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Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r), lorsque r Î
- Partie A - Étude d’une suite -
Soit X un réel strictement positif fixé. On définit, pour tout n Î , la suite (un(X)) par :
un(X) = !
n
X
n
Le but de cette première partie est de démontrer que la suite (un(X)) converge vers 0.
1.Soit N un entier supérieur à X strictement. On note q = X
N. Démontrer que :
un(X) = qn !
n
N
n
2.Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n N :
!
n
N
n !
N
N
N
3.En déduire que la suite (un(X)) converge vers 0.
- Partie B - Étude d’une intégrale -
Pour tout réel x strictement positif et tout entier naturel n, on considère l'intégrale :
In(x) = 1!n
( )
12
11d
n
tx
tt
-
-
òe
0.Démontrer que : 0 < In(x) 2!
x
n
e
1.Calculer I0(x) et démontrer que : I1(x) = 3
1
x
( )
(22)(22)
xx
xx
-
-++ee
2.Démontrer que pour tout n Î : In+2(x) = 2
4
xIn(x) - 2
46n
x
+
I
n+1
(x)
3.Démontrer que pour tout entier naturel n, il existe une fonction polynôme Pn à coefficients entiers et de
degré n telle que : In(x) = 21
1
n
x+
( )
()()
xx
nn
PxPx
-
--ee
- Partie C - Epilogue -
1.Le but de cette question est de démontrer que si x est un nombre rationnel non nul, alors x
eest un
irrationnel.
Soit x Î *
+
¤ noté x = p
q avec (p, q) Î * ´ *.
On va raisonner par l'absurde en supposant x
eÎ *
+
¤. On note donc x
e= a
b avec (a, b) Î * ´ *.
Démontrer, à l'aide des résultats des parties précédentes que :
abp2n+1I(x) Î *
+¥®nlim abp2n+1I(x) = 0
En déduire une contradiction et conclure dans le cas où x Î*
+
¤.
2.Démontrer que si x Î *
-
¤, alors x
eÎ \ .
3.Démontrer que si x Î *
+
¤ \ {1}, alors ln x Î \ .
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- Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r), lorsque r Î - Solution -
- Partie A - Étude d’une suite -
1.Il suffit d'écrire :
un(X) = n
n
X
N´ !
n
N
n= qn !
n
N
n
2.On considère la propriété Ã définie pour n N par :
Ã(n) : !
n
N
n !
N
N
N
· On a clairement Ã(N).
· Supposons Ã(n) pour un certain entier n N.
1
(1)!
n
N
n
+
+!
n
N
n´ (1)
N
n+
()nÃ
!
N
N
N´
(1)
N
n+
nN
!
N
N
N
D'où Ã(n + 1)
Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit la propriété Ã(n) pour tout n N.
3.On a donc, pour tout n N : 0 un(X) qn!
N
N
N
La quantité !
N
N
N est indépendante de n. Par ailleurs, comme N > X > 0, on a q Î ]0, 1[, donc :
+¥®nlim qn = 0
Du théorème des gendarmes, on en déduit : +¥®nlim un(X) = 0
Remarque : si l'on sait que, pour tout X fixé, la série de terme général !
n
X
n converge (vers eX), le résultat ci-
dessus est alors immédiat puisque le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers 0.
- Partie B - Étude d’une intégrale -
0.Pour tout t Î [-1 ; 1], on a : 0
( )
2
1n
t- 1
D'où : 0
( )
2
1ntx
t-e tx
e x
e
En intégrant pour t allant de -1 à 1, on obtient :
0
( )
12
11d
n
tx
tt
-
-
òe 2 x
e
D'où : 0 In(x) 2!
x
n
e
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Enfin, l'application ¦ : t a
( )
2
1ntx
t-eest positive sur [-1 ; 1] et ne s'annule qu'en un nombre fini de
points, donc si F est une de ses primitives, alors F est strictement croissante sur [-1 ; 1]. En particulier :
F(1) - F(-1) > 0
C'est-à-dire :
( )
12
11d
n
tx
tt
-
-
òe> 0
D'où : In(x) > 0
Conclusion : 0 < In(x) 2!
x
n
e
1.On a : I0(x) = 1
1d
tx t
-
òe=
1
1
tx
x-
éù
êú
ëû
e=
xx
x
-
-ee
Calculons I1(x) à l'aide de deux intégrations par parties successives :
I1(x) =
( )
12
11d
tx
tt
-
-
òe
On pose : u(t) = 1 - t2 et v'(t) = tx
e
Ainsi : u'(t) = -2t et v(t) = tx
x
e
D'où : I1(x) = 2
x
1
1d
tx
tt
-
ò
e
On calcule 1
1d
tx
tt
-
ò
eà l'aide d'une seconde intégration par parties :
1
1d
tx
tt
-
ò
e=
1
1
tx
tx-
éù
êú
ëû
e-
1
x
1
1
d
tx t
-
òe= xx
x
-
+ee-2
xx
x
-
-ee=
2
1
x
( )
(1)(1)
xx
xx
-
-++ee
Finalement : I1(x) = 3
1
x
( )
(22)(22)
xx
xx
-
-++ee
2.On a : In+2(x) = 1
(2)!n+
( )
12
2
11d
n
tx
tt
+
-
-
òe
Posons : u(t) =
( )
2
2
1n
t+
- et v'(t) = tx
e
Ainsi : u'(t) = -2t
( )
1
2
1n
t+
- et v(t) = tx
x
e
On obtient : In+2(x) = 1
(1)!xn+
( )
11
2
1
21d
n
tx
ttt
+
-
-
òe
On remet ça avec : u(t) =
( )
1
2
21 n
tt
+
- et v'(t) =tx
e
Ainsi :
u'(t) =
( )
1
2
21 n
t+
- -
( )
22
4(1)1 n
ntt+-=
( )
1
2
21 n
t+
- +
( )
1
2
4(1)1 n
nt
+
+- - 4(n + 1)
( )
2
1n
t-
u'(t) = (4n + 6)
( )
1
2
1n
t+
- - 4(n + 1)
( )
2
1n
t- et v(t) = tx
x
e
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D'où : In+2(x) = 21
(1)!xn+
( ) ( )
11
22
1
4(1)1(46)1d
nn
tx
ntntt
+
-
éù
+--+-
êú
ëû
òe
I
n+2
(x) = 2
4
xIn(x) - 2
46n
x
+
I
n+1
(x)
3.On considère la propriété Ã, définie pour tout entier naturel n par :
Ã(n) : pour tout k Î 0 ; n + 1, il existe une fonction polynôme Pk de degré k, à coefficients entiers et telle que
Ik(x) = 21
1
k
x+
( )
()()
xx
kk
PxPx
-
--ee
· D'après la question 1, on a Ã(0).
· Soit n Î *. Supposons Ã(n). D'après la question 2, on a :
In+2(x) = 2
4
xIn(x) - 2
46n
x
+
I
n+1
(x)
D'après Ã(n) appliquée avec k = n et k = n + 1 :
In+2(x) = 23
4
n
x+
( )
()()
xx
nn
PxPx
-
--ee-
25
46
n
n
x
+
+
( )
11
()()
xx
nn
PxPx
-
++
--ee
I
n+2
(x) = 25
1
n
x+
( )
22 11
4()4()(46)()(46)()
xxxx
nnnn
xPxxPxnPxnPx
--
++
---+++-eeee
Posons : Pn+2(x) = 4x2Pn(x) - (4n + 6)Pn+1(x)
Pn+2 est bien une fonction polynôme à coefficients entiers et de degré n + 2.
Et ainsi, on a : In+2(x) = 25
1
n
x+
( )
22
()()
xx
nn
PxPx
-
++
--ee
On a donc, pour tout k Î 0 ; n + 2, l'existence d'une fonction polynôme Pk à coefficients entiers et de
degré k telle que : Ik(x) = 21
1
k
x+
( )
()()
xx
kk
PxPx
-
--ee
D'où Ã(n + 1).
D'après le principe de raisonnement par récurrence, la propriété Ã est donc vraie pour tout entier n.
En particulier, on a bien pour tout entier naturel n, l'existence d'une fonction polynôme Pn à coefficients
entiers et de degré n telle que : In(x) = 21
1
n
x+
( )
()()
xx
nn
PxPx
-
--ee
- Partie C - Epilogue -
1.Comme x = p
q et que Pn est à coefficients entiers et de degré n, qnPn(x) et qnPn(-x) sont des entiers. Or :
In(x) = 21
21
n
n
q
p
+
+()()
nn
ab
PxPx
ba
æö
--
ç÷
èø
D'où : abp2n+1In(x) = a2q2n+1Pn(x) - b2q2n+1Pn(-x)) Î
Or, a > 0, b > 0, p > 0 et In(x) > 0 donc : abp2n+1In(x) Î *
Par ailleurs, d'après B.0 : abp2n+1In(x) 21
2!
nx
abpn
+e
Et comme x
e= a
b:abp2n+1In(x) 221
2!
n
ap
n
+
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abp2n+1In(x) 2a2p
( )
!
n
p
n
Et d'après la partie A appliquée avec X = p:
+¥®nlim abp2n+1In(x) = 0
La suite (abp2n+1In(x)) est une suite d'entiers non nuls qui converge vers 0, absurde.
Donc : x
eÎ \
2.Si x Î *
-
¤, alors -x Î *
+
¤ et d'après la question précédente :
x
e= 1x-
eÎ \
3.On a donc : x Î * Þ x
eÎ \
Soit x Î *
+
¤ \ {1}. Si ln x Î *, alors d'après ce qui précède ln x
e= x Î \ , absurde.
Donc ln x Î \ .
Bilan : x Î *
+
¤ \ {1} Þ ln x Î \
1
/
5
100%
