HAL Id: cel-00341772
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Méthode des éléments nis
Hervé Oudin
To cite this version:
Hervé Oudin. Méthode des éléments nis. Engineering school. Ecole Centrale de Nantes, 2008, pp.65.
�cel-00341772v2�
cel-00341772, version 2 - 2 Jan 2009
Table des matières
1Méthodes d’approximation en physique 1
1.1 Généralités .................................................. 1
1.1.1 Processus d’analyse ...................................... 1
1.1.2 Méthodes d’approximation ................................. 3
1.2 Méthode des résidus pondérés ................................... 3
1.3 Formulation variationnelle ...................................... 6
1.3.1 Transformation de la forme intégrale ......................... 6
1.3.2 Discrétisation de la forme intégrale ........................... 8
1.3.3 Écriture matricielle des équations ............................ 9
1.4 Principe des Travaux Virtuels ..................................... 10
1.4.1 Écriture ............................................... 10
1.4.2 Discrétisation .......................................... 11
2 Méthode des éléments finis 13
2.1 Généralités .................................................. 13
2.2 Démarche éléments finis ........................................ 14
2.2.1 Discrétisation géométrique ................................. 14
2.2.2 Approximation nodale .................................... 14
2.2.3 Quantités élémentaires .................................... 19
2.2.4 Assemblage et conditions aux limites ......................... 21
2.3 Utilisation d’un logiciel éléments finis .............................. 22
2.3.1 Déroulement d’une étude .................................. 23
2.3.2 Techniques de calculs au niveau élémentaire .................... 26
2.4 Organigramme d’un logiciel éléments finis .......................... 31
3 Applications en mécanique 33
3.1 Structures treillis .............................................. 33
3.1.1 Élément barre .......................................... 33
3.1.2 Assemblage ............................................ 35
3.2 Structures portiques ........................................... 38
3.2.1 Élément poutre ......................................... 39
3.2.2 Assemblage ............................................ 41
3.3 Élasticité plane ............................................... 42
3.3.1 Contraintes planes ....................................... 43
3.3.2 Déformations planes ..................................... 44
3.3.3 Élément T3 ............................................ 45
3.3.4 Élément Q4 ............................................ 47
A Illustrations académiques 49
A.1 Application de la méthode des résidus pondérés ...................... 49
A.2 Formulation variationnelle de l’équation de poisson ................... 50
A.3 Construction d’une approximation nodale linéaire ..................... 51
A.4 Fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire .................... 51
cel-00341772, version 2 - 2 Jan 2009
A.5 Structure élastique à symétrie cylindrique ........................... 52
A.6 Assemblage et conditions aux limites ............................... 54
A.7 Principe des Travaux Virtuels en traction-compression .................. 55
A.8 Équivalence PTV et équation locale avec conditions aux limites ........... 56
A.9 Matrice raideur et vecteur force généralisée des éléments triangulaires . . . . . . 56
A.10 Changement de base dans le plan ................................. 57
A.11 Dimensionnement statique d’une colonne .......................... 58
A.12 Étude statique d’un portique ..................................... 60
Références 63
Index 64
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