1.INTRODUCTION 1.1 Généralités : But : remplacer l'opérateur humain dans la conduite d'une machine, d'un processus, d'une installation industrielle 2 types de commandes : - Analogiques (linéaire ou non linéaire). - Numérique (échantillonnée). (moteurs, …) Figure 1.1 : système physique (processus) asservi Exemple 1.1 : asservissement logique But : garder un niveau du liquide compris entre Nh et Nb. Si niveau < Nb atteint. Þcommande de l’electrovanne jusqu’à ce que le niveau Nh est Nh Capteur Commande Nb Figure 1.2 : système de commande d’un bac. Exemple 1.2 : asservissement analogique But : faire suivre le bateau à la direction indiquée par Si q¹ qref Þ qref faire tourner à gauche ou à droite suivant . qref - q q qref Figure 1.3 : commande d’un bateau. Þ on va réaliser une commande analogique proportionnelle à qref qref - q= e + - q A qref - q eA Commande de la barre Capteur d’angle Figure 1.4 : boucle de commande du bateau. Si la commande (couple ) dans le sens - Si - Si qref > q qref < q Þ A doit être de signe positif. Þ tourner dans le sens positif Þtourner dans le sens négatif 1.2 Outils mathématiques : Analyse temporelle : - Equation différentielle. - Réponse indicielle, … . Analyse fréquentielle : - Fonction de transfert. - Diagramme de Bode, … . 1.3 Signaux utilisés : - Analogiques. - Numérique. - Logique. 1.4 Transformée de Laplace : La transformée de Laplace F(p) = L (f(t)) est la fonction de la variable complexe p définie par : F ( p ) = e - pt f (t )dt 0 Opérateur de Laplace : - p : littérature francophone - s : littérature anglophone Convention d ’écriture : - fonction dans le domaine temporelle : minuscule. - fonction de le domaine fréquentiel : majuscule. (1 .1) 1.4.1 Principaux théorème 1.4.1.1 Linéarité : - Changement d ’échelle : L A f (t ) = A F ( p ) (1 .2 ) - Superposition : L f1 (t ) f 2 (t ) = F1 ( p ) F2 ( p ) (1 .3) Remarque : L f1 (t ) f 2 (t ) ¹ F1 ( p ) F2 ( p ) (1 .4 ) 1.4.1.2 Translation : - Dans le domaine temporel : L f (t - ) = e - p F ( p ) (1 .5) - Dans le domaine fréquentiel : L e - at f (t ) = F ( p a ) (1 .6 ) 1.4.1.3 Equations différentielles : - Dérivation : L f ' (t ) = p F ( p ) - f ( 0 ) (1 .7 ) - Intégration : t 1 L f (t )dt = F ( p ) 0 p (1 .8) 1.4.1.5 Extrema : - Valeur initiale : f ( 0 ) = lim p F ( p ) (1 .9 ) p - Valeur finale : f ( ) = lim p F ( p ) (1 .10 ) p0 Exemple 1.3 : - Equation différentielle : e (t ) = Ri (t ) s (t ), Þ e (t ) = RC ds (t ) dt i (t ) = C ds (t ) dt s (t ), s ( 0 ) = 0 i(t) (1 .11) e(t) (1 .12 ) C s(t) Figure 1.5 : système du 1ier ordre - Transformée de Laplace : E ( p ) = RCp S ( p ) S ( p ) R (Cellule RC) (1 .13 ) - Fonction de transfert : H ( p) = S ( p) E ( p) = 1 (1 .14 ) RCp 1 C’est un système du 1ier ordre de gain 1. 1.5 Cas général d’une équation différentielle ordinaire : Le système ci-contre est décrit par une équation différentielle de la forme: am d me dt n m a1 de dt a 0 e ( t ) = bn j =0 dt n b1 dy dt b0 y (t ) (1 .15 ) m Þ b j y (t ) = a i e ( i ) (t ) ( j) dny Système e(t) i=0 (1 .16 ) y(t) Si on suppose que les conditions initiales sont nulles c.à.d : y ( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) = 0, ..., y ( n -1) ( 0 ) = 0 e ( 0 ) = 0, e ' ( 0 ) = 0, ..., e ( m -1) ( 0 ) = 0 (1 .17 ) L ’application de la TL conduit à : n m Y ( p ) b j p =E ( p ) a i p i j j =0 (1 .18 ) i=0 Alors, la fonction de transfert (FT) est la suivante : m H ( p) = Y ( p) E ( p) = i a p i i=0 n j b p j j =0 (1 .20 ) En divisant en haut et en bas respectivement par a 0 et b0 , on trouve : am m a1 ai p a0 a0 p a0 p 1 H ( p ) = i n= 0 = = K G ( p) bn n b1 j b p b p p 1 j 0 b0 j =0 b0 m i (1 .21) Avec le gain statique : K = a0 b0 (1 .22 ) Et la fonction : am m a p 1 p 1 a0 a0 G ( p) = bn n b p 1 p 1 b0 b0 (1 .23 ) Exemple 1.3 (suite) : RC = Si on pose : (1 .24 ) Þ H ( p) = 1 (1 .25 ) p 1 : Constante de temps. Remarque : e(t) h(t) y(t) E(p) H(p) On a : Y ( p ) = H ( p ) E ( p ) : produit y (t ) = h (t ) * e (t ) : convolution (1 .26 ) (1 .27 ) Avec : y (t ) = h ( )e (t - )d - (1 .28 ) Y(p On calcul la sortie du système suivant le type d’entrée. 1.6 Entrées physiques : Pour définir les caractéristiques (le modèle) réponse à des signaux d ’entrée particuliers. - Approche temporelle entrée = échelon, rampe ou impulsion - Approche fréquentielle entrée = sinusoïde à fréquence variable d ’un système, on étudie sa 1.6.1 Approche temporelle : 1.6.1.1 Echelon : c’est une entrée qui est utilisée pour - caractérise le gain et le régime transitoire du système. - utilisé comme entrée de test d ’une régulation. e(t) A t E ( p) = A (1 .29 ) p Figure 1.6 : signal échelon. Dans l’exemple 1.3 : A Y ( p) = = p 1 p p 1 p 1 , = ? (1 .30 ) (1 .31) Y ( p) = p p 1 ( ) p = p p 1 (1 .32 ) Par comparaison : = A = A Þ = 0 = - A A -A Þ Y ( p) = p p 1 1 1 Þ Y ( p ) = A p p1 (1 .33 ) (1 .34 ) (1 .35 ) Rappel sur quelque transformations : F ( p) = F ( p) = F ( p) = F ( p) = F ( p) = 1 pa f (t ) = e - at a p( p a) f (t ) = 1 - e - at pa 2 (1 .38 ) 2 f (t ) = e - at sin t (1 .39 ) 2 (1 .37 ) f (t ) = e - at cos t ( p a) 2 (1 .36 ) ( p a) ab p ( p a )( p b ) f (t ) = 1 - be - at - ae - bt b-a (1 .40 ) On déduit la sortie du système pour une entrée échelon : t - y (t ) = A 1 - e u (t ) u (t ) : échelon unité (d’amplitude 1). (1 .41) y(t) 0.95A A 0.63A 2 3 Figure 1.7 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée échelon. t 1.6.1.2 Rampe : c’est une entrée qui est utilisée pour déterminer l’erreur de trainage d’un asservissement. e(t) Bt t E ( p) = B p (1 .42 ) 2 Figure 1.8 : signal rampe Dans l’exemple 1.3 : Y ( p) = = B p p p 2 , , = ? 2 1 p 1 p 1 (1 .43 ) (1 .44 ) p Y ( p) = p2 p 1 = 2 p p p 2 p 1 (1 .45 ) = B = - B 2 B = (1 .46 ) 2 B - B p B Þ Y ( p) = 2 p p 1 (1 .47 ) 2 B B Þ Y ( p) = 2 p p p 1 (1 .48 ) 1 Þ Y ( p) = B 2 - 1 p p p (1 .49 ) = B Þ = 0Þ = 0 B On déduit la sortie du système pour une entrée rampe : t - y (t ) = B t - e u (t ) u (t ) : échelon unité (d’amplitude 1). (1 .50 ) y(t) Bt ev: erreur de vitesse ou de trainage t Figure 1.9 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée rampe. 1.6.1.3 Impulsion de Dirac : - Mathématiquement, l’impulsion de Dirac est définie comme suit : e(t) t E ( p) = 1 Figure 1.10 : représentation mathématique d’une impulsion de Dirac - Physiquement : e(t) 1 e Aire impulsion = 1 e t Figure 1.11 : représentation physique d’une impulsion de Dirac (1 .51) 1.6.2 Approche fréquentielle : Sinusoïde : On faisant varier la fréquence de la sinusoïde d ’entrée de « 0 » (basse fréquence) à « l ’infini » (haute fréquence), on peut construire le diagramme de Bode. e(t) t Figure 1.12 :Signal sinusoïdale e (t ) = E 0 sin 0 t E ( p) = e (t ) = E 0 cos 0 t E ( p) = E 0 0 p 2 02 E0 p p 2 2 0 (1 .52 ) (1 .53 ) 2. PROCESSUS ET SYSTEMES 2.1 Définition : Processus (Process) : Aspect physique Système : Aspect mathématique ou modèle du processus 2.2 modèle mathématique d’un système linéaire : 2.2.1 Présentation du problème : Soit un moteur électrique par un courant i(t). Aimant permanant ou commandé par une tension u(t) Þ i(t) Inducteur à u0=Cste. parcouru f0 R Cm , w L e Flux magnétique u(t) Figure 2.1 : moteur cc à commande par induit Cr Avec : J : moment d’inertie du moteur et sa charge Kg .m 2 f 0 : coefficient de frottement visqueux N .m / s C r (t ) : couple résistant de la charge (perturbation) N .m C m (t ) : couple moteur N .m w (t ) : vitesse de rotation de l’arbre moteurrad / s 2.2.2 Equation électrique : On considère que les conditions initiales ont nulles. u (t ) = Ri (t ) L di (t ) dt e (t ) ( 2 .1) Dans le domaine de de Laplace : U ( p ) = RI ( p ) LpI ( p ) E ( p ) ( 2 .2 ) Þ U ( p ) = R Lp I ( p ) E ( p ) ( 2 . 3) 2.2.3 Equation mécanique : On considère que les conditions initiales ont nulles. En rotation : couples = J dw (t ) ( 2 .4 ) dt Þ C m (t ) - C r (t ) - f 0 w (t ) = J dw (t ) m ( p ) - r ( p ) = Jp f 0 ( p ) dt ( 2 .5) ( 2 .6 ) 2.2.4 Equation électromécanique : On considère que les conditions initiales sont nulles. En rotation : C m (t ) = K i i (t ) e (t ) = K e w (t ) ( 2 .7 ) ( 2 .8) Avec : K i : coefficient du couple moteur m.N / A K e : coefficient de la f.c.e.mV /( rad / s ) Dans le domaine de de Laplace : m ( p) = K i I ( p) ( 2 .9 ) r ( p) = K e ( p) ( 2 .10 ) On peut montrer que : K i = K e (en valeur algébrique) ( 2 .11) La puissance électrique e (t ).i (t ) transformée en puissance mécanique par le moteur est égale à la puissance mécanique : e (t )i (t ) = C m (t ) w (t ) C m (t ) i ( t ) = Ki et : e (t ) = K w (t ) e ( 2 .12 ) ( 2 .13 ) On remplace (2.13) dans (2.12) : C (t ) K e w (t ) m = C m (t ) w (t ) Ki Þ Ke Ki ( 2 .14 ) =1 ( 2 .15 ) 2.3 Schéma fonctionnel : Mise sous forme de schéma bloc (fonctionnel) : E ( p) I ( p) = U ( p) - E ( p) R Lp Þ m ( p ) = K i I ( p ) Þ U ( p) I ( p) + - 1 R Lp Ki I ( p) m ( p) r ( p) ( p) = m ( p ) - r ( p ) f 0 Jp Þ m ( p) + - 1 f 0 Jp Ke ( p) Ceci nous donne le schéma suivant : U ( p) I ( p) 1 + - R Lp Ki ( p) E ( p) r ( p) m ( p) + - ( p) 1 1 f 0 Jp p E ( p) Ke Figure 2.2 : schéma fonctionnel d’un moteur cc q 2.4 Fonction de transfert : Soit le système définit par la schéma suivant : e( p) + X ( p) - Y ( p) F ( p) X r ( p) G ( p) Figure 2.2 : schéma fonction d’un système bouclé On définit la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) : FTBO = F ( p )G ( p ) = X r ( p) ( 2 .16 ) X ( p) Et la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : FTBF = Y ( p) X ( p) ( 2 .17 ) La sortie peut être écrite : Y ( p ) = F ( p ) e( p ) ( 2 .18 ) Avec : e( p ) = X ( p ) - X r ( p ) X r( p ) = G ( p )Y ( p ) ( 2 .19 ) En remplaçant dans (2.19) dans (2.18) : Y ( p ) = F ( p ) X ( p ) - G ( p )Y ( p ) Þ Y ( p ) 1 F ( p )G ( p ) = F ( p ) X ( p ) Þ FTBF = Þ FTBF = Y ( p) X ( p) Y ( p) X ( p) = = F ( p) 1 F ( p )G ( p ) F ( p) 1 FTBO ( 2 .20 ) ( 2 .21) ( 2 .22 ) ( 2 .23 ) 2.4.1 Fonction de transfert du système (moteur cc) : Le système étant linéaire, nous pouvons appliquer, Théorème de superposition : La réponse d’un système à plusieurs entrées est égale à la somme des réponses pour chaque entrée prise individuellement. 1) r ( p ) = 0 : couple résistant nul F1 ( p ) = Ki ( 2 .24 ) R Lp f 0 Jp G1 ( p ) = K e ( 2 .25 ) Ki Þ 1 ( p ) = R Lp f 0 Jp Ki Ke 1 R Lp f 0 Jp U ( p) ( 2 .26 ) Þ 1 ( p ) = Ki 1 K i K e Rf 0 f L JR 1 0 K i K e Rf 0 JL p K i K e Rf 0 2 p C’est un système : d’ordre : 2 de fonction : G ( p ) = 1 f 0 L JR 1 K i K e Rf 0 et de gain statique : K = Ki K i K e Rf 0 JL p K i K e Rf 0 2 p U ( p) ( 2 .27 ) 2) U( p) = 0 : F2 ( p ) = G2 ( p) = 1 ( 2 .28 ) f 0 Jp Ki Ke ( 2 .29 ) R Lp 1 f 0 Jp - r ( p ) Þ 2 ( p) = Ki Ke 1 R Lp f 0 Jp L 1 p R R Þ 2 ( p) = K i K e Rf 0 f 0 L JR JL p 1 K i K e Rf 0 K i K e Rf 0 Théorème de superposition : ( p ) = 1 ( p ) 2 ( p ) ( 2 .30 ) 2 p - r ( p ) ( 2 .31) ( 2 .32 ) 2.5 Représentation des systèmes linéaires : 2.5.1 Diagramme de Bode : Pour illustrer cette méthode de représentation, on va prendre l’exemple suivant : H ( jw ) = 100 w (1 jw ) 1 j 100 1 1 H ( jw ) = 100 w (1 jw ) 1 j 100 H ( jw ) = H 1 ( jw ) H 2 ( jw ) H 3 ( jw ) ( 2 .33 ) ( 2 .34 ) ( 2 .35 ) Le diagramme de Bode représente l’évolution du module (en db) et la phase de la fonction de transfert en fonction de la fréquence. a) Module en db : H ( jw ) db = 20 log H ( jw ) ( 2 .36 ) log : logarithme décimal. Dans l’exemple : H ( jw ) db = 20log H 1 ( jw ) H 2 ( jw ) H 3 ( jw ) ( 2 .37 ) Þ H ( jw ) db = 20 log H 1 ( jw ) 20log H 2 ( jw ) 20log H 3 ( jw ) ( 2 .38 ) 1 Þ H ( jw ) db 2 w = 20 log 100 - 20 log 1 w 2 2 - 20log 1 100 (2) (1)Cste 2 1 ( 2 .39 ) (3) Þ H ( jw ) db 2 w 2 = 20 log 100 - 10log 1 w - 10 log 1 100 (2) (1)Cste (3) ( 2 .40 ) Pour (2) : w 0 Þ - 10 log(1 0 ) = 0 ( 2 .42 ) w w = 1 = 1 Þ - 10 log(1 1) = - 10 x 0 .3 = - 3db 1 ( 2 .43 ) w >> 1 Þ - 10 log(1 w 2 ) - 10 log( w 2 ) = - 20 log( w ) ( 2 .44 ) Ca veut dire que si on multiplie la pulsation par 10, la courbe descend de 20 db. On déduit la présence d’une asymptote de -20 db/dec. Pour (3) : w 0 Þ - 10 log( 1 0 ) = 0 w w = 100 = 1 Þ - 10 log(1 1) = - 10 x 0 .3 = - 3db 100 w 2 w 2 w w >> 100 Þ - 10 log 1 10 log = 20 log 100 100 100 une pente de -20 db/dec. Þ ( 2 .45 ) ( 2 .46 ) ( 2 .47 ) b) Phase : H ( jw ) = H 1 ( jw ) car : H ( jw ) = H 1 ( jw ) e j H 2 ( jw ) H 1 ( jw ) H 3 ( jw ) H 2 ( jw ) e j H 2 ( jw ) j Þ H ( jw ) = H 1 ( jw ) H 2 ( jw ) H 3 ( jw ) e ( 2 .48 ) H 3 ( jw ) e j H 1 ( jw ) H 2 ( jw ) H 3 ( jw ) H 3 ( jw ) ( 2 .49 ) ( 2 .50 ) Dans l’exemple : 0 H 1 ( jw ) = arctg ( 2 .51) = arctg ( 0 ) Þ H 1 ( jw ) = 0 ,180 100 100 mais : cos H 1 ( jw ) = ( 2 .52 ) = 1 Þ H 1 ( jw ) = 0 100 w /1 H 2 ( jw ) = - arctg ( 2 .53 ) 1 1 w=0: H 2 ( jw ) = 0 - arccos = 0 - 0 = 0 ( 2 .54 ) 1 w =1: 1 H 2 ( jw ) = 0 - arctg = 0 - 45 = - 45 1 ( 2 .55 ) w : H 2 ( jw ) = 0 - arctg = 0 - 90 = - 90 1 Figure 2.3 : Tracé de Bode pour la première fonction ( 2 .56 ) -20db/dec) Figure 2.4 : Tracé de Bode pour la deuxième fonction -20db/dec) Figure 2.5 : Tracé de Bode pour la troisième fonction -20db/dec) -40db/dec) Figure 2.6 : Tracé de Bode pour la fonction totale 2.5.2 Diagramme de Nyquist (lieu de Nyquist) : C’est le lieu définit en coordonnées polaires par un rayon vecteur égal à H ( jw ) et par un angle polaire = H ( jw ) , ce lieu est gradué en w Þ plan complexe. Pratiquement, cela consiste à représenter la partie réelle et imaginaire de H ( jw ) . Im H ( jw ) Re H ( jw ) H ( jw ) On prend par exemple : w Figure 2.7 : principe du lieu de Nyquist H ( jw ) = 1 jw 1 1 Re H ( jw ) = 1 w2 Þ Im H ( jw ) = - w 1 w2 ( 2 .57 ) ( 2 .58 ) Par exemple, on procède comme suit : On pose : 1 x= ( 2 .59 ) 1 w 1- x 2 Þw = x 2 ( 2 .60 ) Et : -w 1 w 2 =y ( 2 .61) Þ - wx = y Þ - w = y x ( 2 .62 ) En remplaçant (2.62) dans (2.60) : y2 x 2 = 1- x ( 2 .63 ) x Þ y 2 = (1 - x ) x ( 2 .64 ) 2 1 1 Þ y x - = = r2 2 4 2 ( 2 .64 ) L’équation (2.64) est celle d’un cercle de rayon (1/2) et de centre (1/2,0). Point critique) w = = -90 w=0 = 0 Figure 2.8 : diagramme de Nyquist de la fonction de transfert. Si le diagramme de Nyquist passe à gauche du point critique (-1), alors le système est instable. 2.5.3 Diagramme de Black-Nichols : On représente la fonction H ( jw ) en portant en abscisses la phase ordonnée H ( jw db . On reprend le même exemple de l’équation (2.57) : H ( jw ) = et 1 jw 1 On étudie le système en boucle ouverte (BO), on trace l’allure de : H ( jw db = f Arg H ( jw ) Et on peut déduire la stabilité en boucle fermée (BF). ( 2 .65 ) en Figure 2.9 : diagramme de Black-Nichols de la fonction de transfert. 2.5.4 Lieu des racines : C’est une méthode basée sur les propriétés modales : H ( p) = N ( p) D( p) = ( p - z1 )( p - z m ) ( 2 .66 ) ( p - p1 )( p - p n ) Par exemple : ( p - z1 )( p 2 2 1 w1 p w12 ) H ( p) = p 2 ( p 2 2 2 w2 p w22 ) ( 2 .67 ) p X 2 z2 X X z 2* X Im x z1 p1 Re X p* 2 Figure 2.10 : lieu des racines de la fonction de transfert. 3. SYSTEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX 3.1 Système du 1ier ordre : 3.1.1 Définition : On appelle système du 1ier ordre un système régi par une équation différentielle ordinaire du 1iere ordre. Si e(t) désigne l’entrée du système et est la suivante : s (t ) ds (t ) dt s(t) sa sortie, alors la forme canonique = Ke (t ) (3 .1) : constante de temps (s). K : gain statique (l’unité dépend de la nature de l’entrée et la sortie). Sa fonction de transfert est la suivante (CI nulles) : S ( p ) pS ( p ) = KE ( p ) Þ H ( p) = S ( p) E ( p) = K 1 p (3 .2 ) ( 3 . 3) i(t) Exemple 3.1: Soit le système décrit par la figure ci-contre. e(t) R s(t) C Figure 3.1 : système du 1ier ordre (Cellule RC) Equation différentielle : e (t ) = Ri (t ) s (t );s (t ) = Þ e (t ) = Ri (t ) 1 i ( ) d C 1 i ( ) d ,i ( 0 ) = 0 C (3 .4 ) (3 .5) Fonction de transfert : E ( p ) = RI ( p ) S ( p) = 1 Cp 1 I ( p) (3 .6 ) I ( p ) Þ CpS ( p ) = I ( p ) (3 .7 ) Cp Þ E ( p ) = R CpS ( p ) 1 Cp CpS ( p ) (3 .8 ) Þ E ( p ) = RCp 1S ( p ) Þ H ( p) = S ( p) E ( p) = (3 .9 ) 1 (3 .10 ) RCp 1 K =1 = RC Exemple 3.2: moteur à cc à flux constant Si on néglige le couple résistant, nous avons : Þ ( p ) = 1 ( p ) = Ki K i K e Rf 0 1 f L JR 1 0 K i K e Rf 0 JL p K i K e Rf 0 Que devient le système si on néglige l’inductance? 2 p U ( p) (3 .11) Þ ( p ) = 1 ( p ) = Þ H ( p) = ( p) U ( p) = Ki 1 K i K e Rf 0 Ki K i K e Rf 0 JR 1 K i K e Rf 0 1 p JR 1 K i K e Rf 0 p U ( p) (3 .12 ) (3 .13 ) La nouvelle équation est celle d’un système du 1ier ordre : Gain statique : Ki K i K e Rf 0 Constante de temps : JR K i K e Rf 0 rad 1 s d’unité , c’est l’unité de Ke v d’unité (s) 3.1.2 Etude en régime transitoire et permanant : 3.1.2.1 Réponse indicielle : (à un échelon) S ( p) = K p 1 E ( p) Þ S ( p) = K A (3 .14 ) p 1 p 1 Þ S ( p ) = KA p p 1 (3 .15 ) t - Þ s (t ) = KA 1 - e u (t ) s(t) 0.95AK AK (3 .16 ) Tangente à l’origine : AK 5% de AK 0.63AK 2 3 Figure 3.2 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée échelon. t Calcul de la tangente à l’origine : t t - KA s (t ) = KA 1 - e u (t ) Þ s ' (t ) = e u (t ) KA Þ s ' (0) = (3 .17 ) D’un autre coté : lim s ' (t ) = lim p pS ( p ) = lim p t0 p p KA p 1 = KA (3 .18 ) Erreur statique : On définit « l’erreur statique »ou « erreur de position » comme : es = lim e (t ) - s (t ) avec e (t ) = Au (t ) t t - es = A - lim KA 1 - e = A - KA = A (1 - K ) t es 0 ssi K = 1 (3 .19 ) (3 .20 ) (3 .21) L’erreur statique n’a de sens physique que si l’entrée e la sortie sont de même nature. On définit le temps de réponse à 5% comme le tems au bout duquel on atteint et on « reste » dans un intervalle de tolérance de ±5% de la valeur final KA. Tr(5%) = 3 3.1.2.2 Réponse Impulsionnelle : S ( p) = K p 1 Þ s (t ) = K E ( p) Þ S ( p) = - K p 1 (3 .22 ) t e u ( t ) (3 .23 ) s(t) K Tangente à l’origine Figure 3.3 : Réponse d’un système du premier ordre à une impulsion. t s (t ) = K t - e u ( t ) Þ s ' ( t ) = - s ' (0) = - K 2 - t e u ( t ) K (3 .25 ) 2 Equation de la droite : D (t ) = - K 2 Þ D ( ) = - t K (3 .26 ) K 2 (3 .24 ) K =0 (3 .27 ) 3.1.2.3 Réponse à une rampe : S ( p) = = K p 1 p p 2 E ( p) = K B p 1 p 2 p 1 2 1 Þ S ( p ) = KB 2 - p p 1 p (3 .28 ) (3 .29 ) (3 .30 ) t - Þ s (t ) = KB t - e u (t ) (3 .31) Erreur de trainage (erreur de vitesse) : On définit « l’erreur de vitesse » comme : t - ev = lim Bt u (t ) - KB t - e u (t ) t (3 .32 ) t - Þ ev = lim 1 - K Bt u (t ) KB - e t (3 .33 ) K > 1 : ev = - Þ K < 1 : ev = K = 1 : e = KB = B v (3 .34 ) s(t) ev - s(t) Bt Bt t ev t Figure 3.4.a : cas K>1. Figure 3.4.b : cas K<1. s(t) Bt ev = B t Figure 3.4.c : cas K=1. Figure 3.4 : Réponse d’un système du premier ordre à une entrée rampe. 3.1.3 Représentation de la fonction de transfert du système du 1ier ordre (plus en détail) : La fonction de transfert du système du 1ier ordre est : K H ( p) = 1 p Þ H ( jw ) = K (3 .36 ) 1 j w Nous avons alors les relations : a) Module : H ( jw ) = A = b) Phase : (3 .35 ) K (3 .37 ) 1 w = - arctg ( w ) 2 2 (3 .38 ) On les représentent souvent en fréquence normalisée : = w K A = Þ 1 2 = - arctg ( ) (3 .39 ) (3 .40 ) 3.1.3.a Diagramme de Bode : Diagramme des modules : Adb = 20 log( A ) = 20 log( K ) - 10 log(1 2 ) (3 .41) (3 .42 ) Calcul des deux asymptotes : Adb = 20 log( K )qd w 0 Adb = 20 log( K ) - 20 log( )qd w (3 .43 ) Point de concourt des deux asymptotes : 20 log( K ) - 20 log( ) = 20 log( K ) (3 .44 ) Þ 20 log( ) = 0 (3 .45 ) Þ = 1 = w (3 .46 ) Þw= 1 (3 .47 ) Point de concourt de l’asymptote avec l’axe horizontal : 20 log( K ) - 20 log( ) = 0 (3 .48 ) Þ = K = w (3 .49 ) Þw= K Calcul de quelques points : (3 .50 ) 1 2 w = Þ Adb = 20 log( K ) - 10 log 1 = 20 log( K ) - 3db 1 (3 .51) 1 2 w= Þ Adb = 20 log( K ) - 10 log 1 = 20 log( K ) - 1db (3 .52 ) 2 2 Un décalage d’une octave en moins entraine un écart de -1db par rapport à l’asymptote 20log(K). 1 2 2 w = Þ Adb = 20 log( K ) - 10 log 1 = 20 log( K ) - 6 .98 db 2 (3 .53 ) 2 Asymptote : 20 log( K ) - 10 log = 20 log( K ) - 6 db Courbe : 20 log( K ) - 6 .98 db (3 .54 ) (3 .55 ) La valeur de la courbe est inférieure de 1db par rapport à la deuxième asymptote. Remarque : La pulsation w = 1 est appelée pulsation de coupure à -3db. Diagramme des phases : = - arctg ( w ) w 0 Þ 0 w Þ - 90 1 1 w 100 10 (3 .56 ) 1 1 2 2 10 100 - 0 .57 - 5 .7 - 26 .5 - 45 - 63 .4 - 84 .3 - 89 .4 Tableau 3.1 : valeur de la phase pour différentes pulsations. Þ Figure 3.5 : Diagramme de Bode d’un système du 1ier ordre avec K=10, tau=2. 3.1.3.b Diagramme de Nyquist, Black-Nichols : Figure 3.5 : Diagramme de Nyquist Figure 3.6 : Diagramme de Black-Nichols d’un système du 1ier ordre avec K=10, tau=2. d’un système du 1ier ordre avec K=10, tau=2. 3.2 Système du 2ième ordre : 3.2.1 Définition : On appelle système du 2ième ordre un système régit par une équation différentielle ordinaire du 2ième ordre. s (t ) 2 z ds (t ) wn dt 1 d 2 s (t ) w 2 n dt 2 = Ke (t ) Avec : wn : pulsation naturelle du système non amorti (rd/s). z : coefficient d’amortissement réduit (sans unité). K : gain statique du système (unité dépend de e(t) et s(t)). (3 .57 ) Sa fonction de transfert si CI=0 : S ( p) 2z wn Þ H ( p) = pS ( p ) S ( p) E ( p) = 1 w 2 n p 2 s ( p ) = KE ( p ) K 2z 1 2 1 p 2 p wn wn (3 .58 ) (3 .59 ) Remarque : cas de CI non nulles f (t ) F ( p ) df (t ) pF ( p ) f ( 0 ) dt d 2 f (t ) pF ( p ) pf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 dt Exemple d’un système du 2ième ordre: moteur à cc. (3 .60 ) 3.2.2 Etude en régime transitoire et permanant : 3.2.2.1 Réponse indicielle : (à un échelon) S ( p) = K 2z 1 2 1 p 2 p wn wn Þ S ( p) = E ( p) AK 2z 1 2 p 1 p 2 p wn wn p Þ S ( p ) = AK p 2z 1 2 1 p 2 p wn wn 1 Þ S ( p ) = AK - S 0 ( p ) p (3 .61) (3 .62 ) (3 .63 ) (3 .64 ) 1 2z p wn2 wn p 2 zw n Þ S0 ( p) = = 2 2z 1 2 p 2 zw n p wn2 1 p 2 p wn wn (3 .65 ) 1ier cas (régime apériodique) : z > 1 Calcul des pôles de S 0 ( p ) : 2 2 2 2 2 ' = z wn - wn = wn z - 1 p = - w z w z 2 - 1 = w - z z 2 - 1 1 n n n Þ p 2 = - wn z - wn z 2 - 1 = - wn z z 2 - 1 p - p1 p 2 Þ S0 ( p) = p - p1 p - p 2 - p2 p1 Þ S0 ( p) = p1 - p 2 p - p1 p - p 2 1 (3 .66 ) (3 .67 ) (3 .68 ) (3 .69 ) p1 p 2 1 p 2 t 1 p1t Þ s 0 (t ) = e e p1 - p 2 p 2 p1 1 Þ s (t ) = KA 1 p1e p 2 t - p 2 e p1t p1 - p 2 (3 .70 ) u (t ) (3 .71) Exemple 3.3 : Soit le système du deuxième ordre suivant : H ( p) = 2 2 p 4 p 1 Trouver la réponse indicielle de ce système. (3 .72 ) K = 2 2 H ( p) = 2 Þ wn = 1 p 4 p 1 z = 2 (3 .73 ) p1 = - 2 3 Þ p 2 = - 2 - 3 (3 .74 ) 1 Þ s ( t ) = 2 A 1 - 2 3 e - 2 3 t - 2 3 e - 2 3 t 2 3 Figure 3.7 : Réponse indicielle de la fonction de transfert (utiliser la fonction « step » sous Matlab). (3 .75 ) 2ième cas (régime critique) : z = 1 ' = 0 Þ p1 = p 2 = - wn Þ S0 ( p) = 1 (3 .76 ) wn p wn s (t ) = KA 1 - 1 wn t e - w t u (t ) p wn 2 n (3 .77 ) (3 .78 ) Exemple 3.4 : Soit le système du deuxième ordre suivant : H ( p) = 2 p 2 p 1 2 Figure 3.8 : Réponse indicielle de la fonction de transfert. (3 .79 ) 3ième cas (régime pseudo-périodique) : 0 < z < 1 2 2 2 2 2 ' = z wn - wn = wn z - 1 < 0 p = - w z jw 1 - z 2 = w - z j 1 - z 2 1 n n n Þ p 2 = - wn z - jw n 1 - z 2 = - wn z j 1 - z 2 p 2 zw n p 2 zw n S0 ( p) = 2 = p 2 zw n p wn2 p zw n 2 1 - z 2 wn2 (3 .80 ) (3 .81) (3 .82 ) On pose : w p = wn 1 - z 2 (3 .83 ) w p : pulsation propre (oscillation allongée). Þ S0 ( p) = Þ s 0 (t ) = e p zw n p zw n 2 - zw n t w cos( w p t ) 2 p p zw n zw n wp zw n 2 w 2 p e - zw n t sin( w p t ) (3 .84 ) (3 .85 ) On pose : z = cos( ),( 0 < z < 1) cos( ) - zw n t Þ s 0 (t ) = e cos( w t ) sin( w t ) p p 2 1 cos( ) sin( ) Þ s 0 (t ) = Þ s 0 (t ) = e - zw n t sin( ) e - zw n t sin( ) (3 .86 ) sin( ) cos( w t ) cos( ) sin( w t ) p (3 .87 ) p sin( w p t ) (3 .88 ) e - zw n t Þ s (t ) = KA 1 sin( w p t ) sin( ) D’ou le mouvement oscillatoire amorti de période : T = (3 .89 ) 2 wp Quelques valeurs : ier Amplitude du 1 dépassement : D = KA 1 e Les minima sont obtenus aux instants : t i = i Les maxima :t i = i wp wp z 1- z 2 (3 .90 ) , i = 2 n n N , i = ( 2 n 1)n N (3 .91) (3 .92 ) Souvent, on ne considère comme système pseudo-périodique que les systèmes avec z < 0 .7 et non pas z < 1 car pour z = 0 .7 Þ D = 1 .046 < 5 % , D est à l’intérieur de la bande de 5%. Pour des valeurs de z > 0 .7 , pas d’oscillations. Þ Dans un régime non périodique, on rentre directement dans la bande±5%, Donc l’utilisateur ne voit pas le système osciller. Temps de réponse à 5% ( z < 0 .7 ) : Tr 5 % = 3 wn z (3 .93 ) H ( p) = 2 p 1 .6 p 1 2 (3 .93 ) z = 0 .8 H ( p) = 2 p 2 0 .5 p 1 (3 .94 ) z = 0 .25 Figure 3.9.a : Réponse indicielle pour 0.7>z>1 Figure 3.9.b : Réponse indicielle pour 0<z<0.7 Figure 3.9 : Réponse indicielle pour 0<z<1 4ième cas (régime oscillant) : z = 0 1 P S ( p ) = KA - 2 2 p p wn Þ s (t ) = KA 1 - cos( wn t ) u (t ) Mouvement oscillant continu de période : Erreur statique : (3 .95 ) (3 .96 ) T = 2 wn (3 .97 ) es = lim e (t ) - s (t ) t z ¹ 0 Þ es = A (1 - K ) (3 .98 ) z=0 H ( p) = (3 .99 ) 2 p2 1 (3 .100 ) z=0 Figure 3.9 : Réponse indicielle pour z=0 3.2.2.2 Réponse à une rampe : (échelon de vitesse) K S ( p) = 1 Þ S ( p) = 2z 1 p 2 p2 wn wn E ( p) (3 .101 ) BK (3 .102 ) 2z 1 p 2 1 p 2 p 2 wn wn 2z 2z p 4z2 -1 w w 1 Þ S ( p ) = BK 2 - n 2 n p p wn 2 zw n p p 2 (3 .103 ) 2z * Þ s (t ) = BK t s (t ) u (t ) wn (3 .104 ) lim s * (t ) = 0 (3 .105 ) t D’ou l’asymptote : KB (t - 2z wn ) (3 .106 ) Si K = 1 alors la sortie suit l’entrée avec un retard égal à : lim s ' (t ) = lim p 2 S ( p ) = 0 t0 p 2z wn (3 .107 ) Þ la tangente à l’origine est nulle. Erreur dynamique : 2z ev = lim Bt - KB t t wn (3 .108 ) K ¹ 1 Þ ev 2 zB K 1 = Þ = e v wn (3 .109 ) K = 2 2 H ( p) = 2 Þ wn = 1 p 4 p 1 z = 2 (3 .110 ) K = 1 H ( p) = 2 Þ wn = 1 p 4 p 1 z = 2 1 (3 .111) Figure 3.10.a : Simulation d’un système du 2ième ordre sous Simulink Figure 3.10.b : Réponse à une rampe avec K=2. Figure 3.10.c : Réponse à une rampe avec K=1. 3.2.2.3 Etude en régime harmonique : e (t ) = e0 sin( wt ) s (t ) = s 0 sin( wt ) (3 .112 ) Amplitude : K A = H ( jw ) = w 1 - wn 2 2 (3 .113 ) 2 zw 2 wn Phase : 2 zw wn = - arctg w 1 - w n 2 (3 .114 ) 3.2.2.3.a Diagramme de Bode : Etude du module : Soit : w U = 1 - wn w = wn Þ dA dw 2 2 2 zw 2 wn 4 (3 .115 ) 2 w 2 2 z 2 - 1 w 1 n = dA dU =- dU dw K 2 U - 3 2 dU dw w dA K w Þ = - U 2 4 w dw 2 w n n - 3 (3 .116 ) 2 2 z - 1 (3 .117 ) 2 w = 0 dA = 0 Þ ou dw w = wr = wn 1 - 2 z 2 (3 .118 ) (3 .119 ) wr est appelée pulsation de résonnance et n’existe que pour z < 2 2 . z = 0 : La courbe représente une asymptote verticale en w = wn . 0 < z < 0 .7 : La courbe est maximale en w = wr . La courbe démarre à la valeur K ( w = 0 ) et tend vers zéro lorsquew . w Adb = 20 log( K ) - 10 log 1 - wn 2 2 zw 2 wn 2 (3 .120 ) Etude de la phase : 2 zw wn = - arctg w 1 - w n 2 Þ w 0 Þ 0 w wn Þ - 90 w Þ - 180 (3 .121 ) Coefficient de surtension : M = Amax (3 .122 ) A( w = 0) si:z < 0 .7 Þ Amax = A ( w = wr = wn 1 - 2 z 2 ) ÞM = 1 2z 1- z (3 .124 ) 2 si : z << 0 .7 Þ M = (3 .123 ) 1 2z (3 .125 ) K = 1 H ( p) = 2 Þ wn = 1 p 2 zp 1 z = 0,0 .2, ,1 .6,1 .8 1 (3 .126 ) Figure 3.11 : Diagramme de Bode pour z = 0, 0.2, ,1.6,1.8 z=0 z = 0.2 z = 0.4 z=0 z = 0.2 z = 0.4 Figure 3.12 : Réponse du système du 2ième ordre à un échelon. 4. STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS 4.1 Définition : Le système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. Un système est stable si la réponse libre (à e(t)=0) tend vers zéro quand t tend vers l’infini (cas linéaire). 4.2 Définition générale de stabilité : (t) h(t) y(t) 1 Y(p) H(p) La réponse d’un système est donnée par : Y ( p) = H ( p) 1 ( 4 .1) On décompose la fonction de transfert : Ai Y ( p) = p - pi i , p i C ou R Þ y (t ) = Ai e pi t i ( 4 .2 ) ( 4 . 3) Chaque exponentielle ne revient à zéro que si la partie réelle de p i est strictement négative. Un système n’est stable que si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative. Si la fonction de transfert possède un pôle réel nul, le système est dis astatique. 1 Ex (intégrateur) : H ( p ) = ( 4 .4 ) p Si la fonction de transfert possède des pôle imaginaires pures, alors le système est oscillant. 4.2.1 Système du 1ier ordre : H ( p) = Pôle : p1 = - S ( p) K = E ( p) ( 4 .5) p 1 1 ( 4 .6 ) Si : e (t ) = (t ) Þ S ( p ) = Þ s (t ) = K - K p 1 E ( p) = K ( 4 .7 ) p 1 t e u ( t ) 1 Le système du 1ier ordre est stable si > 0 Þ p1 = - < 0 s(t) K ( 4 .8 ) ( 4 .9 ) < 0 > 0 Figure 4.1 : Réponse d’un système du premier ordre à une impulsion. t 4.2.2 Système du 2ième ordre : K H ( p) = 1 Cas z < 1 : ( 4 .10 ) 2z 1 p 2 p2 wn wn p = - w z jw 1 - z 2 1 n n p 2 = - wn z - jw n 1 - z 2 ( 4 .11) Qui sont deux pôles complexes. Si : e (t ) = (t ) Þ s (t ) = K K = 1 H ( p) = 2 Þ wn = 1 p 2 p 1 z = 0 .5 1 wn 1- z 2 e- zw n t sin( wn 1 - z 2 t ) ( 4 .12 ) ( 4 .13 ) Figure 4.2 : Réponse impulsionnelle du système du 2ième ordre. 4.3 Critère algébrique de ROUTH : H ( p) = N ( p) ( 4 .14 ) D( p) Þ les pôles de la fonction de transfert sont les racines deD ( p) . D ( p ) = a n p n a n -1 p n -1 a1 p a 0 ( 4 .15 ) Enoncé : a) Si a i 0 Þ système instable. b) Si a i > 0 Þ examiner la première colonne du tableau de ROUTH. pn an an -2 an-4 p n -1 a n -1 a n -3 a n -5 a1 0 p n-2 b1 b2 b3 p n -3 c1 c2 c3 Première colonne p0 Tableau 4.1 : Tableau de ROUTH. a0 Avec : b1 = b2 = a n -1a n - 2 - a n a n - 3 ( 4 .15 ) a n -1 a n -1a n - 4 - a n a n - 5 ( 4 .16 ) a n -1 etc c1 = b1 a n - 3 - a n -1b2 ( 4 .17 ) b1 Si tous les coefficients de la première colonne sont >0, alors le système est stable. Exemple 4.(1,2) : H1( p) = H 2 ( p) = K 2 1 6 p - 3 p p ( 4 .18 ) 3 K 2 3 1 6 p 3p 3p p 4 ( 4 .19 ) H 1 ( p ) : l’un des coefficients (-3) est < 0. Donc, le système est instable H 2 ( p ) : les coefficients sont > 0, alors on construit le tableau de ROUTH. p4 1 3 1 p3 3 9-6 6 3-0 0 p2 p1 p0 3 6-3 1 3-0 3 =1 3 =3 =1 0 0 0 =1 Les coefficients de la première colonne sont positifs, alors le système est stable. Exemple 4.3 : H 3 ( p) = K 1 6 p 2 p 3 p p 2 3 4 ( 4 .20 ) H 3 ( p ) : les coefficients sont > 0, alors on construit le tableau de ROUTH. p4 1 2 1 p4 1 2 1 p3 3 6-6 6 3-0 0 p3 3 6 0 p2 e 1 0 0 0 p 2 p 1 p 0 3 - =0 3 =1 0 Þ p 1 p0 6 e- 3 e <0 1 L’un des coefficients de la première colonne est négatif, alors le système est instable. 4.4 Critère graphique de stabilité : A partir du lieu de transfert en Boucle Ouverte, on déduit la stabilité en Boucle Fermée : e( p) + X ( p) - Y ( p) H ( p) X r ( p) G ( p) Figure 4.3 : schéma fonction d’un système asservi Þ FTBF = Þ FTBF = Y ( p) X ( p) Y ( p) X ( p) = = H ( p) 1 H ( p )G ( p ) H ( p) 1 FTBO Les pôles de a FTBF sont les zéros de 1+FTBO. ( 4 .21) ( 4 .22 ) H ( jw )G ( jw ) 1 = 0 ( 4 .23 ) Þ H ( jw )G ( jw ) = - 1 ( 4 .24 ) Ce qui met bien en évidence le vecteur de module 1 et d’argument - 1 = 1(cos( ) j sin( )) : ( 4 .25 ) Qui est appelé « point critique ». 4.4.1 Critère du revers dans le plan de Nyquist : Le système sera stable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des w croissants, on laisse le point critique (-1) sur la gauche. Im(GH) -1 Re(GH) Instable Juste stable Stable Figure 4.4 : Critère du revers dans le lieu de Nyquist 4.4.2 Critère du revers dans Black : Dans le plan de Black, le système sera instable si, en parcourant le lieu de transfert dans le sens des w croissants, on laisse le point critique (-1) à droite. FTBO ( jw ) db -180 Instable = arg( FTBO ( jw )) juste Stable stable Figure 4.5 : Critère du revers dans le lieu de Black 4.4.3 Critère du revers dans Bode : FTBO ( jw ) db w = arg FTBO ( jw ) w -180 Figure 4.6 : Critère du revers dans le lieu de Bode Point critique : 0db et -180° Dans le lieu de Bode, le système sera stable si, pour la pulsation w qui correspond à arg( GH ( jw )) = - 180 , la courbe d’amplitude passe en dessous de 0db. 4.4.4 Marge de gain et marge de phase : Marge de gain : Mg = - GH ( jw ) db = - 20 log GH ( jw ) ( 4 .25 ) arg( GH ( jw )) = - 180 ( 4 .26 ) Avec : Marge de phase : M = 180 arg GH ( jw1 ) ( 4 .27 ) Avec : GH ( jw1 ) = 1 Þ 20 log GH ( jw1 ) = 0 db ( 4 .28 ) FTBO ( jw ) db w1 Mg w = arg FTBO ( jw ) w -180 w M Figure 4.7 : Marge de gain et de phase dans le lieu de Bode Le système est stable si la marge de gain et la marge de phase sont positive FTBO ( jw ) db M -180 w1 = arg( FTBO ( jw )) Mg w Figure 4.8 : Marge de gain et de phase dans le lieu de Black Im(GH ) Mg -1 Re(GH ) M -1 Figure 4.8 : Marge de gain et de phase dans le lieu de Nyquist Exemple 4.4 : Trouver la marge de gain et de phase et conclure sur la stabilité du système : GH ( p ) = 1 (1 jw ) 3 ( 4 .29 ) GH ( jw ) = = 1 ( 4 .30 ) 1 jw 3 jw 3 jw 3 2 1 1 - 3 w j 3 w - w 2 3 ( 4 .31) 3w - w 3 = - arctg 2 1 - 3w = - 180 Þ 3w - w 3 1 - 3w 2 ( 4 .32 ) =0 ( 4 .33 ) Þ w = 0, 3 w = 0: = 0 - arccos 1 - 3 02 1 - 3 0 3 0 - 0 2 2 3 2 0 0 0 = - Þ = ( 4 .34 ) w = 3: 2 1- 3 3 = 0 - 180 Þ = - 180 = 0 - arccos 2 2 2 3 1 - 3 3 3 3 - 3 ( 4 .34 ) Þ w = 3 1 Mg = - 20 log 2 2 2 3 1 - 3 3 3 3 - 3 1 = - 20 log 1 = 20 log( 8) = 18.0618 = - 20 log 2 2 8 1 - 3 3 ( 4 .35 ) ( 4 .36 ) GH ( jw1 ) = 1 1 - 3w 3w 2 2 1 1 3 2 1 -w =1 ( 4 .37 ) Þ w1 = 0 3 w1 - w13 = 180 - 0 = 180 Þ M = 180 - arctg 2 1 - 3 w1 Donc, le système est stable. ( 4 .38 ) 5. PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS 5.1 Définition : + E ( p) S ( p) e( p) H ( p) - X r ( p) G ( p) Figure 5.1 : schéma fonction d’un système asservis La précision d’un système asservi est définie par l’écart entre la valeur désirée e(t) et la valeur obtenue s(t). e(t ) = e (t ) - s (t ) e( p ) = E ( p) (cas d’un retour unitaire) = (5 .1) E ( p) ( 5 .2 ) 1 FTBO 1 GH ( p ) On suppose qu’on exprime la FTBO sous la forme suivante : FTBO ( p ) = Þ lim p0 N ( p) D( p) K 1 a1 p a 2 p 2 a m p m 2 p 1 a1 p a 2 p a n p =1 n = K N ( p) p D( p) ( 5 . 3) (5 .4 ) On appelle « classe » d’un système le nombre d’intégrateurs purs dans la FTBO ( ). La précision n’a de sens que si le système est stable. 5.2 Précision liée à l’entrée principale e(t) : 5.2.1 Erreur de position (statique) : L’erreur de position est définie pour une entrée : e (t ) = au (t ) Þ E ( p ) = a (5 .5) p es = lim e(t ) = lim p e( p ) = lim p t p0 Þ es = lim p0 a K 1 p p0 1 a 1 FTBO ( p ) p (5 .6 ) (5 .7 ) 5.2.2 Erreur de vitesse (trainage) : L’erreur de vitesse est définie pour une entrée : e (t ) = atu (t ) Þ E ( p ) = a p (5 .8) 2 et = lim e(t ) = lim p e( p ) = lim p t p0 Þ es = lim p0 a K p -1 p p0 1 a 1 FTBO ( p ) p 2 (5 .7 ) (5 .9 ) 5.2.2 Erreur stationnaire d’ordre n : L’erreur stationnaire d’ordre n est définie pour une entrée : e (t ) = a t n -1 ( n - 1)! u (t ) Þ E ( p ) = a p en = lim e(t ) = lim p e( p ) = lim p t p0 Þ en = lim p0 p0 a p n -1 K (5 .10 ) n 1 a 1 FTBO ( p ) p n (5 .11) (5 .12 ) p - ( n -1) en = 0 Þ - ( n - 1) > 0 Þ > n - 1 (5 .13 ) Trouver l’erreur de position, de vitesse et d’accélération pour = 0,1, 2 . = 0 : es = lim p0 et = lim p0 ea = lim p0 a K 1 0 p = a p K p 0 -1 a 1 K = lim a p2 (5 .14 ) K p 0-2 p0 ap 0 -1 1 K = lim p0 = (5 .15 ) a 2 p Kp 2 = (5 .16 ) = 0 = 1 = 2 de position de vitesse d ' accélérati on e (t ) = au (t ) a E ( p) = p a es = 1 K e (t ) = atu (t ) a E ( p) = 2 p e (t ) = at 2 u (t ) a E ( p) = 3 p es = 0 es = 0 et et = a K et = 0 ea ea ea = a K Tableau 5.1 : Précision à partir de la FTBO En conclusion, un système est d’autant plus précis qu’il nombre d’intégrateurs. possède un grand 5.3 Précision liée à une perturbation : E ( p) + ee ( p) - H1 ( p) - ( p) + + e ( p) H 2 ( p) S ( p) X r ( p) G ( p) Figure 5.2 : schéma fonctionnel d’un système asservis avec perturbation La perturbation introduit un écart supplémentaire. On peut décomposer l’écart total comme étant la somme des écarts dû d’une part à l’entrée, et d’autre part à la perturbation. e = ee e ee : obtenue pour = 0 Théorème de superposition : obtenue pour e = 0 e (5 .17 ) ee ( p ) = E ( p) 1 GH 1 H 2 ( p ) e ( p ) = - , ( p) = 0 FTBO ( p ) ( p) 1 FTBO ( p ) H 1 ( p ) (5 .18 ) = W ( p ) ( p ), E = 0 FTBO ( p ) = GH 1 H 2 ( p ) (5 .20 ) e = lim e (t ) = lim p e ( p ) = lim pW ( p ) ( p ) t Si : (t ) = b p0 t n -1 ( n - 1)! en = lim ( - p ) p0 p0 Þ ( p) = 1 (5 .19 ) b p (5 .22 ) n 1 (5 .21) b 1 H1( p) p n 1 FTBO ( p ) -1 1 b = lim p0 1 H 1 ( p ) p n -1 1 FTBO ( p ) (5 .23 ) 1 si 1 1 1 1 lim = si = 0 = p0 1 1 1 p 1 1 FTBO ( p ) K K (5 .24 ) H 1 ( p ) peut posséder un pôle à l’origine d’ordre : H1 ( p) = K1 1 p 1 b 1 lim p p n -1 H ( p ) si 1 1 Þ en = 1 b 1 lim si = 0 n -1 p 1 p H1 ( p) 1 K (5 .25 ) (5 .26 ) Si = 0 : Þ en = b K1 b lim p 1 p n -1 1 1 K1 1 K si 1 lim p 1 p n -1 (5 .27 ) si = 0 Si > 0 : b p lim n -1 si 1 p p K 1 Þ en = b 1 p lim n -1 si = 0 p p 1 K1 1 K n > 1 Þ en = 0 b - K si 1 1 n = 1 Þ en = b 1 si = 0 1 K 1 1 K n < 1 Þ en - (5 .27 ) (5 .28 ) (5 .29 ) (5 .30 ) 6. COMPENSATION DES SYSTEMES 6.1 Introduction : Les caractéristiques importantes d’un système qu’on peut fonction de transfert sont : déduire de sa a) La stabilité : malgré les différentes perturbations, variations des paramètres internes, le système doit rester stable (marge de gain et de phase). b) La rapidité : la capacité du système à suivre des variations de consigne rapide. c) La précision : c’est l’écart entre la valeur désirée et la valeur obtenue. X ( p) 6.2 Influence du gain : + e( p) - Y ( p) H( p) Xr ( p) On considère un système à retour unitaire : Figure 6.1 : schéma d’un système à retour unitaire Si le système n’est pas à retour unitaire, alors on utilise la transformation suivante : + X ( p) - e( p) Y ( p) H( p) X r ( p) Y ( p) X ( p) = H ( p) 1 G ( p)H ( p) X ( p) + e( p) - Y ' ( p) GH ( p) X r ( p) Y ( p) 1 G ( p) Y ' ( p) G ( p) X ( p) Y ( p) X ( p) Figure 6.2 : Passage à un système à retour unitaire Ex : FTBO ( p ) = K 1 a1 p L’augmentation du gain K provoque : a) Une diminution de la marge de phase (risque d’instabilité). b) Une plus grande rapidité du système (Tr 5% qui diminue). c) Une plus grande précision (diminution de l’erreur de position et de vitesse). = = G ( p) H ( p) 1 G ( p)H ( p) H ( p) 1 G ( p)H ( p) Donc, si K est faible : - Bonne stabilité - Moins de rapidité et moins de précision. Þ asservissement mou. Si K est élevé : - Risque d’instabilité. - Rapide et précis Þ asservissement nerveux. 6.3 Réglage du gain K : X ( p) + e( p) - K U ( p) Y ( p) H ( p) X r ( p) Ex : H ( p ) = 1 p (1 0 .1 p )(1 0 .2 p ) Figure 6.3 : schéma fonctionnel d’un système asservis ( 6 .1) 6.3.1 Réglage du gain K à partir du diagramme de Bode: a) Par la marge de phase : On trace le diagramme de Bode de H(p). On souhaite une marge de phase de 45°. On doit trouver K qui correspond à cette marge de phase. M = 45 = 180 Þ = - 135 On trace une ligne horizontale à en w1 = 2 .8 rad / s ( 6 .2 ) = - 135 , elle coupe la courbe de phase . On note le gain correspondant à cette pulsation, soit -10.5db. La marge de phase étant obtenue pour H ( jw ) = 0 db = 1 , il faut augmenter le gain de +10.5db. Donc K=3.35. b) Par la marge de gain : Un bon réglage d’un système correspond à une marge de gain de 10 à 15db. On désire avoir une marge de gain=12db. Pour = - 180 Þ w = 7 .1rad / s H ( jw ) = - 23 .5 db On augmente le gain de 11.5db. Donc K=3.76 Remarque : si on utilise ce gain, la marge de phase précédente va diminuer, elle sera inférieur à 45°. 6.3.2 Réglage du gain K à partir du diagramme de Black-Nichols : On trace la FTBO (eq 6.1) et la FTBF à de Black-Nichols. · · · · partir de la FTBO avec l’abaque 6.4 Les correcteurs (résoudre le dilemme stabilité précision) : Ex : H ( p) = 0 .5 2 ( P 0 .22 p 1)( 3 p 1) ( 6 .4 ) Si on veut par exemple augmenter la précision (eq 5.14), on augmente le gain : H ( p) = 1 2 ( P 0 .22 p 1)( 3 p 1) ( 6 .5) On remarque qu’en augmentant la gain statique (système 6.5), il devient instable, mais le calcul de l’erreur statique (eq 5.14) montre qu’il devrait être plus précis (théoriquement). Donc, pour éviter ce problème, il faut trouver le moyen d’augmenter le gain en basses fréquences sans s’approcher du point (-1). On utilise les deux actions « Dérivée et Intégrale ». Action dérivée : On garde la même amplitude en basses fréquences (même précision) hautes fréquences, on avance la phase (bonne marge de phase). Action Intégrale : A stabilité égale, on rend le système plus précis et en 6.4.1 L’action Proportionnelle Dérivée : Elle modifie le comportement du système aux alentours de la pulsation w1 : - Soit pour stabiliser un système qui n’a pas assez de marge de phase. - Soit pour augmenter le gain (donc la rapidité) sans déstabiliser le système. Pour réaliser ceci, on utilise un réseau Proportionnel-Dérivée, correcteur par avance phase. soit un 6.4.2 Proportionnelle Dérivée : d e(t ) ec (t ) = K e(t ) D dt ec (t ) C ( p) = = K 1 D p e(t ) E ( p) ( 6 .6 ) + - e( p) C ( p) ec ( p) S ( p) H ( p) X r ( p) ( 6 .7 ) Figure 6.4 : schéma fonctionnel d’un système asservis K = 10 , D = 5 1 D Remarques : - Le correcteur apporte 90° de phase (avance). - Un gain très grand en hautes fréquences qui peut amplifier le bruit. Ce type de correcteur est inutilisable. 6.4.3 Correcteur par avance de phase : K (1 D p ) C ( p) = ,a < 1 1 a D p ( 6 .8) C = arctg ( D w ) - arctg ( a D w ) ( 6 .9 ) Calcul de C max par rapport à w : d C a D D = dw 1 D2 w 2 1 a 2 D2 w 2 2 2 2 2 2 D 1 a D w - a D 1 D w = 1 D2 w 2 1 a 2 D2 w 2 ( 6 .10 ) ( 6 .11) d C = 0 Þ D 1 a 2 D2 w 2 - a D 1 D2 w 2 = 0 dw ( 6 .12 ) Þ a D2 w 2 ( a - 1) = ( a - 1) ( 6 .13 ) Þ wmax = 1 ( 6 .14 ) D a En remplaçant (6.14) dans (6.9), on trouve : C max = arctg ( D Þ C max = arctg ( Þ C max = arcsin Þa= 1 D a 1 ) - arctg ( a ) a 1- a 1 a 1 - sin C max 1 sin C max ) - arctg ( a D 1 D a ) ( 6 .15 ) ( 6 .16 ) ( 6 .17 ) ( 6 .18 ) 1 j D wmax C ( jw max ) = K =K 1 ja D wmax 1 D2 =K 2 1 D2 wmax 1 a w 2 2 D 2 max ( 6 .19 ) 1 a D2 1 a 2 D2 1 ( 6 .20 ) a D2 1 a 1 a 1 =K = ÞK = a K a 1 a 1 a K = 1 a a ( 6 .21) ( 6 .22 ) ( 6 .23 ) Ex : C ( p ) = 10 1 5 p 1 0 .5 p ,K = 10 , D = 5,a = 0 .1 1 1 D D a ( 6 .24 ) 1 a D Mise en œuvre pratique : 1) C max = M corrigé - M non corrigé 2 )a = ( 6 .25 ) 1 - sin C max ( 6 .26 ) 1 sin C max 3) Connaissant w1 du système non corrigé wmax et a Þ D = 4)K = 1 w1 a a ( 6 .27 ) ( 6 .28 ) Ex : Soit le système donnée par la FTBO (retour unitaire) : FTBO ( p ) = 1 p ( 2 p 1)( 0 .2 p 1) On désire obtenir une marge de phase (du système corrigé par correcteur à avance de phase) de 50°. Trouver le correcteur. ( 6 .29 ) un 1) C max = M corrigé - M non corrigé = 50 - 32 = 18 2 )a = 1 - sin C max 1 sin C max = 0 .53 3)w1 = 0 .2 = 0 .62 Þ D = 4)K = 0 .53 = 0 .73 1 w1 a = 1 0 .62 0 .53 = 2 .21 6.4.4 Action intégrale : On désire ajouter du gain en basses fréquences sans modifier le degré de stabilité. Intégrateur pur : - Apporte un gain infini en basses fréquences. - rajoute -90° de phase à toutes les fréquences. Il y a une diminution de la marge de phase, donc un risque d’instabilité. Il faut utiliser une structure qui présente les mêmes caractéristiques en basses fréquences et ne modifie pas la phase autour de w1 . 1 ec (t ) = K e(t ) I e(t ) dt I p 1 1 ec (t ) C ( p) = = K 1 = K e(t ) I p I p ( 6 .30 ) ( 6 .31) K = 10 , I = 5 1 I Placement du correcteur PI : Le rôle essentiel du PI est d’annuler l’erreur statique sans altérer les performances initiales du système. w - Si M non corrigé >> 45 Þ on peut placer le PI près de w1 w0 = 1 . 4 w - Si M non corrigé 45 Þ il faut placer le PI à une décade de w1 w0 = 1 de façon 10 à ne pas ajouter de phase. Ex : Soit le système suivant : H ( p) = 15 (1 0 .01 p )(1 0 .1 p ) ( 6 .32 ) Comment placer le correcteur PI sans altérer le performances du système initial. Quelle est la valeur de la marge de phase. w1 = 103 rad / s M non corrigé = 50 Þ w0 = Þ I = w1 10 1 w0 = 10 .3 = 1 10 .3 M corrigé = 50 - 5 .7 = 44 .3 6.4.5 Correcteur par retard de phase : C ( p) = b (1 I p ) ,b > 1 1 b I p ( 6 .33 ) Le correcteur amplifie et retarde les basses fréquences < 10 . I 20 log( b ) max b= 1 - sin C max 1 sin C max wmax = 1 I b 1 1 b I I b 1 I ( 6 .34 ) ( 6 .35 ) 6.5 PID (Proportionnel, Intégral, Dérivée) : - Le correcteur intégral agit sur les basses fréquences. - Le correcteur dérivée agit sur les hautes fréquences. L’association des 2 conduit au PID, il réalise à la fois l’avance de phase nécessaire à la stabilité et de rapidité, et favorise le gain en basses fréquences nécessaire à l’amélioration de la précision. 6.5.1 Structure du PID : 6.5.1.1 Structure série : Equation temporelle : eC (t ) = G r e(t ) Avec : Ti Td = Ti Gr Ti t 0 e(t ) dt G r Td d e(t ) dt ( 6 .36 ) ( 6 .37 ) + X ( p) e( p) - 1 Gr Ti p + + Td p + + Xr ( p) Figure 6.5 : Régulateur PID à structure série Fonction de transfert : C ( p) = 1 eC ( p ) 1 Td p = G r 1 e( p ) Ti p ( 6 .38 ) 6.5.1.2 Structure parallèle : Equation temporelle : 1 ( t ) G ( t ) = eC r e Ti t 0 e(t ) dt Td d e(t ) dt ( 6 .39 ) Fonction de transfert : 1 C ( p ) = G r 1 Td p Ti p ( 6 .40 ) ec ( p) X ( p) + e( p) - Gr 1 Ti p + + ec ( p) X r ( p) Td p Figure 6.6 : Régulateur PID à structure parallèle 1 Ti p TiTd p 2 C ( p ) = G r Ti p 1 T1 p 1 T2 p = Gr Ti p T1 T2 = Ti Þ T1T2 = TiTd T1 = Ti - T2 T1 = Ti - T2 Þ T T T T = i d 1 2 Ti - T2 T2 = TiTd Þ T22 - TiT2 TiTd = 0 ( 6 .41) ( 6 .42 ) ( 6 .43 ) ( 6 .44 ) Ti - Ti 2 - 4TiTd Ti T T2 = = 1 - 1 - 4 d 2 2 Ti Þ Ti Td T T T 1 1 4 = = i 2 1 2 Ti T1 et T2 Þ0 réels ( 6 .45 ) c.à.d : Ti 2 - 4TiTd 0 Si : G r = 1 C ( jw ) = 1 ( 6 .46 ) jT1 w 1 jT2 w 1 - T T w T 2 2 1 2 1 1 T1T2 = T2 w 2 Ti w C ( jw1 ) = 1 Þ 1 - T1T2 w12 Þ w1 = ( 6 .47 ) jTi w C ( jw ) = ( 6 .45 ) 2 =0 1 2 ( 6 .48 ) ( 6 .49 ) ( 6 .50 ) TiTd Avec : T2 < Ti 2 < T1 ,( 6 .46 ) Þ Td Ti 4 ( 6 .51) Ti = 20 ,Td = 3,w1 = 1 1 = 0 .129 ,T1 = 16 .32 = 0 .0613 ,T2 = 3 .67 = 0 .2721 TiTd T1 T2 1 1 T1 1 TiTd 1 T2 En réalité, le régulateur PID comporte en plus un filtre dont la constante de temps est Td , N étant une constante réglable. N 1 1 , N 8 - 10 C ( p ) = G r 1 Td p T Ti p 1 d p N ( 6 .52 ) 6.5.1.3 Structure mixte : Equation temporelle : eC (t ) = G r e(t ) 1 Ti t e(t ) dt Td 0 d e(t ) ( 6 .53 ) dt Fonction de transfert : C ( p ) = Gr 1 Ti p Td p ( 6 .54 ) Gr X ( p) + - e( p) 1 Ti p + + ec ( p) X r ( p) Td p Figure 6.6 : Régulateur PID à structure parallèle 6.5.2 Réglage du PID : 6.5.2.a Par modèle de référence : + E ( p) - e( p) C ( p) ec ( p) S ( p) E ( p) S ( p) F ( p) H ( p) X r ( p) Figure 6.6 : réglage du PID par modèle de référence Le principe du réglage par modèle de référence est de faire correspondre la fonction de transfert du système à une fonction de transfert prédéfinie telles que : 1 F ( p) = ( 6 .55 ) 1 d p F ( p) = 1 1 2 2z p p 1 2 wn wn ( 6 .56 ) Exemple : Soit le système suivant : H ( p) = 3 , = 4min ( 6 .57 ) 1 4 p Trouver l’expression du correcteur pour faire correspondre le système boucle au modèle de référence : F ( p) = 1 1 d p ( 6 .58 ) Si le correcteur est un proportionnel intégral : 1 C ( p ) = K 1 Ti p Trouver les valeur de K et Ti en fonction de d . ( 6 .59 ) 1) S ( p) E ( p) = C ( p)H ( p) 1 C ( p)H ( p) Þ C ( p)H ( p) = = 1 1 d p 1 C ( p)H ( p) 1 d p 1 1 Þ C ( p ) H ( p ) 1 = 1 d p 1 d p Þ C ( p)H ( p) 1 d p = 1 d p 1 d p Þ C ( p)H ( p) = Þ C ( p) = 1 d pH ( p ) ( 6 .61) ( 6 .62 ) ( 6 .63 ) ( 6 .64 ) d p 1 ( 6 .60 ) = 1 4 p 3 d p ( 6 .65 ) 2) Ti p 1 1 = K C ( p ) = K 1 Ti p Ti p T p 1 1 4 p = K i 3 p T p i d 4 1 4 p = 3 d 4 p 4 K = 3 d Þ T = 4 min i ( 6 .66 ) ( 6 .67 ) ( 6 .68 ) ( 6 .69 ) Limitation de la méthode : - Des fonctions de transfert relativement simples. - Technique utilisée pour les régulateurs numériques aussi. - Si FTBF plus complexe (ex : avec un retard ou plusieurs constantes de temps) alors cette méthode conduit à un correcteur spécifique. 6.5.2.b Réglage de Naslin : Cette méthode propose un réglage dans lequel : - La valeur du 1 ier dépassement pour un changement en échelon de position qui est généralement entre 10% et 40%. - Bon compromis « rapidité-stabilité » aussi bien pour l’asservissement que pour la régulation. Dans cette méthode, on fait désirée : F ( p) = correspondre le système corrigé à une FTBF(p) a0 a 0 a1 p a n p n ,3 n 8 ( 6 .70 ) 1ier cas : Pour trouver les différents coefficients, il faut : - Calculer les rapports caractéristiques suivant : 1 = a12 a0 a 2 , 2 = a 22 a1a 3 , , i = a i2 a i -1a i 1 ( 6 .71) - Fixer le premier dépassement D(%). - Calculer la valeur de correspondante par la relation empirique : Log ( D (%)) = 4 .8 - 2 ( 6 .72 ) - Ecrire que : 1 = 2 = = - Déduire K p ,Ti ,Td du régulateur. ( 6 .73 ) Si les 1 , , i trouvés sont différents, alors le dépassement réel est inférieur au dépassement fixé au début, et le temps de réponse sera plus lent que prévus. 2ième cas : La FTBF(p) est de la forme : F ( p) = a 0 a1 p a 0 a1 p a n p n ,3 n 8 ( 6 .74 ) On remplace par c = 4 - 4 .5 et on recommence le calcul. 3ième cas : La FTBF(p) est de la forme : F ( p) = a 0' a1' p a 0 a1 p a n p La valeur de initialement. provoque n ,a 0' ¹ a 0 ,a1' ¹ a1 un dépassement plus grand que celui choisi L’amortissement correspond à e = 1 .5 a 0' a1 ' 0 1 4a a ( - 1 .5) ( 6 .75 ) e qui est donné par la relation : ( 6 .76 ) 2 choix possibles : 4 a 0 a1' par e = 1.5 ' ( - 1.5) et recommencer le calcul. a 0 a1 - Incrémenter jusqu’à trouver un coefficient e de valeur adéquate. - Remplacer 4ième cas : La FTBF(p) est de la forme : F ( p) = a 0' a1' p a 2' p 2 a 0 a1 p a n p La valeur de initialement. n ,a 0' ¹ a 0 ,a1' ¹ a1 ,a 2' ¹ a 2 provoque un dépassement L’amortissement correspond à e = 1 .5 w '2 0 2 16 ' w 2 0 ( - 1 .5) Avec : w0' = a0 ' a1 ' ,w 0 = a0 a1 , ' = '2 1 a ' 0 1 4a a ( 6 .77 ) plus grand que celui e qui est donné par la relation : ( 6 .78 ) ( 6 .79 ) choisi 2 choix possibles : 16 ' 2 w02 ( - 1 .5) et recommencer le calcul. par e = 1 .5 '2 w0 - Incrémenter jusqu’à trouver un coefficient e de valeur adéquate. - Remplacer Exemple (Naslin) : Soit le système décrit par le schéma ci-contre. E ( p) + - e( p)C ( p) ec ( p) Gs S ( p) qp 13 X r ( p) On a : G s = 2, q = 20 s Le régulateur est un PID de structure parallèle : C ( p ) = G r Ki p Td p 1) Pour une raison de sécurité, on impose un premier dépassement de 8% lors du régime transitoire. 2) Lorsque un changement de consigne est effectué : - La mesure ne doit pas varier rapidement pour des raisons de fabrication, le temps de dépassement du premier dépassement doit être de 2 minutes. - Pour des raisons d’économie, le temps du premier dépassement doit être inférieur à 2.5 minutes. 1. En employant la méthode de Naslin, trouver les paramètres de réglage du PID qui peuvent satisfaire la première contrainte. Solution : F ( p) = C ( p)H ( p) 1 C ( p)H ( p) Gs Ki G r Td p 3 p p 1 q = Gs K 1 G r i Td p 3 p p 1 q Ki G s G r Td p p Num ( p ) F ( p) = = Den ( p ) K qp 13 G s G r i Td p p G K Den ( p ) = s i G s G r 1 3 q Td G s p 3 q2 p 2 q3 p 3 p Les rapports caractéristiques de Naslin sont : 3 q 3 q Td G s 2 G s G r 12 , 2 = , 1 = 3 = 3 2 3 q Td G s q G s G r 13 q G s K i 3 q Td G s 2 2 Avec : 1 = 2 = 3 = Pour obtenir un premier dépassement D1 = 8% , on utilise la formule empirique : log( D1 ) = 4 .8 - 2 Þ = 1 .95 3 q 2 2 1 = 1 .95 = 3 q Td G s q3 3 q Td G s 2 2 = 1 .95 = G s G r 13 q2 Þ Td = 1 9 q - 3 q = 16 .15 s G s 1 2 1 3 q Td G s Þ Gr = - 1 = 1 .32 2 Gs 2 3 q G s G r 12 G s G r 12 Þ Ki = 3 = 1 .95 = G s K i 3 q Td G s G s 3 q Td G s 3 = 0 .037 6.5.2.c Réglage pratique de Ziegler et Nichols : But : assurer un rapport de 0,25 entre les deux premiers dépassements positifs. Expression du PID : 1ier cas : Chaine fermée ou méthode de pompage (en BF) : Cas : impossible d’ouvrir la boucle de régulation. On utilise un contrôleur proportionnel de valeur 𝐾0 . Ce gain est augmenté jusqu’à obtention d’oscillations entretenues. Procédure : K 0 et T vont servir pour le calcul des paramètres du P, PI ou PID : 0 On prévoie un premier dépassement de 30% à 40%. 2ième cas : Réglage en boucle ouverte : On commence par une identification de certaines réponse en BO du système : grandeurs à partir de la 𝐸0 : Amplitude de l’échelon en entrée. 𝑎 : La pente de la tangente mesurée au point d’inflexion. 𝑀 : Valeur finale. 𝜏 : Constante de temps. 𝑀 𝑎= 𝜏 Et le tableau des réglages en BO est le suivante : 6.6 Réglage dans le domaine fréquentiel : But : assurer une stabilité suffisante à travers les marges de gain et de phase (constantes de temps, petites non linéarités). Le réglage des paramètres du régulateur : par calcul ou graphiquement. 6.6.1 Choix du type de régulateur : Système du premier ordre : utiliser un P ou PI pour bien le contrôler. Système du premier ordre avec retard : utiliser un PID. La figure (6.8) : choix du régulateur adéquat pour contrôler l’un des deux modèles présentés (très fréquents en industrie) : Modèle de Broïda : H ( p ) = G s e - p qp 1 ( 6 .80 ) Modèle intégrateur comprenant un retard pur : H ( p) = Ke - p p = e - p ( 6 .81) Tp Le régulateur choisi est un PID de structure série. TOR signifie Tout Ou Rien. q T ou 20 TOR 10 P PI 0 2 5 PID Autres régulateurs Figure 6.8 : Echelle de choix du régulateur en fonction des constantes de temps et du retard 6.6.1 Détermination algébrique du réglage : Méthode générale : - Définir une marge de gain et une marge de phase, et par conséquent un coefficient d’amortissement pour la FTBF si on l’assimile à un système du 2 ième ordre. - La précision désirée est étudiée à part mais de préférence avant cette étude. - On associe un régulateur de fonction de transfert fonction de transfert H ( p) . Soit :FTBO ( jw ) = A( jw ) = C ( jw ) H ( jw ) C ( p) au procédé de ( 6 .82 ) - A partir de la marge de gain et de la phase correspondante, on obtient deux équations : 1 , A ( jw ) = Am ( w ) = - 20 log Am = Mg ( 6 .83 ) - A partir de la marge de phase, on obtient également deux équation : ( w1 ) = M - 180 A ( jw1 ) = 1 ( 6 .84 ) Réglage de Broïda : Le réglage de Broïda utilise la méthode décrite précédemment. Le critère est une marge de gain de 6db que l’on souhaite imposer à un procédé modélisé par un modèle de Broïda. Le régulateur utilisé est un PID de structure série. On va étudier le cas de PI et PID (suivant l’échelle présentée ci-dessus). 6.6.1.a Réglage de Broïda en PI : 1 G s e - p A ( jw ) = C ( jw ) H ( jw ) = G r 1 Ti p qp 1 Þ A ( jw ) = G r Þ A ( jw ) = 1 jTi w G s e - j w jTi w j qw 1 G r G s Ti 2 w 2 1 Ti w q w 1 2 2 = 1 Am = 0 .5 arctg (Ti w ) - arctg ( qw ) - w 2 Comme il ya trois inconnues G r , Ti , w pour deux équations, on peut choisir Ti = q . Cela permet de compenser le pole de la fonction de transfert et de fixer une des inconnues à trouver. Avec : ( w ) = - Il en résulte : A( jw ) = Gr G s qw = 0 .5 et ( w ) = - 2 - w = - 2 1 q Þ Gr = 4 Gs Þ w = 0 .78 q G = r Gs Þ T = q i Remarque : si Ti est plus grand que q alors l’amortissement sera plus grand. 6.6.1.b Réglage de Broïda avec PID : La FTBF est la suivante : 1 G s e - p 1 Td p A ( jw ) = C ( jw ) H ( jw ) = G r 1 qp 1 Ti p Þ A ( jw ) = G r Þ A ( jw ) = ( w ) = - 2 1 jTi w 1 jTd w G s e - j w jTi w j qw 1 G r G s Ti 2 w 2 1 Td2 w 2 1 Ti w q w 1 2 2 = 1 Am = 0 .5 arctg (Ti w ) arctg (Td w ) - arctg ( qw ) - w Comme il y a trois inconnues G r , Ti , Td , w pour deux équations, on peut choisir Ti = q . Cela permet d’éliminer une des inconnues. Il manque encore une équation. La méthode de Broïda préconise que l’action dérivée entraine une avance de phase de pour la pulsation w , soit : 4 arctg (Td w ) = 4 Þ Td w = 1 Þ A ( jw ) = Þ w = Þ Td = G r G s Td2 w 2 1 qw = 0 .5 et ( w ) = - 2 4 - w = - 3 4 4 3 0 .5 3 1 q 0 .83 q Þ Gr = Þ Ti = q, Td = 0 .42 , G r = G G 4 2 s s 6.6.2 Détermination graphique du réglage : FTBO complexe difficile de calculer les paramètres du correcteur. La détermination des paramètres dans le plan de Black ou celui de Nyquist est la plus pertinente. Au lieu d’utiliser la marge de gain et la marge de phase, on peut utiliser le facteur de résonance : 1 Q= 2z 1- z2 L’idée : faire tangenter en un point (pulsation de résonance) la courbe qui représente la FTBO avec une courbe d’isogain qui correspond à un gain qui est prédéfini de l’abaque de Nichols dans le plan de Black. Ainsi, la FTBF est équivalente à une FT de gain statique de 1 (précision), à un amortissement (stabilité) z choisi en fonction d’un dépassement D1 et d’une pulsation propre non amortie w0 la plus élevée possible (temps de réponse). Utilisation du facteur de résonance : F ( p) = S ( p) E ( p) = C ( p)H ( p) 1 C ( p)H ( p) Facteur de résonance : Q = = A( p ) 1 A( p ) Fmax F (0) wr : F ( jw r ) = Fmax Dans le plan de Black, la résonance correspond à la tangence de la courbe à une courbe d’isogain pour la pulsation de résonance wr . Les valeurs couramment utilisées sont : 1 .1 < Q < 1 .3 Þ 0 .83 db < Q db < 2 .3db Relations entre M pic , Q , M et z : Facteur d’amortissement : Q = 1ier D1 = e dépassement : - 1 2z 1- z2 z 1- z 2 Pour une valeur finale du signal égale à 1 : M pic = 1 D1 = 1 e M pic , Q 75 2 50 1.5 25 1 0 0.1 z 1- z 2 M () 2.5 0 1 - 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Figure 6.9 :relation entre M pic , Q , M et z 0.8 0.9 z Courbes d’isogain Gdb A( jw ) 0db wr Point critique -180° -90° Figure 6.10 : Courbe représentative de A(jw) dans le plan de Black Quelque valeurs à retenir : Q db = 2 .3 Þ Q = 1 .3 On trouve : z = 0 .43 ,M = 45 .8 ,M pic = 1 .22 ,D1 = 22 % 0° Réglage du correcteur PID : Avec un régulateur PID, les BF sont déformées par l’action I, l’action D. et les HF par Généralement, le rapport entre HF et BF est de 4. C’est pourquoi, le rapport de Ti = 4Td est souvent utilisé. Þ wa = 1 / TiTd est la pulsation qui correspond au point non déformée par le correcteur (revoir la diagramme de Bode du PID mixte). Procédure : - Tracer la courbe de Black de A(jw) pour un gain G r unitaire du régulateur PID de structure mixte. - Fixer la valeur de l’amortissement z en fonction de la réponse temporelle désirée. Choisir wa sur A(jw) d’autant plus proche de l’axe vertical -90° que l’on souhaite un amortissement important. 2 1 - A partir de la valeur choisie de wa , calculer Ti = ,Td = wa 2 wa - Tracer la courbe de Black A(jw) pour G r = 1,Ti = 2 wa ,Td = 1 2 wa . - Ajuster G r pour translater verticalement la courbe de Black afin d’obtenir ce que l’on veut imposer : - Marge de gain ou marge de phase. - Facteur de résonnance. - Retoucher éventuellement les paramètres du PID pour ajuster la réponse temporelle.
