Exercices d'Électricité III : Diélectriques, Gauss, Énergie

S4 -MP-ENSA
SMP-
Electricité III
Exercice 3
Exercice 2
Exercice 1
0699024385
cours de soutien
N 1
Prof : Zegtaoui khalid
érie
S
o
:
Un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope (l.h.i.) de permittivité électrique
r
, est
limité par deux conducteurs sphériques (
1
S
) et (
2
S
) de même centre O er de rayons respectifs
1
R
et
2
R
(
21 RR 
). Les deux surfaces regard de (
1
S
) et (
2
S
) portent des charges réelles (+Q) et (-Q). Sous
l’action du champ appliqué créé par ces charges réelles, le milieu diélectrique possède une polarisation
de la forme
r
2
r
re
r4
)1(
(M)P 
Q
où r est la distance du point
),,r(M 
au centre O.
1) Déterminer les distributions de charge fictive de polarisation.
2) Calculer les charges électriques fictives de polarisation. Montrer que
la charge fictive totale est nulle.
3) En appliquant le théorème de Gauss à une surface sphérique de
centre O et rayon r, déterminer le champ
(M)E
et
l’induction électrique
(M)D
en tout point M de l’espace.
4) Déterminer l’énergie électrostatique stockée dans le milieu
diélectrique
O
R1
R2
(+Q)
S1
S2
(-Q)
On considère un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope de permittivité
diélectrique
r
, limité par deux surfaces sphériques (
1
S
) et (
2
S
) de même centre O et rayons respectifs
R1et R2. Le milieu est constitué par des molécules non polaires. Une charge électrique ponctuelle q,
réelle et positive, est placée au centre O.
1) Expliquer comment le milieu considéré se polarise-t-il.
2) Montrer que le champ électrique, en tout point
),M(r, 
dans
la base sphérique (
),,( r eee 
est de la forme
r
E(M) E(r).e
.
3) En appliquant le théorème de Gauss généralisé, déterminer
l’induction électrique
(M)D
et le champ électrique total
(M)E
créés
en tout point M de l’espace.
4) En rappelant le champ électrique créé par une charge ponctuelle q en un
point de l’espace, déduire le champ dépolarisant
d
E (M)
en tout point de l’espace.
5) Déterminer l’expression du vecteur polarisation
P(M)
du milieu.
6) a- Calculer les densités des charges fictives de polarisation.
b- Calculer les charges fictives correspondantes.
7) Déterminer l’énergie électrostatique
e
W
emmagasinée dans le volume diélectrique.
)(S2
)(S1
R2
R1
q
O
Un milieu diélectrique parfait, de permittivité diélectrique relative
r
, est limité par
deux surfaces cylindriques de même axe ZZ’ et de même hauteur h: une surface
externe
)(S2
de rayon b et une surface interne
)(S1
de rayon a. Le volume cylindrique interne, de
rayon a et de hauteur h, contient une charge électrique volumique réelle Q répartie avec une
densité
uniforme. La polarisation du milieu est induite par le champ électrique
créé par la charge réelle.

Exercice 4
Z’
Z
h
b
a
1) Exprimer la densité volumique de charge réelle
en fonction du rayon a
et de la charge électrique réelle Q.
2) -En appliquant le théorème de Gauss généralisé déterminer
l’induction électrique
(M)D
en tout point M de l’espace.
-En déduire le champ électrique
(M)E
.
3) Déterminer le vecteur polarisation
(M)P
dans le milieu
4) Déterminer les densités de charge fictive de polarisation.
5) Calculer les charges fictives et montrer que la charge fictive totale
est nulle.
6) Calculer l’énergie électrostatique
e
W
emmagasinée dans le milieu
diélectrique.
Un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique relative
r
,
de forme sphérique (centre O, rayon R), est polarisé sous l’action d’un champ électrique créé par une
charge volumique réelle répartie dans le volume du milieu diélectrique avec une densité
(uniforme).
On désignera par Q la charge réelle totale contenue dans le volume sphérique de rayon R.
1) Montrer que le champ électrique créé par cette distribution est radial et son module ne dépend que
de la distance r du point M au centre O :
rr er).(E(M)E 
.
2) -En appliquant le théorème de Gauss généralisé, à une surface bien choisie,
Déterminer le champ d’induction électrique
(M)D
en tout point M de l’espace.
-En déduire le champ électrique
(M)E
.
3) Déterminer l’expression du vecteur polarisation
(M)P
.
a- Calculer les densités de charge fictives de polarisation.
b- Calculer les charges fictives volumique et surfacique et montrer que
la charge fictive totale est nulle.
4) Ecrire l’expression de la densité volumique d’énergie
électrostatique
e
, puis calculer l’énergie
e
W
emmagasinée dans le volume
diélectrique.
R
O
(εr)
(ᵨ)
Exercice 5
Rappel :
- En coordonnées sphériques, pour un champ de vecteurs
),(r,A 
:
A
sinr 1
sinA
sinr 1
Ar
r
r
1
A. r
2
2
div
- En coordonnées cylindriques, pour un champ de vecteurs
z),(r,A 
:
zz
A
A
r
1
r.A
rr
1
Adiv. r
Un condensateur plan d'épaisseur
2
est rempli par deux diélectriques de permittivités
respectives
1
et
2
, séparés par une surface non chargée et de vecteurs polarisation respectifs
21 Pet P
. Ses armatures situées en z = 0 et z =
2
sont chargées avec une densité de charge
mobile
uniforme.
)( 0
)( 1
)( 2
)( 0
O
2
 1
P
 2
P
k
Z

On suppose négligeable les effets de bord et que les lignes de champs à l'intérieur du
condensateur sont perpendiculaires aux armatures.
1) Déterminer le vecteur déplacement électrique
D
en tout point de l'espace.
2) Calculer les champs électriques
21 Eet E
et les polarisations
21 Pet P
dans les deux
milieux en fonction de
21 et ,
.
3) Calculer les densités surfaciques des charges fictives.
Exercice 6
Q
O
R1
R2
(εr)
Un matériau diélectrique linéaire, homogène et isotrope, de permittivité relative
r
est
limité par deux surfaces sphériques. La surface externe de rayon
2
R
et la surface interne
(surface d’une cavité sphérique) de rayon
21 RR 
ne contenant aucune charge. Une charge
électrique réelle ponctuelle Q positive est placée au centre O de la cavité sphérique.
1) En appliquant le théorème de Gauss généralisé, calculer l’induction
électrique
D
, le champ
E
et la polarisation
P
en tout point de l’espace.
2) Déterminer les densités de charge de polarisation.
3) Calculer la charge électrique totale
Q
contenue dans une sphère de
centre O et de rayon
21 RrR 
. Conclure.
4) Calculer l’énergie électrostatique emmagasinée dans le matériau diélectrique.
Rappel : L’expression de la divergence d’un champ radial en coordonnées sphériques est :
A
sinA
sinr 1
Ar
r
r1
A. r
2
2
Exercice 7
On considère deux conducteurs cylindriques coaxiaux (C1) et (C2), en équilibre
électrostatique, de même hauteur h, de rayons respectifs aet b(avec a < b) et de charges
libres totales respectives (Q>0) et (-Q) réparties sur les surfaces en regard des deux
conducteurs. L’espace compris entre les deux cylindres est séparé en deux milieux, de même
volume, par une surface diamétrale plane ne contenant aucune charge libre (couronne
circulaire comprise entre les rayons r = a et r = b).
Les milieux (1) et (2) sont remplis par des matériaux diélectriques linéaires, homogènes et
isotopes, de permittivités diélectriques absolues 1et 2respectivement.
1) –Justifier pourquoi le champ électrique entre les deux
conducteurs est radial et ne dépend que de r :
r
e(r).E(M)E 
.
–En utilisant la relation de passage, pour le champ
électrique, à la surface de séparation entre
les deux milieux, montrer que
(r)E)r(E)r(E 21
.
– A l’aide du théorème de Gauss généralisé, déterminer,
en fonction de
21 et h,r,Q,
, le champ électrique
(r)E
et les inductions électriques
1
D
et
2
D
dans les deux milieux.
2) Déterminer les vecteurs polarisation
1
P
et
2
P
dans les
deux milieux.
Q
a
b
h
-Q
)( 1
)( 2
3) Déterminer les densités de charge électriques fictives équivalentes aux deux milieux
diélectriques polarisés.
4) En utilisant la relation de passage pour l’induction électrique
D
, déterminer les densités de
charges libres sur les deux surfaces latérales
L1
S
et
L1
S'
du cylindre (C1) plongées
respectivement dans les milieux (1) et (2).
5) Calculer les énergies électrostatiques
1
W
et
2
W
emmagasinées respectivement dans les
milieux (1) et (2).

Exercice 9
Exercice 9
Rappel : La divergence d’un champ
A
radial à symétrie cylindrique s’écrit :
)(r.A
rr
1
A. r
où
r
A
est la composante radiale de
A
.
−→
p1−→ p2
r
W2−→ p2−→
p1
θ1θ2−→
p2
εr−→ E0
−→
E
−→
E0εr−→ P
−→
P−→
Ep
−→
Ep
−→
Ep
−→
p
−→
E0=E0−→
ex
(r, θ)
V0
−→
E0
V0
V
−→
E0
V= 0
Exercice 9
−→
p−→ exx
Q
x
−→
E

−→
F
W
−→
E′
W′
W′W
Exercice 9
J
Un cylindre magnétique, de rayon Ret de longueur Lest aimanté de façon
permanente suivant parallèlement son axe.
z
e.
R
r
CJ 
(C est une constante positive)
1) Déterminer les vecteurs densités des courants d’aimantation, équivalents au milieu
aimanté dans le vide.
2) Calculer les intensités des courants volumique et surfacique
v
I
et
s
I
et montrer que le
courant d’aimantation total est nul.
Rappel : Le rotationnel d’un champ de vecteurs
F
en coordonnées cylindriques s'écrit :
z
r
r
z
ze).
F
-
r
)F.(
( e).
r
F
-
r
F
(
r
e).
z
F
-
z
F
r
1
(Ftro 
où
)
z
e,e,
r
e( 
est la base locale en coordonnées cylindriques.
Un volume magnétique, limité par deux surfaces sphériques concentriques (
1
S
) et (
2
S
) de rayons
21 Ret R
respectivement (avec
21 RR 
), possède une aimantation permanente de
la forme :
3
r
r
.
4.
a
(M)J
pour
21 RrR 
où a est une constante positive et
OMr
1) Déterminer les densités de courant d'aimantation
- En déduire le champ d'induction magnétique
a
B
,
créé par le volume aimanté, en tout point de l’espace.
2) Déterminer le champ d'excitation magnétique
a
H
en tout point de l’espace.
Rappel : Le rotationnel d'un champ de vecteurs
F
, en coordonnées sphériques dans la base
locale
)e,e,e( r
s'écrit :
eee 
.
F
)r.F(
rr
1
.)(r.F
r
F
sin
1
r
1
.F)sinF(
sin r 1
Frot rr
r
1
R
O
2
R
1
)(S1
)(S2
Exercice 9