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ALGEBRE ET GEOMETRIE
CHAP I : DIAGONALITE ET TRIGONALITE
I.1 VALEURS PROPRES, ESPACES PROPRES
Définition 1.1
Soit A € Mn(R), une matrice carrée d’ordre n .
On dit que λ est une valeur propre de A s’il existe :X € Rn non nul tel que AX = λX
Définition 1.2
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A.
On dit qu’un vecteur X € Rn\{0} est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ si AX = λX.
Définition 1.3
Soit A € Mn(R), notons u : Rn → Rn l’application qui à X € Rn associé AX alors λ € R ou C est une
valeur propre de A ssi Ker (A- λI1) #{0} autrement dit Ker (u- λI1) # {0}.
Preuve : On sait que λ est une valeur propre de A. ie Э X # 0 tel que que AX = λX.
AX = λX AX- λX = 0 (A- λId)X=0 or X#0 donc A- λId =0 Ker (A- λId) # {0}.
Definition 1.4
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A, le sous espace Ker (A-λId) est appelé sous espace
propre de A associé à la valeur propre λ. Tous les elements sont des vecteurs de A par la valeur
propre λ.
Proposition 1.5
Soit A € Mn(R) et λ1………. Λp des valeurs propres de A deux à deux distincts, alors les espaces
propres Ker(A- λ1Id)……..Ker(A- λpIp) sont en somme directe. Cela signifie que :
Tout X € Ker(A- λId)+………Ker(A- λId) s’écrit d’une manière unique sous la forme :
X=a1+a2+………+ap avec ai € Ker (A-xiId) pour 1<=i<=p.
En particulier des veteurs propres associés où des valeurs propres distincts sont linéairement
indépendants.
Proposition 1.6
Soit A € Mn(R), λ une valeur propre de A et Ex = Ker(A- λId) alors Ex est stable par A ie :
A(Ex) Ⴚ Eλ
Preuve : Soit x € Eλ. Notons u l’application linéaire associé à A ; u(x)=Ax.
Alors u(x) = λx. U[u(x)=u(λx) = λ u(x) → u(x) € Eλ
N.B : En mathématiques, les spectres d’une matrice est l’esemble de ses valeurs propres.

I.2 DIAGONALISATION
Poposition 2.1
Soit A € Mn(R), et λ € R ou C.
Alors est une valeur propre de A si et seulement si dét(A- λId)=0.
Définition 2.2
(1) Soit A € Mn(R). Le polynome caractéristique de A, PA(x) est le determinant de la matrice
A- λId.
(1) soit u : Rn→Rn. Le polynome caractériqtique de u est la polynome caractéristique de u dans
une base de Rn. on le note Pu. On admet que Pu ne depend pas du choix de la base .
Remarque : le polynome caractéristique PA est de degré n (parcequ’il ya n lignes n colonnes) et on a :
PA(x) = (-1)n Xn +tr(A) Xn-1 +…..+dét A.
Proposition 2.3
Une matrice et sa transposée ont même polynome caractéristique.
Rappel : Soit P(x) un polynome et alpha une racine de P. On dit que alpha est une racine de
multiplicité m si (x-alpha)m divise P(x) mais (x-alpha)m+1 ne divise pas P(x).
Proposition 2.4
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A.
Notons m(λ), la multiplicité de λ comme racine de PA.
Alors 1 <= dim[Ker (A-λId)] <= m(λ).
Remarque : si λ est une racine de PA, alors Ker(A-Id) est de dimension 1.
Théorème 2.5
soit u : Rn→Rn une application linéaire.
On dit que u est diagonalisable s’il verifie l’une des 4 conditions équivalentes suivantes :
(i) Il existe une base de Rn dans la quelle ma matrice u est diagonale
(ii) Il existe une base rn formée des veteurs propres de u.
(iii) E est la somme directe des sous espaces propres Ker(u-λu) quand λ decrit les valeurs
propres de u.
(iv) Les pôlynome Pu est de la forme Pu(x) = (λ1-X)m1…..(λp-X)mp om λ1….λp sont des valeurs
propres U et de mi-dimension dim(u-λiId).
Corollaire 2.6
Toute matrice A € Mn(R) avec n valeurs propres distinctes est diagonalisable. Cette condition
est suffisante mais n’est pas nécessaire : la matrice identité est diagonale mais n’a qu’une seule
valeur propre.

EXERCICES
1. Diagonalisez si possible les matrices suivantes :
a)
(
1
-1
-1
)
-1
1
-1
-1
-1
1
b)
(
2
1
-1
)
½
5/2
-1/2
-1/2
1/2
3/2
c)
(
13
16
16
)
-5
-7
-6
-6
-8
-7
d)
(
-5
-2
-4
)
-
10
-6
-
16
8
4
10
2. On considère la matrice suivante associée à une application linéaire sur le corps des réels A =
(
1
2
)
-2
-1
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
3. Construire une matrice qui admet les valeurs propres λ1=3, λ2=-1 et λ3=7.
Les vecteurs propres correspondant sont :
= 
= et 
=
RESOLUTIONDES EXERCICES

11-11-2021
1.3 POLYNOME DES MATRICES
Définition 3.1
Un ondermorphosme est une application d’un espace vectoriel sur lui-même.
Si u est un ubdermosphosme de R1 on note un = u1.u0….. et U0= Id
Si u est une onde de Rn.
Définition 3 .2
Soit une onde, on a alorsb la suite inclusion .
{0} € Ker u2 €…..€ Ker un.
N.B : Le noyau d’une matrice c’est l’ensemble de toutes les images qui renvoient 0.
f : R→R
x→f(x) →Ker f ={f(x)}=0.
En particulier si λ est une valeur propre de u, on a {0} € Ker(u- λ Id) € Ker (u - λ Id)2 ….€ Ker(u- λ Id)k €
R3
Preuve : Soit k € N* et soit x € Ker uk.
Un+1(x)=uk.u(x)=u(uk(x))=u(0)=0→ x € Ker uk+1 ( ?)
Théorème 3.3 : Théorème de cayley-Hamillton
Soit u, une onde de R3 on a alors Pu(u)=0(polynome caractéristique appliquée sur u égale 0)
De même si A € M(R), alors PA(A)=0.
Définition 3.4
Soit A € Mn(R).
On suppose que PA(x)=(-1)n (x- λ1)m1 …. (x- λp)mp
On appelle sous espace catractéristique associé à la vamleur propre λi , les sous espaces vactorielles
Ker (A - λiId)ni identité.
On définit de la même façon les sous espaces caractéristiques pour un andromorphe de R .

Théorème 3.5
Soit A € Mn(R).
On suppose que le PA(x) est de la forme PA(x)=(-1)n(x- λ1)m1…(x- λp)mp avec λi # λj si i # j
Notons Ei = Ker (A- λi Ud)mi pour 1 <= i <= p sous espaces caractéristiques de A on a alors :
(i) Rn = E1 ….. Ep
(ii) Pour tout 1 <= i <=p ,dim Ei = mi
(iii) Si A est diagonalisable, alors pour tout 1 <=i<=p, Ei = Ker(A -<= λi Id)
1.4 TRIGONALISATION (TRIANGULARISATION)
Définition 4.1
Soit A € Mn(R).
On dit que A est trigonalisable s’il existe une matrice inversible P(Matrice de passage) tel que :
A = P A’ P-1 où A ‘ est une matrice triangulaire.
C’est-à-dire : A’ = P-1 A P
De même on dit un endomorphisme u de Rn est trigonalisable s’il existe une base de Rn dans la
quelle la matrice de u est triangulaire.
Théorème 4.2
Une matrice A est trigonalisable ssi toutes les valeurs propres de A sont réelles.