dc an 04 suites particulieres 2iw0mjq

AN04
Suites arithmético-géométriques
et récurrentes linéaires d’ordre 2
Version du 23-11-2021 à 14:58
1 . Suites arithmético-géométriques
Définition 1 – Suites arithmético-géométriques
On dit qu’une suite (un)n∈Nest une suite arithmético-géométrique lorsqu’il existe (a, b)∈R2avec
a6= 1 tel que : ∀n∈N, un+1 =a×un+b.
Pour définir entièrement une suite arithmético-géométrique, il est impératif de connaître au moins
la valeur d’un des termes, le plus souvent u0.
L’origine de la terminologie
On remarque que si a= 1, une telle suite est arithmétique, et si b= 0, une telle suite est géométrique.
Exemple 1 – Calculs de termes
Déterminer le 5eterme de la suite (un)n∈Ndonnée par (u0= 2
∀n∈N, un+1 =−1
2un+ 1 .
Théorème 1 – Obtention du terme général d’une suite arithmético-géométrique
Soit (un)n∈Nune suite arithmético-géométrique telle
que :
∀n∈N, un+1 =a×un+b
où (a, b)∈R2avec a6= 1.
Si on note `l’unique solution de l’équation
(?) : x=ax +b
alors la suite (vn)n∈Nde terme général vn=un−`est
une suite géométrique de raison a.
Éléments de preuve:
CPGE-BL - Mathématiques
Version du 23-11-2021 à 14:58
1AN04 −Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2

Point méthode 1 – Terme général d’une suite arithmético-géométrique
Pour (un)n∈Nune suite arithmético-géométrique telle que : ∀n∈N, un+1 =a×un+boù (a, b)∈R2avec a6= 1 :
On résout l’équation
(?) : x=ax +bet
on note `la solution
La suite (vn)n∈Noù
vn=un−`est
géométrique de raison a
∀n∈N, vn=an×v0
avec v0=u0−`∀n∈N, un=an×v0+`
Formule suite
géométrique
un=vn+`
Exemple 2 – Terme général d’une suite arithmético-géométrique
Déterminer le terme général de la suite (un)n∈Ndonnée par (u0= 2
∀n∈N, un+1 =−1
2un+ 1 .
Théorème 2 – Limite d’une suite arithmético-géométrique
Soit (un)n∈Nune suite arithmético-géométrique telle que : ∀n∈N, un+1 =a×un+boù (a, b)∈R2avec a6= 1.
On note `l’unique solution de l’équation (?) : x=ax +b.
Cas u0=`
La suite (un)n∈Nest constante égale à `.
Cas u06=`
Si |a|<1, alors un−→
n→+∞`. Si a > 1, alors un−→ n→+∞±∞.Si a≤ −1, alors (un)n∈Nn’a pas
de limite.
Exemple 3 – Limite d’une suite arithmético-géométrique
Déterminer la limite de la suite (un)n∈Ndonnée par (u0=−1
∀n∈N, un+1 =3
4un+ 2 .
CPGE-BL - Mathématiques
Version du 23-11-2021 à 14:58
2AN04 −Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2

2 . Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Définition 2 – Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
On dit qu’une suite (un)n∈Nest une suite récurrente linéaire d’ordre 2 lorsqu’il existe (a, b, c)∈R∗×R×Rtel que son
terme général unvérifie :
∀n∈N, a ×un+2 +b×un+1 +c×un= 0
L’équation caractéristique associée à la suite (un)n∈Nest (?) : ar2+br +c= 0 d’inconnue r.
Pour définir entièrement une suite récurrente linéaire d’ordre 2, il est impératif de connaître au
moins la valeur de deux termes successifs, la plupart du temps u0et u1.
Théorème 3 – Expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (un)n∈Nune suite récurrente linéaire d’ordre 2 telle que : ∀n∈N, a ×un+2 +b×un+1 +c×un= 0 avec
(a, b, c)∈R∗×R×R.
On note ∆le discriminant de l’équation caractéristique (?) : ar2+br +c= 0.
Cas où ∆>0
(?)admet deux solutions réelles r1et r2et il existe (λ, µ)∈R2tel que :
∀n∈N, un=λ×(r1)n+µ×(r2)n
Cas où ∆=0
(?)admet une solution réelle r0et il existe (λ, µ)∈R2tel que :
∀n∈N, un=λ×n×(r0)n+µ×(r0)n
Cas où ∆<0
(?)admet deux solutions complexes conjuguées r1=ρeiθet r2=r1et il existe (λ, µ)∈R2tel que :
∀n∈N, un=ρn(λcos(nθ) + µsin(nθ))
Le couple (λ, µ)est clairement déterminé de façon unique par la donnée de u0et u1.
Exemple 4 – Équation caractéristique et terme général
Donner l’expression du terme général de la suite (un)n∈Ndonnée par 
u0=−1
u1= 2
∀n∈N, un+2 = 5un+1 −6un
.
CPGE-BL - Mathématiques
Version du 23-11-2021 à 14:58
3AN04 −Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2