2ème année Baccalauréat Réalisé par : EL KYAL MOHAMED Sommaire 4 Identités remarquables – Domaine de définition d’une fonction 5 Limites d’une fonction 6 Continuité d’une fonction Dérivabilité d’une fonction ME D Signe de ax+b – signe de ax²+bx+c 8 10 12 Branches infinies 13 HA Axe de symétrie - Centre de symétrie – Point d’inflexion 14 Fonction racine n-ième 16 MO Fonction réciproque 18 Fonctions primitives 20 Calcul intégral 22 Fonctions Logarithmes 24 Fonctions Exponentielles Nombres Complexes 28 26 Equations différentielles 32 Dénombrement 33 Probabilités 34 Géométrie dans l’espace 36 Trigonométrie 38 EL KY AL Suites numériques Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 Signe de ax+b Signe et factorisation de ax²+bx+c EL KYAL MOHAMED Signe de ax+b (a ≠ 0) x a ax b b Signe de a ME D Signe de a Signe et factorisation du trinôme P(x)=ax²+bx+c (a ≠ 0) Solution de l’équation 2 Signe de x b 4ac x x 0 S S 0 x x avec : 0 x b 1 2 KY x 2a 2a x On ne peut pas factoriser x x1 a x2 Signe de Signe de a (a ) ² 2a x a x Signe de a 2a Signe de AL 2 b x 1 Signe de a x b 2a S x ;x MO 0 HA x Factorisation de x b Signe de a x a x x 1 x x2 b (on suppose que x1 x2 ) 2a 2a alors: EL Si x1 et x 2 sont deux solutions distinctes de l’équation : x ax ² bx c 0 Résumé maths bac x x 1 | 2 b a et x x 1 2 c a @ : [email protected] | : 0628481487 28481487 | Page 4 Identités remarquables Domaine de définition d’une fonction EL KYAL MOHAMED Identités remarquables : 2 a b 2 a b 2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 2 a b a b a b 3 a b 3 3 3 3 a b 2 2 3 2 2 a 3a b 3ab b 3 3 a b a ab b 2 2 2 2 a b a ab b MO a b 3 a 3a b 3ab b HA 3 a b ME D Pour tous réels a et b Domaine de définition d’une fonction : Soient P et Q deux polynômes f une fonction numérique de la variable réelle x Q x f x x x Df KY f x Domaine de définition de f : AL définie par : Df x / Q x 0 x Df x / x 0 f x Q x D f x / x 0 etQ x 0 Q x EL f x f x Résumé maths bac | x x Df x / @ : [email protected] | 0 etQ x 0 Q x x : 0628481487 | Page 5 Limites d’une fonction EL KYAL MOHAMED Limites et inverses des fonctions x x n n * et x n x: lim x 0 x 0 lim x x 0 lim x x 1 lim 0 x x n ME D 1 lim 0 x x 1 lim 0 x x n Si n est un nombre pair alors: lim x x n Si n est un nombre impair alors: n lim x x n HA lim x x 0 lim x x 1 lim x 0 xn MO 1 lim x 0 xn n 1 lim x 0 xn 1 lim x 0 xn AL Limites des fonctions polynômes et rationnelles en : KY Limite d’une fonction polynôme en et en est celle de son terme de plus haut degré Limite d’une fonction rationnelle en et en est celle du quotient des termes de plus haut degré Limites des fonctions trigonométriques : sin x lim 1 x 0 x lim x 0 tan x x 1 lim x 0 1 cos x x² 1 2 Limites des fonctions de type x u x : EL lim u x x x 0 lim u x x x 0 l0 l Ces résultats restent valable, à droite en x 0 , à gauche en x 0 , en et en Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 6 Théorème de comparaison : U x f x V x lim U x l lim f x l x x 0 x x 0 lim V x l x x 0 lim f x l lim V x 0 x x 0 x x 0 x f x lim f x lim U x x x 0 x x lim f x U x x x 0 f x U x lim x x 0 ME D f x l V x U 0 HA Ces résultats restent valable, à droite en x 0 , à gauche en x 0 , en et en Limites et opérations : l l l' lim g x x x 0 l + l' l l' lim f x x x 0 lim g x f x x x 0 lim g x x x 0 f x lim x x 0 g x l l l' l l' 0 l 0 l' 0 FI 0 0 l0 l0 EL lim f x x x 0 l KY lim g x x x 0 AL lim g x f x x x 0 l MO lim f x x x 0 0 0 FI 0 0 FI FI l0 0 0 0 0 0 Ces résultats restent valable, à droite en x 0 , à gauche en x 0 , en et en Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 7 Continuité EL KYAL MOHAMED Continuité en un point : f est continue en x 0 lim f x f x 0 x x 0 Continuité à droite - Continuité à gauche : f est continue à droite en x 0 lim f x f x 0 f est continue à gauche en x 0 lim f x f x 0 f est continue en x 0 f est continue à droite et à gauche en x 0 x x0 HA x x0 Continuité sur un intervalle : ME D f est continue sur un intervalle ouvert a, b si f est continue en chaque élément de a, b f est continue sur un intervalle fermé a, b si f est continue sur l’intervalle ouvert a, b MO et f est continue à droite en a et à gauche en b Opérations sur les fonctions continues: Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel Les fonctions f g , f g , kf et f n avec n , sont continues sur I Les fonctions AL 1 f et sont continues sur I si g ne s’annule pas sur I g g Conséquences : Les fonctions polynômes sont continues sur Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur domaine de définition La fonction : x x est continue sur 0, Les fonctions : x sin x et x cos x sont continues sur KY Composé de deux fonctions continues: Si f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue EL sur l’intervalle f I , alors la fonction g f est continue sur I L’image d’un intervalle par une fonction continue: Résumé maths bac L’image d’un segment par une fonction continue est un segment L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 8 Cas particulier : Soit f est continue et strictement monotone sur un intervalle I Le tableau suivant illustre les différents cas possibles de l’intervalle f I L’intervalle f (I ) f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I f a ; f b f b ; f a f a ; lim f x x b lim f x ; f b x a lim f x ; f a x b f b ; lim f x x a a, b a, b a, b ME D L’intervalle I a, lim f x ; lim f x x x a lim f x ; f a x lim f x ; lim f x x x a a, ,a lim f x ; lim f x x x a f a ; lim f x x lim f x ; lim f x x x a MO ,a lim f x ; lim f x x a x b lim f x ; f a x HA lim f x ; lim f x x b x a f a ; lim f x x a, b lim f x ; lim f x x x lim f x ; lim f x x x Théorème des valeurs intermédiaires : KY AL Si f est continue sur un intervalle a, b , alors pour tout réel compris entre f a et f b il existe au moins un réel de l’intervalle a, b tel que f Si f est continue sur un intervalle a, b telle que f a f b 0 alors l’équation f x 0 admet au moins une solution dans l’intervalle a, b Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle a, b telle que f a f b 0 alors l’équation f x 0 admet une solution unique dans l’intervalle a, b Méthode de dichotomie : EL Soit f est fonction continue et strictement monotone sur un intervalle a, b telle que f a f b 0 l équation f x 0 admet une solution unique dans a, b a b a b Si f a f Si f b f 0 0 2 a b Alors : a 2 2 Alors: l’amplitude de cet encadrement est : ba . 2 a b b 2 l’amplitude de cet encadrement est : ba . 2 2 On poursuit la recherche de sur l’intervalle a;a b On poursuit la recherche de sur l’intervalle a b ;b 2 On arrête le processus dès que l’amplitude de l’encadrement de est inférieur à la précision souhaitée Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 9 Dérivabilité EL KYAL MOHAMED Fonction dérivable en un point: f x f x 0 On dit qu’une fonction f est dérivable en x 0 si lim x x 0 existe et finie x x0 L’équation de la tangente à une courbe : Soit f fonction est dérivable en x 0 ME D Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x 0 , on le note f ' x 0 . L’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse x 0 y f ' x 0 x x 0 f x 0 est : Dérivabilité à droite, à gauche en un point : f x f x 0 HA On dit que f est dérivable à droite en x 0 , si lim x x x x0 0 existe et finie Cette limite est appelé le nombre dérivé de f à droite en x 0 , on le note f 'd x 0 f x f x 0 MO On dit que f est dérivable à gauche en x 0 , si lim x x 0 x x0 existe et finie Cette limite est appelé le nombre dérivé de f à gauche en x 0 , on le note f 'g x 0 f dérivable en x 0 ,si et seulement si f est dérivable à droite AL et à gauche en x 0 et f 'd x 0 f 'g x 0 Dérivabilité et continuité : Si f une fonction est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0 Dérivée des fonctions usuelles : f x k x 0 EL KY f x Résumé maths bac | k 1 x 1 1 x² xr rx r 1 1 x sin x cos x 2 x cos x sin x tan x 1 tan2 x @ : [email protected] r * 1 | 1 cos2 x : 0628481487 | Page 10 Opérations sur les fonctions dérivées- dérivée d’une fonction composée : u v u v ku k u k u nu .u uv u v uv n n 1 u u v uv v v² uv u v v u 2u u ME D 1 v v v² Dérivée et sens de variation : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I x I f x 0 f est croissante sur I f est décroissante sur I x I f ' x 0 f est constante sur I Interprétation géométrique et dérivabilité : Dérivabilité en x 0 La limite f x f x 0 lim x x0 x x 0 f x f x 0 x x0 x x 0 x x 0 lim x x0 x x 0 lim f x f x 0 x x0 x x 0 lim f x f x 0 x x0 x x 0 lim x x 0 lim x x 0 f est dérivable a 0 à droite en x 0 0 x x0 f x f x 0 x x0 f x f x 0 x x0 Résumé maths bac Une demi- tangente à droite au point A x 0 ; f x 0 de coefficient directeur a au point A x 0 ; f x 0 dirigée vers le bas Une demi- tangente verticale à droite au point A x 0 ; f x 0 dirigée vers le haut Une demi- tangente à gauche au point A x 0 ; f x 0 de coefficient directeur a f est dérivable à gauche en x 0 Une demi-tangente horizontale à gauche au point A x 0 ; f x 0 Une demi- tangente verticale à gauche au point A x 0 ; f x 0 dirigée vers le haut f n’est pas dérivable à gauche en x 0 Une demi- tangente verticale à droite | Une demi- tangente verticale à droite 0 au point A x 0 ; f x 0 a 0 Une tangente horizontale à droite au point A x 0 ; f x 0 f n’est pas dérivable a Une demi- tangente horizontale à droite en x 0 f x f x 0 x x 0 lim a x x0 f x f x 0 f est dérivable en x 0 0 f x f x 0 lim a 0 Une tangente au point A x 0 ; f x 0 de coefficient directeur a KY lim a MO x x0 x x 0 Interprétation géométrique : C f admet AL f x f x 0 EL lim HA x I f ' x 0 au point A x 0 ; f x 0 dirigée vers le bas @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 11 Axe de symétrie-Centre symétrie de symétrie-Point Point d’inflexion EL KYAL MOHAMED Axe de symétrie – Point de symétrie : x D f 2a x D f x D f f 2a x f x ME D La droite d’équation x a est un axe de symétrie de la courbe C f si : Le point I a, b est un point de symétrie de la courbe C f si : x D f 2a x D f x D f f 2a x f x 2b Concavité et point d’inflexion d’une courbe : HA Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe représentative sur cet intervalle est entièrement située au-dessus dessus de chacune de ses tangentes MO Si x I f x 0 alors la courbe C f est convexe sur l’intervalle I Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative sur cet intervalle, est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes AL Si x I f x 0 KY alors la courbe C f est concave sur l’intervalle I Un point d’inflexion d’une courbe C f est le point ou la courbe C f change de concavité en ce point Si f s’annule en changeant de signe en x 0 EL alors la courbe C f admet un point d’inflexion d’abscisse x 0 Si f s’annule sans changer de signe en x 0 alors la courbe C f admet un point d’inflexion d’abscisse x 0 Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 12 C f admet C f admet Une asymptote horizontale d’équation: y a au voisinage de Une asymptote oblique d’équation : y ax b x Page 13 ME D | : 0628481487 | C f admet C f admet C f admet C f Une branche parabolique de direction la droite d’équation : Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnés au voisinage de Une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de admet Une asymptote verticale d’équation: y ax au voisinage de EL au voisinage de lim f x ax x a @ : [email protected] x f x 0 x x lim | lim f x ax b f x x x lim Résumé maths bac Branches infinies x f x a x x a 0 lim lim f x x a MO lim f x ax b 0 HA x x KY AL EL KYAL MOHAMEDd lim f x lim f x a Fonction réciproque EL KYAL MOHAMED Propriété : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors f admet une fonction réciproque, notée f 1 ,définie sur l’intervalle f I Détermination de l’expression de f 1 ME D 1 f x y f y x x f I y I et on a : x : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Soit x un élément de f I et y un élément de I tel que: f 1 x y HA On a : f 1 x y f y x et en résolvant l’équation f y x d’inconnue y On déduit l’expression de f 1 x pour tout x de f I Continuité de la fonction réciproque : MO Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors une fonction réciproque f 1 est continue sur l’intervalle f I Dérivabilité de la fonction réciproque : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I AL soit x 0 un élément de I et y 0 f x 0 si f est dérivable en x 0 et si f ' x 0 0 , alors la fonction f 1 est dérivable en y 0 f y f ' 1x 1 : KY et on a 0 0 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I si f est dérivable sur I et f ne s’annule pas sur I EL alors la fonction f 1 est dérivable sur f I et on a Résumé maths bac | ' x f I f 1 x @ : [email protected] : 1 f ' f 1 x | : 0628481487 | Page 14 Monotonie de la fonction réciproque : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors une fonction réciproque f 1 est strictement monotone sur f I et varie dans le même sens que f HA ME D La courbe représentative de la fonction réciproque : Dans un repère orthonormé C 1 est le symétrique de C f par rapport à la première f bissectrice du repère (droite d’équation: y x ) MO Remarques: A a, b C f AL La courbe C f La courbe C 1 f A ' b, a C 1 f admet une asymptote horizontale d’équation : y a admet une asymptote horizontale d’équation : y a admet une asymptote verticale d’équation : x a KY admet une asymptote verticale d’équation : x a EL admet une asymptote oblique d’équation : y ax b admet une asymptote oblique 1 b d’équation : y x a a (on détermine l’expression de y à partir de la relation: x ay b ) admet une tangente (ou demi-tangente) verticale admet une tangente (ou demi-tangente) horizontale admet une tangente (ou demi-tangente) horizontale admet une tangente (ou demi-tangente) verticale Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 15 Fonction racine n-ième EL KYAL MOHAMED Définition : Soit n un entier naturel non nul La fonction : x x n est continue et strictement monotone sur l’ intervalle 0; n et que l’on note ME D elle admet une fonction réciproque définie sur 0; ,nommée racine n-ième et on a : x ; y 2 n x y x y n Propriétés: x ; y 2 n n n x x n x x n x ny x y n x ny x y AL x n x x nm x nm m x L’ensemble de définition de la fonction x n u x 2 n m x x nm * x n y 0 ny y Ensemble de définition : m n x n y n x y n MO n HA x ; y n * 2 m ; n est : Limites: KY D x / x Duet u x 0 lim u x x x 0 lim n u x x x 0 n EL l0 l Ces résultats restent valable, à droite en x 0 , à gauche en x 0 , en et en Continuité : Si f une fonction définie ,positive et continue sur un intervalle I alors la fonction x n u x est continue sur I Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 16 Dérivée : Si u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction : x n u x est dérivable sur I et on a x I n u x : u x n n u x ME D n 1 Résolution de l’équation x x n a a : n un entier naturel impair S a 0 n un entier naturel pair non nul n a n n S a; a S 0 a 0 S n a S 0 HA a 0 S Puissance rationnelle d’un nombre réel strictement positif: On pose r p * * ( p et q ) q p q x x xp q AL On a : r MO Soit un x réel strictement positif et un r nombre rationnel Remarques : 1 nu x u x n n u x 1 u x n KY 1 n 1 1 u x n u x Pour tous réels x et y positifs et pour tous rationnelles r et r r r' r r ' x x x x y EL r Résumé maths bac | r r x y 1 r x r x @ : [email protected] r' x r x rr ' x r x r r y y r x r r x r x | : 0628481487 | Page 17 Suites numériques EL KYAL MOHAMED Suite arithmétique – Suite géométrique : Suite arithmétique de raison r Suite géométrique de raison q Définition un 1 un r un 1 q un Terme général un u p n p r Somme de termes consécutifs u p ... un a ,b et c trois termes consécutifs u p n p 1 un u p q un 2 n p ME D u p ... un 2b a c q n p 1 1 u p q 1 HA b² a c Suite majorée, minorée, bornée : un n I est majorée par un nombre réel M n I un M un n I est minorée par un nombre réel m n I un m un n I est bornée si un n I est majorée et minorée AL MO Soit un une suite numérique n I Monotonie d’une suite : un n I est croissante n I un 1 un un n I est décroissante n I un 1 un un n I est constante n I un 1 un KY Soit un une suite numérique n I avec * : EL Limite de la suite n 0 lim n 0 n Résumé maths bac | 0 lim n n @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 18 n avec q : Limite de la suite q 1 q 1 q 1 n n’admet la suite q pas de limite q 1 lim q n 0 q 1 lim q n 1 n lim q n n n ME D Critère de convergence d’une suite : Toute suite croissante et majorée est convergente Toute suite décroissante et minorée est convergente vn un wn lim vn l lim un l n n lim wn l n HA un l vn lim un l lim vn 0 n n un vn lim un lim vn n n MO un vn lim un lim vn n Suite de type vn f un : n Si un une suite convergente de limite l et si f une fonction continue en n I l AL alors la suite vn définie par: vn f un est convergente de limite f l Suite de type un 1 f un : un une suite numérique définie par : KY Soit u0 a où f une fonction u f u n n n 1 Si : f une f continue sur un intervalle I f I I a I EL un une convergente alors : la limite Résumé maths bac l de la suite un n I est solution de l’équation : f x x | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 19 Fonctions primitives EL KYAL MOHAMED Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que F est une fonction primitive de f sur I si : F est derivable sur I x I F ' x f x ME D Existence et unicité des primitives: HA Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I Si f admet une primitive F sur un intervalle I alors toute fonctionG définie sur I MO par :G x F x k k est aussi une primitive de f sur I Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I AL soit x 0 un élément de I et y 0 un réel, Il existe une seule primitive F de f sur I vérifiant la condition F x 0 y 0 KY Propriété de linéarité des primitives : Si F etG des fonctions primitives respectives de f et g sur un intervalle I et si k un réel alors : F G est une fonction primitive de f g sur I EL Résumé maths bac kF est une fonction primitive de kf sur I | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 20 Formulaire: primitives des fonctions usuelles : f x F x a ax k 1 x 1 x² x 1 2 x k x x x r r 1 r 1 1 HA cos x k 1 2 1 tan x 2 cos x Primitives des fonctions composés : MO cos x sin x k tan x k F x u x 2 u x k AL f x u' x KY u ' x u x u x r 1 r r 1 u x EL u' x ux e Résumé maths bac | @ : [email protected] u x k k cos u x k u ' x cos u x k ln u x k u ' x sin u x u ' x e k x e k x sin x r * -1 k ln x k x e k ME D 1 r * -1 x² k 2 s in u x k | : 0628481487 | Page 21 Calcul intégral EL KYAL MOHAMED Intégrale d’une fonction continue sur un segment : Soit f une fonction continue nue sur un intervalle a; b et F une primitive de f sur a; b b b L’intégrale de f de a à b est le nombre réel : f x dx F x F b F a a a ME D Propriétés : a a a f x g x dx a b a f x dx a b k Relation de Chasles: b f x dx kf x dx k c a a b a f x dx f x dx b a g x dx b a f x dx HA b Linéarité: b f x dx 0 f x dx Valeur moyenne : c b f x dx 1 b a b a f x dx AL Intégrale et ordre : MO Soit f une fonction continue conti sur segment a; b La valeur moyenne de la fonction f sur a; b est le nombre réel : b six a, b f x 0,alors f x dx 0 a b KY six a, b f x g x ,alors f x dx a b a g x dx Intégration par parties : b b b u x v x dx u x v x u x v x dx a a a EL Calcul d’aires : Le plan est rapporté à un repère orthogonal o, i, j Soit I et J deux points tels que : i OI etOJ j L’unité d’aire, notée u.A , est l’aire du rectangle bâti à partir des pointsO , I et J Résumé maths bac | 1.u . A i j @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 22 L’aire du domaine délimité par C f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x a et x b est: b f x dx .u.A a L’aire du domaine délimité par C f , C g et les droites d’équation x a et x b est: b f x g x dx .u.A a Cas particuliers : L’aire du domaine hachuré sur la figure f est positive sur a; b b f x dx .u.A a ME D Remarque Figure illustrative b f x dx .u.A a f est positive sur a ; c c f x dx a MO f est négative sur c; b HA f est négative sur a; b AL C f est au dessus de C g sur a; b de C g sur a; c C f est au dessous de C g sur c; b C f est au dessus Calcul de volumes : c b g x f x dx .u.A KY b f x g x dx .u.A a c f x g x dx a f x dx .u.A c b Le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe C f sur a; b , un tour complet autour de l'axe des abscisses est: b ² V f x dx u.v a u.v : unité de volume EL Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 23 Fonctions logarithmes EL KYAL MOHAMED Fonction Logarithme népérienne : Définition : La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction : x Conséquences et propriétés : ln 1 0 x 0; y 0; ln xy ln x ln y ln e 1 x 0; y 0; ln x ln y x y ln x ln y x y ln x r r ln x r 1 ln ln x x x ln ln x ln y y HA x 0; y ln x y x e y Domaine de définition : f une fonction numérique de la variable réelle x définie par : f x ln u x 2 f x ln u x MO Domaine de définition de f : ln x x lim ln x 1 x 1 x 1 lim Continuité: ln x lim x xn 0 n * lim x n ln x 0 KY lim ln x x 0 x 0 lim x 0 D f x / x Du et u x 0 AL Limites usuelles : D f x / x Du et u x 0 f x ln u x ME D sur l’intervalle 0; + qui s’annule en 1 et notée ln 1 x ln x 1 x 1 EL La fonction ln est continue sur l’intervalle 0; + Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I et si u est continue sur I alors la fonction x ln u x est continue sur I Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 24 Dérivabilité : La fonction ln est dérivable sur l’intervalle 0; + 1 x 0; ln x x et on a : Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I et si u est dérivable sur I alors lors la fonction x ln u x est dérivable sur I u x x I ln u x et on a : u x Signe et représentation eprésentation graphique de ln : x 0 ln x - 1 + Fonction Logarithme de base a * \ 1 : Définition : MO HA ME D La fonction logarithme de base a est la fonction ln x définie par : x 0; loga x ln a Cas particulier : si a=10, loga est le logarithme décimal. On le note log Conséquences et propriétés : AL loga 1 0 x 0; y 0; loga xy loga x loga y loga a 1 loga x r r loga x r KY 1 loga loga x x x loga loga x loga y y x 0; y 0; r l oga x l oga y x y l oga x r x a r EL 0a 1 loga x loga y x y lim loga x a 1 loga x loga y x y lim loga x x x x 0 x 0 lim loga x lim loga x 1 x 0, loga x ' x ln a Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 25 Fonctions exponentielles EL KYAL MOHAMED Fonction exponentielle népérienne : Définition : La fonction exponentielle népérienne, notée exp , est la fonction réciproque ME D de la fonction ln . On pose : x exp x ex Conséquences et propriétés : x ex 0 x y e x e y e x y x ln e x x x e x x y 0; HA x , y ² e x ey x y x y y Domaine de définition : f une fonction numérique de la variable réelle x définie par : f x ex Limites usuelles : u x KY lim ex x lim e x 0 e y e x y D f x / x Du x e lim x x n lim Df n * x e 0 n x x ex 1 1 x 0 x lim EL x ex Domaine de définition de f : AL f x e MO e e x y r e rx 1 x ex ex e x y x lny x r x 0, elnx x Continuité: La fonction x e x est continue sur l’intervalle Si u est une fonction continue sur un intervalle I alors la fonction x e Résumé maths bac | u x est continue sur I @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 26 Dérivabilité : la fonction x e x est dérivable sur ' et on a: x e x e x Si u est une fonction est dérivable sur un intervalle I alors la fonction x e u x est dérivable sur I Représentation graphique de exp : HA ME D u x ' u x et on a: x I e u x e Fonction exponentielle de base a 0; : Définition : Conséquences et propriétés : x ; y a a a r x a x y ar x r loga a x x log x x 0; a a a x ; y 2 a x a y x y x y 0; ax x ; y a x y ay 2 a x e xln a x KY 1 x a x ax x y AL x 2 MO La fonction exponentielle de base a est la fonction définie par : x log x x 0; a x e a x y x loga y a 1 ax ay x y ax ay x y EL 0a 1 lim a x 0 lim a x x x x lim a x 0 lim a x x x a 1 ln a x x 0 a x ln a a x lim Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 27 Nombres complexes EL KYAL MOHAMED L’ensemble des nombres complexes est : z a ib / a; b ² et i ² 1 Soit le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct o, e1, e2 Définition et propriétés : La forme algébrique du nombre complexe z est : a ib . La partie réelle du nombre complexe z est : Re z a . ME D Soit z a ib un nombre complexe avec a; b ² La partie imaginaire du nombre complexe z est : Im z b . Le nombre complexe z est imaginaire pur si Re z 0 . Egalité de deux nombres complexes : z z Re z Re z et Im z Im z Le module du nombre complexe z est : z HA Le conjugué du nombre complexe z est : z a ib zz a ² b ² L’image du nombre complexe z a ib est le point M a, b , noté M z MO L’affixe du point M a, b est le nombre complexe z a ib , noté z M L’affixe du vecteur u a, b est le nombre complexe z a ib , noté zu L’affixe du vecteur AB est le nombre complexe z z B z A AB L’argument du nombre complexe non nul z est une mesure de l’angle orienté e1,OM AL noté argz arg z 2 cos Re(z ) Im(z ) et sin z z KY on a La forme trigonométrique du nombre complexe non nul z est : z r cos i sin r , et arg z 2 EL avec r z r , est une écriture réduite du nombre complexe r cos i sin La forme exponentielle du nombre complexe non nul z est : z re i avec r z Résumé maths bac et arg z 2 | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 28 Propriétés: Conjugué Produit Module Argument z z z z arg z arg z 2 z z z z arg z arg z 2 z z z z arg zz arg z arg z 2 z z ' z z ' n zn z Inverse 1 1 z ' z ' 1 1 z z Quotient z z z ' z' z z z z' Somme z z ' z z ' Forme trigonométrique r , r , arg z n n arg z 2 1 arg arg z 2 z z arg arg z arg z 2 z Forme exponentielle MO Opposé n HA zn z Puissance ME D Opposé Conjugué Conjugué r, r , r , r ', ' rr '; ' Puissance r , n r n ; n Inverse 1 ; r ; r AL Produit KY re i r ' e i ' rr ' e i i rei r ' ei ' z z 2Re z z est réel z z z z 2Im z z estréel argz k / k ² ² zz Re z Im z z 0z 0 z est imaginairepur z z EL z est imaginairepur arg z k r , 2k r , Résumé maths bac | @ : [email protected] n re re r ; r ; ' r '; ' r ' | i rei rei 1 1 Quotient rei re r ne i ' i n 1 ei r r i ' e r' k / k 2 : 0628481487 | Page 29 Formule de Moivre : n cos isin cos n isin n Formules d’Euler : ME D 1 i e e i 2 1 sin e i e i 2i cos Equations du second degré à coefficients réels : L’équation : Ensemble de solution: b b S ; 2a 2a b S 2a b i b i S ; 2a 2a z az ² bz c 0 HA 0 0 b ² 4ac Nombres Complexes et géométrie: Relation géométrique : z z A r r 0 z z A z zB AM r M appartient au cercle de centre A et de rayon r AM BM M appartient à la médiatrice de AB KY z zB zI A 2 zC z A zB zA EL z z A AB; AC arg c z z 2 B A Résumé maths bac | la distance AB AL Notion complexe : z B zA MO 0 I milieu de AB A,B et C trois points alignés mesure de l’angle AB; AC @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 30 d’un triangle: Nature du triangle ABC r ; 2 ABC est un triangle rectangle en A zC z A 1; zB zA ABC est un triangle isocèle en A 1; 2 zA 1; zA 3 zC z A zB zA zC zB ME D zC z A zB zA ABC est un triangle isocèle et rectangle en A ABC est un triangle équilatéral Ecritures complexes des transformations du plan: Ecriture complexe : Translation de vecteur u d’affixe z u Homothétie de centre et de rapport k z z zu z k z z ei z MO Rotation de centre et d’angle HA Transformations: Reconnaitre une translation, une homothétie ou une rotation à partir de leurs expressions complexes : Soit le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct o,e1, e2 Soit M z par une transformation F AL l’image d’un point M z L’expression complexe du transformation F KY a 1 EL avec a ;b 2 (a 0) Nature du transformation F F est une translation de vecteur u d’affixe z b u F est une homothétie de rapport a a 1 z az b b 1a et de centre d’affixe ( vérifie la relation : a b ) a 1 F est une rotation a 1 avec a 1 d’angle : arg a 2 et de centre d’affixe b 1a ( vérifie la relation : a b ) Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 31 : 0628481487 b y x eax a KY AL 0 Deux solutions réelles distinctes r1 et r2 ay '' by ' cy 0 ar ² br r 0 0 Une solution réelle unique r Deux solutions complexes conjuguées 0 r1 p iq et r2 p iq Solution générale de l’équation différentielle | L'équation caractéristique admet y x e r1x e r2x , ² y x x erx , ² | Equation caractéristique MO Equation différentielle EL Equations différentielles Résolution de l’équation différentielle : ay '' by ' cy 0 @ : [email protected] a 0 | Solution générale de l’équation différentielle y x cos qx sin qx e px , ² Résumé maths bac y ' ay b Page 32 ME D Equation différentielle HA EL KYAL MOHAMEDd Résolution de l’équation différentielle : y ' ay b Dénombrement EL KYAL MOHAMED Cardinal d’un ensemble : Soit E un ensemble fini Le cardinal de E est le nombre d’éléments de E , on le note card E ME D Soit A et B deux parties d’un ensemble fini Card A B CardA CardB Card A B Principe fondamental du dénombrement : Soit une expérience peut être réalisée en p choix p * Si le premier choix peut être réalisé en n1 façons différentes HA et le second choix peut être réalisé en n2 façons différentes MO . . . et le p -ème choix peut être réalisé en n p façons différentes alors le nombre façons différentes de réaliser cette expérience est le produit : n1 n2 n 3 ... n p Les nombres : n ! , Anp et Cnp n ! n n 1 n 2 ... 2 1 n! AL Anp n p ! C np n! p ! n p ! C np C nn p C nn 1 C nn 1 n KY C np 1 C np C np1 Types de tirages : On tire p objets parmi n objets simultané Nombre de tirages possible est : C np p n n’a pas d’importance Successif avec remise np est important EL Type de tirage: Successif sans remise Résumé maths bac | Anp L’ordre : p n @ : [email protected] est important | : 0628481487 | Page 33 Probabilités EL KYAL MOHAMED Probabilités d’un ensemble fini: La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent, on la note p A ME D Propriétés : Soit l’univers associé à une expérience aléatoire L’événement: Probabilités: 0 p A 1 A p A 1 p A A p A B p A p B p A B p A B p A p B HA AB (A et B sont incompatibles) S’il y a équiprobabilité alors pour tout événement A de , on a: cardA nombredescas favorables card nombredes cas possibles MO p A Loi d’une variable de probabilité aléatoire: Soit l’univers associé à une expérience aléatoire Pour définir la loi de probabilité de la variable X sur on suit les étapes suivantes : AL 1) On détermine X x1; x 2 ; x 3 ;...; xn l’ensemble des valeurs prises par X 2) On calcule pour chaque valeur x i sa probabilité pi p X xi avec i 1;2;...; n x1 x2 x3 … xn KY 3) On résume la loi de probabilité de la variable X par le tableau suivant : p2 p3 … pn xi p X x i p1 Probabilité conditionnelle : Soit A et B deux événements liés à une même expérience aléatoire tel que: p A 0 EL La probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé est le nombre : A pA B p B p A B p A Evénements indépendants : Soit A et B deux événements liés à une même expérience aléatoire A et B sont indépendants p A B p A p B Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 34 L’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire: Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est définie par le tableau suivant: x1 x2 x3 … xn p X x i p1 p2 p3 … pn ME D xi L’espérance mathématique E X x1 p1 x 2 p2 x 3 p3 ... xn pn de la variable X V X E X ² E X ² L’écart -type de la variable X X V X HA La variance de la variable X MO Epreuve répétée : Soit p la probabilité d’un événement A , lors d’une expérience aléatoire si on répète n fois l’épreuve dans des conditions identiques alors la probabilité de réalisation de A exactement k fois durant les n épreuves est : k n k AL C nk p 1 p KY Loi binomiale : k n Soit p la probabilité d’un événement A , lors d’une expérience aléatoire on répète n fois l’épreuve dans des conditions identiques si la variable aléatoire X , égale au nombre de réalisation de A durant les n épreuves EL alors la loi de probabilité de la variable X est donnée par : n k k 0;1;2;...; n p X k C nk pk 1 p On dit que la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on a E X n p Résumé maths bac | et V X np 1 p @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 35 Géométrie dans l’espace EL KYAL MOHAMED L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct o, i , j , k Expressions analytiques : Produit vectoriel : u v ME D Soient u a, b, c et v a ', b ', c ' deux vecteurs Produit scalaire : u .v aa ' bb ' cc ' Norme : u a ² b ² c ² b b' a a' a a' i j k c c' c c' b b' Aire d’un triangle : L’aire d’un triangle ABC est: HA Distances : 1 AB AC 2 La distance entre deux points A et B est : AB xB xA ² yB yA ² zB zA ² d M ; MO La distance du point M au plan P d’équation ax by cz d 0 est: axM byM czM d a ² b² c² u AL La distance du point M à la droite A, u est: d M , AM u Equation cartésienne d’un plan : n a, b, c est un vecteur normal au plan P P : ax by cz d 0 KY Si AB AC 0 alors les points A , B et C ne sont pas alignés Dans ce cas : AB AC est un vecteur normal au plan ABC et l’équation cartésienne du plan ABC peut être déterminé à l’aide de l’équivalence suivante : M ABC AM . AB AC 0 EL Equation cartésienne d’une sphère: L’équation cartésienne d’une sphère de centre a, b, c et de rayon R est : x a ² y b ² z c ² R² Résumé maths bac | @ : [email protected] | : 0628481487 | Page 36 Ensemble des points M de l’espace vérifiant : AM .BM 0 L’ensemble des points de l’espace vérifiant : AM .BM 0 est la sphère de diamètre AB Intersection d’une sphère et d’un plan : Soit la sphère (S) de centre et de rayon R et le plan P de centre H MO P coupe S selon un cercle C HA ME D Soit H le projeté orthogonal du centre sur le plan P . On pose : d H d ; P est tangent à S en H et de rayon : r R ² d ² P ne coupe pas S Intersection d’une sphère et d’une droite : AL Soit la sphère (S) de centre et de rayon R et la droite . EL KY Soit H le projeté orthogonal du centre sur la droite . On pose : d H d ; coupe S en deux points distincts Résumé maths bac | est tangente à S en H @ : [email protected] | ne coupe pas S : 0628481487 | Page 37 Trigonométrie EL KYAL MOHAMED 6 1 2 4 3 2 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 1 2 0 3 3 1 3 0 sinx 0 cosx tan x 0 HA x ME D Tableau des valeurs remarquables et cercle trigonométrique: cos x x +x x 2 x 2 sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x cos x sin x sin x cos x 2k cos x sin x cos x 1 1 tan ²x cos ²x tan x sin x 2k sin x KY -1 cos x 1 -1 sin x 1 cos ²x sin ²x 1 AL sin MO Les formules des angles associés : tan x k tan x Equations trigonométriques : cos x cos a x a 2k ou x -a 2k sin x sin a x a 2k ou x - a 2k tan x tan a x a k EL Résumé maths bac | @ : [email protected] k | : 0628481487 | Page 38 Formules d’addition : cos a - b cos a cos b sin a sin b cos a b cosa cosb - sina sinb sin a - b sin a cos b - cos a sin b tan a - tan b tan a - b 1 tan a tan b sin a b sina cosb cosa sinb tan a b tana tanb 1 - tana tanb ME D Formules de duplication : cos2a cos ²a - sin ²a 2 cos ²a - 1 on pose: t tan 1 - 2 sin ²a sin2a 2 sina cosa a 2 2t 1 t² 1 - t² cosa 1 t² 2t tana 1 - t² sina 2 tana 1 - tan ²a 1 cos2a cos ²a 2 1 - cos2a sin ²a 2 MO HA tan2a Transformation des produits- transformation des sommes : p q p q cos cos p cos q 2 cos 2 2 p q p q sin cos p cos q 2 sin 2 2 p q p q cos sin p sin q 2 sin 2 2 p q p q sin sin p sin q 2 cos 2 2 KY AL 1 cosa cosb cos a b cos a - b 2 1 sina sinb cos a b cos a b 2 1 sina cosb sin a b sin a b 2 1 cosa sinb sin a b sin a b 2 Transformation de a cos x b sin x : EL a b a cos x b sin x a ² b ² cos x sin x a ² b ² a ² b² a ² b ² cos x avec un réel tel que : Résumé maths bac | cos a a ² b² @ : [email protected] sin et | b a ² b² : 0628481487 | Page 39