2`eme partie
Th´eorie ´el´ementaire de la RMN
Dans toute cette partie on consid`ere un noyau atomique suppos´e ponctuel et fixe en un point du
r´ef´erentiel Rdu laboratoire suppos´e galil´een et auquel on attache un rep`ere orthonorm´e direct de
vecteurs de base . Un tel noyau peut ˆetre consid´er´e comme un dipˆole magn´etique ´el´ementaire
rigide de moment magn´etique . En outre,on admet que le noyau poss`ede un moment cin´etique intrins`eque
(ou spin) reli´e au moment magn´etique par la relation (que l’on ne cherchera pas `a´etablir)
(3)
Le facteur appel´e rapport gyromagn´etique est une constante positive ind´ependante du temps.
On n´egligera, tout au long de cette ´etude, le poids du noyau. On rappelle l’expression du moment Mdes
forces exerc´ees par un champ magn´etique sur un dipˆole magn´etique rigide de moment magn´etique
M(4)
d´esignant le produit vectoriel.
Le noyau consid´er´e est soumis `a l’action d’un champ magn´etique ( ) uniforme
et permanent dans Rport´e par l’axe .
En appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique, donner l’´equation r´egissant l’´evolution de .
Montrer que la norme du moment magn´etique ainsi que sa projection sur
la direction du champ magn´etique restent constantes au cours du temps.
Que peut-on dire alors de l’angle entre et ?
D´eterminer les expressions des projections sur et sur du moment magn´etique
en fonction du temps en supposant qu’`a l’instant , et . On pourra poser
avantageusement et r´esoudre l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par .
En d´eduire que le moment magn´etique effectue un mouvement de pr´ecession autour de la
direction de caract´eris´e par un vecteur rotation instantan´e que l’on exprimera en fonction de et .
Calculer num´eriquement ainsi que la fr´equence correspondante en prenant
et . Dans quel domaine du spectre ´electromagn´etique cette fr´equence se situe-t-
elle ?
Au champ magn´etique , on superpose un champ magn´etique uniforme,
perpendiculaire `a et tournant `a la vitesse angulaire . Dans toute la suite, on supposera que
.
Soit Rle r´ef´erentiel anim´e par rapport au r´ef´erentiel Rd’un mouvement de rotation uniforme `a la vitesse
angulaire et auquel on attache le rep`ere orthonorm´e direct de vecteurs de base
. On supposera qu’`a l’instant , les axes des rep`eres et sont confondus. On posera
enfin et .
Exprimer R,d´eriv´ee par rapport au temps du moment magn´etique relativement au
r´ef´erentiel R, en fonction de , et .
En d´eduire R,d´eriv´ee par rapport au temps du moment magn´etique relativement
au r´ef´erentiel R, en fonction de , et .
D´ecrire alors le mouvement de dans le r´ef´erentiel Ren pr´ecisant en particulier la significa-
tion physique du vecteur et en donnant la valeur de l’angle qu’il fait avec l’axe .
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