Démonstration 03 Soit a un réel, • si a ³ 0 on a | a | = a , alors puisque a ³ 0 on a | a | ³ 0 • si a < 0 on a | a | = -a , alors puisque a < 0 on a -a > 0 Donc pour tout réel a, on a | a | ³ 0. donc | a | > 0 donc | a | ³ 0 Soit a un réel, on a | a | = a ou | a | = -a et on sait que | a | ³ 0. a et -a étant deux nombres de signes contraires, le plus grand des deux nombres est celui qui est positif. Donc | a | est le plus grand des deux nombres a et -a. (Si a = 0, a et -a sont égaux à 0 ainsi que | a | ) Soit a un réel On sait que a2 ³ 0 (un carré est toujours positif) donc | a2 | = a2 D'autre part, • si a ³ 0 on a | a | = a donc | a |2 = a2 • si a < 0 on a | a | = -a donc | a |2 = (-a)2 = a2 Dans tous les cas on a donc | a |2 = a2 . Soient a et b deux nombres réels • si a et b sont positifs, alors ab est positif, on a donc | a | = a ; | b | = b et | ab | = ab donc | ab | = ab et | a | x | b | = ab et alors | ab | = | a | x | b | • si a et b sont négatifs, alors ab est positif, on a donc | a | = -a ; | b | = -b et | ab | = ab donc | ab | = ab et | a | x | b | = (-a) x (-b) = ab et alors | ab | = | a | x | b | • si a est positif et b négatif, alors ab est négatif, on a donc | a | = a ; | b | = -b et | ab | = -ab donc | ab | = -ab et | a | x | b | = a x (-b) = -ab et alors | ab | = | a | x | b | • si a est négatif et b positif, alors ab est négatif, on a donc | a | = -a ; | b | = b et | ab | = -ab donc | ab | = -ab et | a | x | b | = (-a) x b = -ab et alors | ab | = | a | x | b | Dans tous les cas on a donc | ab | = | a | x | b | Soient a et b deux nombres réels D'après la propriété précédente | a + b |2 = (a + b)2 donc | a + b |2 = a2+ b2 + 2ab D'autre part (| a | + | b |)2 = | a |2 + | b |2 + 2 | a | x | b | = a2+ b2 + 2 | ab | On sait que | ab | est le plus grand des deux nombres ab et -ab, donc | ab | ³ ab On en déduit que a2+ b2 + 2 | ab | ³ a2+ b2 + 2ab c'est-à-dire que (| a | + | b |)2 ³ | a + b |2 La fonction carré étant croissante sur [0 ; +∞[ on a donc | a | + | b | ³ | a + b | et par conséquent | a + b | £ | a | + | b | NB : D'après la démonstration ci-dessus, on a l'égalité entre | a + b | et | a | + | b | lorsque | ab | = ab, c'està-dire lorsque ab est positif, c'est-à-dire lorsque a et b sont de même signe. Pour tous réels a et b on a | a | = a ou | a | = -a et | b | = b ou | b | = -b L'équation | a | = | b | est donc équivalente à a = b ou a = -b ou -a = b ou -a = -b on obtient donc | a | = | b | ⇔ a = b ou a = -b . Par définition, la racine carrée de a2 est le nombre réel positif donc le carré est égal à a2. Il y a deux nombres dont le carré est égal à a2, ce sont a et -a. Donc la racine carrée de a2 est soit a, soit -a. Comme la racine carrée de a2 est un nombre positif, c'est le plus grand des deux nombres a et -a, c'est-àdire la valeur absolue de a. On a donc a2 = | a | . http://xmaths.free.fr 1èreS − Fonctions − Démonstrations