3e Chapitre 1 Systemes dequations

CHAPITRE 1
Systèmes d'équations
1. Définition et exemple
Définition. Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est un ensemble de deux ()S
équations de la forme :
() ()
'' '(
Sax by c
ax by c
+=
+=
R
S
T1
2)
où est le couple d'inconnues et t ntes appelées coefficients du xy,
bg a, b, c, a', b' e c' sont des consta
système et vérifiant les conditions bg et . Résoudre le système revient à ab,,
b
¹00
gg
ab', ' ,
bgb
¹00
trouver le ou les couples
(
)
,xy ∈×RR qui satisfont simultanément les deux équations (1) et (2).
Ces couples sont les solutions du système.
Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à deux inconnues :
() ()
()
S238 1
74 1 2
xy
xy
+=
-=-
R
S
T
Intéressons-nous d'abord aux solutions de l'équation (1). Le couple best une solution de cette
équation, car . Mais c'est loin d'être l'unique solution ! En effet il est facile de vérifier
que
1 2,g
2 1 3 2 8×+ × =
( , ), (24 , ), ( , ), ...--56 1
5
2 sont d'autres couples de solution de cette équation. En fait l'équation
(1) admet une infinité de solutions. La forme générale de ces solutions peut s'obtenir en calculant y
en fonction de x :
238382 82
3
xy y x y x +=Û=-Û=
-.
Les solutions de (1) sont donc les couples de la forme xx
,82
3
-
F I
K
J
H
G où x est un réel quelconque.
Par exemple : si
x
=-2 alors y=
-×-
==
82 2
3
12
34
() , d'où la solution bg
. -24,
De même, l'équation (2) admet une infinité de solutions. On trouve facilement que ce sont les
couples de la forme xx
,71
4
+
F
H
GI
K
J, où x est un réel quelconque. Par exemple : 12 2 35
15
4
, , , , , , ...
b gb g
-
bg
Remarquons que le couple b est à la fois solution de (1) et de (2). C'est donc une solution du
système . Le système admet-il d'autres solutions ? Les méthodes de résolutions exposées
ci-dessous vont prouver que best l'unique solution de .
1 2,
()S
1 2,
g
g
()S
()S
2. Méthodes de résolution
Reprenons le système de l'exemple précédent. ()S
a) Résolution par substitution (= remplacement)
On calcule y en fonction de x à l'aide de l'équation (1) :
238382 82
33xy y x y x
+=Û=-Û=
-()

On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) : On substitue l'équation (3) dans l'équation (2) :
74
82
313
21 4 8 2 3
21 32 8 3
29 29
14
xx
xx
xx
x
x
-
-
F
H
G
I
K
J=- ×
Û--=-
Û-+=-
Û=
Û=
/
()
bg
Finalement on substitue (4) dans (3) :
y=
-×
==
821
3
6
32
Le système admet donc une solution unique : . S=12,
bg
mr
b) Résolution par combinaison linéaire
Combinons d'abord les équations (1) et (2) pour éliminer y :
41
×() : 8 12 32
x
y
+= (1')
32
×( ) : 21 12 3
x
y
-=- (2')
(1') + (2') : 29 29 1
x
x
=Û=
Combinons maintenant les équations (1) et (2) pour éliminer x :
71
×( ) : 14 21 56
x
y
+= (1'')
-×22() : -+=14 8 2
x
y
(2'')
(1'') + (2'') : 29 58 2
y
y
=Û=
On retrouve que . S=12,
bg
mr
c) Méthode graphique
Si l'on rapporte le plan à un repère Oi j,,
r
r
ch
8 1
, les équations (1) et (2) sont en fait les équations
cartésiennes de deux droites, que nous notons d et d. Résoudre le système revient à
déterminer le point d'intersection de ces deux droites. Représentons graphiquement les deux droites.
1 2 S
bg
dx y
123:+= dx y 274:-=-
I12,
bg
dd I
12 12Ç= ,
bg
mr
d1
d2
x -3 1 5
y -5 2 9
x -2 1 4
y 4 2 0
1..22

3. Résolution générale par la méthode de Cramer
C'est le mathématicien suisse Gabriel Cramer (1704-1752) qui a introduit l'expression générale de la
solution d'un système linéaire de n équations à n inconnues. Voici sa méthode dans le cas . n=2
1.3
)
'
'
() ()
'' '(
Sax by c
ax by c
+=
+=
R
S
T1
2
· Eliminons d'abord y :
b'( )×1 : (1') ab x bb y cb''+=
-×b()2 : (2') -- =-abx bb y cb''
(1') + (2') : ab a b x cb c b'' ''-=-
bg
On peut en déduire l'expression de x, à condition que . Alors : ab a b''-¹0
xcb c b
ab a b
=
-
-
''
''
(1.1)
· Eliminons de la même façon x :
a'( )×1 : (1'') aa x a by a c'' '+=
-×a()2 : (2'') -- =-aa x ab y ac'' '
(1'') + (2'') : ' / ×- ab ab y ac ac'''-=-
bg 1 bg
ab a b y ac a c'' ''-=-
bg
Nous avons multiplié la dernière équation par –1 afin de faire précéder l'inconnue y du même
coefficient que x (cf. ligne (1') + (2')). Donc si ab , on a : a b''-¹0
yac a c
ab a b
=
-
-
''
''
(1.2)
Le système admet donc une solution uniq à condition que l'expression soit non
nulle. est appelé déterminant du système b, pour la simple raison que :
S
bg ue, D= -ab a b''
DSg
D= - =ab a b ab
ab
'' '' (1.3)
Remarquons maintenant que les numérateurs de x et de y peuvent aussi être écrits sous forme d'un
déterminant. En effet :
Dxcb c b cb
cb
=- ='' '' (1.4)
Et de même :
Dyac a c ac
ac
=- ='' '' (1.5)
Les déterminants DD sont appelés déterminants de Cramer. En résumé, si le déterminant
du système D est non nul, alors (S) admet la solution unique :
D,x et y
xy
cb
cb
ab
ab
ac
ac
ab
ab
xy
,''
''
,''
''
,
bg
=
F
H
G
G
G
G
I
K
J
J
J
J
=F
H
GI
K
J
D
D
D
D (1.6)

Règles mnémotechniques : Règles mnémotechniques :
· D est formé des colonnes H
G et H G des coefficients de x et de y du système (S). · D est formé des colonnes H G et H G des coefficients de x et de y du système (S).
a
a'
FI
K
J
a
a'
FI
K
Jb
b'
FI
K
J
b
b'
FI
K
J
· est obtenu en remplaçant dans D la colonne par la colonne . · est obtenu en remplaçant dans D la colonne par la colonne . Dx Dx
a
a'
F
H
GI
K
J
a
a'
F
H
GI
K
Jc
c'
F
H
GI
K
J
c
c'
F
H
GI
K
J
· est obtenu en remplaçant dans D la colonne par la colonne . · est obtenu en remplaçant dans D la colonne par la colonne . Dy Dy
b
b'
F
H
GI
K
J
b
b'
F
H
GI
K
Jc
c'
F
H
GI
K
J
c
c'
F
H
GI
K
J
Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1. Exemple. Reprenons notre système du paragraphe 1.
() ()
()
S238 1
74 1 2
xy
xy
+=
-=-
R
S
T
() ()
()
S238 1
74 1 2
xy
xy
+=
-=-
R
S
T
D
D
D
=
-
=- - =-
=
--
=- + =-
=
-
=- - =-
U
V
|
|
|
|
W
|
|
|
|
Þ=
-
-
==
-
-
=
23
74 821 29
83
14 32 3 29
28
71 256 58
29
29 158 29 2
x
y
xy et
S=12,
bg
mr
On peut se demander ce qui se passe lorsque le déterminant du système s'annule. Raisonnons
géométriquement : soient d et d' les deux droites d'équations cartésiennes respectives et
. Le système (S) admet une solution unique si et seulement si d et d' sont sécantes,
i.e. se coupent en un seul point. Pour cela il faut et il suffit que les deux vecteurs directeurs de d et
d' soient non colinéaires i.e. que leur déterminant soit non nul. Or :
ax by c+=
ax by c''+='
r
r
rr
ub
ad
ub
ad
uu bb
aa a b ab ab a b
-
F
H
G
I
K
J
-
F
H
GI
K
J
U
V
|
|
W
|
|
Þ=
--
=- + = - =
est un vecteur directeur de
est un vecteur directeur de ''
''
det , ' '
'''''
bg D!!
'
g
Donc : (S) admet une solution unique
Û¹
Û
Û¹
rr
rr
uu
uu
et sont non colinéaires
det
'
,'
bg0
0D
Si par contre c'est-à-dire , alors les deux droites d et d' sont parallèles. D=0det , '
rr
uu
bg
=0
· Si d et d' sont strictement parallèles alors (S) n'admet aucune solution : . S=Æ
· Si d et d' sont confondues () alors (S) admet une infinité de solutions ; ce sont
tous les couples vérifiant (1) ou (2) :
ddddÇ=='
xy,
b
(
)
{
}
()
{
}
,/
,/''
Sxy axbyc
xy ax by c
=∈×+=
=∈× +=
RR
RR '
1..44

Exemples.
§ Soit le système de deux équations à deux inconnues
() ()
()
S1
21 1
24 3 2
xy
xy
-=
-+ =
R
S
T
Le déterminant de ce système est nul : D=
-
-
=--×- =
12
24 422
bgbg0
.
Il faut alors trancher la question si le système ( ) admet une infinité de solutions ou aucune
solution. Multiplions la 2
S1
e équation par -1
2 : xy2-=-
3
2 (2'). Nous voyons alors que les deux
droites d'équations (1) et (2) sont strictement parallèles. Donc : . S=Æ
§ Soit le système de deux équations à deux inconnues
() ()
()
S23
2
34 2 1
21
xy
xy
-=
-+=-
R
S
T2
Le déterminant de ce système est nul : D=
-
-
=--×-=
34
264
3
2
3
2
bgbg0
.
Multiplions la 2e équation par –2 : 3 4 2
x
y
-= (2'). Nous voyons alors que les deux équations (1)
et (2) sont équivalentes, i.e. que les droites d'équations (1) et (2) sont confondues. Donc :
(
)
{
}
()
{}
()
{}
,/34
,/43
32
,/
4
32
,/
4
Sxy xy
xy y x
x
xy y
x
xx
=∈×−=
=∈×=−
−
=∈×=
−
=∈×
RR
RR
RR
RR R
2
2
∈
Le théorème suivant résume l'étude que nous venons de faire.
Théorème. Soit le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :
() ()
'' '(
Sax by c
ax by c
+=
+=
R
S
T1
2)
1. Si D¹ alors (S) admet une solution unique : 0Sxy =F
H
G
I
K
J
R
S
TU
V
W
D
D
D
D
,
2. Si D= alors (S) admet soit une infinité de solutions, soit aucune solution. 0
(a) Si les droites d'équations (1) et (2) sont strictement parallèles alors S=Æ
(b) Si les droites d'équations (1) et (2) sont confondues alors
(
)
{
}
2
,/y axbyc=∈ +=RSx
1.5