Notions probabilites

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NOTIONSDEPROBABILITÉS
Sommaire
1.Expériencealéatoire................................................................................................................1
2.Espaceéchantillonnal..............................................................................................................2
3.Événement...............................................................................................................................2
4.Calculdesprobabilités.............................................................................................................3
4.1.Ensemblefondamental...................................................................................................3
4.2.Calculdelaprobabilité....................................................................................................3
4.3.Espaceéchantillonnalnonfonadamental.......................................................................4
5.Propriétésdesprobabilités.....................................................................................................5
6.Lesprobabilitésconditionnelles..............................................................................................7
7.Événementsindépendants......................................................................................................8
1. Expériencealéatoire
Uneexpériencealéatoireestunprocessusdanslequelintervientlehasardetquiest
susceptibledeproduiredifférentsrésultats;ellesecaractérisedequatrefaçons:
1. nousnepouvonsprédireaveccertitudelerésultat,
2. nouspouvonsdécrireàprioril'ensembledetouslesrésultatspossibles,
3. ellepeutêtrerépétée,
4. elleaunbutprécis.
Exemplesd'expériencesaléatoires
1. Lancerdeuxdésetobserverletotal
2. Tirerlenumérogagnantd'uneloterie
3. Jeterunepiècedemonnaiedeuxfoisetnoterlecôtéquiapparaît.

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2. Espaceéchantillonnal
L'espaceéchantillonnald'uneexpériencealéatoireestl'ensembledetouslesrésultats
possiblesdecetteexpérience,notéΩ
Exemples
Lesespaceséchantillonnauxassociésauxexpériencesaléatoiresprésentéesdans
l'exempleprécédentsontrespectivement:
1. 2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11,12
2.   1000, 1001, … , 9999
3.   ff, fp, pf, pp
3. Événement
Unévénementreliéàuneexpériencealéatoireestunsous‐ensembledel'espace
échantillonnalΩ.Onnotehabituellementlesévénementspar,,,...
Exemple
Soitl'expérienceconsistantàjeterunepiècedemonnaiedeuxfoisetdenoterlecôté
quiapparaît.Ainsi,l'espaceéchantillonnalest
ff, fp, pf, pp
Voiciquelquesexemplesd'événements:
"obtenirfaceaupremierlancer"=, ;
 "obtenirfaceaudeuxièmelancer",;
 "obtenirlemêmecôtélorsdesdeuxlancers",;
 "obtenirdescôtésdifférentslorsdesdeuxlancers",;
Àl'aidedesopérationssurlesensembles,nouspouvons,àpartird'unoudeplusieurs
événements,enformerdenouveaux.

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Exemple
Sietsontdeuxévénements,alors:
1. 
estl'événementquiseréalisesil'événementneseréalisepas.Onditque
estl'événementcomplémentairedel'événement.
2. ⋂estl'événementpourlequellesdeuxévénementsseréalisent(Si
⋂  ∅,onditqueetsontdesévénementsmutuellementexclusifs)
3. ⋃estl'événementpourlequelaumoinsundesévénementsouse
réalise.
4. ∖estl'événementpourlequelestréalisémaisnon.
4. Calculdesprobabilités
4.1. Ensemblefondamental
Unespaceéchantillonnalestditfondamentalsichacundesesrésultatspossèdeautant
dechancesquelesautresdeseréaliser.
Exemple
‐ Sionlanceundérégulieronaautantdechanced'observerun6quetouteautre
face.
‐ Siontireunepiècedemonnaie,lerésultatpileaautantdechancesdeseproduire
quelerésultatface.
4.2. Calculdelaprobabilité
Siunespaceéchantillonnalestfondamental,alorslaprobabilitéqu'unévénement
⊆seréalise,notée,estobtenuedelaformulesuivante:
#
#Ω éé ééΩ
Exemple
D'unjeude52cartesconventionnel,noustironsunecarteauhasard.
2 à A , 2 à A , 2 à A , 2 à A 
Soitl'événement "obtenirun".Alors,
#
#Ω 
 13 52  0.25

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4.3. Espaceéchantillonnalnonfonadamental
Unespaceéchantillonnalpourlequelaumoinsunélémentaplusoumoinsdechances
deseproduirequelesautresestditnonfondamental.
Exemple
Soitl'événement"lancerdeuxdésréguliersetenfairelasommedesrésultats".L'espace
échantillonnalestdécritparl'ensemble
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Lesélémentsdecetensemblenesontpaséquiprobables.Parexemple,ilyatrois
façonsdifférentesd'obtenirunesommede4:lancer1‐3,3‐1ouencore2‐2.Toutefois,
seulleroulé1‐1nousprocureralasommede2.Nousvouslaissonsvérifierqueles
façonsdifférentesd'obtenirunesommede7sontencoreplusnombreuses(ilyena6
entout).
Lorsqu'unespaceéchantillonnalestnonfondamental,laprobabilitéquel'événement
⊆seréalise,notée,estobtenuedelaformulesuivante:
#′
#′éà
Exemple
Uneurnecontenant10boulesdont3sontvertes,2sontrougeset5sontbleues
.Decetteurne,noustironsunebouleauhasard.L'espaceéchantillonnaldecette
expériencealéatoireest
   , , 
Lesélémentsn'ontcertespaslamêmeprobabilitédeseréaliser.
Soitl'événement "pigerunebouleverte".Laprobabilitéquecetévénementse
produiseest
  3 100.3
Or,soitl'événement"pigeruneboulerouge".Laprobabilitéquecetévénementse
produiseest

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  2 100.2
Quelquesoitletyped'espaceéchantillonnal,fondamentalounon,ilestpossible
d'effectuerdesopérationssurlesévénements(union,intersection,différence,
complément).Lasectionsuivantediscutedel'effetqu'ontcesopérationssurles
probabilités.
5. Propriétésdesprobabilités
Soientet,desévénementsquelconques.Alors,lespropriétéssuivantesdoiventêtre
satisfaites:
1. 0
1
2. Ω1
3. ̅1
4. ⋃
⋂
5.  ∖   ⋂
Nouspouvonsdéduireencombinantlespropriétés2et3quelaprobabilitéd'obtenir
l'ensemblevideestnulle:
∅ 1  Ω0.
Exemple
Unétudiantestimeà65%seschancesderéussirsoncoursdestatistiques,à80%ses
chancesderéussirsoncoursdefinanceetà50%sechancesderéussirlesdeux
matières.
Notonsl’événement"réussirenStatistiques",etl’événement"réussirenFinance".
Alors,nousreprésentonslaprobabilitéquecesévénementsseproduisentpar
 0,6
  0,8