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HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE Ecoulement gravitaire en canal prismatique Roland O. YONABA Ing. M.Sc. Eau & Environnement Assistant d’Enseignement et de Recherche en Hydraulique Département Hydraulique et Assainissement/LEAH - 2iE Email: [email protected] v1.1.0 OBJECTIFS DE COURS ■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique ■ Conservation de masse (équation de continuité), de quantité de mouvement et d’énergie ■ Etre capable de résoudre les problèmes typiques en HSL au régime permanent et uniforme ■ Calcul de section, débit, vitesse, pente, rugosité, tirant d’eau,… ■ Maitriser les concepts régissant l’énergie des écoulements ■ Energie hydraulique et spécifique ■ Connaître le régime permanent non uniforme ■ Caractérisation des écoulements variés, notion de section de contrôle ■ Connaître l’influence sur l’écoulement de quelques singularités ■ Changement de pente, de radier, de section, écoulement en courbes 08.04.15 2 SOMMAIRE 1. Hydrodynamique des écoulements à surface libre 2. Ecoulement uniforme 3. Dimensionnement des canaux à surface libre 4. Ecoulements graduellement variés 5. Ecoulements brusquement variés 6. La section de contrôle 7. Etude de quelques singularités 08.04.15 3 REFERENCES ■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009. ■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972. ■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics - Part I : Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011. ■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur. Strasbourg : ENGEES, 2013. ■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses Polytechniques Romandes, 1998. ■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969. ■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996. ■ Mar, Amadou Lamine. 2004. Cours d'Hydraulique - T2: Ecoulements à Surface Libre. s.l. : Groupe des Ecoles EIER-ETSHER, 2004. Vol. 1. ■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014. ■ Te Chow, Ven. 1959. Open Channel Hydraulics. s.l. : McGraw-Hill, 1959. 08.04.15 4 Chapitre I HYDRODYNAMIQUE DES ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE 01. GENERALITES Domaines d’application 08.04.15 6 01. GENERALITES Définition des écoulements à surface libre ■ Ecoulements semblables aux écoulements en charge (lois de conservations identiques) ■ Particularité : existence d’une surface libre : surface de contact entre l’écoulement et l’air libre, à pression atmosphérique : ■ Débit d’écoulement défini par la pente ■ Mais pas le gradient de pression (comme avec les écoulements en charge) 08.04.15 7 01. GENERALITES Classification des écoulements à surface libre (1/2) ■ Paramètres : débit 𝑄 et hauteur d’eau 𝑦 ■ Hypothèses : Ecoulement 1D (uni-dimensionnel) et conservatif ■ Variables : temps 𝒕 et position 𝒙 ■ Classification des écoulements suivant le temps ■ Permanent (Q constant dans le temps à une section de référence) ■ Non permanent (Q variant dans le temps à une section de référence) ■ Classification des écoulements suivant la position ■ Uniforme (et conservatif) : 𝑄 = 𝐶 t et y = 𝐶 t ■ Varié : 𝑄 = 𝐶 t et y = f(x) ■ Ecoulements Graduellement Variés (EGV) ■ Ecoulements Brutalement Variés (EBV) 08.04.15 8 01. GENERALITES Classification des écoulements à surface libre (2/2) Ecoulement permanent Ecoulement non permanent Ecoulements uniformes et variés (régime permanent et conservatif) 08.04.15 9 01. GENERALITES Forme géométrique Trapèze rectangle Parabole Triangle Cercle 08.04.15 10 01. GENERALITES Paramètres géométriques et hydrauliques ■ ■ ■ ■ Largeur au radier : 𝑏 Fruit de berges : 𝑚 Tirant d’eau : 𝑦 Largeur en miroir (en gueule) : 𝑙(𝑦) ■ Section mouillée : 𝑆(𝑦) ■ Périmètre mouillé : 𝑃(𝑦) ■ Rayon hydraulique : 𝑅ℎ(𝑦) = 𝑆 𝑦 /𝑃(𝑦) ■ Diamètre hydraulique : 𝐷ℎ(𝑦) = 4𝑅ℎ(𝑦) ■ Profondeur hydraulique : 𝑦𝑚 = 𝑦𝑚(𝑦) = 𝑆 𝑦 /𝑙(𝑦) ■ Profondeur du centre de gravité : 𝑦𝐺 = 𝑦𝐺(𝑦) ■ Pente de fond : 𝐼 = tan 𝜂 08.04.15 11 02. EQUATION DE CONTINUITE Principe de conservation de masse (1/2) ■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des fluides « la variation de la masse fluide contenue dans un volume donné pendant un certain temps est égal à la somme des masses fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent » 08.04.15 12 02. EQUATION DE CONTINUITE Principe de conservation de masse (2/2) ■ La variation de volume pendant le temps 𝑑𝑡 : 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 − 𝑉𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 ■ 𝜕𝑄 𝜕𝑄 = 𝑄𝑑𝑡 − 𝑄 + 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Entraîne la variation de la surface libre dans la même durée : 𝜕ℎ 𝑙 𝑑𝑥𝑑𝑡 𝜕𝑡 ■ En égalisant les expressions, et en faisant l’hypothèse d’un régime permanent : 𝜕𝑄 𝜕ℎ 𝜕𝑄 +𝑙 =0⇒ = 0 ⇒ 𝑄 = 𝐶𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑸 = 𝑼𝑺 08.04.15 13 03. VITESSE D’ECOULEMENT Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement Ecoulement tridirectionnel 𝑈(𝑥,𝑦,𝑧) Ecoulement bidirectionnel 𝑈(𝑥,𝑧) Les calculs en hydraulique supposent le plus souvent un écoulement unidirectionnel et unidimensionnel! Ecoulement unidirectionnel 𝑈(𝑥) 08.04.15 14 03. VITESSE D’ECOULEMENT Répartition de vitesse dans la section d’écoulement La vitesse n’est pas constante dans la section et est maximale à approximativement 25% en dessous de la surface libre. Ven Te Chow (1914-1981) Influence de la rugosité des parois du canal sur le profil vertical de vitesse (Chow, 1959) 08.04.15 15 03. VITESSE D’ECOULEMENT Vitesse moyenne en section de canal ■ La vitesse moyenne en canal : 𝑸 𝑼= 𝑺 ■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas uniforme dans la section. Une autre relation serait : 1 𝑈= 𝑆 𝑉. 𝑑𝑆 𝑒𝑛 2𝐷 𝑆 1 𝑈= ℎ ℎ 𝑉 . 𝑑ℎ (𝑒𝑛 1𝐷) 0 ■ Quelques relations empiriques existent : ■ 𝑼 = 𝟎, 𝟖𝟐 𝑽𝒎𝒂𝒙 (Prony) ■ 𝑈 = 0,5 𝑉0,2 + 𝑉0,8 (USGS) ■ 𝑈 ≈ 𝑉0,4 (cf. Graf, 1996) Gaspard de Prony (1755-1839) 08.04.15 16 03. VITESSE D’ECOULEMENT Vitesses limites ■ La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des contraintes de vitesse ■ La vitesse d’écoulement doit assurer des fonctions particulières : ■ Autocurage (ou auto-entretien) ■ Préservation de la stabilité structurale (érosion) du canal ■ En conséquence, la vitesse moyenne d’écoulement 𝑈 ne doit être ni trop faible, ni trop élevée 08.04.15 17 03. VITESSE D’ECOULEMENT Vitesse minimale ■ Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale donnée par la formule de Kennedy (1963) : 𝑈𝑚𝑖𝑛 = 𝑒𝑦 0,64 ■ Alternativement, on peut adopter une forme de canal pour les faibles débits 08.04.15 18 03. VITESSE D’ECOULEMENT Vitesse maximale ■ Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre l’érosion par affouillements. Elle est définie sur la base de deux approches : ■ Sur la base du matériau formant le lit du chenal ■ L’approche par la contrainte tractrice ■ Soit la contrainte tractrice 𝜏 = 𝜌𝑔𝑅ℎ 𝐼. On définit alors: ■ 𝜏𝑀 = 𝐾𝑀 𝜏 au fond ′ ′ ■ 𝜏𝑀 = 𝐾𝑀 𝜏 sur les parois On adoptera des conditions d’écoulement telles que ′ les contraintes maximales 𝜏𝑀 et 𝜏𝑀 soient inférieures à une contrainte critique 𝜏0𝐶 de destructuration du matériau du canal 08.04.15 19 03. VITESSE D’ECOULEMENT Valeurs indicatives ■ Vitesses minimales : on admet 𝟎, 𝟐𝟓 𝒎/𝒔 pour les limons fins et 𝟎, 𝟓𝟎 𝒎/𝒔 pour les sables ■ Vitesses maximales définies suivant la nature des parois Nature des parois Vitesses maximales admissibles (m/s) 𝑈 𝑉𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑑 Terre détrempée 0,10 0,15 0,08 Argiles 0,25 0,30 0,15 Sables 0,50 0,60 0,30 Graviers 0,95 1,25 0,70 Roches stratifiées 2,25 2,75 1,80 Roches compactes 3,70 4,25 3,15 08.04.15 20 03. VITESSE D’ECOULEMENT Diagramme de Hjulström (1935) Diagramme définissant l’état d’un grain, en fonction de sa taille et de la vitesse de l’écoulement. Si le matériau en place forme le canal a une granulométrie connue, 𝑈𝑚𝑖𝑛 et 𝑈𝑚𝑎𝑥 peuvent être choisis sur la base du diagramme de Hjulström Henning Filip Hjulström (1902-1982) 08.04.15 21 04. REGIMES D’ECOULEMENT Effet des forces de viscosité ■ Elle est exprimée à travers le nombre de Reynolds, en utilisant comme longueur caractéristique le diamètre hydraulique 𝑫𝒉 𝑅𝑒,𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 𝐹 𝐼 𝜌𝑈 2 /𝐿 𝑈𝐷ℎ 4𝑈𝑅ℎ = 𝜈= = = = 4𝑅𝑒,𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒 𝐹 𝜇𝑈/𝐿2 𝜈 𝜈 ■ Permet de classifier l’écoulement en trois régimes: ■ Laminaire : 𝑅𝑒 < 500 Osborne Reynolds ■ Transitoire : 500 < 𝑅𝑒 < 1000 (1842 – 1912) ■ Turbulent : 𝑅𝑒 > 1000 ■ Cette classification a peu d’importance en HSL, les écoulements étant rarement laminaires 08.04.15 22 04. REGIMES D’ECOULEMENT Effet des forces de gravité ■ Nombre adimensionnel exprimant le rapport entre la vitesse moyenne 𝑈 et la vitesse de propagation des petites ondes gravitaires (1861) 𝑈 𝑈 𝐹𝑟 = = 𝑐 𝑔𝑦𝑚 ■ Permet de distinguer trois régimes d’écoulement : ■ Fluvial : 𝐹𝑟 < 1 ■ Critique : 𝐹𝑟 = 1 ■ Torrentiel : 𝐹𝑟 > 1 William Froude (1810 – 1879) 08.04.15 23 05. PRESSION Répartition de pression 𝑃0 ■ En un point M dans un écoulement, la pression relative est : ℎ 𝑃𝑀 = 𝜌𝑔ℎ𝑀 = 𝜌𝑔𝑦𝑀 cos 𝜂 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ ■ En admettant que la pente de fond est faible (𝜂 ≤ 10%, cos 𝜂 ≈ 1), il advient que ℎ𝑀 ≈ 𝑦𝑀 , d’ou : 𝑷𝑴 = 𝜌𝑔𝑦𝑀 cos 𝜂 ≈ 𝝆𝒈𝒚𝑴 08.04.15 24 05. PRESSION Répartition de pression : cas des courants courbes ■ Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une accélération centrifuge de masse 𝑈 2 /𝑟 est introduite, induisant une force d’inertie supplémentaire : la distribution de pression n’est plus hydrostatique ■ L’accélération ± 𝑈 2 /𝑟 est positive sur fond concave (+) et négative sur fond convexe (-). L’expression de la pression sur le fond 𝑃𝑓 est : 𝑷𝒇 𝟏 𝑼𝟐 =𝒚± 𝒚 𝝆𝒈 𝒈 𝒓 Sur fond concave, la pression sur le fond est abaissée et peut devenir inférieure à 𝑃𝑎𝑡𝑚 , entrainement un décollement du fond. Sur fond convexe, la pression sur le fond est augmentée. Cela accentue l’érosion du fond de la convexité 08.04.15 25 06. ENERGIE HYDRAULIQUE Charge hydraulique ■ La charge hydraulique en un point M : 𝐻 = 𝑃𝑀 𝜌𝑔 + 𝑧 + 𝑉𝑀2 2𝑔 ■ La charge moyenne dans la section devient alors : 1 𝑯𝑴 = 𝑄 𝑃𝑀 𝑉𝑀2 𝑷 𝑼𝟐 +𝑧+ 𝑑𝑄 = +𝒛+𝜶 𝜌𝑔 2𝑔 𝝆𝒈 𝟐𝒈 ■ 𝛼 est le coefficient de Coriolis, de valeur comprise entre 1,03 et 1,36 suivant la rugosité des parois (Chow, 1959). On retient généralement la valeur de 1. 1 𝛼= 3 𝑈 𝑆 𝑉 3 𝑑𝑆 08.04.15 26 07. REVÊTEMENT Définition et propriétés ■ Les fonctions assurées par le revêtement : ■ Réduction des pertes en eau par infiltration ■ Maximisation du débit, par réduction de la rugosité des parois ■ Minimisation de l’effet de l’érosion ■ Quelques exemples de matériaux de couverture : ■ Béton, asphalte, ciment, ■ Bois, ■ Matériau pulvérulent, graviers, rochers, etc… 08.04.15 27 Chapitre II ECOULEMENT UNIFORME 01. ECOULEMENT UNIFORME Définition et hypothèses ■ Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de courants sont rectilignes et parallèles, avec un profil de vitesse constant suivant le profil en long, ■ Le débit 𝑄, la vitesse 𝑈 et le tirant d’eau 𝑦 sont constants ■ Propriétés de l’EU : ■ Canal prismatique (section constante) ■ Vitesse moyenne 𝑈 constante d’une section à l’autre ■ Distribution de pression hydrostatique ■ Surface libre parallèle à la pente de fond 08.04.15 29 01. ECOULEMENT UNIFORME Mise en équation ■ Application de la 2nde loi de Newton : 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒎𝐚 = 𝟎 𝐹𝑃 𝐽 𝑃 sin 𝜂 𝜂 1 𝑥 𝐼=𝐽 (écoulement uniforme) 𝜏0 𝑑𝑥 𝑧1 𝐹𝑃 𝑃 2 𝑧2 𝐼 𝜂 𝑎 = 0 (canal prismatique) 𝜂 → 0 ⇒ sin 𝜂 ≈ 𝜂 = 𝐼 datum 𝝉𝟎 = 𝝆𝒈𝑹𝒉 𝑰 = 𝝆𝒈𝑹𝒉 𝑱 08.04.15 30 01. ECOULEMENT UNIFORME Equation de Chézy (1768) ■ Postulat de Chézy : 𝜏0 = 𝐾𝑈 2 ■ Il vient alors que : 𝑈= 𝜌𝑔 𝑅ℎ 𝐼 = 𝑪 𝑹𝒉 𝑱 𝐾 ■ C [m1/2.s-1] est la constante de Chézy et dépend : ■ De la forme de la section ■ De la rugosité ■ Des conditions d’écoulement 08.04.15 Antoine de Chézy (1718 – 1798) 31 01. ECOULEMENT UNIFORME Formulations empiriques de la constante de Chézy ■ Kutter (1869) 𝐶= 100 𝑅ℎ 𝐾𝐾 + 𝑅ℎ ■ Bazin (1897) 𝐶= 87 𝑅ℎ 𝐾𝐵 + 𝑅ℎ ■ Powell (1950), logarithmique et implicite en C 𝐶 = −2 log10 𝐶 𝑒 + 4𝑅ℎ 𝑅ℎ 08.04.15 32 01. ECOULEMENT UNIFORME Formulation de Bazin de la constante de Chézy 𝒌𝑩 0,06 0,16 0,46 0,85 1,30 1,75 Nature de la paroi Parois très unies (ciment lissé) Parois unies (planches, briques, pierres de taille) Parois en maçonnerie Parois en terre bien régulières Parois en terre ordinaires Parois en terre et fond de galets ou herbes Valeurs du coefficient 𝑘𝐵 dans la formulation de Bazin du coefficient de Chézy (1897) Henri Bazin (1829 – 1927) 𝐶= 87 𝑅ℎ 𝐾𝐵 + 𝑅ℎ 08.04.15 33 01. ECOULEMENT UNIFORME Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy ■ Gauckler (1867) relie le coefficient de Chézy à 𝑅ℎ𝑛 ■ Puis, Manning (1889) et Strickler (1891) proposent une approche similaire : Albert Strickler (1887-1963) 1 1/6 1/6 𝐶 = 𝑅ℎ = 𝐾𝑠 𝑅ℎ 𝑛 ■ D’où la formule très usitée de Manning-Strickler : 𝑼= 𝟐/𝟑 𝑲𝒔 𝑹𝒉 𝑱= 𝟐/𝟑 𝑲𝒔 𝑹𝒉 𝑰 Robert Manning (1816-1897) 08.04.15 34 01. ECOULEMENT UNIFORME Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (1/2) ■ Le matériau de couverture est connu : la valeur de 𝑛 ou 𝐾𝑆 est prise dans les tables qui les définit suivant la nature du matériau ■ Le débit 𝑄, la pente 𝐼 et le rayon hydraulique 𝑅ℎ sont connus : la rugosité est approchée expérimentalement par jaugeage ■ Le revêtement est constitué de matériau non-cohérents : 𝑛 ou 𝐾𝑠 est approché de manière empirique : 𝐾𝑠 = 26 𝑅ℎ 𝑑35 1 6 𝑛= 1 𝐾𝑠 = 1/6 0,041 𝑑50 1 1/6 𝑛= = 0,038 𝑑90 𝐾𝑠 08.04.15 35 01. ECOULEMENT UNIFORME Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (2/2) Nature du cours d’eau 𝑲𝒔 Petits torrents de montagne à fond très irrégulier Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à 0.002, fond de graviers atteignant 10 à 20 cm. 23 à 26 27 à 29 Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre 0.0008 et 0.002, fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm. 30 à 33 Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025 Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de sable et de vase 34 à 37 38 à 40 41 à 42 43 à 45 Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très lisse 46 à 50 Valeurs estimatives de 𝑲𝒔 pour les cours d’eau naturels (CEMAGREF) 08.04.15 36 01. ECOULEMENT UNIFORME Rugosité des sections composites ■ Les vitesses dans les sous-sections sont différentes 2 3 𝐾𝑆,𝑖 𝑆𝑖 𝑅ℎ,𝑖 𝑄= 𝐼 ■ La vitesse dans les sous-sections sont proches de la vitesse moyenne U. D’où l’expression de rugosité équivalente (Einstein,1934) 𝑲𝑺 é𝒒 = 𝑷 𝑷𝒊 𝟑/𝟐 𝑲𝑺𝒊 𝟐 𝟑 Hans Albert Einstein (1904-1973) 08.04.15 37 01. ECOULEMENT UNIFORME Problème typique : Calcul d’un débit 𝑄 ■ Pour un canal, le tirant 𝑦, la pente 𝐼, les dimensions 𝑏, 𝑚, 𝐷 et la rugosité 𝐾𝑠 sont connus. Nous souhaitons estimer le débit 𝑸 ■ On utilise la formule de Manning-Strickler 𝟐/𝟑 𝒚 𝑸 = 𝑲𝑺 𝑺(𝒚) 𝑹𝒉 𝑰 Ou l’écriture équivalente : 𝑸 = 𝑲𝑺 𝑺𝟓(𝒚)𝟑 𝟐/𝟑 𝑷𝒚 𝑰 08.04.15 38 01. ECOULEMENT UNIFORME Problème typique : calcul d’une profondeur normale 𝑦𝑛 ■ Pour un canal, supposons 𝑄, 𝐼, les dimensions caractéristiques (𝑏, 𝑚, 𝐷) et rugosité 𝐾𝑆 sont connus. Il s’agit d’estimer le tirant d’eau 𝑦 ■ L’écoulement est uniforme : 𝑦 est alors appelé profondeur normale (noté 𝑦𝑁 ) et est déduit de l’équation de Manning-Strickler par la méthode de la débitance. 2/3 𝑦 𝑄 = 𝐾𝑆 𝑆(𝑦) 𝑅ℎ 𝑸 𝑰 𝟐/𝟑 𝒚 = 𝑲𝑺 𝑺(𝒚) 𝑹𝒉 𝐼 = 𝑫(𝒚) ■ Alternativement, il est possible d’employer la méthode de l’abaque ou des méthodes de convergence (point fixe, Newton-Raphson,…) 08.04.15 39 01. ECOULEMENT UNIFORME Calcul 𝑦𝑛 en canal circulaire 𝑲𝒔 𝑰𝑫𝟖 ■ On définit le débit adimensionnel 𝒒𝑵 = 𝑸 𝟑 ■ Hager (1985) propose une approximation : Valable : • si 0,2 < 𝑦𝑛 𝐷 < 0,95 (𝜀 < 5%) • Ou si 0,4 < 𝑦𝑛 𝐷 < 0,95 𝜀 < 3%) 3 𝑦𝑛 𝑞𝑁 ≈ 4 𝐷 2 7 𝑦𝑛 1− 12 𝐷 2 𝒚𝒏 = 𝟎, 𝟗𝟐𝟔𝑫 𝟏 − 𝟏 − 𝟑, 𝟏𝟏𝒒𝑵 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ■ Achour (2013) propose une meilleure approximation : 𝑞𝑁 ≈ 0,3727 sin 5𝜋 𝑦𝑛 11 𝐷 1 0,485 𝟏𝟏𝑫 𝒚𝒏 = 𝐚𝐬𝐢𝐧 𝟏, 𝟔𝟏𝟒𝒒𝟎,𝟒𝟖𝟓 𝑵 𝟓𝝅 Valable si 𝑦𝑛 𝐷 < 0,75 et 𝑞𝑁 < 0,2842 08.04.15 40 01. ECOULEMENT UNIFORME Variation de l’énergie le long d’un courant ■ Dans un écoulement en charge, la singularité provoque une diminution du débit. ■ Dans un écoulement en surface libre, malgré la présence d’une singularité, le débit reste constant, mais l’écoulement devient localement non uniforme ■ Exemple d’un seuil : économie d’énergie en amont du seuil, puis déperdition en aval du seuil 08.04.15 41 Chapitre III DIMENSIONNEMENT DES CANAUX À SURFACE LIBRE 01. CRITERES D’IMPLANTATION Choix de forme ■ La section semi-circulaire est la plus économe, mais demande une plus grande profondeur. Elle est surtout employée pour les aqueducs en demibuse (non enterrés) en irrigation. ■ La section rectangulaire doit être excavée dans un sol stable, car elle présente le risque éboulement des parois si la profondeur est grande. ■ La section trapézoïdale est la plus utilisée. Les cavaliers sont confectionnés avec les déblais et les banquettes sont aménagées lorsque la profondeur est grande. 08.04.15 43 01. CRITERES D’IMPLANTATION Fruit des berges ■ Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus naturel lorsque le canal est confectionné avec le matériau en place. ■ On notera que plus le matériau est lâche, plus le fruit de berges est élevé. Nature du terrain 𝒎 Roche ferme, maçonnerie ordinaire 0 à 0,25 Rocher fissuré, pierre sèche 0,5 Argile 0,74 Alluvions compacts 1 Terre ordinaire, sable grossier 2 Terre remuée, sable fin 2,5 à 3 Quelques valeurs pratiques du fruit de berges pour les chenaux naturels 08.04.15 44 02. DIMENSIONNEMENT SIMPLE Hypothèses et algorithme de calcul simplifié ■ Objectif : écouler un débit 𝑄 à travers une section dont les dimensions et le tirant d’eau 𝑦 sont à définir. ■ Hypothèse : écoulement uniforme. ■ Algorithme simplifié : ■ Choisir d’une forme de canal (trapézoïdal, circulaire,…) ■ Choisir d’un revêtement pour la définition de la rugosité 𝐾𝑆 ■ Soit fixer 𝑏 (trapézoïdal) ou 𝐷 (circulaire) et déterminer 𝑦𝑁 par itération, ■ Ou, fixer 𝑦𝑁 et déterminer 𝑏 𝑜𝑢 𝐷 par itération ■ Infinité de solutions possibles. 08.04.15 45 03. SECTION « ECONOMIQUE » Section Hydrauliquement Favorable (SHF) ■ SHF : section minimisant 𝑺 et 𝑷, de sorte à maximiser 𝑄 sur une pente 𝐼 donnée ou section minimisant 𝑰 pour un débit 𝑄 donné. ■ Elle est dite « économique », mais ne constitue pas toujours la meilleure solution lorsqu’il existe des contraintes: ■ De type terrain horizontal ■ De type profondeur limite ■ De type vitesse limite d’écoulement ■ La section circulaire (cas I) est celle qui minimise le périmètre mouillé. Mais la section trapézoïdale (cas II) nécessite des relations particulières entre ses dimensions pour être « hydrauliquement favorable ». ■ La SHF ne tient pas compte de la revanche 08.04.15 46 03. SECTION « ECONOMIQUE » Cas I : section circulaire ■ Pour la section circulaire 𝑆 = 𝑓(𝜃) et 𝑃 = 𝑓(𝜃) ■ Conséquence : 𝑈 = 𝑓(𝜃) et 𝑄 = 𝑓(𝜃) ■ La fonction S(𝜃) est croissante avec points d’inflexion, tandis que la fonction P(𝜃) est croissante et linéaire. ■ De ce fait, 𝑄𝑚𝑎𝑥 et 𝑈𝑚𝑎𝑥 ne sont pas atteints à la même profondeur 𝑦 ■ Il apparait donc deux situations optimales pour la section circulaire hydrauliquement favorable ■ SHF pour la vitesse 𝑈 ■ SHF pour le débit 𝑄 𝐷2 𝑆= 𝜃 − sin 𝜃 8 𝜃 𝑃=𝐷 2 08.04.15 47 03. SECTION « ECONOMIQUE » SHF circulaire – vitesse maximale ■ En utilisant l’équation de Manning Strickler : 𝑈 = 𝐾𝑆 𝑅ℎ2 𝜃3 𝐼 ■ La vitesse est maximale pour : Condition de vitesse maximale : 𝑑𝑈 = 2 𝑑(𝑅ℎ3 ) =0 𝒅𝑺 𝒅𝑷 = 𝑺 𝑷 𝜃 ≈ 4,493 𝑟𝑎𝑑 ≈ 257, 453 [°] 𝒚𝑵 ≈ 𝟎, 𝟖𝟏𝟐𝟖𝟎𝟑 𝑫 𝑼𝒎𝒂𝒙 ≈ 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟒 𝑲𝑺 𝑫𝟐/𝟑 𝑰 08.04.15 48 03. SECTION « ECONOMIQUE » SHF circulaire – débit maximum ■ En utilisant l’équation de Manning et Strickler : 𝑄 = 𝐾𝑆 𝑆(𝜃) 𝑅ℎ2 𝜃3 𝐼 ■ Le débit est maximal pour : Condition de débit maximal : 𝑑𝑄 = 2 𝑑(𝑆𝑅ℎ3 ) =0 𝒅𝑺 𝟐 𝒅𝑷 = 𝑺 𝟓 𝑷 𝜃 ≈ 5,278 𝑟𝑎𝑑 ≈ 302,413 [°] 𝒚𝑵 ≈ 𝟎, 𝟗𝟑𝟖𝟏𝟖𝟏 𝑫 𝑸𝒎𝒂𝒙 ≈ 𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟑 𝑲𝑺 𝑫𝟖/𝟑 𝑰 08.04.15 49 03. SECTION « ECONOMIQUE » SHF circulaire : abaque 08.04.15 50 03. SECTION « ECONOMIQUE » 0.5 r Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires H Qmax. En général on évite de réaliser les SHF en section circulaire car avec les taux de remplissage atteints (≈ 94% à 𝑄𝑚𝑎𝑥 et ≈ 81,5% à 𝑈𝑚𝑎𝑥 ), la conduite peut se mettre en charge. 2r = D 1.88 r Umax. Rh(H) 1.63 r 1.5 r Niveau pratique 15 % Q(H) r = D/2 V(H) = 302° 0.5 r = 258° = 240° 0 On retiendra plutôt un taux de remplissage de 75% (𝜃 = 340 [°]). La perte de débit sera de 15% par rapport à 𝑸𝒎𝒂𝒙 . 08.04.15 51 03. SECTION « ECONOMIQUE » Cas II : section trapézoïdale ■ La section 𝑆 et le périmètre 𝑃 dependent des variables 𝑏 et 𝑦. Minimiser 𝑆 et 𝑃 impliquent 𝑑𝑆 = 0 et 𝑑𝑃 = 0 𝑆 𝑏, 𝑦 = 𝑦 𝑏 + 𝑚𝑦 𝑃 𝑏, 𝑦 = 𝑏 + 2𝑦 1 + 𝑚2 ■ ⇒ 𝑑𝑆 = 0 ⇒ 𝑦𝑑𝑏 + 𝑏 + 2𝑚𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑃 = 0 ⇒ 𝑑𝑏 + 2 1 + 𝑚2 𝑑𝑦 = 0 La solution non triviale (0,0) existe si le déterminant est nul. D’où la solution : 𝑆 = 𝜆𝑦 2 𝑃 = 2𝜆𝑦 𝑅ℎ = 𝑦 2 𝑦 2/3 𝑈 = 𝐾𝑆 2/3 𝐼 2 𝒚= 𝟐𝟐/𝟑 𝑸 𝝀𝑲𝑺 𝑰 ⇒ 𝜆 = 2 1 + 𝑚2 − 𝑚 𝜆𝑦 8/3 𝑄 = 𝐾𝑆 2/3 𝐼 2 𝟑/𝟖 ⇒ 𝒃 = 𝒚(𝝀 − 𝒎) 08.04.15 52 03. SECTION « ECONOMIQUE » Cas II : section trapézoïdale – propriétés géométriques ■ Une section trapézoïdale et hydrauliquement favorable a ses trois côtés tangents à un demi-cercle inscrit de centre 𝑂 et de rayon 𝑦 sin 𝛼 = 𝐾𝑀 1 = 𝐾𝑁 1 + 𝑚2 sin 𝛼 = On montre que, pour la SHF : 1 + 𝑚2 = 𝜆+𝑚 𝑦 et 𝑏 + 2𝑚𝑦 = (𝜆 + 𝑚) 2 2 𝑂𝐹 𝑂𝑀 ⇒ 𝑂𝐹 = 𝑂𝑀 sin 𝛼 = 𝑏 + 2𝑚𝑦 1 + 𝑚2 𝑶𝑭 = 𝒚 08.04.15 53 03. SECTION « ECONOMIQUE » Cas II : section trapézoïdale – fruit de berges optimal ■ Le fruit de berges optimal pour une SHF trapézoïdale est celle qui fait de la section un semi-hexagone, soit 𝜶 = 𝟔𝟎° ■ Il est obtenu en retenant la solution non triviale (𝑦 = 0) qui annule la dérivée du périmètre 𝑃, pour 𝑚 variant : 𝑑𝑃 𝑑 = 2𝜆𝑦 = 2𝑦 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝒎= 𝟏 𝟑 2𝑚 1+ 𝑚2 −1 =0 ⇒ 𝜶 = 𝟔𝟎° ■ Attention! Le fruit de berges optimal n’est pas toujours la meilleure option 08.04.15 54 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES Section trapézoïdale avec vitesse limite ■ Contrainte : Il existe une vitesse maximale 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑆= ■ Le couple solution (𝑦, 𝑏) doit vérifier l’équation : 𝑅ℎ = 𝜆𝑦 2 − 𝑃𝑦 + 𝑆 = 0 𝑄 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑈𝑚𝑎𝑥 3/2 𝐾𝑠 𝐼 𝑆 ■ On définit le discriminant ∆ = 𝑃2 − 4𝜆𝑆. 𝑃= 𝑅ℎ ■ ∆< 0 : pas de solution. Diminuer 𝑈𝑚𝑎𝑥 et reprendre. ■ ∆= 0 : solution unique : la SHF: 𝑦 = 𝑃/2𝜆 ■ ∆> 0 : retenir une solution pratique entre les deux suivantes: 𝑷− ∆ ⇒ 𝒃𝟏 = 𝑷 − 𝟐𝒚𝟏 𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐𝝀 𝑷+ ∆ 𝒚𝟐 = ⇒ 𝒃𝟐 = 𝑷 − 𝟐𝒚𝟐 𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐𝝀 𝒚𝟏 = 08.04.15 55 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale ■ La pente d’écoulement optimale est à définir, ainsi que la section, mais pour une vitesse maximale déjà fixée. ■ Si 𝐼 est optimale, la section est alors hydrauliquement favorable pour écouler le débit 𝑄 de manière efficace. D’où l’écriture : 𝑄 = 𝑈𝑆 = 𝑈 𝜆𝑦 2 𝒚= 𝑸 𝑼𝝀 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜆 = 2 1 + 𝑚2 − 𝑚 𝒃 = 𝝀(𝒚 − 𝒎) ■ De l’équation de Manning-Strickler, il vient que : 𝑼 𝟖 𝟑 𝝀𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝑰= 𝑲𝟐𝒔 𝑸𝟐/𝟑 𝟑 08.04.15 56 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec 𝑏 ou 𝑦 fixé ■ La pente d’écoulement optimale est à définir, mais l’une des dimensions 𝑏 ou 𝑦 est fixée, ainsi que la vitesse 𝑈𝑚𝑎𝑥 . Il vient alors que : 𝑚𝑦 2 + 𝑏𝑦 − ■ La solution est de la forme : −𝒃 + 𝒃𝟐 + 𝟒𝒎 𝒚= 𝑸 𝑼 𝟐𝒎 𝑄 =0 𝑈 𝑸 𝒐𝒖 𝒚 = (𝒔𝒊 𝒎 = 𝟎) 𝒃𝑼 𝒔𝒊 𝒎 ≠ 𝟎 ■ De l’équation de Manning-Strickler, nous déduisons : 𝑰= 𝑼𝟐 𝑲𝟐𝒔 𝒎𝟐 𝒃 + 𝟐𝒚 𝟏 + 𝒚(𝒃 + 𝒎𝒚) 𝟒/𝟑 08.04.15 57 05. SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION 1.10 – Principes de calcul ■ L’esprit du dimensionnement de section est de remplir les conditions suivantes : 1. Minimiser l’emprise de l’ouvrage 2. Minimiser la profondeur de fouille 3. Minimiser la section de l’ouvrage 4. Réaliser une vitesse d’écoulement ni trop faible, ni trop élevée ■ En général, on essaiera le plus souvent de : ■ Satisfaire les conditions 3 et 4 en premier, ■ Revoir les dimensions afin de satisfaire les conditions 1 et 2 (si besoin est) ■ Jouer la pente pour satisfaire la condition 5 (si besoin est). 08.04.15 58 Chapitre IV ECOULEMENTS GRADUELLEMENT VARIES 01. ECOULEMENTS VARIES Définition ■ Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières au profil irrégulier, près des singularités en canal et en zone de transition entre deux écoulements uniformes. ■ Ils sont caractérisés par une variation de la hauteur d’eau entre deux sections. ■ Les écoulements graduellement variés (EGV) ■ Les écoulements brusquement variés (EBV) 08.04.15 60 02. CARACTERISATION DES EGV Hypothèses et propriétés ■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et « continue » de la ligne d’eau, soit en exhaussement ou en rabaissement. ■ Dans l’étude des EGV, on admet les hypothèses suivantes : ■ La courbure des lignes de courant est suffisamment faible pour être négligée ■ La distribution de pression reste hydrostatique ■ Le coefficient de Coriolis 𝛼 reste constant ■ La loi de débit par Manning-Strickler s’écrit désormais : 𝑸 = 𝑲𝒔 𝑺(𝒚) 𝑹𝒉 𝟐 𝟑 𝒚 𝑑𝐻 𝑈2 𝐽=− = 𝑑𝑥 𝐾𝑠 𝑅4 ℎ 𝑒𝑡 𝐽 ≠ 𝐼 3 𝑱 𝑦 08.04.15 61 03. ENERGIE DES ECOULEMENTS Charge moyenne et charge spécifique ■ Soit l’énergie totale H : ■ La charge 𝐻 diminue toujours dans le sens de l’écoulement ■ 𝐻 = 𝑓(𝑥) est décroissante ■ La charge spécifique 𝐻𝑆 est la charge moyenne ramenée au fond du canal ∆𝑯 𝑼𝟐𝟏 /𝟐𝒈 𝑼𝟐 𝑯=𝒚+𝒛+ 𝟐𝒈 𝑼𝟐𝟐 /𝟐𝒈 y1 y2 𝑍1 𝑍2 x 𝑼𝟐 𝑸𝟐 𝑯𝒔 = 𝑯 − 𝒛 = 𝒚 + =𝒚+ 𝟐𝒈 𝟐𝒈𝑺𝟐 08.04.15 62 04. ENERGIE SPECIFIQUE Etude de la variation 𝐻𝑠 = 𝑓(𝑥) ■ Etudions la variation de 𝑯𝒔 suivant le profil en long du canal : 𝑑𝐻𝑠 𝑑 𝑑𝐻 𝑑𝑧 = 𝐻−𝑧 = − = −𝐽 − −𝐼 = −𝐽 + 𝐼 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝒅𝑯𝒔 =𝑰−𝑱 𝒅𝒙 ■ En écoulement uniforme, 𝐼 = 𝐽 : 𝐻𝑠 est constante. ■ En écoulement non uniforme, 𝐼 ≠ 𝐽 : ■ If 𝐼 > 𝐽, 𝑈 augmente, 𝑦 diminue. ■ If 𝐼 < 𝐽, 𝑈 diminue, 𝑦 augmente. 08.04.15 63 04. ENERGIE SPECIFIQUE Variation de 𝐻𝑠 suivant 𝑦 pour un débit Q donné (1/2) ■ Pour un débit 𝑸 fixé : ■ Si 𝑦 → 0, S(𝑦) → 0 donc 𝐻𝑠 → 0 ■ Si 𝑦 → ∞, 𝑆(𝑦) → ∞ donc 𝐻𝑠 → ∞ ■ Aussi, si 𝑦 → ∞, 𝐻𝑠 𝑦 → 1, donc 𝐻𝑠 → 𝑦 (asymptote) ■ On établit l’expression : 𝑄2 𝑙(𝑦) 𝒅𝑯𝒔 𝑄2 𝑑𝑆 𝟐 =1− 3 =1− = 𝟏 − 𝑭 𝒓 3 𝒅𝒚 𝑔𝑆(𝑦) 𝑑𝑦 𝑔𝑆(𝑦) ■ 𝐻𝑠 est minimale pour 𝐹𝑟 = 1 : c’est le régime critique. 08.04.15 64 04. ENERGIE SPECIFIQUE Variation de 𝐻𝑠 suivant 𝑦 pour un débit Q donné (2/2) 08.04.15 65 04. ENERGIE SPECIFIQUE Propriétés de la charge spécifique 𝐻𝑠 ■ Pour qu’il y ait écoulement d’un débit 𝑄, une charge spécifique minimale est nécessaire. C’est la charge spécifique au régime critique. 𝑄2 𝐻𝑠𝑐 = 𝑦𝑐 + 2𝑔𝑆𝐶2 ■ Pour une charge spécifique 𝐻𝑠 > 𝐻𝑠𝑐 , le débit 𝑄 est écoulé sous deux régimes possibles : ■ 𝑦 > 𝑦𝑐 𝑜𝑢 𝐹𝑟 < 1 : fluvial (potentiel élevé, cinétique faible) ■ 𝑦 < 𝑦𝑐 𝑜𝑢 𝐹𝑟 > 1 : torrentiel (potentiel faible, cinétique élevée) ■ Le régime critique (𝑦 = 𝑦𝑐 𝑜𝑢 𝐹𝑟 = 1) est un régime de transition, instable, qui apparaît généralement aux sections de contrôle. 08.04.15 66 04. ENERGIE SPECIFIQUE Charge spécifique critique 𝐻𝑠𝑐 (1/2) ■ À la profondeur critique 𝑦 = 𝑦𝐶 : 𝑄 2 𝑙𝑐 𝑄 2 𝑙𝑐 𝑄2 1 =1 3 = 2𝑆 = 2𝑦 𝑔𝑆𝐶 𝐶 𝑔𝑆𝐶 𝑚𝑐 𝑔𝑆𝐶 𝒚𝒎𝒄 = 𝑸𝟐 𝒈𝑺𝟐𝑪 ■ On en déduit donc : 𝑯𝒔𝒄 𝑄2 𝒚𝒎𝒄 = 𝑦𝑐 + 2 = 𝒚𝒄 + 𝟐 𝑔𝑆𝐶 08.04.15 67 04. ENERGIE SPECIFIQUE Charge spécifique critique 𝐻𝑠𝑐 (2/2) 𝑦𝑚 = 𝑦 𝑯𝒔𝒄 𝟑 = 𝒚𝒄 𝟐 𝑦𝑚 = 𝑯𝒔𝒄 (𝟑𝒃 + 𝟓𝒎𝒚𝒄 ) = 𝒚 𝟐(𝒃 + 𝟐𝒎𝒚𝒄 ) 𝒄 𝑦𝑚 = 𝐷 𝜃 − sin 𝜃 𝑦𝑚 = 𝜃 8 sin 2 𝑯𝒔𝒄 𝑦(𝑏 + 𝑚𝑦) 𝑏 + 2𝑚𝑦 𝑯𝒔𝒄 𝑦 2 𝟓 = 𝒚𝒄 𝟒 𝑫 𝑫 𝟐𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐 𝟏𝟔 𝐬𝐢𝐧 𝜽 08.04.15 68 04. ENERGIE SPECIFIQUE Variation de 𝑄(𝑦) pour une énergie spécifique 𝐻𝑆 fixée (1/2) ■ Pour une charge spécifique fixée 𝐻𝑆 , étudions la variation du débit 𝑄 avec la hauteur d’eau 𝑦 𝑸(𝒚) = 𝑺(𝒚) 𝟐𝒈 𝑯𝑺 − 𝒚 ■ On en déduit le comportement suivant aux limites : ■ 𝑦 → 0, 𝑆(𝑦) → 0, 𝑄(𝑦) → 0 ■ 𝑦 → 𝐻𝑆 , 𝑄(𝑦) → 0 ■ Le graphe 𝑄(𝑦) est parabolique et admet un maximum pour 𝑦 = 𝑦𝐶 𝑔𝑆 2𝑦 𝑄2 𝑙 𝑦 𝑑𝑄 𝑄𝑙 𝑦 = − =0⇒ 3 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑐 𝑑𝑦 𝑆𝑦 𝑄 𝑔𝑆 𝑦 08.04.15 69 04. ENERGIE SPECIFIQUE Variation de 𝑄(𝑦) pour une énergie spécifique 𝐻𝑆 fixée (2/2) Ainsi, pour une énergie spécifique fixée, le débit est maximal lorsque le régime est critique. La hauteur d’eau correspondante est appellee “tirant d’eau critique” 𝑦𝑐 08.04.15 70 05. REGIME CRITIQUE Propriétés ■ L’écoulement critique présente les propriétés suivantes : ■ Il transporte un débit 𝑄 avec une charge spécifique minimale 𝐻𝑆,𝑚𝑖𝑛 ■ Pour une énergie spécifique 𝐻𝑠 fixée, il transporte le débit maximal 𝑄𝑚𝑎𝑥 08.04.15 71 05. REGIME CRITIQUE Calcul de la profondeur critique 𝑦𝐶 ■ La profondeur critique 𝑦𝐶 est obtenue par résolution de la condition critique 𝐹𝑟 = 1. 𝟑 𝑺𝒚 𝑸 2 𝐹𝑟 = 1 ⇒ 𝐹𝑟 = 1 ⇒ = 𝒈 𝒍(𝒚) ■ Canaux rectangulaires : ■ Canaux triangulaires : 𝑦𝑐 = 𝑦𝑐 = ■ Canaux circulaires : 𝑦𝑐 = 𝑄2 1 3 𝑔𝑏2 2𝑄 𝑚2 𝑔 1 5 𝐷 𝜃𝑐 1 − cos 2 2 Cette équation est en général résolue par la méthode des itérations successives dans le cas des sections trapézoïdales La profondeur critique reste indépendante de la pente de fond 𝐼 2 𝜃𝑐 = sin 𝜃𝑐 + 8 08.04.15 𝑄 𝜃𝑐 sin 𝑔𝐷5 2 1 3 72 05. REGIME CRITIQUE Approximations du régime critique 𝑦𝐶 en section circulaire ■ En notant 𝜀 l’erreur relative, 𝑞 le débit réduit, Hager (1999) propose les approximations suivantes en canal circulaire : Valable si 0,3 < 𝑦 𝐷 < 0,95 Avec une erreur relative 𝜀 < 4% Valable si 0,2 < 𝑦𝑐 𝐷 < 0,91 Avec une erreur relative 𝜀 < 4% ■ De plus, en posant 𝑞 = 𝑄 Valable si 0,1 < 𝑞 < 0,75 Avec une erreur relative 𝜀 < 4% 𝐹𝑟 ≈ 𝑦𝑐 ≈ 𝑄 𝑔𝐷𝑦 4 1/2 𝑄 𝑔𝐷 𝑔𝐷 5 : 5 3 𝑞5 𝐻𝑠𝑐 = 𝐷 3 𝑒𝑡 5 𝑦𝑐 6 𝐻𝑠𝑐 3 = 𝐷 2 𝐷 08.04.15 73 05. REGIME CRITIQUE Ecoulement à l’approche d’une chute ■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique pour un écoulement à pente faible à l’approche d’une chute. ■ Rouse (1938) et Rajaratnam (1964) ont montré que la hauteur à l’approche d’une chute est en réalité 𝒚𝒃 ≈ 𝟎, 𝟕𝟐𝒚𝒄 à 𝟎, 𝟕𝟓𝒚𝒄 tandis que 𝑦𝑐 est mesuré à une distance de 3𝑦𝑐 à 4𝑦𝑐 en amont de la chute N. Rajaratnam 08.04.15 74 05. REGIME CRITIQUE Franchissement d’un déversoir ■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique lors du franchissement de la crête d’un déversoir Déversoir à seuil épais L’écoulement au dessus de la crête est assimilable à l’écoulement à l’approche d’une chute Déversoir à seuil mince Le tirant d’eau à la crête est critique 08.04.15 75 05. REGIME CRITIQUE Pente critique 𝐼𝑐 ■ La pente critique 𝐼𝑐 est la pente pour laquelle un débit donné 𝑄 s’écoule en régime uniforme à la profondeur normale critique (𝑦𝑁 = 𝑦𝑐 ) ■ On ne dimensionne jamais un canal avec une pente critique. Le comportement de la ligne d’eau y serait imprévisible. ■ La détermination de la pente critique nécessite la résolution simultanée de la condition critique et de l’équation de Manning-Strickler pour la section critique. 𝟑 𝒈𝑺 𝑪 𝑸𝟐 = 𝒍𝒄 𝑸 = 𝑲𝒔 𝑺𝒄 𝑹𝟐𝒉𝒄𝟑 𝑰𝒄 08.04.15 76 05. REGIME CRITIQUE Problèmes typiques au régime critique ■ Si l’on cherche la pente critique 𝐼𝑐 et que le débit 𝑄 est connu, on résout la condition critique pour obtenir 𝑦𝑐 et l’on déduit de l’équation de Manning-Strickler la pente 𝐼𝑐 𝑰𝒄 = 𝟐 𝑸 𝑲𝒔 𝑺𝒄 𝑹𝟐𝒉𝒄𝟑 ■ Si l’on cherche le tirant critique 𝑦𝑐 et que la pente critique 𝐼𝑐 est connue, la résolution itérative de l’équation suivante fournit la solution 𝑰𝒄 = 𝒈𝑺𝒄 𝟒 𝟑 𝒍𝒄 𝑲𝟐𝒔 𝑹𝒉𝒄 08.04.15 77 06. TYPES DE CANAUX Classification des canaux suivant le type de pente (1/2) ■ Il s’agit d’attribuer une lettre latine à un bief de canal, obtenue en faisant la comparaison entre 𝑦𝑁 et 𝑦𝑐 , ou entre 𝐼 et 𝐼𝑐 , ou entre 𝐹𝑟 et 1 Signe de la pente Pente Tirant d’eau Notation Française Notation anglaise Type de canal 𝐼 < 𝐼𝑐 𝑦𝑁 > 𝑦𝑐 F : fluvial M : mild Canal à pente faible 𝐼 = 𝐼𝑐 𝑦𝑁 = 𝑦𝑐 C : critique C : critical Canal à pente critique 𝐼 > 𝐼𝑐 𝑦𝑁 < 𝑦𝑐 T : torrentiel S : steep Canal à pente forte 𝐼=0 𝑦𝑁 → ∞ H : horizontal H : horizontal Canal horizontal 𝐼<0 𝑦𝑁 = ? A : adverse A : adverse Canal à contre pente 𝐼>0 08.04.15 78 06. TYPES DE CANAUX Classification des canaux suivant le type de pente (2/2) Pente forte (𝐼 > 𝐼𝑐 ) Canal de type T Pente adverse (𝐼 < 0) Canal de type A Pente nulle (𝐼 = 0) Canal de type H Pente faible (𝐼 < 𝐼𝑐 ) Canal de type F Pente critique (𝐼 = 𝐼𝑐 ) Canal de type T Attention: ne pas confondre le type de canal à Pente critique 𝐼𝑐 l’écoulement qui s’y produit. Il est possible d’avoir un EGV fluvial en canal T, ou un EGV torrentiel en canal F 08.04.15 79 07. COURBES DE REMOUS Définition et problématique ■ C’est le profil en long de la surface libre dans un EGV exprimée en fonction de l’abscisse 𝑥 de la section considérée ■ En canal prismatique, la pente étant constante, elle se réduit à la fonction analytique 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Son expression n’est pas connue à priori et reste difficilement approchable. Mais sa dérivée 𝑑𝑦/𝑑𝑥 reste connue. ■ Pour un EGV, on compare la position du tirant d’eau varié 𝑦 aux tirants d’eau 𝑦𝑁 et 𝑦𝑐 . On en déduit les 3 cas suivants : ■ 𝑦 est au dessus de 𝑦𝑁 et de 𝑦𝑐 : zone 1 ■ 𝑦 est compris entre 𝑦𝑁 et de 𝑦𝑐 : zone 2 ■ 𝑦 est en dessous de 𝑦𝑁 et de 𝑦𝑐 : zone 3 08.04.15 80 07. COURBES DE REMOUS Nomenclature ■ En associant le type de canal à la position 𝑦 de la ligne d’eau, on établit l’existence de 12 profils différents de lignes d’eau. ■ ■ ■ ■ ■ Fluvial : 𝐹1 , 𝐹2 𝑒𝑡 𝐹3 Critique : 𝐶1 , 𝐶2 𝑒𝑡 𝐶3 Torrentiel : 𝑇1 , 𝑇2 𝑒𝑡 𝑇3 Horizontal : 𝐻2 𝑒𝑡 𝐻3 Adverse : 𝐴2 𝑒𝑡 𝐴3 ■ Pas de remous de type 𝑯𝟏 (car 𝑦𝑁 → ∞) et de type 𝑨𝟏 (car 𝑦𝑁 = ?) 08.04.15 81 07. COURBES DE REMOUS Courbes en canal de classe F (ou M) Courbes de remous en canal à pente faible (type F ou M) 08.04.15 82 07. COURBES DE REMOUS Courbes en canal de classe T (ou S) Courbes de remous en canal à pente forte (type T ou S) 08.04.15 83 07. COURBES DE REMOUS Courbes en canal de classe C Courbes de remous en canal à pente critique (type C) 08.04.15 84 07. COURBES DE REMOUS Courbes en canal de classe H Courbes de remous en canal à pente nulle (type H) 08.04.15 85 07. COURBES DE REMOUS Courbes en canal de classe A Courbes de remous en canal à pente adverse (type A) 08.04.15 86 07. COURBES DE REMOUS Comportement de la ligne d’eau aux limites ■ Les limites des zones 1,2 et 3 sont : 0, 𝑦𝑁 , 𝑦𝑐 𝑒𝑡 ∞ ■ Quand 𝑦 → 0, 𝐼 → 𝐽 et la courbe de remous tend asymptotiquement vers 𝒚𝑵 ■ Quand 𝑦 → 𝑦𝑐 , la courbe de remous devient normale à 𝑦𝑐 et l’on observe une variation brusque de la ligne d’eau : il s’agit d’un ressaut ou d’une chute. ■ Quand 𝑦 → ∞, alors 𝐽 → 0 et 𝑑𝑦 𝑑𝑥 → 𝐼 : la ligne d’eau tend vers l’horizontal ■ Quand 𝑦 → 0, on obtient une indétermination de type ∞/∞ qui sera levée par une condition aux limites définissant l’origine du débit 08.04.15 87 07. COURBES DE REMOUS Equation dynamique de la ligne d’eau ■ On recherche la dérivée de la fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥) caractérisant le profil en long de la ligne d’eau. Il a été établi les relations suivantes : 𝑑𝐻𝑠 𝑑𝐻𝑠 = 𝐼 − 𝐽 𝑒𝑡 = 1 − 𝐹𝑟2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ■ On en déduit alors que : 𝒅𝒚 𝑰−𝑱 = 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑭𝟐𝒓 ■ 𝐽 est donné par la formule de Manning-Strickler en écoulement non uniforme : 𝐽= 2 𝑄 2 3 𝐾𝑠 𝑆 𝑦 𝑅ℎ 𝑦 08.04.15 88 7. COURBES DE REMOUS Section de contrôle ■ La résolution de l’équation de la ligne d’eau nécessite une condition à la limite : c’est la section de contrôle, à l’abcisse 𝑥0 où l’on connait le tirant d’eau 𝑦0 ■ Cette section est définie à partir des propriétés hydrauliques de la singularité occasionnant le remous : déversoir, vanne de fond, changement de pente, de section, exhaussement ou décrochement du fond ■ Elle est située à l’aval en EGV fluvial pour les courbes 𝐹1 , 𝐹2 , 𝑇1 , 𝐶1 , 𝐻2 , 𝐴2 et se calcule de l’aval vers l’amont. ■ Elle est située à l’amont en EGV torrentiel pour les courbes 𝐹3 , 𝑇2 , 𝑇3 , 𝐶3 , 𝐻3 , 𝐴3 et se calcule de l’amont vers l’aval. 08.04.15 89 07. COURBES DE REMOUS Méthodes de calcul ■ L’intégration du problème différentiel suivant permet de définir le profil de la ligne d’eau 𝑄2 𝐼− 2 2 4 3 𝐾𝑠 𝑆 𝑦 𝑅ℎ 𝑑𝑦 𝐼−𝐽 𝑦 = = 𝑄2 𝑙 𝑦 𝑑𝑥 1 − 𝐹𝑟2 1− 3 𝑔𝑆(𝑦) ■ Les méthodes de résolution suivantes sont employées: ■ Méthode d’intégration graphique ■ Méthode d’intégration directe (Bresse, Bakhmeteff, Chow, Silber, Raytchine et Chatelain, Pavlovski,…) ■ Méthode des différences finies 08.04.15 90 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration graphique ■ Soit la fonction 𝑓(𝑦) 𝐼 − 𝐽(𝑦) 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 = = 𝑑𝑦 1 − 𝐹𝑟2 (𝑦) ■ Le canal étant supposé prismatique : 𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒚 𝒅𝒚 ⇒ 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒇 𝒚 𝒅𝒚 𝒚𝟎 ■ Le calcul est mené par petits pas ∆𝑦 constants dont la finesse définira la précision du résultat. La méthode reste applicable à toutes formes de section de canal prismatique 08.04.15 91 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (1/5) ■ Méthode applicable à toutes les formes de sections. Elle emploie la formule de Manning-Strickler pour l’expression de la perte de charge ■ On définit les quantités 𝐷𝑛 et 𝐷 qui sont des débitances dépendant respectivement de l’écoulement normal 𝑦𝑁 et de l’écoulement varié 𝑦 𝐷𝑛 = 𝐷= 𝐾𝑠 𝑆(𝑦𝑁 ) 𝑅ℎ 2(𝑦 3 ) 𝑁 𝐾𝑠 𝑆(𝑦) 𝑅ℎ 2𝑦 3 = = 𝑄 𝐼 𝑄 𝐽 Boris Bakhmeteff 1880-1951 Jean Antoine Charles Bresse 1822-1883 08.04.15 92 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (2/5) 𝐷𝑛 2 𝐷𝑛 2 𝐽 1− 1− 1− 𝑑𝑦 𝐷 𝐷 𝐼 =𝐼 =𝐼 =𝐼 2 𝑙𝑦 𝑙𝑦 𝑄 𝑙𝑦 𝑑𝑥 2 2 1 − 𝑄 1 − (𝐷 𝐼) 1− 𝑛 𝑔𝑆 3𝑦 𝑔𝑆 3𝑦 𝑔𝑆 3𝑦 ■ Soit 𝑄𝑐 le débit correspondant à la débitance 𝐷 pour l’écoulement varié sur la pente critique 𝐼𝑐 . Il advient alors : 𝑄𝑐2 = 𝐷2 𝐼𝑐 = 3 𝑔𝑆(𝑦) 𝑙 𝑦 𝑙𝑦 1 1 ⇒ 2= 2 = 3 𝑄𝑐 𝐷 𝐼𝑐 𝑔𝑆 𝑦 ■ D’où : 𝐷𝑛 2 1− 𝐷 𝑑𝑦 =𝐼 𝑑𝑥 𝐼 𝐷𝑛 2 1−𝐼 𝐷 𝑐 08.04.15 93 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (3/5) ■ Bakhmeteff fait l’hypothèse que le carré de la débitance varie comme une fonction puissance du tirant d’eau. 𝐷 2 = 𝑎𝑦 𝑁 𝑒𝑡 𝐷𝑛2 = 𝑎𝑦𝑛𝑁 𝑑 ′ 𝑜ù 𝐷𝑛 𝐷 2 𝑦𝑛 = 𝑦 𝑁 ■ Si l’on pose 𝛽 = 𝐼 𝐼𝐶 et 𝜂 = 𝑦 𝑦𝑛 alors : 𝑑𝑦 𝜂 𝑁 − 1 = 𝑑𝑥 𝜂 𝑁 − 𝛽 𝑦𝑁 1−𝛽 𝑑𝑥 = 1+ 𝑁 𝑑𝜂 𝐼 𝜂 −1 08.04.15 94 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (4/5) ■ A partir de la section de contrôle (𝑥0 , 𝑦0 ), on développe la relation suivante 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒚𝑵 𝜼 − 𝜼𝟎 − 𝟏 − 𝜷 𝚽 𝑵, 𝜼 𝑰 𝜂 𝑎𝑣𝑒𝑐 Φ 𝑁, 𝜂 = − 𝜂0 𝑑𝜂 𝜂𝑁 − 1 ■ La fonction 𝚽(𝒏, 𝜼) est lue sur la table de Bakhmeteff ou approchée par le développement limité suivant : 𝟐𝟎𝟎 𝒔𝒊 𝜼 < 𝟏, 𝚽 𝑵, 𝜼 = 𝒊=𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏−𝑵 𝒔𝒊 𝜼 > 𝟏, 𝚽 𝑵, 𝜼 = 𝜼 𝒊=𝟎 𝜼𝒊𝑵 𝒊𝑵 + 𝟏 𝜼−𝒊𝑵 𝒊+𝟏 𝑵−𝟏 08.04.15 95 07. COURBES DE REMOUS Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (5/5) ■ Algorithme d’application de la méthode de Bakhmeteff ■ Calculer les profondeurs 𝑦𝑁 , 𝑦𝑐 ■ En déduire 𝐼𝑐 puis 𝛽 = 𝐼/𝐼𝑐 ■ Calculer 𝜂0 = 𝑦0 /𝑦𝑁 et 𝜂1 = 𝑦1 /𝑦𝑁 ■ Calculer l’exposant hydraulique de section 𝑁 ■ Lire sur la table de Bakhmeteff les valeurs ℬ(𝑁, 𝜂0 ) et ℬ(𝑁, 𝜂1 ) ou les calculer à partir du développement limité de ℬ(𝑁, 𝜂) ■ Calculer la longueur de la courbe de remous : 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒚𝑵 𝑰 𝜼𝟏 − 𝜼𝟎 − 𝟏 − 𝜷 𝓑 𝑵, 𝜼𝟏 − 𝓑 𝑵, 𝜼𝟎 08.04.15 96 07. COURBES DE REMOUS Détermination de l’exposant hydraulique 𝑁 (1/2) ■ L’exposant hydraulique s’obtient par représentation de la débitance en fonction du tirant d’eau sur papier bi logarithmique : 2 3 𝐷(𝑦) = 𝐾𝑠 𝑆(𝑦) 𝑅ℎ 𝑦 = 𝑎𝑦 𝑁 ■ L’exposant 𝑵 est la moitié de la pente de la droite obtenue ln 𝐷(𝑦) = 1 𝑁 𝑁 ln 𝑎 + ln 𝑦 = 𝐾 + ln 𝑦 2 2 2 ■ Quelques valeurs indicatives pour des formes paramétrées : ■ rectangulaire : 𝑁 = 2 (𝑏 ≪ 𝑦), 𝑁 = 2,5 𝑏 = 2𝑦 , 𝑁 = 3 (𝑏 ≫ 𝑦) ■ trapézoïdale : 3 < 𝑁 < 4 ■ triangulaire : 5,3 < 𝑁 < 5,5 ■ parabolique : 𝑁 = 4 08.04.15 97 07. COURBES DE REMOUS Détermination de l’exposant hydraulique 𝑛 (2/2) ■ Chow (1959), partant du postulat 𝐷 2 = 𝑎𝑦 𝑁 et en dérivant l’équation de Manning-Strickler, établit que : 𝑑(ln 𝐷) 𝑦 𝑑𝑆 4 𝑦 𝑑𝑅 𝟐𝒚 𝒅𝑷 𝑵=2 =2 + = 𝟓𝒍 − 𝟐𝑹 𝑑(ln 𝑦) 𝐴 𝑑𝑦 3 𝑅 𝑑𝑦 𝟑𝑺 𝒅𝒚 ■ La relation peut être généralisée pour une section trapézoïdale sous la forme suivante : 𝒚 𝒚 𝟏 + 𝟐𝒎 𝟏 + 𝒎𝟐 𝟏𝟎 𝟖 𝒃 − 𝒃 𝑵= 𝟑 𝟏+𝒎 𝒚 𝟑 𝟏+𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 + 𝒎 𝒃 𝒃 ■ L’analyse de la relation précédente montre que 𝟐 ≤ 𝑵 ≤ 𝟓, 𝟑 08.04.15 98 07. COURBES DE REMOUS Méthodes des différences finies ■ Elles sont basées sur une subdivision du canal en biefs courts et une progression par pas de calcul ■ Méthode de variation de profondeurs ou à pas directs : ∆𝑦 fixé, ∆𝑥 calculé ■ Méthode des tronçons ou à pas standards: ∆𝑥 fixé, ∆𝑦 calculé ■ Ces méthodes introduisent une erreur systématique d’ordre 2 (∆𝑥 3 ou ∆𝑦 3 selon les cas) mais elles sont suffisamment précises pour les applications pratiques. Elles ont des variantes sur la manière d’évaluer les valeurs moyennes sur le bief ∆𝑥 ■ Nous exposerons ici la méthode des pas directs (cf. Mar, 2004 pour la méthode des pas standards). 08.04.15 99 07. COURBES DE REMOUS Méthodes des pas directs ■ Algorithme d’application : soit 𝑦0 connu à la section de contrôle 𝑥0 𝑱(𝒚) = 𝑸𝟐 𝟒 𝑲𝟐𝒔 𝑺𝟐𝒚 𝑹𝒉 𝟑𝒚 ■ Calculer 𝐻𝑠0 et 𝐽(𝑦0) ■ Pour 𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦, calculer 𝐻𝑠1 et 𝐽(𝑦1) ■ Calculer 𝐽 = (𝐽(𝑦0) +𝐽(𝑦1) )/2 ou 𝐽 = 𝐽((𝑦0+𝑦1)/2) ■ Calculer ∆𝑥 = (𝐻𝑠0 − 𝐻𝑠1 )/(𝐼 − 𝐽) ■ Passer à la section suivante en prenant 𝑦0 = 𝑦1 et 𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦 08.04.15 100 Chapitre V ECOULEMENTS BRUSQUEMENT VARIES 01. ECOULEMENT BRUSQUEMENT VARIE Définition ■ Un EBV est un écoulement permanent dont les variable physiques varient très vite (voire de manière discontinue) dans l’espace. ■ Caractéristiques des EBV : ■ Courbure prononcée des lignes de courant (répartition des pressions non hydrostatique) ■ Coefficient de Coriolis 𝛼 ≫ 1 ■ Effet de frottement contre les parois négligeable (distance courte) ■ Surface libre souvent instable et irrégulière ■ Principe d’étude : l’on choisit deux sections englobant l’EBV ■ Théorème d’Euler pour les EBV divergents (dissipation d’énergie) : cas du ressaut hydraulique ■ Théorème de Bernoulli pour les EBV convergents (sans dissipation d’énergie) : cas des écoulements sous vanne (cf. section de contrôle) 08.04.15 102 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Illustration (1/2) Barrage des Trois Gorges, Yangzi Jiang, Chine 08.04.15 103 01. RESSAUT HYDRAULIQUE Illustration (2/2) Ressaut en canal rectangulaire en aval d’un déversoir 08.04.15 104 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Définition ■ Un ressaut est une surélévation brusque de la ligne d’eau au passage d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial. ■ Les hauteurs d’eau avant 𝑦1 et après 𝑦2 le ressaut sont appelées profondeurs conjuguées. Ressaut circulaire en évier Ressaut aval d’un déversoir sur le fleuve Mississipi 08.04.15 105 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Classification des ressauts sur la base du Froude d’amont 08.04.15 106 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Valeurs caractéristiques ■ Hauteur du ressaut : 𝒉𝒓 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ■ Rendement du ressaut : 𝑹𝒓 = 𝟐𝒈 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝑼𝟐𝟏 − 𝑼𝟐𝟐 Jan Smetana (1883-1962) ■ Perte de charge au ressaut : ∆𝑯 = 𝐻𝑠1 − 𝐻𝑠2 𝑼𝟐𝟏 𝑼𝟐𝟐 = 𝒚𝟏 + − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒈 𝟐𝒈 ■ Longueur du ressaut (formules empiriques) ■ Smetana : 𝑳𝒓 ≈ 𝟔 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ■ Safranez : 𝑳𝒓 ≈ 𝟒, 𝟓𝒚𝟐 ■ Miami District : 𝑳𝒓 ≈ 𝟓(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ) ■ Hsing et Posey (trapézoïdal) : 𝑳𝒓 ≈ 𝟓𝒚𝟐 𝟏 + 𝟒 𝒍𝒚𝟐 − 𝒍𝒚𝟏 08.04.15 𝑳𝒚𝟏 107 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Notion d’impulsion (1/3) ■ Soit la quantité notée 𝑀(𝑦) et appelée impulsion. On pose : 𝑸𝟐 𝑴 𝒚 =𝝆 + 𝝆𝒈𝑺𝒚𝑮 𝑺 ■ Application du théorème des quantités de mouvement entre les sections 𝑦1 et 𝑦2 du ressaut : 𝑄2 𝑄2 𝜌 + 𝜌𝑔𝑆1 𝑦𝐺 1 = 𝜌 + 𝜌𝑔𝑆2 𝑦𝐺2 𝑆1 𝑆2 𝑴 𝒚𝟏 = 𝑴(𝒚𝟐 ) ■ Il y a conservation de l’impulsion au ressaut 08.04.15 108 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Notion d’impulsion (2/3) ■ L’analyse de la fonction 𝑀(𝑦) montre que : ■ Si 𝑦 → 0, 𝑆(𝑦) → 0 et 𝑀(𝑦) → ∞ ■ Si 𝑦 → ∞, 𝑆(𝑦) → ∞ et 𝑀(𝑦) → ∞ ■ La fonction étant positive et continue sur 0, ∞ elle admet nécessairement un minimum. 𝑑𝑀 𝜌𝑄 2 𝑑𝑆 𝑑 𝑆𝑦𝐺 𝜌𝑄 2 𝑄2 𝑙 = 2 + 𝜌𝑔 = 2 𝑙 + 𝜌𝑔𝑆 = 𝜌𝑔𝑆 1 − 3 𝑑𝑦 𝑆 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑆 𝑔𝑆 𝑑𝑀 = 0 ⇒ 𝐹𝑟 = 1 (𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒) 𝑑𝑦 ■ Au régime critique, l’impulsion est minimale. 08.04.15 109 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Notion d’impulsion (3/3) ■ Un débit donné 𝑄 peut s’écouler sous deux profondeurs 𝑦1 (torrentiel) et 𝑦2 (fluvial) qui sont des profondeurs conjuguées au sens du ressaut ■ Ce principe est utilisé pour la résolution graphique du calcul d’une profondeur conjuguée par le ressaut 08.04.15 110 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Réajustement de l’équation d’Euler ■ L’équation de conservation de l’impulsion peut être présentée de la façon suivante 𝑄2 1 1 − = 𝑆1 𝑦𝐺 1 − 𝑆2 𝑦𝐺 2 𝑔 𝑆2 𝑆1 ■ En posant 𝑦𝐺 = 𝜃𝑦 (avec 𝜃 un coefficient indiquant la position du centre de gravité de section) et en faisant apparaître 𝐹𝑟 1 : 𝑭𝒓 𝟐𝟏 𝟏 − 𝑺𝟏 𝑺 𝟐 𝒚𝟐 =𝜽 −𝟏 𝑺𝟐 𝑺 𝟏 𝒚𝟏 ■ Cette forme simplifiée servira à l’écriture de l’équation du ressaut en canal rectangulaire et triangulaire 08.04.15 111 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Ressaut en canal rectangulaire (1/3) ■ En canal rectangulaire, on définit les relations suivantes : 𝜃= 1 2 𝑒𝑡 𝑆2 𝑦2 = 𝑆1 𝑦1 ■ En posant 𝑞 = 𝑄/𝑏, on établit une équation symétrique du 2nd degré : 𝟐 𝒒 𝒚𝟏 𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝟐𝟏 𝒚𝟐 − 𝟐 =𝟎 𝒈 ■ La résolution en 𝑦1 ,donne l’expression d’un discriminant toujours positif : ∆= 𝑦24 𝑞2 8𝑞2 4 + 8𝑦2 = 𝑦2 1 + 3 = 𝑦24 1 + 8𝐹𝑟 22 > 0 𝑔 𝑔𝑦2 08.04.15 112 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Ressaut en canal rectangulaire (2/3) ■ La solution physiquement acceptable est l’équation de Bélanger : 𝒚𝟐 𝒚𝟏 = −𝟏 + 𝟏 + 𝟖𝑭𝒓 𝟐𝟐 𝟐 ■ Ou sa solution duale, obtenue en résolvant le problème en 𝒚𝟐 : 𝒚𝟏 𝒚𝟐 = −𝟏 + 𝟏 + 𝟖𝑭𝒓 𝟐𝟏 𝟐 Jean-Baptiste Charles Joseph Bélanger (1790-1894) 08.04.15 113 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Ressaut en canal rectangulaire (3/3) ■ Il est alors possible d’écrire des expressions simplifiées du rendement ressaut 𝑅𝑟 et de la perte de charge au ressaut ∆𝐻 pour la section rectangulaire : ■ Rendement du ressaut : 𝟒𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝑹𝒓 = 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 𝟐 ■ Perte de charge au ressaut : 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ∆𝑯 = 𝟒𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝟑 08.04.15 114 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Ressaut en canal triangulaire ■ En canal triangulaire, on définit les relations : 1 𝜃= 3 𝑆2 𝑦2 𝑒𝑡 = 𝑆1 𝑦1 2 ■ Ce qui permet d’établir la relation suivante : 𝒚𝟐 𝒚𝟏 𝟑 = 𝟏 − 𝟑𝑭𝒓 𝟐𝟏 𝒚𝟐 𝟏− 𝒚𝟏 𝟐 08.04.15 115 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Ressaut en canal circulaire ■ Soit 𝑻𝒓𝒊 = 𝒚𝒊 /𝑫 le taux de remplissage de section ■ En canal circulaire, Hager (1999) propose une approximation pour le calcul de la profondeur aval 𝑦2 connaissant la profondeur d’amont 𝑦1 , valable si et seulement si 𝑻𝒓𝟏 < 𝟎, 𝟕 : ■ on définit les débits réduits 𝑞𝐷 et 𝑞0 𝒒𝑫 = 𝑸 𝒈𝑫𝟓 𝟑 𝟑𝟒 𝟒 𝟐 𝒒𝟎 = 𝑻𝒓𝟏 𝟏 + 𝑻𝒓 𝟏 𝟒 𝟗 ■ La valeur de 𝑦2 est alors donnée par la relation : 𝑻𝒓𝟐 − 𝑻𝒓𝟏 𝒒𝑫 − 𝑻𝟐𝒓𝟏 ≈ 𝟏 − 𝑻𝒓𝟏 𝒒𝟎 − 𝑻𝟐𝒓𝟏 𝟎,𝟗𝟓 08.04.15 116 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Degré de submersion du ressaut ■ Lorsque le tirant d’eau conjugué 𝑦2 de l’écoulement torrentiel amont 𝑦1 est inférieur au tirant d’eau normal fluvial d’aval 𝑦3 , le ressaut est dit « submergé ». Le cas échéant, on parlera de ressaut « libre » . ■ Le facteur de submersion 𝑆 peut être évalué : 𝑺= 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 𝒚𝟐 Armando Lencastre (1924 - ?) ■ La longueur du ressaut submergé : ■ Selon Lencastre, 1996 : 𝑳𝒓 = 𝟒, 𝟗𝒚𝟑 + 𝟏, 𝟐𝒚𝟐 ■ Selon Rao et Rajaratnam, 1963 : 𝑳𝒓 = 𝟔, 𝟏𝒚𝟐 + 𝟒, 𝟗𝑺𝒚𝟐 08.04.15 117 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Position du ressaut (1/4) ■ La position du ressaut est définie suivant la relation entre le point de contrôle au torrentiel d’amont et le tirant d’eau fluvial normal aval. ■ Soit 𝑦1 la hauteur de la veine contractée, 𝑦2 son conjugué par le ressaut et 𝑦3 le tirant d’eau normal aval. ■ Cas 1 : on a 𝑦2 = 𝑦3 . Le ressaut se forme au pied de la chute 08.04.15 118 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Position du ressaut (2/4) ■ Cas 2 : on a 𝑦2 > 𝑦3 . Le ressaut se déplace vers l’aval ■ Cas 3 : on a 𝑦2 < 𝑦3 . Le ressaut est noyé. 08.04.15 119 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Position du ressaut (3/4) ■ Dans le cas où le régime uniforme aval arrive à s’établir (bief aval suffisamment long), on fait l’hypothèse que le ressaut effectue la connexion avec l’écoulement normal aval. ■ La démarche de résolution est alors la suivante : ■ On évalue par Manning-Strickler la profondeur 𝑦3 à l’aval ■ Puisque 𝑦3 = 𝑦2 , conjugué de 𝑦1 par le ressaut d’amont, on déduit 𝑦1 par l’équation d’Euler ■ On détermine alors l’abscisse 𝑥1 à laquelle la hauteur 𝑦1 est atteinte par la courbe de remous d’amont, en partant de son point de contrôle amont 𝑦0 à la section de contrôle 08.04.15 120 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Position du ressaut (4/4) ■ Si l’écoulement uniforme ne s’établit pas à l’aval, on recherche la position précise du ressaut à l’intersection entre le conjugué de la ligne d’eau torrentielle en amont et fluvial en aval ■ Procédure : ■ tracer les lignes d’eau amont et aval ■ Tracer la conjuguée de la ligne d’eau amont ■ Définir la droite A’Z’ à l’intersection à l’amont ■ Calculer la longueur du ressaut 𝐿𝑅𝐻 ■ Positionner 𝐿𝑅𝐻 de sorte que 𝑍 ′′ 𝑍 = 𝐿𝑅𝐻 et parallèle au fond du canal ■ Le ressaut est alors localisé entre A et Z. 08.04.15 121 02. RESSAUT HYDRAULIQUE Applications du ressaut hydraulique ■ Le ressaut hydraulique peut être forcé en canal afin de remplir les objectifs suivants : ■ Dissiper l’énergie à la sortie des évacuateurs de crue et vannes de fond, afin de limiter l’érosion régressive sur le talus aval. ■ Augmenter, maintenir, réguler le débit vanné ou déversé ■ Réaliser une coupure hydraulique dans un écoulement, de sorte que l’aval n’influence pas l’amont ■ Mixer les produits chimiques dans le traitement de l’eau ■ Aérer l’eau 08.04.15 122 Chapitre VI LA SECTION DE CONTRÔLE 01. SECTION DE CONTRÔLE Définition ■ Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime fluvial au torrentiel. ■ Cela suppose l’existence d’un régime critique localisé au droit de la section de contrôle où la relation « débit-hauteur » est univoque ■ La section de contrôle est utilisée pour la mesure de débit. ■ La courbe 𝑄 = 𝑓(ℎ) est appelée courbe de tarage ■ Le contrôle d’un écoulement: ■ fluvial se fait à l’aval de cet écoulement ■ torrentiel se fait à l’amont de cet écoulement ■ Nous aborderons le cas des déversoirs et des vannes de fond. 08.04.15 124 02. DEVERSOIRS Définition (1/2) ■ Considéré comme un orifice incomplet laissant passer l’eau en nappe pardessus. ■ Deux types distincts : frontal, ou latéral 08.04.15 125 02. DEVERSOIRS Définition (2/2) ■ Le déversoir peut se résumer à une plaque de hauteur 𝑃 appelée « pelle », obstruant le passage de l’eau. ■ On distingue les déversoirs à seuil mince 𝑒 < ℎ1 /2 et les déversoirs à seuil épais 𝑒 > 2ℎ1 /3 (CETMEF, 2005) ■ Pour un seuil ni mince, ni épais, aucune loi à priori n’étant définie, une étude spécifique est nécessaire Déversoir à seuil mince Déversoir à seuil épais 08.04.15 126 02. DEVERSOIRS Modes de fonctionnement ■ Le déversoir peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé. Fonctionnement dénoyé La hauteur ℎ1 en amont (appelée marnage) est entièrement conditionnée par le débit 𝑄 déversé. La hauteur aval ℎ2 n’influence pas l’écoulement Fonctionnement noyé La côte d’eau à l’aval passe au dessus du seuil. La hauteur ℎ1 en amont en alors influencée par le débit 𝑄 et par la hauteur aval ℎ2 . Plus le ratio ℎ2 /ℎ1 augmente, plus l’influence sur le débit est grande 08.04.15 127 02. DEVERSOIRS Formule des déversoirs à seuil mince ■ Pour un déversoir frontal de largeur 𝑙𝐷 , le débit passant au dessus est lié à un coefficient de contraction 𝜇 : 𝑸 = 𝝁𝒍𝑫 𝟐𝒈𝒉𝟑/𝟐 ■ Existence de formules empiriques spécifiques : Bazin (1898), Rehbock (1929), Francis, Gourley et Grimp, Thompson, Cipoletti, Hegly, etc. ■ Le choix de la forme du déversoir se fait suivant le débit à mesurer : ■ Triangulaire, si 𝑄 < 30 𝑙/𝑠 ■ Rectangulaire, si 𝑄 > 300 𝑙/𝑠 08.04.15 128 02. DEVERSOIRS Formule des déversoirs à seuil épais ■ Pour les seuils épais, il est admis que l’écoulement sur la crête épaisse se fait en régime critique. Le débit déversé est alors : 𝑸 = 𝑪𝒅 𝑪𝑽 𝑺𝒄 𝟐𝒈𝒉(𝟏 − 𝑲) 𝒚𝒎𝒄 𝒉 = 𝒚𝑪 + 𝟐 ■ Cette relation suppose les coefficients (donnés par les tables) ■ 𝐶𝑑 , coefficient de débit, représentant les conditions d’amenée ■ 𝐶𝑉 , coefficient de vitesse (𝐶𝑉 > 1) ■ Une approche simplifiée ne tenant pas compte des coefficients définis ci-dessus peut être retenue : 𝑸 = 𝑺𝒄 𝟐𝒈(𝑯 − 𝒚𝒄 ) ■ 𝑼𝟐 𝑯=𝒉+ 𝟐𝒈 Existence d’approches empiriques par Bélanger, Bazin,… 08.04.15 129 03. VANNES Définition ■ Considéré comme un organe mobile placé de manière frontale (ou latérale) permettant la régulation de la hauteur d’eau en amont et la régulation du débit à la sortie d’un réservoir d’eau 08.04.15 130 03. VANNES Modes de fonctionnement ■ La vanne de fond peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé. Fonctionnement dénoyé Après la vanne, on observe un raccordement rapide au a) torrentiel normal d’aval ou b) fluvial normal d’aval par un ressaut Fonctionnement noyé On observe un tirant d’eau fluvial aval. Cela se produit lorsque le conjugué de la 𝑐𝑗 hauteur de veine contractée ℎ2 par le ressaut est inférieur au tirant d’eau normal aval ℎ3 08.04.15 131 03. VANNES Principe d’étude ■ Soit 𝑎 la hauteur de levée de la vanne et 𝐶𝑐 le coefficient de contraction de l’orifice. La hauteur ℎ2 = 𝐶𝑐 𝑎. ■ Le principe d’étude est alors le suivant : on définit deux sections, l’une à l’amont immédiat de la vanne et l’autre à la naissance de la veine contractée et l’on applique le théorème de Bernoulli. 𝑈12 𝑈22 ℎ1 + 𝑧1 + = ℎ2 + 𝑧2 + 2𝑔 2𝑔 ■ Le fond est supposé plat entre les deux sections (dénivelée quasiment nulle). Il advient alors que 𝑧1 = 𝑧2 𝑈12 𝑈22 ℎ1 + = 𝐶𝑐 𝑎 + 2𝑔 2𝑔 08.04.15 132 03. VANNES Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée ■ Pour une section rectangulaire de vanne dénoyée, on a : 𝑄2 𝑄2 ℎ1 + = 𝐶𝑐 𝑎 + 2𝑔𝑏 2 ℎ12 2𝑔𝐶𝑐2 𝑏 2 𝑎2 ■ On en déduit : 𝒉𝟏 𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂𝒃 𝟐𝒈 𝑪 𝒂 𝟏+ 𝒄 𝒉𝟏 ■ En admettant que 𝐶𝑐 𝑎 ≪ ℎ1 , on obtient la relation simplifiée : 𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂𝒃 𝟐𝒈𝒉𝟏 08.04.15 133 03. VANNES Cas d’une vanne rectangulaire noyée ■ Pour une section rectangulaire de vanne noyée, on a : 𝑄2 𝑄2 ℎ1 + = ℎ2 + 2𝑔𝑏 2 ℎ12 2𝑔𝐶𝑐2 𝑏 2 𝑎2 ■ On en déduit : 𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂𝒃 𝟐𝒈 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 𝑪𝟐𝒄 𝒂𝟐 𝟏− 𝟐 𝒉𝟏 ■ En admettant que 𝐶𝑐 𝑎 ≪ ℎ1 , on obtient la relation simplifiée : 𝑸 = 𝑪𝒄 𝒂𝒃 𝟐𝒈 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 08.04.15 134 Chapitre VII ETUDE DE QUELQUES SINGULARITES 01. SINGULARITES Objectifs d’étude ■ En canal prismatique, le régime d’écoulement reste uniforme, mais perturbé aux abords des singularités. ■ En écoulement en charge, la singularité entraine une chute brusque de la ligne de charge. En écoulement à surface libre, elle modifie la ligne d’eau sur un bief plus ou moins long. ■ Etudier les singularités permettra de : ■ Prévoir un dimensionnement local des ouvrages afin de contenir les perturbations engendrées par les singularités ■ Modifier les dispositions des singularités de sorte à réduire les irrégularités de l’écoulement 08.04.15 136 01. SINGULARITES Types de problèmes ■ Deux situations de calcul peuvent se présenter ■ Cas 1 : le débit 𝑸 est connu. Il s’agit alors de déterminer les sections de contrôle et de définir la ligne d’eau dans la zone d’influence de la singularité ■ Cas 2 : le débit 𝑸 n’est pas connu. Il s’agit alors de le déterminer à partir d’une condition de niveau et de tracer alors la ligne d’eau ■ Divers types de singularités : ■ Changement de pente, de radier, de section ■ Pile de ponts, grille, coudes ■ Passage canal-réservoir, réservoir-canal ■ Nous n’aborderons ici que les changements de pente, les écoulements dans les courbes et les transitions (cf. Mar, 2004 pour le développement des autres cas) 08.04.15 137 01. SINGULARITES Leçons tirées de l’étude des EGV (1/2) ■ Pour une charge spécifique donnée 𝐻𝑠 > 𝐻𝑠𝑐 correspond deux tirants d’eau : 𝑦1 < 𝑦𝑐 (torrentiel) et 𝑦2 > 𝑦𝑐 (fluvial) ■ L’écoulement d’un débit 𝑄 nécessite une charge spécifique minimale critique 𝐻𝑠𝑐 ■ Les courbes 𝐹1 , 𝑇1 , 𝑇2 , 𝐶1 sont des courbes qui permettent d’augmenter l’énergie spécifique : 𝑑𝐻𝑠 𝑑𝑥 > 0 ■ Le passage du fluvial au torrentiel nécessite de passer par une section critique (chute) ■ Le passage du torrentiel au fluvial nécessite un ressaut hydraulique 08.04.15 138 01. SINGULARITES Leçons tirées de l’étude des EGV (2/2) ■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal torrentiel en amont : l’écoulement torrentiel, contrôlé par l’amont, arrive jusqu’à la singularité, ou au ressaut. ■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à un tirant d’eau normal fluvial en aval: l’écoulement fluvial, contrôlé par l’aval, arrive jusqu’à la singularité ou au ressaut 08.04.15 139 02. CHANGEMENT DE PENTE Augmentation de la pente de fond Remous 𝑇2 (ou 𝑆2 ) Remous 𝐹2 (ou 𝑀2 ) Remous 𝐹2 − 𝑇2 (ou 𝑀2 − 𝑆2 ) 08.04.15 140 02. CHANGEMENT DE PENTE Diminution de la pente de fond Remous 𝐹1 (ou 𝑀1 ) Remous 𝐹3 (ou 𝑀3 ) et ressaut Remous 𝑇3 (ou 𝑆3 ) Ressaut et remous 𝑇1 (ou 𝑆1 ) 08.04.15 141 03. COURBES Dévers transversal de la surface libre d’un écoulement dans une courbe ■ Un écoulement en courbe voit naitre des courants secondaires impulsant un mouvement hélicoïdal aux masses fluides. Il se crée alors : ■ Des pertes de charges singulières (négligeables si 𝑅𝑐 > 2𝑙 ou 𝜃 < 45°) ■ Un dévers latéral et symétrique de la surface libre de valeur ∆𝑦 (surélévation du côté extérieur, abaissement du côté intérieur) 𝑙 𝑈2 ∆𝑦 = 𝑅𝑐 2𝑔 08.04.15 142 04. TRANSITIONS Passage d’une transition ■ Une transition est un bref passage d’un écoulement uniforme à un autre qui se fait par l’intermédiaire d’un court EBV. ■ Le passage par une section critique n’est pas ici obligatoire. ■ Les transitions sont rencontrées dans le cas d’un changement brusque de section de canal : ■ Décrochement positif ou négatif d’un seuil au fond ■ Elargissement ou rétrécissement brusque de section ■ Nous traiterons du cas des décrochements de seuils (cf. Graf, 1998 pour les autres cas) 08.04.15 143 04. TRANSITIONS Décrochement de radier ■ Notons ±∆𝑧 le décrochement de radier : ■ Dans le cas d’une sous-élévation (abaissement), on a −∆𝑧 ■ Dans le cas d’une surélévation (exhaussement), on a +∆𝑧 ■ En admettant que la transition est courte, Rouse (1938) propose de négliger les pertes de charges entre deux sections très proches encadrant le décrochement de seuil. D’où l’équation du 3ème degré : 𝑸𝟐 𝑸𝟐 𝒚𝟏 + = 𝒚𝟐 + ± ∆𝒛 𝟐𝒈𝑺𝟐𝟏 𝟐𝒈𝑺𝟐𝟐 𝑯𝒔𝟏 = 𝑯𝒔𝟐 ± ∆𝒛 Hunter Rouse (1906-1996) 08.04.15 144 04. TRANSITIONS Décrochement de radier : seuil négatif ■ Pour une charge spécifique 𝐻𝑠1 donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles. ■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que 𝐻𝑠2 > 𝐻𝑠𝑐2 . ■ La charge spécifique 𝐻𝑠2 > 𝐻𝑠1 définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont : ■ fluvial : 𝑦2 > 𝑦1 (élévation) ■ torrentiel : 𝑦2 < 𝑦1 (abaissement) 08.04.15 145 04. TRANSITIONS Décrochement de radier : seuil positif ■ Pour une charge spécifique 𝐻𝑠1 donnée, deux tirants d’eau (fluvial et torrentiel) sont possibles. De plus : 𝐻𝑠2 = 𝐻𝑠1 − ∆𝑧 < 𝐻𝑠1 ■ L’écoulement n’est possible qu’à la condition que 𝐻𝑠2 > 𝐻𝑠𝑐2 . ■ La charge spécifique 𝐻𝑠2 < 𝐻𝑠1 définira alors deux nouveaux tirants d’eau possibles selon le type d’écoulement à l’amont : ■ fluvial : 𝑦2 < 𝑦1 (abaissement) ■ torrentiel : 𝑦2 > 𝑦1 (élévation) 08.04.15 146 04. TRANSITIONS Calcul de 𝑦2 à l’aval immédiat d’un seuil ■ Si 𝐻𝑠2 > 𝐻𝑠𝑐2 , le débit 𝑸 passe entièrement et 𝑦2 est donné par la résolution du théorème de Bernoulli (avec 𝑦2 < 𝑦1 en fluvial ou 𝑦2 > 𝑦1 en torrentiel). ■ Si 𝐻𝑠2 = 𝐻𝑠𝑐2 , le débit 𝑸 passe entièrement, avec 𝑦2 = 𝑦𝑐2 . ■ Si 𝐻𝑠2 < 𝐻𝑠𝑐2 , alors deux cas peuvent se produire : ■ Le débit 𝑸 passe entièrement (pas de contrôle au seuil). Un exhaussement se produit en amont, et 𝑦2 = 𝑦𝑐2 en aval. On calcule 𝐻𝑠1,𝑚𝑖𝑛 = 𝐻𝑠𝑐2 + ∆𝑧 et on en déduit 𝑦1 ′ > y1 ■ Un débit 𝑸′ < 𝑸 passe (contrôle au seuil) : 𝐻𝑠2 = 𝐻𝑠𝑐2 pour 𝑦2 = 𝑦𝑐′ avec 𝑄′ = 𝑆𝑐 ′ 𝑔𝑦𝑐 ′. 08.04.15 147 QUELQUES LOGICIELS… LOGICIELS Outils de simulation des écoulements à surface libre 08.04.15 149
