TANCours de Master à l’École Polytechnique 2014 2015

Théorie algébrique des nombres
Cours de Master à l’École Polytechnique 2014/2015
Gaëtan Chenevier

Table des matières
Chapitre 1. La loi de réciprocité quadratique 1
1. Carrés modulo un entier 1
2. Digression : l’anneau des entiers algébriques 5
3. Congruences dans Z6
4. Sommes de Gauss 7
5. Une démonstration de la loi de réciprocité quadratique 8
6. Symbole de Jacobi 9
7. Complément : la structure de (Z/NZ)×10
8. Exercices 12
Chapitre 2. Géométrie des nombres 17
1. Réseaux de Rn17
2. Lemme du corps convexe de Minkowski 20
3. Quelques applications arithmétiques 22
4. Les nombres premiers de la forme a2+db224
5. Exercices 27
Chapitre 3. Formes quadratiques binaires entières 31
1. Vocabulaire des formes 31
2. Notions d’équivalence entre deux formes 32
3. Entiers représentés par une forme, d’après Lagrange 34
4. L’ensemble des classes de formes de discriminant donné 35
5. Détermination de Cl(D)lorsque le discriminant Dest négatif, d’après Gauss 37
6. Classes ambiguës de discriminant négatif 40
7. Exercices 42
Chapitre 4. Arithmétique des entiers quadratiques imaginaires 45
1. Vocabulaire de l’arithmétique des anneaux 45
2. Anneaux d’entiers quadratiques imaginaires euclidiens 49
3. Digression : application aux équations diophantiennes 51
4. Anneaux d’entiers quadratiques imaginaires factoriels 52
5. Exercices 54
Chapitre 5. L’anneau des entiers d’un corps de nombres 57
1. Les corps de nombres et leurs plongements 57
2. Trace, norme et discriminant : préliminaires algébriques 60
3. Entiers d’un corps de nombres 62
4. Structure additive de OKet discriminant de K65
5. Entiers des corps cyclotomiques 66
6. Exercices 67
Chapitre 6. Finitude du nombre des classes d’idéaux d’un anneau de nombres 71
1. L’ensemble des classes d’idéaux d’un anneau intègre 71
2. Finitude du nombre des classes d’idéaux 72
3. Digression : idéaux contenant un entier 73
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4 TABLE DES MATIÈRES
4. Réalisation géométrique de OK: le plongement canonique 74
5. Exercices 78
Chapitre 7. Factorisation unique des idéaux 81
1. Le groupe des classes d’ideaux d’un corps de nombres 81
2. Idéaux premiers des ordres des corps de nombres 83
3. L’anneau OKest de Dedekind. 85
4. De l’utilité de la décomposition des idéaux 88
5. Application à la détermination de Cl(OK)sur un exemple 90
6. Exercices 91
Chapitre 8. Formes binaires II : composition et genres 93
1. Idéaux des entiers quadratiques imaginaires et formes binaires 93
2. Supplément : identification des classes primitives et des classes opposées 96
3. Composition de Gauss des formes 97
4. Application : cas des nombres de classes impairs 99
5. Genre d’une forme binaire 100
6. Exercices 104
Chapitre 9. Formule du nombre de classes de Dirichlet 107
1. Fonctions Lde Dirichlet 108
2. La fonction zêta des corps quadratiques imaginaires 110
3. Produits eulériens 112
4. Factorisation de la fonction ζd’un corps quadratique imaginaire 114
5. La formule analytique du nombres de classes de Dedekind 117
6. Exercices 117
Annexe A. Problèmes de révisions et examens 121
1. Problèmes de révisions 121
2. Examen 2011-2012 122
3. Examen 2012-2013 124
4. Examen 2013-2014 126
Annexe B. Solutions, indications et corrigés 129
1. Exercices du chapitre 1 129
2. Exercices du chapitre 2 132
3. Exercices du chapitre 3 134
4. Exercices du chapitre 4 136
5. Exercices du chapitre 5 138
6. Exercices du chapitre 6 139
7. Exercices du chapitre 7 142
8. Problèmes de révision 144
9. Corrigé de l’examen 2011-2012 147
10. Corrigé de l’examen 2012-2013 150
11. Corrigé de l’examen 2013-2014 153
Annexe C. Quelques nombres premiers 157
Bibliographie 159

CHAPITRE 1
La loi de réciprocité quadratique
L’objectif principal de ce premier chapitre est de rappeler la théorie des carrés de Z/NZdévelop-
pée par Fermat, Euler, Lagrange, Legendre et Gauss et notamment de démontrer la loi de réciprocité
quadratique, le "theorema aureum" de Gauss, qui en est le résulat central. Nous introduirons au
passage le symbole de Legendre, outil indispensable autant à l’élégance des énoncés qu’aux calculs
pratiques de résidus quadratiques. Gauss a donné six démonstrations de la loi de réciprocité quadra-
tique. Celle que nous présentons est la dernière, basée sur ce que l’on appelle depuis la somme de
Gauss. Il sera commode d’introduire l’anneau des entiers algébriques, un outil dont on aurait pu se
passer pour ce chapitre mais d’une grande importance pour la suite du cours. Enfin, nous terminerons
par un théorème de Gauss sur la structure du groupe (Z/NZ)×des inversibles de l’anneau Z/NZ.
Les résultats de ce chapitre joueront un rôle essentiel dans la théorie des formes quadratiques
binaires, par exemple pour les questions de représentation des entiers sous la forme x2+dy2, et dans
l’arithmétique des corps quadratiques.
Références : — C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae. Un grand classique traduit en français
aux éditions Jacques Gabay. On y trouvera dans les chapitres I, II, III et IV les démonstrations (pour
la plupart originales) de tous les résultats de ce chapitre, et bien plus encore.
— K. Ireland & M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer Verlag
GTM 84. Une excellente présentation, dans le language d’aujourd’hui, avec de multiples notes his-
toriques. Notre présentation de la sixième preuve de Gauss est notamment issue du chapitre 6 de ce
livre. De nombreuses autres démonstrations de la loi de réciprocité quadratique y sont exposées.
— Nous utiliserons librement le language de base de la théorie des groupes, pour lequel le lecteur
pourra se reporter au livre Algebra de Serge Lang aux éditions Addison Wesley.
1. Carrés modulo un entier
Définition 1.1. Soit Nun entier. On dit que a∈Zest un carré modulo N, ou encore un résidu
quadratique modulo N, s’il existe b∈Ztel que a≡b2mod N.
Cette propriété ne dépend bien sûr que de la classe de adans Z/NZ, et il revient au même de
demander que cette classe est le carré d’un élément de l’anneau Z/NZ, c’est à dire de la forme x2
avec x∈Z/NZ. Par exemple, les carrés modulo 5sont (les classes de...) 0,1et −1, et les non-carrés
sont 2et −2. De même, les carrés modulo 8sont 0,1et 4.
Nous allons commencer par étudier le cas essentiel où Nest un nombre premier. Le cas du nombre
premier 2étant trivial, nous supposerons désormais que pest un nombre premier impair. Désignons
par C(p) = {x2, x ∈(Z/pZ)×}l’ensemble des carrés non nuls de Z/pZ.
Proposition 1.2. (i) C(p)a exactement p−1
2éléments, à savoir les classes modulo pdes i2pour
i= 1,2,··· ,p−1
2.
(ii) C(p)est un sous-groupe d’indice 2de (Z/pZ)×: le produit de deux éléments de (Z/pZ)×est
un carré si et seulement s’ils sont soit tous deux des carrés, soit tous deux des non-carrés.
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