Ecole Normale Supérieure de l'Enseignement Technique – Rabat Département Génie Mécanique CPA – Génie Mécanique Devoir de Méthodes numériques et informatique Durée : 3 heures Documents de cours personnels autorisés I. Résolution d'une équation non linéaire par la méthode de la fausse positioon. Théorème : Considérons une fonction f continue sur un intervalle [a,b] pour laquelle il existe un nombre réel r appartenant à l'intervalle [a,b] tel que f(r)=0. Si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors la suite dont le terme est donné par la relation suivante converge vers r : an f (bn ) − bn f (an ) f (bn ) − f (an ) an et bn sont les bornes de l'intervalle modifiées en fonction de la position de cn, comme dans le processus de la méthode de dichotomie. cn = I.1. Appliquer cette méthode pour la résolution de l'équation x 3 + 4 x 2 − 10 = 0 sur l'intervalle [1,2] I.2. Ecrire le programme C qui permet la mise en œuvre de cette méthode. La fonction doit être écrite hors du bloc main. II. Méthode de Newton On considère la fonction f(x)=x3-3x+2. II.1. Représenter graphiquement f(x) sur l'intervalle [-3,3] II.2. Résoudre l'équation f(x)=0 par la méthode de Newton en prenant successivement pour valeurs initiales -2.4 et 1.2, avec une précision de 10-4 sur x. II.3. Conclure. II.4. Montrer que la solution x = 1 est d'ordre de multiplicité 2 (racine double). Le résultat de II.2. est imputé à cette situation. Pour améliorer la convergence de la méthode de Newton pour une racine d'ordre de multiplicité m>1, on utilise la méthode modifiée suivante f ( xk ) f ' ( xk ) Appliquer cette dernière pour l'équation considérée avec les mêmes conditions qu'au II.2. Conclure. xk +1 = xk − m III. généralisation de la méthode de Newton aux systèmes d'équations non linéaires. On se propose de généraliser la méthode de Newton au cas de systèmes non linéaires. Considérons le système de n équations (n>1) suivant : f1 ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) = 0 f 2 ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) = 0 . . f i ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) = 0 . . f ( x , x ,..., x ,..., x ) = 0 j n n 1 2 r r r Ce système peut aussi s'écrire sous la forme vectorielle f ( x ) = 0 III.1. Ecrire l'expression de ∆f i en fonction des ∆xi et des dérivées partielles de fi. En déduire, que l'on peut écrire : r r ∆f = J .∆x Préciser l'expression de la matrice J. III.2. En faisant un raisonnement analogue à celui conduit pour le cas d'une seule équation, établir la formule de Newton généralisée aux systèmes non linéaires suivante : r r r r xk +1 = xk − J −1 ( xk ). f ( xk ) III.3. Appliquer cette méthode pour la résolution du système suivant : − 2 y 3 + 2 x 2 − 4 x + 1 = 0 4 x + 4 y 4 + 4 y − 4 = 0 On formulera le problème et on effectuera uniquement 2 itérations à partir de (x0,y0)=(0.1,0.7) III.4. Ecrire le programme C qui met en œuvre cette méthode.
