Electromagnetisme et Ondes - Resumé de cours et problemes posés aux concours - Mohamed Lotfi (Proetudes.blogspot.com)

Tables des matières
Avant-propos
v
1 Résumé d’électromagnétisme
1
I
3
Electrostatique
1.
2.
3.
4.
II
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Magnétostatique
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
III
Champ et potentiel électrostatique . . .
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . .
Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . .
Conducteurs en équilibre électrostatique
17
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . .
Symétries et invariances . . . . . . . . .
Lignes de champ . . . . . . . . . . . . .
Equations locales de la magnétostatique
Relation de passage . . . . . . . . . . . .
Dipôle magnétique . . . . . . . . . . . .
Induction électromagnétique
Ondes électromagnétiques
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
1.
19
19
19
21
21
23
23
25
1. Forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
5
11
12
13
27
28
31
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiels vecteur et scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Structure d’une onde électromagnétique plane progressive . . . . . . . . . .
Onde électromagnétique plane progressive monochromatique (O.EM.P.P.M)
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réflexion sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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33
33
34
35
35
35
38
41
41
43
2. Moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Champ électromagnétique rayonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Exercices classiques d’électrostatique et de magnétostatique
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé . . . . . . . .
2. Champ crée par un disque en son axe . . . . . . . . . . . . . . .
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss . . . . . . .
4. Étude d’une distribution cylindrique de charge . . . . . . . . . .
5. Conducteur - Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique . . . . . . . . . . . .
43
43
43
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47
47
47
47
48
48
50
50
51
51
magnétostatique
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55
55
56
57
62
63
65
67
69
4 Pb : Haut parleur
1. Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
77
78
5 Corrigé : Haut parleur
1. Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
81
6 Pb : Roue de Barlow
1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
85
86
7 Corrigé : Roue de Barlow
1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
89
90
8 Pb : Moteur synchrone
1. Le solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Production d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Entraı̂nement de la pièce mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
95
96
97
3 Corrigé des exercices classiques d’électrostatique et
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé . .
2. Champ crée par un disque en son axe . . . . . . . . .
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss .
4. Étude d’une distribution cylindrique de charge . . . .
5. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique . . . . . .
M.Lotfi
ii
de
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9 Pb : Moteur asynchrone
1. Stator de la machine asynchrone : production d’un champ tournant
2. Entraı̂nement du rotor de la machine asynchrone . . . . . . . . . .
3. Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Puissance et rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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99
99
100
101
102
10 Pb : Propagation d’une onde mécanique
103
1. Propagation d’une onde dans une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Onde longitudinale dans un barreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide
107
12 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide
109
13 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans
1. Conductivité d’un métal . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Équations de Maxwell dans un métal . . . . . . . . . .
3. Effet de peau dans le métal . . . . . . . . . . . . . . .
un métal
113
. . . . . . . . . . . . 113
. . . . . . . . . . . . 114
. . . . . . . . . . . . 115
14 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans
1. Conductivité d’un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Équations de Maxwell dans un métal . . . . . . . . . . . . .
3. Effet de peau dans le métal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un
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. .
métal
117
. . . . . . . 117
. . . . . . . 119
. . . . . . . 120
15 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma
123
1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma
127
1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17 Pb : Effet Faraday dans un plasma
131
1. Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18 Corrigé : Effet Faraday dans un plasma
135
1. Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Annexe
141
A Opérateurs mathématiques
143
Opérateurs mathématiques
143
1. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées . . . . . . . 143
2. Formules des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
iii
M.Lotfi
AVANT-PROPOS
Le résumé de cours et les problèmes présentés dans ce livre sont le fruit de plusieurs
années d’enseignement dispensé aux étudiants du cycle de préparation à l’agrégation de
physique, aux étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et aux étudiants de la
licence à l’Ecole Normale Supérieure de Marrakech. Il s’agit d’un cours d’électromagnétisme
et d’ondes électromagnétiques. Notre souci au cours de la rédaction de cet ouvrage a été de
trouver un outil efficace pour aider les étudiants à bien préparer leurs concours, sachant que
lors de la préparation des concours on aura besoin seulement de l’essentiel du cours et des
problèmes bien choisis pour se mettre dans les conditions des concours.
L’ouvrage est formé d’un résumé de cours portant sur l’électrostatique, la magnétostatique,
l’induction électromagnétique et les ondes électromagnétiques. Il contient aussi des exercices classiques d’électrostatique et de magnétostatique, de neuf problèmes résolus tirés de
concours, ces problèmes traitent les connaissances nécessaires de l’électromagnétisme et des
ondes, et d’une annexe qui rassemble les opérateurs mathématiques utilisés dans différents
systèmes de coordonnées.
La première partie traite des exercices d’électrostatique et de magnétostatique concernant les distributions classiques de charges et de courant telles que : fil infini, spire, plan,
cylindre, sphère, solénoı̈de et dipôles.
Les problèmes qui traitent l’induction électromagnétique sont :
• Roue de Barlow : traite le phénomène d’induction pour le cas d’une roue qui peut jouer
le rôle d’un générateur ou récepteur;
• Moteur synchrone : traite le principe de production d’un champ tournant pour faire
tourner un aimant qui donnera un moteur synchrone;
• Moteur asynchrone : traite le principe de fonctionnement d’un moteur asynchrone pour
montrer sa différence avec le moteur synchrone;
• Haut parleur : traite le principe de fonctionnement d’un haut parleur électrodynamique.
Les problèmes qui traitent la propagation des ondes dans différents domaines sont :
• Propagation d’une onde mécanique : traite la propagation d’une onde dans une corde;
v
• Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide;
• Propagation d’une onde électromagnétique dans un métal;
• Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma;
• Effet Faraday dans un plasma : traite la propagation d’une onde électromagnétique
dans un plasma avec la présence d’un champ magnétique permanent.
Cet ouvrage s’adresse bien sûr aux étudiants du cycle de préparation à l’agrégation, aux
étudiants du premier cycle universitaire mais aussi à ceux des classes préparatoires et aux
étudiants préparant le concours d’entrée au CRMEF. Nous espérons qu’il leur sera une aide
précieuse dans leur effort de compréhension de cette branche de la physique.
M.Lotfi
vi
1
Résumé d’électromagnétisme
1
Part I
Electrostatique
3
Electrostatique
1.
1.1.
Résumé d’électrostatique
Champ et potentiel électrostatique
Loi de Coulomb
Soient q1 et q2 deux charges ponctuelles placées dans le vide (figure 1).
q2
→
−
ur
M
r
q1
P
Figure 1:
La force électrostatique exercée par q1 sur q2 est donnée par la loi de Coulomb :
→
−
f 1/2 =
−
avec →
ur =
1.2.
1 q1 q2 →
−
ur
2
4πε0 r
−−→
PM
PM
Champ électrostatique
1.2.1. Charge ponctuelle
Soit q une charge ponctuelle placée en un point P .
→
−
Si on place une autre charge q0 en un point M alors cette dernière va subir la force F de la
part de q telle que :
−−→ !
→
−
q
PM
F = q0
−
→ 3
4πε0 kP−Mk
→
−
On dit que q crée un champ électrostatique E au point M tel que :
→
−
E =
−−→
q
PM
q
1 →
−
=
ur
−
−
→
−
−
→
4πε0 kP Mk3
4πε0 kP Mk2
→
−
E s’exprime en V/m (Volt/mètre)
Donc la force électrostatique exercée sur q0 est donnée par :
→
−
→
−
F = q0 E
Remarque : Analogie électromécanique
Champ gravitationnel
→
−
→
−
ur
G = − Gm
r2
⇐⇒
⇐⇒
5
Champ électrostatique
q
→
−
ur
4πε0 r 2
M.Lotfi
Résumé d’électrostatique
Electrostatique
D’où les analogies :
La masse m
−G
⇐⇒
⇐⇒
La charge q
1
4πε0
1.2.2. Distribution discrète de charges
Le champ électrostatique crée par un ensemble de N charges ponctuelles en point Mest
donné par :
−−→
N
→
−
1 X
Pi M
E (M) =
qi −−→
4πε0 i=1 kPi M k3
1.2.3. Distribution volumique de charges
dq(P )
La densité volumique de charges en un point P est définie par ρ(P ) = dτ
.
(P )
dq(P ) est la charge contenue dans le volume élémentaire dτ (P ) entourant P (figure 2).
M
dτ
P
V
Figure 2:
Le champ électrostatique crée par une distribution volumique de charges en un point M
est donné par :
ZZZ
−−→
→
−
1
PM
E (M) =
ρ(P ) −−→ dτ (P )
4πε0
V
kP Mk3
1.2.4. Distribution surfacique de charges
dq(P )
La densité surfacique de charges en un point P est définie par σ(P ) = dS(P
.
)
dq(P ) est la charge contenue dans la surface élémentaire dS(P ) entourant P (figure 3).
Le champ électrostatique crée par une distribution surfacique de charges en un point M
est donné par :
ZZ
−−→
→
−
1
PM
E (M) =
σ(P ) −−→ dS(P )
4πε0 Σ
kP Mk3
1.2.5. Distribution linéique de charges
)
La densité linéique de charges en un point P est définie par λ(P ) = dq(P
.
dl(P )
dq(P ) est la charge portée par la longueur élémentaire dl(P ) centrée sur P (figure 4).
M.Lotfi
6
Electrostatique
Résumé d’électrostatique
M
ds
P
Σ
Figure 3:
M
dl
Γ
P
Figure 4:
Le champ électrostatique crée par une distribution linéique de charges en un point M est
donné par :
Z
−−→
→
−
1
PM
E (M) =
λ(P ) −−→ dl(P )
4πε0 Γ
kP Mk3
1.3.
Symétrie et invariance
1.3.1. Symétrie
Soit D une distribution de charge.
On dit que D présente un plan de symétrie Π si et seulement si :
• Π est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π on a
ρ(P ) = ρ(P ′ ) (ou σ(P ) = σ(P ′), λ(P ) = λ(P ′ ) ou q(P ) = q(P ′ ))
Le plan de symétrie de la distribution de charges est aussi un plan de symétrie pour le champ
électrostatique (figure 5).
D’où
→
−
→
−
M ′ = symΠ (M)
=⇒
E (M) = symΠ ( E (M ′ ))
D’où les résultats :
→
−
→
−
• E // (M) = E // (M ′ )
7
M.Lotfi
Résumé d’électrostatique
Electrostatique
→
−
E (M ′ ) →
−
E // (M ′ )
→
−
E (M)
→
−
E // (M)
→
−
M′
E ⊥ (M ′ )
P′
M
P
→
−
E ⊥ (M)
D
Π
Figure 5:
→
−
→
−
• E ⊥ (M) = − E ⊥ (M ′ )
• En un point M appartenant au plan de symétrie d’une distribution de charges le champ
électrostatique est contenu dans ce plan.
1.3.2. Antisymétrie
On dit que D présente un plan d’antisymétrie Π⋆ si et seulement si :
• Π⋆ est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π⋆ on a
ρ(P ) = −ρ(P ′ ) (ou σ(P ) = −σ(P ′ ), λ(P ) = −λ(P ′ ) ou q(P ) = −q(P ′ ))
Le plan d’antisymétrie de la distribution de charges est aussi un plan d’antisymétrie pour le
champ électrostatique (figure 6).
D’où
→
−
→
−
M ′ = symΠ⋆ (M)
=⇒
E (M) = −symΠ⋆ ( E (M ′ ))
→
−
E (M)
→
−
E // (M)
→
−
′
M ′ E ⊥ (M )
M
→
−
E // (M ′ )
→
−
E (M ′ )
P′
P
D
Π⋆
Figure 6:
D’où les résultats :
M.Lotfi
8
→
−
E ⊥ (M)
Electrostatique
Résumé d’électrostatique
→
−
→
−
• E // (M) = − E // (M ′ )
→
−
→
−
• E ⊥ (M) = E ⊥ (M ′ )
• En un point M appartenant au plan d’antisymétrie d’une distribution de charges le
champ électrostatique est perpendiculaire à ce plan.
1.3.3. Invariance
On dit qu’une distribution de charges est invariante par translation suivant ∆(u) si et seulement si toute translation selon ∆ (c.à.d ∀u) laisse invariante D.
→
−
Ce qui donne E indépendant de u.
D est invariante par rotation autour de ∆(α) si et seulement si toute rotation autour de ∆
(c.à.d ∀α) laisse invariante D.
→
−
Ce qui donne E indépendant de α.
Exemple :
• cylindre infini (ou de hauteur très grande devant le rayon) uniformément
chargé
Invariance par translation suivant Oz d’où E(r, θ, z) = E(r, θ)
Invariance par rotation selon θ d’où E(r, θ) = E(r)
• Sphère uniformément chargée
Invariance par rotation selon θ d’où E(r, θ, ϕ) = E(r, ϕ)
Invariance par rotation selon ϕ d’où E(r, ϕ) = E(r)
1.4.
Potentiel électrostatique
La circulation élémentaire du champ électrostatique est donnée par :
→
− −
δC = E .d(→
r)=
q 1→
q 1
−
−
−
e r . [dr →
e r + rd(→
e r )] =
dr
2
4πε0 r
4πε0 r 2
q 1
= −d
+ cte
4πε0 r
On définit le potentiel électrostatique crée par une charge q par :
V (M) =
q 1
4πε0 r
Cas d’une distribution discrète de N charges :
V (M) =
N
1 X qi
4πε0 i=1 Pi M
Cas d’une distribution volumique de charges :
ZZZ
ρ(P )
1
dτ (P )
V (M) =
4πε0
V PM
9
M.Lotfi
Résumé d’électrostatique
Electrostatique
Cas d’une distribution surfacique de charges :
ZZ
1
σ(P )
V (M) =
dS(P )
4πε0 Σ P M
Cas d’une distribution linéique de charges :
1
V (M) =
4πε0
Z
Γ
λ(P )
dl(P )
PM
Propriétés :
→
− −
→
• dV = − E .dM
−−→
→
−
→
−
• E = −grad V on dit que E dérive d’un potentiel V
→
−
• La circulation de E entre deux points A et B est :
Z B
→
− →
E .d−
r = V (A) − V (B)
A
• Pour un contour C fermé on a :
I
C
−
→ →
E .d−
r =0
→
−
On dit que E est à circulation conservative.
On exprime la conservation de la circulation du champ électrostatique sous la forme
locale en écrivant :
−
→
−
−
→→
rot E = 0
1.5.
Lignes de champ et surfaces équipotentielles
1.5.1. Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe
est tangent et orienté dans le même
Mathématiquement c’est l’ensemble
→
−
−−→
E (M) ∧ dOM = 0
−
→
telle que en chacun de ses points M le vecteur E (M)
→
−
sens que E (M).
des points M tels que :
→
−
−−→
ou
E (M) = a dOM (a = cte > 0)
On peut expliciter ces deux équations dans différents systèmes de coordonnées sous la forme
:
• Coordonnées cartésiennes :
dx
Ex
=
dy
Ey
=
dz
Ez
• Coordonnées cylindriques :
dr
Er
=
rdθ
Eθ
=
dz
Ez
• Coordonnées sphériques :
dr
Er
=
rdθ
Eθ
=
r sin θdϕ
Eϕ
Remarque :
→
−
En un point M ne passe qu’une seule ligne de champ sauf si E n’est pas défini en ce point
ou nul.
L’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé est appelé tube de champ
électrostatique.
M.Lotfi
10
Electrostatique
Résumé d’électrostatique
1.5.2. Surfaces équipotentielles
Une surface équipotentielle Σ est l’ensemble des points tels que le potentiel est constant.
Mathématiquement :
Σ = {M/V (M) = cte}
Propriété :
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles et sont orientées dans
le sens des potentiels décroissants.
2.
2.1.
Théorème de Gauss
Énoncé
→
−
Le flux du champ électrostatique E à travers une surface fermée Sf est égale au rapport
de la charge se trouvant à l’intérieur de Sf et ε0 .
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
→
−
−
Par convention d S = dS →
n (M) est orienté vers l’extérieur.
2.2.
Formulation locale du théorème de gauss
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
=
ε0
Sf
ZZZ
ρ
dτ
ε0
Or d’après la formule d’Ostrogradsky on a
ZZ
ZZZ
→
− →
−
→
−
E .d S =
div E dτ
Sf
avec V le volume
entouré
par Sf
RRR →
−
Alors V div E − ερ0 = 0
Ainsi
V
→
−
ρ
div E =
ε0
C’est la forme locale de l’équation de Gauss appelé aussi équation de Maxwell-Gauss.
2.3.
Équation de Poisson - Éequation de Laplace
−−→
→
−
→
−
On a div E = ερ0 et E = −grad V
−−→
Donc div(−grad V ) = ερ0
−−→
Or div(grad f ) = ∆f (∆f est le lapacien de f )
D’où l’équation de Poisson :
∆V +
ρ
=0
ε0
11
M.Lotfi
Résumé d’électrostatique
Electrostatique
En absence de charges (ρ = 0) V vérifie l’équation de Laplace :
∆V = 0
En régime stationnaire, la solution de l’équation de Poisson pour une distribution de
charges D finie et à condition de prendre V (∞) = 0 est :
1
V (M) =
4πε0
3.
3.1.
ZZZ
P ǫD
ρ(P )
dτ (P )
PM
Dipôle électrostatique
Définition
On appelle dipôle électrostatique le système constitué de deux charges ponctuelles
opposées −q et q situées en deux points N et P distants de a et tels que a = NP soit
très petite devant les autres distances envisagées (figure 7).
M
z
P
a
2
O
r
θ
a
2
N
Figure 7:
3.2.
Moment dipolaire
Le moment dipolaire d’une distribution de charges, telles que
:
→
−
p =
N
X
−−→
qi ON i
PN
i=1 qi
= 0, est défini par
i=1
Dans le cas d’un dipôle électrostatique le moment dipolaire est donné par :
−−→
→
−
p = q NP
Le moment dipolaire s’exprime en C.m (Coulomb. mètre).
M.Lotfi
12
Electrostatique
3.3.
Résumé d’électrostatique
Champ et potentiel crée par un dipôle électrostatique
Dans l’approximation dipolaire c’est-à-dire en un point M tel que OM = r ≫ a le
potentiel et le champ électrostatiques crées par un dipôle sont :
→
−
−
p .→
r
V (M) =
4πε0r 3
−
−
−
−
→
−
3 (→
p .→
r )→
r −→
p r2
E (M) =
4πε0 r 5
3.4.
Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle
z
lignes de champ
équipotentielles
axe du dipôle
→
−
p
zone du dipôle où
l’approximation dipolaire
n’est pas valable
(trop près du dipôle)
Figure 8:
4.
4.1.
Conducteurs en équilibre électrostatique
Définition
Un conducteur est un milieu ayant des charges libres à se déplacer. Par exemple dans
les conducteurs métalliques ces charges sont les électrons et dans les électrolytes ces charges
sont des ions.
Un conducteur est en équilibre électrostatique si les charges libres n’ont pas un mouvement
d’ensemble.
13
M.Lotfi
Résumé d’électrostatique
4.2.
Electrostatique
Propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique
4.2.1. Champ à l’intérieur du conducteur
Le champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique est nul :
→
−
→
−
E int = 0
4.2.2. Densité volumique de charge
La densité volumique des charges est nulle dans un conducteur en équilibre électrostatique :
ρ=0
S’il existent des charges en excès elles vont se répartir sur la surface du conducteur.
4.2.3. Potentiel électrostatique
Le potentiel électrostatique est uniforme sur tout le conducteur en équilibre électrostatique.
Vint = cte
On dit que le volume du conducteur est équipotentiel.
4.2.4. Théorème de Coulomb
Au voisinage immédiat d’un conducteur en équilibre électrostatique le champ électrostatique
est normal à la surface au point considéré et vaut :
→
−
σ−
E (M) = →
n (M)
ε0
Avec :
σ la densité surfacique de charges à la surface du conducteur;
→
−
n (M) la normale à la surface sortante du conducteur vers l’extérieur au point considéré.
4.3.
Théorème des éléments correspondants
Deux éléments C1 et C2 de deux conducteurs en équilibre électrostatique n’ayant pas le
même potentiel sont dits correspondants si toutes les lignes de champ partant de l’un arrivent
sur l’autre.
Théorème :
Les charges portées par deux éléments correspondants sont opposées.
Q1 = −Q2
4.4.
Condensateur
4.4.1. Définition
Un condensateur est l’ensemble de deux conducteurs en équilibre électrostatique en influence
électrostatique ”totale”1 .
Les deux conducteurs sont appelés les armatures du condensateur.
1
toutes les lignes de champ partant du conducteur 1 arrive sur le conducteur 2
M.Lotfi
14
Electrostatique
Résumé d’électrostatique
4.4.2. Capacité d’un condensateur
C’est sa capacité à emmagasiner les charges elle est définie par :
C=
Q1
V1 − V2
Avec :
Q1 : la charge portée par l’armature 1;
V1 : le potentiel de l’armature 1;
V2 : le potentiel de l’armature 2.
Pour calculer la capacité d’un condensateur on suit les étapes suivantes :
1. On calcule le champ électrostatique entre les armatures, en général en appliquant le
théorème de Gauss.
→
−
2. On calcule la circulation de E entre les armatures telle que :
Z 2
−
→
− →
V1 − V2 =
E .d l
1
3. On calcule la charge sur l’une des armatures.
4. On déduit C =
Q1
V1 −V2
4.4.3. Énergie emmagasinée dans un condensateur
L’énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur est donnée par :
Ee =
1 Q2
1
1
= Q1 (V1 − V2 ) = C (V1 − V2 )2
2 C
2
2
15
M.Lotfi
Part II
Magnétostatique
17
Magnétostatique
1.
Résumé de magnétostatique
Définition
On définit le champ magnétique par son action sur une particule de charge q animée
−
d’une vitesse →
v , cette action représente la force de Lorentz :
→
−
→
−
−
F = q→
v ∧B
D’après cette définition on peut déduire que le vecteur champ magnétique est un pseudovecteur, son sens dépend de l’orientation de l’espace. On dit aussi qu’il est axial.
2.
Loi de Biot et Savart
Pour une distribution linéique de courant le champ magnétique s’écrit :
→
−
µ0
B (M) =
4π
I
−−→
→
−
PM
Idl ∧ −−→
kP Mk3
Pour une distribution surfacique de courant le champ magnétique s’écrit :
ZZ
−−→
→
−
µ0 →
PM
−
B (M) =
j s (P ) ∧ −−→ dS(P )
4π
kP Mk3
Pour une distribution volumique de courant le champ magnétique s’écrit :
ZZZ
−−→
→
−
µ0
PM
→
−
B (M) =
j (P ) ∧ −−→ dτ (P )
4π
kP Mk3
On peut donner d’une manière générale la loi de Biot et Savart sous la forme :
ZZZ
−−→
→
−
→
−
µ0
PM
B (M) =
d C (P ) ∧ −−→
4π
kP Mk3
→
−
Avec d C l’élément de courant donné par :
→
−
→
−
• Dans le cas d’un distribution linéique de courant : d C = Idl
→
−
→
−
• Dans le cas d’une distribution surfacique de courant : d C = j s dS
→
−
→
−
• Dans le cas d’une distribution volumique de courant d C = j dτ
→
−
−
−
• Dans le cas d’une seule charge q ayant la vitesse →
v on a d C = q →
v
3.
3.1.
Symétries et invariances
Symétries
3.1.1. Plan de symétrie
Soit D une distribution de courant.
On dit que D présente un plan de symétrie Π si et seulement si :
19
M.Lotfi
Résumé de magnétostatique
Magnétostatique
• Π est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π on a
dI(P ) = symΠ dI(P ′ )
Le plan de symétrie de la distribution de courant est plan d’antisymétrie pour le champ
magnétique (figure 9).
D’où
→
−
→
−
M ′ = symΠ (M)
=⇒
B (M) = −symΠ ( B (M ′ ))
→
−
B (M)
→
−
B // (M)
M′
→
−
B ⊥ (M ′ )
M
P′
P
→
−
B ⊥ (M)
→
−
→
−
B // (M ′ ) B (M ′ )
D
Π
Figure 9:
D’où les résultats :
→
−
→
−
• B // (M) = − B // (M ′ )
→
−
→
−
• B ⊥ (M) = B ⊥ (M ′ )
• En un point M appartenant au plan de symétrie d’une distribution de courants le champ
magnétique est perpendiculaire à ce plan.
3.1.2. Plan d’antisymétrie
Soit D une distribution de courant.
On dit que D présente un plan de d’antisymétrie Π⋆ si et seulement si :
• Π⋆ est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π⋆ on a
dI(P ) = −symΠ⋆ dI(P ′)
Le plan de symétrie de la distribution de courant est plan de symétrie pour le champ
magnétique (figure 10).
D’où
→
−
→
−
=⇒
B (M) = −symΠ⋆ ( B (M ′ ))
M ′ = symΠ⋆ (M)
D’où les résultats :
→
−
→
−
• B // (M) = B // (M ′ )
M.Lotfi
20
Magnétostatique
Résumé de magnétostatique
→
−
B (M ′ ) →
−
B // (M ′ )
→
−
B (M)
→
−
B // (M)
→
−
M′
B ⊥ (M ′ )
P′
M
P
→
−
B ⊥ (M)
D
Π⋆
Figure 10:
→
−
→
−
• B ⊥ (M) = − B ⊥ (M ′ )
• En un point M appartenant au plan d’antisymétrie d’une distribution de courants le
champ magnétique est contenu dans ce plan.
3.2.
Invariance
→
−
Lorsqu’une distribution de courant est invariante par translation ou par rotation, B ne
dépend pas de la variable correspondante.
4.
Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe tangente au champ magnétique en chacun de ses
points et elle est orienté dans le même sens que le champ.
c’est l’ensemble des points M tels que
→
−
−−→ →
−
B (M) ∧ dOM = 0
On appelle tube de champ l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour
fermé.
5.
Equations locales de la magnétostatique
→
−
5.1. Flux de B
→
−
Le flux de B à travers une surface S est défini par
ZZ
→
− →
−
Φ=
B .d S
S
Pour une surface fermée Sf on a
ZZ
→
− →
−
B .d S = 0
Sf
→
−
On dit que B est à flux conservatif.
La conservation du flux s’exprime aussi d’une manière locale sous la forme :
→
−
div B = 0
21
M.Lotfi
Résumé de magnétostatique
5.2.
Magnétostatique
→
−
Circulation de B - Théorème d’Ampère
5.2.1. Définition
→
−
La circulation de B sur un contour entre C et D est défini par
Z
D
−
→
− →
B .d l
C
5.2.2. Théorème d’Ampère
→
−
La circulation de B le long d’un contour fermé C est égale au produit de µ0 et le courant
traversant une surface qui s’appuie sur C appelé courant enlacé.
I
−
→
− →
B .d l = µ0 Ienlacé
C
Remarque :
Pour calculer Ienlacé on oriente le contour C d’une manière arbitraire et à l’aide de la règle
de la main droite on détermine le sens positif des courant traversant une surface s’appuyant
sur C.
5.2.3. Théorème d’Ampère local
Le théorème d’Ampère sous sa forme locale s’écrit :
−
→
−
−
→→
rot B = µ0 j
→
−
5.3. Potentiel vecteur A
→
−
→
−
Le potentiel vecteur A est relié au champ B par
→
−
−
−
→→
B = rot A
5.4.
Équation de Poisson de la magnétostatique
→
−
→
−
→
−
∆ A + µ0 j = 0
La solution de l’équation de Poisson par analogie avec l’électrostatique s’écrit :
→
−
µ0
A (M) =
4π
ZZZ →
−
j (P )
dτ (P )
PM
→
−
Et d’une manière générale on peut définir le potentiel A par :
→
−
µ0
A (M) =
4π
M.Lotfi
ZZZ
22
D
→
−
d C (P )
PM
Magnétostatique
6.
Résumé de magnétostatique
Relation de passage
→
−
À la traversé d’une surface portant une distribution de courant surfacique j s on a
→
−
→
−
→
−
−
B 2 (M + ) − B 1 (M − ) = µ0 j s ∧ →
n 12
M + point se trouvant dans le milieu 2 au voisinage de M
M − point se trouvant dans le milieu 1 au voisinage de M
→
−
n 12 la normale à la surface au point M considéré orientée du milieu 1 au milieu 2.
7.
7.1.
Dipôle magnétique
Définition
On appelle dipôle magnétique une boucle de courant modélisée par une spire parcouru par
un courant I telle que la dimension de la sprie est négligeable devant les autres dimensions
considérées.
7.2.
Moment magnétique
Le moment magnétique d’un dipôle magnétique est défini par
−
→
→
−
M=IS
→
−
−
Avec S = S →
n le vecteur surface du dipôle. Remarque :
On peut définir d’une manière générale le moment magnétique d’une distribution de courant
→
−
d’élément de courant d C par
Z
−
→ 1
−→
→
−
M=
OP ∧ d C (P )
2 D
7.3.
Champ et potentiel crées par un dipôle magnétique
On se place ici dans l’approximation dipolaire pour laquelle on a
r≫R
axe du dipôle
M
r
R
I
Figure 11:
avec R le rayon du dipôle magnétique.
r la distance où se trouvant le point M où on calcule le champ et le potentiel (figure 11).
23
M.Lotfi
Résumé de magnétostatique
Magnétostatique
7.3.1. Potentiel vecteur
−
→ −
−
→ −
→
−
µ0 M ∧ →
r
µ0 M ∧ →
er
A (M) =
=
3
2
4π r
4π
r
7.3.2. Champ
−
→− →
−
→
−
→− →
−
→
→
−
µ0 3(M.→
r )−
r − r2M
µ0 3(M.→
e r )−
er−M
B (M) =
=
4π
r5
4π
r3
7.3.3. Lignes de Champ
Les lignes de champ d’un dipôle magnétique dans l’approximation dipolaire sont représentées
sur la figure (12).
z
axe du dipôle
−
→
M
zone du dipôle où
l’approximation dipolaire
n’est pas valable
(trop près du dipôle)
Figure 12:
M.Lotfi
24
Part III
Induction électromagnétique
25
Induction électromagnétique
1.
1.1.
Résumé d’induction
Forces de Laplace
Définition
Un circuit C filiforme parcouru par un courant i est placé dans une zone où règne un
→
−
champ magnétique B subit la force de Laplace :
→
−
FL=
I
C
→
− →
−
id l ∧ B
Dans la cas volumique la force de Laplace s’écrit :
→
−
FL=
I
C
1.2.
−
→
− →
j ∧ B dτ
Travail des forces de Laplace
1.2.1. Cas général
lors d’un déplacement élémentaire du circuit C le travail des forces de Laplace est :
δw = iδΦc
→
−
avec δΦc est le flux coupé : c’est le flux de B à travers la surface balayée par C pendant son
déplacement entre t et t + dt (figure 13).
Surface balayée par C
C à l’instant t
C à l’instant t + dt
Figure 13:
→
−
→
−
Dans le cas où B est permanent on a
1.2.2. Cas de B permanent
δw = idΦ
→
−
Avec Φ est le flux de B à travers une surface qui s’appuie sur C.
→
−
d Φ est la variation du flux du flux entre les instants t et t + dt.
27
M.Lotfi
Résumé d’induction
Induction électromagnétique
→
−
1.2.3. Cas de B permanent et I stationnaire
Wi→f = I (Φf − Φi )
c’est le théorème de Maxwell
→
−
W est indépendant du chemin suivi alors F L dérive d’une énergie potentielle
Ep = −IΦ + cte
d’où
−−→
−−→
→
−
F L = −gradEp = −I gradΦ
1.2.4. Règle du flux maximum
→
−
Dans une position d’équilibre stable du circuit C le flux de B , à travers une surface qui
→
−
s’appuie sur B , est maximum.
1.3.
Effet d’un champ magnétique sur un dipôle
1.3.1. Cas d’un champ uniforme
→
−
Dans le cas d’un d’un champ B e uniforme son effet sur le dipôle se réduit à un couple de
moment
→
−
−
→ →
−
Γ = M ∧ Be
−
→
→
−
Avec M = I S le moment dipolaire du dipôle.
1.3.2. Energie potentielle
→
−
L’énergie potentielle d’interaction d’un dipôle avec un champ B e s’écrit :
−
→→
−
Ep = −M. B
1.3.3. Cas d’un champ non uniforme
→
−
Dans le cas d’un dipôle placé dans un champ B e non uniforme la résultante appliquée par
→
−
Be
−−→ −
→
−
→→
− F = grad M. B e
2.
2.1.
Induction électromagnétique
Définition
On appelle Induction électromagnétique l’apparition d’un courant électrique ou d’une
force électromotrice dans uns circuit ne contenant pas de générateur.
Deux cas particuliers se présentent pour avoir de l’induction :
2.1.1. Induction de Lorentz
→
−
Circuit en mouvement dans un champ B permanent (indépendant du temps).
Pour calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit dans ce cas on peut utiliser
→
−
la circulation du champ électromoteur E m :
I
−
→
− →
E m . dl
e=
circuit
M.Lotfi
28
Induction électromagnétique
Résumé d’induction
→
−
→
−
→
−
→
−
∂A →
−
Em = −
+−
v ∧B =→
v ∧B
∂t
→
−
Car le champ magnétique est indépendant du temps est donc le potentiel vecteur A est aussi
indépendant du temps.
→
−
v est la vitesse du circuit dans le référentiel d’étude.
2.1.2. Induction de Neumann
Circuit fixe dans un champ magnétique variable variable.
Pour calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit dans ce cas on peut utiliser
→
−
la circulation du champ électromoteur E m :
I
−
→
− →
e=
E m . dl
circuit
→
−
→
−
→
−
→
−
∂A →
∂A
−
Em = −
+ v ∧B =−
∂t
∂t
→
−
−
Car le circuit est fixe donc →
v = 0
2.2.
Lois de l’induction
2.2.1. Loi de Faraday
On peut calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans un circuit dans le cas de Lorentz
ou de Neumann en utilisant la loi de Faraday :
e=−
dΦ
dt
→
−
Avec Φ le flux du champ magnétique B à travers une surface qui s’appuie sur le circuit.
2.2.2.
Loi de Lenz
Le courant induit qui apparaı̂t dans un circuit tend, par ses effets, à s’opposer à la cause qui
lui a donné naissance.
2.3.
Auto et mutuelle induction
2.3.1. Auto induction
→
−
Un courant i(t) dans un circuit C crée un champ magnétique propre B p qui aura pour flux
à travers une surface qui s’appuie sur le circuit :
ZZ
I
→
−
−
→
→
−
→
−
Φp = Bp (M).d S (M) =
A p (M).d l
C
et
→
−
µ0
A p (M) =
i
4π
Donc
Φp =
µ0
4π
−
I →
dl(P )
C PM
!
−
→
−
I I →
dl (P ) dl (M)
i
PM
C C
29
M.Lotfi
Résumé d’induction
Induction électromagnétique
Qu’on peut écrire sous la forme :
Φp = Li
avec
−
→
−
I I →
µ0
dl (P ) dl (M)
L=
4π C C
PM
est l’inductance propre du circuit a comme unité le Henry (H).
L est toujours positive, pour le cas d’un circuit rigide L = cte.
Donc la force électromotrice qui apparaı̂t par auto induction dans un circuit rigide est :
dΦp
di
ep = −
= −L
dt
dt
2.3.2. Mutuelle induction
Dans le cas de deux circuits placés l’un à côté de l’autre alors le courant du circuit 1 a un
flux à travers le circuit 2 et vice-versa.
Tel que :
Φ1→2 = M1−2 i1
et
Φ2→1 = M2−1 i2
avec
− →
−
I I →
µ0
dl 1 dl 2
M = M1−2 = M2−1 =
4π C1 C2 r12
est appelé coefficient d’inductance
mutuelle (M peut être positif ou négatif).
√
On montre que |M| < L1 L2
Dans le cas de deux circuits rigides et fixes l’un par rapport à l’autre M = cte.
La force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit 1 par exemple, circuit rigide fixe par
rapport au circuit 2, est donné par :
dΦp1
dΦ2→1
di1
di2
e1 = −
−
= −L1
−M
dt
dt
dt
dt
L’énergie emmagasinée dans les deux circuits est donnée par :
1
1
W = L1 i21 + L2 i22 + Mi1 i2
2
2
2.4.
Courants de Foucault
Un conducteur métallique volumique placé dans un champ magnétique variable ou mis
en mouvement dans un champ magnétique permanent est le siège de courants volumiques
qu’on appelle courants de Foucault.
Ces courants correspondent au mouvement des électrons libres dans des trajectoires fermées
→
−
→
−
à l’intérieur du conducteur tel que la loi d’Ohm microscopique est vérifiée : j = γ E
Remarque : Lors des résolutions des problèmes d’induction électromagnétique on fait une
étude électrique dans laquelle on calcule la force électromotrice e et une étude mécanique où
→
−
on aura besoin de la force de Laplace F L appliquée sur un circuit filiforme parcouru par
un courant i dans un champ magnétique :
I
→
− →
→
−
−
F L = i dl ∧ B
M.Lotfi
30
Part IV
Ondes électromagnétiques
31
Ondes électromagnétiques
1.
Résumé d’ondes électromagnétiques
Définitions
• On appelle onde tout phénomène physique décrit par une fonction S(M, t) qui dépend
des coordonnées d’espace et du temps.
• Une onde est dite plane si on peut trouver un système de coordonnées cartésiennes
tel que S(M, t) dépend d’une seule coordonnée cartésienne et du temps.
• Une surface d’onde est l’ensemble de points M défini à un instant t par
{M/S(M, t) = cte}
Pour une onde plane les surfaces d’onde sont des plans.
• Une onde plane progressive (O.P.P) est onde plane qui se propage dans un sens bien
déterminé.
2.
Équations de Maxwell
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide, en présence de charges et de
courants, sont les quatres équations de Maxwell :
→
−
ρ
Maxwell-Gauss : div E =
ε0
→
−
Maxwell-flux : div B = 0
;
→
−
−
∂B
−
→→
Maxwell-Faraday : rot E = −
∂t
→
−!
→
−
∂
E
→
−
−
→
Maxwell-Ampère : rot B = µ0 j + ε0
∂t
;
Avec :
• ρ est la densité volumique de charge : ρ =
dq
dτ
P
→
−
→
−
−
• j la densité volumique de courant : j = k ρk →
vk
−
ρk est la densité de charges mobiles de type k qui ont une vitesse →
vk
À ces équations de Maxwell s’ajoute la force de Lorentz :
→
→
−
− →
→
−
−
FL=q E + v ∧ B
La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduit de ces
équations :
∂ρ
→
−
+ div j = 0
∂t
33
M.Lotfi
Résumé d’ondes électromagnétiques
3.
3.1.
Ondes électromagnétiques
Potentiels vecteur et scalaire
Définition
→
−
les potentiels vecteur A et scalaire V Sont reliés au champ électromagnétique par
→
−
−−→
→
−
∂A
E = −grad V −
∂t
→
−
−
−
→→
B = rot A
→
−
A et V ne sont pas uniques d’où on ajoute une condition de jauge, la jauge de Lorentz
est :
→
−
1 ∂V
div A + 2
=0
c ∂t
3.2.
Equations de Poisson
On peut montrer, à l’aide des équations de Maxwell et la jauge de Lorentz, les
équations de Poisson :
→
−
→
−
1 ∂2 A
→
−
△ A − 2 2 = −µ0 j
c ∂t
△V −
1 ∂2V
ρ
=−
2
2
c ∂t
ε0
Les solutions des équations de Poisson donnent la définitions des potentiels retardés
crées par une distribution finie D en un point M à un instant t :
ZZZ
ρ P, t − P cM
1
V (M, t) =
dτ (P )
4πε0
PM
P ∈D
→
−
µ0
A (M, t) =
4π
−
ZZZ →
j P, t −
PM
P ∈D
où
PM
c
3.3.
PM
c
dτ (P )
est le temps de retard dû à la propagation de l’onde pour aller du point P au point M.
A.R.Q.P
L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaire ou Quasi-Permanent (A.R.Q.S ou
A.R.Q.P) consiste à négliger le temps de retard P cM devant un temps caractéristique de
→
−
l’évolution de ρ(P, t) et j (P, t) par exemple devant la période. Ce qui nous permet d’écrire
:
ZZZ
1
ρ (P, t)
V (M, t) =
dτ (P )
4πǫ0
PM
P ∈D
→
−
µ0
A (M, t) =
4π
ZZZ →
−
j (P, t)
dτ (P )
PM
P ∈D
M.Lotfi
34
Ondes électromagnétiques
4.
Résumé d’ondes électromagnétiques
Équations de propagation
→
−
On les établit, par exemple dans la cas de E , en calculant
− −−→
→
−
→
−
−
→ −
→→
rot rot( E ) = grad(div E ) − ∆ E
et en utilisant les équations de Maxwell :
M. G
→
− →
−
∇. E =
ρ
ε0
;
M. Φ
→
− →
−
∇. B = 0
−
→
−
→
→
− →
−
→
− →
−
→
−
M. F
∇ ∧ E = − ∂∂tB
;
M. A
∇ ∧ B = µ0 j + c12 ∂∂tE
q
avec : c = µ01ε0 ≃ 3.108 m.s−1 la célérité de l’onde électromagnétique dans le vide.
Dans le cas du vide les équations de propagation s’écrivent :
→
−
→
−
→
−
1 ∂2 E
→
−
1 ∂2 B
→
−
→
−
∆E − 2 2 = 0
et
∆B − 2 2 = 0
c ∂ t
c ∂ t
Les solutions de ces équations s’écrivent dans le cas d’une onde plane se propageant selon
z:
S(M, t) = f+ (z − ct) + f− (z + ct)
S = Ex , Ey , Ez , Bx , By ou Bz
avec
• f+ (z − ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z croissants avec la célérité c
• f− (z + ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z décroissants avec la célérité
c
5.
Structure d’une onde électromagnétique plane progressive
−
Considérons une O.P.P qui se propage selon une direction →
u.
On peut montrer à l’aide des équations de Maxwell que :
→
− −
→
−
• E ⊥→
u on dit que E est transverse
→
− −
→
−
• B ⊥→
u on dit que B est transverse
→
→
−
−
→ −
• B = u ∧c E
6.
6.1.
Onde électromagnétique plane progressive monochromatique (O.EM.P.P.M)
Définitions
C’est une onde qui s’écrit sous la forme :
→
− −−→
S(M, t) = S0 cos ωt − k .OM + ϕ0
Avec
35
M.Lotfi
Résumé d’ondes électromagnétiques
Ondes électromagnétiques
• S0 l’amplitude de l’onde
• ω sa pulsation
→
−
−
−
• k = k→
u le vecteur d’onde, →
u vecteur unitaire de la direction de propagation
• ϕ0 la phase à l’origine des temps et de l’espace.
•
k
2π
=
1
λ
: nombre d’onde
• λ la longueur d’onde
L’onde s’écrit en notation complexe :
→
− −−→
S(M, t) = S 0 exp i ωt − k .OM
6.2.
Relation de dispersion
C’est la relation entre k et ω on l’établit en injectant l’onde dans l’équation de propagation
tel qu’on a
→
−
→
−
∇ ≡ −i k
et
∂
≡ iω
∂t
d’où
→
−
∆ = ∇ 2 ≡ −k 2
et
∂2
≡ −ω 2
∂t2
Dans le cas du vide pour une onde se propageant dans le sens des z croissants on a : k = ωc
Remarque :
→
−
dans le cas général le vecteur d’onde k peut être complexe.
→
−
La partie réelle de k est le terme responsable de la propagation, la partie imaginaire est le
terme responsable de l’atténuation.
→
−
Dans le cas où k est imaginaire pur on n’a pas de propagation.
6.3.
Vitesse de phase
On définit un plan de phase par les points M, à un instant donné t, tel que la phase
→
− −−→
Φ(M, t) = ωt − k .OM + ϕ0 = cte
La vitesse de phase est la vitesse des plans de phase définie par
vϕ =
ω
Re(k)
Un milieu est dit non dispersif si sa vitesse de phase est indépendante de ω.
M.Lotfi
36
Ondes électromagnétiques
6.4.
Résumé d’ondes électromagnétiques
Vitesse de groupe
L’O.EM.P.P.M n’a pas d’existence physique car elle est illimité dans le temps et dans
l’espace. D’où pour décrire une onde réelle on utilise la notion de paquet d’ondes qui est la
somme de plusieurs O.EM.P.P.M.
La vitesse de groupe est la vitesse de l’enveloppe du paquet d’ondes formant l’onde réelle
considérée, elle est donnée par
dω
vg =
dRe(k)
6.5.
Énergétique
6.5.1. Énergie électromagnétique
La densité volumique d’énergie électromagnétique est définie par :
→
− 2
→
− 2
1 1 uem = ε0 Re( E ) +
Re( B )
2
2µ0
La valeur moyenne de uem peut être donnée par
→
→
− →
− − →
− − 2
−
1
1
1 →
1 →
< uem >= ε0 Re E . E ⋆ +
Re B . B ⋆ = ε0 E +
B
4
4µ0
4
4µ0
2
L’énergie électromagnétique contenue dans un volume V est
ZZZ
Wem =
uem dτ
V
6.5.2. Énergie cédée
La puissance volumique cédée à un milieu est définie par
−
→
− →
Pvcédée = j . E
L’énergie cédée à un volume V pendant une durée dt est :
ZZZ
−
→
− →
Wcédée =
j . E dτ dt
V
6.5.3. Énergie rayonnée
Vecteur de Poynting
→
−
→
−
Re( E ) ∧ Re( B )
→
−
π =
µ0
Le vecteur de Poynting moyen peut être donné par
→
1
− →
− −
<→
π >=
Re E ∧ B ⋆
2µ0
La puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface S fermée est :
ZZ
→
−
→
−
Prayonnée =
π . dS
S
37
M.Lotfi
Résumé d’ondes électromagnétiques
Ondes électromagnétiques
L’énergie électromagnétique rayonnée à travers une surface S fermée entre t et t + dt est
:
Wrayonnée =
ZZ
S
→
−
→
−
π . d S dt
6.5.4. Équation de conservation de l’énergie
À l’aide d’un bilan énergétique ou à l’aide des équations de Maxwell on peut montrer
l’équation de conservation de l’énergie
− − →
−
∂uem →
− →
+ ∇.→
π + j .E = 0
∂t
7.
7.1.
Polarisation
Définition
Une onde électromagnétique est dite polarisée si et seulement si le point A défini par
−−→ →
−
MA = E (M, t) décrit une courbe invariante.
7.2.
États de polarisation d’une OEMPPM
Soit une OEMPPM se propageant dans le vide, dans le sens des z croissants tel que son
champ électrique s’écrit :
Ex = E0x cos(ωt − kz + ϕx )
→
−
E Ey = E0y cos(ωt − kz + ϕy )
Ez = 0
où E0x > 0
où E0y > 0
Soit :
ϕ = ϕy − ϕx
On cherche la relation entre Ex et Ey qui donne en général une équation d’une ellipse. Pour
−−→
→
−−→
→
− d−
A
E
déterminer le sens de parcours de l’ellipse on calcule MA ∧ dM
=
E
∧
et à partir du
dt
dt
−
→
résultat on peut déduire le sens de ddtE qui donne le sens de parcours de la courbe. On regarde
la partie supérieure de la courbe (ellipse ou cercle) et on regarde si le sens de parcours va
vers la main droite c’est une polarisation droite si vers la main gauche c’est une polarisation gauche. On résume sur la figure 14 les différents états de polarisation selon la valeur de ϕ.
• 0 < ϕ < π : polarisation elliptique droite
• −π < ϕ < 0 : polarisation elliptique gauche
• ϕ=
π
2
et E0x = E0y : polarisation circulaire droite
• ϕ = − π2 et E0x = E0y : polarisation circulaire gauche
• ϕ = 0 : polarisation rectiligne type I
• ϕ = π : polarisation rectiligne type II
M.Lotfi
38
Ondes électromagnétiques
Résumé d’ondes électromagnétiques
y
E0y=E0x
E0x x
y
E0y
y
ϕ = π2
Polarisation circulaire droite
E0y
E0x x
π
2
E0x x
0<ϕ<
<ϕ<π
π
2
Polarisation elliptique droite
Polarisation elliptique droite
y
y
E0y
E0y
E0x x
E0x x
ϕ=π
Polarisation rectiligne type II
ϕ=0
Polarisation rectiligne type I
y
y
E0y
E0y
E0x x
y
E0x x
E0y=E0x
−π < ϕ < − π2
Polarisation elliptique gauche
E0x
− π2 < ϕ < 0
Polarisation elliptique gauche
x
ϕ = − π2
Polarisation circulaire gauche
Figure 14:
7.3.
Loi de Malus
Polariseur : On appelle polariseur un dispositif permettant d’obtenir une onde
électromagnétique polarisée rectilignement.
Analyseur : est un polariseur permettant d’identifier une onde électromagnétique polarisée rectilignement.
Loi de Malus :
I = I0 cos2 α
Avec :
39
M.Lotfi
Résumé d’ondes électromagnétiques
Ondes électromagnétiques
I intensité de l’onde après l’analyseur.
I0 intensité de l’onde entre le polariseur et l’analyseur.
α l’angle entre l’index du polariseur et celui de l’analyseur.
M.Lotfi
40
Ondes électromagnétiques
Résumé : Réflexion d’une OEMPPM sur un conducteur parfait
–Réflexion d’une OEMPPM sur un
conducteur parfait–
1.
Conducteur parfait
Un conducteur parfait est caractérisé par une conductivité électrique infinie, donc on a :
• épaisseur de peau δ = 0
→
−
→
−
→
−
→
−
• champ à l’intérieur du conducteur parfait : E (M, t) = 0 et B (M, t) = 0
→
−
→
−
• Courant volumique à l’intérieur du condcuteur parfait : j (M, t) = 0
2.
Réflexion sous incidence normale
Soit une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant dans
le vide dans le sens des z croissants, et arrivant, sous incidence normale, sur la surface plane
d’un conducteur parfait telle que son champ électromagnétique est donné par :
→
−
→
−
E i = E 0i exp i(ωt − ki z)
avec ki =
2.1.
−
→
−e ∧ →
→
−
E 0i
z
Bi =
exp i(ωt − kz)
c
et
ω
c
Existence de l’onde réflechie
L’onde incidente met les électrons de la surface du conducteur en mouvement d’oscillation,
→
− →
−
ce qui donne naissance à une onde réfléchie ( E r , B r ) de pulsation ωr = ωi = ω par
rayonnement (voir rayonnement dipolaire) se propageant dans le vide dans le sens des z
décroissants,
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
k r ∧ E 0r
E r = E 0r exp i(ωt − kr z)
et
Br =
exp i(ωt − kr z)
ω
→
−
→
−
−
Avec k r = − ωc →
ez =−ki
à l’aide des relations de passage à la surface du conducteur parfait on montre :
→
−
→
−
E 0r = − E 0i
d’où
2.2.
→
−
→
−
E r = − E 0i exp i(ωt + kz)
et
→
−
→
−
B r = B 0i exp i(ωt + kz)
Densité surfacique de courant sur la surface du métal parfait
La relation de passage du champ magnétique à la surface du conducteur parfait donne
l’expression du vecteur densité surfasique du courant électrique induit à la surface du
conducteur parfait :
2 →
−
→
−
js=
E 0i exp iωt
µ0 c
41
M.Lotfi
Résumé : Réflexion d’une OEMPPM sur un conducteur parfait
2.3.
Ondes électromagnétiques
Superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie
Le champ électromagnétique résultant de l’onde inicidente et de l’onde réflechie est donné
par :
→
−
→
−
→
−
→
−
E = E i + E r = −2i E 0i sin(kz) exp iωt
→
−
→
−
→
−
→
−
B = B i + B r = 2 B 0i cos(kz) exp iωt
et
En notation réelle on a
→
−
→
−
E = 2 E 0i sin(kz) sin ωt
et
→
−
→
−
B = 2 B 0i cos(kz) cos ωt
L’onde résultante est une onde électromagnétique plane stationnaire qui vibre ”surplace”
avec la pulsation ω mais elle ne se propage pas.
2.4.
Aspect énergétique
La moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique est
2
< uem >= ε0 E0i
Le vecteur de Poynting moyen s’écrit
→
−
−
<→
π >= 0
C’est une propriété des ondes statoinnaires où il n’y a pas de propagation d’énergie en
moyenne.
2.5.
Pression de radiation à basse fréquence
On s’interesse au cas des basses fréquences ω ≪ 1014 rad.s-1
L’onde incidente lorsqu’elle arrive sur un métal réel, elle applique sur lui une pression de
radiation d’expression en ”basse” fréquence :
→
−
|d2 F |
B 2 (0, t)
Pr =
=
dS
2µ0
M.Lotfi
42
Ondes électromagnétiques
Résumé : Rayonnement dipolaire
–Rayonnement dipolaire électrique–
1.
Dipôle de Hertz
On appelle dipôle de Hertz ou dipôle oscillant l’ensemble de deux charges −q et +q telle
que la charge −q est fixe et la charge +q est en mouvement rectiligne sinusoı̈dal avec
z = z0 cos ωt
2.
Moment dipolaire
→
−
−
p = p0 cos ωt→
ez
En notation complexe
3.
avec
p0 = qz0
→
−
−
p (t) = p0 eiωt →
ez
Cadre d’étude
On se place dans ce cours dans les deux approximations :
• Approximation dipolaire :
r = OM ≫ z0
→
− →
−
avec M le point où on veut calculer le champ électromagnétique ( E , B ), à l’instant t.
• Approximation non relativiste :
vmax ≪ c
⇒
z0 ≪ λ
avec λ longueur d’onde émise par le dipôle.
4.
Champ électromagnétique rayonné
La mémorisation des résultats qui suivent n’est pas exigible. Cependant, on doit connaı̂tre
les étapes qui conduisent à ces résultats.
4.1.
Potentiel vecteur
Par définition du potentiel retardé crée par une charge en mouvement on a
−
v t − P cM
→
−
µ0 q →
A (M, t) =
4π
PM
ce qui donne
avec k =
2π
λ
→
−
µ0
exp(−ikr) →
−e
A (M, t) = iω p(t)
z
4π
r
le module du vecteur d’onde.
43
M.Lotfi
Résumé : Rayonnement dipolaire
4.2.
Ondes électromagnétiques
Potentiel scalaire
En utilisant la jauge de Lorentz :
→
−
1 ∂V
div A + 2
=0
c ∂t
On trouve
V (M, t) =
4.3.
1
1 + ikr
p(t)
exp(−ikr) cos θ
4πε0
r
Champ électrique
Pour trouver le champ électrique en utilise la relation qui le relie au potentiels vecteur
et scalaire :
→
−
−−→
→
−
∂ A (M, t)
E (M, t) = −grad V (M, t) −
∂t
On trouve
2p(t)
Er =
(1 + ikr) cos θ exp(−ikr)
4πε0 r 3
→
−
p(t)
E =
Eθ =
(1 + ikr − k 2 r 2 ) sin θ exp(−ikr)
3
4πε0 r
Eϕ = 0
Remarque :
Pour trouver les résultats du dipôle électrostatique on remplace ω = 0 et k = 0
4.4.
Champ magnétique
À partir de la relation
On trouve
4.5.
→
−
→
−
B (M, t) = rot A (M, t)
iωp(t) 1 + ikr
→
−
−
B (M, t) =
exp(−ikr) sin θ→
eϕ
4πε0 c2 r 2
Champ électromagnétique dans la zone de rayonnement
On appelle zone de rayonnement ou approximation des champs lointains la zonne où on
a
Dans cette zone on a
et
r≫λ
k 2 p(t) sin θ
→
−
−
E (M, t) = −
exp(−ikr)→
eθ
4πε0 r
k 2 p(t) sin θ
→
−
−e
B (M, t) = −
exp(−ikr)→
ϕ
4πε0cr
On vérifie que
→
− →
−
→
−
k ∧E
B =
ω
On a l’onde a la structure d’une onde plane, on dit qu’elle est quasi-plane ou localement
plane.
M.Lotfi
44
Ondes électromagnétiques
4.6.
Résumé : Rayonnement dipolaire
Aspect énergétique
La puissance moyenne rayonnée dans l’espace qui est le flux du vecteur de Poyting à
travers une sphère de rayon r est
p20 ω 4
Pmoy =
12πε0 c3
Diagramme de rayonnement : C’est la représentation de
fixé.
45
→
|<−
π >|
−
→
|< π >max |
en fonction de θ à r
M.Lotfi
2
Exercices classiques d’électrostatique
et de magnétostatique
1.
Champ électrostatique créé par un segment chargé
On considère un segment chargé AB de densité linéique homogène λ de longueur 2a et
de milieu O.
1.1. Déterminer le champ électrostatique en un point M de l’axe de symétrie Ox. On pose
OM = x.
1.2.
2.
En déduire en ce point M le champ créé par un fil ” infini ”.
Champ crée par un disque en son axe
Soit un disque de centre O de rayon R uniformément chargé en surface avec une densité
σ.
2.1.
Déterminer le champ électrostatique crée par le disque en un point M de l’axe Oz.
2.2.
En déduire le champ électrostatique crée par un plan infini.
3.
Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss
En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrostatique en tout point de l’espace
dans les cas suivants :
• Cylindre infini uniformément chargé en surface.
• Sphère uniformément chargée en surface.
• Sphère uniformément chargée en volume.
• Plan infini uniformément chargé.
47
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
• fil infini uniformément chargé.
4.
Étude d’une distribution cylindrique de charge
On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en
volume avec une densité volumique ρ > 0.
4.1.
Quelle est la direction du champ électrostatique en tout point M de l’espace?
4.2. Montrer que la valeur du champ électrostatique ne dépend que de la distance r entre
M et l’axe du cylindre.
4.3. En utilisant le théorème de Gauss et en précisant la surface utilisée, calculer le champ
dans les deux cas :
• r>R
• r<R
On donnera E en fonction de r.
4.4. Calculer le potentiel électrostatique à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre. On impose
la condition V = 0 pour r = 0.
4.5. La densité volumique de charge ρ du cylindre n’est plus uniforme mais à symétrie
cylindrique (ρ est une fonction de r).
On donne ρ = ρ0 (r/R) pour r < R avec ρ0 une constante.
Déterminer le champ électrostatique dans le cas où r < R.
5.
5.1.
Conducteur - Condensateur
Relations générales
5.1.1. Énoncer le théorème de Gauss sous sa forme intégrale (phrase et formulation).
5.1.2. Qu’est ce qu’un conducteur électrique donner deux exemples de conducteurs.
5.1.3. Donner la définition d’un conducteur en équilibre électrostatique.
5.1.4. Énoncer le théorème de Coulomb.
5.2.
Conducteur sphérique
On considère un conducteur sphérique (C1 ) de rayon R1 . Ce conducteur présente une
charge Q1 > 0, il est en équilibre électrostatique placé dans le vide et est suffisamment
éloigné de toute autre distribution de charges pour que l’on puisse négliger toute influence.
−
−
→
On pourra utiliser les coordonnées sphériques habituelles (r, θ, ϕ) et on notera (→
e r, →
e θ, −
e ϕ)
la base locale de ces coordonnées.
M.Lotfi
48
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
5.2.1. Décrire comment les charges électriques de ce conducteur, en équilibre électrostatique,
vont elles se répartir. Justifier clairement la réponse.
5.2.2. En analysant les symétries et les invariances de la distribution de charges déduire
d’une part les composantes non nulles du champ électrique et d’autre part les coordonnées
→
−
d’espace dont dépend E .
5.2.3. Établir l’expression du champ électrique en tout point M de l’espace. Représenter
→
−
graphiquement le module | E | en fonction des coordonnées d’espace.
5.2.4. Quelle est la valeur du champ électrique en r = R1− et en r = R1+ . Quel résultat
retrouve-t-on ainsi ?
5.2.5. Trouver l’expression du potentiel V crée par le conducteur C1 en tout point de l’espace
sachant que le conducteur (C1 ) est porté au potentiel V0 .
5.2.6. Définir une équipotentielle et donner l’équation des équipotentielles pour le conducteur
(C1 ) et tracer l’allure de deux équipotentielles V11 et V12 telles que V11 > V12 ( on n’oubliera
pas de mettre V11 et V12 sur le schéma).
5.3.
Condensateur sphérique
On suppose maintenant que le conducteur (C1 ) est entouré d’un autre conducteur (C2 )
de rayon intérieur R2 , de rayon extérieur R2ext et de même centre O (figure 12) .
R2ext
R2
C1
C2
Figure 1: Conducteurs sphérique en équilibre électrostatique.
On rappelle que le conducteur (C1 ) est porté au potentiel constant V0 > 0. On note Q1
la charge totale de (C1 ) et Q2 la charge totale de (C2 ). Un milieu isolant assimilable au vide
sépare (C1 ) de (C2 ).
On note :
• Qext
2 la charge à la surface extérieure de (C2 );
• Qint
2 la charge à la surface intérieure de (C2 );
ext
• Q2 = Qint
2 + Q2 .
5.3.1. Donner la définition d’un condensateur.
49
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
5.3.2. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer la relation entre Q1 et Qint
2 .
5.3.3. En utilisant l’expression du champ électrostatique calculée à la question 5.2.3.déduire
la différence de potentielle des deux conducteurs en fonction de Q1 , R1 , R2 et ε0 .
5.3.4. Rappeler la définition de la capacité C d’un condensateur.
5.3.5. Déduire l’expression de la capacité C du condensateur sphérique de la figure 12.
On rappelle que la densité volumique ωe d’énergie électrostatique dans le vide et dans les
conducteurs est définie par ωe = 12 ε0 E 2 . On suppose désormais que Qext
2 = 0.
5.3.6. Déterminer l’expression de ωe en tout point de l’espace. En déduire l’énergie
électrostatique We du condensateur cylindrique.
5.3.7. En utilisant l’expression de l’énergie électrostatique retrouver l’expression de la
capacité C du condensateur.
5.3.8. Que devient l’expression de C si les rayons des armatures sont tels que R2 = R1 + δR
avec δR ≪ R1 ? Conclure.
6.
Fil infini
Soit un fil infini parcouru par un courant I.
6.1. Calculer, en appliquant la loi de Biot et Savart, le champ magnétique crée en un
point M à une distance r du fil.
6.2.
Calculer le champ magnétique en M en appliquant le théorème d’Ampère.
6.3.
Donner la topographie des lignes de champ.
6.4.
Calculer le champ magnétique crée lorsque l’épaisseur du fil est non négligeable.
7.
Spire circulaire
7.1. Calculer le champ magnétique crée par une spire, parcourue par un courant I, en un
point M de son axe.
7.2.
Donner la topographie des lignes de champ.
7.3. Déduire le champ crée par les bobines d’Helmholtz.
Il s’agit de deux spires identiques parallèles parcourues par un même courant circulant dans
le même sens, ces deux spires étant éloignées l’une de l’autre d’une distance d figure 2.
On cherche le champ en un point M de l’axe des deux spires. On fixe l’origine sur l’axe à
égale distance des deux spires.
M.Lotfi
50
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
d
I
I
α2
R
α1
O
M
2
1
Figure 2:
8.
Solénoı̈de
Soit un solénoı̈de formé de N spires identiques, de même axe Oz, parcourues par un
même courant I, dans le même sens. Le solénoı̈de est de longueur L.
8.1.
Calculer le champ magnétique crée par le solénoı̈de en un point M de son axe.
8.2.
Déduire le champ magnétique crée par un solénoı̈de infini.
8.3.
Calculer le champ magnétique crée par le solénoı̈de infini en tout point de l’espace.
9.
9.1.
Dipôle électrostatique - dipôle magnétique
Dipôle électrostatique
9.1.1. Doublet électrostatique - Moment électrique p d’un dipôle
On considère un ensemble de N charges ponctuelles qi situées aux points Si dans un volume
fini V , telles que
N
X
qi = 0
i=1
On désigne par
→
−
p =
N
X
−→
qi OS i
i=1
le moment dipolaire de cette distribution, supposé non nul, O étant un point fixe appartenant
à V .
9.1.1.a. Vérifier que l’expression du moment dipolaire de cette distribution est indépendante
du choix de l’origine O.
9.1.1.b. En déduire le moment dipolaire d’un doublet formé de deux charges ponctuelles
(−q) en N et (+q) en P avec (q > 0).
9.1.2. Potentiel scalaire électrostatique V (M )
Les charges ponctuelles (−q) et (+q) d’un doublet sont placées respectivement aux points
51
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
N(0, 0, − a2 ) et P (0, 0, + a2 ) du repère (Oxyz) (figure 12).
−
−
−
Soit M un point de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ). (→
e r, →
e θ, →
e ϕ ) sont les vecteurs de base
du système de coordonnées sphériques.
−−→
−
On pose r1 = NM, r2 = P M, r = OM et →
r = OM.
M(r, θ, ϕ)
z
r2
P
a
2
O
+q
r
θ
r1
a
2
N
−q
Figure 3:
9.1.2.a. Exprimer le potentiel électrostatique V (M) créé par le doublet, au point M, en
fonction de q, r1 et r2 .
9.1.2.b. Établir son expression Vd (M), pour un point M éloigné du doublet r ≫ a, en
−
−
fonction de r, →
r et →
p.
9.1.3. Champ électrostatique
−−→
−−→ − →
−
→
et gradM (→
p .−
r ) s’expriment en fonction de r, →
r ou −
p.
→
−
9.1.3.b. Déduire du potentiel Vd (M) du dipôle, le champ électrostatique E (M) sous la
forme :
→
−
−
−
→
−
1
k 1 (−
p .→
r )→
r − r2→
p
E (M) =
4πε0
r5
9.1.3.a. Montrer que gradM
1
r3
où k1 est un facteur numérique que l’on calculera.
→
−
9.1.3.c. Déterminer les composantes (Er , Eθ , Eϕ ) du champ E (M) en coordonnées
sphériques.
−
→
− →
9.1.3.d. La direction du champ en M est repérée par l’angle β = ( e r , E (M)). Quelle est
alors la relation entre les angles β et θ ?
9.1.3.e. Calculer, dans le plan (yOz) limité au domaine θ ǫ 0,
→
−
à un champ E (M) parallèle à l’axe Oy.
π
2
l’angle θ1 correspondant
9.1.4. Équipotentielles et lignes de champ
9.1.4.a. Qu’appelle-t-on surfaces équipotentielles ? Donner leur équation en coordonnées
polaires pour ce dipôle.
9.1.4.b. Qu’appelle-t-on lignes de champ ? Donner leur équation en coordonnées polaires.
9.1.4.c. Tracer, dans le plan (yOz) limité au domaine θ ǫ 0,
équipotentielles (V1 > 0 et V2 > V1 ) et de deux lignes de champ.
M.Lotfi
52
π
2
, l’allure de deux lignes
Électromagnétisme
9.1.5.
Électrostatique - magnétostatique
Action d’un champ électrique extérieur uniforme Ee
→
−
On applique dans l’espace un champ extérieur E e .
→
−
→
−
→
−
9.1.5.a. Exprimer en fonction de p et de E e , la force résultante F et le moment du
→
−
couple Γ s’exerçant sur le dipôle.
9.1.5.b. Rappeler la definition de l’énergie potentielle électrostatique U d’une charge
ponctuelle q.
9.1.5.c. Déduire l’énergie potentielle électrostatique d’un dipôle.
9.1.6. Étudier l’équilibre et la stabilité du dipôle dans un champ électrostatique. Déduire sur
l’effet d’un champ électrostatique uniforme sur un dipôle.
9.2.
Le dipôle magnétique
9.2.1. Spire circulaire de courant - Moment magnétique m de la spire
On considère une spire plane circulaire, d’axe Oz, de rayon R parcourue par un courant
stationnaire d’intensité I. On posera : z = OMa (figure 4 ).
z
Ma M(r, θ, ϕ)
r
θ
O
y
C
ϕ
x
Figure 4:
→
−
9.2.1.a. Donner l’expression du moment magnétique m de cette spire en fonction de R, I
−
et →
e Z.
9.2.1.b. Déterminer, à l’aide de la loi de Biot et Savart, l’expression du champ
→
−
magnétique B (Ma ), créé par cette spire, en un point Ma (z) de son axe de révolution.
→
−
→
−
9.2.1.c. En déduire le champ magnétique B (O) au centre O de la spire et B (z) en un
point Ma (z) de l’axe Oz tel que z ≫ R.
→
−
9.2.2. Potentiel vecteur magnétique A (M)
→
−
9.2.2.a. Donner l’expression du potentiel vecteur A (M), créé par la spire de courant, de
−
moment magnétique →
m, en un point M(r, θ, ϕ) éloigné à la distance r = OM ≫ R de la
−−→ −
spire. (On l’explicitera en fonction de OM, OM et →
m).
53
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
9.2.2.b. En déduire les composantes (Ar , Aθ , Aϕ ) du potentiel vecteur en coordonnées
sphériques.
→
−
B (M)
−−→
−−→
1
OM
9.2.3.a. Montrer que gradM OM
= k2 OM
3 où k2 est un facteur numérique que l’on
déterminera.
−
−→ −
→
→
−−→ −
m
m
9.2.3.b. Expliciter : divM OM
, rotM ( OM
en fonction de OM, OM, →
m et expliciter
−
→
m
∆M OM
sachant que :
→
−
→
−
→
− −−→
div(f G ) = f div( G ) + G .grad(f )
−−→
−
−
→
−
−→ →
−→ →
rot(f G ) = f rot( G ) + grad(f ) ∧ G
1
∆M OM
=0
9.2.3. Champ magnétique
9.2.3.c. Établir l’expression du champ magnétique au point M sous la forme :
→
−
µ0 −−→
B (M) = − gradM
4π
!
−−→
→
−
m.OM
OM 3
"
9.2.3.d. En déduire les composantes (Br , Bθ , Bϕ ) du champ en coordonnées sphériques.
→
−
B
−
→ e
→
−
Un dipôle magnétique, de moment magnétique M est placé dans le champ magnétique B e
produit par la spire de courant précédente.
−
→
→
−
9.2.4.a. Formuler, en fonction de M et B e , l’énergie potentielle d’interaction Ep et la
−−→
→
−
→
−
force F = −grad Ep subie par le dipôle sous l’action du champ B e .
−
→
→
−
9.2.4.b. Le dipôle de moment magnétique M = −M e z , est placé au point Ma sur l’axe
→
−
Oz de la spire à une distance OMa = z. Exprimer la force F (z) subie par le dipôle en Ma
en fonction de µ0 , I, R et z.
9.2.4.
Action d’un champ magnétique extérieur
9.2.4.c. Quel est le travail W0 , que doit fournir un opérateur extérieur, pour amener ce
dipôle de la position z = z0 jusqu’au centre O de la spire ?
√
µ MI
9.2.4.d. Montrer que, si z0 = 2 2R, le travail s’exprime par la relation W0 = k3 0R où
k3 est un facteur numérique que l’on déterminera.
M.Lotfi
54
3
Corrigé des exercices classiques
d’électrostatique et de
magnétostatique
1.
Champ électrostatique créé par un segment chargé
y
+a
P
y
O
x
θ
M
x
−a
Figure 1:
1.1. L’axe Ox est un axe de symétrie de la distribution des charges. Or le point M
appartient à cet axe alors le champ électrostatique appartient à cet axe.
→
−
−e
E (M) = E(M)→
x
→
−
−
−
On a E (M) est porté par →
e x on va calculer seulement la composante selon →
ex
Donc
Z a −−→ →
1
λ P M .−
ex
E(M) =
dy
3
4πε0 −a P M
Z a
λ cos θ
1
dy
E(M) =
4πε0 −a P M 2
55
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
Or y = x tan θ alors dy = x cosdθ2 θ
En y = −a on a θ = −α et en y = +a on a θ = +α tel que
sin α = √
PM =
x
cos θ
d’où
donc
λ
E(M) =
4πε0
Z
α
xdθ cos2 θ
cos θ
2
2
−α cos θ x
λ 1
E(M) =
4πε0 x
On déduit
1.2.
a
+ x2
a2
→
−
E (M) =
Z
α
cos θdθ
−α
λ 1
a
→
−
√
ex
2
2
2πε0 x a + x
Dans le cas d’un fil ” infini ” on a a → ∞ d’où
→
−
E (M) =
2.
λ 1→
−
ex
2πε0 x
Champ crée par un disque en son axe
z
M
αz
→
−e
r
P r
→
−
e
O
θ
Figure 2:
2.1.
L’axe Oz est un axe de symétrie de la distribution des charges et passe par M d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
z
→
−
On va calculer seulement la composante de E (M) selon l’axe Oz.
On a
−−→
−−→
→
−
1 σ P MdS
1 σ P Mrdrdθ
d E (M) =
=
4πε0 P M 3
4πε0
P M3
ZZ −−→ →
ZZ
→
−
σ P M.−
e z rdrdθ
σ
cos αrdrdθ
1
→
−
=
E (M). e z =
3
4πε0
PM
4πε0
P M2
M.Lotfi
56
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
Or on a
P M 2 = r2 + z2
Alors
cos α = √
et
σz
E(M) =
4πε0
Z
2π
Z
dθ
0
R
0
z
+ z2
r2
rdr
3
(r 2 + z 2 ) 2
On déduit que
→
−
σz 1
1
→
−
E (M) =
−√
ez
2
2
2ε0 |z|
R +z
Pour un plan infini on a R → ∞ alors
2.2.
→
−
σ →
−
E (M) =
ez
2ε0
3.
pour
z>0
Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss
• Cylindre infini uniformément chargé en surface
La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon
θ donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (r, θ, z) = E (r)
−
−
−
−
Les plans (M, →
e r, →
e θ ) et (M, →
e r, →
e z ) sont des plans de symétrie de la distribution des
→
−
charges donc E (M) appartient à leur intersection d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
r
On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre de même axe que le cylindre
chargé, de rayon r et de hauteur h figure 3.
z
R
S1
r
h
S2
Figure 3:
D’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
57
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
avec
ZZ
Électromagnétisme
→
− →
−
E .d S =
→
− →
−
E .dS1 +
ZZ
S1
Sf
ZZ
→
− →
−
E .dS2 +
S2
→
−
−
Avec S1 la surface de la base 1 telle que d S 1 = rdrdθ→
ez
→
−
→
−
S2 la surface de la base 2 telle que d S 1 = −rdrdθ e z
→
−
−
Sl la surface latérale telle que d S l = rdθdz →
er
→
−
→
−
Puisque E (M) est porté par e r alors
ZZ
→
− →
−
E .d S =
Sf
Z
h
z=0
Z
ZZ
→
− →
−
E .d Sl
Sl
2π
E(r) r dθdz = 2πrhE(r)
θ=0
Pour calculer Qint on distingue les deux cas :
– cas r > R
RR
Dans ce cas on a Qint = S σdS = σ2πRh
Donc on déduit
→
−
σR →
−
E (M) =
er
rε0
– cas r < R
Dans ce cas Qint = 0
Alors
D’où finalement
→
−
→
−
E (M) = 0
( →
−
−
σR →
E (M) = rε
e r , r > R;
0
→
−
→
−
E (M) = 0 ,
r < R.
La discontinuité observée pour r = R est due au modèle de la distribution surfacique
des charges qui n’a pas d’existence physique.
• Sphère uniformément chargée en surface.
La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ
donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (r, θ, ϕ) = E (r)
−
−
−
−
Les plans (M, →
e r, →
e θ ) et (M, →
e r, →
e ϕ ) sont des plans de symétrie de la distribution
→
−
des charges donc E (M) appartient à leur intersection d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
r
On choisit comme surface fermée de Gauss la sphère de même centre que la sphère
chargée et de rayon r figure 4.
D’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
M.Lotfi
58
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
→
−
eθ
→
−
er
r
R
O
Figure 4:
→
−
−
Avec d S = r 2 sin θdθdϕ→
e r d’où
ZZ
→
− →
−
E .d S =
Sf
Z
π
θ=0
Z
2π
E(r)r 2 sin θdθdϕ = 4πr 2 E(r)
ϕ=0
Pour calculer Qint on distingue les deux cas :
– cas r > R
RR
Dans ce cas on a Qint = S σdS = σ4πR2
Donc on déduit
→
−
σR2 −
E (M) = 2 →
er
r ε0
– cas r < R
Dans ce cas Qint = 0
Alors
D’où finalement
→
−
→
−
E (M) = 0
( →
−
2→
−
E (M) = rσR
r > R;
2ε e r ,
→
−
→
−0
E (M) = 0 ,
r < R.
La discontinuité observée pour r = R est due au modèle de la distribution surfacique
des charges qui n’a pas d’existence physique.
• Sphère uniformément chargée en volume
La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ
donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (r, θ, ϕ) = E (r)
−e , →
−
→
− →
−
Les plans (M, →
r e θ ) et (M, e r , e ϕ ) sont des plans de symétrie de la distribution
→
−
des charges donc E (M) appartient à leur intersection d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
r
59
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
On choisit comme surface fermée de Gauss la sphère de même centre que la sphère
chargée et de rayon r.
D’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
→
−
−
Avec d S = r 2 sin θdθdϕ→
e r d’où
ZZ
Z
→
− →
−
E .d S =
Sf
π
θ=0
Z
2π
E(r)r 2 sin θdθdϕ = 4πr 2 E(r)
ϕ=0
Pour calculer Qint on distingue les deux cas :
– cas r > R
RRR
Dans ce cas on a Qint =
ρdτ = ρ 34 πR3
V
Donc on déduit
→
−
ρR3 −
E (M) = 2 →
er
3r ε0
– cas r 6 R
Dans ce cas Qint = ρ 43 πr 3
Alors
D’où finalement
→
−
ρr →
−e
E (M) =
r
3ε0
( →
−
E (M) =
→
−
E (M) =
ρR3 →
−
e r,
3r 2 ε0
ρr →
−e ,
r
3ε0
r > R;
r 6 R.
• Plan infini uniformément chargé
La distribution de charges est invariante par translation selon x et selon y donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (x, y, z) = E (z)
−
−
−
−
Les plans (M, →
e x, →
e z ) et (M, →
e y, →
e z ) sont des plans de symétrie de la distribution des
→
−
charges donc E (M) appartient à leur intersection, d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
z
On choisit comme surface de Gauss le parallélépipède symétrique par rapport au plan
chargé, sa base supérieure est centrée en M figure 5.
d’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
→
−
−e
Seule les intégrales sur les bases sont non nulles car E (M) = E(M)→
z
D’où
ZZ
ZZ
ZZ
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
E (M).d S =
E (M).dS1 +
E (M ′ ).dS2
Sf
M.Lotfi
S1
S2
60
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
z
y
x
M
M′
Figure 5:
→
−
→
−
−
−
Avec d S 1 = dxdy →
e z et d S 2 = −dxdy →
ez
′
Or M et M sont deux points symétriques par rapport au plan de symétrie de la
→
−
distribution des charges et E est perpendiculaire à ce plan pour les deux points M
et M ′ alors
→
−
→
−
E (M ′ ) = − E (M)
D’où
ZZ
→
−
→
−
E (M).d S = 2
Sf
ZZ
E(M)dxdy = 2E(M)S
S1
Avec S la surface de la base du parallélépipède.
Or Qint = σS alors
→
−
σ →
−
E (M) =
ez
pour
2ε0
z>0
• fil infini uniformément chargé
La distribution de charges est invariante par translation selon z et par rotation selon θ
donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (r, θ, z) = E (r)
−
−
−
−
Les plans (M, →
e ,→
e ) et (M, →
e ,→
e ) sont des plans de symétrie de la distribution des
r
θ
r
charges donc
z
→
−
−e
E (M) = E(M)→
r
On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre d’axe le fil, de hauteur h et de
rayon r.
D’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
→
−
−
Avec d S = rdθdz →
e r d’où
Or Qint = λh alors
ZZ
→
− →
−
E .d S = 2πrhE(r)
Sf
→
−
E (M) =
61
λ →
−
er
2πrε0
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
4.
Électromagnétisme
Étude d’une distribution cylindrique de charge
−
−
−
−
4.1. Les plans (M, →
e r, →
e θ ) et (M, →
e r, →
e z ) sont des plans de symétrie de la distribution
→
−
des charges donc E (M) appartient à leur intersection d’où
→
−
−e
E (M) = E(M)→
r
4.2. La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon
θ donc
→
−
→
−
→
−
E (M) = E (r, θ, z) = E (r)
4.3. On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre de même axe que le cylindre
chargé, de rayon r et de hauteur h.
D’après le théorème de Gauss on a
ZZ
→
− →
−
Qint
E .d S =
ε0
Sf
avec
ZZ
→
− →
−
E .d S =
Sf
→
− →
−
E .dS1 +
ZZ
S1
ZZ
→
− →
−
E .dS2 +
S2
→
− →
−
E .d S =
Sf
Z
h
z=0
Z
2π
E(r) r dθdz = 2πrhE(r)
θ=0
Pour calculer Qint on distingue les deux cas :
• cas r > R
RRR
Dans ce cas on a Qint = V ρdτ = ρπR2 h
Donc on déduit
→
−
ρR2 →
−e
E (M) =
r
2rε0
• cas r 6 R
Dans ce cas Qint = ρπr 2 h
Alors
D’où finalement
M.Lotfi
→
−
ρr →
−
E (M) =
er
2ε0
( →
−
E (M) =
→
−
E (M) =
→
− →
−
E .d Sl
Sl
→
−
−
Avec S1 la surface de la base 1 telle que d S 1 = rdrdθ→
ez
→
−
→
−
S2 la surface de la base 2 telle que d S 1 = −rdrdθ e z
→
−
−
Sl la surface latérale telle que d S 1 = rdθdz →
er
→
−
→
−
Puisque E (M) est porté par e r alors
ZZ
ZZ
ρR2 →
−
e r,
2rε0
ρr →
−
e r,
2ε0
62
r > R;
r 6 R.
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
−−→
→
−
4.4. On sait que E = −gradV
→
−
→
−
Or E = E er alors
• cas r > R
ρR2
dV = −Edr = − 2rε
dr d’où
0
V =−
ρR2
ln(r) + cte1
2ε0
• cas 6 R
2
ρr
dV = −Edr = − 2ε
dr d’où V = − ρr
+ cte2 Or pour r = 0 on a V = 0 alors cte2 = 0
4ε0
0
2
2
et par continuité en r = R on a − ρR
ln(R) + cte1 = − ρR
2ε0
4ε0
2
d’où cte1 = − ρR
+
4ε0
ρR2
2ε0
ln(R)
4.5. Seul le calcul de Qint change par rapport au cas où la distribution est uniforme.
dans le cas où r > R on a
ZZZ
Z R
ρ0
ρ0
Qint =
ρ0 (r/R)rdrdθdz = 2πh
r 2 dr = 2πhR2
R
3
0
→
−
ρ0 R2 →
−
d’où E (M) = 3ε
er
0 r
dans le cas où r 6 R on a
ZZZ
Z r
ρ0
ρ0
′
′
Qint =
ρ0 (r/R)r dr dθdz = 2πh
r ′2 dr ′ =
2πhr 3
R
3R
0
→
−
d’où E (M) =
5.
ρ0
−
r2→
er
3Rε0
Fil infini
z
P
z
O
I
r
α
M
Figure 6:
63
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
5.1. On a la distribution des courants est invariante par translation selon z et par rotation
selon θ d’où
→
−
→
−
→
−
B (M) = B (r, θ, z) = B (r)
→
−
−
−
−
Le plan (M, →
e r, →
e z ) est un plan de symétrie donc B (M) est porté par →
e θ . On calculera
→
−
→
−
seulement la composante de B selon e .
θ
On a
d’où
−−→
−
−e
Or P M = r →
e r − z→
z
−
−
→
−
−
donc →
e z ∧ P M = r→
eθ
d’où
→
− −−→
→
−
µ0 Id l ∧ P M
d B (M) =
4π
P M3
→
− −−→ →
Id
l ∧ P M .−e θ
→
− →
µ0
−
dB . e θ =
4π
P M3
−−→ →
−
Z +∞ Idz →
e z ∧ P M .−e θ
µ0
B(M) =
4π −∞
P M3
µ0
B(M) =
4π
Z
+∞
−∞
µ0
B(M) =
4π
P M = cosr α
rdα
dz = cos
2α
z
r
Idz
Z
r →
−
−e
e θ .→
θ
P M3
+∞
Idz
−∞
r
P M3
On a
et tan α =
donc
pour z = −∞ on α = − π2 et pour z = +∞ on α = + π2
d’où
Z π
µ0 + 2 rdα r
B(M) =
I
cos3 α
4π − π2 cos2 α r 3
Z π
µ0 I + 2
B(M) =
cos αdα
4π r − π2
→
−
µ0 I →
−
B (M) =
eθ
2π r
5.2.
On a d’après la question 5.1.
→
−
−
B (M) = B(r)→
eθ
On choisit comme contour fermé d’Ampère un cercle passant par M centré sur le fil et de
rayon r.
d’après le théorème d’Ampère on a
I
−
→
− →
B .d l = µ0 I
→
−
−
−
Or d l = rdθ→
e θ et B(r)→
e θ alors
M.Lotfi
B(r)2πr = µ0 I
64
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
d’où
5.3.
→
−
µ0 I →
−e
B (r) =
θ
2πr
Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil figure 7.
I
Figure 7:
5.4.
soit a le rayon du fil, la densité volumique du courant qui traverse le fil est
I −
→
−
−
j = j→
e z = 2→
ez
πa
RR →
−
− →
car I =
j .d S
Par application du théorème d’Ampère on a
B(r)2πr = µ0 Ienlacé
• cas r > a
Dans ce cas Ienlacé = I
d’où
• cas r 6 a
2
Dans ce cas Ienlacé = πr 2 j = I ar 2
d’où
6.
→
−
µ0 I →
−
B (r) =
eθ
2πr
→
−
µ0 Ir →
−
B (r) =
eθ
2πa2
Spire circulaire
6.1. Puisqu’on cherche à calculer le champ en point sur l’axe, la seule variable dont dépend
→
−
B est z donc
→
−
→
−
B (M) = B (z)
65
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
M
α z
O
P
Figure 8:
L’axe (Oz) est un axe d’antisymétrie de la distribution des courants, et puisque M appartient
à cet axe alors
→
−
−e
B (M) = B(M)→
z
On a
µ0
B(M) =
4π
→
− −−→
Id l ∧ P M →
.−
ez
3
P
M
spire
I
→
−
−−→
−
−e + z →
−e alors
Or d l = Rdθ→
e θ et P M = −R→
r
z
→
− −−→
−
−e
d l ∧ P M = R2 dθ→
e z + Rzdθ→
r
donc
I
µ0 I
R2 dθ
B(M) =
4π spire P M 3
Or P M =
R
sin α
donc
µ0 I sin3 α
B(M) =
4π R
soit
6.2.
I
spire
dθ =
µ0 I sin3 α
2R
→
−
µ0 I sin3 α →
µ0 I
R2
−
→
−
B (M) =
ez=
ez
2R
2 (R2 + z 2 )3/2
voir figure 9
→
−
→
−
6.3. Soient B 1 (M) le champ magnétique crée par la bobine 1 et B 2 (M) celui crée par la
bobine 2.
→
−
→
−
→
−
On a B (M) = B 1 (M) + B 2 (M)
Or
→
−
µ0 I
−e
B i (M) =
sin3 αi →
z
2R
avec
R
R
q
et
sin
α
=
sin α1 = q
2
2
2
R2 + z + d2
R2 + z − d2
M.Lotfi
66
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
z
Figure 9:
d’où
7.
"

#− 32 "
#− 32 

d 2
d 2
z+2
z−2
→
−
µ0 I
B (M) =
1+
+ 1+
2

2R 
R
R2
Solénoı̈de
dz
α
O
α2 α 1
P
M
z
Figure 10:
7.1. Soit n = NL le nombre de spire par unité de longueur.
Les propriétés d’invariance et de symétrie sont les mêmes que pour une spire donc le champ
→
−
B (M) est parallèle à l’axe et ne dépend que de la position du point sur l’axe :
→
−
−e
B (M) = B(z)→
z
La tranche entre, z et z + dz ,d’épaisseur dz du solénoı̈de est parcourue par une intensité
élémentaire dI = nIdz elle crée donc le champ élémentaire :
dB =
µ0 nIdz
sin3 α
2R
avec tan α = PRM et on a P M = OM − OP = OM − z
donc z = OM − tanR α
67
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
d’où
dz =
R
dα
sin2 α
alors
µ0 nI
R
µ0 nI
sin3 α 2 dα =
sin αdα
2R
2
sin α
et en intégrant entre α1 et α2 on obtient
dB =
→
−
µ0 nI
−
B (M) =
(cos α1 − cos α2 ) →
ez
2
7.2.
Pour un solénoı̈de infini on a α1 = 0 et α2 = π d’où
→
−
−
B = µ0 nI →
ez
7.3. Le système est invariant par translation le long de Oz : on utilisera les coordonnées
cylindriques et donc :
→
−
→
−
B (M) = B (r, θ)
La section du solénoı̈de est circulaire, le système est donc invariant par rotation selon θ donc
→
−
→
−
B (M) = B (r)
Le plan perpendiculaire à l’axe Oz et passant par M est un plan de symétrie donc le champ
magnétique est perpendiculaire à ce plan d’où
→
−
→
− −
B (M) = B (r)→
ez
On peut alors appliquer le théorème d’Ampère.
l
r2
r1
R
z
Figure 11:
On choisit comme contour fermé d’Ampère un rectangle dans un plan contenant Oz et
constitué de deux parallèles à Oz distants de r1 et r2 de l’axe Oz.
D’après le théorème d’Ampère on a
I
→
−
→
−
B (M).d l = µ0 Ienlacé
M.Lotfi
68
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
→
−
seules les circulations de B sur les parallèles à Oz sont non nulles donc
I
−
→
− →
B .d l = B(r1 )l − B(r2 )l
Pour Ienlacé on distingue les trois cas :
• r1 < r2 < R
Ienlacé = 0
donc
B(r1 ) = B(r2 )
Le champ à l’intérieur du solénoı̈de est uniforme, il est indépendant de r. d’où
→
−
−
B int = µ0 nI →
ez
• R < r1 < r2
Ienlacé = 0
d’où B(r1 ) = B(r2 ) le champ magnétique à l’extérieur est uniforme est indépendant de
→
−
r on va le noter avec B ext .
• r1 < R < r2
Ienlacé = nlI
d’où
Or Bint = µ0 nI alors
8.
8.1.
B(r1 )l − B(r2 )l = (Bint − Bext ) = µ0 nlI
→
−
→
−
B ext = 0
Dipôle électrostatique - dipôle magnétique
Dipôle électrostatique
8.1.1. Doublet électrostatique - Moment électrique p d’un dipôle
8.1.1.a. On a
X −→
X −−→ X −−→
qi OS i =
qi OO ′ +
qi O ′S i
i
′
i
i
P
Or O indépendante de la sommation et i qi = 0 alors
P −
P
→′
−−→′
i qi O = (
i qi ) OO d’où
X −→
X −−→
qi OS i =
qi O ′S i
i
i
−→
−−→
→
−
8.1.1.b. On a p = q1 OP − q ON alors
−−→
→
−
p = q NP
69
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
M(r, θ, ϕ)
z
r2
P
a
2
+q
r
O
θ
r1
a
2
N
−q
Figure 12:
8.1.2. Potentiel scalaire électrostatique V (M )
8.1.2.a. On sait que
1
q
1 −q
q
V (M) = V1 (M) + V2 (M) =
+
=
4πε0 P M
4πε0 NM
4πε0
soit
8.1.2.b. On a
q
V (M) =
4πε0
1
1
−
r2 r1
1
1
−
PM
NM
−−→ −−→ −→
a−
−
P M = OM − OP = r →
er− →
ez
2
d’où
r
a2
− ar cos θ
4
dans l’approximation dipolaire on a a ≪ r, par un développement limité d’ordre 1 on obtient
PM =
r2 +
12
a2
a
a
P M = r 1 + 2 − cos θ
≃r 1−
cos θ
4r
r
2r
soit
de même on obtient
d’où
1
1
1
a
=
=
1
+
cos
θ
a
PM
r
2r
r 1 − 2r
cos θ
1
1
a
=
1−
cos θ
NM
r
2r
V (M) =
Or
alors
M.Lotfi
q a cos θ
4πε0 r 2
→
−
−
−
−
p .→
r =→
p .r →
e r = qar cos θ
→
−
−
p .→
r
V (M) =
4πε0 r 3
70
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
8.1.3. Champ électrostatique
8.1.3.a. On a
−
−−
−→
→
1
3−
3−
gradM
= − 4→
e r = − 5→
r
3
r
r
r
et
−−→ →
−−→
−
−
−e
gradM (−
p .→
r ) = gradM (pr cos θ) = p cos θ→
e r − p sin θ→
θ
−
−
−e alors
Or →
p = p cos θ→
e r − p sin θ→
θ
−−→ →
−
−
gradM (−
p .→
r)=→
p
8.1.3.b. On sait que
−−→
−−→
→
−
E (M) = −gradM V = −gradM
d’où
→
−
1
E (M) = −
4πε0
soit
→
−
−
p .→
r
4πε0 r 3
−−→ 1
1 −−→ →
−
−
−
gradM −
p .→
r +→
p .→
r gradM 3
3
r
r
−
−
−
→
−
1
1→
(3→
p .→
r )→
r
−
E (M) = −
p −
4πε0 r 3
r5
d’où
→
−
E (M) =
avec k1 = 3
→
−
−
−
1
k 1 (−
p .→
r )→
r − r2→
p
4πε0
r5
8.1.3.c. On a
−
−
−
−
−
(→
p .→
r )→
r = pr cos θ→
r = pr 2 cos θ→
er
et
→
−
−
−e
p = p cos θ→
e r − p sin θ→
θ
donc
Er =
2p cos θ
4πε0 r 3
Eθ =
p sin θ
4πε0 r 3
Eϕ = 0
−
→
− →
8.1.3.d. On a β = ( e r , E (M)) donc
tan β =
Eθ
Er
d’après les formules de Er et Eθ on obtient
tan β =
1
tan θ
2
71
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
Électromagnétisme
8.1.3.e. On a
θ1 + β1 =
π
2
d’où
et
tan β1 =
1
tan θ1
2
(tan θ1 )2 = 2
8.1.4. Équipotentielles et lignes de champ
8.1.4.a. Une surface équipotentielle est une surface où le potentiel est constant.
On a V (M) = cte d’où
Σ = {M, V (M) = cte}
q a cos θ
= cte
4πε0 r 2
d’où l’équation des surfaces équipotentielles
r 2 = k cos θ
avec k est une constante.
8.1.4.b. Une ligne de champ est la courbe telle que en chacun de ses points le champ
→
−
→
−
électrostatique E est tangent et elle est orientée dans le même sens que E .
Les lignes de champ sont définies par
dr
rdθ
r sin θdϕ
=
=
Er
Eθ
Eϕ
d’où
dr
rdθ
r sin θdϕ
=
=
2 cos θ
sin θ
0
alors
dr
2 cos θdθ
2d(sinθ)
=
=
r
sin θ
sin θ
ainsi l’équation des lignes de champ est
et
ϕ = cte
r = k ′ sin2 θ
avec k ′ est une constante.
8.1.4.c. L’allure est sur la figure 13
8.1.5.
Action d’un champ électrique extérieur uniforme Ee
8.1.5.a. Les deux charges subissent la résultante
→
−
→
−
→
−
F = q E e (P ) − q E e (N)
→
−
→
−
→
−
Or E e est uniforme alors E e (P ) = E e (N)
d’où
→
−
→
−
F = 0
Le moment du couple appliqué sur le dipôle est
→
−
−→
→
−
−−→
→
−
−−→ →
−
Γ = OP ∧ q E e + ON ∧ q E e = q NP ∧ E e
D’où
M.Lotfi
→
−
→
−
−
Γ =→
p ∧ Ee
72
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
z
axe du dipôle
V1
V2
→
−
p
zone du dipôle où
l’approximation dipolaire
n’est pas valable
(trop près du dipôle)
Figure 13:
8.1.5.b. L’énergie potentielle électrostatique U d’une charge ponctuelle q est donnée par
U(M) = qV (M)
8.1.5.c. L’énergie potentielle électrostatique d’un dipôle est
Ud = qV (P ) − qV (N) = q [V (P ) − V (N)]
Dans l’approximation dipolaire la distance entre P et N est très petite devant les autres
distances, d’où
−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ →
−
Ve (P ) − Ve (N) = OP .gradVe (O) − ON.gradVe (O) = NP .gradVe (O) = −NP . E e
d’où
→
−
−−→ →
−
→
−
−
Ud = −q NP . E e = −→
p .E e
8.1.6. Soit α l’angle entre E e et le dipôle
donc
d’où
Or
Ud = −pEe cos θ
dUd
=0
dθ
2 d Ud
>0
dθ2 θ=0
⇒
θ = 0 ou θ = π
et
d2 Ud
dθ2
<0
θ=π
Alors θ = 0 est une position d’équilibre stable et θ = π est une position d’équilibre instable.
8.2.
Le dipôle magnétique
8.2.1. Spire circulaire de courant - Moment magnétique m de la spire
→
−
8.2.1.a. Le moment magnétique m de la spire en fonction est
→
−
−e
m = I S = IπR2 →
z
73
M.Lotfi
Électrostatique - magnétostatique
8.2.1.b. On a d’après
Électromagnétisme
6..6.1.
→
−
µ0 I sin3 α →
µ0 I
R2
−
→
−
B (M) =
ez=
ez
2R
2 (R2 + z 2 )3/2
8.2.1.c. Au centre O on a z = 0 d’où
→
−
µ0 I →
−
B (O) =
ez
2
En un point Ma (z) de l’axe Oz tel que z ≫ R on a
µ0 I R 2 →
−e
z
2 z3
B(z) =
8.2.2. Potentiel vecteur magnétique
→
−
A (M)
→
−
8.2.2.a. Le potentiel vecteur A (M), créé par la spire de courant, de moment magnétique
→
−
m, en un point M(r, θ, ϕ) éloigné à la distance r = OM ≫ R de la spire est donné par
−−→
−
→
−
µ0 →
m ∧ OM
A (M) =
4π OM 3
8.2.2.b. Les composantes du potentiel vecteur en coordonnées sphériques sont :
Ar = 0
Aθ = 0
Aϕ =
8.2.3. Champ magnétique
8.2.3.a. On a
d’où
µ0 m sin θ
4π r 2
→
−
B (M)
−−→
gradM
1
OM
−−→
gradM
alors
−−→ 1
1−
= grad = − 2 →
er
r
r
1
OM
−−→
OM
=−
OM 3
k2 = −1
8.2.3.b. En utilisant les formules données on montre que
→
−−→
−
−
m
−→
m.OM
divM
=
OM
OM 3
→
→
−−→
−
−
m
m ∧ OM
=
OM
OM 3
→
−
1
m
→
−
= m∆M
=0
∆M
OM
OM
−
→
rotM (
M.Lotfi
74
Électromagnétisme
Électrostatique - magnétostatique
→
−
−
−
→→
8.2.3.c. On sait que B = rot A alors
−−→ !
−
µ0 →
m ∧ OM
4π OM 3
→
−
−
→
B = rot
donc
−
→
−
→
−
→
−
µ0 −
m
µ0 −−→
m
µ0
m
→ −
→ →
B =
rot rot
=
grad div
−
∆
4π
OM
4π
OM
4π OM
d’où
−−→
−
→
−
µ0 −−→ →
m.OM
B = − grad
4π
OM 3
8.2.3.d. On déduit que les composantes (Br , Bθ , Bϕ ) s’ecrivent
Br =
µ0 2m cos θ
4π
r3
Bθ =
µ0 m sin θ
4π r 3
Bϕ = 0
8.2.4.
Action d’un champ magnétique extérieur
→
−
Be
8.2.4.a. L’énergie potentielle d’interaction s’écrit
−
→→
−
Ep = −M. B e
La résultante s’écrit
−−→ −
→
−
→→
−
F = grad(M. B e )
8.2.4.b. On a
Ep =
d’où
µ0 MIR2
2 (z 2 + R2 ) 32
→
−
3µ0 MIR2 z →
−
F =
ez
2 (z 2 + R2 ) 52
8.2.4.c. Le travail W0 , que doit fournir un opérateur extérieur, pour amener ce dipôle de
la position z = z0 jusqu’au centre O de la spire est
"
#
Z 0
µ0 MIR2 1
1
W0 =
−dEp = −
−
2
R3 (R2 + z 2 ) 32
z0
0
8.2.4.d. On trouve k3 = − 13
27
75
M.Lotfi
4
Pb : Haut parleur
Un haut parleur est constitué d’une bobine plate b d’axe z ′ z (de résistance R, d’inductance L,
comportant N spires de rayon a) solidaire d’une membrane pouvant se déplacer parallèlement
à elle même, suivant la direction z ′ z normale à son plan. L’équipage mobile (bobine +
membrane) a pour masse totale m. Lorsque la bobine s’écarte de sa position d’équilibre d’un
écart algébrique z. elle est rappelée par une force élastique due à un ressort de raideur k. De
plus, l’air produit sur la membrane une force de frottement visqueux, proportionnelle à sa
→
−
−
vitesse de déplacement, qui peut s’écrire: f = −h→
v (h > 0).
→
−
′
On suppose que g est perpendiculaire à zz .
z
suspension externe
membrane
dôme
châssis
suspension interne
bobine (b)
pièces polaires
z′
aimant permanent (A)
Figure 1:
→
−
La bobine est placée dans un champ magnétique uniforme B radial, normal à z ′ z, créé
par un aimant permanent (A). (voir figure 1 ).
1.
Analyse préliminaire
1.1. Expliquer pourquoi un mouvement de la membrane crée dans la bobine une force
électromotrice d’induction et comment une différence de potentiel de même fréquence que le
77
Pb : Haut parleur
Électromagnétisme
mouvement apparaı̂t aux bornes de (b). Quel rôle ce dispositif peut il jouer ?
1.2. On applique aux bornes de (b) une tension sinusoı̈dale. Montrer que cette tension
va engendrer un mouvement de la bobine. Qu’advient il des masses d’air voisines de la
membrane ? Quel est alors le rôle du dispositif ?
2.
Etude du dispositif mobile : bobine membrane
On applique aux bornes de (b) une tension variable u(t); la bobine est alors traversée par
un courant d’intensité i(t) et la membrane se déplace avec la vitesse instantanée v(t).
2.1. Exprimer la force de Laplace à laquelle la bobine est soumise. (on désignera par l
la longueur totale du bobinage de (b) )
−e
2.2. Déterminer la force électromotrice élémentaire, de, induite par le déplacement dz →
z
→
−
→
−
d’un élément adθ e θ de bobine dans le champ B e r . Étendre le résultat à la bobine tout
entière.
2.3. Écrire le théorème de la résultante cinétique pour l’équipage mobile (éq. M), d’une
part, puis l’équation électrique relative au haut parleur (éq. E), d’autre part.
La tension appliquée étant sinusoı̈dale, de fréquence f , on pourra écrire
u(t) = Um cos (ωt)
avec ω = 2πf .
2.4. Écrire les deux relations (M ′ ) et (E ′ ) liant les expressions complexes u(t) , i(t) et v(t)
associées respectivement à u(t), i(t) et v(t).
2.5. Éliminer la vitesse v(t) entre les équations (M ′ ) et (E ′ ) pour faire apparaı̂tre une
relation entre u(t) et i(t)
2.6.
Montrer que l’impédance totale du dispositif est la somme de deux contributions :
Z(ω) = Z e (ω) + Z m (ω)
avec Z e ne contient que les termes relatifs au circuit électrique et Z m = R(ω) + jS(ω) des
termes relatifs au mouvements. On qualifie ces deux termes respectivement d’impédance
propre et d’impédance motionnelle.
2.7.
Donner l’expression de Z e (ω), puis celles de R(ω) et S(ω).
2.8. Montrer que l’impédance motionnelle Z m correspond à l’association d’éléments comme
Rm , Lm et Cm dont on précisera la nature. Illustrer en représentant le schéma électrique
équivalent de l’impédance Z.
M.Lotfi
78
Électromagnétisme
Pb : Haut parleur
2.9. Tracer sommairement les variations de R(ω) et S(ω) en fonction de ω . Donner un
k
équivalent de Z(ω) pour ω → 0 et pour ω → ∞ et pour ω = ω0 tel que ω02 = m
.
79
M.Lotfi
5
Corrigé : Haut parleur
1.
Analyse préliminaire
1.1. Lorsque la bobine est en mouvement, on a un circuit mobile dans un champ
magnétique permanent donc on est dans le cas de l’induction de Lorentz, et donc par
induction électromagnétique on a une tension qui apparaı̂t dans la bobine qui a la même
fréquence du mouvement. Ce fonctionnement est celui d’un microphone.
1.2. L’application d’une tension aux bornes de la bobine donnera naissance à un courant,
et avec la présence du champ magnétique de l’aimant, la bobine subira la force de Laplace
qui donnera un mouvement ayant la même fréquence que celle de la tension. Et la membrane,
qui est solidaire à la bobine, met en mouvement les masses d’air à son voisinage. Ce
fonctionnement est celui d’un haut-parleur.
2.
2.1.
Etude du dispositif mobile : bobine membrane
→
−
La force élémentaire de Laplace appliquée sur un élément d l s’écrit :
→
− →
→
−
−
−e ∧ B →
−
−e
d F L = id l ∧ B = idl→
e r = −iBdl→
θ
z
En intégrant sur toute la bobine on obtient :
→
−
−e
F L = −iBl→
z
2.2.
La f.e.m élémentaire est :
−
→
− →
−
−
−e ).adθ→
−e = vBadθ
de = (→
v ∧ B ).d l = (v →
e z ∧ B→
r
θ
On intègre sur une spire et on multiplie par le nombre de spires N :
e = vBaN2π = vBl
2.3.
−
La projection du théorème de la résultante cinétique selon →
e z on obtient :
m
dv
= −iBl − kz − hv
dt
81
Corrigé : Haut parleur
Électromagnétisme
Le circuit a une inductance L et une résistance R, donc avec l’apparition de la f.e.m la loi
des mailles s’écrit :
di
u + e = L + Ri
dt
D’où l’équation électrique s’écrit :
di
u = L + Ri − vBl
dt
2.4. Puisque u , i et v sont des fonctions sinusoı̈dales , les équations mécaniques et
électrique deviennent :
k
jmωv = −Bli −
v − hv
jω
et
u = jLωi + Ri − Bli
2.5.
D’après l’équation M ′ on a :
v=
−Bl
h + jmω +
k
jω
i
Qu’on remplace dans l’équation E ′ :
u=
2.6.
B 2 l2
jLω + R +
h + jmω +
k
jω
!
i
D’après l’équation précédente on trouve :
B 2 l2
h + jmω +
Z = jLω + R +
k
jω
On déduit :
Z e = R + jLω
et
2.7.
B 2 l2
h + jmω +
k
jω
"
B 2 l2 mω − ωk
B 2 l2 h
=
"
2 − j 2
h + mω + ωk
h2 + mω − ωk
On a :
Z e = R + jLω
Alors :
2.8.
B 2 l2 h
R(ω) =
"
2
h2 + mω − ωk
et
Z m = R(ω) + jS(ω)
"
B 2 l2 mω − ωk
S(ω) = − 2
h + mω + ωk
et
On peut écrire :
1
mω
1
1
1
1
= j 2 2 + B2 l2 + B2 l2 = jCm ω +
+
Zm
B l
jLm ω Rm
j k ω
h
Avec
Cm =
M.Lotfi
m
,
B 2 l2
Lm =
B 2 l2
,
k
82
Rm =
B 2 l2
h
Électromagnétisme
2.9.
Corrigé : Haut parleur
La représentation est sur la figure 1.
L
R
Rm
Lm
Cm
Figure 1:
2.10. La représentation de R(ω) et S(ω) est sur les figures 2 et 3.
Figure 2:
2 2ω
Pour ω → 0 on a Zm ≃ j B kl
2 2
Pour ω → ∞ on a Zm ≃ −j Bmωl
Pour ω = ω0 on a Zm (ω0 ) =
B 2 l2
h
= Rm
83
M.Lotfi
Corrigé : Haut parleur
Électromagnétisme
Figure 3:
M.Lotfi
84
6
Pb : Roue de Barlow
1.
Loi de Lenz, loi de Faraday
Une spire plane circulaire de centre O, de rayon a (a < R), est placée perpendiculairement
au champ magnétique à l’interieur d’un ”solénoı̈de infini”. Les spires jointives de rayon R
du solénoı̈de sont parcourues par le courant variable I(t) = I0 sin ωt. (Figure 1).
Figure 1:
1.1.
Determiner la f.e.m induite dans la spire en utilisant :
1.1.1. la loi de Faraday.
→
−
−
→
1.1.2. la circulation du champ local induit E m = − ∂∂tA .
1.2. En déduire l’intensité i(t) du courant induit circulant dans la spire de résistance re .
Préciser le sens du courant dans la spire (Figure 1).
Figure 2:
La spire, placée à l’intérieur du ”solénoı̈de infini”, tourne maintenant autour d’un axe
fixe de son plan à une vitesse angulaire constante ω.
1.3. Un courant stationnaire d’intensité I circule dans les spires jointives de rayon R du
→
−
solénoı̈de et crée un champ magnétique B int (Figure 2).
Calculer l’intensité i(t) du courant dans la spire, de résistance re , lors de sa rotation.
85
Pb : Roue de Barlow
1.4.
Induction
Inductance mutuelle
−
On suppose que la spire est maintenant fixe à l’intérieur du solénoide est sa normale →
n
fait un angle θ constant avec l’axe (Oz) (Figure 2).
→
−
1.4.1. Déterminer le flux de B int à travers la spire.
1.4.2. Déduire l’inductance mutuelle du solénoı̈de infini et la spire.
2.
Roue de Barlow
Le circuit représenté en Figure 3 comprend, dans un montage en série : une roue de
Barlow, un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K.
Figure 3:
Cette roue de Barlow, disque conducteur homogène de centre O, de rayon a, de moment
d’inertie J par rapport à son axe de rotation, est soumise à un champ magnétique uniforme
→
−
B parallèle à l’axe de la roue. Un point P de sa périphérie est en contact avec un bain de
mercure pour assurer le passage du courant tout en minimisant les actions mécaniques de
frottement que l’on négligera. On suppose la roue parfaitement conductrice.
La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale ω0 . A l’instant de fermeture de K,
t = 0, le condensateur porte la charge initiale q0 sur la plaque reliée au résistor.
2.1. Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P , nous représentons
sur la Figure 3, celle qui passe par un point M en transportant un courant d’intensité di.
→
−
→
−
2.1.1. Exprimer la force de Laplace d2 f sur un élément d l de cette ligne de courant.
→
−
2.1.2. Déterminer le moment Γ , en O, des forces électromagnétiques agissant sur la roue en
→
−
fonction de a, i et B . Commenter le résultat obtenu.
→
−
→
−
2.1.3. Exprimer la f.e.m. induite en fonction de a, ω et B . (On utilisera, judicieusement, la
→
−
−
circulation de (→
v e ∧ B )).
M.Lotfi
86
Induction
Pb : Roue de Barlow
2.2. Etablir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du circuit. En
déduire les lois d’évolution dans le temps de :
2.2.1. l’intensité i(t) que l’on mettra sous la forme : i(t) = i0 exp(−t/τ ) . Déterminer i0 et τ
→
−
→
−
−
en fonction de a, J, R, C, q0 , B = k B k et →
ω 0. B .
2.2.2. la charge q(t) du condensateur sachant que q(0) = q0 .
2.2.3. la vitesse angulaire ω(t) de la roue avec ω(0) = ω0 .
2.3. Quand t devient très grand, q(t) et ω(t) tendent respectivement vers q∞ et ω∞ .
→
−
−
Expliciter q∞ et ω∞ en fonction de a, J, q0 , C, B et →
ω 0.
2.4.
→
−
−
On fixe la vitesse angulaire initiale à la valeur ω0 de façon que →
ω 0 . B < 0.
2.4.1. Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour toute valeur
de q0 < 0.
2.4.2. A partir de quel instant tr , celle-ci deviendra-t-elle un récepteur ?
87
M.Lotfi
7
Corrigé : Roue de Barlow
1.
Loi de Lenz, loi de Faraday
1.1.
1.1.1. On sait que la loi de Faraday s’écrit e = − dΦ
, avec Φ =
dt
travers la spire. Dans notre situation Φ = πa2 B.
→
−
−
−
Or on a B = µ0 nI →
e z = µ0 nI0 sin(ωt)→
e z , alors
RR →
− →
−
→
−
B .d S le flux de B à
e = −πa2 µ0 nI0 ω cos(ωt)
1.1.2. La distribution de courant sur le solénoı̈de est invariante par translation selon z et par
→
−
→
−
rotation selon θ d’où A (M) = A (r).
→
−
−
−
Le plan (M, →
e r, →
e z ) est un plan d’antisymétrie, et puisque A (M) est perpendiculaire sur
→
−
−e .
ce plan, alors A (M) = A(M)→
θ
→
−
−
Ainsi A (M) = A(r)→
e θ.
→
−
−
−
→→
On sait que B = rot A , alors B = 1r d(rA)
, en intégrant la relation, et en sachant que
dr
→
−
−
→
−
A(r = 0) = 0 car Oz est un axe de symétrie donc sur l’axe on doit avoir A selon →
e z et A
−
est selon →
e θ , on déduit qu’à l’intérieur du solénoı̈de on a :
→
−
µ0 nI0 r sin(ωt) →
−
A int =
eθ
2
La champ électromoteur s’écrit :
→
−
µ0 nI0 rω cos(ωt) →
−
Em = −
eθ
2
→
−
La circulation de E m sur le contour de la spire est :
e=
I
→
−
→
−
E m .d l = 2πaEm (a)
d’où
e = −πa2 µ0 nI0 ω cos(ωt)
89
Corrigé : Roue de Barlow
1.2.
Induction
La résistance de la spire est re , le courant s’écrit alors
i=
e
1
= − πa2 µ0 nI0 ω cos(ωt)
re
re
Le sens choisit pour orienter la spire est le sens trigonométrique et c’est le sens positif du
courant trouvé.
→
−
1.3. Dans la nouvelle situation le flux de B s’écrit Φ = πa2 B cos θ, avec θ = ωt.
la f.e.m induite s’écrit :
e = πa2 µ0 nI0 ω sin(ωt)
et le courant
i=
1.4.
1 2
πa µ0 nI0 ω sin(ωt)
re
Inductance mutuelle
1.4.1. On a Φ = µ0 nI0 πa2 cos θ.
1.4.2. On sait que Φ = MI0 avec M est l’inductance mutuelle du solénoı̈de et de la spire,
alors on a :
M = µ0 nπa2 cos θ
2.
Roue de Barlow
→
−
→
−
2.1. La force de Laplace d2 f qui s’exerce sur un élément d l de la ligne de courant est
donnée par :
→
−
→
− →
−
d2 f = di d l ∧ B
2.1.1. Le moment calculé en O des forces de Laplace qui s’exerce sur la roue est donné par :
→
−
Γ =
ZZ
→
− →
−−→
−
OM ∧ (di d l ∧ B )
la première intégrale portant sur l’ensemble des lignes de courant et la seconde sur les points
M d’une ligne de courant en allant de P vers O pour respecter le sens du courant sur la
figure 3.
Or
→
− →
−
− →
−−→
−
−−→ →
− →
−−→ →
−
OM ∧ (d l ∧ B ) = (OM. B )d l − (OM.d l ) B
→
−
−
−−→
−−→ →
−
−
−
e et puisque et d l = dr →
e + rdθ→
e , alors
On a OM ⊥ B et OM = r →
r
r
θ
→
− →
−−→
−
→
−
OM ∧ (d l ∧ B ) = −rdr B
On obtient donc
→
−
Γ =
ZZ
P
Ainsi
O
→
−
−rdr B di
→
−
−
a2 i →
Γ =
B
2
Cette expression est la même que la situation d’une seule ligne de courant joignant
directement O et P .
M.Lotfi
90
Induction
Corrigé : Roue de Barlow
→
−
−
→
− ∧→
B.
e
2.1.2. Le champ électromoteur est E m = v
→
−
−
−
−
−
Or →
ve=→
ω ∧→
r et B ⊥ →
r donc
→
−
→
−
→
− −
−
−
Em = →
v e ∧ B = (→
ω . B )→
r
On sait que la f.e.m s’écrtit : e =
e=
RO→
→
−
−
E m .d l , d’où
P
Z
0
a
→
−
−
1 − →
−
(→
ω . B )rdr = − a2 (→
ω .B )
2
2.1.3. Le théorème du moment cinétique s’écrit :
−
−
d→
ω
a2 i →
J
=
B
dt
2
Or d’après la loi des mailles sur la maille équivalente du circuit électrique (figure 1) on a :
e = Ri +
q
C
R
i
C
e
Figure 1:
2.2.
2.2.1. L’équation électrique s’écrit donc
→
−
1 2→
q
a−
ω . B + Ri + = 0
2
C
En dérivant cette relation et sachant que i =
dq
dt
on trouve :
−
−
1 2 d→
ω →
di
i
a
.B + R + = 0
2 dt
dt C
Comme
et donc
→
d−
ω
dt
=
−
a2 i →
B
2J
alors
a4 B 2
di
i
i+R + =0
4J
dt C
di
+
dt
1
a4 B 2
+
RC
4JR
On pose
τ=
1
RC
i=0
1
4 B2
+ a4JR
91
M.Lotfi
Corrigé : Roue de Barlow
Induction
La solution de l’équation différentielle s’écrit :
i = i0 exp(−t/τ )
−
−
À t = 0, →
ω =→
ω 0 et q = q0 . L’équation électrique s’écrit alors :
→
−
1 2→
q0
a−
ω 0 . B + Ri0 +
=0
2
C
On a alors
→
−
a2 →
q0
i0 = − −
ω 0. B −
2R
RC
2.2.2. Comme i =
dq
dt
alors
q(t) = −i0 τ exp(−t/τ ) + cte
Comme q(0) = q0 on déduit :
q(t) = i0 τ (1 − exp(−t/τ )) + q0
−
→
2.2.3. Comme J ddtω =
−
a2 i →
B,
2
alors
−
a2 i0 τ →
→
−
ω (t) = −
B exp(−t/τ ) + cte
2J
−
−
Or →
ω (0) = →
ω 0 alors :
−
a2 i0 τ →
→
−
−
ω (t) =
B (1 − exp(−t/τ )) + →
ω0
2J
2.3. Pour t → ∞ on a exp(−t/τ ) tend vers 0, donc q(t) tend vers q∞ = i0 τ + q0 et ω(t)
→
− −
2
−
tend vers →
ω ∞ = a 2Ji0 τ B + →
ω 0 . On déduit donc
q∞ = −
2
a
→
−
ω∞ = −
2J
→
−
a2 →
q0
−
ω 0. B +
2R
RC
→
−
a2 →
q0
−
ω 0. B +
2R
RC
1
a4 B 2
+
RC
4JR
1
a4 B 2
+
RC
4JR
−1
−1
→
− →
B +−
ω0
2.4.
2.4.1. La puissance cédée initialement par le générateur(en convention générateur) est
→
−
→
−
1 2→
a2 →
q0
−
−
e0 i0 = − a ω 0 . B −
ω 0. B −
2
2R
RC
→
−
−
Comme →
ω 0 . B < 0 et q0 < 0, i0 > 0, on a donc e0 i0 > 0, le roue se comporte donc initialement
comme un générateur.
M.Lotfi
92
Induction
Corrigé : Roue de Barlow
2.4.2. Pour que la roue se comporte comme récepteur il faut que ei devient négative, donc
l’instant où elle deviendra récepteur c’est l’instant pour lequel ei = 0 d’où :
1 2→
→
−
a2 →
→
−
q0
−
−
− a ω .B −
ω 0. B −
e−tr /τ = 0
2
2R
RC
Ceci ne peut être vrai que si ω = 0 donc
a2 i0 τ B
(1 − exp(−tr /τ )) + ω0 = 0
2J
Ainsi
Avec ω0 < 0
2ω0 J
tr = −τ ln 1 + 2
a i0 τ B
93
M.Lotfi
8
Pb : Moteur synchrone
1.
Le solénoı̈de
Un solénoı̈de d’axe Ox, de longueur L, est constitué d’un bobinage serré modélisé par N
spires circulaires de rayon a et parcourues par un courant d’intensité I.
Les extrémités du solénoı̈de sont vues à partir d’un point M de son axe sous des angles α1
et α2 (orientés positivement dans le sens indiqué sur la figure 1).
→
−
On rappelle que le champ magnétique B (M) crée par le solénoı̈de au point M est donné par
l’expression :
→
−
Bi
−
B (M) =
(cos α1 − cos α2 ) →
ux
2
−
où →
u x est le vecteur unitaire de l’axe Ox.
α1 α2
M x
I
Figure 1:
1.1. À quelle limite, à justifier, correspond Bi ? Donner, sans calcul, l’expression de Bi en
fonction de la perméabilité du vide µ0 = 4π.10−7 H.m−1 et des données de l’énoncé.
Un système (S) est constitué de l’association de deux solénoı̈des identiques au précèdent
et coaxiaux; leurs faces en regard sont distantes de 2l. Ils sont montés en série de telle sorte
que le courant d’alimentation d’intensité I y circule dans le même sens (figure 2.
L
l
l
O
Figure 2:
95
L
Pb : Moteur Synchrone
Électromagnétisme
1.2. Montrer que le champ au centre O du système (S) peut, en module, se mettre sous la
forme B = kI où k est un cœfficient à exprimer en fonction des caractéristiques géométriques
du système.
Applications numériques : Calculer k pour L = 7 cm ; l = 5 cm ; a = 3 cm ; N = 800.
En déduire la valeur de B lorsque I = 4 A.
2.
Production d’un champ tournant
On met en place deux systèmes (S) et (S ′ ) identiques au précédent selon la disposition
de la figure 3 : les axes Oy de (S) et Ox de (S ′ ) sont orthogonaux et se coupent en O, milieu
commun. Chaque système a une résistance électrique totale R et une inductance totale L.
y
A i
(S)
i′
u
x
′
(S )
C
B
Figure 3:
Entre les points A et B sont branchés en parallèle :
√
• un générateur de tension de force électromotrice sinusoı̈dale : u(t) = U 2 cos ω0 t;
• le système (S);
• le système (S ′ ) monté en série avec un condensateur de capacité C.
2.1. À tension u(t) donnée, prévoir qualitativement le rôle de la capacité C sur le courant
i′ (t) dans (S ′ ) par rapport au courant i(t) dans (S). Comment évolue au point O l’extrémité
du champ magnétique total dans le plan xOy ?
2.2. Déterminer, en utilisant la méthode complexe (grandeurs à souligner), les intensités
instantanées réelles i(t) et i′ (t) sous la forme :
√
√
i(t) = I 2 cos(ω0 t − ϕ)
et
i′ (t) = I ′ 2 cos(ω0 t − ϕ′ )
et donner les expressions des intensités efficaces I et I ′ ainsi que de tan ϕ et tan ϕ′ .
2.3. En supposant R et ω0 imposées, exprimer L et C (en fonction de R et ω0 ) pour
satisfaire la double condition : I = I ′ et ϕ = ϕ′ + π2
Que valent dans ces conditions I, I ′ (en fonction de U et R ), ϕ et ϕ′ ?
Peut-on alors préciser la réponse à la question 2.1. ?
M.Lotfi
96
Électromagnétisme
Pb : Moteur Synchrone
2.4. Application numérique : Calculer L et C sachant que R = 25, 1 Ω et f0 =
Hz ; que valent alors numériquement I et I ′ sachant qu’en plus U = 110 V ?
ω0
2π
= 50
2.5. Déterminer dans les conditions du 2.3. le vecteur représentant le champ magnétique
→
−
−
B au point O en notant B0 son module ( à exprimer en fonction de k, U et R ) et →
u x et
→
−
u , les vecteurs unitaires des deux axes.
y
À quelle fréquence ce champ tourne-t-il dans le plan xOy ?
Quelle est la valeur numérique de B0 avec les conditions précédentes ?
3.
Entraı̂nement de la pièce mobile
Le montage précèdent de bobines parcourues par des courants alternatifs de pulsation ω0
→
−
produit dans un certain volume un champ magnétique B supposé uniforme, d’amplitude B0
, qui tourne dans le plan xOy autour de l’axe Oz avec la pulsation ω0 constante (le stator ).
D’autre part, une pièce mobile autour de l’axe Oz (le rotor ) constituée d’un petit aimant
−
→
portant un moment magnétique permanent M, orthogonal à Oz, tourne dans le plan xOy
d’un mouvement de rotation uniforme de pulsation ω.
−
→ →
−
La valeur de l’angle (M, B ) à l’instant initial est noté α comme indiqué sur la figure 4.
z
O
t=0
→
−
B
ω0
α
−
→
M ω
Figure 4:
−
On note →
u z le vecteur unitaire de l’axe Oz.
→
−
→
−
3.1. Calculer la valeur instantanée du couple magnétique Γ (t) exercé par le champ B sur
la pièce mobile.
→
−
En déduire sa valeur moyenne au cours du temps < Γ (t) > et commenter le résultat en
distinguant le cas ω = ω0 du cas ω 6= ω0
3.2. Pour quelles valeurs de ω et α ce dispositif fonctionne-t-il en moteur ? Justifier la
terminologie de moteur synchrone; l’aimant suit-il ou précède-t-il alors le champ magnétique
dans son mouvement ?
Quelle est dans ce cas la puissance maximale Pm que peut fournir le moteur en régime
97
M.Lotfi
Pb : Moteur Synchrone
Électromagnétisme
permanent ? Où est précisément la source d’énergie dans ce montage ?
3.3. On note Γ = | < Γ > | le module de la valeur moyenne du couple magnétique, Γm la
valeur maximale de Γ et Γu 6 Γm le couple utile fourni par le moteur en régime permanent.
Tracer le graphe Γ(α) pour les valeurs de α correspondant à un dispositif fonctionnant en
moteur. Quelle relation lie Γ et Γu en régime permanent de fonctionnement du moteur ? Que
constate-t-on alors graphiquement pour une valeur donnée de Γu ?
3.4. Énoncer le critère de stabilité de fonctionnement du moteur en régime permanent
(lorsque par exemple celui-ci prend accidentellement de l’avance ou du retard sur son régime
permanent), puis déterminer qualitativement à partir du graphe Γ(α) le domaine de α
correspondant à un régime stable.
3.5.
Ce type de moteur peut-il démarrer seul ? Expliquer.
M.Lotfi
98
9
Pb : Moteur asynchrone
Un moteur asynchrone est constitué d’un stator et d’un rotor.
Le stator est réalisé à l’aide d’un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une
→
−
zone limitée de l’espace un champ magnétique tournant B (t).
Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S, contenant N spires
mobiles autour d’un axe.
1.
Stator de la machine asynchrone : production d’un champ
tournant
Soit un ensemble de trois bobines, dont les axes sont régulièrement décalés de 2π
dans le
3
plan xOy (figure 1), et alimentées par un système triphasé de courants de pulsation ωs dont
les intensités sont les suivantes :
2π
4π
i1 = Im cos (ωs t)
;
i2 = Im cos ωs t −
;
i3 = Im cos ωs t −
3
3
La fréquence d’alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50Hz.
i3 (t)
y
→
−
e2
i1 (t)
→
−
e3
2π
3
→
−
e1
x
i2 (t)
Figure 1:
Chaque bobine crée au centre O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme
→
−
−
: B j = kij →
ej
−
avec k est une constante et →
e j est le vecteur unitaire de l’axe de la j ème bobine.
99
Pb : Moteur asynchrone
Électromagnétisme
→
−
1.1. Déterminer les composantes sur Ox et Oy du champ magnétique total B en O. On
→
−
notera B = k B k sa norme que l’on exprimera en fonction de k et Im .
→
−
1.2. Justifier l’appellation de champ tournant pour ce champ magnétique total B .
Préciser à quelle vitesse angulaire ce champ tourne dans le plan xOy.
Calculer la valeur numérique de la vitesse de rotation du champ tournant ns en tours par
minute (tr/mn).
2.
Entraı̂nement du rotor de la machine asynchrone
Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S, orienté suivant
−
la normale →
n , contenant N spires planes filiformes et indéformables en série, et susceptible
de tourner autour de l’axe Oz avec une vitesse angulaire ω constante.
Le cadre est placé dans le champ magnétique tournant que l’on suppose uniforme, de norme
notée B.
→
−
−
Les positions angulaires de B et →
n sont repérées par les angles suivants( figure 2) :
→
−
→
−
−
−
θ(t) = e x , B = ωs t
et
ϕ(t) = (→
e x, →
n ) = ωt
Dans toute la suite, on suppose que : 0 6 ω 6 ωs
y
→
−
B
cadre rectangulaire
→
−
n
ϕ
θ
x
z
i
Figure 2: Vue de dessus
→
−
2.1. Déterminer le flux Φ du champ magnétique B créé par le stator à travers les N spires
du cadre, en fonction de B, N, S, ω, ωs et t.
2.2. En déduire la force électromotrice d’induction e(t) qui apparaı̂t dans celui-ci en
fonction du flux maximum à travers le circuit Φm = NSB , et de la vitesse angulaire
de glissement ωr = ωs − ω (ωr est positive ou nulle).
2.3.
Le cadre est équivalent à un circuit série de résistance R et d’inductance propre L.
2.3.1. Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant i(t) dans la bobine.
M.Lotfi
100
Électromagnétisme
Pb : Moteur asynchrone
2.3.2. En déduire l’expression de i(t) en régime permanent sinusoı̈dal que l’on mettra sous
la forme suivante :
i(t) = Im sin (ωr t − Ψ)
Exprimer, en fonction de Φm , R, L et ωr , l’amplitude Im de i(t) et le retard de phase Ψ de
i(t) par rapport à la force électromotrice e(t) déterminée à la question 2.2. .
3.
Couple électromagnétique
Le cadre rectangulaire est parcouru par le courant i(t) (figure 3).
z
A4
A1
O
i(t)
ϕ
A2
x
y
A3
→
−
n
θ
→
−
B
Figure 3:
→
− −
On note Γ(t) = Γ .→
e z le moment par rapport à l’axe Oz du couple électromagnétique
des forces de Laplace s’exerçant sur les N spires du cadre.
3.1.
Établir l’expression de Γ(t).
3.2. Montrer que sa valeur moyenne < Γ(t) > notée Γem est donnée par l’expression
suivante :
Φ2
RLωr
Γem = m 2
2L R + (Lωr )2
On introduit le glissement, noté g, qui caractérise l’écart relatif entre la vitesse angulaire
de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de l’arbre du moteur : g = ωsω−ω
= ωωrs
s
3.3. Que vaut le glissement g lorsque le moteur est à l’arrêt ?
Que vaut le glissement g lorsque le moteur tourne à la vitesse angulaire ωs de synchronisme
?
2
3.4. On pose Γ0 = Φ2Lm . Exprimer la nouvelle expression du moment Γem en fonction de Γ0 ,
g , R et du produit Lωs .
101
M.Lotfi
Pb : Moteur asynchrone
3.5.
Électromagnétisme
Donner l’expression, notée Γd , de ce moment au démarrage du moteur.
Dans toute la suite, on suppose que R est inférieure ou égale au produit Lωs .
3.6. Déterminer, en fonction de Γ0 , la valeur maximale Γmax de Γem (g) et préciser
l’expression littérale du glissement g1 correspondant.
3.7.
Applications numériques : R = 4, 0 Ω, Lωs = 40 Ω et Γ0 = 100 N.m. On rappelle
que ωs est égale à la pulsation des courants des bobinages statoriques étudiés au 1..
3.7.1. Calculer les valeurs numériques de Γd , g1 et Γmax .
3.7.2. En déduire la vitesse de rotation du moteur n en tr/mn pour g = g1 .
3.7.3. Pour g = g1 calculer la valeur efficace notée IRef f de l’intensité du courant rotorique.
3.8. Tracer l’allure du graphe Γem (g) lorsque la vitesse angulaire du moteur évolue entre
l’arrêt et la vitesse angulaire de synchronisme.
3.9. La charge mécanique accouplée à l’arbre du moteur correspond à un couple résistant
de moment par rapport à l’axe de rotation constant et noté (−Γr ), avec Γr > 0.
3.9.1. Que se passe-t-il si Γr est supérieur à Γd ?
3.9.2. Montrer par une analyse graphique que, si Γd < Γr < Γmax , il existe deux points de
fonctionnement du moteur correspondant à deux vitesses de rotation du rotor ω1 et ω2 .
3.9.3. Étudier de façon qualitative leur stabilité.
3.9.4. Pour augmenter le ”couple au démarrage” Γd , on ajoute une résistance supplémentaire
en série dans le circuit du rotor.
Calculer la nouvelle valeur numérique de Γd pour R = 8 Ω.
4.
Puissance et rendement
On note Pmec la puissance mécanique moyenne et PJ la puissance moyenne dissipée par
effet Joule dans les conducteurs du rotor.
4.1.
Exprimer Pmec et PJ en fonction de Γ0 , R, L, ωr , et ω.
4.2. La puissance électromagnétique moyenne Pem transmise du stator vers le rotor est
intégralement convertie en puissance mécanique moyenne Pmec et en puissance moyenne PJ
dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor.
En déduire l’expression du rendement en fonction de ω et ωs ; on rappelle que ωr = ωs − ω.
4.3. Application numérique : calculer la valeur du rendement η pour un glissement égal
à g = 0, 05.
M.Lotfi
102
10
Pb : Propagation d’une onde
mécanique
1.
Propagation d’une onde dans une corde
Le présent problème étudie un modèle simple d’instrument à corde, dans lequel seule la
physique de la corde vibrante intervient (les effets du couplage entre la corde et l’instrument
ne sont pas évoqués).
Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre
deux points séparés par une longueur L. Le rayon du cylindre est a avec a ≪ L.
On fait l’étude dans le modèle de la corde sans raideur et on néglige l’effet de la pesanteur.
1.1.
équation de propagation de l’ébranlement
La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T0 . Au repos la corde est rectiligne et parallèle à l’axe horizontal (Ox). On étudie les mouvements de la corde autour de
sa position d’équilibre. On note y(x, t) le déplacement (ou ébranlement) du point de la corde
à l’abscisse x à l’instant t. L’axe Oy est l’axe vertical ascendant.
On fait les hypothèses suivantes :
• Les déplacements sont petits, de même que l’angle que fait la corde avec l’axe Ox, ce
∂y
qui entraı̂ne : ∂x
≪1
• La tension de la corde en mouvement est : T (x, t) = T0 + T1 (x, t) avec |T1 (x, t)| ≪ T0
∂y
et |T1T(x,t)|
infiniment petit du même ordre ou d’un ordre supérieur à ∂x
0
• On ne gardera que les termes du premier ordre en y(x, t) et en ses dérivées
• On néglige les effets de la pesanteur.
1.1.1. On considère l’élément de corde de longueur dl situé entre les plans d’abscisses x et
x + dx.
Montrer que :
au premier ordre en
∂y
∂x
dl ≃ dx
103
Pb : Corde
Ondes mécaniques
1.1.2. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à cet élément de corde et le projeter
−
sur →
e y . En déduire que l’ébranlement y(x, t) vérifie l’équation aux dérivées partielles :
2
∂2y
2∂ y
=
c
∂t2
∂x2
où c est une grandeur à exprimer en fonction de T0 et µ.
1.1.3. Vérifier l’homogénéité de l’expression obtenue pour c.
1.1.4. Donner sans démonstration la forme générale des solutions de l’équation de propaga-
tion.
1.1.5. Calculer c pour :
• une corde de guitare : masse linéique µ = 3 g.m−1 , tension T0 = 103 N;
• une corde de piano : masse volumique ρ = 7800 kg.m−3 , tension T0 = 850 N, diamètre
Φ = 1, 2 mm.
Commenter les valeurs obtenues.
1.2.
Corde fixée à ses deux extrémités, modes propres
La corde est fixée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L, ce qui impose les conditions
aux limites : y(0, t) = y(L, t) = 0.
1.2.1. Qu’appelle-t-on onde stationnaire ?
1.2.2. Montrer que les solutions en ondes stationnaires, physiquement acceptables, de
l’équation de propagation sont de la forme :
y(x, t) = y0 cos(ωt + ϕ)cos(kx + ψ)
Quelle est la relation entre ω et k ?
1.2.3. Définir les modes propres et les fréquences propres de la corde.
1.2.4. Montrer que les fréquences propres de la corde sont :
fn = n
c
2L
1.2.5. Définir les ventres et les nœuds de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres
consécutifs ? entre deux noeuds consécutifs ? entre un ventre et un noeud consécutifs ?
1.2.6. Dessiner l’aspect de la corde à différents instants bien choisis pour n = 1, n = 2 et
n = 3.
1.2.7. Proposer une expérience permettant de mesurer les fréquences propres d’une corde.
1.2.8. On considère les cordes dont on a donné les caractéristiques à la question 1.1.5.
. La
corde de guitare permet de jouer une note de fréquence fondamentale (la plus basse des
fréquences propres de la corde) 147 Hz (pour les musiciens, cette note est un ré2). Quelle
est sa longueur ? Quelle est la longueur de la corde de piano jouant la même note ?
M.Lotfi
104
Ondes mécaniques
2.
Pb : Corde
Onde longitudinale dans un barreau
Un barreau solide est initialement immobile dans un référentiel galiléen d’axe Ox.
Lorsqu’il est au repos, ce barreau est un cylindre homogène d’axe Ox, taillé dans un matériau
de masse volumique ρ, dont l’aire de chaque section sera notée S (figure 1).
Une onde de déformation élastique longitudinale (onde de compression dilatation) se propage
à l’intérieur du barreau dans la direction de Ox ; cette onde est caractérisée par le champ
scalaire des déplacements u(x, t) tel qu’une section située à l’abscisse x en l’absence d’onde
se déplace à l’abscisse x + u(x, t) lors du passage de celle-ci (figure 1).
u(x, t)
x
x
O
Figure 1:
Dans la limite des petites déformations, la matière située à gauche de la section déplacée
→
−
en x + u(x, t) exerce sur celle-ci une force de rappel F g dont l’expression générale est :
→
−
∂u
−e
F g = −E (x, t)S →
x
∂x
Où E désigne le module de l’élasticité d’Young. De même la matière située à droite de la
→
−
section exerce sur celle-ci une force F d .
2.1.
→
−
→
−
Établir la dimension de E et justifier que F d = − F g
En l’absence d’onde, une tranche élémentaire du barreau située entre les abscisses x et
x + dx possède un volume dV = S dx. Lors du passage de l’onde, son volume devient dV ′ .
′
La dilatation volumique δ de cette tranche est définie comme le quotient δ = dV dV−dV .
2.2.
Expliciter la relation entre δ et
∂u(x,t)
.
∂x
2.3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette tranche, montrer que
dans la limite des petits déplacements, u(x, t) satisfait à une équation de D’Alembert de la
forme :
∂2u
1 ∂2u
−
=0
∂x2 c2 ∂t2
Exprimer c en fonction de E et ρ, donner sa dimension et sa signification.
105
M.Lotfi
11
Pb : Propagation d’une onde
électromagnétique dans le vide
Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en absence de charges et de courants.
À partir des équations de Maxwell dans le vide, établir les équations de propagation de
→
−
→
−
E et de B .
Montrer qu’une fonction de la forme :
z
z
f (z, t) = f1 t −
+ f2 t +
c
c
est solution de l’équation de propagation, c’est à dire qu’elle vérifie l’équation de propagation.
avec c célérité de la lumière dans le vide vérifiant µ0 ε0 c2 = 1.
Interpréter la solution précédente en termes d’ondes planes progressives.
→
−
−
−
−
Soit un champ électrique E , dans un repère cartésien orthonormé direct (O, →
e x, →
e y, →
e z ),
de la forme :
→
−
ω −
E = E0 cos ωt − z →
ex
c
→
−
Montrer que E vérifie l’équation de propagation dans le vide.
−
→
0.4. À partir des équations de Maxwell, déduire l’expression du champ magnétique B
associé.
0.5.
En déduire la structure de l’onde.
→
−
→
−
− →
− →
0.6. Quelle est la nature du trièdre E , B , k ), où k est le vecteur d’onde, dont on
précisera la direction. Faire un schéma.
107
Pb : Ondes électromagnétiques dans le vide
Ondes électromagnétiques
0.7.
Quel est le rapport des normes des champs :
0.8.
→
−
→
−
Quelle relation vectorielle relie B et E ?
E
B
?
Déterminer la relation de dispersion de l’onde dans le vide. Le vide est-il un milieu dispersif
?
Définir et calculer les vitesses de phase et de groupe. Et donner la signification physique de
chaque vitesse.
−
Soit uem la densité volumique de l’énergie électromagnétique et →
π le vecteur de Poynting, établir la relation locale traduisant la conservation de l’énergie électromagnétique en
l’absence de charges et de courants.
M.Lotfi
108
12
Corrigé : Propagation d’une onde
électromagnétique dans le vide
Les équations de Maxwell dans le vide, en absence de charges et de courants, sont :
→
−
Maxwell-Gauss : div E = 0
→
−
Maxwell-flux : div B = 0
;
→
−
−
∂B
−
→→
Maxwell-Faraday : rot E = −
∂t
;
→
−
−
∂E
−
→→
Maxwell-Ampère : rot B = µ0 ε0
∂t
→
−
→ −
→−
On calcul rot rot E tel que on a :
Or on a
− −−→ →
−
→
−
→
−
−
→ −
→→
rot rot E = grad div E − ∆ E = −∆ E
→
−!
− −
∂B
∂ −
−
∂
−
→ −
→→
→
→→
rot rot E = rot −
=−
rot B = −
∂t
∂t
∂t
→
−!
→
−
∂E
∂2 E
µ0 ε0
= −µ0 ε0 2
∂t
∂t
D’où
→
−
→
−
∂2 E
−∆ E = −µ0 ε0 2
∂t
→
−
Ainsi, on déduit l’équation de propagation de E dans le vide :
→
−
→
−
1 ∂2 E
→
−
∆E − 2 2 = 0
c ∂t
avec µ0 ε0 = c12
→
−
De même on trouve l’équation de propagation de B dans le vide :
→
−
→
−
1 ∂2 B
→
−
∆B − 2 2 = 0
c ∂t
109
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans le vide
Ondes électromagnétiques
On fait les changements de variable : p = t − zc et q = t + zc
On a
∂
∂ ∂p
∂ ∂q
1 ∂
1 ∂
=
+
=−
+
∂z
∂p ∂z ∂q ∂z
c ∂p c ∂q
Et
∂
∂ ∂p
∂ ∂q
∂
∂
=
+
=
+
∂t
∂p ∂t ∂q ∂t
∂p ∂q
Or on a f ne dépend que de z et t alors :
1 ∂2f
∂2f
1 ∂2f
∆f − 2 2 = 2 − 2 2 =
c ∂t
∂z
c ∂t
On a
∂
1∂
−
∂z
c ∂t
∂
1∂
+
∂z c ∂t
∂
1∂
−
∂z
c ∂t
4 ∂
f =− 2
c ∂p
∂
1∂
+
∂z c ∂t
∂f
∂q
f
Avec l’écriture de f en fonction de f1 et f2 on trouve :
∂ ∂f
∂
∂
∂ ∂f2 (q)
=
[f1 (p) + f2 (q)] =
=0
∂p ∂q
∂p ∂q
∂p
∂q
On déduit que f vérifie l’équation de propagation dans le vide.
f1 (t − zc ) représente une onde plane progressive qui se propage dans le sens des z croissants.
f2 (t+ zc ) représente une onde plane progressive qui se propage dans le sens des z décroissants.
→
−
E s’écrit sous la forme de f1 donc il vérifie l’équation de propagation.
0.9.
D’après l’équation de Maxwell-Faraday on trouve :
→
−
ω
ω →
∂B
−
E0 sin ωt − z e y = −
c
c
∂t
On intègre cette équation pour trouver :
→
−
1
ω −
−
B = E0 cos ωt − z →
ey+→
g (z)
c
c
−
avec →
g (z) une fonction qui ne dépend pas du temps, mais puisque on s’interesse à une onde
−
alors on doit avoir le temps et l’espace en même temps, d’où →
g (z) = 0
→
−
→
−
−
0.10. On a E et B sont perpendiculaires sur la direction de propagation →
e z , d’où l’onde
est transverse électromagnétique.
→
→
−
−
→
−
→
−
− →
− →
→
−
→
−
→
−
0.11. E selon e x , B selon e y et k selon e z d’où le trièdre E , B , k est directe (figure
1).
M.Lotfi
110
Ondes électromagnétiques
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans le vide
→
−
E
→
−
k
→
−
B
Figure 1:
0.12. On a
E
B
=
1
c
→
−
→
−
0.13. D’après les expressions de E et B on déduit :
−
→
−e ∧ →
→
−
E
z
B =
c
La relation de disperssion s’écrit
k=
ω
c
Donc la relation entre k et ω est une relation linéaire, alors le vide est un milieu qui n’est
pas dispersif.
La vitesse de phase s’écrit :
vϕ =
ω
=c
k
La vitesse de phase rprésente la vitesse des plans équiphases.
La vitesse de groupe s’écrit :
∂ω
vg =
=c
∂k
La vitesse de groupe représente la vitesse de propagation de l’énergie, c’est la vitesse du
sommet du paquet d’onde.
On a
−
div→
π =
→
− →
−
− −
− →
− −
−
1
1 →
→→
→→
div E ∧ B =
B .rot E − E .rot B
µ0
µ0
D’après les équation de Maxwell on trouve :
→
−
→
−
1→
− ∂B
→
− ∂E
1 ∂B 2 1 ∂E 2
∂
1 2 1
→
−
2
div π = − B .
− ε0 E .
=−
− ε0
=−
B + ε0 E
µ0
∂t
∂t
2µ0 ∂t
2 ∂t
∂t 2µ0
2
D’où
−
div→
π =−
111
∂uem
∂t
M.Lotfi
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans le vide
Ondes électromagnétiques
Ainsi l’équation de conservation de l’énergie, en absence de charges et de courants, s’écrit :
∂uem
−
+ div→
π =0
∂t
M.Lotfi
112
13
Pb : Propagation d’une onde
électromagnétique dans un métal
1.
1.1.
Conductivité d’un métal
Conductivité statique
Dans le modèle de Drüde, un électron libre de masse m et de charge électrique −e, est
soumis, d’une part à une force électrique si le métal est plongé dans un champ électrique et,
→
−
→
−
d’autre part à une force de frottement dont l’expression phénoménologique est f = −m τv ,
−
où →
v désigne la vitesse du porteur de charge dans le référentiel lié au métal supposé galiléen
et modélise l’interaction de l’électron avec son environnement dont on donnera la signification
dans une question du problème. (la pesanteur est négligée).
1.1.1. Comment soumettre les porteurs de charge d’un métal à un champ électrique ?
1.1.2. Un électron du métal étant sous l’influence d’un champ électrique statique et uniforme,
→
−
noté E 0 , écrire, à partir de la relation fondamentale de la dynamique appliquée à ce porteur
de charge, une équation différentielle à laquelle obéit le vecteur vitesse.
1.1.3. Grâce à cette équation, faire apparaı̂tre d’une part un temps caractéristique dont la
−
signification sera précisée et d’autre part une expression de la vitesse limite →
v lim de ce
porteur en régime permanent.
1.1.4. En désignant par n le nombre d’électrons par unité de volume du conducteur, calculer
→
−
le vecteur densité volumique de courant électrique j 0 associé au régime permanent et
expliciter l’unité de cette grandeur physique.
→
−
→
−
j 0 = γ0 E 0 est vérifiée, en précisant
l’expression de la conductivité électrique γ0 en fonction des données du problème.
1.1.5. Montrer que la loi d’Ohm microscopique
1.1.6. Calculer numériquement la conductivité électrique γ0 sachant que :
n(Cu) = 85.1027 m−3 et que τ = 24.10−15 s pour le cuivre.
Il est rappelé que: e = 1, 6.10−19 C , m = 9, 1 10−31 kg . Pour la suite, on prendra γ0 = 59.106
S m−1 .
113
Pb : Ondes électromagnétiques dans un métal
1.2.
Ondes électromagnétiques
Conductivité dynamique
Le champ électrique est supposé uniforme mais il dépend du temps de manière har→
−
→
−
monique à la pulsation ω. Ce champ s’écrit alors E = E 0 exp(iωt) , avec i2 = −1 .
1.2.1. En reprenant la démarche précédente, évaluer en formalisme complexe, pour un régime
harmonique établi, l’expression de la conductivité dynamique complexe notée ici γ.
1.2.2. Représenter le graphe de |γ| en fonction de ω en faisant intervenir une pulsation de
coupure ωc à préciser de manière littérale. Calculer la fréquence de coupure fc correspondante pour le cuivre.
Dans toute la suite du problème, la fréquence vérifiera : f ≪ fc .
2.
Équations de Maxwell dans un métal
→
−
→
−
Le métal étudié dans la suite est donc ohmique : il vérifie la loi d’Ohm j = γ0 E .
2.1.
Démontrer l’équation dite de conservation de la charge :
∂ρ
→
−
div j +
=0
∂t
en partant de l’équation de Maxwell-Gauss et d’une deuxième équation de Maxwell.
2.2. En partant de l’équation de conservation de la charge et d’une équation de Maxwell,
trouver l’équation différentielle du premier ordre satisfaite par la densité volumique de charge
ρ(M, t) dans un métal ohmique. On suppose alors qu’autour d’un point M du métal, pour
une raison quelconque , la charge volumique à l’instant t = 0 est non nulle et égale à ρ0 .
Donner l’évolution de ρ(M, t). En déduire un temps typique de disparition de la charge noté
τ ′ . Faire l’application numérique pour le cuivre. Que peut-on en conclure quant à la valeur
de ρ ?
1
On prendra ε0 = 36π10
9
2.3. On fera ρ = 0. Comment expliquer le paradoxe ( apparent ) suivant : dans un milieu
où on a localement ρ = 0, il peut y avoir du courant c’est-à-dire des charges (!) qui se
déplacent ?
2.4. Exprimer le rapport entre les amplitudes des densités volumiques de courant de
−
→
→
−
→
−
→
−
déplacement j d = ε0 ∂∂tE et de conduction j = γ0 E pour un champ électrique de pulsation
ω. À quelle condition sur la pulsation peut-on négliger le premier devant le second ? A.N.
Calculer la fréquence limite. On supposera désormais que l’on peut négliger le courant de
déplacement.
2.5. Écrire les équations de Maxwell dans le conducteur étudié. En déduire l’équation
de propagation du champ électrique.
M.Lotfi
114
Ondes électromagnétiques
Pb : Ondes électromagnétiques dans un métal
2.6. Commenter le résultat en le comparant à une équation de propagation bien connue.
Que laisse présager la présence d’une dérivée d’ordre impair ?
3.
Effet de peau dans le métal
On étudie l’onde électromagnétique à l’intérieur du conducteur. On cherche une solution
de la forme
→
−
−e
E = E ′0 exp i(ωt − kz)→
avec
E ′0 = E0′ exp iϕ
x
3.1. Cette onde est choisie transversale électrique. Expliquer ce que veut dire. Pourquoi
cette condition devait-elle être obligatoirement remplie ?
3.2. Trouver la relation de dispersion sous la forme k 2 = −i δ22 et donner l’expression et la
dimension de δ ( δ > 0 ) .
3.3. Pour résoudre et déterminer les deux possibilités pour k, on pourra écrire le second
membre imaginaire de l’équation précédente en notation exponentielle. En déduire les deux
solutions pour k qu’on écrira sous forme exponentielle puis sous forme algébrique.
→
−
3.4. Écrire la solution générale pour E en faisant la somme des deux solutions indépendantes
→
−
obtenues ( on utilisera k sous forme algébrique ). Écrire ensuite E réel.
3.5.
À quoi correspond la partie réelle de k ? Qu’en est-il de sa partie imaginaire ?
On suppose désormais que le conducteur occupe le demi-espace z > 0.
3.6. On envoie une onde sur le conducteur, et le champ transmis est de l’une des deux
formes obtenues à la question précédente. Préciser laquelle et justifier.
3.7. Interpréter physiquement δ, et évaluer sa valeur ainsi que celle de la longueur d’onde
pour f = 500 kHz , 1 GHz et 10 THz . Expliquer la dénomination usuelle d’épaisseur de
peau donnée à δ . Que se passe-t-il dans la limite γ → ∞ ? comment est le métal dans ce
cas ?
3.8. Vérifier que l’onde est transversale magnétique et déduire des résultats précédents
→
−
→
−
−
l’expression réelle de B sous la forme B = B0 exp(−z/δ) cos(ωt − kz − ϕ)→
ey .
3.9. Exprimer la vitesse de phase vϕ pour une onde monochromatique de pulsation ω .
Exprimer la vitesse de groupe vg pour un paquet d’onde centré sur la pulsation ω en fonction
de la vitesse de phase pour la pulsation centrale. Vérifier que la vitesse de groupe est inférieure
à la vitesse de la lumière dans le vide. Le milieu est-il dispersif ou non ?
115
M.Lotfi
14
Corrigé : Propagation d’une onde
électromagnétique dans un métal
1.
1.1.
Conductivité d’un métal
Conductivité statique
1.1.1. On peut appliquer un champ électrique en mettant les charges entre les armatures
d’un condensateur lié à un générateur.
1.1.2. Le P.F.D appliqué sur un électron donne :
−
→
−
m−
d→
v
m
= −e E 0 − →
v
dt
τ
D’où l’équation différentielle du vecteur vitesse :
−
−
d→
v
1−
e→
+ →
v = − E0
dt
τ
m
1.1.3. Le temps caractéristique est le temps de relaxation τ .
−
−
Lorsque →
v =→
v lim on a
→
d−
v
dt
= 0, d’où d’après l’équation différentielle :
−
eτ →
→
−
v lim = − E 0
m
→
−
→
−
1.1.4. Par définition du vecteur de densité volumique du courant on a j = −ne v , en régime
−
−
permanent on a →
v =→
v lim d’où :
−
ne2 τ →
→
−
−
j 0 = −ne→
v lim =
E0
m
Dans le S.I des unités, j s’exprime en A.m−2 .
→
−
→
−
1.1.5. On voit bien dans l’expression de j 0 en fonction de E 0 que la loi d’Ohm est vérifiée
avec :
ne2 τ
γ0 =
m
6
−1
1.1.6. A.N : γ0 = 57.10 S.m
117
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un métal
1.2.
Ondes électromagnétiques
Conductivité dynamique
1.2.1. En régime sinusoı̈dal on a
d
dt
−
≡ iω, d’où l’équation différentielle de →
v devient :
1 →
e→
−
−
iω +
v =− E
τ
m
D’où
−
eτ
1 →
→
−
v =−
E
m 1 + iωτ
Ainsi
−
→
−
ne2 τ
1 →
→
−
−
j = −ne→
v =
E = γE
m 1 + iωτ
On déduit l’expression de la conductivité dynamique complexe :
γ=
ne2 τ
1
γ0
=
m 1 + iωτ
1 + iωτ
1.2.2. L’expression de γ est analogue à l’expression de la fonction de transfert d’un filtre
passe bas d’ordre 1, donc on peut l’écrire sous la forme :
γ=
γ0
1 + i ωωc
avec ωc = τ1 représente la pulsation de coupure.
La représentation de |γ| est sur la figure 1.
|γ|
γ0
γ0
√
2
0
ωc
ω
Figure 1:
La pulsation de coupure pour le cuivre est :
fc =
M.Lotfi
1
= 6, 6.1012 Hz
2πτ
118
Ondes électromagnétiques
2.
2.1.
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un métal
Équations de Maxwell dans un métal
On applique la divergence sur l’équation de Maxwell-Ampère on obtient :
→
∂
→
−
→
−
−
→−
div rot B = µ0 div j + µ0 ε0 div E
∂t
−
−
→→
Or div rot f = 0 et d’après l’équation de Maxwell-Gauss on trouve :
∂ρ
→
−
0 = µ0 div j + µ0
∂t
D’où l’équation de conservation de la charge :
∂ρ
→
−
div j +
=0
∂t
→
−
→
−
2.2. On remplace, d’apres la loi d’Ohm, j = γ0 E dans l’équation de conservation de la
charge, on obtient alors
→
−
∂ρ
div(γ0 E ) +
=0
∂t
Et d’après l’équation de Maxwell-Gauss on trouve :
γ0
Soit τ ′ =
ε0
,
γ0
ρ
∂ρ
+
=0
ε0
∂t
la solution de l’équation différentielle vérifiée par ρ est :
ρ(t) = ρ0 e−t/τ
′
Le temps caractéristique de la décroissance de ρ est τ ′ = 1, 5.10−19 s.
Vu la très faible valeur de τ ′ , on peut supposer que dans le métal on a, à n’importe quel
instant : ρ = 0.
2.3. Le fait d’avoir ρ = 0 ne signifie pas qu’on n’a pas de charges, mais signifie que le
milieu est localement neutre, il existe autant de charges positives que de charges négatives
mais on peut avoir des charges en mouvement, c-à-d un courant électrique.
2.4.
En régime sinusoı̈dal on peut écrire :
→
−
kjk
γ0 E
γ0
≈
=
→
−
ωε0E
ωε0
k j dk
Pour négliger le courant de déplacement devant le courant de conduction il faut que
donc il faut que :
γ0
et donc
f ≪ 1018 Hz
ω≪
ε0
119
γ0
ωε0
≫1
M.Lotfi
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un métal
2.5.
Ondes électromagnétiques
Les équations de Maxwell s’écrivent, dans le conducteur étudié, sous la forme :
→
−
M-G : div E = 0
→
−
−
∂B
−
→→
M-F : rot E = −
∂t
On a
→
−
M-Φ : div B = 0
;
−
→
−
→
−
−
→→
M-A : rot B = µ0 j = µ0 γ0 E
;
→
−
−
−
∂E
∂−
−
→−
→→
→→
rot(rot E ) = − rot B = −µ0 γ0
∂t
∂t
Or
−−→
−
→
−
→
−
→
−
−
→−
→→
rot(rot E ) = grad(div E ) − ∆ E = −∆ E
→
−
Alors l’équation de propagation de E dans le conducteur s’écrit :
→
−
→
−
∂E
→
−
∆ E − µ0 γ 0
= 0
∂t
2.6. Cette équation de propagation est différente de l’équation de D’Alembert qui ne
contient que des dérivées secondes. La présence d’une dérivée impaire signifie que la
propagation dans le conducteur n’est pas réversible à cause de la dissipation par effet Joule.
3.
Effet de peau dans le métal
3.1. Transverse électrique signifie que le champ électrique est perpendiculaire sur la
direction de propagation.
En notation complexe, puisqu’il s’agit d’une OPPM, on peut écrire :
→
− →
→
−
→
− →
−
−
−
−e .→
div E = ∇. E = −i k . E = −ik →
z E
→
−
Or d’après l’équation de Maxwell-Gauss on a div E = 0, on déduit qu’on doit nécessairement
→
−
−
avoir E est perpendiculaire sur la direction de propagation →
e z.
→
−
3.2. On remplace l’expression de E dans l’équation de propagation telle qu’on remplace
∂
∆ par −k 2 et ∂t
par iω, on obtient alors :
→
−
→
−
→
−
−k 2 E − µ0 γ0 iω E = 0
d’où
k 2 = −iµ0 γ0 ω
Qu’on écrit sous la forme :
k 2 = −i
avec
δ=
r
2
δ2
2
µ0 γ 0 ω
k s’exprime en m−1 donc δ est homogène à une distance.
M.Lotfi
120
Ondes électromagnétiques
3.3.
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un métal
On a k 2 = −i δ22 =
2 −i π2
e ,
δ2
on déduit alors :
√
2 −i π
1−i
e 4 =
δ
δ
k=
ou aussi
k=−
3.4.
On pose k 1 =
1−i
δ
√
2 −i π
1−i
e 4 =−
δ
δ
et k 2 = − 1−i
, donc :
δ
→
−
−
E = E ′01 exp i (ωt − k1 z) + E ′02 exp i (ωt − k1 z) →
ex
d’où
→
−
z
z
z
z→
−
E = E ′01 exp − exp i ωt −
+ E ′02 exp exp i ωt +
ex
δ
δ
δ
δ
En notation réelle on a :
→
−
z
z
z
z
−
′
′
E = E01
exp − cos ωt − + ϕ1 + E02
exp cos ωt + + ϕ2 →
ex
δ
δ
δ
δ
3.5. La partie réelle de k est responsable de la propagation, par contre la partie imaginaire
est reponsable de l’atténuation.
3.6. Le champ se propage dans la zone où z pent tendre vers +∞, et puisque le champ ne
peut pas diverger on doit avoir :
→
−
z
z→
−
E = E ′01 exp − exp i ωt −
ex
δ
δ
3.7. En se propagent dans le métal, le champ électrique s’atténue et au bout de 5δ le
champ sera nule. Dons δ et la distance cractéristique de la pénétration du champ dans le
métal.
Pour f = 500 kHz on trouve δ = 90 µm
Pour f = 1 GHz on trouve δ = 2 µm
Pour f = 10 THz on trouve δ = 21 nm.
Vu les faibles valeur de δ on parle d’épaisseur de peau.
Pour γ0 → +∞ on a δ → 0 dans ce cas le conducteur est parfait.
3.8.
On s’interesse ici à une OPPM donc l’équation de Maxwelle-Faraday s’écrit :
→
− →
−
→
−
k ∧E
B =
ω
On déduit
→
−
B =
√
z
z π
2 ′
−
E0 exp − cos ωt − − + ϕ →
ey
δω
δ
δ
4
121
M.Lotfi
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un métal
3.9.
Ondes électromagnétiques
On sait que
vϕ =
ω
Re(k)
vϕ =
r
vg =
dω
dRe(k)
vg =
r
alors
Pour la vitesse de groupe on a :
d’où on déduit
2ω
µ0 γ 0
8ω
µ0 γ 0
On a trouvé que vϕ dépend de ω donc le métal est un milieu dispersif.
M.Lotfi
122
15
Pb : Propagation d’une onde
électromagnétique dans un plasma
Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé. C’est donc un milieu globalement
neutre dans lequel on trouve des électrons, des ions et éventuellement des atomes ou des
molécules neutres. Comme les ions sont plus de mille fois plus lourds que les électrons,
l’amplitude de leurs mouvements et donc le courant électrique qui leur est associé est
négligeable devant le courant électronique. Pour les plasmas, l’inertie des électrons est un
phénomène important. On s’intéresse donc au cas plus général où l’inertie compte et on
utilise l’expression de la densité de courant donnée par l’expression :
→
−
j =
ne2 τ
→
−
E
m (1 + iωτ )
(1)
n étant la densité volumique des électrons libres.
On peut distinguer deux régimes : les basses fréquences, où la dissipation est dominante et les
hautes fréquences où les effets d’inertie deviennent dominants et des nouveaux phénomènes
apparaissent.
1.
Dynamique d’un plasma libre
1.1. En utilisant la relation (1) écrire l’équation d’évolution dans le temps de la densité
→
−
volumique de courant j .
1.2. En utilisant la relation de conservation de la charge électrique et les équations de
Maxwell, montrer que la densité volumique de charge ρ obéit à l’équation d’évolution
suivante :
∂ 2 ρ 1 ∂ρ
+
+ ωp2ρ = 0
(2)
2
∂t
τ ∂t
τ est le temps caractéristique d’amortissement de la vitesse et ωp une pulsation appelée
pulsation plasma. Montrer que ωp est donnée par :
ne2
ωp =
mε0
123
Pb : Ondes électromagnétiques dans un plasma
Ondes électromagnétiques
1.3. Pour des faibles densités électroniques, la pulsation plasma est faible et le terme
d’amortissement prédomine dans l’équation précédente. Prévoir l’évolution dans le temps de
la densité volumique de charge ρ.
1.4. Pour une faible dissipation et une densité électronique importante, donner une forme
approchée de l’équation (2). Montrer que le plasma est le siège d’oscillations dont on donnera
la pulsation.
2.
Propagation d’ondes dans un plasma
Comme dans un plasma la densité locale de charge peut être différente de zéro, la
divergence du champ électrique n’est pas nécessairement nulle. On distingue deux types
→
−
d’onde : les ondes transverses pour lesquelles div E = 0, et les ondes longitudinales. Dans la
suite, on ne considérera que les ondes transverses.
Le plasma sera considéré comme un milieu dilué dont les charges sont sans interaction entre
elles. Nous tiendrons compte seulement des effets inertiels et nous admettrons que la densité
de courant est liée au champ électrique par la relation approchée
1 ne2 →
−
→
−
j =
E
iω m
2.1.
→
−
→
−
Écrire lexpression de la densité de courant j en fonction de ω, ωp , ε0 et E .
2.2.
Relation de dispersion
On considère une onde se propageant dans le plasma suivant la direction Oz dont
l’expression complexe du champ électrique associé est :
→
−
→
−
E (z, t) = E 0 exp [i(ωt − kz)]
→
−
2.2.1. Déterminer l’équation de propagation à laquelle obéit le champ électrique E .
2.2.2. Montrer que la relation de dispersion liant k à ω s’écrit sous la forme suivante :
k2 =
ω 2 − ωp2
c2
La pulsation plasma ωp sépare deux zones de fréquence où le plasma a des comportements
très différents.
2.3.
Domaine des basses fréquences (ω < ωp )
2.3.1. Déterminer l’expression du vecteur d’onde k dans le domaine des basses fréquences.
2.3.2. Déterminer l’expression du champ électrique dans le cas des basses fréquences.
Comment peut-on qualifier l’onde électromagnétique associée ? Montrer que pour de telles
fréquences, il n’y a aucune propagation dans le plasma et que ce milieu réfléchit parfaitement
les ondes électromagnétiques.
M.Lotfi
124
Ondes électromagnétiques
Pb : Ondes électromagnétiques dans un plasma
2.3.3. Dans l’ionosphère (partie de l’atmosphère située à quelques centaines de kilomètres
d’altitude qui est partiellement ionisée), la densité en électrons libres est de l’ordre de
n = 1010 électrons par m3 . Quel est le domaine de fréquence correspondant aux ondes
électromagnétiques réfléchies par l’ionosphère ? Voyez-vous une application pratique ?
2.4.
Domaine des hautes fréquences (ω > ωp )
2.4.1. Déterminer l’expression du vecteur d’onde k dans le domaine des hautes fréquences.
2.4.2. Déterminer l’expression du champ électrique dans le cas des hautes fréquences. Quelle
est la nature de l’onde correspondante ? Déterminer sa vitesse de phase vϕ . Tracer vϕ (ω).
Commenter.
125
M.Lotfi
16
Corrigé : Propagation d’une onde
électromagnétique dans un plasma
1.
1.1.
Dynamique d’un plasma libre
L’équation vérifiée par la densité volumique de courant est :
→
−
→
−
→
−
m j + imωτ j = ne2 τ E
qui devient en remplaçant iω par
∂
∂t
:
→
−
−
∂j
ne2 τ →
→
−
j +τ
=
E
∂t
m
1.2.
En appliquant la divergence sur l’équation précédente on obtient :
→
−
∂ div j
ne2 τ
→
−
→
−
div j + τ
=
div E
∂t
m
Or d’après l’équation de conservation de la charge on a :
∂ρ
→
−
div j = −
∂t
Et d’après l’équation de Maxwell-Gauss on a :
→
−
ρ
div E =
ε0
Alors on trouve :
−
∂ρ
∂2ρ
ne2 τ ρ
−τ 2 =
∂t
∂t
m ε0
D’où :
∂ 2 ρ 1 ∂ρ
ne2
+
+
ρ=0
∂t2
τ ∂t mε0
On déduit que la pulsation plasma s’écrit :
ωp2
ne2
=
mε0
127
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un plasma
1.3.
Ondes électromagnétiques
Si on néglige ωp , l’équation différentielle devient :
∂ 2 ρ 1 ∂ρ
+
=0
∂t2
τ ∂t
La solution de cette équation est :
ρ = αe−t/τ + β
1.4.
avec α et β sont deux constantes
Si on néglige les amortissements, l’équation différentielle devient :
∂2ρ
+ ωp2 ρ = 0
∂t2
Il s’agit d’une équation d’un oscillateur harmonique, donc sa solution est sinusoı̈dale de
pulsation ωp .
2.
2.1.
Propagation d’ondes dans un plasma
On a
−
1 ne2 →
→
−
j =
E
iω m
Et puisque :
ωp =
Alors :
2.2.
ne2
mε0
ε0 ωp2 →
−
→
−
j =
E
iω
Relation de dispersion
2.2.1. On sait que :
−−→
−
→
−
→
−
−
→−
→→
rot(rot E ) = grad(div E ) − ∆ E
D’après l’équation de Maxwell-Gauss et puisqu’on s’intéresse à une onde transverse alors on
a:
−
→
−
−
→−
→→
rot(rot E ) = −∆ E
D’après l’équation de Maxwell-Faraday on a :
→
−!
−
∂B
∂−
−
−
→−
→→
−
→
→→
rot(rot E ) = rot −
= − rot B
∂t
∂t
→
−
→
−
Et d’après l’équation de Maxwell-Ampère et l’expression de j en fonction de E , on trouve
:
→
−!
−
−
−
→!
2 →
2 →
2→
2−
µ
ε
ω
ω
→
−
∂
1
∂
E
∂
E
1
∂
E
1
∂
E
∂
E
→
−
−
→−
→
0 0 p
p
rot(rot E ) = −
µ0 j + 2
=−
− 2 2 =− 2
+
∂t
c ∂t
iω
∂t
c ∂t
c
iω ∂t
∂t2
Ainsi l’équation de propagation dans le plasma s’écrit :
→
−
→
−!
∂2 E
→
−
1 ωp2 ∂ E
→
−
+
= 0
∆E + 2
2
c
iω ∂t
∂t
M.Lotfi
128
Ondes électromagnétiques
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un plasma
2.2.2. On remplace l’expression du champ électrique dans l’équation de propagation, tel que
→
−
→
−
on a ∆ E = −k 2 E ,
−
→
∂E
∂t
→
−
= iω E et
−
→
∂2 E
∂t2
→
−
= −ω 2 E , on trouve :
k2 =
2.3.
ω 2 − ωp2
c2
Domaine des basses fréquences (ω < ωp )
2.3.1. Dans le domaine des basses fréquences on a :
r
k=i
ω 2 − ωp2
c2
→
−
2.3.2. On remplace k dans l’expression de E , on trouve :
→
−
→
−
E = E 0 exp
r
ω 2 − ωp2
z
c2
!
→
−
exp(iωt) = E 0 exp (|k|z) exp(iωt)
Il s’agit d’une onde stationnaire qui ne se propage pas dans le plasma, alors nécessairement
l’onde sera réfléchie par le plasma.
2.3.3. A.N. : ωp = 5, 64.106 rad.s−1 , c’est à dire la fréquence plasma est fp =
ωp
2π
= 0, 9 MHz
On déduit que les ondes de fréquence inférieure à fp seront réfléchies par l’ionosphère, on
peut alors utiliser cette réflexion pour guider les ondes radio dans le domaine AM, le sol et
l’ionosphère jouent le rôle d’un guide d’ondes.
2.4.
Domaine des hautes fréquences (ω > ωp )
2.4.1. Dans le domaine des hautes fréquences on a :
k=
r
ωp2 − ω 2
c2
→
−
2.4.2. On remplace k dans l’expression de E , on trouve :
→
−
→
−
E = E 0 exp i (ωt − kz)
Il s’agit d’une OPPM qui se propage dans le sens des z croissants.
La vitesse de phase est :
ω
c
vϕ = = q
ω2
k
1 − ωp2
Le tracé de vϕ en fonction de ω est sur la figure 1. On remarque que vϕ est supérieure à
c, ceci s’explique par le fait que la vitesse de phase est une vitesse des plans équiphase qui
n’ont aucune existence physique.
renewcommand
129
M.Lotfi
Corrigé : Ondes électromagnétiques dans un plasma
Ondes électromagnétiques
vϕ
c
ω
ωp
Figure 1:
M.Lotfi
130
17
Pb : Effet Faraday dans un plasma
On se propose d’étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma peu
dense en tenant compte de la présence d’un champ magnétique uniforme et permanent
→
−
−
B 0 = B0 →
u z ( penser par exemple au champ magnétique terrestre present au voisinage
→
−
de la Terre). On désigne le champ électrique de l’onde dans le plasma par E et le champ
→
−
magnétique de l’onde dans le plasma par B . La densité volumique des électrons est désignée
par N.
√
Pour le plasma considéré, on supposera que ωp > ωC 2
Avec q
e2
ωp = N
: pulsation plasma.
mε0
ωC =
1.
eB0
m
: pulsation cyclotron.
Équation de dispersion
→
− −
→
1.1. Écrire l’équation du mouvement d’un électron du plasma en faisant intervenir E , B
→
−
, B 0 . Rappeler pourquoi, en justifiant rapidement, on n’a pas à prendre en considération le
→
−
champ magnétique B de l’onde.
→
−
1.2. En déduire l’équation différentielle vérifiée par la densité de courant j dans le plasma
→
− −
en fonction de E , →
u z , des pulsations plasma ωp et cyclotron ωC , et de ε0 .
−
→
On envisage désormais le cas particulier d’une OPPM se propageant dans la direction de B 0
→
−
→
−
selon les z croissants. On écrit donc cette onde sous la forme E = E 0 exp i(ωt − kz) avec
→
−
−
k = k→
u z.
→
−
Réécrire l’équation précédente vérifiée par le complexe associe j en tenant compte
→
−
→
−
de cette restriction. En déduire la relation (1) entre j et E .
1.3.
1.4. On veut démontrer que ρ = 0 ( on peut montrer que les oscillations de plasma en cas
de perturbation avec ρ 6= 0 ont pour pulsation ωp . Si le régime forcé a lieu à une pulsation
différente de ωp , on va montrer que ρ = 0 ). En utilisant l’équation de conservation de la
131
Pb : Effet Faraday dans un plasma
Ondes électromagnétiques
→
−
charge div j = − ∂ρ
et l’équation de Maxwell-Gauss, en faisant les simplifications dues
∂t
à l’écriture de l’onde particulière envisagée, démontrer que ρ = 0 . On sera amené à utiliser
→
−
→
−
aussi la relation liant E et j obtenue plus haut.
→
−
→
−
1.5. Écrire les 4 équations de Maxwell vérifiées alors par E et B dans le cas de l’onde
→
−
→
−
envisagée. En utilisant deux de ces équations, obtenir une relation (2) entre j et E .
2.
2.1.
OPPM Circulaire
OPPMC Droite
→
−
→
−
→
−
→
−
on constatera que E peut finalement se simplifier lors du calcul réalisé et que l’on obtient
alors l’équation de dispersion ).
q
ω
ω
ω
2.1.2. Écrire k = kD sous la forme kD = ωc 1 − g ωp , ωC où g désigne une fonction de ωp
et de ωωC . Représenter graphiquement kD en fonction de ω
2.1.1. Établir l’équation de dispersion pour une onde E = E0 ( u x + i u y ) exp i(ωt − kz) (
2.1.3. En déduire que pour une onde circulaire droite la propagation n’est possible que pour
des fréquences supérieures à une fréquence fD dont on donnera l’expression.
2.1.4. Donner l’expression de la vitesse de phase de l’onde progressive vD en fonction de c ,
ωp
ω
et de
2.2.
ωC
.
ω
OPPMC Gauche
→
−
−
→
→
−
2.2.1. Établir l’équation de dispersion pour une onde E = E0 ( u x − i u y ) exp i(ωt − kz).
2.2.2. Représenter graphiquement k = kG en fonction de ω.
2.2.3. En déduire que pour une onde circulaire gauche la propagation n’est possible que pour
des fréquences supérieures à fG ou inférieures à fC .
2.2.4. Donner l’expression de la vitesse de phase de l’onde progressive vG .
2.3.
Récapitulatif des résultats
2.3.1. Vérifier que fC < fD < fG .
2.3.2. Faire un tableau récapitulatif indiquant le(s) type(s) de polarisation circulaire pouvant
se propager ou non dans le plasma selon les fréquences.
3.
OPPM Rectiligne
On se place dans le domaine de fréquence permettant la propagation des deux types
−
→
d’ondes circulaires. On envisage la propagation d’une onde polarisée rectilignement E =
−
E0 exp i(ωt − kz)→
u x . On se propose de montrer, en s’appuyant sur les résultats précédents
concernant les ondes circulaires, que l’onde reste polarisée rectilignement mais que la
direction de polarisation tourne d’un angle proportionnel à la distance parcourue notée z .
Cet angle est aussi proportionnel au champ magnétique B0 (effet Faraday).
M.Lotfi
132
Ondes électromagnétiques
Pb : Effet Faraday dans un plasma
On rappelle qu’une onde polarisée rectilignement OPPMR peut être décrite comme la somme
de deux ondes circulaires OPPMCD et OPPMCG.
3.1. Préciser le domaine de fréquence permettant à une onde rectiligne de se propager
→
−
selon z dans le plasma en présence de B 0 .
3.2.
Comparer kD à kG . De même comparer vD à vG .
On propose dans la suite une résolution graphique et une resolution par calcul du problème.
3.3.
Résolution graphique
→
−
3.3.1. Représenter les vecteurs E pour l’OPPMR, l’OPPMCD, l’OPPMCG en z = 0 pour
t = 0.
→
−
3.3.2. Représenter les vecteurs E pour l’OPPMCD, l’OPPMCG en z > 0 pour t > 0 .
Vérifier que l’OPPMCG a tourné davantage.
→
−
3.3.3. En déduire le E T OT AL et vérifier que la polarisation de l’onde reste rectiligne.
Déterminer sur la figure l’angle, en fonction de kD , kG et z , dont la direction de polarisation
a tourné. Tourne t-elle dans le sens direct (vers la gauche) ou dans le sens indirect ?
3.4.
Résolution par calcul
→
−
→
−
3.4.1. Écrire E OP P M CD (z, t) et E OP P M CG(z, t).
→
−
3.4.2. En déduire E T OT AL (z, t). Vérifier qu’il s’agit effectivement d’une OPPMR. Déterminer
l’angle dont a tourné la direction de polarisation.
renewcommand
133
M.Lotfi
18
Corrigé : Effet Faraday dans un
plasma
1.
1.1.
Équation de dispersion
L’équation du mouvement d’un électron du plasma en négligeant le poids s’écrit :
m
−
→
d→
v
→
−
− →
− −
= −e E − e→
v ∧ B + B0
dt
On peut prendre comme ordre de grandeur pour B : B ≃ E
C
donc
→
−
−
ke→
v ∧ Bk
v
≃
≪1
dans l’approximation non relativiste
→
−
C
ke E k
d’où l’équation du mouvement d’un électron se simplifie en
−
→
−
−
→
d→
v
−
m
= −e E − e→
v ∧ B0
dt
→
−
−
1.2. On sait que : j = −Ne→
v d’où en multipliant l’équation du mouvement de l’électron
par −Ne on obtient
→
−
→
−
→
dj
→
− −
m
= Ne2 E − e j ∧ B0
dt
d’où
→
−
→ Ne2 →
−
dj
e→
− −
+
j ∧ B0 =
E
dt
m
m
donc
→
−
→
−
dj
→
− −
+ ωC j ∧ →
uz = ε0 ωp2 E
dt
1.3.
Dans le cas d’une O.P.P.M on a
∂
∂t
→
−
≡ iω d’où l’équation différentielle de j s’écrit :
→
−
→
− −
→
−
uz = ε0 ωp2 E
iω j + ωC j ∧ →
135
(1)
Corr : Effet Faraday dans un plasma
1.4.
Ondes électromagnétiques
En appliquant la divergence à l’équation 1 on obtient :
→
→
−
→
−
− →
−
iωdiv j + ωC div j ∧ uz = ε0 ωp2 div E
→
−−
→
−
→
−
Or dans le cas d’une O.P.P.M on a div = ∇ ≡ − k →
u z et puisque div j = − ∂ρ
= −iωρ d’où
∂t
→
−
ρ
→
− −
−
ω 2 ρ − iωC k →
u z .( j ∧ →
u z ) = ε0 ωp2 div E = ε0 ωp2
ε0
→
− −
−
et puisque →
u z .( j ∧ →
u z ) = 0 alors
ω 2 − ωp2 ρ = 0
on déduit que
ρ=0
car ω 6= ωp
1.5.
Les équations de Maxwell dans le cas envisagé s’écrivent
→
−
div E = 0
→
−
div B = 0
;
→
−
→
−
−
−
∂B
1 ∂E
→
−
−
→→
−
→→
rot E = −
;
rot B = µ0 j + 2
∂t
C ∂t
→
−
−
∂
Et en utilisant le fait que ∇ ≡ −ik →
u z et ∂t
≡ iω on trouve d’après l’équation de MaxwellFaraday
→
−
−
→
−
k→
uz∧ E
B =
ω
→
−
Et en remplaçant B dans l’équation de Maxwelle-Ampère on trouve
→
−
−
k→
iω →
→
−
→
−
−
−k u z ∧
u z ∧ E = µ0 j + 2 E
ω
C
d’où
i
k2
ω
− 2
ω
C
→
−
→
−
E = µ0 j
ainsi
→
−
j =
2.
2.1.
i
µ0 ω
−
ω2 →
2
k − 2 E
C
OPPM Circulaire
OPPMC Droite
M.Lotfi
136
(2)
Ondes électromagnétiques
Corr : Effet Faraday dans un plasma
→
−
2.1.1. On remplace j de l’équation (2) dans l’équation (1)
1
−
µ0
On a
d’où
ω2 →
−
iωC
ω2 →
− −
→
−
2
2
k − 2 E+
k − 2 E ∧→
u z = ε0 ωp2 E
C
µ0 ω
C
→
− −
→
−
−
−
iE ∧ →
u z = −E0 exp (ωt − kz) (→
u x + i→
u y) = − E
1
−
µ0
d’où
Et puisque µ0 ε0 =
1
C2
ω2 ωC →
−
→
−
2
k − 2
1+
E = ε0 ωp2 E
C
ω
ω2 ωC 2
k − 2
1+
= −µ0 ε0 ωp2
C
ω
on trouve
ωωp2
ω2
k = 2− 2
C
C (ω + ωC )
2
(3)
2.1.2. Pour une onde se propageant dans le sens des z croissants on a d’après l’équation (3)
ω
kD =
C
s
1−
d’où
g=
ωp2
ω(ω + ωC )
ωp2
ω2
1 + ωωC
La représentation de kD en fonction de ω est sur la figure 1.
x
ω
C
y
ωD
Figure 1:
2.1.3. Pour qu’il y a propagation il faut que kD soit réel donc on doit avoir 1 −
ωp2
ω(ω+ωC )
ce qui donne par résolution de l’équation du second ordre
ω > ωD avec
q
−ωC + ωC2 + 4ωp2
ωD =
2
137
ωp2
ω(ω+ωC )
>0
= 1 donne qu’on doit avoir
M.Lotfi
Corr : Effet Faraday dans un plasma
Ondes électromagnétiques
2.1.4. On a
vD =
2.2.
ω
C
=q
ωp2
kD
1 − ω(ω+ω
C)
OPPMC Gauche
2.2.1. Dans le calcul du paragraph 2.1. on trouvera la même chose en remplaçant ωC par
−ωC d’où on aura
kG =
ω
C
s
1−
ωp2
ω(ω − ωC )
2.2.2. la courbe est représentée sur la figure 2.
ω
C
x
ωC
y
ωG
Figure 2:
2.2.3. Pour qu’il y a propagation il faut que kG soit réel donc on doit avoir 1 −
deux solution sont possibles
• soit
ω2
ωG =
ωC +
q
ωC2 + 4ωp2
2
2.2.4. On a
vG =
ω
C
=q
ωp2
kG
1 − ω(ω−ω
C)
Récapitulatif des résultats
M.Lotfi
>0
ωp2
ω(ω−ωC )
=1
ω < ωC
p
• ou ω(ω−ω
< 1 ce qui donne par résolution de l’équation du second ordre
C)
donne qu’on doit avoir ω > ωG avec
2.3.
ωp2
ω(ω−ωC )
138
Ondes électromagnétiques
Corr : Effet Faraday dans un plasma
2.3.1. On a l’égalité ωD < ωG est vérifiée
On a
ωp >
ainsi
√
s
alors
2ωC
1+4
d’où
ωp2
>2
ωC2
ωp2
>3
ωC2
q
ωC2 + 4ωp2 > 3ωC
d’où
−ωC +
q
ωC2 + 4ωp2
2
> ωC
On déduit que ωD > ωC
d’où les deux inégalités sont vérifiées fC < fD < fG .
2.3.2.
• f < fC la seule onde qui peut se propager est l’OPPMCG.
• fC < f < fD aucune onde des deux ne peut se propager
• fD < f < fG la seule onde qui peut se propager est l’OPPMCD.
• f > fG les deux ondes peuvent se propager.
3.
OPPM Rectiligne
3.1. Puisque l’onde polarisée rectilignement est la somme de deux ondes circulaire l’une
droite et l’autre gauche alors d’après la question 2.3.2.le domaine de fréqence qui permet ceci
est les fréquences f > fG
2
2
3.2. D’après les formules de kD et de kG on trouve kD
− kG
> 0 d’où kD > kG . Or kD =
ω
et kG = vG alors vG > vD .
ω
vD
3.3.
Résolution graphique
→
−
3.3.1. La représentation de E à t = 0 et z = 0 est sur la figure 3.a
→
−
3.3.2. La représentation de E à t > 0 et z > 0 est sur la figure 3.b avec
α = ωt − kG z
,
β = ωt − kD z
,
θ=
α−β
2
G )z
on trouve θ = (kD −K
l’angle de rotation de la direction de la polarisation, θ est indépendant
2
de t donc il s’agit bien d’une polarisation rectiligne.
3.4.
Résolution par calcul
139
M.Lotfi
Corr : Effet Faraday dans un plasma
Ondes électromagnétiques
x
x
→
−
EG
→
−
EG
→
−
ED
→
−
E TOTAL
α
β
→
−
ED
y
z = 0 et t = 0
θ
→
−
E TOTAL
y
z > 0 et t > 0
figure 3.b
figure 3.a
Figure 3:
3.4.1. On a
→
−
E0
−
−
E OP P M CD (z, t) =
[cos (ωt − kD z) →
u x − sin (ωt − kD z) →
u y]
2
et
→
−
E0
−
−
E OP P M CG(z, t) =
[cos (ωt − kG z) →
u x + sin (ωt − kG z) →
u y]
2
3.4.2. En faisant la somme des deux champs on obtient
→
−
kD − kG
kD + kG
kD − kG
kD + k
→
−
E T OT AL (z, t) = E0 cos
z cos ωt −
z u x + sin
z cos ωt −
2
2
2
2
d’où
→
−
kD + kG
kD − kG
kD − kG
→
−
→
−
E T OT AL (z, t) = E0 cos ωt −
z cos
z u x + sin
z uy
2
2
2
Qu’on peut écrire sous la forme
→
−
kD + kG
−
−
E T OT AL (z, t) = E0 cos ωt −
z [cos θ→
u x + sin θ→
u y]
2
Il s’agit bien d’une polarisation rectiligne selon l’axe qui fait l’angle θ avec l’axe (Ox) tel que
θ=
M.Lotfi
kD − kG
z
2
140
Annexe
141
Annexe A
Opérateurs mathématiques
renewcommandAnnexeAnnexe
→
−
→
−
Soient f et g deux champs scalaires et A et B deux champs vectoriels.
1.
1.1.
Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées
Gradient
1.1.1. Coordonnées cartésiennes
−−→
∂f
∂f
∂f
grad f =
(x, y, z)~ex +
(x, y, z)~ey +
(x, y, z)~ez
∂x
∂y
∂z
1.1.2. Coordonnées cylindriques
−−→
∂f
1 ∂f
∂f
grad f =
(r, θ, z)e~r +
(r, θ, z)e~θ +
(r, θ, z)e~z
∂r
r ∂θ
∂z
1.1.3. Coordonnées sphériques
−−→
∂f
1 ∂f
1 ∂f
grad f =
(r, θ, ϕ)e~r +
(r, θ, ϕ)e~θ +
(r, θ, ϕ)e~ϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1.2.
Divergence
1.2.1. Coordonnées cartésiennes
→
−
∂Ax ∂Ay ∂Az
div( A ) =
+
+
∂x
∂y
∂z
1.2.2. Coordonnées cylindriques
→
−
1 ∂Aθ ∂Az
1 ∂
(r.Ar ) +
+
div( A ) =
r ∂r
r ∂θ
∂z
143
1.2.3. Coordonnées sphériques
→
−
1 ∂
1 ∂
1 ∂Aϕ
div( A ) = 2 (r 2 .Ar ) +
(sin θAθ ) +
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
1.3.
Rotationnel
1.3.1. Coordonnées cartésiennes
−
−
→→
rot A =
∂Az ∂Ay
−
∂y
∂z
→
−
ex+
∂Ax ∂Az
−
∂z
∂x
→
−
ey+
1
→
−
eθ+
r
∂Ay ∂Ax
−
∂x
∂y
→
−e
z
1.3.2. Coordonnées cylindriques
−
−
→→
rot A =
1 ∂Az ∂Aθ
−
r ∂θ
∂z
→
−
er+
∂Ar ∂Az
−
∂z
∂r
∂(rAθ ) ∂Ar
−
∂r
∂θ
→
−e
z
1.3.3. Coordonnées sphériques
−
−
→→
rot A =
1.4.
1
∂(sin θAϕ ) ∂Aθ →
1 ∂Ar 1 ∂(rAϕ ) →
1 ∂(rAθ ) ∂Ar →
−
−
−e
−
e r+
−
e θ+
−
ϕ
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
r
∂r
∂θ
Laplacien
1.4.1. Coordonnées cartésiennes
∆f =
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
1.4.2. Coordonnées cylindriques
1 ∂
∆f =
r ∂r
∂f
1 ∂2f
∂2f
r
+ 2 2 + 2
∂r
r ∂θ
∂z
1.4.3. Coordonnées sphériques
1 ∂
∆f = 2
r ∂r
2.
2.1.
∂f
r
∂r
2
1
∂
+ 2
r sin θ ∂θ
∂f
1
∂2f
sin θ
+ 2 2
∂θ
r sin θ ∂Φ2
Formules des opérateurs
Opérateur nabla
→
−
On peut utiliser l’opérateur nabla ∇ pour écrire les différents opérateurs tel qu’on écrit :
−−→
→
−
gradf = ∇f
→
−
→
− →
−
div A = ∇. A
−
→
− →
−
−
→→
rot A = ∇ ∧ A
M.Lotfi
144
→
−
∆ f = ∇ 2f
Pour calculer les différents opérateurs dans le système de coordonnées cartésiennes et
seulement pour ce système, on peut utiliser la formule de l’opérateur nabla :
→
−
∂
∂
∂
∇ = ~ex
+ ~ey
+ ~ez
∂x
∂y
∂z
2.2.
Formules portant sur un seul champ
−−→
• div(grad)f = ∆f
soit
→
−
−
→ −−→
• rot(gradf ) = 0
−
−
→→
• div(rot A ) = 0
−−→
−
→
−
→
−
→→
−
→−
• rot(rot A ) = grad(div A ) − ∆ A
soit
soit
soit
→
− →
−
→
−
∇.( ∇f ) = ∇ 2 f
→
−
→
−
→
−
∇ ∧ ( ∇f ) = 0
→
− →
− →
−
∇.( ∇ ∧ A ) = 0
→
−
→
−→
−
→
− →
− →
−
→
− −
→
∇ ∧ ( ∇ A ) = ∇( ∇. A ) − ∇ 2 A
2.3.
Formules portant sur deux champs
−−→
−−→
−−→
• grad (f g) = g grad f + f grad g
→
−
→
− −−→
→
−
• div(f A ) = A .grad f + f div A
−−→
−
→
−
−
−
→ →
−
→→
• rot( f A ) = (grad f ) ∧ A + f rot A
→
− →
−
→
− −
− →
− −
−
→→
→→
• div( A ∧ B ) = B .rot A − A .rot B
− →
−
→
− →
−
→
− →
−
→
− −−→ →
−
→
− −−→ →
−
−
→→
• rot( A ∧ B ) = (div B ) A − (div A ) B + ( B . grad) A − ( A .grad) B
−−→ →
− →
−
→
−
−
→
−
−
→
− −−→ →
−
→
− −−→ →
−
−
→→
−
→→
• grad( A . B ) = A ∧ (rot B ) + B ∧ (rot A ) + ( B .grad) A + ( A .grad) B
145
M.Lotfi
Mohamed LOTFI
Ce livre d’électromagnétisme- Ondes
rassemble un résumé de cours
et des problèmes résolus du niveau licence.
Il s’adresse aux étudiants
qui sont en DEUG Sciences ou en classes
préparatoires scientifiques. Il est également très utile aux étudiants
des licences de sciences physiques et aux candidats aux concours
d’enseignement, aux concours d’agrégation de physique et aux
concours d'entrée aux grandes écoles d'ingénieurs.
Mohamed LOTFI est professeur à l’École Normale Supérieure de
Marrakech. Agrégé et docteur ès sciences, enseignant en licence,
en Master et en classes préparatoires.
Les ouvrages de physique de M. LOTFI
Mécanique du solide
Cours et problèmes corrigés
Mécanique du point
Résumé de cours et problèmes corrigés
Thermodynamique
Résumé de cours et problèmes corrigés

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