Variable aléatoire réelle :
Une variable aléatoire réelle est une application de : 𝛺𝛺 → ℝ qui associe à chaque élément de l’ensemble Ω un nombre réel x. Il existe deux types de variables
aléatoires Discrète et Continue.
I-
La variable aléatoire discrète :
Un joueur lance un dé cubique équilibré. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si le numéro obtenu est 1,2,3 ou 4, le joueur perd 5DA,. Si le numéro obtenu est 5, le joueur gagne 7 DA,
Et si le numéro obtenu est 6, il gagne 10 DA.
On appelle X la variable aléatoire correspondante au gain ou à la perte du joueur.
X(𝜴𝜴)
𝛀𝛀
-5 DA
X:
1
2
-5 DA
3
- 5DA
4
-5 DA
5
+7DA
6
+10DA
Toutes les valeurs prises par X. Donc : X peut prendre les
valeurs : -5, 7 et 10.
𝑿𝑿(𝜴𝜴) = {−𝟓𝟓, 𝟕𝟕, 𝟏𝟏𝟏𝟏}
La loi de probabilité de X :
Déterminer une loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète, c’est donner la probabilité de toutes les valeurs de la variable aléatoire X.
Dans l’exemple précèdent :
X
P(X=x )
Remarque : ∑𝒙𝒙∈𝜴𝜴 𝒑𝒑(𝑿𝑿 = 𝒙𝒙) = 𝟏𝟏
II-
-5
4/6
7
1/6
10
1/6
La variable aléatoire continue :
Si l’ensemble 𝑿𝑿(𝜴𝜴) est un intervalle de R on dit que X est une variable continue.
Remarque : si X est continue alors P(X=x)=0
Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue :
Dans le cas continue on parle de densité de probabilité, alors on dit que f(x) est une densité de probabilité si :
Exemple :
∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0
∫𝑅𝑅 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1
f(x)=𝒆𝒆−𝒙𝒙 , 𝒙𝒙 ∈]0,+∞[
Montrons que f est une densité de probabilité :
f est toujours positive , Nous allons vérifier l’intégrale :
Donc f est bien une densité de probabilité.
+∞
𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∫𝟎𝟎
−∞
𝒆𝒆−𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = [ −𝒆𝒆−𝒙𝒙 ]+∞
+ 𝒆𝒆𝟎𝟎 ] = 𝟏𝟏
𝟎𝟎 = [−𝒆𝒆
Variable continue
Variable discrète
Fonction de
répartition
+∞
∫𝟎𝟎
𝐹𝐹: 𝑅𝑅 → [0,1]
𝑥𝑥 → 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 𝑥𝑥)
𝐹𝐹: 𝑅𝑅 → [0,1]
𝑥𝑥
𝑥𝑥 → 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
Propriétés : si X est une variable aléatoire continue :
*P(a <X ≤ b)= P(a <X < b)= P(a ≤X ≤ b)= P(a ≤X < b)
𝑏𝑏
E(x)
𝐸𝐸(𝑋𝑋) = � 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥)
𝐾𝐾∈𝑥𝑥(𝛺𝛺)
*∀𝒂𝒂 ∈ 𝑹𝑹, 𝑬𝑬(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂
*∀𝒂𝒂, 𝒃𝒃 ∈ 𝑹𝑹, 𝑬𝑬(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃) = 𝒂𝒂𝒂𝒂(𝑿𝑿) + 𝒃𝒃
Var(x)
Soit 𝝋𝝋 une fonction continue :
*𝑬𝑬�𝝋𝝋(𝑿𝑿𝑿𝑿)� = ∑ 𝝋𝝋(𝒙𝒙)𝒑𝒑(𝑿𝑿 = 𝒙𝒙)
𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗(𝑿𝑿) = 𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) − [𝑬𝑬(𝑿𝑿)]𝟐𝟐
Propriétés :
•
Var(X)≥ 0
•
∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅, 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑎𝑎) = 0
•
∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑅𝑅 , 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑋𝑋)
* P (a < X < b )= F(b) - F(a) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑
+∞
𝑬𝑬(𝑿𝑿) = �
−∞
𝒙𝒙. 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅
•
∀𝒂𝒂 ∈ 𝑹𝑹, 𝑬𝑬(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂
•
∀𝒂𝒂, 𝒃𝒃 ∈ 𝑹𝑹, 𝑬𝑬(𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃) = 𝒂𝒂𝒂𝒂(𝑿𝑿) + 𝒃𝒃
Soit 𝝋𝝋 une fonction continue :
+∞
*𝑬𝑬�𝝋𝝋(𝑿𝑿)� = ∫−∞ 𝝋𝝋(𝒙𝒙)𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗(𝑿𝑿) = 𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) − [𝑬𝑬(𝑿𝑿)]𝟐𝟐
Propriétés :
•
Var(X)≥ 0
•
∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅, 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑎𝑎) = 0
•
∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑅𝑅 , 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣(𝑋𝑋)
Ecart type
𝜎𝜎(𝑋𝑋) = �var(X)
Changement de
variable
Propriétés :
*Si E(X)=0 , on dit que X est une variable aléatoire
centrée
*Si 𝜎𝜎(𝑋𝑋) = 1 , on dit que X est une variable aléatoire
réduite
Alors :
*Pour centrer une variable X, il suffit de mettre :[ XE(X)]
*Pour réduire une variable X, il suffit de calculer :[
X/ 𝜎𝜎(X)]
X est une VA , soit y=𝜑𝜑(𝑥𝑥), ou
𝜑𝜑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝛺𝛺) :
La loi de probabilité de Y est donnée par :
*𝑦𝑦(𝛺𝛺) = {𝑦𝑦1, 𝑦𝑦2, 𝑦𝑦3 … 𝑦𝑦𝑦𝑦} =
{𝜑𝜑(𝑥𝑥1), 𝜑𝜑(𝑋𝑋2) … . 𝜑𝜑(𝑋𝑋𝑋𝑋)}
* p(Y=y)= p(𝜑𝜑(𝑥𝑥) = 𝑦𝑦)
Exemple cas discret :
Fonction de répartition :
𝜎𝜎(𝑋𝑋) = �var(X)
Propriétés :
*Si E(X)=0 , on dit que X est une variable aléatoire centrée
*Si 𝜎𝜎(𝑋𝑋) = 1 , on dit que X est une variable aléatoire réduite
Alors :
*Pour centrer une variable X, il suffit de mettre :[ X-E(X)]
*Pour réduire une variable X, il suffit de calculer :[ X/ 𝜎𝜎(X)]
X est une VA , soit y=𝜑𝜑(𝑥𝑥), ou 𝜑𝜑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥(𝛺𝛺) :
𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)=p(Y≤ 𝑦𝑦) = 𝑝𝑝(𝜑𝜑(𝑋𝑋) ≤ 𝑦𝑦)
La densité de probabilité de y :
𝑑𝑑𝐹𝐹 (𝑦𝑦)
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) = 𝑌𝑌
𝑑𝑑𝑑𝑑
Dans l’exemple précèdent :
X
P(X=x )
F(x)
Espérance mathématique :
-5
4/6
4/6
7
1/6
5/6
X
-5
P(X=x )
4/6
E(X)= -5. (4/6)+ 7.(1/6) +10.(1/6)= -1/2.
10
1/6
6/6 = 1
7
10
1/6
1/6
L’Esperance mathématique est négative il est préférable de ne pas jouer.
Variance de X : 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗(𝑿𝑿) = 𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) − [𝑬𝑬(𝑿𝑿)]𝟐𝟐
𝐸𝐸(𝑥𝑥 2 ) = 25 (4/6) + 49. (1/6) + 100. (1/6) = 249/6
Var(X)=249/100 – (1/4)=990/24
L’écart type : 𝜎𝜎(𝑋𝑋) = �var(X)
Changement de variable : on pose y =𝑥𝑥 2 , donner la loi de probabilité de Y .
𝑦𝑦(𝛺𝛺) = {25,49,100} ,
p(y=25)=p(𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝒑𝒑(𝒙𝒙 = −𝟓𝟓)=4/6
P(y=49)=p(𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟒𝟒) = 𝒑𝒑(𝑿𝑿 = 𝟕𝟕) = 𝟏𝟏/𝟔𝟔
P(y=100)=p((𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝒑𝒑(𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟏𝟏/𝟔𝟔
Exemple cas continue :
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de densité : est définie par :
1)
2)
3)
4)
5)
1)
Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
Calculer F(5), p(1<X<3).
Calculer l’espérance et la variance ainsi que l’écart type de X.
Calculer E(4X+6), var(4X+6)
Calculer la fonction de répartition F(X)
Solution :
Déterminons k :
2) calculons les probabilités :
́ 1
𝒈𝒈 =
+∞
𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∫𝟎𝟎
+∞
3)calculons E(X)
g=x
+∞
∫𝟎𝟎
𝒉𝒉́ = 𝟒𝟒𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝑬𝑬(𝑿𝑿) = ∫𝟎𝟎
h= - 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝒈𝒈 = 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒉𝒉́
𝒙𝒙. 𝟒𝟒𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅 = ??
+∞
+∞
donc k=4
on procède par une intégration par partie :
𝑬𝑬(𝑿𝑿) = [−𝒙𝒙𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 ]+∞
𝟎𝟎 − ∫𝟎𝟎
on doit calculer : 𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) = ∫𝟎𝟎
𝑒𝑒𝑒𝑒 0 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.
K/4=1
𝟒𝟒
donc
= 𝟒𝟒𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟎𝟎
𝒌𝒌𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑲𝑲[ −𝟏𝟏/𝟒𝟒 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 ]+∞
𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 �+ 𝒆𝒆 � = 𝟏𝟏
4) Calculons la variance :
𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗(𝑿𝑿) = 𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) − [𝑬𝑬(𝑿𝑿)]𝟐𝟐
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐾𝐾𝑒𝑒 −4𝑥𝑥 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 < 𝑥𝑥 < +∞
𝒙𝒙𝟐𝟐 . 𝟒𝟒𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅 = ??
−𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝟏𝟏
= -[ 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 ]+∞
𝟎𝟎 =
𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝟒𝟒
, on procède par une intégration par partie
𝒈𝒈́ = 𝟐𝟐𝒙𝒙
intégration par partie :
+∞
Donc :
𝒉𝒉 = −𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) = [−𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 ]+∞
𝟎𝟎 − ∫𝟎𝟎
𝟏𝟏
𝑬𝑬(𝑿𝑿𝟐𝟐 ) = [𝟐𝟐𝟐𝟐(− 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 )]+∞
𝟎𝟎 − �
𝟒𝟒
Var(x)=1/8 – (1/4)²= 1/16.
L’écart type :
+∞
𝟎𝟎
𝟏𝟏
𝟐𝟐(− 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 )𝒅𝒅𝒅𝒅 = �
𝟒𝟒
+∞
𝟎𝟎
𝜎𝜎(𝑋𝑋) = �1/16=1/4
4)E(4X+6)=4 E(X)+6=4(1/4)+6=7
𝟏𝟏
𝟐𝟐
+∞
= ∫𝟎𝟎
𝟐𝟐𝟐𝟐𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅,
𝒉𝒉́
𝒈𝒈 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒈𝒈́ = 𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐(−𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 )𝒅𝒅𝒅𝒅
𝟏𝟏
𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅=[(− 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 )]+∞
𝟎𝟎 =1/8
= 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟏𝟏
𝒉𝒉 = − 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟒𝟒
𝟖𝟖
et
Var(4X+6)=16 var(X)=16.(1/16)=1
5)la fonction de répartition :
𝒙𝒙
𝑭𝑭(𝒙𝒙) = ∫−∞ 𝒇𝒇(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒅𝒅
Si X<0 , F(x)=0
SI 0<X<∞,
𝒙𝒙
𝒙𝒙
F(x)=∫𝟎𝟎 𝒇𝒇(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∫𝟎𝟎 𝟒𝟒𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒅𝒅𝒅𝒅 = [ − 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 ]𝒙𝒙𝟎𝟎 = − 𝒆𝒆−𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏
Changement de variable :
f(x)=x si 0<X<1
et o sinon , donner la loi de probabilité de y=1/X.
1
1
1
1/𝑦𝑦
𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)=p(Y≤ 𝑦𝑦) = 𝑝𝑝(1/𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 1/𝑦𝑦) = 1 − 𝑝𝑝(𝑋𝑋 < ) = 𝐹𝐹𝑋𝑋 � � = 1 − ∫0𝑌𝑌 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 1 − [𝑥𝑥 2 /2]0 =1Pour trouver f(y), il suffit de dériver F(Y) :
𝑓𝑓𝑌𝑌 (𝑦𝑦) =
𝑦𝑦
𝑑𝑑𝐹𝐹𝑌𝑌 (𝑦𝑦)
𝑑𝑑𝑑𝑑
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦
�1 −
1
2𝑦𝑦 2
� =1/𝑦𝑦 3
f(y)= 1/𝑦𝑦 3
1
2𝑦𝑦 2
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 > 1
Et
0 sinon
