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AN04
Suites arithmético-géométriques
et récurrentes linéaires d’ordre 2
Version du 23-11-2021 à 14:58
1.
Suites arithmético-géométriques
Définition 1 – Suites arithmético-géométriques
On dit qu’une suite (un )n∈N est une suite arithmético-géométrique lorsqu’il existe (a, b) ∈ R2 avec
a 6= 1 tel que : ∀n ∈ N, un+1 = a × un + b.
Pour définir entièrement une suite arithmético-géométrique, il est impératif de connaître au moins
la valeur d’un des termes, le plus souvent u0 .
L’origine de la terminologie
On remarque que si a = 1, une telle suite est arithmétique, et si b = 0, une telle suite est géométrique.
Exemple 1 – Calculs de termes
(
Déterminer le 5e terme de la suite (un )n∈N donnée par
u0 = 2
1
.
∀n ∈ N, un+1 = − un + 1
2
Théorème 1 – Obtention du terme général d’une suite arithmético-géométrique
Soit (un )n∈N une suite arithmético-géométrique telle
que :
∀n ∈ N, un+1 = a × un + b
Éléments de preuve:
où (a, b) ∈ R2 avec a 6= 1.
Si on note ` l’unique solution de l’équation
(?) : x = ax + b
alors la suite (vn )n∈N de terme général vn = un − ` est
une suite géométrique de raison a.
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1 AN04 − Suites arithmético-géométriques et récurrentes linéaires d’ordre 2
Point méthode 1 – Terme général d’une suite arithmético-géométrique
Pour (un )n∈N une suite arithmético-géométrique telle que : ∀n ∈ N, un+1 = a × un + b où (a, b) ∈ R2 avec a 6= 1 :
On résout l’équation
(?) : x = ax + b et
on note ` la solution
La suite (vn )n∈N où
vn = un − ` est
géométrique de raison a
∀n ∈ N, vn = an × v0
avec v0 = u0 − `
Formule suite
géométrique
un = vn + `
∀n ∈ N, un = an ×v0 +`
Exemple 2 – Terme général d’une suite arithmético-géométrique
(
Déterminer le terme général de la suite (un )n∈N donnée par
u0 = 2
1
.
∀n ∈ N, un+1 = − un + 1
2
Théorème 2 – Limite d’une suite arithmético-géométrique
Soit (un )n∈N une suite arithmético-géométrique telle que :
On note ` l’unique solution de l’équation (?) : x = ax + b.
∀n ∈ N, un+1 = a × un + b où (a, b) ∈ R2 avec a 6= 1.
Cas u0 = `
La suite (un )n∈N est constante égale à `.
Cas u0 6= `
Si |a| < 1, alors un −→ `.
n→+∞
Si a > 1, alors un −→ ±∞.
n→+∞
Si a ≤ −1, alors (un )n∈N n’a pas
de limite.
Exemple 3 – Limite d’une suite arithmético-géométrique
(
Déterminer la limite de la suite (un )n∈N donnée par
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u0 = −1
∀n ∈ N, un+1 =
3
.
un + 2
4
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2.
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Définition 2 – Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
On dit qu’une suite (un )n∈N est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 lorsqu’il existe (a, b, c) ∈ R∗ × R × R tel que son
terme général un vérifie :
∀n ∈ N, a × un+2 + b × un+1 + c × un = 0
L’équation caractéristique associée à la suite (un )n∈N est (?) : ar2 + br + c = 0 d’inconnue r.
Pour définir entièrement une suite récurrente linéaire d’ordre 2, il est impératif de connaître au
moins la valeur de deux termes successifs, la plupart du temps u0 et u1 .
Théorème 3 – Expression du terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2
Soit (un )n∈N une suite récurrente linéaire d’ordre 2 telle que : ∀n ∈ N, a × un+2 + b × un+1 + c × un = 0 avec
(a, b, c) ∈ R∗ × R × R.
On note ∆ le discriminant de l’équation caractéristique (?) : ar2 + br + c = 0.
Cas où ∆ > 0
(?) admet deux solutions réelles r1 et r2 et il existe (λ, µ) ∈ R2 tel que :
n
∀n ∈ N, un = λ × (r1 ) + µ × (r2 )
n
Cas où ∆ = 0
(?) admet une solution réelle r0 et il existe (λ, µ) ∈ R2 tel que :
n
n
∀n ∈ N, un = λ × n × (r0 ) + µ × (r0 )
Cas où ∆ < 0
(?) admet deux solutions complexes conjuguées r1 = ρe i θ et r2 = r1 et il existe (λ, µ) ∈ R2 tel que :
∀n ∈ N, un = ρn (λ cos(nθ) + µ sin(nθ))
Le couple (λ, µ) est clairement déterminé de façon unique par la donnée de u0 et u1 .
Exemple 4 – Équation caractéristique et terme général
Donner l’expression du terme général de la suite (un )n∈N
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
 u0 = −1
u1 = 2
donnée par
.

∀n ∈ N, un+2 = 5un+1 − 6un
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