationnel non nul
-L’inverse de
a
a
est le nombre dont le produit par
donne 1.
b
b
a
b
est le nombre
b
a
Exemples:
- Comme :
a b
a
  ...... alors l’inverse de
est …………………………………….
b a
b
- Comme :
2 ......
2

 1 alors l’inverse de
est ………………………………..
7
.......
7
J- Quotient de deux nombres rationnels:
Propriété:
- Diviser par un nombre rationnel non nul, revient à multiplier par son inverse.
a
a c
b  a  d  ad


- b d
c
b c
bc
d
Exemples:
5 3
  ...................................
4
7
5
 3  .......................................
8
5
II- Puisances entières d’un nombre relatif:
A- Puissance d’exposant positif:
Définitions :
- Une puissance d’un nombre relatif
- L’exposant
n
a est un produit dont le seul
d’une puissance d’un nombre relatif
représente le nombre de facteur
a
a
facteur est
a.
est un entier naturel qui
dans le produit.
Notation:
Lire « a exposant n » l’écriture
an
an  a
a

...... 
a


n facteurs
Exemples:
-
( 3)5  ( 3)  ( 3)  ( 3)  ( 3)  ( 3)  243
23  2  2  2  8
10 4  10  10  10  10  10000
Cas particuliers:
-
a 0  1 ( pour tout nombre relatif non nul a )
a1  a ( pour tout nombre relatif a )
a 2 se lit aussi « a au carré »
a 3 se lit aussi « a au cube »
6
B- Puissance d’exposant négatif:
Définition:
- Une puissance d’exposant négatif d’un nombre relatif
produit dont le facteur est
a.
a
non nul est l’inverse d’un
Notation:
L’écriture :
a
n
an
se lit : « a exposant -n »
1

a
a

...... 
a


an
est l’inverse de
an
n facteurs
Exemples:
1
1
1



(3)5 (13)  (3)  (3)  (3)  ( 3)
243
1
1
1
3
2  3 

2
2 2 2 8
1
1
1
104  4 

10
10 10 10 10 10000
(3) 5 
-
-
-
Cas particuliers:
-
-
a0  1
a)
1
1

a
a1
a ( pour tout nombre relatif non nul )
1
1


 0,
0......01
n




10
10.....0

n zéros
a 1 
10  n
-
( pour tout nombre relatif non nul
n zéros
7
C- Puissance de dix et préfixes:
On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l’écriture de mesures exprimées en
puissances de dix de certaines unités.
Préfixe
Symbole
10 n
Giga
G
méga
M
kilo
k
unité
milli
m
micro
nano
n

109 106 103 10 0  1 10 3 10 6 10 9
D- Règles de calcul sur les puissances :
Propriétés :
On considère les nombres relatifs
a
et
b
a m  a n  a mn
am
mn

a
an
avec
ainsi que les entiers relatifs
m
et
n.
n
an
a
   n
b
b
( a m ) n  a m n
a0
a0  1
( a  b) n  a n  b n
Exemples:
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………..
8
E- Notation scientifique:
Définitions :
- La notation scientifique d’un nombre décimal différent de 0 est la seule écriture de ce
nombre, de la forme
-
a
n
a  10 n
où :
est un nombre décimal écrit avec un seul chiffre, autre que 0, avant la virgule.
est un nombre entier relatif.
Exemples:
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………..
III- Priorités opératoires dans une expression numérique:
A- Propriétés:
- Pour calculer une expression numérique sans parenthèse, on effectue d’abord les
puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les
soustractions.
- Pour calculer une expression numérique où figurent des parenthèses, on effectue
d’abord les opérations entre parenthèses.
B- Nature d’une expression numérique:
- La nature d’une expression est le nom du résultat de la dernière opération à
effectuer selon la règle des opérations prioritaires.
Exemples:
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………..
Exercices : A faire dans le cahier d’exercices
38 – 40 – 41 – 42 (Page 24) + 84 (Page 28)
9
IV- Expression littérale :
A- Simplification d’une expression:
Définition :
Une expression littérale est une suite d’opérations qui comporte une ou plusieurs lettres.
Exemples :
1- L'aire A d'un rectangle de longueur L et de largeur l est …………………………
2- Le périmètre P d'un cercle de rayon
3- L’aire A d'un disque de rayon
r
r
est ……………………..…………………….
est …………………………………………………….
Règle :
Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe
 lorsqu'il est placé :
- Devant ou derrière une lettre
- Devant ou derrière une parenthèse
Exemples :
1- 2  x peut s'écrire ……………………………………………………………………….
2- 3  ( x  5) peut s'écrire ………………….………………………………………………
3- 1  x peut s'écrire ………………..………………………………………………………..
4- x  x peut s'écrire …………………………………………………………………………
5- x  x  x peut s'écrire ……………………………………………………………………..
Règles et conventions de simplification :
Dans une expression littérale, où a et x désignent des nombres relatifs:
-
a  x  x  a  ax
- On place le nombre avant la variable (par exemple : 3a).
- 1a s’écrit tout simplement a.
- Dans un produit de variable, on place les lettres dans l’ordre alphabétique.
10
Exemples :
1- 1 x  ...................  ........................ ……………………………………..….
2- 3  x  ................... …………………………………………………………………..
3- x  3  .......................................... ……………………………………………..
4- x  3  a  y  c  .......................................... ………………..……………..
Règles algébriques des signes :
Dans une expression littérale, où a et x désignent des nombres relatifs:
-
(  a )  x  x  (  a )   ax
-
(  a )  (  x)  a  x  ax
Exemples :
1- 1 x  ...................  ........................ ……………………………………….
2- ( 3)  x  ................... ……………………………………………………………….
3- (  x )  ( 3)  .......................................... …………………..………………..
B- Tester une égalité de deux expressions littérales:
Définition :
Deux expressions égales sont deux expressions qui ont la même valeur quelle que soit la
valeur de(s ) ( la ) variable(s).
Règles pour tester l’égalité de deux expressions:
- On calcule ou on simplifie séparément chaque expression.
- On compare les résultats ainsi obtenus.
11
Exemple:
-
3 x  5  4 x  1 Y a-t-il égalité pour x  3 ?
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
C- Réduction d’une expression littérale sans parenthèse:
Définition :
Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes « semblables » et
effectuer les calculs nécessaires.
Exemple:
A  3 x  5 x ²  4 x  3 x ²  4ax  1  ax  6
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
12
D- Simple distributivité:
Propriété: Soient a , b et k trois nombres.
On a : k ( a  b)  ka  kb et
k ( a  b)  ka  kb
Définitions :
- La nature d’une expression est le nom du résultat de la dernière opération à effectuer
selon la règle des opérations prioritaires.
- Développer une expression est la transformer pour l’écrire sous la forme d'une somme.
- Factoriser une expression est la transformer pour l’écrire sous la forme d'un produit.
Exemple 1:
L’expression A  3 x  4  2 x  3 est ……………………………………………………
L’expression A 
3
 3 x  5(2 x  3) est ………………………………………………….
4
L’expression A  (3 x  5)  4(2 x  3) est ………………………………………………..
L’expression A  4(3 x  5)(2 x  3) est …………………………………………………
L’expression A  3 x  5  4(2 x  3) est ………………………………………………….
Exemple 2: Développer A  3 x  5  4(2 x  3) et simplifier le résultat.
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
13
Exemple 3: Factoriser A  6 x  18
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
Remarque:
Développer revient à "supprimer les parenthèses", et factoriser est l’opération
« réciproque ».
E- Double distributivité:
Propriété : Soient a , b , c et d quatre nombres.
On a : ( a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd
Exemple :
Développer A  ( x  5)( x  3) et simplifier le résultat.
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
F- Réduction d’une expression littérale avec parenthèses:
Exemple:
A  7 x  3(1  2 x )  (8 x  7)
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………...
.………………………………………………………………………………………………………..
14
G- Les identités remarquables:
Propriété : Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels.
= 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(Première identité remarquable)
= 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(Deuxième identité remarquable)
𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
(Troisième identité remarquable)
𝒂+𝒃
𝒂−𝒃
𝟐
𝟐
Démonstrations :
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
15
Exemples :
Développer 𝐴 = 𝑥 + 3
2
, 𝐵 = 3𝑥 − 1
2
et
𝐶 = 2𝑥 + 3 2𝑥 − 3
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………...
Exercices : A faire dans le cahier d’exercices
7 – 8 – 9 – 10 – 15 – 17 – 18 (Page 75) + 27 – 29 – 30 – 31 – 32 (Page 76)
16
V- Démonstrations d’une égalité:
A- Transformations conservant une égalité:
Propriété:
Une égalité reste vraie si et seulement si l’on ajoute ou on soustrait ou on multiplie ou
divise par un même nombre (ou une même expression numérique ou littérale) chacun des
membres de cette égalité.
5x
1

1

x 8
Exemple: On considère l’égalité suivante
4
2
5x
1

1

1

x  8 1
- On peut ajouter 1 à chaque membre de cette égalité :
4
2
5x 1
 x9
Alors on obtient une égalité équivalente :
4
2
1
x à chaque membre de l’égalité précédente :
- On peut soustraire
2
5x 1
1
1
 x  x9 x
4
2
2
2
5x 1
3x

x

9
9
Alors on obtient une égalité équivalente :
soit
4
2
4
- On peut multiplier par 4 chaque membre de l’égalité précédente :
3x
 4  9  4
4
12 x
 36 soit 3 x  36
Alors on obtient une égalité équivalente :
4
3 x 36

- On peut diviser par 3 chaque membre de l’égalité précédente :
3
3
Alors on obtient une égalité équivalente : x  12
17
B- Méthodes :
Méthode 1: Partir d’une expression pour arriver à l’autre.
- On part d’une des deux expressions qui est modifiable par un ( des) calcul(s).
- On ne part pas obligatoirement de l’expression située à gauche.
Exemple: Voir la fiche module-8-1
Méthode 2: Séparer les deux expressions et montrer qu’elles sont égales à une
même troisième.
- Les deux expressions sont modifiables par un ( des) calcul(s).
- On peut les séparer et effectuer les calculs nécessaires de part et d’autres pour
obtenir une même troisième expression.
Exemple: Voir la fiche module-8-2
Méthode 3: Effectuer la différence entre les deux expressions et montrer que
cette différence est nulle.
- Les deux expressions ne sont pas modifiables par un ( des) calcul(s).
- On peut les soustraire l’une à l’autre afin d’aboutir à zéro.
- Ne pas oublier les parenthèses autour de l’expression soustraite si besoin.
Exemple: Voir la fiche module-8-3
Méthode 4: Lorsque les deux expressions sont de même signe, montrer que
leurs carrés sont égaux.
- Commencer par justifier le signe de chacune de ces deux expressions.
- Calculer séparement les carrés de cesdeux expressions en effectuant les calculs
nécessaires de part et d’autres pour obtenir une même troisième expression.
Exemple: Voir la fiche module-8-4
18
VI- Démonstrations d’une inégalité:
A- Transformations et sens d’une inégalité:
- Une inégalité reste vraie si et seulement si l’on ajoute ou on soustrait par un même
nombre (ou une même expression littérale) chacun des membres de cette inégalité.
- Une inégalité reste vraie si et seulement si l’on on multiplie ou divise par un même
nombre positif (ou une même expression littérale positive ) chacun des membres de cette
inégalité.
- Une inégalité change de sens si et seulement si l’on multiplie ou divise par un même
nombre négatif (ou une même expression littérale négative) chacun des membres de
cette inégalité.
Exemple: On considère l’inégalité suivante 
5x
1
1  x  8
4
2
- On peut ajouter 1 à chaque membre de cette inégalité : 
Alors on obtient une inégalité équivalente : 
5x
1
11  x  8 1
4
2
5x 1
 x9
4
2
1
x à chaque membre de l’inégalité précédente :
- On peut soustraire
2

5x 1
1
1
 x  x9 x
4
2
2
2
Alors on obtient une inégalité équivalente : 
5x 1
7x
 x  9 soit 
9
4
2
4
- On peut multiplier par 4 chaque membre de l’inégalité précédente : 
Alors on obtient une inégalité équivalente : 
7x
 4  9  4
4
28 x
 36 soit 7 x  36
4
7 x 36

- On peut diviser par 7 chaque membre de l’inégalité précédente :
7
7
Alors on obtient une inégalité équivalente : x  
19
36
7
B- Méthodes :
Méthode 1: Soustraire les deux expressions et déterminer le signe de leur
différence.
-
A  B  0 lorsque A  B .
A  B  0 lorsque A  B .
Exemple: Voir la fiche module-9-1
Méthode 2: Lorsque les deux expressions sont positives, comparer leur quotient
avec le nombre 1.
- Commencer par justifier les deux expressions sont positives.
-
A
 1 lorsque A  B .
B
A
 1 lorsque A  B .
B
Exemple: Voir la fiche module-9-2
Exercices : A faire dans le cahier d’exercices
86 – 89 (Page 29) + 107 (Page 84) + 108 – 110 – 111 – 112 – 113 (Page 85) + 114 –
115 – 116 – 117 – 118 – 119 – 120 (Page 86) + 122 + 123 + 124 – 125 – 126 – 127
(Page 87)
132 – 133 (Page 88) + 135 – 136 – 137 – 138 – 144 – 146 – 149 (Page 91)
20