USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 1. Introduction L'algèbre de Boole se distingue principalement de l'algèbre ordinaire par des constantes et des variables qui ne peuvent prendre que les deux valeurs possibles « 0 » et « 1». Une variable booléenne est une grandeur qui peut, à des moments différents, avoir la valeur « VRAI » ou « FAUX ». Ces valeurs sont traduites par « 1 » ou « 0 ». Les variables booléennes servent souvent à représenter un état d’un système. Exemple : une lampe : • • Une lampe est soit allumée, cela est traduit en indiquant que la lampe est à «1» soit éteinte, cela est traduit en indiquant que la lampe est à « 0 » pour éteinte. Nous pouvons faire de même avec un interrupteur qui est soit ouvert « 0 » ou soit fermé « 1 ». Ainsi, les valeurs booléennes « 0 » et « 1 » ne représentent pas des nombres réels mais plutôt l'état logique d'une variable. Dans le domaine de la logique numérique, on utilise d'autres expressions qui sont synonymes de « 0 » et «1» Niveau logique 0 Niveau logique 1 Faux Vrai Arrêt Marche Bas Haut Ouvert Fermé Non Oui Dans la vie de tous les jours, nous utilisons souvent la représentation binaire pour exprimer des décisions qui sont fonctions de plusieurs propositions présentant 02 états seulement : VRAI ou FAUX. Ex : D : Eclairer la salle. P1 : l’interrupteur est « fermé » ; P2 : L’électricité est coupée ; P3 : la lampe est grillée ; P4 : Ouvrir la fenêtre. La proposition D est VRAI si ((P1 est VRAI) ET (P2 est FAUX) ET (P3 est FAUX)) OU (P4 est VRAI). Page 1 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 Ex2 : F : Avenir à l’Université P1 : se lever tôt ; P2 : être malade ; P3 : trouver le transport ; P4 : un ami passe vous prendre. La proposition F est VRAI si (P1 est VRAI) ET (P2 est FAUX) ET ( (P3 est VRAI ) OU (P4 est VRAI)). On voit que la mise en forme d’une proposition nécessite deux outils : • un outil mathématique pour traiter les propositions : c’est l’Algèbre de Boole • un outil physique pour matérialiser les opérations (VRAI, FAUX, ET, OU) : ce sont les circuits logiques. 1. Opérateurs fondamentaux de l’algèbre de Boole 1.1 Variable logique, fonction logique Une variable logique ou binaire, notée A, B, C .., est une grandeur qui ne peut prendre que deux valeurs (ou états) notés « 0 » et « 1 » et ne peut pas varier de façon continue. = 0 si ≠ 1 ex1 : Lampe éteinte = 1 si ≠ 0 ex2 : interrupteur ouvert, Définition Une fonction logique F de n variables binaires est une fonction qui ne prend que deux valeurs (états). L’algèbre de Boole étudie des variables binaires et des fonctions de ces variables. C’est une algèbre d’états et non de nombres. 1.2 Opérateurs logiques On définit trois opérateurs logiques effectuant les trois opérations fondamentales : • Addition • Multiplication • Inversion L’égalité est définie aussi. a. Egalité Deux variables booléennes sont dites égales si = 0 alors Page 2 sur 13 = 0 et = 1 alors = 1 on note = Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 b. Inversion logique : opérateur NON Cette opération s’appelle aussi : NEGATION d’une variable. Elle permet d’obtenir ce qu’on appelle l’INVERSE ou le COMPLEMENT d’une variable. Elle est notée en ajoutant une barre sur la variable considérée. : , ∶ ! "# é" é Table de vérité élémentaire ̅ 0 1 1 0 c. Addition logique : Opérateur OU inclusif Cette opération s’appelle aussi « réunion », appliquée à 2 variables elle donne la somme logique ou bien la fonction OU de ces 2 variables. On la note avec le signe « + ». + Le résultat de la réunion de 2 variables A et B est une fonction F, qui est égale à 1 si l’une ou l’autre ou les 2 variables valent « 1 ». &( , ) = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 + d. Multiplication logique : Opérateur ET Cette opération s’appelle aussi « intersection », appliquée à 2 variables elle donne le produit logique ou bien la fonction ET de ces 2 variables. On la note avec le signe « . ». . Le résultat de la réunion de 2 variables A et B est une fonction F, qui est égale à 1 si les 2 variables valent « 1 ». Page 3 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 &( , ) = . 1.3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Propriétés des opérateurs logiques fondamentaux a. ̿ = +0 = ; +1 =1; + = ; + ̅=1 .0 = 0 ; .1 = ; . = ; . ̅=0 b. Commutativité de « + » et « . » + = + ; . = . ; c. Associativité de « + » et « . » + . + , = ( + ) + , = ( + ( + ,) ; . , = ( . ). , = . ( . ,) d. Distributivité de « . »/« + » et de « + » / « . » . ( + ,) = . + . , ; + . , = ( + ) . ( + ,) + . = (1 + ) = ; ( + )= + . = ( + -) = . + -. = . ; - + = ( + )( + - ) = + e. Théorème de De Morgan Le complément d’une fonction logique s’obtient en remplaçant chaque variable par son complément et en permutant les signes d’addition « + » et de multiplication « . ». ------------+ = ̅. . = ̅+ C’est l’un des théorèmes les plus importants et les plus utilisés en algèbre de Boole. ------------------. . , . … = ̅ + - + ,̅ + ⋯ + + , + ⋯ = ̅ . - . ,̅ … ; -------------Page 4 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM Forme générale : ANNEE 2019/2020 ---------------------&( , , ,, … , +, . ) = &( ̅, - , ,̅ , … , . , +) f. Théorèmes du CONSENSUS . + ( + ). ( ., + ., = . + ., + ,). ( + ,) = ( + ) + ( + ,) 2. Fonction logique 2.1 Définition : fonction logique (FL) complètement définie Une FL est complètement définie quand on connait sa valeur « 0 » ou « 1 » pour toutes les combinaisons possibles de ses « n » variables. Ces combinaisons sont au nombre de 2n. Cela conduit à dresser le tableau des combinaisons appelé : TABLE DE VERITE. Ex : 02 interrupteurs A et B et une lampe L 0 = &( , ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 La lampe est allumée quand les deux interrupteurs ne sont pas dans le même état. La fonction sera définie quand on aura fixé sa valeur « 0 » ou « 1 » pour chacune des combinaisons. 2.2 Définition : fonction logique incomplètement définie Une FL est incomplètement définie quand sa valeur est indifférente ou non spécifiée pour certaines combinaisons des variables. Ce cas se présente quand certaines combinaisons des variables sont impossibles physiquement. On note alors par « X » la valeur de la fonction. &( , ) 0 0 0 0 1 1 1 0 X 1 1 0 La fonction est indéfinie pour la combinaison : Page 5 sur 13 = 1, =0 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 2.3 Fonctions logiques à 2 variables 1. 2 ----1. 2 -------1+2 1 2 1 2 1+2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1. 2 1. 2 1 ⊕ 2 Noter que ⊕ = . - + ̅. : cette fonction s’appelle « OU EXCLUSIF » de A et B. ⊕ : cet opérateur s’appelle « OU EXCLUSIF ». Opérateurs logiques, Symboles et tables de vérité élémentaires Page 6 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 2.4 Ecriture canonique d’une fonction logique Une fonction logique peut s’écrire sous deux formes particulières appelées : • Somme canonique ou 1e forme canonique • Produit canonique ou 2e forme canonique Somme canonique : la somme de produits de variables directes ou inverses. Chaque monôme prend la valeur « 1 » pour une combinaison particulière des variables où la fonction logique vaut « 1 » et la valeur « 0 » pour toutes les autres. Produit canonique : le produit de sommes de variables directes ou inverses. Chaque monôme prend la valeur « 0 » pour une combinaison particulière des variables où la fonction logique vaut « 0 » et la valeur « 1 » pour toutes les autres. Ex : fonction majorité de 3 variables N° , &( , , ,) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 a. 1e Forme canonique : cas où la fonction vaut « 1 » : &( , , ,) = 1 , N° 3 0 1 1 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 &( , , ,) = ,+ Monômes , , , , ,+ , + , Pour mettre F sous 1e FC, partant de la table de vérité on prend tous les termes pour lesquels la fonction &( , , ,) = 1 et on les relie par l’opérateur logique OU. b. 2e Forme canonique : cas où la fonction vaut « 0 » : &( , , ,) = 0 Page 7 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM , N° 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 4 1 0 0 &( , , ,) = ( + + ,)( + ANNEE 2019/2020 Monômes + + +, + ,̅ + - +, ̅+ + , )( +, + + ,)( ̅ + + ,) Pour mettre F sous 2e FC, partant de la table de vérité on prend tous les termes pour lesquels la fonction &( , , ,) = 0 et on les relie par l’opérateur logique ET. Définitions : On appelle minterme un produit de n variables, directes ou complémentée, faisant correspondre à chacune des variables directes la valeur « 1 » et la valeur « 0 » à sa négation. On appelle maxterme une somme de n variables, directes ou complémentée, faisant correspondre à chacune des variables directes la valeur « 0 » et la valeur « 1 » à sa négation. Ex1 : fonction majorité &( , , ,) = 4 5(3, 5, 6, 7) = : ;(0, 1, 2, 4) Ex2 &> ( , , ,) = 4 5(1, 2, 4) + ?(0, 7) = : ;(3, 5, 6) + @(0, 7) 3. Simplification des fonctions logiques On recherche l’expression ou l’écriture la plus simple en espérant que cela conduise à la réalisation matérielle la plus simple. Il existe trois méthodes de simplification : • Simplification algébrique, • Simplification par la méthode du tableau de Karnaugh • Simplification par la méthode de Q Mc Clusky 3.1 Réduction algébrique Elle est basée sur l’utilisation des théorèmes de base de l’algèbre de Boole. Ex : &( , , ,) = ,+ ,+ , + , (, + , ) = , ( + ̅) + , ( + - ) + = ,+ ,+ Page 8 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 Remarque : Cette méthode est relativement hasardeuse et les manipulations, conduisant à la forme simplifiée, ne sont toujours évidentes. Au-delà de 3 variables, elle devient impraticable. 3.2 Réduction par la méthode de Karnaugh Définition : deux monômes sont dits adjacents, s’ils ne diffèrent que par une seule variable. (, + , ) = Ex : ,+ ,̅ = ; On sait que : (, + , ) = 1 La méthode de Karnaugh utilise ce procédé de façon géométrique au sein d’un tableau. Ce tableau est construit de sorte qu’entre une case et une autre adjacent une seule variable change d’état. Le tableau de Karnaugh est constitué par un ensemble de 2n, chaque case est associée à une seule combinaison de variable. On reprend l’exemple précédent : fonction majorité de 3 variables. N° , &( , , ,) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 On met cette fonction dans un tableau de Karnaugh. AB AB C 00 01 11 10 C 0 1 1 1 1 1 On a 3 groupements possibles de « 1 » ; AB 00 C 01 1 ,̅ + Page 9 sur 13 10 1 0 1 11 1 ,= 1 (, + ,̅ ) = Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 AB 00 C 01 11 10 1 0 1 1 1 -, + 1 , = ,( + - ) = , AB 00 C 01 11 1 0 1 1 ̅ ,+ 10 1 1 , = ,( + ̅) = , Finalement, on obtient :&( , , ,) = + ,+ , Ex : &A ( , , ,, @) = ∑ 5(0,2,8,10,12,13,14,15) AB CD 00 00 1 01 10 1 1 1 01 1 11 10 11 1 1 1 On met en évidence les groupements possibles AB CD 00 00 1 Page 10 sur 13 11 10 1 1 01 1 11 1 10 = 01 1 ,@+ ,̅ @ + ,@ + (, + , ) = , + ,= 1 1 ,@ = , (@ + @) + ,(@ + @) Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 AB 00 CD 01 1 00 11 10 1 1 1 01 1 11 1 10 1 1 ,@ + ,@+ ,@ = @ (, + , ) + = @ + @=( + ) @= @ ,@+ Le résultat final est : &A ( , , ,, @) = @ (, + , ) + -@ &> ( , , ,, @) = ∑ 5(1,5,6,7,11,12,13,15) AB CD 00 01 11 1 00 01 10 1 11 1 1 1 1 1 11 10 1 10 AB CD 00 01 1 00 01 1 11 1 1 1 1 &> ( , , ,, @) = ,̅ + ̅ , + ̅ ,̅ @ + ,@ 1 1 10 Remarque : le groupement de 4 « 1 » du milieu du tableau est possible mais non nécessaire donc on ne le prend pas. Le processus de simplification est le suivant : Mettre sous la 1e forme canonique la fonction logique considérée, Représenter cette FL dans un tableau de Karnaugh, Déterminer les cases adjacentes Page 11 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 Regrouper les cases adjacentes en blocs, ayant le plus grand nombre d’éléments possibles. Ce nombre doit être une puissance de 2. L’ensemble des blocs réalisé doit utiliser toutes les cases contenant des « 1 ». Dans un bloc, les variables qui changent d’état sont éliminées. Remarque : Le même processus peut être appliqué pour une FL sous 2e forme canonique. On traite alors les « 0 ». 3.3 Cas des fonctions logiques incomplètement spécifiée Lorsqu’ on simplifie des FL contenant des cas indéterminés, on utilise les cases contenant « X » comme « 1 » si cela facilite le regroupement de termes et « 0 » dans le cas contraire. &D ( , , ,, @) = ∑ 5(0,2,5,8,9,10,11,13) + ?(1,6,15) AB 00 CD 01 11 10 1 00 1 X 01 1 11 1 10 1 1 X 1 X &D ( , , ,, @) = - + ,̅ @ + - @ 1 Exemples : &F ( , , ,, @) = : ;(1,3,4,5,6,7,8,9,13,15) AB CD 00 01 0 00 01 11 11 10 0 0 0 0 0 0 0 0 &F ( , , ,, @) = ( + - )( + @ )( - + @)( ̅ + + ,) 0 10 4. Implantation d’une fonction logique 4.1 Définition d’un système logique complet Une FL s’exprime à l’aide des seuls opérateurs : ET, OU, NON. Ce groupe de trois opérateurs constitue ce qu’on appelle un système logique complet. Il suffit Page 12 sur 13 Mr A. Ferdjouni USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE Chapitre2 : Algèbre de Boole L2, TELECOM ANNEE 2019/2020 donc de construire 03 structures physiques réalisant ces 03 opérateurs pour réaliser toutes les FL. 4.2 Structure physique à 02 éléments On peut constituer un système logique complet à l’aide de 02 éléments uniquement et en utilisant le théorème de De Morgan. Ex1 : GH + IJI = JK ----̅. - = ̿ + L = + Ex2 : JK + IJI = GH -------̅ + - = ̿. L = 4.3 Structure physique à 01 seul élément Si on considère l’ensemble (ET, NON) ou (OU, NON) comme un seul élément, c’est-à-dire l’opérateur NAND ou l’opérateur NOR, cet ensemble forme un système complet. 4.4 Remarques • Pour réaliser une FL à l’aide de portes NAND uniquement, on utilise la 1e FC complémentée 2 fois, qui donne alors la 3e FC, • Pour réaliser une FL à l’aide de portes NOR uniquement, on utilise la 2e FC complémentée 2 fois, qui donne alors la 4e FC. 4.5 Exemples On applique deux fois le théorème de De Morgan. &D ( , , ,, @) = - + ,̅ @ + - @ = LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL - + ,̅ @ + - @ ---̅ @ . -----@ &D ( , , ,, @) = ----- . , Remarque : cette FL peut être réalisée avec des portes NAND uniquement. &F ( , , ,, @) = ( + - )( + @ )( - + @)( ̅ + = (LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL + - )( + @ )( - + @)( ̅ + + ,) + ,) ̅ + + ,N ( + - ) + M----------&F ( , , ,, @) = ---------+ @ N +M----------------Remarque : cette FL peut être réalisée avec des portes NOR uniquement. 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