Support de cours de préparation au concours de

Support de cours de préparation au concours de
Professeur des Ecoles
Denis Vekemans 1
1. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62
228 Calais cedex ; France

Table des matières
1 Introduction 4
1.1 Une brève présentation de l’épreuve du concours en ce qui concerne les mathématiques ...
Concours 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Les nombres 7
2.1 Arithmétique dans l’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.6 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.7 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Principes de numération dans l’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Les techniques opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Les critères de divisibilité dans la base décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 La loi interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 La loi associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.3 L’élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.4 L’élément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.5 La loi commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.6 La distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.7 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.8 Le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 La géométrie 30
3.1 La géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 Droites, demi-droites, segments (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Droites perpendiculaires, droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.4 Cercles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1

3.1.5 Angles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.6 Angles et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.7 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.8 Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.9 Polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Les théorèmes de Thalès et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Le théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Les translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2 Les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Les symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Les isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.5 Les homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.6 Les triangles et les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 La géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.1 Droites et plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.2 Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.3 Parallélisme et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.4 Composition de parallélisme et d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.5 Les polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.6 D’autres figures dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.7 Différents modes de représentation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 La proportionnalité et les fonctions 88
4.1 Les propriétés relatives à la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Les fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Logique 98
A.1 Le vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.2 Les opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.3 Plusieurs types de démonstrations usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.4 "Il faut" et "Il suffit" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B Mesures 102
B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.2 Longueur, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.2.1 Sur la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.2.2 Sur le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
B.2.3 Dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2

C Formules de trigonométrie 104
C.1 Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
D Périmètres, aires et volumes -formulaire- 106
D.1 Périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
D.2 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
D.3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
E Approximation 108
E.1 Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.2 Valeur approchée par troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.3 Valeur approchée par défaut ou par excès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
E.3.1 UNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
E.3.2 LA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
E.4 Valeur arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
F Statistiques 111
F.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
F.2 Série statistique discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
F.3 Série statistique classée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
F.4 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
G Probabilités 116
G.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
G.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
G.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
G.4 Situation d’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
G.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
G.6 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
H Problèmes algébriques 121
H.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
H.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
H.2.1 Equations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3

Chapitre 1
Introduction
1.1 Une brève présentation de l’épreuve du concours en ce qui
concerne les mathématiques ... Concours 2014
Une épreuve écrite de mathématiques
1. Une première partie constituée d’un problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes
de l’école ou du collège, ou sur des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et
de culture, permettant d’apprécier particulièrement la capacité du candidat à rechercher, extraire
et organiser l’information utile.
2. Une deuxième partie composée d’exercices indépendants, complémentaires à la première partie,
permettant de vérifier les connaissances et compétences du candidat dans différents domaines des
programmes de l’école ou du collège. Ces exercices pourront être proposés sous forme de questions
à choix multiples, de questions à réponse construite ou bien d’analyses d’erreurs-types dans des
productions d’élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines.
3. Une analyse d’un dossier composé d’un ou plusieurs supports d’enseignement des mathématiques,
choisis dans le cadre des programmes de l’école primaire qu’ils soient destinés aux élèves ou aux
enseignants, et productions d’élèves de tous types, permettant d’apprécier la capacité du candidat
à maîtriser les notions présentes dans les situations d’enseignement.
Points : Épreuve sur 40 points (13 pour la 1ère partie / 13 pour la 2ème partie / 14 pour la 3ème
partie). Une note inférieure ou égale à 10 est éliminatoire !
Durée : 4 heures.
On peut diviser le programme en trois grands axes disciplinaires : les nombres, la
géométrie et la proportionnalité.
Auto-promo ... Le site http ://vekemans.free.fr/public_html/index.html regroupe ce
cours et ces exercices, mais on peut aussi trouver sur ce site les corrigés des exercices,
des analyses de productions corrigées, et des volets didactiques corrigés.
4