electromagncfeild

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PCSI
MPSI
PTSI
|Électromagnétisme |
Raphaële Langet
Professeur en classes préparatoires
au lycée Janson-de-Sailly
Tous les exercices
© Nathan, classe prépa

Sommaire
1 Distributions de charges ...................................................................3
2 Champ électrostatique .....................................................................9
3 Circulation et potentiel électrostatique ......................17
4 Théorème de Gauss ............................................................................28
5 Champ électrostatique ...................................................................43
6 Mouvement des particules chargées
dans un champ et .................................................................57
7 Distributions de courants ..............................................................69
8 Champ magnétostatique ..............................................................73
9 Théorème d’Ampère .........................................................................85
10 Dipôle magnétique .............................................................................97
E B
© Nathan, classe prépa

1 – Distributions de charges
3
Tester ses connaissances ➤ Corrigés p. 6
1Parmi ces distributions, lesquelles ne présen-
tent pas de symétrie cylindrique ?
a. Cylindre d’axe de rayon de hau-
teur uniformément chargé en volume.
b. Cylindre d’axe de rayon infini,
uniformément chargé en surface.
c. Cône d’axe de sommet O, d’angle au
sommet uniformément chargé en volume.
d. Cylindre d’axe de rayon R, infini,
de densité de charges
2Soit un cube de centre O et d’arrête a, uni-
formément chargé en surface. Dans la liste
suivante, quelles sont les symétries du cube ?
a. Symétrie par rapport à tout plan passant
par O.
b. Symétrie par rapport à tout plan contenant
c. Symétrie par toute rotation autour de O.
d. Symétrie par une rotation d’angle
autour de
3Compléter cette phrase : la charge volumi-
que est une grandeur :
a. quantifiée.
b. mésoscopique.
c. discrète.
d. microscopique.
4La distribution surfacique
est à symétrie :
a. sphérique.
b. quelconque.
c. cylindrique.
Savoir appliquer le cours
➤ Corrigés p. 6
Donner les symétries des distributions de charges
suivantes :
1Fil infini, d’axe de densité linéique de
charge uniforme
2Cylindre infini, d’axe de rayon R, uni-
formément chargé en volume.
3Sphère de centre O, de rayon R, uniformé-
ment chargée en surface.
Avant la colle
◗
Oz(),R,
h,
Oz(),R,
Oz(),
α,
Oz(),
ρrR()ρ
0r
R
--- .
ln=
◗
Oz().
3π
2
------
Oz().
◗
ρM()
◗
σxyz,,()σx2y2 +(),=z∀
◗Oz(),
λ0.
◗Oz(),
◗
1 –
Distributions de charges
© Nathan, classe prépa

s’entraîner
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4
➤ Corrigé p. 6
Carré de quatre charges
Soient quatre charges réparties au sommet d’un
carré : :+q: −q
:−q:+q
Déterminer les plans de symétrie et d’antisymétrie
de cette distribution.
➤ Corrigé p. 6
Cercle chargé
On considère un cercle chargé, portant pour
une densité linéique de charges uniforme
et pour une densité linéique de char-
ges uniforme
Quelles sont les symétries de cette distribution ?
➤ Corrigé p. 6
Droite chargée
On considère une droite chargée.
Déterminer les invariances et symétries de la dis-
tribution de charges dans les cas suivants.
1. La densité linéique de charges est uniforme :
2. La densité linéique de charges est : si
et si
➤ Corrigé p. 7
Cube chargé
On considère un cube de centre O et de côté a,
chargé sur deux de ses faces opposées (en et
en avec des densités surfaciques de charges
uniformes, mais opposées (respectivement +σ et −σ).
Déterminer les symétries et invariances d’une telle
distribution.
➤ Corrigé p. 7
Distribution volumique
On considère la distribution volumique de charges
suivante :
1. Quelles sont les invariances et symétries d’une
telle distribution ?
2. Calculer la charge totale de la distribution.
➤ Corrigé p. 7
Modélisation d’une densité linéique
Un tube cylindrique à section circulaire de rayon a
est chargé uniformément avec la densité volumi-
que Le rayon a étant petit à l’échelle macrosco-
pique d’étude, on modélise le tube par un fil
portant une densité linéique
Exprimer en fonction de et a.
➤ Corrigé p. 7
Charge totale d’une distribution
surfacique
On considère une sphère de centre O et de rayon R
portant en sa surface une densité de charges
où
Calculer la charge totale portée par la distribution.
➤ Corrigé p. 7
Hélice chargée
On considère une hélice définie par les équations
suivantes :
avec variant de à
1✱5 min
A1, 0, 0()
B
0 1, 0–,()
D0, 1, 0() C1, 0, 0–()
2✱5 min
x0
+λ,x0
λ.–
O
y
x
z
+λ −λ
3✱5 min
Ox()
λλ
0.=
λ+λ0
=
x0λλ
0
–= x0.
4✱5 min
za
2
---
–=
za
2
---)=
5✱5 min
ρrθϕ,,()
ρ0r
a0
-----
0
=
si
si
ra
0
ra
0
6✱✱ 5 min
ρ.
λ.
λ ρ
7✱✱ 10 min
σσ
01θcos+(),=θOz,OP().=
8✱✱ 10 min
xRθ,cos=
yRθ,sin=zpθ
2π
------ ,–=
θ θmin θmax.
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1 – Distributions de charges
5
Cette hélice porte une densité linéique de charges
uniforme λ.
1. Donner les éléments de symétrie d’un cylindre
infini de même axe de même rayon R, et de
densité surfacique de charge uniforme.
2. L’hélice infinie et
possède-t-elle les mêmes invariances ?
3. Qu’en est-il de l’hélice finie ?
➤ Corrigé p. 8
Noyaux atomiques (d’après ENAC)
Du point de vue du potentiel et du champ électri-
que qu’ils créent, les noyaux de certains atomes
légers peuvent être modélisés par une distribution
volumique de charge à l’intérieur d’une sphère de
centre O et de rayon a. On désigne par le
vecteur position d’un point P quelconque de
l’espace.
Pour la charge volumique qui repré-
sente le noyau varie en fonction de r suivant la
loi :
où est une constante positive.
1. Donner les symétries de cette distribution de
charges.
2. Exprimer la charge totale Q du noyau.
Oz(),
(θmin ∞–→ θmax +∞)→
9✱✱ 10 min
rOP ,=
ra,ρP()
ρr() ρ
01r2
a2
-----– ,=
ρ0
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