Chapitre 2 :
Introduction au Codage Canal
Mostafa Belkasmi
2015-2016
ENSIAS
Plan
• Introduction
• Codage et décodage
• Capacité de détection et de correction d’un code
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Introduction
• Applications des Codes Correcteurs d’erreurs
photos Satellite
Réseaux radio mobile
Compact Disks
Modèle du système de
communication
K‘
source
Réduction
de donnée/
k
protection
de données
compression
n
Canal
K‘
Destination
Construction
du Message
k
décodeur
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Codage
• Remplacer un message de k bits d’information
par un unique mot de n bits, dit mot de code
message k bits
mot à n bits
• L’ensemble de tous les mots de code est appelé
un CODE
Paramètres d’un code
• Code C est dit en bloc si
Tous ses mots sont de même longueur.
• Si tous les mots d’un code C sont de longueur n
alors le code lui-même est dit de longueur n
• Les paramètres d’un code en bloc C(n,k)
• Taux de codage est défini par R=k/n
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Codage/Décodage: Code en bloc
C(n,k)
Code C
Mot de
Code
message
2k
Séquence
reçue
Canal
estimation
Décodeur
Code C
n
Il y a en totalité 2k mots de code de longueur n
Une vue d’ensemble
Espace Ambiant
2n vecteurs
2k mots de code
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Décodage
• Comparer la séquence reçue avec tous les mots de code possibles
mots de code
séquence
reçue
• Choisir le mot de code avec nb minimum de différences ( ‘Plus Probable’)
Exemple
• Mots de code : 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
• Reçu :
00011
• Différence : 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
10110 11101
• Meilleure supposition : 0 1 0 1 1
une seule différence
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Quelques problèmes se posent
• Mapping entre messages et mots de code
—génération des mots de code (assez différent les
uns les autres) Construction de codes
—Emmagasinage du code book (2k mots de code,
longueur n) Codage
• Décodage
—Comparer une séquence reçue avec tous les mots de
code
Définitions
• Distance de Hamming entre x et y est
dH := d(x, y) = nb de positions où xi yi
• La distance minimale d’un code C est
dmin = min { d(x, y) | x C, y C, x y}
• Poids de Hamming d‘un vecteur x est
- w(x) := d(x, 0 )= nb de positions où xi 0
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Exemple
• distance de Hamming
• Poids de Hamming
d( 1001, 0111) = 3
w(0110101) = 4
Hamming (Bell-lab,1950) les codes de Hamming.
Les paramètres d’un code en bloc
• Les paramètres d’un code en bloc C(n,k, dmin)
• dmin est calculée en comparant les mots de
code deux à deux (op. complexe)
• Exemple :
distance minimale de C(000 , 101, 011, 110) = 2
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Capacité de détection/Correction
d’un code
Un code avec une distance minimale dmin
(avec dmin 2 t + 1)
Alors ce code est capable :
- de corriger t erreurs
- ou de détecter 2t erreurs
Exemples : dmin=11 alors t=5
dmin=12 alors t=5 aussi
Illustration
A
B
2t+1 différences
t différences avec A
t différences avec B
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Codes Linéaires
Code binaire est dit linéaire ssi
· La somme modulo-2 composante à composante
de deux mots de code est aussi un mot de code.
Exemples : le code de parité et celui de Hamming
Codes Cycliques CRC (Rappel)
Soit a = (a0 a1,..., ak-1) k bits d’information
il peut être représenté par
A(X) = a0+a1X +...+ak-1 Xk-1
soit g(X) le polynôme générateur
g(X) = g0+g1X +...+gn-k Xn-k.
le mot de code (le polynôme) à transmettre est ( procédure de
codage) :
C(X) = [ Xn-k A(X) mod g(X) ] + Xn-k A(X)
Noter que C(X) mod g(X) 0, ainsi C(X) est un multiple de g(X).
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Procédure de détection
Supposons que nous recevons le polynôme R(X) = C(X) + E(X)
où
E(X) est un polynôme d’erreur binaire
i.e. un vecteur erreur ( 0,0,0,1,0) E(X) = X3
Le décodeur calcule S(X)=R(X) mod g(X)
- si S(X) = 0 ‘pas d‘erreur détectée’
- si S(X) <> 0, alors une erreur est détectée.
Le polynôme R(X) mod g(X) = 0 ssi E(X) est un multiple de g(X).
Codes cycliques- Correction
• Codes BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)
• Codes de Reed –Solomon
• Codes cycliques permettant de corriger au moins t
erreurs dans un bloc de n symboles.
• Les symboles sont dans un alphabet non binaire (un
corps finis GF(q))
• Algorithme de Berlekamp pour le décodage.
• Usage : CD, DVB-S2 (Digital Video Broadcasting),
Réseaux mobiles…
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Mise en œuvre des codes
• Codes détecteurs d’erreurs ARQ (Automatic
Repeat reQuest)
• Codes Correcteurs d’erreurs FEC ( Forward
Error Correction)
• Systèmes hybrides HARQ : Hybrid ARQ
Codes correcteurs
Codes linéaires
Codes en bloc
Codes cycliques
Codes à longueur
variable
Codes
convolutionnels
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Travaux d’actualité
• Turbo codes (Berrou et al, Brest)
• Décodage itératif : Belief Propagation, Message
Passing,…
• Codes LDPC ( Gallager,MIT, Mackay, UK)
• Turbo Product Codes ( Pyndiah, Brest)
• Fountain codes (DVB IPTV, 3GPP MBMS)
• Network Coding (Routage +Codage)
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