ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra Mecánica de Fluidos I Toala Vite Kevin Javier Guayaquil – Ecuador [email protected] Tarea #2 Contenido Instrucciones ..................................................................................................................... 2 Problema #1 ...................................................................................................................... 2 Problema #2 ...................................................................................................................... 4 Problema #3 ...................................................................................................................... 6 Problema #4 ...................................................................................................................... 9 Problema #5 .................................................................................................................... 11 Referencias ..................................................................................................................... 13 Índice de Ilustraciones Ilustración 1: Diagrama del sistema de placas paralelas. ................................................. 2 Ilustración 2: Perfil de viscosidad del aceite. ................................................................... 3 Ilustración 3: Diagrama del sistema de embrague. ........................................................... 5 Ilustración 4: Película de glicerina fluyendo sobre una superficie lisa. ........................... 7 Ilustración 5: Diagrama de cuerpo libre de una unidad de Glicerina. .............................. 7 Ilustración 6: Esfera de acero flotando por tensión superficial. ....................................... 9 Ilustración 7: Diagrama de cuerpo libre de la esfera. ....................................................... 9 Ilustración 8: Esquema de una cuchilla de acero flotando en el agua. ........................... 11 Ilustración 9: Diagrama de cuerpo libre de una cuchilla de acero flotando en el agua. . 12 Índice de Ecuaciones Ecuación 1: Ley de Newton de la Viscosidad. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) ...... 3 Ecuación 2: Expresión matemática de la viscosidad dinámica. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) ................................................................................................................... 4 Ecuación 3: Gravedad específica o densidad relativa. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) ................................................................................................................................. 4 Ecuación 4: Fuerza de tensión superficial. (Física con ordenador, 2010) ...................... 10 1 Instrucciones En la resolución de problemas se deberá incluir los respectivos datos, suposiciones, esquemas de ser necesario, enunciar las ecuaciones o principios con su respectivo autor y por último una conclusión acerca del mismo. Nota del estudiante: para la resolución de los problemas se seguirán una serie de pasos claramente identificados. Además, se hará uso del programa AutoCAD 2D para la elaboración de los diagramas. Problema #1 Dos placas paralelas planas cuadradas con dimensiones de 60cm x 60cm. La película de aceite con espesor de 12,5 mm existe entre las dos placas, la placa superior que se mueve a 2,5 m/s requiere una fuerza de 9.81 N para mantener la velocidad y la placa inferior es estacionaria. Determinar la viscosidad dinámica del aceite en Poise y la viscosidad cinemática del aceite en Stokes si la gravedad específica del aceite es 0,95. 1er Paso: Obtención de Datos del problema. 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑃𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 = (60 [𝑐𝑚] ∗ 60[𝑐𝑚]) = 0.36 [𝑚2 ] 𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎𝑠 = 12.5 [𝑚𝑚] = 0.0125 [𝑚] 𝑚 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2.5 [ ] 𝑠 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 9.81 [𝑁] 2do Paso: Diagrama del sistema. 𝛾𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 0.95 Ilustración 1: Diagrama del sistema de placas paralelas. 3er Paso: Análisis preliminar. Para obtener la viscosidad dinámica se emplea la ecuación 1, para esto, primero se debe analizar el perfil de viscosidad que se genera al mover la placa superior a una cierta velocidad, así de esta manera se puede obtener la relación entre la variación de velocidad del aceite y su espesor. Luego se calcula el esfuerzo cortante generado por la fuerza 2 aplicada y con esto ya se puede determinar la viscosidad dinámica. Finalmente, mediante el uso de la ecuación 2 se puede determinar la viscosidad cinemática. 4to Paso: Procedimiento. • Para la viscosidad dinámica: Se parte de la ecuación 1 que se muestra a continuación. 𝜏=𝜇 𝛿𝑉 𝛿𝑦 Ecuación 1: Ley de Newton de la Viscosidad. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) 𝛿𝑉 Ahora se debe determinar 𝛿𝑦 , para esto se analiza el perfil de viscosidad que se muestra en la ilustración 2 a continuación. Ilustración 2: Perfil de viscosidad del aceite. Del perfil de viscosidades se obtiene: 𝛿𝑉 2.5 [𝑚/𝑠] = = 200 [1/𝑠] 𝛿𝑦 0.0125 [𝑚] Ahora para el esfuerzo cortante se tiene: 𝜏= 𝐹 𝐴𝐶𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 = 9.81 [𝑁] = 27.25 [𝑁/𝑚2 ] 0.36 [𝑚2 ] Finalmente, reemplazando estos valores en la ecuación 1 se tiene lo siguiente: 𝜇= 𝜏 27.25 [𝑁/𝑚2 ] = = 0.136 [𝑁𝑠/𝑚2 ] 𝛿𝑉 200 [1/𝑠] ( ) 𝛿𝑦 Pero nos piden la viscosidad en términos de Poise, por lo cual se tiene que: 1 [𝑃] = 0.1 [𝑃𝑎. 𝑠] 𝜇 = 0.136 [ 𝑁𝑠 ] = 0.136[𝑃𝑎. 𝑠] 𝑚2 3 Entonces, aplicando los factores de conversión se tiene: 0.136[𝑃𝑎. 𝑠] ∗ 1 [𝑃] = 1.363 [𝑃] 0.1 [𝑃𝑎. 𝑠] Por lo tanto, la viscosidad de nuestro aceite es de 𝜇 = 1.363 [𝑃] • Para la viscosidad cinemática: Se parte de la ecuación 2 que se muestra a continuación. 𝜈= 𝜇 𝜌 Ecuación 2: Expresión matemática de la viscosidad dinámica. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) Entonces, para poder hacer uso de esta expresión se necesita conocer la densidad del aceite, para esto se hace uso de la ecuación 3 que se muestra a continuación. 𝛾𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝜌𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝜌𝐴𝑔𝑢𝑎 Ecuación 3: Gravedad específica o densidad relativa. (White, Mecánica de Fluidos, 2004) De donde: 𝜌𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝛾𝐴𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 ∗ 𝜌𝐴𝑔𝑢𝑎 = (0.95)(1000[𝑘𝑔/𝑚3 ]) = 950 [𝑘𝑔/𝑚3 ] Finalmente, reemplazando los datos en la ecuación 2 se tiene: 𝜈= 0.136 [𝑁𝑠/𝑚2 ] = 1.43𝑥10−4 [𝑚2 /𝑠] 950 [𝑘𝑔/𝑚3 ] Pero nos piden la viscosidad en términos de Stoke, por lo cual, si 1 [𝑆𝑡] = 0.0001 [𝑚2 /𝑠], se tiene que: 𝜈 = 1.43𝑥10−4 [𝑚2 /𝑠] ∗ 1 [𝑆𝑡] = 1.43 [𝑆𝑡] 0.0001 [𝑚2 /𝑠] Por lo tanto, la viscosidad de nuestro aceite es de 𝜈 = 1.43 [𝑆𝑡] Comentario. – En este ejercicio se ha trabajado con un aceite de alta densidad, y pese a esto, el esfuerzo cortante que se ha aplicado para que el aceite fluya, es muy pequeño en comparación a la presión atmosférica. Además, se usaron relaciones entre unidades no tan comunes. Problema #2 El sistema de embrague que se muestra se utiliza para transmitir el par a través de una película de aceite de 3 [mm] de espesor con μ = 0,38 [𝑁𝑠/𝑚2 ] entre dos discos idénticos de 30 [cm] de diámetro. Cuando el eje de conducción gira a una velocidad de 1450 [rpm], se observa que el eje accionado gira a 1398 [rpm]. Suponiendo un perfil de velocidad lineal para la película, determine el par de torsión transmitido en [𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡] 4 1er Paso: Obtención de Datos del problema. 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 3 [𝑚𝑚] 𝜇𝑆𝐴𝐸 30𝑊 = 0.38 [𝑁𝑠/𝑚2 ] 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 = 0.30 [𝑚] 𝑛𝐷𝑟𝑖𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑆ℎ𝑎𝑓𝑡 = 1450 [𝑟𝑝𝑚] 𝑛𝐷𝑟𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑆ℎ𝑎𝑓𝑡 = 1398 [𝑟𝑝𝑚] 2do Paso: Diagrama del sistema. Ilustración 3: Diagrama del sistema de embrague. 3er Paso: Análisis preliminar. En este sistema, los discos se encuentran girando en la misma dirección, pero a diferentes velocidades angulares, debido a esto, se puede asumir que un disco es estacionario y el otro se encuentra girando a una velocidad angular 𝜔 = 𝜔1 − 𝜔2. Establecido esto, se obtiene la fuerza cortante que actúa sobre toda el área de contacto y así de esta manera poder hallar el torque o par de torsión entregado por el disco móvil al estacionario. 4to Paso: Procedimiento. Partiendo de la ecuación 1 mostrada anteriormente se tiene que: 𝜏=𝜇 𝛿𝑉 𝐹 = 𝛿𝑦 𝐴 Pero, si se conoce que la velocidad tangencial está dada por 𝑉 = 𝜔𝑟 = (𝜔1 − 𝜔2 )𝑟 , y si se analiza cada diferencial de área de contacto 𝛿𝐴 = (2𝜋𝑟)𝛿𝑟, se tiene: 𝛿𝐹 = 𝜇 (𝜔1 − 𝜔2 )𝑟 𝛿𝐴 𝑦 𝛿𝐹 = 2𝜋𝜇 (𝜔1 − 𝜔2 )𝑟 2 𝛿𝑟 𝑦 𝛿𝑇 = 2𝜋𝜇 (𝜔1 − 𝜔2 )𝑟 3 𝛿𝑟 𝑦 Ahora, si el torque sobre un diferencial de Área esta dado por 𝛿𝑇 = 𝛿𝐹. 𝑟, entonces se tiene que: 5 Integrando, desde 𝑟 = 0, hasta 𝑟 = 𝐷/2, se obtiene: 𝑟=𝐷/2 𝑟=𝐷/2 ∫ 𝑟=0 𝛿𝑇 = ∫ 𝑇 = 2𝜋𝜇 𝑟=0 2𝜋𝜇 (𝜔1 − 𝜔2 )𝑟 3 𝛿𝑟 𝑦 (𝜔1 − 𝜔2 ) 𝑟=𝐷/2 3 ∫ 𝑟 𝛿𝑟 𝑦 𝑟=0 𝐷/2 (𝜔1 − 𝜔2 ) 𝑟 4 ( ) 𝑇 = 2𝜋𝜇 4 0 𝑦 Analizando las condiciones de integración se obtiene lo siguiente: Ahora, si se conoce que: 𝑇= 𝜋𝜇(𝜔1 − 𝜔2 )𝐷 4 32𝑦 (𝜔1 − 𝜔2 ) = (𝑛𝐷𝑟𝑖𝑣𝑖𝑛𝑔 𝑆ℎ𝑎𝑓𝑡 − 𝑛𝐷𝑟𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑆ℎ𝑎𝑓𝑡 ) = (1450 − 1398)[𝑟𝑝𝑚] (𝜔1 − 𝜔2 ) = (52)[𝑟𝑒𝑣/𝑚] ∗ Entonces, se tiene: 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑] 1 [𝑚𝑖𝑛] ∗ = 5.45 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] 60 [𝑠] 1 [𝑟𝑒𝑣] 𝑁𝑠 𝑟𝑎𝑑 𝜋 (0.38 [ 2 ]) (5.45 [ ]) (0.3 [𝑚])4 𝑠 𝑚 𝑇= = 0.548 [𝑁𝑚] 32(3𝑥10−3 [𝑚]) Finalmente, el troque en [𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡] es: 𝑇 = 0.548 [𝑁𝑚] ∗ 0.22481 [𝑙𝑏𝑓] 3.2808 [𝑓𝑡] ∗ = 0.405 [𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡] 1 [𝑁] 1 [𝑚] Así, se tiene que el par de torsión transmitido por los discos es de 𝑇 = 0.405 [𝑙𝑏𝑓. 𝑓𝑡] Comentario. – Para este ejercicio fue necesario asumir que un disco esta fijo, pese a que los 2 discos se encuentran girando, con el fin de establecer un perfil de velocidad lineal en la película de aceite. Problema #3 Una capa delgada de glicerina fluye hacia abajo de una placa inclinada, ancha con la distribución de la velocidad mostrada en la figura. Para h = 0.3 [in] y α= 20°, determine la velocidad de la superficie, U. tenga en cuenta que, para el equilibrio, el componente de peso que actúa en paralelo a la superficie de la placa debe ser equilibrado por la fuerza de cizalladura desarrollada a lo largo de la superficie de la placa. En el análisis, suponga un ancho de unidad. Exprese su velocidad en [ft/s]. 1er Paso: Obtención de Datos del problema. 𝛾𝐺𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 = 78.72 [𝑙𝑏/𝑓𝑡 3 ] 6 𝜇𝐺𝑙𝑖𝑐𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎 = 0.0295 [𝑙𝑏𝑠/𝑓𝑡 2 ] ℎ = 0.3 [𝑖𝑛] ∗ 2do Paso: Diagrama del sistema. 1 [𝑓𝑡] = 0.025 [𝑓𝑡] 12 [𝑖𝑛] 𝛼 = 200 Ilustración 4: Película de glicerina fluyendo sobre una superficie lisa. Ilustración 5: Diagrama de cuerpo libre de una unidad de Glicerina. Donde, 𝐿 = 𝛿𝐴 3er Paso: Análisis preliminar. Para este ejercicio, primero es necesario establecer la relación entre el esfuerzo cortante generado por el propio peso del fluido y el esfuerzo cortante en el borde de la placa lisa (fuerza de cizalladura). Para esto se parte de una sumatoria de fuerzas, y luego, se analizan las condiciones para un y=h≠0 y para y=h=0, y de este modo poder obtener la velocidad U. 4to Paso: Procedimiento. • Analizando para un y ≠ 0. Se parte de una sumatoria de fuerzas en x (hacia la izquierda positivo), se tiene: ∑ 𝐹𝑥 = 0 = 𝑊 sin(𝛼) − 𝜏𝛿𝐴 7 Entonces, si 𝑊 = 𝛾𝑙ℎ = 𝛾ℎ𝛿𝐴 se obtiene: 𝛾ℎ𝛿𝐴 sin(𝛼) = 𝜏𝛿𝐴 De esta manera, nuestra ecuación cuando h ≠ 0, es: • 𝜏 = 𝛾ℎ sin(𝛼) ; 𝑦 ≠ 0 (1) Analizando para un y = 0. Se parte de la ecuación 1 mostrada anteriormente, teniendo: 𝜏=𝜇 𝛿𝑢 𝛿𝑦 Si del perfil de velocidades se tiene la siguiente ecuación dada por el ejercicio: 𝑦 𝑦2 𝑢 = 2𝑈 − 𝑈 2 ℎ ℎ 𝛿𝑢 Se puede derivar con respecto a y, para obtener el cociente 𝛿𝑦, teniendo así: 𝛿𝑢 2𝑈 2𝑈𝑦 = − 2 𝛿𝑦 ℎ ℎ Entonces, si y = 0, la ecuación queda de la siguiente manera: 𝛿𝑢 2𝑈 = ℎ 𝛿𝑦 Reemplazando esto en la ecuación 1, se obtiene: 𝜏=𝜇 2𝑈 ; 𝑦 = 0 (2) ℎ Ahora, si igualamos las ecuaciones (1) y (2), se tiene: 𝜏=𝜏 𝛾ℎ sin(𝛼) = 𝜇 Despejando U, Reemplazando valores se obtiene: 𝑈= 𝑈= 2𝑈 ℎ 𝛾ℎ2 sin(𝛼) 2𝜇 (78.72 [𝑙𝑏/𝑓𝑡 3 ])(0.025 [𝑓𝑡])2 sin(200 ) = 0.285 [𝑓𝑡/𝑠] 2(0.0295 [𝑙𝑏𝑠/𝑓𝑡 2 ]) Finalmente, se obtiene que la velocidad de la superficie es 𝑈 = 0.285 [𝑓𝑡/𝑠]. Comentario. – Para este ejercicio fue necesario entender que era necesario establecer una relación entre el esfuerzo cortante generado por el propio peso del fluido, con el esfuerzo 8 cortante que se genera en la ultima capa del fluido por una fuerza de cizalla. Así, de esta manera era posible obtener la velocidad de la superficie U del fluido. Problema #4 Contrariamente a lo que se puede esperar, una bola de acero sólida puede flotar en el agua debido al efecto de tensión superficial. Determine el diámetro máximo en pulgadas de la bola de acero que flotaría sobre el agua a 20°C. ¿Cuál sería su respuesta para una pelota de aluminio? Tomar las densidades de las bolas de acero y aluminio para ser 7800 [kg/m 3] y 2700 [kg/m3], respectivamente. 1er Paso: Obtención de Datos del problema. 4 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝑟 3 3 𝜌𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 7800 [𝑘𝑔/𝑚3 ] 𝜌𝐴𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 2700 [𝑘𝑔/𝑚3 ] 2do Paso: Diagrama del sistema. 𝑇𝑎𝑔𝑢𝑎 = 20 0 𝐶 Ilustración 6: Esfera de acero flotando por tensión superficial. Ilustración 7: Diagrama de cuerpo libre de la esfera. 9 3er Paso: Análisis preliminar. Para este ejercicio es necesario establecer las relaciones de equilibrio entre el peso de la esfera y la fuerza de tensión superficial del agua, y de esta manera se puede obtener una ecuación general para el diámetro de la esfera. 4to Paso: Procedimiento. Se parte de una sumatoria de fuerzas en y (hacia abajo positivo), y se tiene: ∑ 𝐹𝑦 = 0 = 𝑊 − 𝐹𝑇 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Ahora, se debe hacer uso de la ecuación 4 que se muestra a continuación. 𝐹𝑇 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝛿𝐴𝜎𝑠 Ecuación 4: Fuerza de tensión superficial. (Física con ordenador, 2010) Entonces, si se sabe que 𝛿𝐴 = 𝜋𝐷, se obtiene: 𝑊 = 𝜋𝐷𝜎𝑠 Ahora, si 𝑊 = 𝑚𝑔, y si 𝑚 = 𝜌𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 , se tiene: 𝑚𝑔 = 𝜋𝐷𝜎𝑠 4 Si 𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 3 𝜋𝑟 3 , entonces: Si 𝑟 = 𝐷/2, se obtiene: 𝜌𝑔𝑉𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜋𝐷𝜎𝑠 4 3 𝜋𝑟 𝜌𝑔 = 𝜋𝐷𝜎𝑠 3 4 (𝐷/2)3 𝜌𝑔 = 𝐷𝜎𝑠 3 𝐷 2 𝜌𝑔 = 𝜎𝑠 6 Finalmente, despejando el diámetro se tiene: 6𝜎𝑠 𝐷=√ 𝜌𝑔 Donde 𝜎𝑠 = 0.073 [𝑁/𝑚], esto es la tensión superficial del agua a una temperatura de 20 0 𝐶. • Diámetro para una bola de acero: 39.37[𝑖𝑛] 6(0.073 [𝑁/𝑚]) = 2.4𝑥10−3 [𝑚] ∗ = 0.095 [𝑖𝑛] 𝐷𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = √ 3 2 1 [𝑚] (7800 [𝑘𝑔/𝑚 ] )(9.81 [𝑚/𝑠 ]) 10 El diámetro máximo para que una bola de acero pueda flotar en el agua es de 𝐷 = 0.095 [𝑖𝑛] • Diámetro para una bola de aluminio: 39.37[𝑖𝑛] 6(0.073 [𝑁/𝑚]) = 4.1𝑥10−3 [𝑚] ∗ = 0.161 [𝑖𝑛] 𝐷𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = √ 3 2 1 [𝑚] (2700 [𝑘𝑔/𝑚 ] )(9.81 [𝑚/𝑠 ]) El diámetro máximo para que una bola de aluminio pueda flotar en el agua es de 𝐷 = 0.161 [𝑖𝑛] Comentario. – Luego de haber realizado este ejercicio, se puede denotar que el diámetro máximo para que una esfera pueda flotar, es inversamente proporcional a la densidad de su material. Problema #5 Las fuerzas de tensión superficial pueden ser lo suficientemente fuertes como para permitir que una cuchilla de afeitar de acero de doble filo "flote" en el agua, pero una cuchilla de un solo filo se hundirá. Supongamos que las fuerzas de tensión superficial actúan en un ángulo relativo a la superficie del agua como se muestra en la figura. (a) La masa de la cuchilla de doble filo es 0,64x10 -3 [kg]; y la longitud total de sus lados es de 0,67 [ft]. Determine el valor de θ requerido para mantener el equilibrio entre el peso de la cuchilla y la fuerza de tensión superficial resultante. (b) La masa de la cuchilla de un solo filo es 2,61x10-3 [kg]; y la longitud total de sus lados es de 0.5 [ft], explique por qué esta cuchilla se hunde. 1er Paso: Obtención de Datos del problema. 𝑚𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑜 = 0.64𝑥10−3 [𝑘𝑔] 𝐿𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑜 = 0.67[𝑓𝑡] ∗ 1 [𝑚] = 0.204 [𝑚] 3.2808 [𝑓𝑡] 𝑚𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑓𝑖𝑙𝑜 = 2.61𝑥10−3 [𝑘𝑔] 𝐿𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑜 = 0.5[𝑓𝑡] ∗ 2do Paso: Diagrama del sistema. 1 [𝑚] = 0.152 [𝑚] 3.2808 [𝑓𝑡] Ilustración 8: Esquema de una cuchilla de acero flotando en el agua. 11 Ilustración 9: Diagrama de cuerpo libre de una cuchilla de acero flotando en el agua. 3er Paso: Análisis preliminar. Para este ejercicio es necesario establecer la relación entre el peso de la cuchilla y la fuerza de tensión superficial, para así de esta manera, obtener una ecuación general del ángulo Teta. 4to Paso: Procedimiento. Se parte de una sumatoria de fuerzas en y (hacia abajo positivo), y se tiene: ∑ 𝐹𝑦 = 0 = 𝑊 − 𝐹𝑇 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 sin(𝜃) Entonces, si se conoce que 𝐹𝑇 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝜎𝑠 𝐿, se obtiene: Ahora, si 𝑊 = 𝑚𝑔, se tiene: Despejando 𝜃, se obtiene: 𝑊 = 𝜎𝑠 𝐿 sin(𝜃) 𝑚𝑔 = 𝜎𝑠 𝐿 sin(𝜃) 𝑚𝑔 𝜃 = sin−1 ( ) 𝜎𝑠 𝐿 Donde 𝜎𝑠 = 0.073 [𝑁/𝑚], esto es la tensión superficial del agua. • Para la cuchilla de afeitar de acero de doble filo, se tiene: 𝜃 = sin−1 ( (0.64𝑥10−3 [𝑘𝑔])(9.81 [𝑚/𝑠 2 ]) ) = 24.940 (0.073 [𝑁/𝑚])(0.204 [𝑚]) Finalmente, el valor de θ requerido para mantener el equilibrio entre el peso de la cuchilla y la fuerza de tensión superficial resultante es 𝜃 = 24.940 . • Para la cuchilla de afeitar de acero de un solo filo, se tiene: 𝑚𝑔 = 𝜎𝑠 𝐿 sin(𝜃) (2.61𝑥10−3 [𝑘𝑔])(9.81 [𝑚/𝑠2 ]) = (0.073 [𝑁/𝑚])(0.152 [𝑚]) sin(𝜃) 0.026 = 0.011 sin(𝜃) 12 Entonces, dado que el máximo valor que puede tomar el sin(𝜃) es 1, no se cumple la relación de flotabilidad de 𝑊 < 𝜎𝑠 𝐿 sin(𝜃), por lo tanto, esta cuchilla no flota sobre el agua, ya que para este caso se tiene que 𝑊 > 𝜎𝑠 𝐿 sin(𝜃). Comentario. – En este ejercicio se puede deducir una relación de flotabilidad, la misma que mostrará si un objeto es capaz de flotar en el agua por fuerzas de tensión superficial. Referencias Física con ordenador. (16 de Febrero de 2010). Obtenido de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/tension/introduccion/introduccion.htm White, F. M. (2004). Mecánica de Fluidos. En F. M. White, Mecánica de Fluidos (págs. 22 - 23). Madrid: McGRAW-HILL. White, F. M. (2004). Mecánica de Fluidos. En F. M. White, Mecánica de Fluidos (págs. 17 - 18 ). Madrid: McGRAW-HILL. 13
