TS. probas corriges exos serie 1

CORRIGES DES EXERCICES
I
On lance simultanément deux dés, l’un vert et l’autre blanc.
1. Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit inférieure à 20 ?
La somme maximale est 12 (6+6). Il est certain que la somme est inférieure à 20. La
probabilité est donc égale à 1.
2. Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit égale à 1 ?
La somme minimale est 2 (1+1). Il est impossible que la somme soit égale à 1. La probabilité
est donc égale à 0.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre positif sur le dé vert ?
Il est certain d’obtenir un nombre positif. La probabilité est donc égale à 1.
4. Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 sur le dé rouge ?
Il n’y a pas de dé rouge. Il est donc impossible d’obtenir un 3 (ou autre chose) sur le dé rouge.
La probabilité est donc égale à 0.
J
Une cible est fabriquée en traçant des cercles concentriques de rayons 2, 4, 6, 8 et 10 cm. Elle est
donc constituée de cinq zones, un disque et quatre couronnes, numérotées de 1 à 5 à partir du
centre de la cible. On admet qu'un joueur atteint toujours cette cible et que la probabilité
d'atteindre une des cinq zones est proportionnelle à l'aire de cette zone. Calculer la probabilité
d'atteindre chacune de ces zones.
aire de la zone 1 : π.22 = 4π.
aire de la zone 2 : π.42 − π.22 = 12π.
2
2
aire de la zone 4 : π.82 − π.62 = 28π.
aire de la zone 3 : π.6 − π.4 = 20π.
2
2
aire de la zone 5 : π.10 − π.8 = 36π.
p
p
p
p
p
p1 + p2 + p3 + p4 + p5
1
proportionnalité : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 =
=
4π 12π 20π 28π 36π 4π + 12π + 20π + 28π + 36π 100π
(1 est la somme des probabilités et 100π la somme des aires des zones, c’est-à-dire l’aire de la
cible), d’où :
4
1
12
3
20 1
28
7
36
9
p1 =
=
,
p2 =
=
,
p3 =
= ,
p4 =
=
,
p5 =
= .
100 25
100 25
100 5
100 25
100 25
1)
Un club de vacances comprend 100 touristes. Un sondage donne le résultat suivant :
Homme Femme
Pratique un sport
48
12
Ne pratique pas un sport
16
24
On choisit un touriste au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? une femme ?
qu'il pratique un sport ? qu'il n'en pratique pas ? ou bien que ce soit un homme ou bien qu'il
pratique un sport ?
Désignons par S l’événement « le touriste pratique un sport » et H l’événement « le touriste est un
homme ».
(
)
a. H = ( H ∩ S ) ∪ H ∩ S . Ces deux événements sont évidemment disjoints. Par suite,
(
)
P( H ) = P ( H ∩ S ) + P H ∩ S =
(
) (
48 16
64
+
=
100 100 100
)
(
) (
)
12 24 36
+
=
100 100 100
48 12
60
c. S = ( S ∩ H ) ∪ S ∩ H . P(S ) = P ( S ∩ H ) + P S ∩ H =
+
=
100 100 100
40
d. P( S ) = 1 − P( S ) =
.
100
16 12
28
e. P H ∩ S + P H ∩ S =
+
=
100 100 100
b. De même, H = H ∩ S ∪ H ∩ S .
(
(
) (
PROBABILITES
P( H ) = P H ∩ S + P H ∩ S =
(
)
)
)
1
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
1!
Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le triple de la probabilité de
sortie du 1. Les numéros 1, 2, 3, 4 et 5 ont la même probabilité de sortie.
1. Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro.
1

 p1 = p2 = p3 = p4 = p5
 p1 = p2 = p3 = p4 = p5
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 =




8
⇔  p6 = 3 p1
⇔ 
 p6 = 3 p1
 p + p + p + p + p + p =1
 p + p + p + p + p + 3p =1
p = 3
2
3
4
5
6
1
1
1
1
 1
 1 1
 6 8
2. Calculer la probabilité de l'événement I : « obtenir une face impaire ».
1 1 1 3
L’événement « obtenir une face impaire » est {1 ; 3 ; 5}. P( I ) = + + = .
8 8 8 8
3. Calculer la probabilité de l'événement T : « obtenir une face multiple de 3 ».
1 3 4 1
L’événement « obtenir une face multiple de 3 » est {3 ; 6}. P(T ) = + = =
8 8 8 2
4. Calculer la probabilité de l'événement E : « obtenir une face impaire ou multiple de 3 ».
P( I ∪ T ) = P( I ) + P(T ) − P( I ∩ T ) . L’événement I ∩ T : « obtenir une face impaire et multiple
3 4 1 6 3
de 3 » est {3}. P( I ∪ T ) = + − = = .
8 8 8 8 4
1^
Une urne contient trois cartes bien particulières : la première a ses deux faces rouges, la deuxième
ses deux faces blanches et la troisième a une face blanche et une face rouge. On tire une carte au
hasard dans cette urne ; l'une des faces est rouge. Quelle est la probabilité que l'autre face soit
rouge ?
Le fait que l’une des faces soit rouge élimine une carte : celle dont les deux faces sont blanches. Il
reste donc deux cartes possibles. Sur ces deux cartes, il y a trois faces rouges. Deux d’entre elles
ont au dos une face rouge et une a une face blanche. La probabilité pour que l’autre face soit
2
rouge sachant que la première est rouge est donc .
3
1&
On lance deux fois un dé bien équilibré. Les événements A et B suivants sont-ils indépendants ?
1. A : 2 sort en premier. B : 3 sort en second.
1 6 1
6 1 1
Les lancers du dé sont indépendants l’un de l’autre. P( A) = × = , P( B ) = × = ,
6 6 6
6 6 6
1 1 1
P( A ∩ B ) = × =
= P( A) × P( B ) . Ces événements sont indépendants.
6 6 36
2. A : 6 sort en premier.
B : 6 sort deux fois.
1
1
1 1 1
1 1 1
P( A) = ×1 = , P( B ) = × =
, A∩B = B donc : P( A ∩ B ) = × =
≠ P( A) × P( B )
6
6
6 6 36
6 6 36
Ces événements ne sont pas indépendants.
3. A : 6 sort une fois.
B : 1 sort une fois.
Il faut tirer un 6 en premier et un autre numéro en second, ou bien un 6 en second et un autre
1 5 5 1 10 5
= , Même raisonnement pour le 1 :
numéro en premier : P( A) = × + × =
6 6 6 6 36 18
1 5 5 1 10 5
P( B ) = × + × =
= , Il faut tirer le 6 en premier et le 1 en second ou l’ordre
6 6 6 6 36 18
1 1 1 1 2 1
P( A ∩ B) = × + × = = ≠ P( A) × P(B) . Ces événements ne sont pas
inverse :
6 6 6 6 36 18
indépendants.
PROBABILITES
2
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
1*
Deux trains doivent arriver à la gare à la même heure. Sachant que le premier a la probabilité 0,9
de ne pas être en retard et le second la probabilité 0,8 de ne pas être en retard, quelle est la
probabilité pour qu'au moins un des trains ne soit pas en retard ? (On admet que les arrivées des
deux trains sont des événements indépendants.)
La probabilité pour que les deux trains soient en retard est (1 − 0,9)×(1 − 0,8) = 0,02.
L’événement « au moins un des trains n’est pas en retard » est le contraire de l’événement
précédent. Sa probabilité est 1 − 0,02 = 0,98.
2@
Monsieur X prend son parapluie en partant le matin avec une probabilité de :
1 s'il pleut ;
0,6 s'il y a des nuages ;
0,2 si le ciel est bleu.
Dans la ville où réside Monsieur X, le temps au petit jour, au cours du mois de janvier, suit la loi
suivante :
temps
pluie
nuages ciel bleu
probabilité
0,2
0,5
0,3
Calculer la probabilité que Monsieur X parte en emportant son parapluie le 17 janvier 2007.
Désignons par x l’événement «Monsieur X part en emportant son parapluie le 17 janvier 2007 ».
D’après le principe des probabilités totales,
P(X) = P(P)×PP(X) + P(M)×PM (X) + P(B)×PB(X) = 0,2×1 + 0,5×0,6 + 0,3×0,2 = 0,56
2#
Une urne contient 2 boules vertes et 3 bleues.
On tire successivement 2 boules sans remise.
Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte ? bleue ?
On peut réaliser un arbre :
Tout dépend de la couleur de la première
boule tirée :
• ou bien elle est verte,
• ou bien elle est bleue.
P(V2 ) = P(V1 ) × PV1 (V2 ) + P( B1 ) × PB1 (V2 )
2 1 3 2 2
P(V2 ) = × + × =
5 4 5 4 5
1/4
V2
2/5
3/4
B2
3/5
2/4
V2
V1
2 3
=
5 5
Autre manière : réutiliser le principe des
probabilités totales.
2 3 3 2 3
P( B2 ) = P(V1 ) × PV1 ( B2 ) + P( B1 ) × PB1 ( B2 ) = × + × =
5 4 5 4 5
P( B2 ) = 1 − P(V2 ) = 1 −
2$
B1
2/4
B2
Une dame nourrit son chat Gédéon à l'aide d'aliments en boîte. Chaque jour, elle choisit au hasard
l'une des trois variétés : volaille, bœuf, lapin.
• Si on lui sert de la volaille, Gédéon finit toujours sa gamelle.
• Si on lui sert du bœuf, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/2.
• Si on lui sert du lapin, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/3 seulement.
1. Quelle est la probabilité qu'un jour donné Gédéon finisse sa gamelle ?
1
1 1 1 1 11
P( F ) = P(V ) × PV ( F ) + P( B ) × PB ( F ) + P( L ) × PL ( F ) = × 1 + × + × =
3
3 2 3 3 18
2. On suppose que le choix des boîtes est indépendant d'un jour à l'autre. Quelle est la probabilité
que Gédéon ne termine pas sa gamelle deux jours de suite ?
7 7
49
Puisqu’il y a indépendance : P( F1 ∩ F2 ) = P( F1 ) × P( F2 ) = × =
18 18 324
PROBABILITES
3
P.G. 2007/2008
CORRIGES DES EXERCICES
2^
Voici un arbre probabiliste. Retourner l’arbre (rechercher les « probabilités des causes »).
B
A
0,8
0,3
B
B
0,4
A
B
On commence par compléter l’arbre (histoire de s’occuper) :
0,7
B
A
On calcule ensuite P(B) :
P(B) = P(A) × PA (B) + P(A) × PA (B)
P(B) = 0,8 × 0,7 + 0,2 × 0,4 = 0,64 =
64 16
=
100 25
0,8
0,3
B
0,2
0,4
B
0,6
B
A
36
9
=
On en déduit : P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0,64 = 0,36 =
100 25
PB (A) =
P(A ∩ B) 0,8 × 0,7 7
et
=
=
P(B)
0,64
8
PB (A) =
P(A ∩ B) 0,8 × 0,3 24 2
=
=
=
0,36
36 3
P(B)
d’où l’arbre inversé :
7/8
A
B
16/25
1/8
A
9/25
2/3
A
1/3
A
B
PROBABILITES
4
P.G. 2007/2008