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ALGEBRE ET GEOMETRIE
CHAP I : DIAGONALITE ET TRIGONALITE
I.1 VALEURS PROPRES, ESPACES PROPRES
Définition 1.1
Soit A € Mn(R), une matrice carrée d’ordre n .
On dit que λ est une valeur propre de A s’il existe :X € Rn non nul tel que AX = λX
Définition 1.2
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A.
On dit qu’un vecteur X € Rn\{0} est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ si AX = λX.
Définition 1.3
Soit A € Mn(R), notons u : Rn → Rn l’application qui à X € Rn associé AX alors λ € R ou C est une
valeur propre de A ssi Ker (A- λI1) #{0} autrement dit Ker (u- λI1) # {0}.
Preuve : On sait que λ est une valeur propre de A. ie Э X # 0 tel que que AX = λX.
AX = λX AX- λX = 0 (A- λId)X=0 or X#0 donc A- λId =0 Ker (A- λId) # {0}.
Definition 1.4
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A, le sous espace Ker (A-λId) est appelé sous espace
propre de A associé à la valeur propre λ. Tous les elements sont des vecteurs de A par la valeur
propre λ.
Proposition 1.5
Soit A € Mn(R) et λ1………. Λp des valeurs propres de A deux à deux distincts, alors les espaces
propres Ker(A- λ1Id)……..Ker(A- λpIp) sont en somme directe. Cela signifie que :
Tout X € Ker(A- λId)+………Ker(A- λId) s’écrit d’une manière unique sous la forme :
X=a1+a2+………+ap avec ai € Ker (A-xiId) pour 1<=i<=p.
En particulier des veteurs propres associés où des valeurs propres distincts sont linéairement
indépendants.
Proposition 1.6
Soit A € Mn(R), λ une valeur propre de A et Ex = Ker(A- λId) alors Ex est stable par A ie :
A(Ex) Ⴚ Eλ
Preuve : Soit x € Eλ. Notons u l’application linéaire associé à A ; u(x)=Ax.
Alors u(x) = λx. U[u(x)=u(λx) = λ u(x) → u(x) € Eλ
N.B : En mathématiques, les spectres d’une matrice est l’esemble de ses valeurs propres.
I.2 DIAGONALISATION
Poposition 2.1
Soit A € Mn(R), et λ € R ou C.
Alors est une valeur propre de A si et seulement si dét(A- λId)=0.
Définition 2.2
(1)
A- λId.
Soit A € Mn(R). Le polynome caractéristique de A, PA(x) est le determinant de la matrice
(1)
soit u : Rn→Rn. Le polynome caractériqtique de u est la polynome caractéristique de u dans
une base de Rn. on le note Pu. On admet que Pu ne depend pas du choix de la base .
Remarque : le polynome caractéristique PA est de degré n (parcequ’il ya n lignes n colonnes) et on a :
PA(x) = (-1)n Xn +tr(A) Xn-1 +…..+dét A.
Proposition 2.3
Une matrice et sa transposée ont même polynome caractéristique.
Rappel : Soit P(x) un polynome et alpha une racine de P. On dit que alpha est une racine de
multiplicité m si (x-alpha)m divise P(x) mais (x-alpha)m+1 ne divise pas P(x).
Proposition 2.4
Soit A € Mn(R) et λ une valeur propre de A.
Notons m(λ), la multiplicité de λ comme racine de PA.
Alors 1 <= dim[Ker (A-λId)] <= m(λ).
Remarque : si λ est une racine de PA, alors Ker(A-Id) est de dimension 1.
Théorème 2.5
soit u : Rn→Rn une application linéaire.
On dit que u est diagonalisable s’il verifie l’une des 4 conditions équivalentes suivantes :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Il existe une base de Rn dans la quelle ma matrice u est diagonale
Il existe une base rn formée des veteurs propres de u.
E est la somme directe des sous espaces propres Ker(u-λu) quand λ decrit les valeurs
propres de u.
Les pôlynome Pu est de la forme Pu(x) = (λ1-X)m1…..(λp-X)mp om λ1….λp sont des valeurs
propres U et de mi-dimension dim(u-λiId).
Corollaire 2.6
Toute matrice A € Mn(R) avec n valeurs propres distinctes est diagonalisable. Cette condition
est suffisante mais n’est pas nécessaire : la matrice identité est diagonale mais n’a qu’une seule
valeur propre.
EXERCICES
1. Diagonalisez si possible les matrices suivantes :
a)
(
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
)
b)
(
2
1
-1
½
5/2
-1/2
-1/2
1/2
3/2
)
c)
(
13
16
16
-5
-7
-6
-6
-8
-7
-5
-2
-4
10
-6
16
8
4
10
)
d)
(
)
2. On considère la matrice suivante associée à une application linéaire sur le corps des réels A =
(
1
2
-2
-1
)
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
3. Construire une matrice qui admet les valeurs propres λ1=3, λ2=-1 et λ3=7.
Les vecteurs propres correspondant sont :
⃑⃑⃑⃑ =(1 3 12)
𝑣1
⃑⃑⃑⃑ =(1 0 − 1)
𝑣2
⃑⃑⃑⃑ =(4 1 1)
et 𝑣3
RESOLUTIONDES EXERCICES
11-11-2021
1.3 POLYNOME DES MATRICES
Définition 3.1
Un ondermorphosme est une application d’un espace vectoriel sur lui-même.
Si u est un ubdermosphosme de R1 on note un = u1.u0….. et U0= Id
Si u est une onde de Rn.
Définition 3 .2
Soit une onde, on a alorsb la suite inclusion .
{0} € Ker u2 €…..€ Ker un.
N.B : Le noyau d’une matrice c’est l’ensemble de toutes les images qui renvoient 0.
f : R→R
x→f(x) →Ker f ={f(x)}=0.
En particulier si λ est une valeur propre de u, on a {0} € Ker(u- λ Id) € Ker (u - λ Id)2 ….€ Ker(u- λ Id)k €
R3
Preuve : Soit k € N* et soit x € Ker uk.
Un+1(x)=uk.u(x)=u(uk(x))=u(0)=0→ x € Ker uk+1 ( ?)
Théorème 3.3 : Théorème de cayley-Hamillton
Soit u, une onde de R3 on a alors Pu(u)=0(polynome caractéristique appliquée sur u égale 0)
De même si A € M(R), alors PA(A)=0.
Définition 3.4
Soit A € Mn(R).
On suppose que PA(x)=(-1)n (x- λ1)m1 …. (x- λp)mp
On appelle sous espace catractéristique associé à la vamleur propre λi , les sous espaces vactorielles
Ker (A - λiId)ni identité.
On définit de la même façon les sous espaces caractéristiques pour un andromorphe de R .
Théorème 3.5
Soit A € Mn(R).
On suppose que le PA(x) est de la forme PA(x)=(-1)n(x- λ1)m1…(x- λp)mp avec λi # λj si i # j
Notons Ei = Ker (A- λi Ud)mi pour 1 <= i <= p sous espaces caractéristiques de A on a alors :
(i)
(ii)
(iii)
Rn = E1 ….. Ep
Pour tout 1 <= i <=p ,dim Ei = mi
Si A est diagonalisable, alors pour tout 1 <=i<=p, Ei = Ker(A -<= λi Id)
1.4 TRIGONALISATION (TRIANGULARISATION)
Définition 4.1
Soit A € Mn(R).
On dit que A est trigonalisable s’il existe une matrice inversible P(Matrice de passage) tel que :
A = P A’ P-1 où A ‘ est une matrice triangulaire.
C’est-à-dire : A’ = P-1 A P
De même on dit un endomorphisme u de Rn est trigonalisable s’il existe une base de Rn dans la
quelle la matrice de u est triangulaire.
Théorème 4.2
Une matrice A est trigonalisable ssi toutes les valeurs propres de A sont réelles.
Pratiques de la trigonalisation
Soit A € Mn(R), Avec PA(x)=(-1)n(x- λ1)m1…(x- λp)mp
On contruit alor une base de chaque sous espace caractérisique Ei = Ker (A - λi Id)mi de la manière
suivante :
Si Ei = Ker (A - λi Id) le travail est fini.
Sinon comme Ker (A- λiId) € Ker (A - λi Id)2 en complétant la base de Ker (u - λi Id) précédemment
trouvée et ainsi de suite jusqu’à obtenir une base de Ei.
Si on note u l’application linéaire de matrice A dans la base canonique (si R2 alors ((1,0),
(0,1)) alors la matrice de la restriction de u à Ei dans cette base est de la forme :
Ti =
(
λi
*
*
0
….
*
0
0
λi
)
=λi Imi +Ni qui est triangulaire supérieure et Nimi =0.
Comme Rn est somme directe des espaces Ei , en réunissant toutes ses bases on obtient une base,
dans laquelle la matrice est formée des blocs diagonaux donnée par les Ti.
La matrice est ainsi triangulaire supérieure .
1.5 CALCUL DES PUISSANCES D’UNE MATRICE DIAGONALISABLE OU TRIGONALISABLE
Soit A € Mn(R).
On veut calculer Ak pour tout entier k >= 1.
5.1. Cas où A est diagonalisable :
Alors A = PDP-1 où P est inversible et D est diagonale.
Dans ce cas, Ak = P Dk P-1
De plus si D =
(
)
5.2. Cas où A n’est pas diagonalisable mais trigonalisable
On peut ecrire A sous la forme A =PTP-1 où P est inversible er T est triangulaire. Somme dans 5.1,
Ak = P Tk P-1
Ti= λiId + Ni avec Nimi =0.
Il ne reste plus qu’à calculer Tik = (λiId + Ni)k or Clk=
𝑘!
𝑙!(𝑘−𝑙)!
Tik= ∑𝑘𝑙=0 𝐶𝑘𝑙 (λ𝑖 𝐼𝑑 )𝑘−𝑙 𝑁𝑖𝑙
Or (λ𝑖 𝐼𝑑 )𝑘−𝑙 = (λ𝑖 )𝑘−𝑙 𝐼𝑑 𝑒𝑡 𝑁𝑖𝑙 = 0 𝑠𝑖 𝑙 ≥ 𝑚𝑖
Ainsi si k ≥ 𝑚𝑖, 𝑜𝑛 𝑎 ∶
Tik= ∑ (λ 𝐼𝑑 )𝑘−𝑙 𝑁𝑖𝑙 A FINIR
EXERCICES
(
1. Trigonalisez A =
-8
1
5
2
-3
-1
-4
1
1
)
puis calculer Ak.
2. Soit A une matrice de M3(R) suivante A =
(
0
1
0
-4
4
0
-2
1
2
a) La matrice A est-elle diagonalisable ?
b) Calculer (A-2I3)2 , puis (A-2I3)n pour tout n € N. En deduire A .
)
3. Soit n € N et la matrice A
(
1+m
1+m
1
-m
-m
-1
m
m-1
0
)
a) Factoriser la pôlynome caractéristique de A et montrer que les valeurs propres de A sont 1 et
-1 .
b) Pour quelles valeurs de m la matrice A est-elle diagonale ?(justifier)
4. Triangulariser la matrice A suivante puis calculer A n
a)
(
3
0
-1
2
4
2
-1
0
3
13
-5
-2
-2
7
-8
-5
4
7
)
b)
(
)
RESOLUTION DES EXERCICES
CHAP II : REDUCTION DES ENDOMORPHISMES
II.1. Qu’est-ce que reduire un endomorphisme ?
Soient E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et f un endomorphisme de
E. Si on se place dans une base de E, on peut représenter f par une matrice. Le but de ce
Chapitre est de trouver une base de E telle que la matrice représentant f dans cette base
Soit la plus “simple” possible .
Définition
− on dit que f est diagonalisable, s’il existe une base {ei} de E telle que
− on dit que f est triangularisable (ou trigonalisable), s’il existe une base {ei} de E telle que :
Dans toute la suite, on suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K.
II.2. Applications de la diagonalisation
2.1. Calcul de la puissance d’une matrice
Si A est diagonalisable, il existe P ∈ Gln(K) telle que D = P-1AP soit diagonale.
Alors A = P DP−1 et AK = P DkP−1 pour tout k ∈ N.
La matrice A est alors inversible si, et seulement si, D est inversible et A−1 = P D−1P−1
La formule précédente se généralise alors à k ∈ Z.
4.2. Suites récurrentes lin2aires
Soient a et b deux réels donnés non simultanément nuls.
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 vérifie la relation
un = aun−1 + bun−2, u0 et u1 donnés.
Matriciellement, ceci peut s’écrire :
On est donc ramené à un calcul de puissance de matrice.
Soit (a0, a1, . . . , ak−1) k réels donnés non tous nuls.
Une suite récurrente linéaire d’ordre k vérifie la rélation :
On écrit cette égalité sous forme matricielle et on est encore ramené à un calcul de puissance de
matrice d’ordre k.
C. SYTEME DES SUITES RECURENTES
Illustrons cela par un exemple :
Déterminer les trois suites (un), (vn) et (wn) d´efinies par u0 = 1, v0 = w0 = 0 et
Posons Xn = (un, vn, wn), alors X0 = (1, 0, 0). On pose
Le système s’écrit alors Xn+1 = AXn, d’où, par récurrence, Xn = AnX0. On est ainsi ramené au calcul de An.
D. SYSTEME DIFFERENTIELS A CORFFICIENTS CONSTANTS
On veut résoudre le système différentiel :
avec aij ∈ R et xi: R → R dérivables. On pose A = (aij )1≤i, j≤n et X = t(x1, . . . , xn),alors le système s’écrit
sous forme matricielle
dX/dt = AX.
Supposons A diagonalisable. Il existe alors une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle
que A = PDP−1 , dX/dt = AX= PDP−1X
Si on pose X′ = P−1X, le système devient dX′/dt = DX,
système qui s’intègre facilement car D est diagonale.
2.3 Le théorème de Cayley- Hamilton
Soit E un espace vectoriel sur K et P ∈ K[X] :
ANALYSE MATHEMATIQUE
CHAP 1 : LES SERIES ENTIERES
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Définitions
Rayon de convergence
Propriétés des séries entières et de la fonction somme.
Séries de Taylor
Développement en série des fonctions usuelles.
I.0 Rappel des critères de convergence
a. Critère D’Alambert
Soit une série entière ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
lim
𝑛 +∞
𝐿<1 ,𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝑎𝑛+1
= 𝐿 𝑠𝑖 ∑
𝑎𝑛
𝐿>1,𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
b. Critère de Cauchy
lim 𝑛√𝑎𝑛 = 𝐿 𝑠𝑖 ∑
𝑛 +∞
𝐿<1 ,𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
𝐿>1,𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
Si L = 1 on ne peut pas conclure
I.1 Définitions
On appelle série entière de la variable réelle x, une série dont le terme général est de la forme :
𝑢𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜é𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑎𝑛 é𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 (𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑒𝑠)
Remarquons que la somme partielle de rang n :
𝑆𝑛 (𝑥 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Est un polynôme de degré n.
Les séries entières peuvent donc apparaître comme une extension de la notion des polynômes.
Ainsi la série géométrique des termes générales xn est une série entière convergente pour |x| < 1 est
divergente pour |x| >= 1.
De plus pour |x| < 1, la somme de ma série est :
∞
𝑆 (𝑥 ) = ∑ 𝑥 𝑛 =
𝑛=0
1
1−𝑋
Lorsqu’une série entière est convergente, elle tend vers une fonction de la variable x.
Ainsi si l’une de questions importantes qui se posent lors de l’étude d’une série entière est la
détermination de l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série converge, autrement dit la
caractérisation du domaine de convergence.
On pourra alors dans le domaine de convergence, étudier les propriétés analytiques de la fonction
somme.
I.2 Rayons de convergence
Théorème d’Abel
𝑠𝑜𝑖𝑡 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖è𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑥0 𝑛𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑒.
La série est alors absolument convergente pour toute valeur de x telle que |x| < |x0|.
Définition
Soit R la borne supérieure des nombres r positifs ou nuls tels que la série ∑ |𝑎𝑛 |𝑟 𝑛 converge.
R est donc caractérisé par le fait que :
𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑥| < 𝑅
{
𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑥| < 𝑅
R est dit rayon de convergence de la série.
L’ intervalle ]-R,R[ est l’intervalle, oule domaine de convergence.
N.B : la nature de la série n’est pas déterminée à priori |x| = R. c’est à dire aux extrémités de
l’intervalle de convergence.
Dans ce cas-là une étude spécifique st nécessaire pour chaque cas.
Deux cas particuliers peuvent se présenter :
i)La série entière ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 diverge pour tout x non nul.
Dans ce cas, son rayon de convergence est R = 0.
ii)La série entière ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 converge pour tout x réel
Dans ce cas, son domaine de convergence est l’ensemble des réels. On dira que son rayon de
convergence R est infini.
Détermination du rayon de convergence
Considérons la série entière des termes générales un(x) = anxn et appliquons les critères de D’Alambert
à la série ∑ |𝑢𝑛 | on a :
|𝑢𝑛+1
|𝑎𝑛+1 |
=
|𝑥|
𝑢𝑛
|𝑎𝑛 |
Par conséquent si lim
|𝑎𝑛+1 |
𝑛 +∞ |𝑎𝑛 |
= 𝑙 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 lim
|𝑢𝑛+1 |
𝑛 + ∞ |𝑢𝑛 |
= 𝑙 |𝑥|
Il en résulte d’après le critère de D’Alambert que la série entière (|un|) est :
-
Convergente si l |x| < 1, c’est-à-dire |x| < 1/l.
Divergente si l |x| > 1 , c’est çà dire |x| > 1/l.
D’après la définition du rayon de convergence, on en déduit alors que R = 1/l.
Si l = 0 alors le rayon de convergence est infini.
De même façon, il est possible d’utiliser le théorème de Cochy pour déterminer le rayon de
convergence d’une série entière.
EXERCICES
1. Déterminez le rayon de convergence de la série du terme général
a) 𝑢𝑛 (𝑥) = 𝑛! 𝑥 𝑛
b) 𝑢𝑛 (𝑥) =
c) 𝑢𝑛 (𝑥) =
𝑥𝑛
𝑛!
𝑥𝑛
𝑛.2𝑛
2. Trouver le rayon de convergence de la série entière de terme général 𝑢𝑛 =
𝑥𝑛
𝑛(𝑛+1)
( 𝑛 > 1)
Examiner la convergence de la série x = R, si x = -R.
3. Pour quelles valeurs de x la série ∑
𝑥𝑛
2𝑛
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 − 𝑡 − 𝑒𝑙𝑙𝑒?
Calculer lorsqu’elle existe, la somme 𝑆(𝑥) = ∑∞
𝑛=0
𝑥𝑛
2𝑛
RESOLUTIONS
Exo 3.
|𝑎𝑛+1 |
lim
→
𝑛 +∞ |𝑎𝑛 |
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛+1 2𝑛
𝑥 𝑛 . 𝑥 2𝑛
𝑥
𝑥
𝑛+1
lim 2 𝑛 = lim 𝑛+1 . 𝑛 = lim 𝑛
. 𝑛 = lim =
𝑛 →+∞ 𝑥
𝑛 +∞ 2
𝑛 +∞ 2 . 2 𝑥
𝑛 +∞ 2
𝑥
2
2𝑛
Exo 1.
a) 𝑢𝑛 (𝑥) = 𝑛! 𝑥 𝑛 a = n !
𝑅=
1
𝑙
𝑙=
lim
𝑥 → +∞
(𝑛 + 1)!
=
𝑛!
(𝑛 + 1). 𝑛!
= lim (𝑛 + 1) = +∞
𝑥 → +∞
𝑥 +∞
𝑛!
𝑅=
b) 𝑢𝑛 (𝑥) =
𝑥𝑛
1
= 0.
+∞
a = 1/n !
𝑛!
𝑜𝑛 𝑠𝑎𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑅 =
|𝑎𝑛+1 |
𝑙 = lim
=
𝑥 → +∞ |𝑎𝑛 |
𝑜𝑟 𝑅 =
c) 𝑢𝑛 (𝑥) =
lim
𝑥𝑛
𝑛.2𝑛
.
lim
𝑥 → +∞
1
, 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐷′ 𝐴𝑙𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡 𝑜𝑛 𝑎
𝑙
1
𝑛!
1
( 𝑛 + 1) !
= lim
=
=0 →𝑙=0
1
𝑥 +∞ (𝑛 + 1). 𝑛!
1+∞
𝑛!
1
1
→ 𝑅 = = ∞. 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝑅
𝑙
0
a = 1 / n.2n
1
1
𝑛 . 2𝑛
𝑛
(𝑛 + 1). 2𝑛+1
lim
= lim
.
= lim
𝑛
1
𝑥 → +∞
𝑥 +∞ (𝑛 + 1). 2 . 2
𝑥 +∞ 2𝑛 + 2
1
𝑛 . 2𝑛
𝑛
1
= lim
→𝑙=
𝑥 +∞ 2𝑛
2
|𝑎𝑛+1 |
𝑙 = lim
=
𝑥 → +∞ |𝑎𝑛 |
.
𝑜𝑟 𝑅 =
2. 𝑢𝑛 =
𝑥𝑛
𝑛(𝑛+1)
𝑙 = lim
|𝑎𝑛+1 |
𝑥 +∞ |𝑎𝑛 |
1
1
→𝑅=
= 2. 𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝑅
𝑙
1/2
𝑎𝑛 =
= lim
+∞
1
𝑛(𝑛+1)
1
(𝑛+1)(𝑛+2)
1
𝑛(𝑛+1)
= 1.
D’où R = 1/l = 1/1 = 1.
Cas où x = 1.
𝑢𝑛 =
1𝑛
𝐴𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑒 𝑐𝑟𝑖𝑡è𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐷′ 𝐴𝑙𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡
𝑛(𝑛 + 1)
𝑥 𝑛+1
𝑛
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
𝑙 = lim
= lim
. 𝑥 = 𝑥 → |𝑥| < 1 𝑥 𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 ] − 1, 1[
𝑛
𝑥
+∞
∞ 𝑛+2
𝑛(𝑛 + 1)
TP :
1. Quel est le rayon de convergence et la somme de la série entière de terme général un = (2n +1) xn
2. Déterminez le rayon de convergence de la série suivante :
𝒏 𝟐𝒏+𝟓
a) ∑∞
𝒏=𝟎 𝟑 𝒙
b)∑∞
𝒏=𝟎
𝒙𝒏
𝒏𝟐
MATHEMATIQUES : SEMESTRE 3
I.4 Series de TAYLOR
Problème:
Soit f une fonction réelle à variable réelle x.
Peut-on trouver une suite réelle (an)m et r >0 tels que :
𝑛
f(x) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈] − 𝑟, 𝑟[?
Si ce problème admet une solution, on dit que f est développable en séries entières au voisinage de 0.
Généralisation :
On peut généraliser cette situation en se posant la même question pour une fonction définie au voisinage
d’un point x0. Existe-t-il une suite (an)m et r >0 tels que :
𝑛
f(x) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈]𝑥0 − 𝑟, 𝑥0 + 𝑟[?
Dans l’affirmatif on dira que f est développable en séries entières au voisinage de X0.
Proposition :
•
Pour qu’une fonction f soit développable en séries entières au voisinage d’un point x0 ∈ 𝑅, il
est nécessaire qu’elle soit de classe 𝐶 ∞ 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 ]𝑥0 − 𝜀, 𝑥0 +
𝜀[ 𝑑𝑒 𝑥0 𝑒𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑜𝑛 𝑎 ∶
f(x) = ∑∞
𝑛=0
•
𝑓(𝑛) (𝑥0 )
𝑛!
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛
Soit f :]r,-r[ →R une application de classe 𝐶 ∞ 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 0.
M>0 tels que pour tout 𝑛 ∈ 𝑁 𝑒𝑡 𝑝ô𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ ] − 𝑟, 𝑟[, |𝑓 (𝑥) (𝑥)| ≤ 𝑀 alors la série
∑∞
𝑛=0
𝑓(𝑛) (0)
𝑛!
𝑥 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ] − 𝑟, 𝑟 [ 𝑒𝑡 𝑜𝑛 𝑎 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑛=0
𝑓 (𝑛) (0)
𝑛!
𝑥 𝑛 , ∀ 𝑥 ∈] − 𝑟, 𝑟[ .
Remarque : Il suffit de vérifier que le reste de Taylor, souvent appelé reste de Mac-Laurin, tend vers 0, c’est-àdire lim
𝑓(𝑛+1) (𝑂𝑥 )
𝑛→+∞
(𝑛+1)!
𝑥 𝑛+1 = 0
I.5 Développement en séries entières au voisinage d’un point X0
Soit x →f(x) est une fonction définie au voisinage d’un point x0 et posons X=x-x0
Définition :
On dit que f est développable en séries entières que voisinage de x0 si la fonction X →f(X+x0) est
développable en série au voisinage de 0. On aura alors :
𝑛
f(X+x0) = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑋 𝑝𝑜𝑢𝑟 |𝑋| ∈ 𝑅
I.5.1. Liste des séries entières
I.5.2. Somation de quelques séries entières
On peut, dans certains cas, reconnaître dans une série entière le développement dans une série connue. Trouver
cette fonction, c’est faire la sommation de la série entière.
Premier exemple :
𝑛
Soit la série entière (∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑋 ), le terme an est de la forme :
𝑎𝑛 =
𝑃(𝑛)
𝑛!
est un polynôme en n de degré m.
On met P(n) sous la forme :
P(n) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑛 + 𝛼2 𝑛(𝑛 − 1) + 𝛼3 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + ⋯ = 𝛼0 + ∑𝑚
𝑘=1 𝛼𝑘 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1)
On a :
P(n) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑘 + 𝛼2 𝑘(𝑘 − 1) + 𝛼3 𝑘(𝑘 − 1)(𝑘 − 2) + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑘!., cette rélation de récurenve permet de
calculer toutes les valeurs de 𝛼𝑘 . On calcule 𝛼0 puis 𝛼1 , puis 𝛼2 jusqu’à 𝛼𝑚 .
Applications: Sommer la série entière suivante
∞
𝒇(𝒙) = ∑(−𝟒𝒏𝟒 + 𝟐𝟓𝒏𝟑 − 𝟒𝟗𝒏𝟐 + 𝟑𝟏𝒏 + 𝟐)
𝒏=𝟎
𝒙𝒏
𝒏!
P(n)=-4n4+25n3-49n2+31n +2=
=𝛼0 + 𝛼1 𝑛 + 𝛼2 𝑛(𝑛 − 1) + 𝛼3 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + 𝛼4 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) =
Pour n = 0, on a : P (0) = 2→ 𝛼0 = 2
Pour n = 1, on a : P (1) = 5→ 𝛼0 + 𝛼1 = 5 → 𝛼1 = 3
Pour n = 2, on a : P (2) = 4→ 𝛼0 + 2𝛼1 + 2𝛼2 = 4 → 2𝛼2 = 4 − 6 − 2 → 𝛼2 = −2
Pour n = 3, on a : P (3) = 5→ 𝛼0 + 3𝛼1 + 6𝛼2 + 6𝛼3 = 4 → 𝛼3 = 1
Pour n = 4, on a : P (4) = -82→ 𝛼0 + 4𝛼1 + 12𝛼2 + 24𝛼3 + 24𝛼4 = −82 → 𝛼4 = −4
Le polynôme devient : P(n) = 2+3n-2n(n-1)+n(n-1)(n-2)-4n(n-1)(n-2)(n-3).
→
∞
𝒇(𝒙) = ∑(−𝟒𝒏𝟒 + 𝟐𝟓𝒏𝟑 − 𝟒𝟗𝒏𝟐 + 𝟑𝟏𝒏 + 𝟐)
𝒏=𝟎
∞
= ∑(
𝒏=𝟎
𝒙𝒏
∞
=𝟐 ∑ ∞
𝒏=𝟎 𝒏! + 𝟑 ∑𝒏=𝟏
𝒙𝒏
𝒙𝒏 𝒙𝟏 𝒙−𝟏
(𝒏−𝟏)!
𝒙𝒏
𝒏!
𝟐 𝟑𝒏 𝟐𝒏(𝒏 − 𝟏) 𝐧(𝐧 − 𝟏)(𝐧 − 𝟐) 𝟒𝐧(𝐧 − 𝟏)(𝐧 − 𝟐)(𝐧 − 𝟑) 𝒏
+
+
+
+
)𝒙
𝒏! 𝒏!
𝒏!
𝒏!
𝒏!
− 𝟐 ∑∞
𝒏=𝟐
𝒙𝒏−𝟏
𝒙𝒏 𝒙𝟐 𝒙−𝟐
(𝒏−𝟐)!
𝒙𝒏−𝟐
+ ∑∞
𝒏=𝟑
𝒙𝒏 𝒙𝟑 𝒙−𝟑
(𝒏−𝟑)!
− 𝟒 ∑∞
𝒏=𝟒
𝒙𝒏−𝟑
𝒙𝒏 𝒙𝟒 𝒙−𝟒
(𝒏−𝟒)!
𝒙𝒏−𝟒
∞
𝟐 ∞
𝟑 ∞
𝟒 ∞
=𝟐 ∑ ∞
𝒏=𝟎 𝒏! + 𝟑𝒙 ∑𝒏=𝟏 (𝒏−𝟏)! − 𝟐𝒙 ∑𝒏=𝟐 (𝒏−𝟐)! + 𝒙 ∑𝒏=𝟑 (𝒏−𝟑)! − 𝟒𝒙 ∑𝒏=𝟒 (𝒏−𝟒)!
Au final f(x)= (2+3x-2x2+x3-4x4) ex.
𝒙𝒏
𝒙𝟐
𝒙𝒏
(formule 𝒆𝒙 = ∑∞
𝒏=𝟎 𝒏! = 𝟏 + 𝒙 + 𝟐! + ⋯ + 𝒏! + ⋯)
Deuxième Exemple :
Soit la série entière ( ∑ 𝑎𝑛 𝑋 𝑛 ), le terme an est de la forme : an = P (n) où P(n) est un polynôme en n de degré m.
On met P(n) sous la forme :
P(n) = 𝛼0 + 𝛼1 (𝑛 + 1) + 𝛼2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) + 𝛼3 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) + ⋯ = 𝛼0 + ∑𝑚
𝑘=1 𝛼𝑘 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) … (𝑛 + 𝑘)
On a :
P(k) = 𝛼0 + 𝛼1 (𝑘 + 1) + 𝛼2 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + 𝛼3 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) + ⋯ + 𝛼𝑘
(𝑘+𝑚)!
𝑘!
, cette relation de
récurrente permet de calculer toutes les valeurs de 𝛼𝑘 . On calcule 𝛼0 puis 𝛼1 , puis 𝛼2 ,…jusqu’à 𝛼𝑚 .
Application: Sommer la série entière suivante
∞
𝒇(𝒙) = ∑(𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝟐𝟎𝒏 + 𝟏𝟏)𝒙𝒏
𝒏=𝟎
P(n)=n3+9n2+20n +11=
=𝛼0 + 𝛼1 (𝑛 + 1) + 𝛼2 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) + 𝛼3 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
Pour n = -1, on a : P (-1) = -1→ 𝛼0 = −1
Pour n = -2, on a : P (-2) = -1→ 𝛼0 − 1𝛼1 = −1 → 𝛼1 = 0
Pour n = -3, on a : P (-3) = 5→ 𝛼0 − 2𝛼1 + 2𝛼2 = 5 → 𝛼2 = 3
Pour n = -4, on a : P (-4) = 5→ 𝛼0 −3𝛼1 + 6𝛼2 − 6𝛼3 → 𝛼3 = 1
Le polynôme devient : P(n) = -1+3(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2) (n+3)
∞
→ 𝒇(𝒙) = ∑(−𝟏 + 𝟑(𝐧 + 𝟏)(𝐧 + 𝟐) + (𝐧 + 𝟏)(𝐧 + 𝟐) (𝐧 + 𝟑))
𝒏=𝟎
𝒏
=− ∑ ∞
𝒏=𝟎 𝒙
+
𝟑 ∑∞
𝒏=𝟎(𝒏
𝒙𝒏
𝒏!
𝒏
𝒙
𝒙
𝒙
∞ 𝒙
+ 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙𝒏 + ∑∞
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟑)𝒙 (formule 𝒆 = ∑𝒏=𝟎 𝒏! = 𝟏 + 𝒙 + 𝟐! + ⋯ + 𝒏! + ⋯)
𝒏
𝟐
𝒏
Les trois sommes se déduisent de la série géométrique :
𝟏
𝒏
*)− ∑∞
𝒏=𝟎 𝒙 = − 𝟏−𝒙
𝒏
**) 𝟑 ∑∞
(hypothèse(n+2) provient d’une dérivée de la forme 𝒙𝒏+𝟐 càd 𝒇′ = (𝒏 + 𝟐)𝒙𝒏+𝟏 , 𝒇′′ = (𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙𝒏)
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙
∞
𝒏
𝒏+𝟐 )′′
→ 𝟑 ∑∞
(on soustrait 1 car c’est le premier terme avec coefficient
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙 = 𝟑(∑𝒏=𝟎 𝒙
𝟎
0, x car c’est le second terme avec coefficient 1, et on garde le dernier terme avec indice 2 ) ∑∞
𝒏=𝟎 𝒙 =
∞
𝟏
𝟏; ∑𝒏=𝟏 𝒙 = 𝒙.
=→
𝒏
𝟑 ∑∞
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙 = 𝟑 (
𝟐(𝟏−𝒙)
𝟑((𝟏−𝒙)𝟒 =
𝟏
𝟏−𝒙
𝟔
(𝟏−𝒙)𝟑
𝟔
𝒏
→∑∞
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)𝒙 = (𝟏−𝒙)𝟑
′′
(−𝟏)
′
𝟏
−𝟐(𝟏−𝒙)(−𝟏)
− 𝟏 − 𝒙) = 𝟑 (− (𝟏−𝒙)𝟐 − 𝟏) = 𝟑 ((𝟏−𝒙)𝟐 − 𝟏) = 𝟑 (
(𝟏−𝒙)𝟒
)=
𝒏
***) ∑∞
(hypothèse(n+2) provient d’une dérivée de la forme 𝒙𝒏+𝟐 càd 𝒇′ = (𝒏 + 𝟑)𝒙𝒏+𝟐, 𝒇′′ =
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟑)𝒙
(𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟐)𝒙𝒏+𝟏 ), 𝒇′′′ = (𝒏 + 𝟑)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)𝒙𝒏 )
∞
𝒏
𝒏+𝟑 )′′′
→ ∑∞
(on soustrait 1 car c’est le premier terme avec
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟑)𝒙 = (∑𝒏=𝟎 𝒙
coefficient 0, x car c’est le second terme avec coefficient 1, x2 car c’est le second terme avec coefficient 2, et
∞
∞
𝟎
𝟏
𝟐
2
on garde le dernier terme avec indice 3) ∑∞
𝒏=𝟎 𝒙 = 𝟏; ∑𝒏=𝟏 𝒙 = 𝒙 ; ∑𝒏=𝟐 𝒙 = 𝒙 .
=→
𝒏
∑∞
=(
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟑)𝒙
′′′
𝟏
𝟏−𝒙
𝟏
′
((𝟏−𝒙)𝟑 − 𝟐) =
−𝟐.𝟑.(𝟏−𝒙)𝟐 (−𝟏)
(𝟏−𝒙)𝟔
=
𝟔(𝟏−𝒙)𝟐
(𝟏−𝒙)𝟔
=
− 𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 )
(−𝟏)
𝟔
(𝟏−𝒙)𝟒
𝟔
𝒏
→∑∞
𝒏=𝟎(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟑)𝒙 = (𝟏−𝒙)𝟒
Au final f(x)= −
𝟏
𝟏−𝒙
𝟔
+ (𝟏−𝒙)𝟑 +
′′
𝟏
′′
= (− (𝟏−𝒙)𝟐 − 𝟏 − 𝟐𝒙) = ((𝟏−𝒙)𝟐 − 𝟏 − 𝟐𝒙) =
𝟔
(𝟏−𝒙)𝟒
Exos
Résoudre l’équation différentielle suivante en utilisant les séries entières
𝒚′′ − 𝒙𝒚 = 𝟎
{ 𝒚(𝟎) = 𝟏 }
𝒚′ (𝟎) = 𝟎
STATISTIQUE INFERENTIELLE
Au terme de ce module l’étudiant doit être capable d’appliquer les outils de la statistique à la maintenance.
Objectifs :
I.
II.
III.
IV.
Généralités
Lois usuelles
Estimations par intervalles de confiance
Fiabilité
CHAP 1. GENERALITES
I.1. Échantillonnage
Exemple
Considérons une production des pièces métalliques dont on mesure le diamètre : c’est une population.
On souhaite connaitre la valeur moyenne µ du diamètre de pièces produites. On suppose que la quantité des
pièces fabriquées est très grande.
Il est impossible et de toute façon trop couteux, d’analyser l’ensemble de la population, On va donc estimer cette
moyenne à partir de n pièces prélevées dans l’ensemble de la production : ces pièces constituent un échantillon
de taille n. La méthode employée pour sélectionner cet échantillon s’appelle l’échantillonnage.
Dans ce chapitre nous allons donner les outils qui permettront d’estimer le caractère d’une population finie ou
infinie à partir d’un échantillon de cette population.
Problème posé :
-
On souhaite étudier un certain paramètre dans une population. Ce paramètre peut être la taille des
enfants congolais qui ont l’âge de 10 ans.
Etudier la durée de vie d’un nouveau modèle d’ampoule électrique
Le revenu annuel d’un ingénieur
Le nombre des fruits par arbre fruitier dans un verger
Définitions :
-
Echantillon :
On appelle échantillon de taille n tout n-uplet d’éléments distincts de la population. Lorsqu’à chaque échantillon
de taille n =, on associe la valeur calculée du paramètre dans l’échantillon, on définit n variables aléatoires X1,
X2, …, Xn, dont les réalisations dans l’échantillon sont X1, X2, …, Xn.
Lorsque l’échantillonnage est satisfait, on peut considérer que ce variables X1, X2, …, Xn, suivent la même loi de
probabilité et sont mutuellement indépendants.
Pour résumer on fabrique souvent une variable aléatoire à partir de X1, X2, …, Xn.
-
Statistique :
On appelle statistique une variable aléatoire ainsi constitué à partir de X1, X2, …, Xn,
I.2. Les statistiques à étudier
Définitions :
1) Soit Xi, la variable aléatoire(v-a) qui à chaque échantillon de taille n associe la ième valeur xi de cet
échantillon.
1
On appelle moyenne de l’échantillon, la statistique X != ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 .
𝑛
2) On appelle variance de l’échantillon, la variable
1
1
𝑛
𝑛
𝑆 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥!)2 =
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 2 − 2𝑥𝑖 𝑥! + 𝑥!2 ) =
1
𝑛
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 2 −
1
𝑛
∑𝑛𝑖=1 2𝑥𝑖 𝑥! +
1
𝑛
∑𝑛𝑖=1 𝑥!2 =
3) On considère un caractère présent ou non chez les individus d’une population.
Soit Xi v-a qui au ième individu de l’échantillon associe la valeur 1 si cet individu présente les caractères étudiés
et 0 sinon.
1
La statistique F donné par : F= ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 est la fréquence de caractère étudié.
𝑛
Notation :
Les caractéristiques de la population seront notées :
N = l’effectif
µ = la moyenne
𝜎 = 𝑒𝑐𝑎𝑟𝑡 𝑡𝑦𝑝𝑒
P = la fréquence du caractère
Les caractéristiques de l’échantillon seront notées :
n = la taille
m = la moyenne
S = l’écart type
Fe= la fréquence du caractère.
I.2.1Moyenne et écart-type de la statistique x !
Les v-a X1, X2, …, Xn, sont indépendantes et suivent la même loi de moyenne et de l’écart type. On a :
E (x !) = µ
Var (x !) =
𝜎 (x !) =
𝜎2
𝑛
n≥30
𝜎
√𝑛
Remarque :
Plus n est grand, plus 𝜎 (x !) =
𝜎
√𝑛
est petit, et plus les valeurs de x ! sont « resserrées » autour de la moyenne.
I.2.1Moyenne et écart-type de la statistique S2
𝑛
𝑆2 =
1
∑(𝑥𝑖 )2 − (𝑥!)2
𝑛
𝑖=1
𝐸(𝑆 2 ) =
𝑛−1 2
𝜎
𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑆 2 ) = 2
𝑛−1 4
𝜎
𝑛2
N.B :
- L’opération de S2 n’est pas 𝜎 2
- La statistique S2 est biaisée
- les lois biais la différence 𝐸(𝑆 2 ) − 𝜎 2
I.2.3 Moyenne et écart-type de la statistique F
Soit Xi v-a qui au ième individu de l’échantillon associe la valeur 1 si cet individu présente les caractères étudiés
et 0 sinon.
La variable Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p dont nous rappelons la loi de probabilité.
x
p (x=1)
On définit la v-a F par : 𝐹
caractère dans l’échantillon.
1
p
0
1-p
1
= ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 , qui à tout tirage aléatoire d’effectif n associe la fréquence f du
𝑛
La variable F est la moyenne arithmétique de n variables déterminés de Bernoulli indépendants et de même loi.
On a :
𝐸(𝐹) = 𝑝
𝑉(𝐹) =
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
EXERCICES
1) L’IMC , l’indice de masse corporelle se calcule en divisant son poids en kg par le carré de sa taille
mesurée en m.
Par exemple l’imc d’une personne mesurant 1,17 m et pesant 65 kilos est : 65/ (1,70)2= 22,49 kilos.
Ce qui est tout à fait normal, car l’imc doit être compris entre 2à et 25.
On suppose que l’imc de la population kinoise suit une loi normale. On mesure l’imc de 5 personnes choisies
au Hazard et on trouve 19,2 ; 21,7 ; 27,3 ; 21,2 ; 20,8.
Calculer la moyenne et l’écart type de l’échantillon.
2) On prélève un échantillon de 1à pièces à la sortie de la chaîne de production. Les résultats sont les
suivants :
N°
Taux en %
1
24,6
2
25,3
3
25,3
4
25,6
5
25,6
6
25,9
7
26
8
24,7
9
24,3
10
24,9
Calculer la moyenne m et l’écart-type S de l’échantillon.
3) Une usine produit des pièces en cuivre calibrées, dont le poids suit une loi normale. On teste le poids
d’un échantillon de 20 pièces.
76,5
76,6
76,8
76,7
76,3
76,5
76,5
76,2
76,4
76,1
76,4
76,6
76,8
76,5
76,7
76,5
76,2
76,7
76,3
76,7
4) Sur un échantillon de 100 clients d’un grand magasin, on obtient une moyenne d’achats de 325$ et un
écart type de 64 $. Estimer la moyenne, la variance et l’écart type des cahats de l’ensemble des clients.
CHAP 2. LOIS USUELLES
II.1. La loi de Laplace-Gauss ou loi normale centrée réduite
Définition:
Une va Z suit une loi normale N(0m, 1α) ou LG(0,1) si sa densité de probabilité est définie par :
𝑓(𝑡) =
1
√2ℼ
𝑒
−𝑡 2
2
La fonction de répartition associée à la loi normale est définie sur R par :
+∞
𝐹(𝑥) = ∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
−∞
N.B : Cette fonction de répartition s’exprime au moyen de tables.
Propriétés :
E(Z)=0 ce qui signifie « centrée »
V(Z)=1 ce qui signifie « réduite »
Une variable aléatoire X suis une loi normale 𝑁(𝜇, 𝜎)𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛𝑛𝑒 𝜇 𝑒𝑡 𝑑 ′ é𝑐𝑎𝑟𝑡𝑡𝑦𝑝𝑒 𝜎 , si la variable aléatoire
𝑋−𝜇
𝑍=
suit la loi normale centrée et réduite.
𝜎
Cette définition permet de calculer les probabilités concernant X grâce aux tables de Z.
Attention : Dans la table de la loi normale N(0,1), on lit les valeurs de F(x)=P(Z≤x).
Par exemple :
P(Z≤1,96)=0.9750
N.B : P(Z≤ -0.31)= 1- P(Z≤ 0.31)=1-0.6217=0.3783.
𝑃(𝜇 − 𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.68
𝑃(𝜇 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 2𝜎) ≈ 0.95
𝑃(𝜇 − 3𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 3𝜎) ≈ 0.997
II.2. La loi du Chi-deux X2
Définition
Soient X1, X2,… Xp, p variables aléatoires indépendants suivant la loi de LG(0,1).
La variable aléatoire X2p= X21+ X22+…+ X2p suit par définition une loi du X2 à p degré de liberté.
Propriétés
E(X2p) = p
V(X2p) = 2p
∝ 2
𝑋
2 1
Attention :
1−∝
𝑋22
∝
2
Dans la table du Chi-deux X2 on lit sur une ligne. (nombre de v de libertés) et d’une colonne (probabilité p) le
« seuil » x à partir duquel p(X2p ≤x)= p, alors p(X2p >x)= 1-p.
Exemple
Pour 1_ dégré de liberté , p(X218 ≤25,989) =0,9
Si on souhaite déterminer deux seuils k1 et k2 tels que p(k1≤ X218 ≤k2) =0,9 de manière équilibrée (probabilité de
0,05 de chaque coté ), on determinara :
K1 tel que p(X218 ≤k1)=0,5
K2
-
II.3. Loi de STUDENT
Définition
Soitent (p+1) variables aléatoires X,X1, X2, … Xp indépendants tels suivant la loi de LG (0,1).
La variable aléatoire :𝑇 =
𝑋
𝑝
𝑋2
√ 𝑖=1 𝑖
𝑝
suit par définition se STUDENT à p ddl.
∑
Remarque
Etant donné la définition de la loi X2, on peut définir la loi de Student par :
𝑇=
𝑋
𝑜ù 𝑋𝑝2 𝑠𝑢𝑖𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑢 𝑋 2 à 𝑝 𝑑𝑑𝑙.
𝑋2
√ 𝑝
𝑝
Propriétés
E(T)=0, p>1
V(T) =
𝑝
, p>2
𝑝−2
Attention
Dans la table de la loi de STUDENT on trouve à l’intersection de la ligne V (nombre de degrés de liberté) et de
la colonne P le seuil k tel que p(-k≤T≤k) = 1-p.
Exemple
Pour 12 ddl, p(-3,055≤T≤3,055)= 1-0,005=0,995.
II.3. Loi de Fisher-Snedecor
Définition
La variable aléatoire F(n1, n2) suit une loi de Ficher-Snedecor à (n1, n2) degrés de liberté si elle peut s’écrire :
𝑋2
1
𝑛1
𝑋2
2
𝑛2
𝐹(𝑛1 𝑛2 ) =
𝑜ù 𝑋12 𝑒𝑡 𝑋22 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙é𝑎𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑠pectivement des
lois du 𝑋 2 à n1 et n2 ddl
Attention
Dans la table de la loi de Ficher-Snedecor on trouve n1 en colonne et n2 en ligne. Donc il n’ya plus de place pour
indiquer quelle valeur de alpha est choisie. La table a donc été donnée pout une valeur de alpha = 5%.
Exemple
Si F suit une loi de Fisher-Snedecor à n1=5 et n2=20 alors p(F > 2,71)=0,5
EXERCICES
1.
Une variable aléatoire X suit une loi normale. Sachant que P(X>4) = 0,8413 et P(X>16) = 0,0228.
Trouver les deux paramètres de la loi à l’aide de la table de la fonction de répartition.
Résolution
On sait que P(X>4)=1-P(X≤4)=0,8413
P(X≤4)=1-0,8413=0.1587
P(X>16)=1-P(X≤16)=0,0228
P(X≤16)=1-0,0228=0,9772
𝑃(
𝑋 − 𝜇 16 − 𝜇
≤
) = 0,9772
𝜎
𝜎
𝑃(
𝑋−𝜇 4−𝜇
≤
) = 0,1587
𝜎
𝜎
16 − 𝜇
= 2 ↔ 2𝜎 + 𝜇 = 16
𝜎
4−𝜇
= −1 ↔ −𝜎 + 𝜇 = 14
𝜎
On a donc 𝜇 = 8 𝑒𝑡 𝜎 = 4
2.
Soit 𝑢 = 100 𝑒𝑡 𝜎 = 15
Calculer :
a) P(X<80)
b) P(90<X<110)
c) P(105<X<110)
Resolution :
𝑋−𝜇
a) 𝑃 (
𝜎
<
80−100
15
) = 𝑃(𝑍 < −1,33) = 𝑃(𝑍 > 1,33) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1,33) = 1 − 0,9082 = 0,0918
𝑃(𝑍 > 𝑎) + 𝑃(𝑍 ≤ 𝑎) = 1.
𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑋−𝜇
b) 𝑃(90 < 𝑋 < 110) = 𝑃(𝑋 < 110) − 𝑃(𝑋 < 90) = 𝑃 (
𝜎
<
110−100
15
𝑋−𝜇
)−𝑃(
𝜎
<
90−100
15
)
= 𝑃(𝑍 < 0,66) − 𝑃(𝑍 < −0,66) = 𝑃(𝑍 < 0,66) − [1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0,66)] = 2𝑃(𝑍 < 0,66) − 1
= 2 ∗ 0.7454 − 1 = 0,4908.
c)
𝑋−𝜇
𝑃(105 < 𝑋 < 110) = 𝑃(𝑋 < 110) − 𝑃(𝑋 < 105) = 𝑃 (
𝜎
<
110−100
15
𝑋−𝜇
)−𝑃(
𝜎
<
105−100
15
)
= 𝑃(𝑍 < 0,66) − 𝑃(𝑍 < 0,33) = 0.7454 − 0,6293 = 0,1161
d) 𝑃(−1,87 ≤ 𝑋 ≤ −1,12)(A FAIRE A LA MAISON)
e) 𝑃(|𝑥| ≤ −0,1)(A FAIRE A LA MAISON)
3.
4.
Quel est le 95 ieme centil de la loi de Fisher avec 10° de dégré du numérateur et 15° de degré du
dénominateur
Quel est le cinquième centil de la loi de Fisher
Résolution
F10 ;15 ;0,05=2,5437
F10 ;15 ;0,95=1/ F15 ;10 ;0,05=1/2,845=0.3514
5.
On suppose que la variable aléatoire F suit la loi de Fisher avec 8 dégrés de libertés au numérateur et
13 dégré de liberté au dénominateur. On cherche des nombres a et b pour lesquelles on aura
P[a<F<b]=0,90
CHAP VI. TRANSFORMEE EN Z
𝑋(𝑍) = −∝ (1 − 𝑘)
𝑧
𝑧
+∝
= −∝ (1 − 𝑘)(& − 𝑘
[𝑧 − (& − 𝑘)]
𝑧−1
EXERCICES – RESOLUTIONS
1.
1. Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes :
a) 𝑋(𝑛) = 0.8𝑛 𝑢(𝑛) → 𝑋(𝑍) =
𝑧
𝑧−0.8
[𝑃𝑅𝑂𝑃𝑅𝐼𝐸𝑇𝐸 𝑎𝑛 =
0.8𝑧
b) 𝑋(𝑛) = 𝑛0.8𝑛 𝑢(𝑛) → 𝑋(𝑍) =
𝑧
𝑧−𝑎
]
[𝑃𝑅𝑂𝑃𝑅𝐼𝐸𝑇𝐸 𝑛𝑎𝑛 =
(𝑧−0.8)2
𝑎𝑧
(𝑧−𝑎)2
]
2. Quelles sont les transformées en z de:
1
𝑧
3
𝑧−
a) 𝑋1 (𝑛) = ( )𝑛 𝑢(𝑛) → 𝑋(𝑍) =
=
1
3
3𝑧
3𝑧−1
[𝑃𝑅𝑂𝑃𝑅𝐼𝐸𝑇𝐸 𝑎𝑛 =
𝑧
𝑧−𝑎
]
1
1
1
1
1
1
𝑧
2
3
2
2
3
6
𝑧−
b) 𝑋2 (𝑛) = ( )𝑛−2 ( )𝑛 𝑢(𝑛) → 𝑋(𝑍) = ( )−2 ( )𝑛 ( )𝑛 = 4( )𝑛 = 4
1
0.8𝑧
3
(𝑧−0.8)2
c) 𝑋3 (𝑛) = 𝑛( )𝑛 𝑢(𝑛) → 𝑋(𝑍) =
1
6
=
24𝑧
6𝑧−1
[𝑃𝑅𝑂𝑃𝑅𝐼𝐸𝑇𝐸 𝑎𝑛 =
𝑧
𝑧−𝑎
]
3. Résoudre, en utilisant la transformée en z, l’équation récurrente 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2 pour tout 𝑛 ∈ 𝑁,
avec la condition initiale 𝑥0 =3 .
• 𝑍(𝑥𝑛+1 ) = 𝑍(𝑥𝑛 + 2)
• 𝑍(𝑥𝑛+1 ) = 𝑍(𝑋(𝑛 + 1))
𝑘−1
𝑘
𝑅𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙 ∶ 𝑍(𝑥(𝑛+𝑘) ) = 𝑧 𝑍(𝑥𝑛 ) − ∑ 𝑥(𝑗) 𝑧 𝑘−𝑗
𝑗=0
1−0
→ 𝑍(𝑥(𝑛+1) ) = 𝑍 (𝑍(𝑥𝑛 )) − ∑1−1
= 𝑍 (𝑍(𝑥𝑛 )) − 𝑥(0) 𝑍 = 𝑍 (𝑍(𝑥𝑛 )) − 3𝑍(1)
𝑗=0 𝑥 (0) 𝑧
𝑧
→ 𝑍(𝑥𝑛 + 2) = (𝑍(𝑥𝑛 ) + 𝑍(2)) = 𝑍(𝑥𝑛 ) + 2
(2)
𝑧−1
(1)=(2)
𝑧
𝑧−1
2𝑧
→ 𝑍 (𝑍(𝑥𝑛 )) − 𝑍(𝑥𝑛 ) = 3𝑍 +
𝑧−1
2𝑧
→ (𝑧 − 1)𝑍(𝑥𝑛 ) = 3𝑍 +
𝑧−1
3𝑍
2𝑧
→ 𝑍(𝑥𝑛 ) =
+
𝑧 − 1 (𝑧 − 1)2
𝑍
𝑧
→ 𝑍(𝑥𝑛 ) = 3
+2
𝑧−1
(𝑧 − 1)2
→ 𝑿𝒏 = 𝟑 + 𝟐𝒏
→ 𝑍 (𝑍(𝑥𝑛 )) − 3𝑍 = 𝑍(𝑥𝑛 ) + 2
4. Résoudre, en utilisant la transformée en z, l’équation récurrente 𝑥𝑛+1 − 2𝑥𝑛 = 2𝑛, avec la
condition initiale 𝑥0 =1 .
• 𝑍(𝑥𝑛+1 ) = 𝑍(𝑍(𝑥𝑛 )) − 𝑍(1)
• 𝑍(2𝑛 + 2𝑋𝑛 ) = 2𝑍(𝑛) + 2𝑍(𝑋𝑛 ) = 2
𝑧
2
(𝑧−1)
+ 2𝑍(𝑋𝑛 )(2)
(1)=(2)
𝑍(𝑍(𝑥𝑛 )) − 𝑍 = 2
𝑧
+ 2𝑍(𝑋𝑛 )
(𝑧−1)2
→ 𝑍(𝑍(𝑥𝑛 )) − 2𝑍(𝑋𝑛 ) = 2
→ (𝑍 − 2) 𝑍(𝑥𝑛 ) = 2
→ 𝑍(𝑥𝑛 ) =
𝑧
+ 𝑍
(𝑧 − 1) 2
𝑧
(𝑧 − 1)
2𝑧
(𝑍 − 2)(𝑧 − 1)
2
*(𝑍−2)(𝑧−1)2 =
𝐴
𝑍−2
+
𝐵
𝑍−1
2
+
2
+ 𝑍
+
𝑍
(𝑍 − 2)
𝐶
(𝑧−1)2
=
𝐴(𝑧−1)2 +𝐵(𝑍−2)(𝑧−1) +𝐶(𝑍−2)
(𝑍−2)(𝑧−1)2
→2 = AZ2 -2AZ + A +BZ2-3BZ+2B+CZ-2C
→2 = (A+B)Z2+(-2A-3B+C)Z +(A+2B-2C)
𝐴 + 𝐵 = 0(1)
−𝐵 + 𝐶 = 0
{−2𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 = 0(2)} → (1)𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝐴 = −𝐵(4) → (4) 𝑑𝑎𝑛𝑠 (2&3) 𝑜𝑛 𝑎 ∶ {
} → 𝐶 = −2(6)
𝐵 − 2𝐶 = 2
𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 = 2(3)
→ 𝐵 = −2 → 𝐴 = 2
A FINIR
2𝑍
(𝑍−2)(𝑧−1)2
*
𝑧
𝑍−2
=
2𝑍
𝑍−2
+
−2𝑍
𝑍−1
+
−2𝑍
(𝑧−1)2
= 2*2n-2-2n
= 2n
Finalement :
X(Z)=
3𝑍
𝑍−2
+
−2𝑍
𝑍−1
+
−2𝑍
(𝑧−1)2
→ 𝒖(𝒏) = 3*2n-2-2n