Démonstration 03 - XMaths

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Démonstration 03
Soit a un réel,
• si a ³ 0 on a | a | = a , alors puisque a ³ 0 on a | a | ³ 0
• si a < 0 on a | a | = -a , alors puisque a < 0 on a -a > 0 donc | a | > 0 donc | a | ³ 0
Donc pour tout réel a, on a | a | ³ 0.
Soit a un réel, on a | a | = a ou | a | = -a et on sait que | a | ³ 0.
a et -a étant deux nombres de signes contraires, le plus grand des deux nombres est celui qui est positif.
Donc | a | est le plus grand des deux nombres a et -a.
(Si a = 0, a et -a sont égaux à 0 ainsi que | a | )
Soit a un réel
On sait que a
2
³ 0 (un carré est toujours positif) donc | a
2
| = a
2
D'autre part,
• si a ³ 0 on a | a | = a donc | a |
2
= a
2
• si a < 0 on a | a | = -a donc | a |
2
= (-a)
2
= a
2
Dans tous les cas on a donc | a |
2
= a
2
.
Soient a et b deux nombres réels
• si a et b sont positifs, alors ab est positif, on a donc | a | = a ; | b | = b et | ab | = ab
donc | ab | = ab et | a | x | b | = ab et alors | ab | = | a | x | b |
• si a et b sont négatifs, alors ab est positif, on a donc | a | = -a ; | b | = -b et | ab | = ab
donc | ab | = ab et | a | x | b | = (-a) x (-b) = ab et alors | ab | = | a | x | b |
• si a est positif et b négatif, alors ab est négatif, on a donc | a | = a ; | b | = -b et | ab | = -ab
donc | ab | = -ab et | a | x | b | = a x (-b) = -ab et alors | ab | = | a | x | b |
• si a est négatif et b positif, alors ab est négatif, on a donc | a | = -a ; | b | = b et | ab | = -ab
donc | ab | = -ab et | a | x | b | = (-a) x b = -ab et alors | ab | = | a | x | b |
Dans tous les cas on a donc | ab | = | a | x | b |
Soient a et b deux nombres réels
D'après la propriété précédente | a + b |
2
= (a + b)
2
donc | a + b |
2
= a
2
+ b
2
+ 2ab
D'autre part
(| a | + | b |)
2
= | a |
2
+ | b |
2
+ 2 | a | x | b | = a
2
+ b
2
+ 2 | ab |
On sait que | ab | est le plus grand des deux nombres ab et -ab, donc | ab | ³ ab
On en déduit que a
2
+ b
2
+ 2 | ab | ³ a
2
+ b
2
+ 2ab c'est-à-dire que (| a | + | b |)
2
³ | a + b |
2
La fonction carré étant croissante sur [0 ; +∞[ on a donc | a | + | b | ³ | a + b |
et par conséquent | a + b | £ | a | + | b |
NB : D'après la démonstration ci-dessus, on a l'égalité entre | a + b | et | a | + | b | lorsque | ab | = ab, c'est-
à-dire lorsque ab est positif, c'est-à-dire lorsque a et b sont de même signe.
Pour tous réels a et b on a
| a | = a ou | a | = -a et | b | = b ou | b | = -b
L'équation | a | = | b | est donc équivalente à
a = b ou a = -b ou -a = b ou -a = -b
on obtient donc | a | = | b | ⇔ a = b ou a = -b .
Par définition, la racine carrée de a
2
est le nombre réel positif donc le carré est égal à a
2
.
Il y a deux nombres dont le carré est égal à a
2
, ce sont a et -a.
Donc la racine carrée de a
2
est soit a, soit -a.
Comme la racine carrée de a
2
est un nombre positif, c'est le plus grand des deux nombres a et -a, c'est-à-
dire la valeur absolue de a.
On a donc a
2
= | a | .