Chapitre 1 : La proportionnalité Partie 1 Dans de nombreuses situations de la vie courante, la proportionnalité permet d’exprimer un pourcentage, de calculer une vitesse, d’indiquer la quantité d’ingrédients d’une recette de cuisine, ou le prix d’articles en fonction de leur masse… Objectifs : Comment reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau ou sur un graphique ? Comment calculer, dans une situation de proportionnalité, des données manquantes ? Réfléchissons : Voici plusieurs problèmes. A votre avis, ces situations sont-elles proportionnelles ? Répondre par oui ou par non, sans les résoudre. 1. J'achète un gâteau 2 €. Combien coûtent 2, 3, 4, 5 gâteaux ? 2. Karl pesait 6 kg à 1 an, 13 kg à 2 ans, 15 kg à 3 ans et 17 kg à 4 ans. Combien pèsera-t-il à 5 ans ? 3. Un athlète court le 100 m en 10 s, le 200 m en 20 s, le 400 m en 43 s. En combien de temps courra-t-il le 800 m ? 4. Jean a 10 ans, il mesure 1m39 . Quelle taille fera-t-il quand il aura 20 ans ? 5. Archibald se rend chaque jour à l’école en vélo. S’il roule à la vitesse de 20 km/h, il met 15 min pour faire le trajet. Et s’il roule à la vitesse de 25 km/h ? Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 1 6. Voici un tableau décrivant le lien entre des longueurs de pied et les pointures des chaussures correspondantes. La longueur du pied est-elle proportionnelle à la pointure ? Longueur du pied en cm 18 22 26 28 Pointure 27 33 39 42 7. Une moto consomme 4l /100 km. Combien consomme t-elle sur 500 km ? 8. Pour essuyer toute la vaisselle, trois personnes mettent 30 min. Combien de temps me faudrait-il pour la faire seul ? 1. Proportionnalité entre deux grandeurs a. Grandeurs proportionnelles Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la valeur de l’autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité. b. Tableau de proportionnalité Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé « coefficient de proportionnalité ». Comment le construire ? 1. Identifier les deux grandeurs 2. Placer chaque grandeur au début sur une ligne du tableau 3. Compléter les lignes avec les valeurs données dans le problème. 4. Vérifier que le tableau est un tableau de proportionnalité en calculant le coefficient de proportionnalité. Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 2 • Exemple d’application 1 On remplit une baignoire avec de l’eau au rythme suivant : On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant toujours par 2,3, donc la quantité d’eau versée et le temps sont proportionnels. 2,3 est le coefficient de proportionnalité. Ce nombre correspond au débit de l’eau dans la baignoire. Remarque : on passe de la seconde ligne à la première en divisant par 2,3. • Exemple d’application 2 Le tableau suivant indique les tarifs de vente de CD par correspondance : Les deux quotients ne sont pas égaux, donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité. Il suffit de deux quotients différents pour affirmer que ce n’est pas un tableau de proportionnalité. c. Représentation graphique : On construit les graphiques représentant les tableaux précédents. • Exemple d’application 1 : Quantité d’eau en fonction du temps écoulé Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 3 Les points de la représentation graphique sont sur une droite qui passe par l’origine. Les grandeurs sont proportionnelles. • Exemple d’application 2 : Le prix à payer ne fonction du nombre de CD vendus Les points de la représentation graphique ne sont pas alignés. Les grandeurs ne sont pas proportionnelles. Propriété : Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine. Réciproquement : Si les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine, alors les deux grandeurs sont proportionnelles. Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 4 d. Vérifier maintenant vos réponses aux problèmes présentés en introduction. Construire un tableau et calculer le coefficient de proportionnalité. Problème 1 : Problème 2 : Problème 3 : Problème 4 : Problème 5 : Problème 6 : Problème7 : Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 5 Problème 8 : 1. Trouver une valeur manquante: la quatrième proportionnelle La valeur du nombre manquant dans un tableau de proportionnalité s'appelle la quatrième proportionnelle. Exemple d'application : Au marché, le prix des carottes est proportionnel au poids. On peut compléter le tableau ci-dessous par différentes méthodes : • Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité On trouve le coefficient de proportionnalité : 1,50 ÷ 3 = 0,5 . On calcule le prix pour 5 kg de carottes : 5 × 0,5 = 2,5 . Le prix de 5 kg de carottes est donc 2,50 €. • Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 6 On connaît les prix de 3 kg et 5 kg de carottes. Comme 3 + 5 = 8, on additionne les prix de 3 kg et 5 kg de carottes : 1,50 + 2,50 = 4. Le prix de 8 kg de carottes est donc de 4 €. • Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne par un nombre non nul On connaît le prix de 3 kg de carottes. Comme 3 × 3 = 9, on multiplie le prix des 3 kg de carottes par 3 : 1,50 × 3 = 4,50 . Le prix de 9 kg de carottes est donc 4,50 €. • Méthode 4 : par le produit en croix Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Considérons le tableau de proportionnalité ci-dessous : 2 4 6 ??? Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, alors : 2 x ???= 6 x 4 On obtient ainsi le nombre manquant : ???= 6 x 4 ÷ 2 =12 Le chiffre manquant est 12. Astuce : on commence par multiplier les deux chiffres sur la même diagonale et on divise par le troisième chiffre. Exemples :Calculer la quatrième proportionnelle de chaque tableau en utilisant les produits en croix : 2 3 7 6 9 15 5 6 9 4 4,5 6 Mathématiques/ CAP première année / S. Zabré 7
