cours de mecanisme 2020

MECANISMES
Objectif général: L’étudiant doit être capable d’analyser les mécanismes courants sur les
plans cinématique, dynamique de concevoir des mécanismes simples pour la résolution des
problèmes techniques.
Objectifs spécifiques
Définir les différents couples cinématiques
Expliquer les différents modes de représentations des systèmes mécaniques
Exécuter l’analyse structurale d’un mécanisme
Déterminer le degré de mobilité d’un mécanisme
Exécuter le graphe des liaisons, calculer le degré cyclomatique et de mobilité d’un mécanisme
Construire le schéma cinématique d’un mécanisme
Déterminer l’espace parcouru par différents éléments et point d’un mécanisme
Construire l’épure des vitesses et des accélérations des éléments et des points isolés d’un
mécanisme
Construire les courbes cinématiques
Déterminer les positions, exprimer les vitesses et les accélérations des éléments et des points
isolés d’un mécanismepar la méthode analytique
Contenu du cours
Chap. I Analyse structurale des mécanismes.
Application aux principaux mécanismes courant.
Chap. II Etude cinématique des mécanismes plans par la méthode cinéto-graphique et la
méthode analytique.
Application aux principaux mécanismes.
Chap. III Etude cinématique des mécanismes à cames. (Excentriques)
Chap. IV Etude dynamique des mécanismes courants.
Prérequis
Cinématique et dynamique, mathématique : notion d’intégrale et de dérivation, Analyse
vectorielle etc.
Mode d’Evaluation :
1
Projet individuel sur toute la période à défendre au terme de la période. Il compte pour 60%
des notes de l’UE. Deux évaluations qui comptent pour 40% de la moyenne de l’UE.
Méthodes d’enseignement : méthode interactive, cours magistral travaux dirigés et travaux
pratique
Bibliographie
1234-
Mécanique par les problèmes, A. Campa et autres
Mécanique T-2, René Basquin
Théorie des mécanismes et des machines, I. Artobolevski
Kinematics chains and machine components design Dan B. Marghitu, Elsevier
Academic Press;
Enseignant Dr Ing. Léandre Mathias VISSOH
Maitre-Assistant des Universités du CAMES
2
Chapitre 1
ANALYSE STRUCTURALE DES MECANISMES
1. INTRODUCTION
Un système de corps destiné à transformer le mouvement d’un ou de plusieurs corps en des
mouvements déterminés d’autres corps est appelé mécanisme.
Les mécanismes des machines sont extrêmement variés. Certains d’entre eux ne comportent
que des corps solides. D’autres incluent aussi comme parties intégrantes des corps fluides,
des dispositifs électriques magnétiques et autres. Les mécanismes de cette espèce sont
appelés respectivement hydraulique, pneumatique électriques etc.
Du point de vue fonction, les mécanismes des machines se divisent généralement en :
1- Mécanisme des moteurs et des convertisseurs
Ces mécanismes transforment différentes formes d’énergie en énergie mécanique.
Il s’agit des moteurs à combustion in ternes, des machines à vapeur, des commandes
hydrauliques etc.
2- Mécanismes de transmission
Ils ont pour but de transmettre le mouvement du moteur à la machine technologique ou aux
mécanismes exécutifs qui agissent directement sur le milieu ou sur l’objet de travail. Ils
changent la forme, l’état, la position et la propriété de milieu ou de l’objet. Comme exemple
de mécanismes exécutifs on peut citer les mécanismes des machines-outils qui modifient la
forme de la pièce de métal par enlèvement de copeau de manière à obtenir en définitive le
profil présent.
3- Mécanismes de commande, de contrôle et de régulation
Ils comprennent divers mécaniques servant à contrôler les dimensions de l’article à usiner ;
des palpeurs mécaniques qui placés en aval signalent les écarts des machines-outils par
rapport au programme de coupe préétablie ;
4- Mécanismes d’avance de transport, de stockage, d’alimentation et de triage des
métaux et objets à travailler
3
Il s’agit des trans-traineurs, les élévateurs pour le transport et l’amenée des matériaux, les
grues mécaniques, les mécanismes de triages des produits finis suivant les dimensions, le
poids et la configuration.
5- Les mécanismes automatiques des comptages, de pesage et de conditionnement des
produits finis
Sont employés sur un grand nombre de machines qui sont destinées à la fonction en masse
de mesures des pièces.
Liaison unilatérale/bilatérale
Lorsqu’une liaison du fait même de sa réalisation technologique ne peut pas être rompue (sauf
par destruction du système), elle est dite bilatérale. Dans le cas contraire, la liaison est dite
unilatérale.
Liaison holonome/non holonome
Les liaisons pour lesquelles l’équation de liaison est uniquement fonction des paramètres de
position (équation holonome), est dite liaison cinématique. Sinon, l’équation de liaison est
dite non-holonome.
Par exemple, une liaison pivot, autorise la rotation autour de l’axe du pivot, mais interdit les
autres mouvements, translations, ou rotations autour des deux autres axes. Si les
mouvements relatifs entre les deux solides S1 et S2 sont paramétrés par trois paramètres de
translation et trois paramètres de rotation :
Alors l’existence d’une liaison pivot impose les cinq équations holonomes suivantes :
X= Xo, Y= Yo, Z = Zo, β = βo, γ = γ
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Si cette liaison est motorisée et que le moteur impose une vitesse de rotation w(t), cette
motorisation impose une dernière équation de liaison qui, cette fois, est non-holonome:
En règle générale, un actionneur impose l’évolution temporelle d’un paramètre de position et
conduit donc, quelles que soient les conditions de fonctionnement à des équations nonholonomes.
2. ETUDE STRUCTURALE DES MECANISMES
La structure d'un mécanisme représente "le nombre, le type des éléments d'un mécanisme et la
séquence de leurs contacts ". Par la structure, on détermine les caractéristiques importantes d'un
mécanisme: les types de mouvements, leurs modes de transformation, le degré de liberté. Dans
un mécanisme, l'assemblage mobile des éléments s'accompagne de l'application des liaisons.
La distribution correcte de ces liaisons prédestine essentiellement à la fiabilité du
fonctionnement du mécanisme. Ainsi, il est important de connaître les divers types de
mécanismes modernes, leurs caractéristiques structurales et la singularité de leur construction.
2.1 Notions fondamentales
Pour assurer les processus de production, il faut que les machines réalisent différents
mouvements. La machine se distingue de l'instrument qui accomplit ces mouvements variés.
Elle est définie comme "un système mécanique qui réalise une tâche ou remplit une fonction
spécifique, telle que le travail et la mise en forme des matériaux, le transfert de puissance, la
transmission de forces, la transformation de mouvement". Les machines se composent de
mécanismes. Ces derniers se composent d'éléments qui sont des corps rigides ou fluides. Ces
éléments sont en contact et sont mobiles les uns par rapport aux autres. L'assemblage mobile
de deux éléments en contact d'un mécanisme s'appelle couple cinématique. Les couples
cinématiques peuvent être classés suivant différents critères. Nous nous bornerons à une
classification qui dépend uniquement du degré de liberté d'un couple cinématique, c'est-à-dire
du nombre de coordonnées indépendantes nécessaire à la description de la position relative des
éléments du couple cinématique.
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Tableau 1 Couples cinématique et leurs représentations conventionnelles
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Sur le tableau 1.1 sont présentés divers types de couples cinématiques. Définissons en certains
:
- couple rotoïde (pivot, articulation de rotation) : couple cinématique qui autorise un seul
mouvement de rotation entre deux éléments ;
- couple prismatique (tiroir) : couple cinématique qui autorise seulement une translation
rectiligne entre deux éléments ;
- couple cylindrique (couple verrou, pivot glissant) : couple cinématique dont le degré de liberté
est égal à deux et qui autorise une rotation autour d'un axe combinée avec une translation
indépendante parallèlement à l'axe ;
- couple sphérique : couple cinématique dont le degré de liberté est égal à trois et qui autorise
des rotations indépendantes autour de trois axes concourants ;
-couple hélicoïdal (vis): couple cinématique qui autorise seulement un mouvement de vissage
entre deux éléments ;
- couple plan : couple cinématique dont le degré de liberté est égal à trois et qui autorise le
glissement plan sur plan. On distingue aussi les couples cinématiques inférieurs et supérieurs ;
- couple cinématique inférieur (couple d'emboîtement) : couple cinématique réalisé par un
contact le long d'une surface (par exemple, couples rotoïde, prismatique, sphérique, hélicoïdal,
plan) ;
- couple cinématique supérieur : couple cinématique constitué par un contact le long de points
ou de lignes (par exemple, couple "sphère-plan" ou "cylindre-plan").
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8
On appelle chaîne cinématique, un assemblage de couples cinématiques et d'éléments
(membres). On distingue la chaîne cinématique fermée dont tout élément (lien) est uni à au
moins deux autres éléments et la chaîne cinématique ouverte dans laquelle au moins un lien
ne comporte qu'un seul élément de couple cinématique.
Ainsi, la chaîne cinématique dont un de ses composants (éléments) est relié à un bâti est un
mécanisme. Chaque mécanisme a un (ou plusieurs) élément d'entrée (menant) par lequel le
mouvement et la force sont introduits dans le mécanisme et un (ou plusieurs) élément de sortie
(mené) par lequel les forces et les mouvements requis sont obtenus.
Pour représenter des mécanismes, on utilise des termes connus dans le domaine de la théorie
des mécanismes et des machines, On note :
- bâti : élément de mécanisme supposé fixe ;
- barre : membre (membrure) qui comporte uniquement des joints (couples) de rotation ;
- manivelle: membre qui tourne complètement autour d'un axe fixe ;
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- levier (balancier) : membre qui oscille autour d'un axe de rotation fixe entre deux angles
limites ;
- barre de couplage (membre flottant, bielle) : membre qui n'est pas directement relié au bâti ;
- coulisseau : membre qui forme un couple prismatique avec un membre et un couple rotoïde
avec un autre membre ;
- coordonnée généralisée : un paramètre ou des variables indépendantes qui déterminent de
façon unique la configuration d'un système ;
- position limite : configuration d'un mécanisme dans laquelle la position d'un membre
particulier, tel que le membre de sortie, atteint une valeur maximale ou minimale ;
- vitesse angulaire: taux de déplacement angulaire par rapport au temps ;
- accélération angulaire: taux de changement de la vitesse angulaire par rapport au temps ;
- mécanisme plan: mécanisme dans lequel tous les points de ses éléments décrivent des
trajectoires situées dans des plans parallèles ;
- mécanisme spatial: mécanisme dans lequel certains points de ses éléments décrivent des
trajectoires non planes ou situées dans des plans non parallèles (les robots).
II.2. Mécanisme idéal et mécanisme réel
Un mécanisme est un système de corps conçu pour transférer des mouvements.
Ainsi, l'idée sur laquelle celui-ci se fonde, a en premier lieu un caractère cinématique. Toutefois,
le mécanisme peut en même temps remplir une fonction de transmission de forces.
Le mécanisme qui effectuerait, avec une précision absolue, les mouvements prescrits et les
relations prescrites entre forces sera un mécanisme "idéal".
On essaie en général de décrire un tel mécanisme à l'aide d'un schéma, lui aussi "idéalisé",
dans lequel les éléments sont absolument rigides à longueurs fixes, sans aucune déformation,
les liaisons sont idéales: sans frottement ni jeux.
Evidemment, si on réussissait à créer un mécanisme suivant un tel schéma idéalisé, celui-ci
serait capable de remplir idéalement la tâche prescrite. En réalité, le schéma idéalisé ne peut
être adopté que comme une première approximation, et, dans certains cas, comme
approximation principale.
Structure et cinématique des mécanismes examinent essentiellement les méthodes d'études de
tels mécanismes, parce que pour la modélisation plus réelle il faut prendre en compte des
facteurs dynamiques.
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II.3. Construction du modèle de calcul d'un mécanisme
Dans les travaux d'ingénierie, il devient nécessaire de résoudre les deux problèmes essentiels
de l'analyse et de la synthèse. Ceux-ci représentent une unité dialectique des contraires. Ils sont
contraires car mutuellement opposés et sont unis car ces deux problèmes doivent être résolus à
l'aide du même modèle mathématique.
L'analyse et la synthèse des mécanismes sont effectuées en général en plusieurs étapes :
- étude du phénomène ou du processus; acquisition des principes du fonctionnement du
mécanisme; étude de l'interaction des éléments du mécanisme;
- élaboration du modèle physique. Par modèle physique, il faut comprendre le schéma de charge
du mécanisme: découverte de la nature des forces agissant sur les éléments du mécanisme,
précision des propriétés de certains éléments ;
Figure 1.1. Dessin simplifié d'un monocylindre et des schémas cinématiques des mécanismes
- élaboration du modèle mathématique. Par modèle mathématique, on entend les systèmes
d'équations qui caractérise l'évolution des paramètres du mécanisme en étude ;
- détermination des paramètres recherchés.
L'étude du mécanisme commence par la construction du schéma cinématique.
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Elle comprend l'adéquation des éléments et des couples cinématiques. Le schéma cinématique
permet de déterminer le rapport de transmission cinématique entre les paramètres d'entrée et de
sortie du mécanisme.
La figure 1.1 représente un dessin simplifié d'un monocylindre et des schémas cinématiques
associés du mécanisme à manivelle et tiroir et du mécanisme articulé à came assurant le
déplacement des soupapes. Sur les schémas cinétiques les éléments sont répertoriés par des
chiffres et les couples cinématiques par des lettres.
Après la réalisation du schéma cinématique, la première phase de l'étude d'un mécanisme est la
détermination de sa mobilité. Les paragraphes II.4.1 et II.4.2 présentent deux modes de mobilité
des mécanismes.
II.4. Détermination de la mobilité d'un mécanisme
Le degré de mobilité (liberté) d'un mécanisme est le nombre de coordonnées indépendantes
nécessaire pour définir la configuration d'un mécanisme.
Nous considérons deux méthodes de détermination de la mobilité d'un mécanisme. - élaboration
du modèle mathématique. Par modèle mathématique, on entend le système d'équations qui
caractérise l'évolution des paramètres du mécanisme en étude ;
- détermination des paramètres recherchés.
L'étude du mécanisme commence par la construction du schéma cinématique.
Elle comprend l'adéquation des éléments et des couples cinématiques.
Après la réalisation du schéma cinématique, la première phase de l'étude d'un mécanisme est la
détermination de sa mobilité. Les paragraphes II.4.1 et II.4.2 présentent deux modes de mobilité
des mécanismes.
Nous considérons deux méthodes de détermination de la mobilité d'un mécanisme.
II.4.1. Détermination de la mobilité d'un mécanisme selon la méthode Somov-Mertsalov
Chaque élément d'un mécanisme est un corps qui a 6 degrés de liberté dans l'espace. Pour un
mécanisme à n-1éléments mobiles, le nombre maximal de degrés de liberté est égal à 6(n-1).
Si on soustrait de ce dernier le nombre de liaisons (s)assurées par les couples cinématiques et
si on ajoute le nombre de liaisons passives (q) (liaison excédentaires) qui n'ont aucune influence
sur les mouvements du mécanisme, on peut obtenir la formule structurelle de mobilité sous la
forme suivante :
m = 6(n - 1) - s + q
[1.1]
Si, dans cette formule on substitue s par sa valeur :
s = 𝑖=156−𝑖𝑝𝑖
[1.2]
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Où i est la mobilité du couple cinématique et pi le nombre de couples cinématiques à mobilité
égale à i, la formule structurelle de mobilité du mécanisme peut s'écrire sous la forme :
m = 6(n - 1) - ∑5𝑖=1(6 − 𝑖)𝑝𝑖 + q
[1.3]
On utilise cette formule pour les mécanismes spatiaux à chaînes cinématiques fermées. Dans
le cas de mécanismes plans, la formule [1.3] prendra la forme :
m = 3(n - 1) – (3-i)p𝑖=123−𝑖𝑝𝑖 + q
[1.4] et, dans le cas de mécanismes à chaînes
cinématiques ouvertes, on aura :
m = ∑5𝑖=1 𝑖𝑝𝑖
[1.5]
Etudions le problème de la mobilité des mécanismes à l'aide d'exemples.
Pour le mécanisme à manivelle et tiroir du monocylindre de la figure 1.1, le nombre total
d'éléments est 4 (1, 2, 3,4); le nombre de couples rotoïdes est 3; il y a un couple prismatique et
il n'y pas de liaisons passives (q = 0). Ainsi, la mobilité (degré de liberté) d'un tel mécanisme
est égal à :
m = 3(n-1) -2p1 –p2 = 3 (4– 1) – 2*4 – 0 = 1
Pour le mécanisme articulé à came du déplacement des soupapes (cf. figure 1.1) nous avons 7
éléments (4-10), un couple prismatique, 6 couples rotoïdes, et 2 couples de classe "II" (couples
composés par les éléments "5-6" et "9-10").
m = 3(n-1) -2p1 –p2 = 3 (7 – 1) – 2*7 – 2 = 2
Expliquons, pourquoi nous avons obtenu deux degrés de mobilité. La mobilité de ce mécanisme
est représentée par la rotation de la came 5 qui se transfère à la translation de la soupape 10.
Cependant, lors de la translation des mouvements, on forme une rotation supplémentaire du
rouleau 6 autour de son axe qui n'a aucune influence cinématique sur le mouvement principal.
Si on annule cette rotation supplémentaire, en fixant le rouleau sur le levier 7, on obtient un
mécanisme à un seul degré de mobilité.
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Figure 1.2. Schéma cinématique du mécanisme d'un châssis
La figure 1.2 représente un schéma cinématique du mécanisme d'un châssis
d'avion. Dans ce cas, nous avons :
m = 6(n — 1) — 5p1– 4p2 - 3 p3- 2p4–p5= 6 (4 - 1) - 5 x 2 - 3 x 2 = 2
Nous avons aussi une rotation supplémentaire indépendante qui n'est pas liée au
mouvement principal. C'est la rotation de l'élément 3 autour de son axe
longitudinal.
Figure 1.3. Schéma cinématique d'un actionneur de manipulateur
La figure 1.3 représente un schéma cinématique d'un manipulateur. Le nombre
d'éléments est 5; le nombre de couples rotoïdes est 2; il y a un couple prismatique
et un couple sphérique. Ainsi, nous obtenons :
m = P\ +2/>2 + 3Pî +4p4 +5p5 = 1 x 3 + 3 x 1 = 6
Nous avons traité des exemples de mécanismes sans liaisons passives. Mais il
existe également des mécanismes à liaisons passives. Ces liaisons n'ont aucun
effet sur le caractère du mouvement du mécanisme en général, mais il faut prendre
en considération ces liaisons lors du calcul de la mobilité du mécanisme.
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Figure 1.4. Mécanismes à liaison passive
La figure 1.4 représente un système mécanique composé sur la base du mécanisme
parallélogramme. Les longueurs des éléments du mécanisme satisfont les conditions: AB = CD,
AB = EF = CD, AE = BF et ED = FC.
Ainsi, la figure ABCD forme toujours un parallélogramme et, par conséquent, la distance entre
les points F et E reste constante et égale à la distance entre les points A et B ou C et D.
Dans ce cas, lors du calcul du degré de mobilité, il faut prendre en compte la liaison passive EF
:
m = 3(n-1)-2p1 – p2 + χ = 3 x 4 - 2 x 6 + 1 = 1
Sans porter atteinte au caractère du mouvement du mécanisme, on pourra enlever l'élément EF
(ou CD) puisque cet élément qui entre dans le couple cinématique E et F met sur le mouvement
du mécanisme des conditions de liaison considérées comme passives. La présence de liaisons
passives dans les mécanismes exige une précision élevée de fabrication des éléments de couples
cinématiques, afin d'éviter toute charge supplémentaire sur les éléments du mécanisme, par
suite de leur possible déformation. Par exemple, si les relations géométriques susmentionnées
n'étaient plus respectées {AE * FD), la distance EF ne serait plus égal à AB et le mouvement
deviendrait impossible, c'est-à-dire que le nombre de degré de mobilité serait égal à zéro.
Si on ajoute des liaisons passives au mécanisme, celui-ci devient hyperstatique donc plus rigide
que le mécanisme isostatique.
1.4 Mécanisme isostatique ou hyperstatique, lequel choisir ?
La tendance naturelle pour un concepteur est de s’orienter vers un mécanisme isostatique. En
effet, un mécanisme isostatique présente de nombreux avantages:
 Le PFS (ou PFD) permet de déterminer toutes les actions mécaniques de liaison
et donc de faire les choix technologiques adaptés
 Pas de contraintes internes
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 Le montage est facilité car les liaisons n’ont pas besoin d’être parfaitement
positionnées. Le mécanisme trouve « seul » sa position de fonctionnement.
Mais un mécanisme isostatique présente aussi un inconvénient majeur : si une liaison se
détériore, tout le mécanisme est mis hors service. Un concepteur expérimenté pourra
donc dans certaines situations tirer profit des avantages des mécanismes hyperstatiques:
 Le mécanisme est plus rigide car certains degrés de liberté sont bloqués plusieurs fois
 Le mécanisme est plus robuste.
L’inconvénient majeur d’un mécanisme hyperstatique est que le montage nécessite un
soin particulier pour ne pas mettre en place des contraintes internes non souhaitées.
De plus, le calcul des actions de liaisons est plus complexe car il faut prendre en compte la
relation effort/déplacement des pièces mises en jeu.
☺Astuce : dans une phase de bureau d’étude d’avant-projet le palliatif consiste à étudier une
suite de mécanismes isostatiques obtenus en enlevant les blocages surabondants du
mécanisme principal. On dimensionne alors les composants au pire des cas obtenus.
Il n’y a donc pas obligatoirement une solution unique à un problème donnée mais bien
souvent plusieurs solutions acceptables qui ont chacune des avantages et des inconvénients. Il
appartient au concepteur de faire les choix qui lui paraissent les plus adaptés à la situation. La
vie est bien souvent affaire de compromis !
Graphe des liaisons ou graphe de structure.
A l’inverse, lorsqu’on représente un système de solides par un graphe de structure, les sommets
du graphe représentent les solides et les arcs, les liaisons. Ce graphe pourra être complété par
la suite par des arcs parallèles figurant les actions mécaniques.
Sur chaque arc, il y a le nom de la liaison qu’il représente ainsi que les caractéristiques
géométriques. Aux sommets sont placés les symboles alphanumériques désignant les solides.
Le graphe des liaisons permet de représenter la structure des mécanisme. Il permet
d'identifier les différents groupes cinématiques (approximativement les solides) et leurs
liaisons cinématiques.
L'ensemble forme la chaîne cinématique. Cette représentation est l'outil fondamental à
toute étude cinématique et statique.
Les groupes cinématiques sont représentés par des ronds. Les traits entres ces ronds
schématisent les liaisons (d’où le terme de chaîne de solides). Il est judicieux de placer
les groupes en respectant la "structure géographique" du mécanisme.
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Le graphe de structure a deux fonctions principales :
- aider à la détermination de la mobilité du système c’est à dire du nombre minimal de
paramètres permettant de décrire complètement la cinématique du système,
- aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux de la dynamique à utiliser,
des projections à effectuer pour répondre à un problème posé.
Mobilité d’un système
La mobilité d’un système correspond au nombre minimal de paramètres indépendants
nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Dans un mécanisme, chaque
liaison présente un certain nombre de degrés de liberté. Mais la mobilité du système complet
n’est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune des liaisons. Le graphe de structure
sera généralement employé pour déterminer la mobilité du système et choisir les paramètres
indépendants du problème. En effet, lorsque le graphe présente des fermetures, des équations
supplémentaires entre les paramètres apparaissent, ce qui diminue d’autant la mobilité du
système.
 Fermeture géométrique
Lorsque dans le graphe de structure apparaît un chemin fermé, (S1, S2, … ; Sn-1, Sn, S1) alors,
la fermeture géométrique de ce chemin s’écrit :
où (Oi,bi) est le repère, d’origine Oi et de base bi, attaché à chaque solide Si, et où P(bi+1,bi)
est une matrice de changement de base
Les équations scalaires obtenues sont des équations holonomes.
 Fermeture cinématique
Si le chemin fermé possède des liaisons cinématiques, il faut alors écrire une équation de
fermeture cinématique
portant
sur
le torseur cinématique du
chemin fermé
:
{V(Sn/S1)}+{V(S1/S2)}+ … + {V(Sn-1/Sn)}=0
Les équations scalaires obtenues sont des équations non-holonomes.
Il est toujours possible d’écrire une fermeture cinématique à la place d’une fermeture
géométrique. Les équations non holonomes de la fermeture cinématique forment un système
équivalent à celui obtenu par dérivation temporelle des équations holonomes de la fermeture
géométrique.
Le choix d’utiliser une fermeture géométrique ou une fermeture cinématique sera guidé par des
conditions de simplicité de mise en œuvre et conduira souvent à une procédure mixte.
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Calcul de la mobilité
C’est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la
cinématique du système. Pour l’obtenir, il faut suivre la procédure suivante :
En premier lieu, déterminer le nombre maximal de chemins fermés indépendants. Ce nombre
s’appelle le nombre cyclomatique et vaut : µ = nl – nS + 1, avec nl =nombre de liaisons et nS =
nombre de sommets du graphe.
En second lieu, pour chacun de ces µ chemins fermés, il faut écrire les équations de fermeture
et déterminer le rang r du système d’équations obtenu.
Si on note np, nombre total de paramètres de position, qui est égal à la somme des degrés de
liberté de toutes les liaisons du système, la mobilité m du système est alors par définition : m =
np - r
Cette procédure est systématique, mais généralement fastidieuse. Dans la pratique, il n’est pas
nécessaire de paramétrer explicitement tous les degrés de liberté de toutes les liaisons et
d’expliciter ensuite toutes les équations de fermeture. On peut souvent remplacer les chemins
fermés du graphe de structure par une liaison équivalente (voir l’exemple ci-dessous). Ceci
permet de réduire le graphe de structure et d’en déduire un graphe de structure minimal et un
paramétrage minimal.
On peut alors calculer la mobilité en appliquant la procédure décrite ici au graphe de structure
minimal ou bien la déterminer en imaginant le blocage d’un degré de liberté d’une liaison. On
regarde si le système reste mobile ou non. S’il reste mobile, on ajoute un deuxième blocage
d’un nouveau degré de liberté et ainsi de suite jusqu’à immobilité complète du système. La
mobilité est alors le nombre de blocages effectués.
 Mobilité utile et mobilité interne
On peut classer les np paramètres de position en deux catégories suivant qu’ils sont associés à
des liaisons avec l’extérieur du système ou à des liaisons internes au système. Par commodité,
on parlera de paramètres utiles et de paramètres internes.
La mobilité utile peut être trouvée en utilisant la « procédure » du blocage. On observe le
système sous la forme d’une boîte noire dont les seuls degrés de liberté observables et
accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons externes.
 Bilan : Choix d’un paramétrage
• Identifier les solides, identifier les liaisons.
• Tracer le graphe de structure complet.
• Calculer le nombre maximal de chemins fermés indépendants.
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• Réduire le graphe de structure en remplaçant autant de chemins fermés indépendants que
possible par une liaison équivalente.
• Tracer le graphe de structure minimal.
• Choisir un paramétrage minimal associé au graphe de structure minimal.
• Tracer les figures de projection associées au paramétrage choisi.
• Expliciter les équations de fermeture restantes.
Exemple 1 de l'étau de perceuse.
Dessin d'ensemble:
L’étau est composé d’un mors fixe, d’un mors mobile et d’une vis de manœuvre.
Exemple 2 : Presse de modélisme
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Le cas d’une presse de modélisme est présenté ici pour illustrer les principes de la
modélisation cinématique qui ont été évoqués plus haut. Le plan du mécanisme est présenté
ci-dessous. Cet exemple est issu de Mécanique 1, Yves Brémont/Paul Réocreux.
Plan du mécanisme
La presse est constituée d’un bâti, constitué d’une embase 00, d’un plan d’appui 05, de deux
colonnes 01 et 02 et d’une bague supérieure 04. Ces pièces n’ont aucun mouvement relatif.
L’ensemble de ces pièces sera donc noté par (0).
Par ailleurs, la traverse 10, les deux bagues 11, et les deux rondelles 12 et 13 n’ont également
aucun mouvement relatif. L’ensemble de ces pièces sera noté (1).
 Construction du graphe de structure
Nous avons donc 6 solides principaux et 8 liaisons. Ce qui permet de dessiner le graphe de
structure et de choisir les paramètres du mouvement pour chacune des liaisons. On tient
compte du fait que le problème est plan.
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Dans ce graphe apparaissent des chemins fermés. On peut calculer le nombre maximal de
chemins fermés indépendant comme suit :
Nombre de liaisons nl =8
Nombre de sommets ns=6
Nombre de chemins fermés indépendants ou nombre cyclomatique µ = nl -ns +1=3.
Ces chemins fermés permettent d’écrire des équations de fermeture et donc de réduire le nombre
de paramètres nécessaire à la modélisation complète de la cinématique du système. On peut
paramétrer chacune des liaisons puis poser les équations et réduire le nombre de paramètres, ou
analyser le problème et remplacer les chemins fermés par des liaisons équivalentes.
 Réduction du graphe de structure
L’existence de deux liaisons pivots parallèles entre le bâti (0) et la traverse(10) interdit la
rotation autour de ces axes. Ainsi ces deux liaisons parallèles peuvent-elles être remplacées par
une liaison glissière. On élimine ainsi un premier chemin fermé.
Ensuite, la tige 20 est liée à la traverse 10 par deux branches parallèles. Dans chaque branche
on trouve une liaison rotule de centre O (40/10) ou (30/10) puis une liaison appui plan (20/30)
ou (20/40). La mise en série d’une rotule et d’un appui plan est équivalente à une liaison
ponctuelle. Deux liaisons ponctuelles au même point, équivalent à une seule. Ainsi le second
chemin fermé est-il ramené à une unique liaison ponctuelle.
Enfin, le dernier chemin fermé est naturellement réduit en considérant que la traverse sommet
(03), encastrée au bâti, fait partie du bâti.
21
On peut alors dessiner un graphe de structure simplifié, pour lequel est aussi choisi un
paramétrage. Il reste encore un chemin fermé donc des équations de fermeture à poser.
 Construction du graphe cinématique
La modélisation cinématique retenue peut être également représentée à l’aide du schéma
cinématique, pour lequel on place les liaisons aux sommets et les solides sur les arcs du graphe.
Ce graphe permet une meilleure compréhension du fonctionnement du système.
 Mobilité du système
• Nombre total de paramètres np =7
• Nombre de liaisons nl =3
• Nombre de sommets ns =3
• Nombre de chemins fermés indépendants ou nombre cyclomatique µ = nl –ns +1=1
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• Nombre d’équations scalaires de fermeture à écrire n=6 : vecteur translation et vecteur
rotation projetés sur les axes x, y, z.
• Mobilité m = np – r =1
• Mobilité utile : Le paramètre d’entrée est ωz, paramètre de sortie az. Les deux paramètres
sont liés, la mobilité utile est égale à un.
• Mobilité interne : La mobilité interne est alors égale à zéro. Les deux déplacements bx et by
et les trois rotations rx, ry et rz sont bloquées.
Rappels
Les différents types de schémas
 Le schéma de principe
Ce mode de représentation décrit les données nécessaires à la définition du principe de
fonctionnement d’une solution.
 Schéma technologique
Le schéma technologique est une description de la nature et de l’agencement des principaux
composants d’un produit.
 Schéma (cinématique) architectural
23
Il met en évidence la nature et les positions relatives des différentes liaisons élémentaires
 Schéma cinématique minimal
Ce mode de représentation met en évidence les mouvements relatifs entre sous ensemble
cinématique. A la différence du schéma architectural, on ne s’intéresse pas à la réalisation des
liaisons mais uniquement aux mobilités.
Nombre Cyclomatique
• C’est le nombre de chaînes fermés indépendantes dans un graphe
• Théorie des graphes :
• C’est le nombre de circuits indépendants
𝜇 = 𝑁𝐿 − 𝑁𝐶 + 1
24
Analyse cinématique
• Mise en équations cinématiques
IC: Nombre d’inconnus cinématiques, c’est le nombre total de paramètres de liaisons
𝐼𝐶 = ∑ 𝑖𝑘𝑖
𝑖
kI = nombre de liaison de classe Ci
EC: Nombre d’équations cinématiques reliant les paramètres, c’est le nombre d’équations
scalaires issues de la fermeture des chaînes cinématiques.
𝐸𝐶 = 𝑑𝜇 = 𝑑(𝑁𝐿 − 𝑁𝐶 + 1)
d = 6 pour un problème spatial, d=3 pour un problème plan
25
26
27
28
Analyse statique : hyperstatisme
29
Analyse statique : mise en équation
Actions de liaison appliquées
Analyse statique : exemple 1
30
Résumé
Définitions :
Isostatisme : Un mécanisme est dit iso statique lorsque l’ensemble des liaisons mécaniques,
entre pièces qui le constituent, interdit de façon optimale (sans surabondance) certains
degrés de liberté, en vue d’obtenir le ou les mouvement(s) de sortie attendu(s).
31
Hyper statisme: Un mécanisme est dit hyper statique lorsque l’ensemble des liaisons
mécaniques entre pièces qui le constituent interdit de façon surabondante certains degrés
de liberté, en vue d’obtenir le ou les mouvements de sortie attendus (pour des questions de
résistance, de précision, de pièces déformables notamment, pour permettre le
fonctionnement dans certains cas de figure,…).
L’assemblage d’un mécanisme hyperstatique suppose alors une précision d’usinage accrue
des pièces qui le constituent.
Exemple: Une liaison glissière réalisée par - 2 liaisons pivot glissant d’axes parallèles
Ou - 2 liaisons appui plan de normales non parallèles
La recherche d’une liaison isostatique est préférable (simplicité, facilité de réalisation,
économie).
Cependant, on est souvent contraint de la concevoir« hyperstatique » pour répondre à la
qualité du produit exigée par le cahier des charges (rigidité, résistance aux efforts…)
TITRE D’EXEMPLE, on peut calculer ce degré d’hyper statisme de la manière suivante :
La « théorie des mécanismes » permet de déterminer le degré h d’hyper statisme d’une
chaîne cinématique :
32
Un cas d’exemple
Chaines ouvertes
Une chaine de solides S1, S2, S3, …, Sn est dite ouverte si les solides placés à l’extrémité sont
différents
33
Chaine fermée
Une chaine de solides S1, S2, S3, …, Sn est dite fermée si le solide initial est le même que le
solide final.
Chaines complexes
Une chaine de solides S1, S2, S3, …, Sn est dite complexe si elle comporte plusieurs chaines
ouvertes ou fermées.
CHAP 2 ETUDE CINEMATIQUE DES MECANISMES PLANS
I. Cinématique des éléments menants du mécanisme
34
1.1 Définition - généralités
L’étude cinématique d’un mécanisme c’est- à-dire l’étude du mouvement des éléments du
mécanisme sans tenir compte des forces qui produisent ce mouvement, se réduit essentiellement
à 3 problèmes suivants :
a) Recherche des espaces parcourues par les éléments et des trajectoires suivies par les
points des éléments.
b) Recherche des vitesses des points isolés des éléments (plan des vitesses par la méthode
des épures) et des vitesses angulaires des éléments.
c) Recherche des accélérations des points isolés des éléments (plan des accélérations par
la méthode des épures) et des accélérations angulaires des éléments.
Si le mécanisme possède un seul degré de liberté, alors les espaces, les vitesses, et les
accélérations des éléments menés et des points du mécanisme sont fonctions des espaces,
des vitesses et des accélérations de l’un des éléments du mécanisme, considéré comme
menant.
Si le mécanisme possède deux(2) degrés de liberté, alors les espaces, les vitesses et les
accélérations correspondants des éléments du mécanisme considéré comme menés, sont
fonctions des espaces, des vitesses et des accélérations de deux éléments du mécanisme
considérés comme éléments menant.
Le nombre d’éléments menant doit être égal au nombre de degré de mobilité du mécanisme,
on au nombre de coordonnées généralisées du mécanisme.
1.2 Loi du mouvement des éléments menants
Les lois de mouvement des éléments menant peuvent être définies sous forme analytique ;
c’est-à-dire qu’elle définit l’espace parcouru par l’élément menant en fonction du temps. Si
l’élément menant constitue un Couple de rotation avec le bâti (voir figure suivante),
On donne la fonction 𝜑 = 𝜑(𝑡), or 𝜑 est l’angle de rotation de l’élément menant dans le
système de coordonnée fixé xoy lié au bâti et t le temps.
Si l’élément menant forme un couple de translation avec le bâti (voir fig. suivante)
On donne la fonction s=s(t), ou s est l’espace parcouru par un point quelconque A de
l’élément menant dans le système de coordonnée xoy lié au bâti et t le temps.
Les fonctions 𝜑 = 𝜑(𝑡) et s=s(t), peuvent être définies graphiquement sous forme de
courbes (voir figure suivant)
35
A l’aide de ces courbes on définit aisément la valeur numérique de l’angle 𝜑 et dans
l’espace parcouru s pendant un laps de temps désiré, par exemple prenons un point i sur la
courbe 𝜑 = 𝜑(𝑡) l’angle de rotation 𝜑𝑖 de l’élément menant à partir de la position initial
𝜑0 = 0 se détermine 𝜑𝑖− 𝜑0 = 𝑙0 𝜇 ou 𝑙0 est le segment mesuré en mm.
De même le temps 𝑡𝑖 pendant lequel l’élément menant a tourné de l’angle 𝜑𝑖 est égal
𝑡𝑖− 𝑡0 = 𝑎𝜇𝑡 ou a est le segment mesuré en mm.
Dans certains problèmes de construction, la loi du mouvement de l’élément menant peut
être définie sous la forme de fonction des vitesses linéaires v=v(t) ou angulaire w=w(t)
Alors le passage de la fonction des vitesses aux fonctions des espaces se réalise par le calcul
des intégrales
𝑡𝑖
𝜑𝑖− 𝜑0 =∫𝑡𝑜 𝑤(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑖
Si-S0=∫𝑡0 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
Où 𝜑0 , So et t0 sont l’angle, l’espace parcouru et le temps correspondant à la position initiale
de l’élément menant.
Cette intégrale peut se faire de façon graphiquement si l’on connait la fonction w=w(t) ou
v=v(t).
Enfin, si la loi du mouvement de l’élément menant est définie sous la forme des fonctions des
accélérations ε=ε(t), ou a=a(t) on passe aux fonctions des vitesses en calculant les intégrales
𝑡𝑖
wi - w0=∫𝑡0 𝜀(𝑡)𝑑𝑡
,
𝑡𝑖
vi - v0=∫𝑡0 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
w0, v0 et t0 sont la vitesse angulaire, la vitesse linéaire et le temps correspondant à la position
initiale de l’élément menant. En résumé, si la loi du mouvement de l’élément menant est définie
par les fonctions des vitesses ou des accélérations et si les conditions initiales sont connues, on
peut passer aux fonctions des espaces. Cette intégration peut se faire de façon graphique si l’on
connait la courbe de la fonction à intégrer.
A-Intégration graphique
Le problème d’intégration graphique consiste à dresser d’après la courbe donnée d’une fonction
continue y = f(x) la courbe de sa primitive F(x) =∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 .
Autrement dit, il faut construire une courbe y = F(x) telle qu’en tout point x de cette courbe
l’ordonnée soit numériquement égalé à l’aire du trapèze curviligne de base [𝑎 , 𝑥], limité par la
courbe y = f(x).
36
Pour construire approximativement la courbe de la primitive y =F (x), l’aire du trapèze
curviligne correspondant limitée par la courbe y = f(x) est divisée en bandes verticales étroites
à l’aide des parallèles à l’axe des y aux points x0, x1 …. (a = x0 < x1 < x2 < x3< ….). Appliquons
le théorème de la moyenne pour remplacer chacune de ces bandes par un rectangle de surface
égale équivalente ayant la même base et la hauteur égale à f( Tapez une équation ici.
B-Dérivation graphique
Le problème de dérivation graphique consiste à construire d’après la courbe de la fonction y
= f(x) donnée la courbe de sa dérivée Y = f’(x)
Soit la courbe d’équation y = f(x) (voir figure précédent). Pour construire à une échelle connu
e la courbe de sa dérivée, on choisit sur cette courbe un réseau suffisamment serré de points 1,
2, 3, 4, 5 ; . . . . qui comprend autant que possible les points remarquables du graphique. On
mène à la levée par ces points avec le plus grand soin possible les tangentes à la courbe de la
37
fonction. Ensuite les droites P1’, P2’, P3’, P4’, . . . . sont parallèles aux tangentes respectives
jusqu’à leur intersection avec l’axe oy. Les segments à l’axe oy 01’, 02’, 03’, 04’, 05’ , . . .
sont respectivement des grandeurs proportionnelles au vecteur de la dérivée y’= f’(x) aux points
choisis c’est-à-dire sont les coordonnées de la courbe de la dérivée . Par exemple le point 1 de
la figure précédente
OA =𝑙. 𝑡𝑎𝑛 ∝1 = 𝑙 f’(x). Pour tous les autres points on obtient des résultats analogues. Les
points d’intersections 1’’ , 2’’ , 3’’ , 4’’ , … des parallèles menées par les points 1’ , 2’ , 3’ ,
4’ , 5’ , … avec les verticales respectives qui passent par les points 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ;
…appartiennent donc à la courbe de la dérivée y = 𝑙 f’(x)
Si nous relions les points 1’’, 2’’, 3’’, 4’’, … par une ligne dont l’allure tient compte de la
position des points intermédiaires, nous obtenons la courbe approchée de la dérivée y’ à
l’échelle 𝑙. En prenant 𝑙 = 1 on obtient la courbe à l’échelle naturelle.
NB
Pour que le graphique soit plus exact il est recommandé d’établir d’abord la direction de la
tangente et de ne marquer qu’ensuite le point de tangence. A cette fin on divise la courbe de la
fonction donnée en petits arcs qui diffèrent très peu d’un segment de droite. Considérons l’un
de ces arcs AB
38
(Voir fig. suivant) .Considérons une famille de cercles parallèle à la sécante AB Le lien
géométrique des milieux de ces cercles forme une courbe K qui coupe la courbe de la fonction
en C où la tangente est parallèle à la sécante AB Ce procédé permet de déterminer sur chaque
arc le point et la direction correspondant de la tangente.
II VITESSE ET ACCELERATION
II. 1 VITESSE ET ACCELERATIONANGULAIRE ANALOGUE
Il est commode d’exprimer les vitesses et les accélérations, (pendant l’étude cinématique du
mécanisme) des éléments menés et de leurs points en fonction de la rotation 𝜑 ou de l’espace S
parcouru par l’élément menant. Par exemple, si l’angle de rotation 𝜑𝑘 d’un k-ième élément du
mécanisme est donné sous la forme de la fonction 𝜑𝑘 = 𝜑𝑘 (𝜑). La vitesse angulaire ωk de cet
élément peut être exprimée comme suit :
𝑑𝜑𝑘 𝑑𝜑𝑘 𝑑𝜑
𝑑𝜌𝑘
=
=ω
=𝜔𝜔𝜑 =
𝑑𝑡
𝑑𝜑 𝑑𝑡
𝑑𝜑
𝜔𝑘 =
ω 𝜑′𝑘
a)
ou ω est la vitesse angulaire de l’élément menant mesurée en rd/s ;
𝑒𝑡 𝜔𝜑 = 𝜑′𝑘 =
𝑑𝜑𝑘
𝑑𝜌
est la vitesse angulaire du k-ème élément. Elle est sans dimension.
Dérivons l’équation a) par rapport au temps t, nous obtenons la valeur de l’accélération 𝜀𝑘 du
k-ième élément. On a :
𝜀𝑘 =
𝑑𝜔𝜑 𝑑𝜔
𝑑𝜔𝑘 𝑑𝜔𝜔𝜑
=
=𝜔
+
𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝜑
=𝜔
𝑑𝜔𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝜑 𝑑𝑡
+ 𝜀𝜔𝜑
= 𝜔2 𝜀𝜑 + 𝜀𝜔𝜑
𝜀𝑘 = 𝜔2 𝜀𝜑 + 𝜀𝜑 ′ 𝑘
b)
𝜀𝜑 - est l’accélération angulaire analogue du k- ième élément. Elle est en unité de longueur.

VITESSE ET ACCELERATION LINEAIRE ANALOGUE D’UN
POINT M
On déduit de façon analogue les équations de la vitesse et de l’accélération d’un point
quelconque M du k-ième élément. Soit rm le rayon vecteur définissant la position du point m.
De la mécanique théorique on sait que la vitesse vm et l’accélération am du point M s’obtiennent
en dérivant 2 fois de suite le rayon rm par rapport au temps on a :
𝑣𝑀 =
𝑑𝑟𝑀
𝑑𝑡
=
𝑑𝑟𝑀 𝑑𝜑
𝑑𝜑 𝑑𝑡
=ω
𝑑𝑟𝑀
𝑑𝜑
= ω 𝑣𝜑 = ω𝑟′𝜑
c)
39
où ω est la vitesse angulaire de l’élément menant et 𝑣𝜑 = 𝑟′𝜑 =
𝑑𝑟𝑀
𝑑𝜑
est la vitesse angulaire
analogue du point M. Elle est mesurée en unité de longueur. Ainsi donc, la vitesse réelle
𝑣𝑀 du point M est le produit de la vitesse angulaire de l’élément menant par la vitesse
angulaire analogue 𝑣𝜑 du point M.
Dérivant 𝑣𝑀 % au temps, on obtient l’accélération du point M.
𝑎𝑀 =
𝑑𝑣𝜑
𝑑𝑣𝑚 𝑑𝜔𝑣𝜑
𝑑𝜔
=
=𝜔
+
𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝜑
=𝑤
𝑑𝑣𝜑 𝑑𝜑
+ 𝜀𝑣𝜑
𝑑𝜑 𝑑𝑡
= 𝑤2
𝑑𝑣𝜑
+ 𝜀𝑣𝜑
𝑑𝜑
𝑎𝑀 = 𝑤 2 𝑣′𝜑 + 𝜀𝑟′𝜑 = 𝑤 2 𝑟′′𝜑 + 𝜀𝑟′𝜑
d)
Dans le cas général l’accélération d’un point quelconque d’un mécanisme à quatre (4)
composantes : l’accélération normale orientée le long du rayon vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑀 vers son origine,
l’accélération tangentielle perpendiculaire au rayon vecteur ⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑀 , l’accélération relative orientée
suivant le rayon vecteur rm et enfin l’accélération de Coriolis perpendiculaire au rayon vecteur.
Dans ces équations les quantités ω et ε sont les vitesses et les accélérations angulaires des
éléments menant. Les grandeurs ω2 et ε figurant dans cette équation se mesurant en s-2. La
vitesse analogue 𝑣𝜑 se mesure en unité de longueur. La quantité 𝑎𝜑 = 𝑟𝜑" =
𝑑2 𝑟𝑚
𝑑𝜑2
est
l’accélération analogue du point M, mesuré elle aussi en unité de longueur.
On peut déterminer les vitesses et accélérations analogues en utilisant les formules des
différences finis.
Cette dérivée de f (x) est donc la même pour tout x dans [x0; x1]. Si h = x1 - x0, on peut
l’exprimer comme la différence avant
ou comme la différence arrière
Dérivée seconde
40
L’approximation de¨f (x) est donc la meme pour tout x dans [x0; x2]. En version différence
centrée, il vient
Differences avant et arriere
Conclusion
On peut donc toujours exprimer les vitesses et les accélérations de l’élément et de leur point
en fonction des vitesses et des accélérations analogues correspondantes et de la vitesse et de
l’accélération angulaire de l’élément menant du mécanisme.
Si la loi du mouvement de l’élément menant est définie sous la forme de la fonction s= s(t),
avec s l’espace parcouru par l’élément menant. On cherche les vitesses et les accélérations
analogues de manière semblable.
Puisque les vitesses et les accélérations analogues dépendent uniquement de la coordonnée
généralisée et ne dépendent pas du temps, l’étude cinématique du mécanisme peut être réalisée
avec des moyens purement géométriques. A cet effet, si l’élément menant forme un couple de
rotation, on le tourne d’un angle φ et l’on cherche les espaces parcourus par les autres éléments.
Ensuite, si l’on veut connaitre les vitesses et les accélérations d’un kième élément et de son point
M, on cherche les vitesses et les accélérations analogues 𝜔𝜑 , 𝜀𝜑, vφ, et aφ et on les porte dans les
équations a, b, c, d.
41
L’élément menant tournant à une vitesse angulaire ω constante, son accélération angulaire ε est
nulle, on en tire les formules suivantes des vitesses et des accélérations du k-ième élément et
son point M.
 Posons ω = constant et ε = 0
εck= 𝜔2 𝜀𝜑
𝑣𝑀 c = ω 𝑣𝜑
amc = 𝑤 2 𝑣′𝜑
Le mouvement de l’élément menant du mécanisme avec la vitesse angulaire ω = constante et
ε=o porte le nom de mouvement permanent ou fondamental du mécanisme.
Prenons dans les égalités a, b, c, et d la vitesse angulaire 𝑤 =0 et ε≠ 0 les vitesses
𝑤𝑖= 0
εik= εwσ aim=εvσ
vim=0
aim=εvσ
Le mouvement de l’élément menant décrit par l’égalité e à f porte le nom de mouvement initial.
En mouvement initial du mécanisme la vitesse angulaire w de l’élément menant est nulle, il en
résulte que ses accélérations normale, relative et de Coriolis (complémentaire) sont aussi égales
à zéro. Ainsi donc en mouvement initial, les éléments et les points du mécanisme n’ont que des
accélérations angulaires et tangentielles, dont les lignes d’actions se confondent avec celle des
vitesses des points correspondants des éléments.
De cette façon, on peut considérer le mouvement réel de tout mécanisme dans le cas général,
comme étant composé d’un mouvement permanent et d’un mouvement initial les égalités a à d
devenant alors :
εk= 𝜀 𝑖 𝑘 + 𝜀 𝑐 𝑘
wk= 𝑤 𝑐 𝑘
vm= vcm
aM= acM + aiM
Procédant à l’étude du mécanisme en mouvement permanent et faisant intervenir les valeurs
obtenues des vitesses analogues 𝑤𝜑 ,𝑣𝜑 on recherche à l’aide de e les valeurs de εki et de
aiM et, en les portant dans les égalités a à d on détermine la vitesse et accélération réelles des
éléments du mécanisme.
C’est N. Joukovski qui a proposé de considérer le mouvement du mécanisme comme était
composé par un mouvement permanent et un mouvement initial.
La possibilité de considérer séparément les mouvements permanent et initial du mécanisme est
fondamentale lors de l’étude cinématique et dynamique des mécanismes. Grâce à cette méthode
ou arrive à définir les positions, les vitesses, les accélérations des éléments en fonction de la
coordonnée généralisée du mécanisme et non en fonction du temps.
La loi réelle de variation de la coordonnée généralisée en fonction du temps dépend des forces
qui sollicitent le mécanisme et qui y prennent naissance et ne peut être définie qu’une fois
l’étude dynamique terminée. La loi de variation d’une coordonnée généralisée, par exemple de
42
l’angle de rotation φ de l’élément menant en fonction du temps t, 𝜑 = 𝜑(𝑡) on trouve la vitesse
angulaire 𝑤 =
𝑑𝜑
𝑑𝑡
𝑑2 𝜑
, et son accélération angulaire ε = 𝑑𝑡 2 . Ceci fait, on cherche les vitesses et
accélération réelle de tous les éléments du mécanisme en se servant des formules a et b et des
valeurs des vitesses et accélérations analogues obtenues au cours de l’étude cinématique.
III -Détermination des positions des éléments des groupes et tracé des trajectoires suivies
par les points des éléments des mécanismes
Pour résoudre le problème des positions des éléments de mécanisme (établir le plan de
mécanisme), on doit connaitre le schémas cinématique du mécanisme et la fonction des espaces
parcourues par l’élément menant pour le mécanisme à un seul degré de mobilité ou les fonctions
des espaces parcourus par les éléments menant pour les mécanismes à plusieurs degrés de
mobilités. Pour déterminer les positions des éléments du mécanisme on construit son schéma
cinématique. Dans le cas de l’étude graphique, la construction doit se faire à une échelle choisie
à l’avance. Convenons de désigner le facteur d’échelle du mécanisme parce que; c’est le nombre
de mètres d la matière représenté par un millimètre sur le schéma. Donc pour connaître la
longueur réelle d’un segment quelconque représenté sur le schéma, il suffit de mesurer ce
segment en millimètre et de multiplier la longueur obtenue par la quantité µl choisie. Comme
nous l’avons déjà vu pour l’étude cinématique du mécanisme, il suffit d’analyser d’abord le
mouvement permanent et d’admettre que le mouvement de l’élément menant a lieu à une vitesse
constante. Nous allons admettre, au cours de l’étude cinématique du mécanisme, que le
mouvement de son élément menant est toujours uniforme ; s’il n’en est pas ainsi en réalité,
alors, après le mouvement permanent l’attention est portée sur le mouvement initiale du
mécanisme.
Le problème des positions du mécanisme peut être résolu soit par la méthode graphique soit par
la méthode analytique.
Dans ce qui suit nous allons décrire la méthode graphique de résolution des problèmes
du plan des positions des éléments du mécanisme sur l’exemple de figure suivante.
43
Figure Schéma exprimant l’espace parcouru par les points isolés du mécanisme
L’élément menant 2 du mécanisme tourne autour d’un axe fixe A. l’angle de rotation est la
coordonnée généralisée du mécanisme. L’élément 3 forme deux couples de rotations B et C
avec l’élément 2 et l’élément 4 qui tourne autour d’un point fixe D. L’élément 5 constitue deux
couples de rotations C1 et E1 avec les éléments 3 et 6.
Si l’on admet que le mouvement permanent du mécanisme à lieu avec une vitesse angulaire
constante, le point B1 parcourt successivement les positions B1, B2, B3,………… uniformément
espacé sur la circonférence tracée de centre A et ayant le rayon AB1.
L’ordre de construction du plan des positions du mécanisme sera donc le suivant.
Marquons d’abord sur le dessin deux axes fixes A et D puis traçons la circonférence de
rayon égale à la longueur de l’élément AB ; c’est le lieu géométrique des points B. Sur cette
circonférence, marquons les positions B1, B2, B3,…. Du point B pour lesquelles on demande de
savoir les positions des autres éléments du mécanisme.
Pour situer le point C, on trace du centre D, une circonférence C qui représente le premier
lieu géométrique du point C et du centre B1 une circonférence de rayon B1C qui est le deuxième
lieu géométrique des points C. C’est le point d’intersection de C1 des circonférences c et d qui
définit la position du point C1.
Après avoir tracé la droite CD on situe sans difficulté le point E donc pour le deuxième
groupe EF sont connues les positions des couples cinématiques estimé : de l’axe E at de l’axe
B1a du guide.
Il reste à trouver la position de l’axe F1. A cet effet, on trace une circonférence de centre E.
Le point d’intersection de la circonférence e avec la droite B1 définit la position du point F.
44
IV- Détermination des vitesses et accélérations des éléments d’un mécanisme
A- Détermination des vitesses - plan des vitesses
Le plan de vitesse est le diagramme qui permet de déterminer graphiquement à l’aide des épures
la vitesse d’un point de mécanisme étudié. Il se construit si :
a) On connait la vitesse d’un point A de la figure plane et le support de la vitesse d’un
point B.
b) On connait la vitesse d’un point A de la figure plane et la vitesse angulaire instantané
d’un élément.
Pour illustrer examinons l’exemple suivant :
Supposons que la figure ABC effectue un mouvement plan. En un instant donné, la vitesse du
point A est égal à vA ; la vitesse du point B est dirigée suivant la direction k k.
Pour construire le plan des vitesses traçons à partir d’un pôle arbitraire p, le segment pa égal à
vA (vA=μv.pa). Du point p traçons la droite parallèle à la direction de la vitesse du point B et du
point A une droite perpendiculaire au segment AB. L’intersection des deux droites détermine
le point b sur le plan des vitesses. Le vecteur pb correspond à la vitesse du point B. ie VB= μv
(pb).
La vitesse vBA est la vitesse du point B autour de A.
vBA = μv(ab) = ωAB AB = ωABμl(AB)
De la figure précédente, nous avons :
⃗⃗⃗⃗ = 𝑝𝑎
⃗⃗⃗⃗
𝑝𝑏
⃗⃗⃗⃗ + 𝑎𝑏
qui correspond à 𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵𝐴
45
Du plan des vitesses, on obtient immédiatement le module de la vitesse angulaire instantanée
de l’élément AB.
𝜔𝐴𝐵 =
𝑣𝐵𝐴 𝜇𝑣 (𝑎𝑏)
=
𝐴𝐵 𝜇𝑙 (𝐴𝐵)
Pour construire la vitesse du point C il suffit de tracer du point a une droite perpendiculaire à
CA et du point b une autre perpendiculaire à BC. Le segment pc représente la vitesse du point
C.
Pour faciliter le tracé de l’épure des vitesses de tous les éléments du mécanisme, on fait
quelquefois tourner conventionnellement l’épure de 90° dans un sens quelconque. Les
vecteurs vitesses relatives VBA et VCB seront alors parallèles aux droites AB et BC. Une telle
épure est dite épure des vitesses tournées.
La figure suivante représente l’épure des vitesses tournées, sur laquelle les droites de toutes
les vitesses seront tournées de 90° dans le sens anti horaire.
46
Remarque
Tous les vecteurs vitesses absolues des points des éléments ont pour origine le point p de l’épure
des vitesses et tous les vecteurs vitesses relatives relient entre eux les extrémités des vecteurs
vitesse absolues.
B- Détermination des accélérations plan des accélérateurs.
Le plan des accélérations est le diagramme qui permet de déterminer graphiquement
l’accélération de tous les points de la figure plane.
Le plan des accélérations se construit à partir du plan des vitesses en connaissant l’accélération
d’un point quelconque A de la figure et le sens de l’accélération d’un autre point B de la figure.
Pour construire le plan des accélérations, il est conseillé d’utiliser la formule de distribution
des accélérations d’un mouvement plan.
47
𝑎𝑀 = 𝑎𝑂 + 𝑎𝑀𝑂 = 𝑎𝑂 + 𝑎𝑛 𝑀𝑂 + 𝑎 𝑡 𝑀𝑂 =
r1 - rayon vecteur du point M égal à OM.
𝑎𝑀 - accélération totale du point arbitraire M.
𝑎𝑂 - accélération totale du pole O
𝑎𝑛 𝑀𝑂 – accélération centripète (normale) dirigée du point M au pôle O.
𝑎𝑡 𝑀𝑂 – accélération tangentielle (de rotation autour de O) perpendiculaire au rayon vecteur r1.
Dirigé dans le sens de la rotation si le mouvement est accéléré et dans le sens inverse si le
mouvement est retardé.
𝑣2
𝑀
𝑎𝑛 𝑀𝑂 = -𝑤 2 𝑟1 = 𝑤 2 𝑂𝑀= 𝑂𝑀
=
𝑣2𝑀
𝑟1
𝑎𝑡 𝑀𝑂 = 𝜖𝑟1 = 𝜖. 𝑂𝑀
𝑎𝑀 =𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗𝑜 + 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑂
𝑎𝑀 = 𝑎𝑂 + 𝑎𝑀𝑂 = 𝑎𝑂 + 𝑎𝑛 𝑀𝑂 + 𝑎 𝑡 𝑀𝑂
Pour un mouvement composé de translation et de rotation apparait une accélération
𝑐
complémentaire (Coriolis) 𝑎𝑀𝑂
. On a
𝑐
𝑟𝑒𝑙
𝑎𝑀 =𝑎𝑂 +𝑎𝑀𝑂
+ 𝑎𝑀𝑂
48
Exemple
Pour tracer l’accélération de la même figure, supposons connue l’accélération du point A et le
direction de l’accélération du point B (droite M – N). D’un point arbitraire π (pôle des épures
des accélérations) traçons l’accélération 𝑎𝐴 = 𝜇𝑎 (𝜋𝑎)
Nous avons ceci ;
𝑎𝐵 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵𝐴 = 𝑎𝐵 + 𝑎𝑛 𝐵𝐴 + 𝑎𝜏 𝐵𝐴
𝑣2
𝐵𝐴
2
𝑛
𝑎𝐵𝐴
= 𝐴𝐵
= 𝜔𝑖𝑛𝑠𝑡
∗ 𝐴𝐵 =
(𝜇𝑣 (𝑎𝑏))2
𝜇𝑙 (𝐴𝐵)
et 𝑎𝑛 𝐵𝐴 est dirigée vers le centre de courbure, de B vers A. 𝑎𝑛1 =
𝑎𝑛 𝐵𝐴
𝜇𝑎
. Après avoir calculé
le module de l’accélération normale, on trace du point a parallèlement à AB de module 𝑎𝑛1 =
𝑎𝑛 𝐵𝐶
𝜇𝑎
sur la figure de l’épure des accélérations
𝜏
𝑛
L’accélération tangentielle 𝜔𝐵𝐴
est dirigée Perpendiculairement à AB à 𝑎𝐵𝐴
. De l’extrémité
𝑛
𝑎𝐵𝐴 =(𝑎𝑛
̅̅̅̅̅)
traçons la droite perpendiculaire nl
n2
1
A 𝑎𝑛1 et du pole 𝜋 une droite parallèle à NN de
L’accélération du point B. 1mm
a
C
µa m/s2
Le point d’intersection des deux droites détermine le point b. Le segment 𝜋𝑏 représente
l’accélération totale du point B.
𝑎𝑐 = (𝜋𝑏)𝜇𝑎 . L’accélération angulaire instantanée de l’élément AB est
𝜀𝑖𝑛𝑠𝑡 =
𝑎𝜏 𝐵𝐴
𝐴𝐵
𝜇 (𝜋 𝑏)
1
= 𝜇𝑎∙∙(𝐴𝐵)
𝑙
L’accélération du point C
 𝑎𝐶 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝑛 𝐶𝐴 + 𝑎𝜏 𝐶𝐴
𝑛
On calcul 𝑎𝐶𝐴
=
2
𝑣𝐶𝐴
𝜇 2 (𝑐𝑎)2
= 𝜇𝑣 (𝐶𝐴) = 𝜇𝑎 (a𝑛2 ) parallèlement à CA vers le centre de la
𝐶𝐴
𝑙
rotation A
 𝑎𝐶 = 𝑎𝐵 + 𝑎𝑛 𝐶𝐵 + 𝑎𝜏 𝐶𝐵
𝑛
On calcul 𝑎𝐶𝐵
=
2
𝑣𝐶𝐵
𝐶𝐵
𝜇 2 (𝑐𝑏)2
= 𝜇𝑣 (𝐶𝐵) = 𝜇𝑎 (b𝑛3 ) parallèlement à CB vers le centre de la
𝑙
rotation B
𝑎𝜏 𝐶𝐵 ⊥ à (b𝑛3 )
49
Un autre exemple : la figure suivante montre le schéma cinématique d’un mécanisme à six
éléments de classe II, construit à l’échelle 1 mm pour μl m. Il s’agit de chercher les vitesses et
les accélérations des éléments du mécanisme si la manivelle 2 tourne à la vitesse angulaire ω2
et à l’accélération ɛ2.
Cas du coulisseau et de la manivelle
Le plan de vitesse est identique au cas précédent.
Le plan d’accélération se fait comme suit :
⃗ 𝑪=𝒂
⃗ 𝑩 + ⃗𝒂𝒏𝑪𝑩 +𝒂
⃗ 𝝉𝑪𝑩
𝒂
Dans le cas d’un mouvement composé de translation et de rotation apparait l’accélération
⃗ 𝒄𝑪 et l’accélération relative 𝒂
⃗𝒓:
Coriolis 𝒂
⃗ 𝑪=𝒂
⃗ 𝑪𝟏 + ⃗𝒂𝒄𝑪𝑪𝟏 +𝒂
⃗ 𝒓𝑪𝑪𝟏
𝒂
50
Etant donné que l’axe X – X est fixe, on a l’accélération Coriolis égal à zéro
⃗ 𝒄𝑪𝑪𝟏 = 0
𝒂
𝐶1 étant fixe ⃗⃗⃗𝑎𝐶1 = 0 aussi, en définition on :
⃗ 𝑩 + ⃗𝒂𝒏𝑪𝑩 +𝒂
⃗ 𝝉𝑪𝑩 = 𝒂
⃗ 𝒓𝑪𝑪𝟏 = 𝒂
⃗𝑪
𝒂
(//CB)
⃗ 𝑬𝟔 = 𝒂
⃗ 𝑫 + ⃗𝒂𝒏𝑬𝟔 𝑫
𝒂
()
(//xx)
⃗ 𝝉𝑬𝟔 𝑫
+ 𝒂
⃗ 𝑬𝟔 = 𝒂
⃗ 𝑬 + ⃗𝒂𝒄𝑬𝟔 𝑬
; 𝒂
+
⃗ 𝒓𝑬𝟔 𝑬
+ 𝒂
⃗ 𝑫 = 0 on a :
𝒂
Comme
⃗ 𝑬𝟔 = ⃗𝒂𝒏𝑬𝟔 𝑫
𝒂
(//xx)
⃗ 𝝉𝑬𝟔 𝑫 = 𝒂
⃗ 𝑬 + ⃗𝒂𝒄𝑬𝟔 𝑬
𝒂
(//𝑬𝟔 𝑫 →D)
⃗ 𝒓𝑬𝟔 𝑬 ;
+ 𝒂
(𝑬𝟔 𝑫 )
𝒂𝑩 = 𝒘𝟐𝟐 𝒍𝑨𝑩 = 𝒘𝟐𝟐 𝝁𝒍 (AB) = 𝝁𝒂 (𝝅𝒃)
= 𝒘𝟐𝟐 𝒍𝑨𝑬 = 𝒘𝟐𝟐 𝝁𝒍 (AE) = 𝝁𝒂 (𝝅𝒆)
Choisissons les segments (𝜋𝑏) et (𝜋𝑒) respectivement égales à AB et à AE, on a l’échelle des
accélérations 𝜇𝑎 égale 𝝁𝒂 = 𝒘𝟐𝟐 𝝁𝒍
Puisque les accélérations 𝑎𝐵 et 𝑎𝐸 des points B et E en mouvement sont des accélérations
normales, on trace les segments (𝜋𝑏) et (𝜋𝑒) parallèlement à l’axe BE de l’élément 2 ;
l’accélération 𝑎𝐵 est dirigée du point B au point A et l’accélération 𝑎𝐸 du point E au point
A
𝒗𝟐
𝒂𝒏𝑪𝑩 = 𝒍 𝑪𝑩 =
𝑪𝑩
𝝁𝟐𝒗 (𝒃𝒄)𝟐
𝝁𝒍 (𝑪𝑩)
= 𝒘𝟐𝟐 𝝁𝒍
b.𝒏𝟑 =
(𝒃𝒄)𝟐
(𝑩𝑪)
= 𝝁𝒂 .b.𝒏𝟑
(𝒃𝒄)𝟐
(𝑩𝑪)
on mène par le point 𝒏𝟑 une droite dans la direction de l’accélération 𝒂𝝉𝑪𝑩
perpendiculairement à BC.
𝑟
Puis on mène par le point 𝜋 une droite dans la direction de l’accélération 𝑎𝐶𝐶
parallèlement à
1
⃗ 𝑪 du
l’axe x – x. Le point d’intersection c des deux droites définit l’extrémité du vecteur 𝒂
point C
𝒂𝑪 = 𝝁𝒂 (𝝅𝒄)
Ensuite on fait passer du point e une droite dans la direction de l’accélération de Coriolis
𝒂𝒄𝑬𝟔 𝑬 perpendiculairement à 𝑫𝒚 . La valeur de l’accélération𝒂𝒄𝑬𝟔 𝑬 se déduit de la forme
𝒗𝑬
𝒂𝒄𝑬𝟔 𝑬 =2|𝒘𝟔 |𝒗𝑬𝟔 𝑬 =2𝒍
𝑫𝑬
𝝁𝟐 (𝒑𝒆𝟔 )(𝒆𝒆𝟔 )
𝒗𝑬𝟔 𝑬 =2 𝝁𝒗
𝒍
𝑫𝑬𝟔
= 𝝁𝒂 (𝒆𝒌)
51
On matérialise le segment obtenu (𝑒𝑘) sur la droite tracée dans la direction que l’on détermine
à l’aide de la règle selon laquelle pour savoir la direction de Coriolis 𝑎𝐸𝑐 6 𝐸 , il suffit de tourner
le vecteur relation 𝒗𝑬𝟔 𝑬 de 90dans le sens de la vitesse angulaire 𝒘𝟔 de l’élément 6.
Par le point k on mène une droite dans la direction de et l’accélération relation 𝑎𝐸𝑟6 𝐸
parallèle à Dy puis on prend parallèle à l’axe Dy, un segment 𝜋𝑛6 issue du point 𝜋 et
représentant l’accélération normale 𝑎𝐸𝑛6 𝐷 , dont la valeur est égale à :
2
𝑣𝐸
𝐷
𝑎𝐸𝑛6 𝐷 = 𝑙 6
𝐸𝐷
=
𝜇𝑣2 (𝑝𝑒6 )2
𝜇𝑙 (𝐸6 𝐸)
= 𝑊 2 𝜇𝑙
(𝑝𝑒6 )2
(𝐸6 𝐸)
= 𝜇𝑎 (𝜋𝑛6 )
Le vecteur 𝑎𝐸𝑛6 𝐷 va de point 𝐸6 au point D
Par le point 𝑛5 obtenu, on mène une droite dans la direction 𝑎𝐸𝜏 6 𝐷 l’accélération
perpendiculairement à 𝐷𝑦 . Le point d’intersection des droites tracées dans la direction des
accélérations 𝑎𝐸𝑟6 𝐸 et 𝑎𝐸𝜏 6 𝐷 définissent l’extrémité du vecteur accélération absolu
𝑎𝐸6 = 𝜇𝑎 (𝜋𝑒6 ) = 𝒘𝟐𝟐 𝜇𝑙 (𝜋𝑒6 )
Pour tenir compte de l’influence l’accélération angulaire 𝜀2 sur les propriétés cinématiques du
mécanisme, considérons le mouvement initial du mécanisme. Comme on l’a montré aux
chapitres précédents, les vitesses de tous les éléments du mécanisme animé d’un tel mouvement
est égale à zéro. Donc, pour étudier le mouvement initial du mécanisme, il suffit de tracer
l’épure des accélérations du mouvement initial. Comme dans le mouvement initial toutes les
accélérations normales et de Coriolis sont nulles ; les équations nécessaires à la construction de
l’épure des accélérations se présentent comme suit :
𝑟𝑖
𝜏𝑖
𝑛
𝑎𝑐𝑖 = 𝑎𝑐𝑐𝑖
= 𝑎𝐵𝑖 + 𝑎𝐶𝐵
(𝑎𝐶𝐵
= 0)
𝜏𝑖
𝜏𝑖
= 𝑎𝐵𝑟𝑖 + 𝑎𝜏𝑖 ( = 0) +𝑎𝐶𝐵
= 𝑎𝐵𝑟𝑖 +𝑎𝐶𝐵
(𝑎𝐵𝑛𝑖 = 0 )
Et pour le groupe DE
𝑎𝐸𝑖 6 = 𝑎𝐸𝜏𝑖6 𝐷 = 𝑎𝐸𝑖 + 𝑎𝐸𝑟𝑖6 𝐸
Pour la recherche des accélérations des éléments du mécanisme en mouvement initial, il est
possible d’utiliser l’épure des accélérations déjà construites étant donné que les vecteurs
accélérations tangentielles et relatives sont parallèles aux vecteurs vitesses correspondants
On a :
𝑟𝑖
𝜏𝑖
⃗ 𝐵 ; 𝑎𝐶𝐵
⃗ 𝐶𝐵 ; 𝑎𝑐𝑐𝑖
𝑎𝐵𝜏𝑖 // 𝑉
// 𝑉
// 𝑉̅𝑐𝑐1 ; 𝑎𝐸𝑖 6 // 𝑉𝐸6 ; 𝑎𝐸𝜏𝑖6𝐷 // 𝑉𝐸6𝐷 ; 𝑎𝐸𝑖 // 𝑉𝐸 et𝑎𝐸𝑟𝑖6 𝐸 //
𝑉𝐸6𝐸
52
Si l’on choisit le point p de l’épure des vitesses comme origine de l’épure des accélérations
en mouvement initial, et si, l’on prend le segment figurant le vecteur accélération 𝑎𝐵𝑖 égal à
(pb°) = (pb) il vient :
𝑎𝐵𝑖 = 𝜇𝑎° (pb°) = 𝜇𝑎° (pb) où 𝜇𝑎° est l’échelle de l’épure des accélérations en mouvement
initial. On aura respectivement :
𝑟𝑖
𝑎𝑐𝑖 = 𝑎𝑐𝑐𝑖
= 𝜇𝑎° (pc°) = 𝜇𝑎° (pc)
𝜇𝑎° (p𝑒6 )
𝑖
; 𝑎𝐶𝐵
= 𝜇𝑎° (bc°) = 𝜇𝑎° (bc)
; 𝑎𝐸𝑖 6 = 𝑎𝐸𝜏𝑖6 𝐷 = 𝜇𝑎° (p𝑒6 °) =
;
𝑎𝐸𝑖 = 𝜇𝑎° (pe°) = 𝜇𝑎° (pe)
;
𝑎𝐸𝑟𝑖6 𝐸 = 𝜇𝑎° (e°𝑒6 °) = 𝜇𝑎° (e𝑒6 ).
Ainsi donc lorsqu’on recherche les accélérations des éléments du mécanisme en mouvement
initial, on peut se passer de la construction d’une nouvelle épure des accélérations en reprenant
l’épure des vitesses tracée précédemment.
𝑎𝐵𝑖 = 𝑎𝐵𝜏 = 𝜀2 𝐴𝐵 = 𝜀2 𝜇𝑙 (AB) = 𝜇𝑎° (pb°)
𝜇𝑎°
= 𝜀2 𝜇𝑙 or 𝜇𝑎 =
𝑤22 𝜇𝑙
car [ 𝑎𝐵 =
;
(pb°) = (pb) = (AB) il découle que l’échelle
𝑤22 𝜇𝑙 (AB)
= 𝜇𝑎 (AB)
𝜀
donc 𝜇𝑎° = 𝑤22 𝜇𝑎 .
2
Sur la figure suivante sont représentés en trait continu les segments (𝜋b) ; (𝜋c) ; (𝜋e) et
(𝜋𝑒6) figurant à l’échelle 𝜇𝑎 les accélérations des points B, C, E et 𝐸6 en mouvement permanent.
On y a ajouté les segments (cc°) ; (bb°) ; (ee°) et 𝑒6 𝑒6° tracés en pointillés, qui représentent les
accélérations des points C; B; E et 𝐸6 , compte tenu du caractère non uniforme de la rotation de
l’élément menant, soit égal à : 𝑎𝐶 = 𝜇𝑎 (𝜋c°) ; 𝑎𝐵 = 𝜇𝑎 (𝜋b°) ; 𝑎𝐸 = 𝜇𝑎 (𝜋e°) et 𝑎𝐸6 =𝜇𝑎 (𝜋𝑒6° ) .
𝑣C = 𝑣B+ 𝑣CB
//xx
┴CB
𝑣 = 𝑤2 AB
= 𝑤 2 𝜇 e (AB)
(┴CB)
=𝜇 v (AB)
𝝁𝒗 = 𝒘𝟐 𝝁𝒆
53
𝑣𝐸 = 𝑣𝐸5 = 𝑤2 𝐴𝐸
= 𝑤2 𝜇𝑒 (𝐴𝐸)
𝑣𝐸6 = 𝑣𝐷 + 𝑣𝐸6𝐷 |
││
0(┴𝐸𝐷) | 𝝁𝒗 = 𝒘𝟐 𝝁𝒆
𝑣𝐸6 = 𝑣𝐸6𝐷 = 𝑤6(𝐷𝐸)
(┴𝐸𝐷)
|
𝑣𝐸6 = 𝑣𝐸 + 𝑣𝐸6𝐸
(//𝐸6𝐷)
Acceleration
𝑎B = 𝑎A+ 𝑎BA
𝑛
𝜏
= 𝑎𝐵𝐴
+ 𝑎𝐵𝐴
𝑛
= 𝑎𝐵𝐴
=
𝑣𝐴𝐵 2
𝐴𝐵
=
𝑣𝐵 2
𝐴𝐵
=
𝜇𝑣 2 (𝜌𝑏)2
𝜇𝑒 (𝐴𝐵)
=
=
(𝑤2 𝜇𝑒 )2 (𝐴𝐵)2
=
𝜇𝑒
(𝐴𝐵)
= 𝜇𝑎 (𝜋𝑏)
𝜇2 2 𝐴𝐵2
𝜇𝑒 (𝐴𝐵)
𝑤2 2 𝜇𝑒 (𝐴𝐵)2
𝜇𝑒 (𝐴𝐵)
= (𝑤2 2 𝜇𝑒 ) (𝐴𝐵) = 𝜇𝑎 (𝜋𝑏)
𝑎𝐵𝑖 = 𝜀 (𝐴𝐵) = 𝜇𝑎 (𝑏 0 𝑏)
𝝁𝒂 = (𝒘𝟐 𝟐 𝝁𝒆 )
𝑛
𝜏
𝑎C = 𝑎B + 𝑎𝐶𝐵
+ 𝑎𝐶𝐵
(
//𝐶𝐵
)
𝐶→𝐵
𝑛
𝑎𝐶𝐵
=
2
𝑣𝐶𝐵
𝐶𝐵
(┴CB)
2
= 𝑊𝐶𝐵
CB
= 𝑊32 𝜇2 (CB)
=
=
𝜇2 (𝑏𝑐)2
𝜇𝑒 (𝐶𝐵)
𝜇22 𝜇𝑒2 (𝑏𝑐)2
𝜇𝑒 (𝐶𝐵)
= 𝜇22 𝜇𝑒
(𝑏𝑐)2
(𝐶𝐵)
54
= 𝜇𝑎
(𝑏𝑐)2
(𝐶𝐵)
= 𝜇𝑎 (𝑏𝑛1)
(𝒃𝒄)𝟐
(𝒃𝒏𝟏 )=(𝑪𝑩)𝟐
𝐶
𝑟𝑒𝑙
0
𝑎C = 𝑎e1 + 𝑎𝐶𝐶1
+ 𝑎𝐶𝐶1
𝐶
𝑟𝑒𝑙
0
= 𝑎𝐶𝐶1
+ 𝑎𝐶𝐶
𝑟𝑒𝑙
= 𝑎𝐶𝐶1
𝑛
𝜏
𝑟𝑒𝑙
𝑎c= 𝑎𝐵 + 𝑎𝐶𝐵
+ 𝑎𝐶𝐵
= 𝑎𝐶𝐶1
= 𝜇𝑎 (πc)
𝑛
𝜏
𝑎𝐸 =𝑎𝐴 + 𝑎𝐸𝐴
+ 𝑎𝐸𝐴
= 𝑎𝐸5
𝑛
= 𝑎𝐸𝐴
=𝑤22 EA = 𝑤22 𝜇𝑒 (EA)
= 𝜇𝑎 (EA)
// EA
E→A
𝜏
𝑎𝐸6 = 𝑎𝐷 + 𝑎𝐸𝑛6 𝐷 + 𝑎𝐸𝐷
= 𝑎𝐸𝑛6 𝐷 + 𝑎𝐸𝜏 6 𝐷
(//𝐸6 𝐷(┴𝐸6 𝐷)
𝐸5 →D)
𝑎𝐸6 = 𝑎5 + 𝑎𝐸𝑐 5 𝐸 + 𝑎𝐸𝑟𝑒𝑙
5𝐸
(//𝐸5 𝐷)
𝜏
𝑐
𝑟𝑒𝑙
𝑎𝐸6 = 𝑎𝐸𝑛6 𝐷 + 𝑎𝐸𝐷
= 𝑎𝐸 + 𝑎𝐸6 𝐸 + 𝑎𝐸6 𝐸
(//𝐸5 𝐷(┴𝐸5 𝐷)
(//𝐸𝐷)
𝐸5 →D)
𝑛
𝑎𝐸𝐷
=
𝑣𝐸𝐸 2
𝐸𝐷
=
𝜇𝑣 2 (𝜌𝑒6 )2
𝜇𝑒 (𝐸𝐷)
=
𝜇𝑣 2 (𝜌𝑒6 )2
𝜇𝑒 (𝐸𝐷)
=𝜇2 2 𝜇𝑒
(𝜌𝑒6 )2
(𝐸𝐷)
55
= 𝜇𝑎
(𝜌𝑒6 )2
(𝐸𝐷)
= 𝜇𝑎 (𝜋𝑛2 )
𝑎c = 2𝑤
⃗⃗ ⋀ 𝑣rél
aCE5E = 2𝑤6 𝑣
= 2𝑤6 𝜇𝑣 (𝑒𝑒6 )
𝑣𝑒6 = 𝑤6 𝐸𝐷 = 𝜇𝑣 (𝜌 𝑒6 )
𝑤6 =
𝜇𝑣 (𝜌𝑒6 )
𝜇𝑒 (𝐸𝐷)
=
𝜇2 𝜇𝑒 (𝜌𝑒6 )
𝜇𝑒 (𝐸𝐷)
= 𝑤2
(𝜌𝑒6 )
(𝐸𝐷)
rel
aiE6 = aiE6D = aiEiE
+ aiE
rél
aiC = aiCC1
= aiB + aiτ
CB
i rél
i
aiE6 = aiτ
CB = a E + a E6E
rél
aiC = aiCC1
= aiB + aiτ
CB
aCE6E = 2𝑤2
(𝜌𝑒6 )
(𝐸𝐷)
= 2𝑤2 2 𝜇𝑒
= 2𝜇𝑎
𝜇𝑣 (𝑒𝑒6 )
(𝜌𝑒6 )
(𝐸𝐷)
(𝜌𝑒6 )
(𝐸𝐷)
(𝑒𝑒6 )
(𝑒𝑒6 )
(𝜌𝑒6 )
(𝑒𝑒6 )
(𝐸𝐷)
= 𝜇𝑎 (𝑒𝑘)
aCE6E = 𝜇𝑎 2
 Pour tenir compte de l’influence de l’accélération angulaire sur les propriétés
cinématiques du mécanisme, considérons le mouvement initial du mécanisme. Comme
on l’a montré plus haut ; les vitesses de tous les éléments du mécanisme animé d’un tel
mouvement sont égale à zéro. Donc pour étudier le mouvement initial du mécanisme,
56
il suffit de tracer l’épure des accélérations du mouvement initial. Dans le mouvement
initial toute les accélérations normales et de Coriolis sont nulle, les équations
nécessaires à la construction de l’épure des accélérations se présente comme suit ?
 Pour le groupe BC
𝑟𝑖
𝜏𝑖
𝑎𝐶𝑖 = 𝑎𝐶𝐶1
=𝑎𝐵𝑖 + 𝑎𝐶𝐵

Pour le groupe DE
𝑖
𝜏𝑖
𝑟𝑖
𝑎𝐸6
= 𝑎𝐸6𝐷
= 𝑎𝐸𝑖 + 𝑎𝐸6𝐸
L’indice i désigne les vecteurs accélérations du mouvement initial.
Pour la recherche des accélérations des éléments du mécanisme en mouvement initial, il est
possible d’utiliser l’épure des accélérations déjà construite. Etant donné que les vecteurs
accélérations tangentielles et relatives sont parallèles aux vecteurs vitesse correspondants, on
a:
𝜏𝑖
𝑟𝑖
𝑖
𝜏𝑖
𝑎𝐵𝜏𝑖 // 𝑣𝐵 ; 𝑎𝐶𝐵
// 𝑣𝐶𝐵 ; 𝑎𝐶𝐶1
// 𝑣𝐶𝐶1 ; 𝑎𝐸6
// 𝑣𝐸6 ; 𝑎𝐸6𝐷
//𝑣𝐸6𝐷 ;
𝑎𝐸𝑖 // 𝑣𝐸 et𝑎𝑟𝑖 //𝑣𝐸6𝐸 .
Si l’on choisit le point P (de l’épure des vitesses) comme origine de l’épure des accélérations
en mouvement initial, et si l’on prend le segment figurant le vecteur accélération 𝑎𝐵𝑖 égale à
(𝑝𝑏 𝑜 ) = (𝑝𝑏), il vient :
𝑎𝐵𝑖 = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑏 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑏) ou 𝜇𝑎0 est l’échelle de l’épure des accélérations en mouvement initial,
on aura respectivement :
𝑟𝑖
𝑎𝐶𝑖 = 𝑎𝐶𝐶1
= 𝜇𝑎0 (𝑝𝑐 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑐)
𝑖
𝑎𝐶𝐵
= 𝜇𝑎0 = 𝜇𝑎0 (𝑏 0 𝑐 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑏𝑐)
𝑖
𝜏𝑖
𝑎𝐸6
= 𝑎𝐸6𝐷
= 𝜇𝑎0 (𝑝𝑒6 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑒6 )
𝑎𝐸𝑖 = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑒 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑒)
𝑟𝑖
𝑎𝐸6𝐸
=𝜇𝑎0 (𝑒 0 𝑒60 ) = 𝜇𝑎0 (𝑒𝑒6 )
Ainsi donc, lorsqu’on recherche les accélérations des éléments du mécanisme en mouvement
initial, on peut se passer de la construction d’une nouvelle épure des accélérations en
reprenant l’épure des vitesses tracé précédemment. Des conditions
𝑎𝐵𝑖 = 𝑎𝐵𝜏 = 𝜖2 𝜇𝑒 (AB) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑏 0 )
(𝑝𝑏 𝑜 ) = (𝑝𝑏) = (AB)
Il découle que l’échelle 𝜇𝑎0 est égale à :
𝜖
𝜇𝑎0 = 𝜖2 𝜇𝑒 =𝑤22 𝜇𝑎 , car 𝜇𝑎 =𝑤22 𝜇𝑒 .
2
57
Sur la figure C sont représenté en trait continu les segments (πc), (π𝑒), et (π𝑒6 ) figurant à
l’échelle𝜇𝑎 , les accélérations C, B, E, et 𝐸6 en mouvement permanent. On y ajoute les
segments (𝑐𝑐 0 ), (𝑏𝑏 0 ),(𝑏𝑏 0 ), (𝑒6 𝑒60 ) tracé en pointillé, qui représente les
𝑖
accélérations 𝑎𝐶𝑖 ,𝑎𝐵𝑖 , 𝑎𝐸𝑖 𝑎𝐸6
à l’échelle 𝜇𝑎 . Les accélérations réelles des points C, B, E, et𝐸6 ,
compte tenu du caractère non uniforme de la rotation de l’élément menant, sont égales à fig.
c)
𝑎𝐶 = 𝜇𝑎 (π𝑐 0 ) ; 𝑎𝐵 = 𝜇𝑎 (π𝑏 0 ) ; 𝑎𝐸 = 𝜇𝑎 (π𝑒 0 ) ;𝑎𝐸6 = 𝜇𝑎 (π𝑒60 )
Remarque
𝑎𝐵𝑖 = 𝜇𝑎 (𝑏𝑏 0 ) = 𝜇𝑎0 (𝑝𝑏 0 )
𝜖
𝜇𝑎0 =𝑤22 𝜇𝑎
2
𝜇𝑎 (𝑏𝑏 0 ) =
𝜖2
𝜖2
0
0
(𝑝𝑏 0 )
2 𝜇𝑎 (𝑝𝑏 ) ⇒(𝑏𝑏 ) =
𝑤2
𝑤22
Lorsqu’on étudie la cinématique des mécanismes en vue d’application, il est commode
d’adopter la vitesse angulaire 𝑤2 de l’élément menant en mouvement permanent égale à𝑤2 =
1𝑠 −1 . Les échelles 𝜇𝑒 , 𝜇𝑣 , 𝜇𝑎 vérifient alors la condition 𝜇𝑒 = 𝜇𝑣 = 𝜇𝑎
Après avoir tracé l’épure des vitesses et des accélérations dans l’hypothèse de 𝑤2 = 1𝑠 −1 , on
détermine sans difficulté les vitesses et accélération réelles en fonction de 𝑤2 et ϵ2 donné au
chapitre (Vitesse et accélération analogue). Les épures des vitesses et des accélérations qu’on
voit sur la fig. a et b peuvent être assimilées aux épures des vitesses analogues et accélération
analogues.
𝑎𝐵𝑖 = 𝜇𝑎 (𝑏𝑏 0 )= 𝜇𝑎0 (𝑝𝑏 0 )
𝜇𝑎0 =
𝜖2
𝜇
𝑤22 𝑎
𝜇𝑎 (𝑏𝑏 0 ) =
𝜖2
𝜇 (𝑝𝑏 0 )
𝑤22 𝑎
(𝑏𝑏 0 ) =
𝜖2
(𝑝𝑏 0 )
𝑤22
(𝑐𝑐 0 ) =
𝜖2
(𝑝𝑐 0 )
𝑤22
58
V- CONSTRUCTION DES DIAGRAMMES CINENEMATIQUES
A. Méthode graphique à partie des épures
Lors de l’analyse des mécanismes, il nécessaire de considérer le cycle complet du mouvement
du mécanisme en question. Pour cela, on procède à l’étude graphique (analytique) des espaces,
vitesse et accélération pour diverses positions de la manivelle. Les valeurs obtenues des
grandeurs cinématiques peuvent être utilisées pour le tracé des courbes appelé diagramme
cinématique.
Le diagramme cinématique est une traduction graphique de la variation de l’un des paramètres
cinématique d’un élément : espace parcouru, vitesse ou accélération d’un point de l’élément du
mécanisme analysé en fonction du temps ou de l’espace parcouru (angle de rotation) par
l’élément (coordonnée généralisée).
Par exemple pour un mécanisme à coulisseau et manivelle voir figure suivante, les espaces Sc.,
vitesse Vc et l’accélération du point C anime d’un mouvement rectiligne s’expriment aisément
par des diagrammes cinématique qui traduise la variation de ces grandeurs en fonction du temps
t ou de la coordonnée généralisée ω2, c'est-à-dire qu’on a des courbes suivantes :
Sc =Sc (t), Vc=Vc(t), ac=ac(t) (*)
ou
Sc=Sc (φ2)
2.
Vc=Vc (φ2), ac = ac(φ2) si l’on choisis comme angle de rotation φ2 de l’élément
Dans certain cas on est amené à tracer les courbes d’autres fonctions telle que : Vc=Vc(t),
ac=ac(t) par élimination du paramètre temps t entre les premiers et deuxième fonctions ou bien
entre les premiers et troisièmes fonctions des équations précédentes (*) s’il s’agit d’analyser les
angles de rotation. φ3, la vitesse angulaire ω3 et les accélérations angulaires ε3 de la bielle 3 on
peut tracer la courbe représentative des fonctions :
φ3= φ3(t) ; ω3= ω3(t) ; ε3= ε3 (t) (**)
ou
φ3= φ3(φ2) ; ω3= ω3(φ2) ; ε3= ε3 (φ2)
Ainsi que les fonctions
∂3=∂3(∂3) W3= W3(∂3) ε3= ε3(∂3) ici par élimination du paramètre t les premiers et deuxième
fonction ou bien entre premier et troisième fonction des équations précédentes (**).
A titre d’exemple, considérons la construction du diagramme cinématique Sc=Sc(t), Vc=Vc(t),
ac=ac(t) pour le cas du mouvement permanent du point C du mécanisme à coulisseau et
manivelle ABC. La manivelle AB tourne à une vitesse angulaire ω2 constante.
On donne :
AB=300mm
BC=800mm
59
On matérialise les espaces parcourir par les points B et C en en employant la méthode décrite
au paragraphe précédent.
Le calcul des espaces parcourus par le point C se fait avantageusement en complétant à partir
de la position extrême gauche du coulisseau. On trace deux axes de coordonnée, l’on porte en
abscisse un segment l[mm] qui traduit à l’échelle µt la durée T d’un tour complet de la
manivelle en sorte que
T=
60
T=
𝑛
60
=µt.l=>µt = 𝑛.𝑙
60
𝑛
60
2𝜋
=µt.l=>µt = 𝑛.𝑙 =𝑤.𝑙
Prenons L= 120mm
alors T=
60
𝑛
=µt .l => µt=
60
𝑛𝑙
µt=
60
𝑛.120
On partage le segment l en douze parties égales, et l’on porte en des points correspondants 1,
2, 3,………les élongations du point C, ou les espaces parcourus par ce point A à partis de la
position extrême gauche C1 du coulisseau. C’est ainsi qu’on porte au point deux parallèlement
à l’axe des ordonnées, le segment C1C2 ainsi de sorte :
A partir de la position C7, lorsque le point C vient dans sa position extrême droite les
élongations C7C8, C7C9 se retranche de l’ordonnée C1C7 portée en position C7 si bien qu’au
moment où la manivelle deux regagne sa position initiale l’ordonnée de la courbe Sc=Sc(t)
devient égale à zéro.
La courbe obtenue est la courbe des élongations parcourus pour le point C à partie de la position
C, il convient d’ajouter, à partie de la position C7 les élongations (C7C8), (C7C9) du segment
(C1C7) précédemment, sur la figure, la courbe des espaces est tracée en pointillé. étant donné
que la manivelle à un mouvement permanent (w2=const) on peut admettre qu’on a en abscisse
non pas le temps mais les angles de rotation ∂2 de l’élément, ce qui simplifie que les diagrammes
de Sc=Sc(t), Vc=Vc(t), ac=ac(t) sont autant ceux de Sc=Sc(φ2), Vc=Vc(φ2), ac=ac(φ2).
L’échelle de ces diagrammes suivant l’axe des abscisses sera égale à :
2𝜋
µφ= 𝑙 . La longueur l en millimètre (mm) ; l étant mesurée sur le dessin.
60
2𝜋
(µ∂.l=1tr = 2π rad =>µφ=
𝑙
[rad].
Pour construire les diagrammes Vc=Vc(t) et ac=ac(t) on prend sur l’épure des vitesses et l’épure
des accélérations les segments représentatifs de la vitesse Vc et de l’accélération ac et on les
portes en ordonnées en point 1,2,3,……… tout en tenant compte du signe de la vitesse et de
l’accélération ac. si les segments sont pris directement sur les épures des vitesses et de
l’accélérations, les échelles des courbes Vc=Vc(t) ; ac=ac(t) seront égales aux échelles µv et µa
des épures des vitesses et des accélérations. Ce seront ainsi les diagrammes Vc =Vc(φ) et de
ac=ac(φ).
Il y a des cas où les courbes de Vc =Vc(Sc) et de ac = ac(Sc) se construise aisément sur le schéma
du mécanisme lui-même (voir figure).
A cet effet on situe l’origine des coordonnées en C1, C2, C3, ……….les segments tires des
épures des vitesses et des accélérations qui figurent les vitesses Vc et les accélérations ac du
point C. la courbe ac= ac(Sc) est la même pour la course du coulisseau de gauche à droite et de
droite à gauche, si l’on fait abstraction de signe de l’accélération ac.si l’on admet comme
accélérations celles dont les directions coïncidents avec les directions des vitesses
correspondantes et négatives quant à leurs directions sont opposées, la courbe de ac= ac(Sc)
traduisent la course du coulisseau 4 de droite à gauche se construit comme il est montré sur la
figure en trait pointillé.
REMARQUE
Dans les exemples que l’on vient de considérer le mouvement du point est rectiligne. Pour les
points animés d’un mouvement curviligne, il est plus commode de construire les diagrammes
cinématiques qui fournissent non seulement la valeur absolue des vitesses et de l’accélération
absolue. A cet effet on trace les vecteurs vitesses et accélération à partir des pôles p et π commun
en conservant leur directions réelles. Ceci fait on relie les extrémités de tous les vecteurs par
une courbe rectiligne. Les diagrammes obtenus s’appellent respectivement l’hodographe de la
vitesse et l’hodographe de l’accélération.
T.D
Tracer une courbe de variation de la vitesse angulaire w3 et de l’accélération angulaire ε3 en
fonction du temps ou de l’angle ∂2 de rotation de la bielle 2 c'est-à-dire les courbes ∂3=∂3(t) ;
w3 =w3(t) ; ε3 =ε3(t) ou ∂3=∂3(∂2) ; w3 =w3(∂2) ; ε3 =ε3(∂2) pour la bielle 3du mécanisme à
coulisseau et manivelle.
 La méthode de construction du diagramme cinématique que nous venons d’expliquer
pour le mécanisme à manivelle coulisseau est valable pour tous les mécanismes plans.
61
VI Etude cinématique des mécanismes plans par la méthode analytique
Introduction
Nous avons exposé dans les paragraphes précédant les méthodes graphiques d’analyse
cinématique du mécanisme plan. Les méthodes graphiques sont évidentes et universelles, car
elles permettent de déterminer les positions, les vitesses et les accélérations des éléments des
mécanismes de toute structure. Les méthodes graphiques ne permettent pas toujours d’obtenir
le degré de précision nécessaire dans certains problèmes concrets d’analyse des mécanismes.
En pareil cas, il est préférable de faire usage des méthodes analytique qui permettent d’effectuer
l’étude de la cinématique des mécanismes avec toute la précision voulue. Les relations
analytiques permettent en outre de mettre en évidence la liaison entre les paramètres
cinématiques du mécanisme et ses paramètres métriques les dimensions des éléments. Le rôle
des méthodes analytiques cinématique des mécanismes a pris une impotence particulière pour
cette raison, disposant des relations analytique entre les principaux paramètres cinématiques et
structuraux du mécanisme, on peut toujours établir un programme de calcul pour une
calculatrice et on obtient ainsi tous les résultats voulus (En variant à volonté les paramètres
cinématique).
Nous allons alors aborder les méthodes anaclitiques d’études des mécanismes en considérant le
cas du quadrilatère articulé et celui du coulisseau et manivelle.

Etude analytique du quadrilatère articulé
1-Recherche des positions
Pour l’étude analytique des mécanismes plans, précisons la méthode des contours vectoriels.
Pour ce cas présent, il est commode de chercher la solution du problème des positions des
éléments en divisant le contour formé ABCD et BCD. On peut alors écrire pour ces contours
les équations vectorielles suivants ;
∗ Contours ABD
⃗⃗⃗
𝑙2 + 𝑆 = ⃗⃗𝑙1
⇔
⃗𝑙⃗2 + 𝑆 − ⃗⃗𝑙1 = 0
62
∗ Contours BCD
⃗⃗⃗
𝑙3 − ⃗⃗⃗
𝑙4 − 𝑆 = 0
𝑆est le vecteur du module variable qui définit les positions des points B et D.
Projetons les vecteurs de l’équation 1 sur les axes de coordonnées Ax et Ay. On n’a :
{
𝑡𝑔𝜑𝑠=
𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝜑2 − 𝑙1 = 0
𝑙2 sin 𝜑2 + 𝑆 sin 𝜑𝑠 = 0
𝐴𝑥
𝐴𝑦
− 𝑙2 sin 𝜑2
−𝑙2 cos 𝜑2
pour connaitre le quadrant dans lequel est situé l’angle𝜑𝑠, il suffit de rearquer le signe du
numérateur et du dénominateur de 3, proportionnel à sin 𝜑2 𝑒𝑡 à cos 𝜑2. Ensuite, on
déduit sans peine de l’équation 2 le module.
𝑆 = −𝑙2
sin 𝜑2
sin 𝜑𝑠
Considérons maintenant le triangle BCD, on a deux équations suivantes :
𝑆 + ⃗𝑙⃗4 = ⃗𝑙⃗3
⃗𝑙⃗3 − 𝑆 = ⃗𝑙⃗4
𝑙32 = 𝑙42 + 𝑆 2 + 2𝑆𝑙4 cos 𝜑4𝑠 5
𝑙42 = 𝑙32 + 𝑆 2 − 2𝑆𝑙3 cos 𝜑3𝑠 6
𝜑4𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
𝜑3𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
(𝑙32 − 𝑙42 − 𝑆 2 )
2𝑆𝑙4
(−𝑙42 +𝑙32 +𝑆 2 )
2𝑆𝑙3
7
8
Dans le cas général les angles 𝜑4𝑆 et 𝜑3𝑆 peuvent avoir le signe positif ou négatif, donc
satisfaire au deux versions de montage possibles. On a donc 𝜑4𝑆 = −𝜑′4𝑆 et 𝜑3𝑆 =
−𝜑′3𝑆 .
63
Puisque nous considérons le montage BCDB (au lieu de BC’DB). Les angles 𝜑4𝑆 et 𝜑3𝑆
seront toujours de même signe et le vecteur S. Il nait ensuite que :
𝜑4𝑆 = 𝜑4 − 𝜑𝑆 et 𝜑3𝑆 = 𝜑3 − 𝜑𝑆
d’où
𝜑4 = 𝜑4𝑆 + 𝜑𝑆 et 𝜑3 = 𝜑3𝑆 + 𝜑𝑆
.
La méthode de recherche des angles
𝜑3 et 𝜑4 à l’aide des fonctions
intermédiaires de 𝜑𝑆 ; 𝜑3𝑆 ; et S se prêtent aisément au programme et à l’introduction dans
la machine.
La fonction de position de l’élément 3 ou de l’élément 4 est facile à déterminer. Par
exemple, on tire de position 𝜑4 = 𝜑4 (𝜑2 )
et 𝜑3 = 𝜑3 (𝜑2 )
des équations
[𝜑3 = 𝜑3𝑆 + 𝜑𝑆 ] et 𝜑4 = 𝜑4𝑆 + 𝜑𝑆 . En substituant dans ces équations les valeurs de
𝜑3𝑆 𝑒𝑡 𝜑4𝑆 dans l’équation 7 et 8
On obtient :
𝜑4 = 𝜑4𝑆 + 𝜑𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
(𝑙32 − 𝑙42 − 𝑆 2 )
−𝑙2 sin 𝜑2
+ arctang
2𝑆𝑙4
−𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙1
𝜑3 = 𝜑3𝑆 + 𝜑𝑆 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
(𝑙32 − 𝑙42 + 𝑆 2 )
−𝑙2 sin 𝜑2
+ arctang
2𝑆𝑙3
−𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙1
Portons dans ces équations la valeur de S obtenue par résolution du triangle ABC
⃗⃗𝑙1 = ⃗𝑙⃗2 + 𝑆⤇𝑆 = ⃗⃗𝑙1 − ⃗𝑙⃗2
𝑆 2 = 𝑙12 + 𝑙22 − 2𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2
𝑆 = √𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2
On a en définition :
𝜑4 = arccos
𝜑3 = arccos
(𝑙32 − 𝑙4 − 𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2 )
2𝑙3 √𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2
(𝑙32 − 𝑙42 + 𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2 )
2𝑙3 √𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 cos 𝜑2
+ arctang
−𝑙2 sin 𝜑2
−𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙1
+ arctang
−𝑙2 sin 𝜑2
−𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙1
Exemple d’application
Considérons le mécanisme du quadrilatère articulé ABCD de la figure suivante.
64
Trouver les inclinaisons 𝜑3 𝑒𝑡 𝜑4 des éléments 3 et 4 du mécanisme ABCD sur le
bâti si les longueurs des éléments sont respectivement 𝑙1 = 24 ; 𝑙2 = 6 ; 𝑙3 =
25 ; 𝑙4 = 12 et si la manivelle AB fait un angle 𝜑2 = 45° avec le bâti.
∗Contour ABD
𝑙1 = 𝑙2 + 𝑆
AX : 𝑙1 = 𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝜌𝑠
AY : 0= 𝑙2 sin 𝜑2 + 𝑆 sin 𝜑𝑠 
tan 𝜑𝑠 =
−𝑙2 sin 𝜑2
−6 sin 45°
−4,24
=
=
= −0,214
− cos 𝜌2 + 𝑙1 −6 cos 45° + 24 19,76
[−(12°)]
Puisque le numérateur, proportionnel à sin 𝜑2 , est négatif et dénominateur
proportionnel à cos 𝜑2 , est positif, le vecteur S se situe dans le quatrième quadrant et
l’angle 𝜑𝑆 est :
𝜑𝑆 = 360° − 12° = 348°
−𝑙2 sin 𝜑2
Le module du vecteur 𝑆2 est : S= |𝑆| = |
Les angles cos 𝜑4𝑆 =
𝑙32 −𝑆 2 −𝑙42
cos 𝜑3𝑆
2𝑙4 𝑆
=
sin 𝜑𝑠
252 −(20,4)2 −122
2 .12 .20,4
−6 sin 45
| = |sin 348 °°| = 20,4
= 0,135
;
𝑙32 + 𝑆 2 − 𝑙42 252 + (20,4)2 − 122
=
=
= 0,87
2𝑙3 𝑆
2 .25 . 20,4
Par consequent
Φ4S =82°10’ , ϕ3S =28°40’ on sait que ϕ4S=ϕ4S –ϕ5 =>ϕ4=ϕ4S+ϕ5 ; ϕ3S=ϕ3-ϕS
=>ϕ3=ϕ4S+ϕS
Φ4=ϕ4S+ϕS =82°10’-12=70°10’ (82°10’+348°=
Φ3=ϕ3S+ϕS =28°40’-12 =16°40’ (28°40’+348°=376°40’-360°=16°40’)
2-) Recherche des vitesses et des accélérations
Pour rechercher les vitesses et les accélérations des éléments du mécanisme du
quadrilatère articulé, on écrit l’équation vectorielle exprimant le caractère fermé du
contour ABCD.
On a alors : l1 + l2 + l3 = l4
Projetons sur les axes cette équation
65
X : -l1 + l2cosϕ2 +l3cosϕ3 = l4 cosϕ4 1)
Y: 0 + l2 sinϕ2 +l3 sinϕ3= l4 sinϕ4
2)
Φ2 ,ϕ3 ,ϕ4 , sont les angles que forment les axes 2, 3 et 4 avec l’axe Ax.
Pour rechercher les vitesses angulaires analogues w3 et w4 des éléments 3 et 4 prenons les
équations 1) et 2) par rapport à la coordonnée généralisée.
𝑑𝜙3
𝑑𝜙4
-l2 sinϕ2 – l3𝑑𝜙2 sinϕ3 = -l4𝑑𝜙2 sinϕ4
𝑑𝜙3
𝑑𝜙4
l2 cosϕ2 + l3𝑑𝜙2 𝑐𝑜𝑠𝜙3= l4𝑑𝜙2 𝑐𝑜𝑠𝜙4
3)
4)
𝑑𝜙3
𝑑𝜙4
Au moment ou 𝑑𝜙2 = i32 est la vitesse analogue angulaire w3 de l’élément 3 et que 𝑑𝜙2 =i42
est la vitesse angulaire analogue w4 de l’élément 4 on a :
l2 sinϕ2 + l3 i32 sinϕ3 = l4 i42 sinϕ4
l2 cosϕ2 + l3 i32 cosϕ3 = l4 I42 cosϕ4
3)
4)
Les quantités i32 et i42 figurant dans les équations précédentes s’appellent rapport de
vitesses, car elles sont égales au rapports des vitesses angulaires w3 et w4 à la vitesse
angulaire w2 de l’élément menant.
𝑑𝜙3
𝑑𝜙3/𝑑𝑡 𝑊3
𝑑𝜙4
𝑑𝜙4/𝑑𝑡
I32 = 𝐷𝜙2= 𝑑𝜙3/𝑑𝑡=𝑊2 ; I42 =𝑑𝜙2 =𝑑𝜙2/𝑑𝑡 =
𝑊4
𝑊2
Retranchons les angles figurant dans la première équation 3) l’angle commun ϕ3, ce qui
revient à tourner les axes de coordonnées xAy d’un angle ϕ3 on a : l2sin(ϕ2-ϕ3) =>
𝑙2 sin(𝜙2−𝜙3)
𝑤4
i42=𝑙4 sin(𝜙4−𝜙3) = 𝑤2
Après avoir effectué une transformation analogues de le même équation par la rotation
des axes de coordonnées de l’angle ϕ on a : lsin(ϕ2-ϕ4) + i l sin(ϕ3-ϕ4) =0
𝑙2 sin(𝜙2−𝜙4)
i32= -𝑙3 sin(𝜙3−𝜙4) =
𝑤3
𝑊2
Pour rechercher les accélérations angulaires analogues Ɛ4 et Ɛ3 des éléments 3 et 4
dérivons les équations 3) et 4) par rapport à la coordonnée généralisée ϕ2, ce qui donne les
équations suivantes :
l2cosϕ2 + l3 i232 l3 cosϕ3 + l3 i’32 sinϕ3 = l4 i242 cosϕ4 + i’42 l4 sinϕ4
-l2 sinϕ2 – l3 i232 sinϕ3 + l3 i’32 cosϕ3 = -l4 i242 sinϕ4 + i’42 cosϕ4
Ou i’32 et i’42 sont les accélérations angulaires analogues, égales au donnée des vitesses
angulaires correspondantes i32 et i42 par rapport à la coordonnée généralisée.
66
On obtient les valeurs des accélérations angulaires analogues i’32 et i’42 en tournant
successivement les axes de coordonnés de l’angle ϕ3 et ϕ4.
𝑙2 cos(𝜙2−𝜙3)+ 𝑖𝑙3−𝑖𝑙4 cos(𝜙−𝜙)
i’42 =
𝑙4 sin(𝜙4−𝜙3)
𝑙4 𝑖−l2 cos(𝜙2−𝜙4)−𝑙3 𝑖 cos(𝜙3−𝜙4)
i’32 =
𝑙3 sin(𝜙3−𝜙4)
Conformément à la formule de la partie ll (vitesse angulaire analogue et accélération
analogue) w3 = w2.i32 ; w4 = w2.i42 ; Ɛ3 = w22 .i32 + Ɛ2 .i32 ; Ɛ4 = w22 .i42 + Ɛ2 .i42 ou w2 et Ɛ2
sont les vitesses et accélération angulaire données de l’élément 2.
C- Etude analytique du mécanisme à coulisse et manivelle
On donne les dimensions des éléments du mécanisme. De même on considère le
mouvement per manent de la manivelle.
Pour rechercher les vitesses et les accélérations des éléments représentons le contour ABC
comme somme des vecteurs : ⃗⃗⃗⃗
𝑙 2+ ⃗⃗⃗
𝑙3 = 𝑥𝑐
⃗⃗⃗⃗
Projetons cette équation sur les axes Ax et Ay
l2cosϕ2 + l3cosϕ3 = Xc 1)
l2 sinϕ2 + l3 sinϕ3 = 0
2)
𝑙2
De l’équation 2) on tire sinϕ3 = -𝑙3sinϕ2
De la première équation on a Xc = l2 cosϕ2 + l3 cosϕ3
𝑙2
Xc= l2cosϕ2 + l3 .√1 − (𝑙3 𝑠𝑖𝑛𝜙) 2
Dans certain cas il est plus commode de mesurer l’espace parcouru par le coulisseau 4 à
partir de la position extrême droite du mécanisme, lorsque le point C se trouve en C0.
Xc + X = AC0
X =AC0 – Xc
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 𝑜= ⃗⃗⃗
𝑙2 + ⃗⃗⃗
𝑙3
AC02 = l22 + l32 + 2l2 l3cos 0° => AC0 = √𝑙2 + 𝑙3 + 2𝑙2𝑙3 = √(𝑙2 + 𝑙3)2
67
On a
𝑥 = √(𝑙2 − 𝑙3 )2 − 𝑙2 cos 𝜑2 − 𝑙3 √1 − (
= (𝑙2 + 𝑙3 ) − 𝑙2 cos 𝜑2 − 𝑙3 √1 − (
𝑙2
sin 𝜑2 )2
𝑙3
𝑙2
sin 𝜑2 )2
𝑙3
vitesse et accélération pour déduire les équations des vitesses angulaires et des accélérations
angulaires, procédons à une double dérivation des équations 1 et 2 par rapport à la coordonnée
généralisée
−𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙3
𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙3
𝑖32 =
𝑑𝜑3
𝑑𝑥𝑐
sin 𝜑3 =
= 𝑣𝑐𝑦
𝑑𝜑2
𝑑𝜑2
𝑑𝜑3
cos 𝜑3 = 0
𝑑𝜑2
𝑑𝜑3
𝑑𝜑2
−𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙3 𝑖32 sin 𝜑3 = 𝑣𝑐𝜑
𝑙2 cos 𝜑2 + 𝑙3 𝑖32 cos 𝜑3 = 0
𝑑𝜑
𝑖32 = 𝑑𝜑3 ,
2
𝑑𝑥𝑐
𝑑𝜑2
= 𝑣𝑐𝑦 sont les vitesses analogues correspondantes
de la 2ième équation on a
𝑙 cos 𝜑
𝑖32 = − 𝑙2 cos 𝜑2
3
et −𝑙2 sin 𝜑2 +
3
= 𝑙2 (−sin 𝜑2 +
𝑙2 cos 𝜑2 sin 𝜑3
cos 𝜑3
= 𝑣𝑐𝑦
cos 𝜑2 sin 𝜑3
)
cos 𝜑3
𝜔3 = 𝜔2 . 𝑖32
𝑣𝑐𝑦 = 𝑙2
sin( 𝜑3 − 𝜑2 )
𝑣𝑐 = 𝑣𝑐𝑦 . 𝑤𝑐
cos 𝜑3
pour déterminer les accélérations, décrivons les équations 3 et 4
′
−𝑙2 cos 𝜑2 − 𝑙3 (𝑖32)2cos 𝜑3 − 𝑙3 sin 𝜑3 𝑖32
= 𝑎𝑐𝜑
′
−𝑙2 sin 𝜑2 − 𝑙3 (𝑖32)2sin 𝜑3 − 𝑙3 cos 𝜑3 𝑖32
=0
68
𝑖′32 =
𝑑𝑖32
𝑑𝜑2
𝑑𝑣𝑐𝜑
et 𝑎𝑐𝑦 = 𝑑𝜑
2
sont les accélérations analogues de la seconde équation on tire
la valeur de l’accélération analogue :
2
𝑖′32
𝑙2 sin 𝜑2 + 𝑙3 𝑖′32 sin 𝜑3
=
𝑙3 cos 𝜑3
Après avoir déterminé l’accélération analogue 𝑖′32 , on porte sa valeur dans la première et l’on
détermine l’accélération analogue 𝑎𝑐𝜑′.
2
𝑎𝑐𝜑′
𝑙2 sin 𝜑2 + 𝑙3 𝑖 ′ 32 sin 𝜑3
= −𝑙2 cos 𝜑2 − 𝑙3 (𝑖32 ) cos 𝜑3 − 𝑙3 cos 𝜑3 (
)
𝑙3 cos 𝜑3
2
les vraies vitesses 𝑣𝑐 ;𝜔3 et accélération 𝑎𝑐 et ε3 sont :
𝑣𝑐 = 𝑣𝑐𝜑 𝜔2
𝜔3 = 𝜔2 . 𝑖32 ,𝑎𝑐 = 𝑎𝑐𝜑 𝜔2 + ε2𝑣𝑐𝜑
= 𝑎𝑐𝜑 𝜔2 2 + ε2𝑣𝑐𝜑
𝜀3 = 𝑖32 ′ 𝜔2 + ε2𝑖32
Où 𝜔2 et ε2 sont la vitesse et les accélérations angulaires connues de l’élément 2.
II-Recherche des positions, des vitesses et des accélérations
A-Recherche des positions
1 Exemple I
Considérons un mécanisme a came v figure avec la came 1 anime de rotation autour d’un axe
fixe A et l’élément 2 tiges animé d’un mouvement de translation dans les guides c.
Comme position initiale du mécanisme, nous allons prendre celle dans laquelle le point B
occupe la position extrême inférieur 𝐵1 et le vecteur et le rayon vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵1 = 𝑙 est le
plus court. Comme coordonnée généralisée adoptons l’angle 𝜑1 de rotation de la came 1.
Considérons permanent du mécanisme, la came 1 tournant à une vitesse angulaire 𝜔1
constante
Imprimons au mécanisme tout entier une vitesse angulaire 𝜔 = 𝜔1 . La came 1 devient alors
pour ainsi dire immobile tandis que l’élément 2 commence à tourner à une vitesse angulaire
𝜔 = 𝜔 1 autour de l’axe A et à se déplacer en même temps dans ses guides C une vitesse 𝜗2 .
69
Abaissons la  AK du point A sur le prolongement de l’axe de guidage 𝐶1 et traçons la
circonférence de rayon AK = √𝑙 2 − 𝑠02
Dans le mouvement inverse, la direction du mouvement de l’élément 2 sera toujours tangente
à la circonférence de rayon A K.
Cherchons sur cette circonférence les points𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , … ,correspondant à des angles
égaux𝜑11−2 , 𝜑22−3 , 𝜑33−4 ….
Faisons tourner ensuite l’élément 2 dans le sens de la vitesse angulaire 𝜔 = −𝜔1 de
l’angle𝜑1−2. Le point 𝑘1 se déplace alors en 𝑘2 et 𝐵1en 𝐵2 . Continuons ensuite à déplacer
l’élément 2 dans ses guides C jusqu’à ce que le point B n’entre en contact avec le profil B-B
de la came .Soit 𝑆21−2 l’espace parcouru par l’élément 2 lors de son passage de la position 1 à
sa position 2. Cet espace est égale à :𝑆21−2 = 𝜇𝑙 𝑘2 𝐵2 -𝐾2 𝐵2′ =𝜇𝑙 𝐾2 𝐵2  - 𝑆0 = 𝜇𝑙 𝐵2′ 𝐵2.
portons l’espace obtenu S21-2 à l’échelle µe, sur la courbe S2=S2(σ2) sous la forme d’un
segment de droit c2 =B’2 B2 on à 𝑆21−2 =µe 𝐵2′ 𝐵2 =𝜇𝑙 𝐵 = 𝑐2
pourtour ensuite angle 𝜎12−3 et on trouve une nouvelle position points B de l’ensemble 2 ;
c’est la position B3. L’espace parcouru à partir de √𝑆21−2 =𝜇𝑙 𝐵2′ 𝐵3. cet espace est représenté
sur la courbe de S2=S2(σ2) sous forme d’un segment 𝑐 2 = 𝐵2′ 𝐵3. de façon analogue
déterminons toutes les positions successives l’élément 2 on trace la courbe S2=S2(σ)
correspondant à un trou complet de la came.
Exemple 2
Pour rechercher les positions d’un mécanisme à came avec une tige oscillante (voir figure
suivante), on sert de la méthode d’inversion du mouvement. Plaçons-nous dans le cas d’un
mouvement permanant du mécanisme, lorsque la vitesse W1 de la rotation de la came 1 est la
coordonnée généralisée du mécanisme.
Imprimons au mécanisme tout entier une vitesse angulaire W=-W1 de valeur égale et de sens
contraire à la vitesse angulaire W1 de la came 1. la came devient pour ainsi dire immobiles,
tandis que la tige 2 tourne autour de l’axe à une vitesse angulaire W2 ; W=-W1 et autour de
l’axe A une vitesse angulaire W2. Le point A parcourt successivement les positions A, A2,
A3,…
puisque la vitesse angulaire W1 est constante, les angles𝜎11−2 , 𝜎11−2 , 𝜎12−3 , 𝜎13−4,………….
formés respectivement par le rayon OA1, OA2, OA3,…….. Seront égaux. Faisons tourner la
tige 2 autour de A1 jusqu'à ce quel vienne en contacte en B1 avec le profil β-β de la came. si
l’angle formé par l’élément 2 avec le rayon0A1 en Position initiale était =
en deuxième
70
position cet angle serait. En troisième position il serait égal à. On obtient les positions
successives de l’élément 2 en coupant la courbe
par les arcs de rayon AB= AB=AB=……
ayant comme centre, les points A1, A2, A3, …..
Portons les angles obtenus à une échelle arbitraire sur les ordonnées de la courbe qui exprime
les angles de rotation de la tige 2 en fonction de la coordonnée généralisée.
Recherche des vitesses et des accélérations
Après avoir déterminé pour un mécanisme à came, les positions de l’élément mené et construit
les courbes des espaces en fonction de le coordonnée généralisée et graphique de ; graphique
de ), la méthode la plus avantageuse de recherche des vitesses et des accélérations des éléments
menés consiste à construire les diagrammes cinématique (constructions des diagrammes
cinématiques) . La détermination des vitesses et des accélérations des éléments menés se réduit
donc à une double dérivation graphique des courbes représentatives
Données initiales pour l’établissement des projets des mécanismes à cames
Pour établir le profil de la came d’un mécanisme, on doit choisir :
a- Le schéma cinématique du mécanisme
b- La loi du mouvement de l’élément mené en fonction de la coordonnée généralisée
c- Certains paramètres d’éléments.
Les choix de tel ou tel schéma cinématique du mécanisme est déterminé en première
lieu par des raisons constructives et a pour but d’assurer le mouvement de l’élément
mené nécessité par les conditions du procédé technologique. Le choix de la loi du
mouvement de l’élément menant en fonction de la coordonnée généralisée constitue
l’étape fondamentale de l’établissement du projet du mécanisme à came. La loi du
mouvement choisie doit satisfaire aux exigences du procédé technologique que le
mécanisme envisagé est appelé à servir.
RECUEIL DE PROJET DE MECANISMES
CANEVAS
Schéma cinématique du mécanisme
Plan de présentation
Introduction
1. Exécuter l’étude structurale du mécanisme
Schéma cinématique et de structure, nombre cyclomatique, indice de mobilité ; degré
de mobilité et hyperstaticité
2. Proposer le travail utile qu’un tel mécanisme peut être utilisé
3. Proposer les dimensions réelles des éléments du mécanisme et les positions fixes
des liaisons des éléments liés au bâti
71
4. Etude cinématique
 Exécuter les espaces parcourus par les éléments et les points isolés du mécanisme
Etat permanent du mécanisme
 Déterminer les vitesses et les accélérations des éléments et de leurs points isolés en
exécutant les épures des vitesses et des accélérations
 Construire les diagrammes cinématiques et les hodographes
Etat initial du mécanisme
Construire les épures des vitesses et des accélérations dans cet état
Composer les deux états pour une étude complète du mécanisme
Conclusion
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93