USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
L2, TELECOM Chapitre2 : Algèbre de Boole ANNEE 2019/2020
Page
1
sur
13
Mr A. Ferdjouni
1. Introduction
L'algèbre de Boole se distingue principalement de l'algèbre ordinaire par des
constantes et des variables qui ne peuvent prendre que les deux valeurs possibles « 0 »
et « 1».
Une variable booléenne est une grandeur qui peut, à des moments différents, avoir la
valeur « VRAI » ou « FAUX ». Ces valeurs sont traduites par « 1 » ou « 0 ».
Les variables booléennes servent souvent à représenter un état d’un système.
Exemple : une lampe :
• Une lampe est soit allumée, cela est traduit en indiquant que la lampe est à
« 1 »
• soit éteinte, cela est traduit en indiquant que la lampe est à « 0 » pour éteinte.
Nous pouvons faire de même avec un interrupteur qui est soit ouvert « 0 » ou soit
fermé « 1 ». Ainsi, les valeurs booléennes « 0 » et « 1 » ne représentent pas des
nombres réels mais plutôt l'état logique d'une variable. Dans le domaine de la
logique numérique, on utilise d'autres expressions qui sont synonymes de « 0 » et
« 1 »
Niveau logique 0 Niveau logique 1
Faux Vrai
Arrêt Marche
Bas Haut
Ouvert Fermé
Non Oui
Dans la vie de tous les jours, nous utilisons souvent la représentation binaire pour
exprimer des décisions qui sont fonctions de plusieurs propositions présentant 02 états
seulement : VRAI ou FAUX.
Ex : D : Eclairer la salle.
P
1
: l’interrupteur est « fermé » ; P
2
: L’électricité est coupée ; P
3
: la lampe est grillée ;
P
4
: Ouvrir la fenêtre.
La proposition D est VRAI si
((P
1
est VRAI) ET (P
2
est FAUX) ET (P
3
est FAUX)) OU (P
4
est VRAI).
USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
L2, TELECOM Chapitre2 : Algèbre de Boole ANNEE 2019/2020
Page
2
sur
13
Mr A. Ferdjouni
Ex2 : F : Avenir à l’Université
P
1
: se lever tôt ; P
2
: être malade ; P
3
: trouver le transport ; P
4
: un ami passe vous
prendre.
La proposition F est VRAI si (P
1
est VRAI) ET (P
2
est FAUX) ET ( (P
3
est VRAI )
OU (P
4
est VRAI)).
On voit que la mise en forme d’une proposition nécessite deux outils :
• un outil mathématique pour traiter les propositions : c’est l’Algèbre de Boole
• un outil physique pour matérialiser les opérations (VRAI, FAUX, ET, OU) :
ce sont les circuits logiques.
1. Opérateurs fondamentaux de l’algèbre de Boole
1.1 Variable logique, fonction logique
Une variable logique ou binaire, notée A, B, C .., est une grandeur qui ne peut
prendre que deux valeurs (ou états) notés « 0 » et « 1 » et ne peut pas varier de
façon continue.
ex1 : Lampe éteinte
ex2 : interrupteur ouvert,
Définition
Une fonction logique F de n variables binaires est une fonction qui ne prend que
deux valeurs (états).
L’algèbre de Boole étudie des variables binaires et des fonctions de ces variables.
C’est une algèbre d’états et non de nombres.
1.2 Opérateurs logiques
On définit trois opérateurs logiques effectuant les trois opérations fondamentales :
• Addition
• Multiplication
• Inversion
L’égalité est définie aussi.
a. Egalité
Deux variables booléennes sont dites égales si
on note
USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
L2, TELECOM Chapitre2 : Algèbre de Boole ANNEE 2019/2020
Page
3
sur
13
Mr A. Ferdjouni
b. Inversion logique : opérateur NON
Cette opération s’appelle aussi : NEGATION d’une variable. Elle permet
d’obtenir ce qu’on appelle l’INVERSE ou le COMPLEMENT d’une variable. Elle
est notée en ajoutant une barre sur la variable considérée.
! "#$"$
Table de vérité élémentaire
c. Addition logique : Opérateur OU inclusif
Cette opération s’appelle aussi « réunion », appliquée à 2 variables elle donne la
somme logique ou bien la fonction OU de ces 2 variables. On la note avec le signe
« + ».
%
Le résultat de la réunion de 2 variables A et B est une fonction F, qui est égale à 1
si l’une ou l’autre ou les 2 variables valent « 1 ».
&
'
(
%
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
d. Multiplication logique : Opérateur ET
Cette opération s’appelle aussi « intersection », appliquée à 2 variables elle donne
le produit logique ou bien la fonction ET de ces 2 variables. On la note avec le
signe « . ».
)
Le résultat de la réunion de 2 variables A et B est une fonction F, qui est égale à 1
si les 2 variables valent « 1 ».
*
0 1
1 0
USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
L2, TELECOM Chapitre2 : Algèbre de Boole ANNEE 2019/2020
Page
4
sur
13
Mr A. Ferdjouni
&
'
(
)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.3 Propriétés des opérateurs logiques fondamentaux
a. +
%
;
%
;
%
;
%
*
)
;
)
;
)
;
)
*
b. Commutativité de « + » et « . »
% % ; ) );
c. Associativité de « + » et « . »
% %, ' % (%, ' %' %,( ;
)), ')(), )'),(
d. Distributivité de « . »/« + » et de « + » / « . »
)' %,( ) % ), ;
%), '%()'%,(
%) '%( ;
'%( %)
'%
-( ) %
-) ) ;
-% ' %(' %
-( %
e. Théorème de De Morgan
Le complément d’une fonction logique s’obtient en remplaçant chaque variable
par son complément et en permutant les signes d’addition « + » et de
multiplication « . ».
%
-
-
-
-
-
-
-
-
*)
- )
-
-
-
-
-
-
*%
-
C’est l’un des théorèmes les plus importants et les plus utilisés en algèbre de
Boole.
% %, % .
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
*)
-),*/ ; )),)/
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
*%
-%,*%.
USDB1/FT/DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE
L2, TELECOM Chapitre2 : Algèbre de Boole ANNEE 2019/2020
Page
5
sur
13
Mr A. Ferdjouni
Forme générale : &',/%)(
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
&'*
-,*/)%(
f. Théorèmes du CONSENSUS
) %
), % ), ) %
),
'%()'
%,()' % ,( ' %( %'
%,(
2. Fonction logique
2.1 Définition : fonction logique (FL) complètement définie
Une FL est complètement définie quand on connait sa valeur « 0 » ou « 1 » pour
toutes les combinaisons possibles de ses « n » variables. Ces combinaisons sont au
nombre de 2
n
. Cela conduit à dresser le tableau des combinaisons appelé : TABLE
DE VERITE.
Ex : 02 interrupteurs A et B et une lampe L
0
&
'
(
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
La lampe est allumée quand les deux interrupteurs ne sont pas dans le même état.
La fonction sera définie quand on aura fixé sa valeur « 0 » ou « 1 » pour chacune
des combinaisons.
2.2 Définition : fonction logique incomplètement définie
Une FL est incomplètement définie quand sa valeur est indifférente ou non
spécifiée pour certaines combinaisons des variables. Ce cas se présente quand
certaines combinaisons des variables sont impossibles physiquement. On note
alors par « X » la valeur de la fonction.
&
'
(
0 0 0
0 1 1
1 0 X
1 1 0
La fonction est indéfinie pour la combinaison :
6
7
8
9
10
11
12
13
1
/
13
100%
