Variable aléatoire réelle :
Une variable aléatoire réelle est une application de : qui associe à chaque élément de l’ensemble un nombre réel x. Il existe deux types de variables
aléatoires Discrète et Continue.
I- La variable aléatoire discrète :
Un joueur lance un dé cubique équilibré. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si le numéro obtenu est 1,2,3 ou 4, le joueur perd 5DA,. Si le numéro obtenu est 5, le joueur gagne 7 DA,
Et si le numéro obtenu est 6, il gagne 10 DA.
On appelle X la variable aléatoire correspondante au gain ou à la perte du joueur.
X()
X :
Toutes les valeurs prises par X. Donc : X peut prendre les valeurs : -5, 7 et 10.
()= {,,}
La loi de probabilité de X :
Déterminer une loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète, c’est donner la probabilité de toutes les valeurs de la variable aléatoire X.
Dans l’exemple précèdent :
X
-5
7
10
P(X=x )
4/6
1/6
1/6
Remarque : (=)=
II- La variable aléatoire continue :
Si l’ensemble () est un intervalle de R on dit que X est une variable continue. Remarque : si X est continue alors P(X=x)=0
Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue :
Dans le cas continue on parle de densité de probabilité, alors on dit que f(x) est une densité de probabilité si :
: ()0
()
= 1
Exemple :
f(x)= , ]0,+∞[ Montrons que f est une densité de probabilité :
f est toujours positive , Nous allons vérifier l’intégrale : () =
= [
]
=[ +]=
Donc f est bien une densité de probabilité.
Variable discrète
Variable continue
Fonction de
répartition
: [0,1]
()=( )
: [0,1]
()=()
Propriétés : si X est une variable aléatoire continue :
*P(a <X ≤ b)= P(a <X < b)= P(a ≤X ≤ b)= P(a ≤X < b)
* P (a < X < b )= F(b) - F(a) = ()
E(x)
()=(=)
()
* , ()=
*, , (+)=()+
Soit une fonction continue :
*()=()(=)
()= .()
• , ()=
• , , (+)=()+
Soit une fonction continue :
*()=()()
Var(x)
()=()[()]
Propriétés :
• Var(X)≥ 0
• , ()= 0
• , , (+)=()
()=()[()]
Propriétés :
• Var(X)≥ 0
• , ()= 0
• , , (+)=()
1
2
3
4
5
6
-
5 DA
-5 DA
- 5DA
-5 DA
+7DA
+10DA
Ecart type
()=var(X)
Propriétés :
*Si E(X)=0 , on dit que X est une variable aléatoire
centrée
*Si ()= 1 , on dit que X est une variable aléatoire
réduite
Alors :
*Pour centrer une variable X, il suffit de mettre :[ X-
E(X)]
*Pour réduire une variable X, il suffit de calculer :[
X/ (X)]
()=var(X)
Propriétés :
*Si E(X)=0 , on dit que X est une variable aléatoire centrée
*Si ()= 1 , on dit que X est une variable aléatoire réduite
Alors :
*Pour centrer une variable X, il suffit de mettre :[ X-E(X)]
*Pour réduire une variable X, il suffit de calculer :[ X/ (X)]
Changement de
variable
X est une VA , soit y=(), ou
() :
La loi de probabilité de Y est donnée par :
*()={1, 2, 3 … }=
{(1),(2)… . ()}
* p(Y=y)= p(()=)
X est une VA , soit y=(), ou () :
()=p(Y ) = (() )
La densité de probabilité de y :
()=()
Exemple cas discret :
Fonction de répartition : Dans l’exemple précèdent :
X
-5
7
10
P(X=x )
4/6
1/6
1/6
F(x)
4/6
5/6
6/6 = 1
Espérance mathématique :
X
-5
7
10
P(X=x )
4/6
1/6
1/6
E(X)= -5. (4/6)+ 7.(1/6) +10.(1/6)= -1/2. L’Esperance mathématique est négative il est préférable de ne pas jouer.
Variance de X : ()=()[()]
() = 25 (4/6) + 49. (1/6) + 100. (1/6) = 249/6 Var(X)=249/100 – (1/4)=990/24
L’écart type : ()=var(X)
Changement de variable : on pose y =, donner la loi de probabilité de Y .
()={25,49,100} , p(y=25)=p(=) = (=)=4/6
P(y=49)=p(=) = (=)=/
P(y=100)=p((=) = (=)=/
Exemple cas continue :
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité : est définie par : ()= , 0 < < + 0 .
1) Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
2) Calculer F(5), p(1<X<3).
3) Calculer l’espérance et la variance ainsi que l’écart type de X.
4) Calculer E(4X+6), var(4X+6)
5) Calculer la fonction de répartition F(X)
Solution :
1) Déterminons k : () =
=[
/ ]
=+
= K/4=1 donc k=4
2) calculons les probabilités :
3)calculons E(X) ()=.
= ?? on procède par une intégration par partie :
g=x
=
=
1 h= - donc ()= []
= -[
]
=
4) Calculons la variance :
()=()[()] on doit calculer : ()=.
= ?? , on procède par une intégration par partie
=
=
= = Donc : ()= []
()
=
,
intégration par partie :
=
=
= =
()= [(
)]
(
)
=
=[(
)]
=1/8
Var(x)=1/8 – (1/4)²= 1/16.
L’écart type : ()=1/16=1/4
4)E(4X+6)=4 E(X)+6=4(1/4)+6=7 et Var(4X+6)=16 var(X)=16.(1/16)=1
5)la fonction de répartition :
()=()
Si X<0 , F(x)=0
SI 0<X<∞,
F(x)=() =
= [
]
= +
Changement de variable :
f(x)=x si 0<X<1 et o sinon , donner la loi de probabilité de y=1/X.
()=p(Y ) = (1/ ) = ( 1/) = 1 (<
) =
= 1
= 1 [/2]
/=1-
Pour trouver f(y), il suffit de dériver F(Y) : ()=()
=
1
=1/ f(y)= 1/ > 1 Et 0 sinon
1
/
3
100%
