
Irrationalité des nombres de la forme exp(r) et ln(r) Page 4G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
D'où : In+2(x) = 21
(1)!xn+
( ) ( )
11
22
1
4(1)1(46)1d
nn
tx
ntntt
+
-
éù
+--+-
êú
ëû
òe
I
n+2
(x) = 2
4
xIn(x) - 2
46n
x
+
I
n+1
(x)
3.On considère la propriété Ã, définie pour tout entier naturel n par :
Ã(n) : pour tout k Î 0 ; n + 1, il existe une fonction polynôme Pk de degré k, à coefficients entiers et telle que
Ik(x) = 21
1
k
x+
( )
()()
xx
kk
PxPx
-
--ee
· D'après la question 1, on a Ã(0).
· Soit n Î *. Supposons Ã(n). D'après la question 2, on a :
In+2(x) = 2
4
xIn(x) - 2
46n
x
+
I
n+1
(x)
D'après Ã(n) appliquée avec k = n et k = n + 1 :
In+2(x) = 23
4
n
x+
( )
()()
xx
nn
PxPx
-
--ee-
25
46
n
n
x
+
+
( )
11
()()
xx
nn
PxPx
-
++
--ee
I
n+2
(x) = 25
1
n
x+
( )
22 11
4()4()(46)()(46)()
xxxx
nnnn
xPxxPxnPxnPx
--
++
---+++-eeee
Posons : Pn+2(x) = 4x2Pn(x) - (4n + 6)Pn+1(x)
Pn+2 est bien une fonction polynôme à coefficients entiers et de degré n + 2.
Et ainsi, on a : In+2(x) = 25
1
n
x+
( )
22
()()
xx
nn
PxPx
-
++
--ee
On a donc, pour tout k Î 0 ; n + 2, l'existence d'une fonction polynôme Pk à coefficients entiers et de
degré k telle que : Ik(x) = 21
1
k
x+
( )
()()
xx
kk
PxPx
-
--ee
D'où Ã(n + 1).
D'après le principe de raisonnement par récurrence, la propriété Ã est donc vraie pour tout entier n.
En particulier, on a bien pour tout entier naturel n, l'existence d'une fonction polynôme Pn à coefficients
entiers et de degré n telle que : In(x) = 21
1
n
x+
( )
()()
xx
nn
PxPx
-
--ee
- Partie C - Epilogue -
1.Comme x = p
q et que Pn est à coefficients entiers et de degré n, qnPn(x) et qnPn(-x) sont des entiers. Or :
In(x) = 21
21
n
n
q
p
+
+()()
nn
ab
PxPx
ba
æö
--
ç÷
èø
D'où : abp2n+1In(x) = a2q2n+1Pn(x) - b2q2n+1Pn(-x)) Î
Or, a > 0, b > 0, p > 0 et In(x) > 0 donc : abp2n+1In(x) Î *
Par ailleurs, d'après B.0 : abp2n+1In(x) 21
2!
nx
abpn
+e
Et comme x
e= a
b:abp2n+1In(x) 221
2!
n
ap
n
+