lois generales ARQS

lois générales de l’electrocinétique dans
l’ARQS
Table des matières
1 les grandeurs électriques
1.1 courant électrique . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 charge électrique . . . . . . . . . . .
1.1.2 courant électrique . . . . . . . . . . .
1.1.3 intensité d’un courant électrique . .
1.1.4 classification des courants électriques
1.2 ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 différence de potentiel . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
2
2
2
3
3
2 lois de Kirchoff
2.1 Loi des noeuds et conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
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3 les dipôles
3.1 convention générateur/récépteur . . . . . . . . . . . . . .
3.2 caractéristique d’un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 classification des dipôles . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 dipôles passifs modèles . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 dipôles actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 modélisation d’un dipôle linéaire actif dans l’ARQS
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. 6
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. 7
. 9
. 10
4 associations de dipôles
11
4.1 association en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 association en parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 puissance électrocinétique reçue par un dipôle
1
14
L’électrocinétique est la branche de l’électromagnétisme qui étudie le transport des charges
électriques dans les circuits conducteurs. Ses domaines d’application sont l’électrotechnique
(applications techniques de l’électricité) et l’électronique (qui étudie les dispositifs à courants électriques faibles).
1
les grandeurs électriques
De manière courante, à l’échelle macroscopique des circuits, deux grandeurs électriques
interviennent dans les circuits électriques : l’intensité du courant et la tension électrique.
1.1
1.1.1
courant électrique
charge électrique
La charge électrique est la grandeur physique, exprimée en coulombs, que l’on peut
attribuer à toute particule élémentaire participant à l’interaction électromagnétique. C’est
une grandeur extensive conservative.
La charge électrique ne peut être ni créée, ni détruite ; elle ne peut être qu’échangée. En
conséquence, un générateur ne crée pas de charges. Il met les charges en mouvement.
1.1.2
courant électrique
Etant donné un référentiel d’étude, on appelle courant électrique un mouvement d’ensemble
(ordonné) de particules chargées dans ce référentiel. Un courant électrique est caractérisé
par son intensité.
1.1.3
intensité d’un courant électrique
Soit la section (S) d’un conducteur. Soit dQ la charge qui traverse la surface (S) entre
t et t + dt, comptée positivement si les charges se déplacent dans le sens conventionnel,
c’est-à-dire celui des porteurs de charges positifs.
dQ
L’intensité du courant électrique à travers une surface (S) à l’instant t est i(S, t) =
.
dt
10−3 A × 1 s
Exemple : Si i = 1 mA, pendant 1 s, il y a
= 6.1015 e− qui traversent la
1, 6.10−19 C
section !
ordres de grandeur : de 1 µA à 1 A dans un transistor ; de 0,1 A à 5 A dans une lampe,
5000 A dans une centrale électrique.
1.1.4
classification des courants électriques
On distingue :
- les courants de conduction : déplacement de charges dans un support matériel sans déplacement du support dans R.
Ex : les électrons dans un métal ; les ions dans une solution d’ électrolytes...
- les courants de convection : déplacement de charges par déplacement du support matériel
dans R.
Ex : disque chargé en rotation (Roue de Barlow).
- les courants particulaires : faisceaux de charges sans support matériel.
Ex : les « rayons » cathodiques = faisceau d’électrons dans le vide (oscilloscope, TV,. . . ).
exercice 1
2
1.2
ARQS
Réseau ou Circuit : système de conducteurs reliés les uns aux autres (par des fils de
connexion) qu’on peut analyser en terme de mailles, noeuds, branches . . .
Noeud : c’est un point du circuit qui est la borne commune à plus de deux dipôles (et/ou
multipôles).
Branche : ensemble de dipôles montés en série et situés entre deux noeuds consécutifs.
Maille : ensemble de branches formant un contour fermé ne passant qu’une seule fois par
chaque noeud intermédiaire.
On parle de réseau en régime continu (ou stationnaire ou permanent) lorsque les grandeurs (intensité, courant, charge. . . ) sont indépendantes du temps. On note alors ces
grandeurs par des majuscules (I, Q . . .).
Un réseau électrique fonctionne en régime variable lorsque les grandeurs qui lui sont
associées varient au cours du temps. Ces grandeurs sont alors notées en minuscules (i(t),
u(t), q(t). . .).
Un courant électrique dépendant du temps correspond à la propagation d’une onde électromagnétique à la vitesse de la lumière. En régime variable, on peut considérer que l’intensité
est la même en tous points d’une même branche, à condition que la durée de propagation
de l’onde soit négligeable devant les durées caractéristiques du régime étudié (temps de
relaxation lorsque le signal est transitoire, ou période lorsque le signal est périodique).
L’approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) ou quasi permanents
(ARQP) revient à négliger tous les effets liés à la propagation des signaux électromagnétiques sous forme de tension ou de courant. On ne considère alors que
la dépendance temporelle des grandeurs électriques.
Au laboratoire, la dimension des circuits est au plus de l’ordre de 1 m. La durée cal
ractéristique de propagation des signaux est τ = =3.10−9 s. L’ARQS est valable si la
c
1
8
fréquence des signaux vérifie f =3.10 Hz, ou si le temps caractéristique du régime
τ
transitoire est négligeable devant τ .
Couramment, on utilisera des signaux de fréquence inférieure à 10 MHz, donc l’ARQS sera
valable.
exercice 3
1.3
différence de potentiel
Le mouvement des charges qui constitue le courant dans une certaine région de l’espace
est provoqué par un déséquilibre de nature électrique au sein de celle-ci. On définit en tout
point d’un circuit une grandeur notée V (M ) qu’on appelle potentiel électrique. Nous ne
pourrons définir correctement le potentiel électrique que dans le cours d’electromagnétisme.
Lorsque le potentiel électrique n’est pas uniforme, les porteurs de charges mobiles sont
soumis à une force électrique qui leur communique un mouvement d’ensemble, ce qui crée
un courant électrique dans un circuit fermé. La description d’une portion de circuit électrique comprise entre deux points A et B se fait donc à l’aide de deux grandeurs, d’une
part l’intensité du courant, d’autre part la différence de potentiel UAB = VA − VB entre A
et B.
On appelle tension électrique la différence de potentiel entre A et B. Elle s’ex3
prime, comme le potentiel, en volts (V).
Par convention, la tension UAB entre les points A et B se représente dans un schéma électrique par une flèche dirigée vers le point A.
On la mesure avec un voltmètre placé en dérivation.
Remarque 1 : UAB > 0 =⇒ VA > VB : si une tension est positive, alors la flèche de
tension est dans le sens des potentiels croissants.
Remarque 2 : Les potentiels V sont définis à une constante près. Seule la tension ou différence de potentiels a un sens physique. La différence est souvent définie par rapport à
un potentiel nul de référence pour le circuit qui est appelé masse (Ce potentiel n’est pas
forcément constant dans le temps).
complément sur la masse : Nos pieds nous relient à la terre. Si nous touchons un point dont
l’état électrique (le potentiel) est différent de celui de la terre, un courant traverse notre
corps, qui est conducteur. Si la différence de potentiel est forte, ce courant peut causer des
dommages importants.
Or la plupart des appareils présentent des parties extérieures métalliques, donc conductrices, pouvant être touchées par l’utilisateur (boîtier, radiateur, vis...). Il n’est pas impossible qu’une de ces parties métalliques soit accidentellement en contact avec une partie du
circuit électrique de l’appareil et se trouve à un potentiel très différent de celui de la terre,
d’où un danger potentiel avec les appareils électriques reliés au secteur.
Pour éviter ce problème, toutes ces parties métalliques sont reliées entre elles, l’ensemble
formant la "carcasse", elle-même relié à la terre par l’intermédiaire de la prise de terre.
On dit que la masse de l’appareil est à la terre. Cette masse "carcasse" n’est pas choisie
par l’utilisateur, elle est donc différente de la masse électrique. Son symbole normalisé est
Mais l’utilisateur peut choisir comme masse électrique la masse carcasse ! On parlera donc
souvent de "masse" sans autre précision.
Attention : sur de nombreux appareils reliés au secteur que nous utilisons, une des bornes
(la borne noire, ou celle qui porte le symbole de la masse carcasse) est reliée à la masse
carcasse, donc à la terre. Cela implique que les bornes noires ou masses de ces appareils
sont reliées entre elles par l’intermédiaire de la terre. Cette liaison n’est pas parfaite et
on l’améliorera fréquemment en utilisant un fil. Cependant cela signifie que relier la borne
rouge d’un appareil à la borne noire d’un autre appareil, les deux étant reliés au secteur,
équivaut à mettre le premier en court-circuit !
2
lois de Kirchoff
Ce sont des lois générales de l’électrocinétique, valables en courant continu et en courant
variable dans le cadre de l’ARQS.
2.1
Loi des noeuds et conservation de la charge
Du fait de la conservation de la charge, les charges ne peuvent être ni créées, ni détruites.
Pour un noeud donné, en régime permanent ou dans l’ARQS, la somme algébrique des
courants "arrivants" (ou "sortants") à un noeud est nulle à tout instant.
X
Pour un noeud N à un instant t quelconque :
εk ik (t) = 0 avec :
- εk = +1 si le sens positif choisi pour ik arrive au noeud N
- εk = −1 si le sens positif choisi pour ik part du noeud N.
exemple :
4
En particulier, l’intensité est la même en tout point d’un circuit sans dérivation (dans
l’ARQS). On peut donc placer un ampèremètre en série à tout endroit d’une branche pour
mesurer l’intensité du courant qui la traverse.
2.2
Loi des mailles
VA − VB + VB − VC + VC − VD + VD − VA = 0
UAB + UBC + UCD + UDA = 0
La somme algébrique des tensions aux bornes des branches successives d’une
maille parcourue dans un sens déterminé est nulle.
Pour une maille M à un instant t quelconque, parcourue dans un sens donné :
X
uk (t) = 0
k
où uk = est la différence de potentiel entre le noeud k et le noeud suivant rencontré lors
du parcours.
exercice 7
3
les dipôles
On appelle dipôle électrocinétique un élément d’un circuit électrique relié au reste du
circuit par deux fils de connexion.
Un fil de connexion est un fil dont la résistance est négligeable devant les autres résistances du montage.
exemples de dipôles :
5
L’état électrique d’un dipôle est décrit à l’aide de la tension entre ses bornes et de l’intensité du courant électrique qui le traverse. Dans le cadre de l’ARQS, l’intensité du courant
qui rentre dans un dipôle est égale à celle du courant qui en sort.
3.1
convention générateur/récépteur
Les dipôles peuvent être étudiés avec deux conventions de fléchage :
- Convention récepteur : Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela permet d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s’opposant à la circulation du
courant.
- Convention générateur : Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Cela
permet d’obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation du
courant.
exercice 2
3.2
caractéristique d’un dipôle
Dans un dipôle, courant et tension ne sont pas indépendants. La caractéristique statique
courant-tension d’un dipôle est le graphe I=f(U) obtenu en mesurant I lorsqu’on fait varier
U, la lecture étant faite lorsque le régime stationnaire est atteint. On définirait de même
la caractéristique statique tension-courant.
La caractéristique dépend évidemment de la nature du dipôle et donc, éventuellement
de certains paramètres extérieurs.
La convention adoptée doit impérativement être précisée par un schéma !
Les limites de cette caractéristique sont fixées d’une part par le type de fonctionnement
du dipôle et d’autre part par la puissance maximale qu’il peut échanger avec l’extérieur et
donc qu’on peut lui fournir sans le détériorer.
Sur ces caractéristiques, certaines grandeurs sont à remarquer :
- intensité de court-circuit : c’est l’intensité I0 correspondant à l’intersection de la caractéristique avec l’axe U = 0, c’est l’intensité du courant qui traverserait un fil de résistance
négligeable joignant les deux bornes du dipôle.
- tension en circuit ouvert ou tension à vide : c’est la tension U0 correspondant à l’intersection de la caractéristique avec l’axe I= 0, c’est la tension que l’on mesurerait en connectant
un voltmètre directement aux bornes du dipôle isolé.
6
3.2.1
classification des dipôles
La plupart des dipôles courants peuvent être modélisés par des dipôles idéaux, dont la
caractéristique correspond à une fonction mathématique simple.
On dit qu’un dipôle est :
- symétrique si I(−U) = −I(U), sa caractéristique statique admet l’origine des coordonnées
comme centre de symétrie. Sinon, il est dit polarisé.
- passif si son intensité de court-circuit et sa tension en circuit ouvert sont simultanément nulles, sa caractéristique passe alors par l’origine. Il est dit actif dans le cas contraire
et peut alors fournir de l’énergie électrique au circuit pendant une durée arbitrairement
longue.
-linéaire si sa caractéristique statique est une droite ou si la relation entre la tension u(t)
et le courant i(t) est une équation différentielle à coefficients constants.
En électronique, on utilise de nombreux dipôles non linéaires. Les circuits qui contiennent
ces dipôles ne peuvent, en général, pas être étudiés avec des méthodes analytiques rigoureuses. La connaissance des caractéristiques permet alors l’analyse de ces circuits avec des
méthodes graphiques.
exercice 4
3.2.2
dipôles passifs modèles
Les trois principaux dipôles passifs que nous rencontrerons dans les circuits linéaires sont
le conducteur ohmique, la bobine et le condensateur.
a. conducteurs ohmiques :
De nombreux conducteurs vérifient la loi d’Ohm
UAB = VA − VB = RI
On peut aussi écrire I = GUAB où G = 1/R est la conductance du dipôle en siemens (S).
Exprimentalement, la résistance d’un conducteur métallique cylindrique et homogène est
proportionnelle à la longueur l et inversement proportionnelle à la surface de la section S.
R=ρ
l
1 l
=
S
γS
ρ résistivité en Ω.m ;
γ conductivité en Ω−1 .m−1 ou S.m−1 .
7
Pour des puissances allant jusqu’à plusieurs dizaines de watts, on utilise des résistances
spiralées : un fil métallique est bobiné sur un cylindre isolant, le tout recouvert d’un vernis
protecteur. Les résistors utilisés dans les circuits électroniques, appelés "résistances radio",
utilisés pour de faibles puissances, sont réalisés avec du carbone, soit sous forme de grains
agglomérés, soit sous forme de couche déposée sur un bâtonnet de céramique isolante, le
tout recouvert d’un vernis protecteur.
Le domaine de fonctionnement est limité par la puissance maximale que peut supporter
en régime de fonctionnement continu le résistor, Pmax, appelée puissance nominale. La
gamme des résistances radio s’étend de 1Ω à 22 MΩ.
b. bobine :
Les bobines, ou inducteurs, sont en général introduites dans les circuits pour s’opposer
aux variations du courant, par exemple filtrer les courants continus.
Les bobines à enroulement métallique sont généralement des composants volumineux qui
ne possèdent pas une inductance propre élevée (de l’ordre de quelques dizaines de mH).
Pour augmenter l’inductance propre, on utilise un matériau ferromagnétique (noyau de fer
doux), mais alors le comportement n’est plus linéaire.
On peut considérer que le comportement d’une bobine ne comportant pas de matériau
ferromagnétique, dans le domaine des signaux de faible amplitude, peut être représenté
par une inductance pure de valeur L constante, en première approximation.
u=L
di
dt
L est l’inductance de la bobine, exprimée en henry (H).
L est en général comprise entre quelques microhenrys et quelques henrys
En régime de fonctionnement continu, ou en basses fréquences, il est nécessaire de tenir
compte de la résistance propre d’une bobine : le schéma équivalent est donné par l’association en série d’une inductance pure et d’une résistance pure de valeur assez faible (de
quelques dixièmes à plusieurs ohms).
u = ri + L
di
dt
Il ne peut pas y avoir de discontinuité de l’intensité du courant aux bornes
d’une bobine car sinon, la tension à ses bornes serait infinie !
En régime continu, la bobine se comporte comme un fil.
exercice 14
c. condensateur :
Lorsqu’on applique une différence de potentiel à deux conducteurs isolés l’un de l’autre,
on assiste à une accumulation de charges par influence électrostatique. C’est l’effet capacitif.
8
Les condensateurs sont composés de deux armatures séparées par un isolant. L’aptitude
d’un condensateur à stocker des charges est appelée capacité C du condensateur, exprimée
en Farad (F). On peut considérer, en première approximation, qu’un condensateur est modélisable par une capacité pure de valeur constante C, dans le domaine de tension limité
par la tension maximale de claquage umax .
q = Cu i =
dq
du
=C
dt
dt
L’intensité du courant ne pouvant être infinie, il ne peut pas y avoir de discontinuité de la tension aux bornes d’un condensateur.
En réalité, un condensateur, même isolé, se décharge lentement. Ceci est dû aux électrons qui parviennent à passer d’une armature à l’autre, l’isolant séparant ces armatures
ne pouvant pas être parfait. Ce phénomène peut être modélisé par une résistance placée
en parallèle d’un condensateur idéal, appelée résistance de fuite, notée Rf .
En régime continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.
exercices 15, 16, 17
d. diode à jonction :
3.2.3
dipôles actifs
Une source (idéale) de tension maintient entre ses bornes une tension indépendante de
l’intensité du courant qui la traverse.
U =E
C’est un modèle qui peut être approché par un accumulateur au plomb ou par certains
dispositifs contenant par exemple des AO.
9
On dit que le générateur de tension est éteint lorsqu’il est réduit à une tension identiquement nulle (équivalent à un conducteur).
Une source (idéale) de courant débite un courant d’intensité indépendante de la tension
appliquée à ses bornes.
I = I0
Le générateur de courant est éteint si le courant est identiquement nul (circuit ouvert).
La caractéristique d’un grand nombre de sources réelles (les piles par exemple) a pour équation en régime continu U = e − RI : la tension diminue si l’intensité du courant débité
augmente.
3.2.4
modélisation d’un dipôle linéaire actif dans l’ARQS
Représentation de Thévenin
U = e − RI
Le dipôle linéaire actif peut donc être considéré comme l’association série d’une source
idéale de tension e (tension à vide) et d’une résistance R (pente)
Représentation de Norton :
L’équation U= e-RI s’écrit également
I = I0 −
U
R
avec I0 =
E
R
Le dipôle linéaire peut être considéré comme l’association parallèle d’une source idéale de
courant I0 (courant de court circuit) et d’une résistance R (pente) :
cas général Un dipôle actif réel n’a pas nécessairement une caractéristique affine en
régime permanent indépendant du temps, mais si l’on considère de petites variations au
voisinage d’un point (U, I) donné, appelé point de repos, il est possible de linéariser le
dipôle, c’est-à-dire de remplacer sa caractéristique par sa tangente au point de repos choisi.
10
équivalence Norton Thévenin On peut toujours passer d’une source de Thévenin à
une source de Norton et inversement.
La conductance de la source de Norton est l’inverse de la résistance de la source de Thévenin
d’une part, et la f.e.m. de la source de Thévenin est égale au c.e.m. de la source de Norton
multipliée par sa résistance.
L’emploi de la représentation de Thévenin sera préféré dans le cas d’association série alors
que celle de Norton le sera dans le cas d’associations parallèles.
exercice 2
4
4.1
associations de dipôles
association en série
Il y a association série de dipôles lorsqu’ils sont connectés les uns aux autres de sorte que
ceux-ci sont traversés à tout instant par le même courant d’intensité i(t) dans le cadre de
l’ARQS.
En adoptant la même convention d’orientation des tensions pour chaque dipôle, l’association série des dipôles est équivalente à un dipôle unique traversé par le courant i(t) et
soumis à la tension u(t) égale à la somme des tensions P
aux bornes de chacun des dipôles,
par application de la loi des mailles. On a alors u(t) = k uk (t) et ik (t) = i(t), ∀k
L’association de n conducteurs ohmiques en série est équivalente à un conducteur ohmique de résistance
n
X
Req =
Ri
1
L’association de n bobines idéales en série est équivalente à une bobine idéale
d’inductance
n
X
Leq =
Li
1
L’association de n condensateurs idéaux en série est équivalente à un condensateur idéal de capacité
n
X
1
1
=
Ceq
Ci
1
Deux générateurs de tension placés en série permettent d’additionner la tension aux
bornes de chacun d’eux. Il convient toutefois en TP de ne pas oublier les ”problèmes de
masses” éventuels ! Par contre, associer deux générateurs de courant en série n’a aucun
sens : cela revendrait à imposer deux courants différents dans un même fil !
11
application : diviseur de tension
Req = R1 + R2
UAB = Req I
UBC = R2 I
D’où UBC =
R2
UAB
R1 + R2
Ce dispositif est utilisé couramment dans les systèmes de contrôle du volume sonore ou de
l’intensité lumineuse.
Une tension U aux bornes de résistances placées en série se partage aux bornes de
chacune de ces résistances proportionnellement à la valeur de chaque résistance.
Attention ! Le pont diviseur de tension ne peut s’appliquer que si les 2 dipôles sont en
série, c’est-à-dire qu’aucun courant ne doit partir dans une autre branche entre R1 et R2 .
4.2
association en parallèle
Il y a association parallèle de dipôles lorsque ceux-ci sont soumis à tout instant à la même
tension u(t) à leurs bornes.
12
En adoptant la même convention d’orientation des courants pour chaque dipôle, l’association parallèle est équivalente à un dipôle unique soumis à la tension u(t) et traversé par le
courant i(t) égal à la somme des courants traversantP
chacun des dipôles, par application
de la loi des noeuds dans le cadre de l’ARQS :i(t) = k ik (t) et uk (t) = u(t), ∀k
L’association de n conducteurs ohmiques en parallèle est équivalente à un
conducteur ohmique de conductance
Geq =
n
X
Gi
1
n
X 1
1
=
Req
Ri
1
L’association de n bobines idéales en parallèle est équivalente à une bobine
idéale d’inductance
n
X
1
1
=
Leq
Li
1
L’association de n condensateurs idéaux en parallèle est équivalente à un condensateur idéal de capacité
n
X
Ceq =
Ci
1
Deux générateurs de courant placés en parallèle permettent d’additionner les courants de ces générateurs. Par contre, associer deux générateurs de tension en parallèle n’a
aucun sens : cela revendrait à imposer deux tensions différentes aux mêmes bornes !
Application : diviseur de courant
13
I = Geq U = (G1 + G2 )U
I2 = G 2 U
G2
I
G1 + G 2
Ce montage permet d’obtenir une intensité dans une branche proportionnelle à l’intensité
dans la branche principale.
Un courant d’intensité i traversant des résistances placées en parallèle se partage dans
chacune de ces résistances inversement proportionnellement à la valeur de chaque
résistance.
D’où I2 =
exercices 6, 7, 8
5
puissance électrocinétique reçue par un dipôle
Dans le cadre de l’ARQS, pendant dt, si q est la charge élémentaire d’un porteur de
Idt
charge, il y a
porteurs de charge qui entrent en A et leur énergie potentielle électrique
q
Idt
est
× qVA .
q
Le même nombre de porteurs de charges sort en B, leur énergie potentielle électrique est
Idt
× qVB . Le dipôle reçoit donc l’énergie δW = Idt(VA − VB ) = U Idt ce qui correspond
q
à la puissance électrocinétique reçue par le dipôle du reste du circuit.
Avec cette convention (convention récepteur),
Precue =
δW
= UAB I
dt
Un dipôle a un comportement récepteur si, en convention récepteur, P > 0.
Un dipôle un comportement générateur si, en convention récepteur, P < 0.
Un dipôle peut avoir un comportement récepteur certains moments et un comportement
générateur d’autres moments (ex. batterie).
Remarque : on peut alors définir la convention générateur et la convention récepteur :
14
Pour une résistance U = RI :
P = U I = RI 2
Le matériau reçoit cette puissance du circuit du fait du frottement des électrons de conduction. En régime permanent, cette puissance est cédée à l’extérieur sous forme de chaleur.
Il s’agit de l’effet Joule.
15