TD corriges asservissement et regulation

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
ISET — Nabeul
Département Génie mécanique
TRAVAUX DIRIGÉS ET EXAMENS
CORRIGÉS
ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION
Adnene TLILI
Safeyiddine KALLELI
A.U. :
/
TD : Asservissement et régulation
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
Département de génie mécanique
Travaux Dirigés en Asservissement et régulation
Transformée de Laplace
Niveau : L2-Génie mécanique
EXERCICE 1(corrigé) :
1.O
o sid e u s st
e d’e t e
gi pa l’
et de sortie
uatio diff e tielle
suivante :
+
+
+
=
+
Calculer la fonction de transfert de ce système et calculer ses pôles et ses zéros
2.O
o sid e u s st
+
+
e d’e t e
=
Calculer la réponse de ce système
et de sortie
à une entrée
gi pa l’
é ℎ
3.Représenter puis calculer la transformée de Laplace de la fonction
{
=
=
uatio diff e tielle suiva te :
définie par :
<
=
>
< <
>
EXERCICE 2(corrigé) :
Soit le système suivant :
E
A.U. 2014/2015
+
1
S
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Dont
est donné par :
1
1
1
1
Calculer
puis déduire
EXERCICE 3 (corrigé) :
Calculer et tracer les réponses du système de fonction de transfert :
Aux signaux
suivants :
=
−�
( − −� )
,
EXERCICE 4 (corrigé) :
1) Soit le système suivant :
−
Calculer
et en déduire la réponse temporelle du système
a) Pour une entrée en échelon unitaire :
b) Pour une entrée en échelon de vitesse :
2) Soit la fonction
= {
<
définie par :
;
<
>
Représenter graphiquement la fonction
A.U. 2014/2015
respectivement :
=
= .
et calculer sa transformée de Laplace
2
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
EXERCICE 5 (corrigé) :
Soit le s st
e
+
gi pa l’
+
uatio diff e tielle suiva te :
+
=
+
=
1. Déterminer la fonction de transfert de système :
2. Calculer les pôles et zéros de ce système
�
On considère que les conditions initiales sont nulles.
EXERCICE 6 (corrigé) :
On considère un système d’e t e E p et de so tie S p donné par le schéma bloc suivant :
+
+
+
1. Déduire la fonction de transfert du système
2.Faire la décomposition en éléments simples de la fonction de transfert
3.Déduire s(t) dans chaque cas, pour les entrées suivantes :
2
δ(t)
t)
e(t)
t)
2
2
t
A.U. 2014/2015
t
3
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Correction
EXERCICE 1

d S �
+
d�
[
]+
d²S �
+
d�²
[
²
dS �
+ S � =
d�
²
d� �
+ � �
d�
] + L [S � ] =
] + 3L [
[
 p3 S(p) + 3 p² S(P) + 3 p S(p) + S(p) = 2 pE(p) + E(p)
 S(p) [β + β² + β + ] =
β+
système
 H(p) =
p+
p + p²+ p+
=
� β soit H(p) =
]+
p
p
[d � ]
: la fonction de transfert du
N P
P
Les zéros de H(p)  N(p) = 0  2p + 1 = 0  p = − d’où : − ��� �� �é�α ���β��
Les pôles de H(p)  D(p) = 0 
+
+
+
=
On remarque que -1 est un zéro pour D (p) (pôle pour H (p)) d’où
D(p) = (p + 1) (ap² + b p + c)
ap3 + bp² + cp + ap² + bp + c par identification :
D’où
= , =
+
{
+
=
=
=
=
=
 D(p) = (p + 1) (p² + 2p + 1) = (p + 1) (p + 1)² = (p + 1) 3 d’où : -1 est un pôle triple.
2)
 [
²
²
²
²
+
]+
[
+ S � = � �
]+
On a : e(t) = U(t)  L [
A.U. 2014/2015
[
]=
]=
[
4
]
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
D’où p² S(p) + 3 pS(p) + 2 S(p) =
 S(p) = [β² + β + ] =
 S(p) =
p p + p+
p
=
p p+
+
p+
/
=−
p
p+
Décomposition des S(p) en éléments simple
 S(p) =
Avec ∝ =
=
∝
p

p+
/
+
= β+
 S(P) =
+
=
. +
P
 S(t) = [ +
=
3) {
=
/

 ∝=
=−
P+
+
− �
–
�
=
= −
.
P+
− �
−�
−
=
 =
]
−
−�
U(t)
<
< <
>
Représentation :
S(t)
A
t
T
S(t) =
A
� U � − U �−T
A.U. 2014/2015
+ AU � − T
5
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
S(t) =
A
�U � −
 S(t) =
S(t) =
A
A
A
� U � − T + AU(t – T)
A
�U � −
A
�U � −
 S(P) =
A
.
A
−
p²
� − T U � − T − AU � − T + AU � − T
�−T U �−T
−T
p²
EXERCICE 2
a)
e(t) = t(u(t) – U(t – 1))
 e(t) = t u(t) – tU (t-1)
= t u(t) – (t – 1) U (t – 1) - U(t – 1)
E(p) = L [� � ] =
S(p) =
.� β
+p
 S(p) =(
 S(p) =(
+p
p²
p
−
−
+p
On pose H(p) =
p²
p²
−
-
−
p
p
p²
−
−
+p
-
−
p
−
−
p
))
−
p +p
)
+p
Décomposant H(p) en éléments simples
H(p) =
p² +p
=
p
+
p²
+
δ
+p
Avec :  = p²H (p) / p = 0   = 1
α=
p
[β²H β ]/ p = 0  α = −
A.U. 2014/2015
6
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
+ β H β /p = -1  δ =
δ=
de même on pose F1(p) =
F(p) =
p
=
+p
p

+
p
+p
, décomposant F1(p) en éléments simples
+p
Avec : α = pF p /p=  α =
 = (1 + p) F(p) /p = -1   = -1
D’où F p =
D’où S p) =
p
−
p
D’où S p = - +
p
+p
+
p²
+
=
p²
+
+p
−
p
-
−
+p
+p
+
+p
−
+
p
−
−
p²
−
−
+p
−
−
p
+
−
+p
p²
 S(t) = -U(t) + t(U)(t) + �− U(t) – (t – 1) U(t – 1)
b)
On a e(t) = t(u(t) – u(t – 1)) – (t – 2) (u(t – 1) – U(t – 2))
 e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t -1) – u(t – 1) – (t – 1) u (t – 1) + u(t – 1) + (t – 2) u (t – 2)
 e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t - 1) – (t – 1) u(t – 1) + (t – 2) u (t -2)
 E(p) =
S(p) =
p²
+p
−
−
p²
+
−
p²
. E(p) = . E(p) =
p²
+p
− p²
−
+p
+ p²
−
+p
EXERCICE 3
F(p) =
−T
− −T
p
Calcule de la réponse temporelle S(t) (la sortie du système S(t)) respectivement pour :
a) e(t) =
A.U. 2014/2015
 E(p) = 1
7
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
or F(p) =
p
p
 S(p) =
−T
 S(p) =
−T
−T
=
− −T
p
− −T
.� β
p
− −T
−T
=
p
p
 S(t) = U(t – T) – U(t – 2T)
b) e(t) = U(t)  E(p) =
−T
d’où : S(p) =
 S(p) =
−T
p²
− −T
− T
−
p
p
p²
.
−
− T
p
p
D’où : S t = t – T) u(t – T) – (t – 2T) U(t – 2T)
c) e(t) = tu(t)  E(p) =
D’ où S(p) =
 S(p) =
−T
p
−T
−
− −T
p
− T
p
.
p²
p²
 S(t) =
�−T
�− T ²
−
EXERCICE 4
d) Pour un échelon unitaire e(t ) = U(t)  E(p) =
e) On a S(p) = E(p) .
f)  S(p) =
p p−
p−
= +
p
p−
p
avec a = p S(p) / p = 0  a = -1
b = (p – 1) S(p) / p=1  b = 1
d’où : S p = - +

p
p−
S(t) = - U(t) + et U(t) = (et – 1) U (t)
A.U. 2014/2015
8
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
a) Pour e(t) = t u(t)  E(p) =
D’où S p =
= +
p² p−
a = p²S(p)/p = 0 = -1
A=[
²
p²
p
p²
+
p−
] /p = 0 = -1
C = (p – 1) S(p)/p = 1  C = 1
 S (p) = -p -
p²
+ p−
 S(t) = -U(t) – tU(t) + et U(t) = [− − +
<
1) G(t) = {
, >
< , >
�]
U(t)
G(t) = T [�(� – a) − U � − b ]
g(t)
T
a
=
D’où :
[
−
−
−
b
−
− −
+ �
=
] =
[
]
Exercice 5 :
1)
β Y(p) +7
=
A.U. 2014/2015
�
�
=
+
+
�
+
+
+
9
+
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
2) Les zéros sont les valeurs de p qui annulent le numérateur de la fonction de transfert
donc les zéros= {-2}
Les pôles sont les valeurs de p qui annulent le dénominateur
=
+
=
+
+
+
+
Les pôles = { − , − }
=
+
+
+
∗
+
+
+
+
=
+
+
+
Exercice 6 :
=
1.
2.
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Par identification on obtient :
−
+
=
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
= − ,
+
+
=
+
+
+
, = −
3. Cas 1 : L’entrée est un échelon
=
∙
=
=
+
+
=
+
+
+
∙
+
+
+
Par identification on obtient :
,
=
= −
= [
,
−�
−
=
,
+
= − ,
− �
− �
+
−
−�
].
Cas 2 :L’entrée est une impulsion
=
= [−
A.U. 2014/2015
∗
− �
+
=
− �
−
∗
−�
=
]
−
+
10
+
+
+
−
+
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
Département de génie mécanique
Travaux Dirigés en Asservissement et régulation
Etude des systèmes dynamiques
Niveau : L2-Génie mécanique
Exercice1 (corrigé) :
Soit le t ai d’e g e age représenté ci-dessous, constituant un réducteur.
1
,�
L’a
e
est l’a
�
e
e a t et l’a
e , l’a
e
e
2
. Les a a t isti ues du t ai d’e g e ages
sont les suivantes :
: le couple fourni au reducteur ;
: Le couple e e
: Le ouple e e
pa l’a
e
e a t su l’a
pa l’a
e
e
su l’a
e
e
e
e a t;
: Les inerties des arbres ;
,
,
: Les coefficients de frottement visqueux ;
� , � : Les positions angulaires ;
,
,
: Les vitesses angulaires
: Les nombres des dents de chacune des roues ;
A.U. 2014/2015
11
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
,
: Les rayons des roues dentées ;
=
=
�
�
=
: Le rapport de réduction.
On suppose que les roues tournent sans glissement.
 les équations différentielles qui caractérisent le fonctionnement du réducteur :
L’
uatio des ouples pou l’a
Avec
L’
=
−
�
�
uatio des ouples pou l’a
Avec � =
e do
e do
�
Ω β est la transformée de Laplace de
et
Et de plus : c = −
�
=
�
.
= −
2. Déterminer la fonction de transfert
�
=
e:
Ω β
C�
1.Déterminer la fonction de transfert
= −�
�
−
−
�
Sachant que �
e:
(condition de roulement sans glissement)
Ω p
Ω � est la transformée de Laplace de
Exercice2 :
Donner la fonction de transfert
A.U. 2014/2015
=
�
�
par simplification des schémas blocs suivants
12
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Exercice3 :
1) Do
e e fo tio de A l’e p essio de sa t a s itta e e
ou le ouve te
T(p) = Xr(p)/E(p)
2) Calculer ensuite la transmittance en boucle fermée T’ p = Y p /Ye p e fo tio de
l’a plifi atio A
A.U. 2014/2015
13
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Exercice 4 (corrigé):
Simplifier les schémas fonctionnels suivants :
a)
+
X(p)
Y(p)
+
b)
+
X(p)
Y(p)
+
+
+
c)
D(p)
E(p)
S(p)
+
A(p)
+
B(p)
C(p)
G(p)
A.U. 2014/2015
14
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
d)
E(p)
S(p)
+
+
(p)
-
(p)
-
Exercice 5 :
Le comportement d’un four destiné au traitement thermique d’objet est régi par l’équation
différentielle suivante :
�
+
�
=
=
I. Calculer la fonction du transfert du four en boucle ouverte
Laplace de l’équation différentielle
�
�
par transformée de
II. La régulation de température de four est donnée par le schéma bloc suivant :
�
E(p)
C1
V(p)
K1
-
P(p)
Kr
H(p)
+
M(p)
C2
Description du montage :
 Bloc de transmittance C1 qui constitue le bloc « conversion », donne une image en
volts de la consigne en degrés
 C(t) et m(t) sont respectivement les images, exprimées en volt, des températures
désirées (consigne) et mesurées
 L’amplificateur multiplie l’écart e(t) afin de commander la résistance. Bloc de
transmittance K1 ;
A.U. 2014/2015
15
KALLELI S., TLILI A.
�(p)
p)
TD : Asservissement et régulation
 L’actionneur est une résistance électrique, p(t) désigne la puissance de chauffe et est
donné par : p(t) = Kr .v(t)
 Le capteur est un thermocouple (donne une image en volts d’une température en
degrés). Bloc de constante C2
Notation : L [f(t)] = F(p) ; désigne la transformée de la Laplace de f(t) est égale à F(p)
1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée
=
�
�
2. Calculer la sortie du système �(t) pour une entrée en échelon d’amplitude 200 ℃ �
℃
=
Application numérique : T= 60 s ; K1 = 100 ; Kr = 30 ; K = 0.01 et C2= C1 = 0,025 V/℃
Exercice5 :
La température �
d’un four est réglée selon le processus représenté à la figure suivante :
est une tension délivrée par un montage potentiométrique.
est la tension délivrée par un thermocouple branché de telle façon que
et
= �. �
avec � =
−
⁄°
L’a�β����ca���� �α���� ��� β����a�c� é��c������
= (
A.U. 2014/2015
−
)=
proportionnelle à
soit positif
,
�
16
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
On donne la fonction de transfert du four :
�
�
=
=
+ ,
,
+ ,
1. Compléter le schéma fonctionnel du système en boucle fermée.
X
P
�
+
_
�
Y
2. Déterminer la fonction de transfert du système en boucle ouverte
a) Déterminer la fonction de transfert du système en boucle fermée
=
=
b) La transmittance canonique des systèmes du 2ième o d e s’e p i e sous la fo
Où
=
n
=
+ �
�
�
e:
+
est la pulsation propre ou naturelle.

est l’amortissement.
K
est le gain statique du système.
Exprimer ces 3 paramètres en fonction des données du problème.
A.U. 2014/2015
17
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Correction
Exercice 1 :
Mαdé���a��α� d′ �� ����è�� β������� ∶
1) Déterminer la fonction de transfert
θ
On a : C(t) – C2 (t) – f1
 C(t) – C2 (t) – f1 ω t = J1
T a sfo
]+
 C(p) – C β − � Ω β
T a sfo
[�
θ
=J
 C1(t) – f2 ω � = J
]−
(�
θ
(1)
do
]=
′
uatio
[
e:
� �
�
]
:
²
� �
�
)=
(
 C1(p) – f2 Ω2 (p) = J2 p Ω 2 (p)
 C1(p) – Ω2 (p) = (f2 + J2 p )
Or on a : C2(t) = -
p
²
uatio
e de la pla e de l’
On a : C1(t) – f2
 [
ω
e de la pla e de l’
]− [
L[
²θ
=J
Ω p
�
 L (C � ) = −
D’où : - n C2 (P) = Ω2 (p) (f2 + J2p)
)
L (C � ) C β = −
Or on a : ω(t) r1 = - ω � �  � Ω β = − � Ω β  Ω β = −
= −
 −
�
Ω P
C P =
²
A.U. 2014/2015
= −
�
Ω β � + J β
p
 C1(p) = - n C2 (p)
Ω β �
β
+
18
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
On substitue C2 p pa so e p essio da s
C(p) -
²
Ω β
 C(p) = [
D’où
Ω p
+
+ J β −
+
=
p
+
+
+
+
’ ou o tie t :
Ω β = J βΩ β
J
]�
p
2) On a Ω β = −�Ω β
D’où : - n
Ω p
p
=
+
+
²
+
J
P
Exercice 4 :
a)
Y(p)
X(p)
+
=
+
b)
=
).
+
X(p)
Y(p)
+
+
+
=
A.U. 2014/2015
+
).
+
19
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
c)
D(p)
E(p)
S(p)
+
+
A(p)
B(p)
C(p)
G(p)
=
d)
E(p)
+
+
=
+
+
+
S(p)
+
(p)
-
+
(p)
-
=
A.U. 2014/2015
+
=
+
+
+
20
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
Département de génie mécanique
Travaux Dirigés en Asservissement et régulation
Réponses temporelles
Niveau : L2-Génie mécanique
Département génie Mécanique
Travaux dirigés
Fonctionnement du poste de découpage (poste 1)
Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de découpage
βa� �’������éd�a��� d’�� �aβ�� �α��a�� ����a��é βa� �� �α����
MT . L’ac��α�
simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en position sous
le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe sur un deuxième
�aβ�� �α��a�� βα�� �’a����� a� d����è�� βα��� d� c����a�� ������
.
Figure 1 : Poste de découpage
A.U. 2014/2015
21
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis
O� �’���é����� da�� c���� βa���� � �a �αdé���a��α� �� � �a cα��a�d� �� ������� d� �α����
MT1 à courant continu.
1. Modélisation
L’����a������� d� �aβ�� a���a�� ��� ba�d�� d� ���� ��� a����é βa� �� �α���� � cα��a��
continu MT1. La fonction de transfert générale de al commande de la vitesse de rotation
angulaire (t) du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc représenté par la
figure 4.
La �αdé���a��α� d� cα�βα������� d� �α���� d’a������������� � cα��a�d� βa� �’��d���
est donnée par les équations ci-dessous :
= .
=
=
�
�
=
� �
+
.
.
�
−
.
+
.
−
.
�
.
.
Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes :
= (
) est la tension de commande du moteur,
électromotrice,
) est l’intensité du courant de commande du moteur,
= (
moteur,
�
Ou
= (
=
= (
�
) est le couple résistant, Ω = (
) est la force contre= (
) est le couple
) est la vitesse de rotation du moteur.
signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle
On note :
: La résistance totale d’induit, : l’inductance totale d’induit,
contre- électromotrice,
: le coefficient de couple,
: le coefficient de la force
: le coefficient de frottement visqueux,
: Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur
1. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du moteur, et
à partir des transformées de Laplace des équations précédentes, compléter le schéma
fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs
A.U. 2014/2015
22
�
= ,…, .
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
2.
+
-
I(p)
U(p)
B1
-
B2
Ω
B3
+
E(p)
B4
Figure 4. Schéma bloc moteur
Dans tout ce qui suit, on suppose que le couple résistant est nul : Cr = 0
1.1.2 Etablir la fonction de transfert : G(p) =
2. Commande en vitesse du moteur
Ω p
p
Le moteur est entraîné par une génératrice à courant continu à vitesse constante, dont le
schéma bloc de commande est représenté βa� �a ������
. L’�����b�� �α���� –
�é�é�a���c� ��çα�� � �’����é� �a cα������ d� ��é����c� d� �α�a��α� Ωcα��.
K2
I
Ωcon
b
Vcon
+
EG +
v
C(p)
U
VGT
Ω
K1
Une dynamo tachymétrique placée ��� �’a�b�� d� �α���� �α������a�� ��� �����α�
=
A.U. 2014/2015
23
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Les équations régissant le fonctionnement de la génératrice sont les suivantes :
=
où
=
−
+
=
est la force électromotrice développée par la génératrice : C(p) est un
correcteur.
On note : V = L(v) ; I1 = L(i1) ; EG = L(eG) ; VGT= L (vGT) où F = L(f) signifie que F est la
transformée de la place de la fonction temporelle f.
Données numériques :
Moteur : R = 0,4 Ohm, Ke = 1V.s/rad, Ke = 1N.m/A , Jm = �� �², α� �é����� �’��d�c�a�c�
(L) et le coefficient de frottement (Fv)
Génératrice : RG = 0.4 ohm, a = 100 ohm, r = 20ohm, 1 = 5H,
Dynamo tachymètrique : b = 0.2
N.B : Pour toutes les questions suivantes, donner les expressions littérales puis numériques.
2.1 : Donner le schéma bloc complet du moteur-génératrice avec sa commande en précisant les
blocs, K1, K2 et F(p).
2.2. Ca�c���� �a �α�c��α� d� ��a������ T β ����a�� �a ������� a����a��� Ω β � �a �����α� d�
commande V(p).
2.3. Ca�c���� �� ��β�é������ �’a����� d� �a �éβα��� d� ����è�� �α� a������ �α����-génératrice
V,Ω � �� éc���α� de tension de 10 Volts.
2.4. Calculer la fonction de transfert du système en boucle fermée : H(p) =
�
� �
�
.
2.5. Da�� �� ca� d’�� cα���c���� β�αβα���α���� C β = A, �α����� ��� �� ����è�� a������ ��� ��
����è�� d� ��cα�d d’α�d�� d� β���a��α� β�αβ�� ωn, d� cα����c���� d’a�α���������� ξ �� d� �a��
statique K.
A.U. 2014/2015
24
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
2.6. Déterminer la valeur limite du gain A, telle que la réponse à un échelon ne présente pas de
dépassement.
A.U. 2014/2015
25
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Correction
A������������� �� ������� d� �α���� d’����a���ment du tapis
1- Modélisation :
� +
U(t) = Ri(t) + L
+ e(t)
�
e(t) = ke ω �
(C.1)
C.
cm(t) = Kc i(t)
J
w
1.1L[
⇒I β
(C.3)
� − � . � � − C �
= c
(C.4)
T�a���α��é� d� �a β�ac� βα�� �’é��a��α� C.
]=
[
]+
[
� �
�
R+βL = U β – E(p)
⇒I β =
(
+
−
]+L[
)
] ⇒ U P = RI β + LβI β + � β
B1 =
D’αù
 T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
L [� � ] = Ke L[ω � ] ⇒ � β = �e Ω β
T�a���α��é� d� �a β�ac� βα�� �’é��a��α� C.
]=
L[
[
⇒
+
�
d�� :
] ⇒ Cm(p) = Kc I(p)
�
]−
] = L[
⇒ Ω(p)[
⇒ Ω (p) =
A.U. 2014/2015
=
+
+
]=
−
�
−
−
[�
−
d�� :
+
B4 =
D’αù
 Transformée de la place d� �’é��a��α� C.
Jm L [
donne :
]− [
d’αù
26
B2 = Kc
D’αù
]
B3 =
+
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Ainsi le schéma fonctionnel du moteur est le suivant :
U(p) +
+
E(p)
Ω
KC
+
-
+
Ke
II- 1-2- Couple résistant est nul (Cr = 0)
Le schéma bloc se réduit à :
U(p)
+
I(p)
KC
+
-
Ω
Cm(p)
+
Ke
Détermination de la fonction transfert G(p)
G(p) =
Ω p
p
=
=
A.U. 2014/2015
R+ L
.
+ R+ L .
. v+ J
. v+ J
.
kc
R+ L v+ J
R+ L v+ J + kck
R+ L v+ J
27
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
D′ α� G β =
+p
+p
+
2. Commande en vitesse du moteur :
2.1
[
T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
]= [
+ ]-
[
De même on a VG = b(t)⇒ L [

L[

L[
]  U(p) = EG(p) – RG I(p) d’αù
]=bL[
T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
]=aL[
K2 = RG
] ⇒ VGT P = b Ω β d’αù
K1 = b
] ⇒ �G (p) = aI1(p)
Transformée de la β�ac� d� �’é��a��α� C.
] = r L[
⇒ I1(p) =
] + l L[
� �
�
]
d’αù EG(p) =
V(p) = rI1 (P) + lpI1 β ⇒ V β = � + β� I1 (p)
V β ⇒
F(p) =
+
O� �é����� �’��d�c�a�c� L �� �� cα����c���� d� ��α������� �� d’αù B1 et B3 se réduisent à :
et
D’aβ�è� �a �α����� d� b�ac� α� a :
A.U. 2014/2015
28
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
D’α�:
2.2 la réponse temporelle du système (w(t) pour un échelon de tension de 10 volts (v(t) = 10
volts)
Remarque : Ω β = L
O� a � � =
⇒V β =
Ω(p) = T(p) V (P) =
AN :
⇒ Ω(p) =
=

=
=
+ ,
D’αù � � =
,
�
/ =− ,
� � + ,
→
= −
,
�-4t U(t) – 59,26e-0,625t U(t)
 w(t) = (27,02 + 9,26e-4t – 59,26e-0,625t) U(t)
A.U. 2014/2015
29
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
2.3 Calcul de la fonction de transfert du système en boucle fermée H(p) =
Le schéma bloc (de la page 4) se simplifie sous la forme
On a Vcon = b Ωcon

D’αù
2.4
=
�
Ωc
=
+p
p+p
p
+
+
p
Da�� �� ca� d’�� cα���c���� β�αβα���α���� C β = A d� �α�c��α� d� ��a������ d������ :

A.U. 2014/2015
30
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Ainsi le système est de second ordre or la �α�c��α� d� ��a������ d’�� ����è�� d� ��cα�d α�d��
�’éc��� �α�� �a �α��� :
Avec : K : gain statique,
: �ac���� d’a�α���������� �� �n : pulsation propre
Par identification on trouve :
ξω =
�J�R + �J�RG + ����c
�J�R + �J�RG
.
A.U. 2014/2015
31
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
Département de génie mécanique
Travaux Dirigés en Asservissement et régulation
Performances d’un système asservi
Niveau : L2-Génie mécanique
Exercice 1 :
Tracer le lieu de transfert correspondant à la fonction :
+
+
=
1. Dans le plan de Bode
2. Dans le plan de Black
3. Dans le plan de Nyquist
En précisant les asymptotes et les points spécifiques.
Exercice 2 :
Soit la fonction de transfert
+
−
=
Tracer le lieu de transfert dans le plan de Bode et dans le plan de Nyquist
Exercice 3 :
Etudie la sta ilit des s st
=
Ou
=
+ .
+ .
+ .
+ .
es d’
+
+
uatio
+
+
a a t isti ue :
+
est un paramètre réel variable.
Exercice 4 :
Soit un système à retour unitaire dont la fonction de transfert de la chaine directe est
1. Montrer que si le lieu de transfert en boucle ouverte présente une marge de phase
|
° à la pulsation
|=
,
A.U. 2014/2015
(
, alors le lieu de transfert en boucle fermée
)= −
est tel que
.
�
=
°
32
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
=
2. Application :
Calculer la pulsation
Do
+ . .
et le gain
permettant d’avoir une
e l’e p essio de la FTBF et v ifie le
�
sultat.
=
°.
Exercice 5 :
Soit l’asse visse e t p se t da s la figu e i-dessous
1. Ecrire la fonction de transfert
2. Si
=
Quel est alo s l’ a t
=
3. Que devie t l’ a t
�
A.U. 2014/2015
+
−
=
, que devient
∞ entre
∞ =
et
∞ −
∞
quand → ∞
∞ , si l’e t e est u e a pe de pe te a
E
+ .
33
�
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION
Année universitaire : 2009/2010.
Date : le 07/01/2010
Classe : L2.
Nombre de pages : 5
Durée : 1H30.
Documents : non autorisés.
Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M & Amdouni.H & Zitouni.A
Fonctionnement du poste de découpage :
Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de
découpage par l’intermédiaire d’un tapis roulant entrainé par un moteur (MT1).
L’action simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en
position sous le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe
sur un deuxième tapis roulant pour l’amener au deuxième poste de cintrage (figure
1)
Figure 1 : Poste de découpage
A.U. 2014/2015
34
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis
On s’intéresse dans un premier lieu à la modélisation en vitesse du moteur MT1 à
courant continu.
L’entrainement du tapis amenant les bandes de tôle est assuré par un moteur à
courant continu MT1. La fonction de transfert générale de la commande de la vitesse
de rotation angulaire
du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc
représenté par la figure 2.
La modélisation du comportement du moteur d’asservissement à commande par
l’induit est donnée par les équations ci- dessous :
= .
=
=
�
�
=
� �
+
.
.
�
−
.
+
.
.
−
.
.
�
Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes :
= (
) est la tension de commande du moteur,
électromotrice,
= (
) est l’intensité du courant de commande du moteur,
= (
couple moteur,
�
= (
moteur.
Ou
=
�
) est le couple résistant, Ω = (
) est la force contre= (
) est le
) est la vitesse de rotation du
signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle
On note :
: La résistance totale d’induit,
force contre- électromotrice,
: l’inductance totale d’induit,
: le coefficient de la
: le coefficient de couple,
: le coefficient de
frottement visqueux,
: Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur
3. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du
moteur, et à partir des transformées de Laplace des équations précédentes,
compléter le schéma fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs
,…, .
A.U. 2014/2015
35
�
=
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
U(p) +
I(p)
B1
B2
Ω
B3
+
E(p)
B4
Figure 2 Schéma bloc moteur
4. Le ut de ette uestio est d’ ta li l’e p essio de so tie Ω
=
a) 1er cas :
D te
i e alo s l’e p essio de so tie Ω
Déterminer alo s l’e p essio de so tie : Ω
c) Pour Ω
+ Ω
= Ω
Déduire alors l’e p essio Ω
= (
On considère dans la suite du problème :
+
)
= (
+
=
)
3. Si o
glige l’i du ta e
a) D te
i e et ep se te l’allu e de la réponse temporelle du système �
de tension de 10 volts
Application numérique :
=
�.
/ ,
=
et le frottement
=
Ω
. /
,
=
.
et
= ,
ℎ
la fonction de transfert du système
On considère dans ce qui suit que
=
à un échelon
=
b) Calculer le temps de réponse à %
4. Soit
)
=
=
b) 2ème cas :
= (
s’
it sous la fo
e:
+ . .
Compléter le tableau suivant et tracer le lieu de Bode en précisant les asymptotes
A.U. 2014/2015
36
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
⁄
0,1
0,3
0,5
1
1,25
2
5
10
12,5
�°
5. Soit le système asservi linéaire décrit par le schéma bloc suivant :
U
+
+ , .
_
On ne considère que le correcteur
Soit
=
Ω
=
Ω
>
la fonction de transfert de système
a) Déterminer la fonction de transfert du système respectivement en boucle ouverte et en boucle
fermée
b) Pour :
= ,
Tracer les courbes du processus en boucle ouverte dans le lieu de Bode
NB : le traçage des courbes se fait dans le même graphe de la question 4)
c) Déduire alors le rôle du correcteur
Bon Travail
A.U. 2014/2015
37
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Annexe
A.U. 2014/2015
38
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Correction D’examen
1)
 T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
d�� :
L
⇒ U β = RI β + L.β.I β + � β .
⇒I β
R + βL
⇒I β =
= U(p) – E(p)
)
D’αù B =
 T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
L
d�� :
⇒ � β = �� Ω β d’αù B4 = ke
 T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
d�� :
⇒ C� β = �c I β d’αù B2 = kc
L
 Transformée de �a β�ac� d� �’é��a��α� C.
Jm L
⇒ J� βΩ β = C� β – Fv Ω β – Cr (p)
⇒Ω β
⇒Ω β =
d’αù B =
2) a) 1er cas : Cr = o
Le schéma bloc moteur devient :
A.U. 2014/2015
39
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
U(p)
Ω1(p)
+
-
(D’aβ�è� la formule de black)
D’où
b) 2ème cas : U(p) = 0
Le schéma bloc moteur devient :
Ω2(p)
Cr(p)
+
-
c) Ω β = Ω1 β + Ω2(p)
A.U. 2014/2015
40
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
⇒Ω β =
Cr(p)
⇒Ω β =
3)
a) Pour Cr = �� �� β��� �� α� �é����� �’��d�c�a�c� L �� �� ��α������� ��, α� αb����� :
Ω β =
⇒Ω β =
d’αù Ω β =
U(t) = 10
⇒Ω β =
⇒ω � =
-
)
W(t)
10
t
b) tr5%? ⇒ L� ���β� a� bα�� d� ���� ω � =
ω � = , ⇒
⇒ – e-1,25t = 0,95
%ω
– e-1,25t) = 9,5
⇒ω � = ,
�
⇒ ω � = , �ad/�
⇒ �-1,25t) = 0,05
⇒ -1,25t = log (0,05)
⇒�=-
A.U. 2014/2015
41
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
AN : t = 2,39s
3) Soit
H(p) =
H �ω =
ω �ad/�
0,1
0,5
1,25
3
6
10
G(dB)
-0,02
-0,64
-3,01
-8,3
-13,81
-18,13
C°(H)
-4,57°
-21,80°
-45°
-67,38°
-78,23°
-82,87°
⇒ G dB = -10 log10
G (dB) = 20 log10
φ° H = -arctg

, ω
, on a :

�α����� ω
φ= °

⇒ G dB = dB
, on a :
H �ω ≃

, ω ²
Comportement asymptotique :
Lα����� ω

+
= -j
⇒
G(dB) = 20 lgo10
φ
= -20 log10 (0,8ω
-
Lorsque ω : ωo = 1,25

G(dB) =-3,01
A.U. 2014/2015
42
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation

φ°=
°
L�� a���β�α��� ���α�� d� β���� O dB �����’� ω0 = 1,25 (asymptote horizontale) et 20dB/décade au-delà
5)
a) la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO)
-
la fonction de transfert en boucle fermée (FTBK)
b) On a G(dB) ) 20log10
⇒G dB =
�α�10
20log10(k) – 10log10 (1 +(0,8ω)²)
G(dB) = 10 – 20 log10

φ° (G(jw) ) = -arctg (0,8ω) = φ ° (H(jw))
C) le rôle du correcteur C(P)
* au niveau du gain : décalage du gain de 10dB
* au niveau de la phase : Aucun effet
A.U. 2014/2015
43
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION
Année universitaire : 2010/2011.
Date : le
Classe : CFM21,22 , MI21 ,22., CLIM2
/01/2011
Nombre de pages : 6
Durée : 1H30.
Documents : non autorisés.
Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M
Enoncé du problème :
On considère un groupe Ward-L o a d o stitu d’u e g
entrainé à vitesse constante
at i e à ou a t o ti u G,
, qui alimente un moteur à courant continu M. Le moteur
entraine une charge constituée en première approximation par une inertie pure .
L’i du teu du
oteu est ali e t sous u e te sio
o sta te, et o
glige a la
a tio
d’i duit.
Première partie : Etude du groupe
Le schéma fonctionnel simplifié du groupe est donné par la figure ci-dessous :
+
A.U. 2014/2015
�
+
+
−
44
Ω
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Données numériques :
On donne :
Le
o e t d’i e tie : =
l’i duit
La
= ,
sista e d’i duit
.
; le coefficient de couple
= ,
l’e oule e t d’e itatio
; coefficient de fem
=
; inductance
=
=
� / ; la résistance de
=
; résistance de
1) En se référant au schéma fonctionnel simplifié du groupe, exprimer la fonction de
reliant la vitesse angulaire Ω
transfert
Ω
2) Sachant que
=
On pose
=
+ ,
2-1) compléter le tableau ci-dessous
w
�°(
/
(
)
(
)
(
)
�°(
�°(
=
:
+ ,
et
+ ,
à la tension de commande
=
+ ,
0,3
0,625
1
2,5
4
10
20
)
-25,64
- 45
- 58
-75,96
-81 ,12
- 86,42
-88,21
13,1
11
8,48
1,7
-2,22
-10,1
-16,1
)
- 4,29
- 8,88
-14
-32
-45
-68,19
-78,69
- 0,02
- 0,1
- 0,26
- 1,43
-3
-8,6
-14,15
)
Remarque :
�°(
(
)
=
) = �°(
(
)
) + �°(
+
)
(
)
2-2) Tracer le lieu de Bode de la fonction de transfert
3) Déterminer et représenter sur la page document réponse la réponse indicielle du groupe
à un échelon de tension de commande de 10 V,
A.U. 2014/2015
45
=
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
−
=
NB :
(Ω
)
Deuxième partie : Etude de l’asservisse e t de vitesse :
Pour réaliser un asservissement de vitesse, on ajoute au montage précédent :
 Une d a o ta h
=
, avec
t e GT, pla e su l’a
= ,
/
/
 Un comparateur effectuant la différence
e du
−
oteu M et fou issa t u e te sio
; ou
est une tension de consigne ;
 Un amplificateur de gain A qui amplifie la sortie du comparateur et fournit une tension de
Commande v
Le schéma fonctionnel du groupe avec sa commande est donné par la figure ci-dessous
+
Ω
A
�
Avec
b
=
+ ,
+ ,
=
1) En se référant au schéma fonctionnel, déterminer la fonction de transfert
2) Déterminer pour
en fonction de A, les valeurs de la pulsation naturelle
oeffi ie t d’a o tisse e t � et du gain statique
NB : la fo tio de t a sfe t d’u s st
3) Calculer A pour avoir �= 0,7
4) Sachant que pour ξ = , , on a
A.U. 2014/2015
=
= ,
�
/ et
46
, du
de l’asse visse e t.
e de se o d o d e s’
+
Ω
it sous la fo
e:
+
= ,
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Déterminer la réponse indicielle du système
=
sachant que pour :
=
−
(
)=
[ −
=
�
.
��
+ �
−�� .
∶ �� = � √ − �
5) La réponse indicielle
à une entrée de consigne de 10 V
.
�=
, on a pour
+
�� . − � ]
(
−
√ −�
pour une entrée de consigne de
�
<�<
:
)
est représenté sur la
figure document réponse. Comparer au résultat obtenu précédemment (avec la boucle
d’asse visse e t et sa s la ou le d’asse visse e t
Autrement comparer la figure de la première partie - question 3) avec la figure de la
deuxième partie - question 5)
A.U. 2014/2015
47
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et la clarté des réponses
BON TRAVAIL
A.U. 2014/2015
48
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Réponse temporelle w(t) de la fonction : H(p), pou u e e t e
helo d’a plitude 10 V
Step Response
45
40
35
Amplitude
30
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
A.U. 2014/2015
49
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Document réponse
Nom : …………………….
A.U. 2014/2015
P
o ……………………….... Classe……………………….
50
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
CORRECTION D’EXAMEN ASSERVISSEMENT 2011
PREMIERE PARTIE
1) On a
=
D’a���� βa�� α� a : � β = a.
AN: F (p) =
2) On a Ω(p) = F(p) . V(p) pour v(t) = 10V
V(p) =
Ω β =
ω � = TL.1
=
DEUXIEME PARTIE
1) Fonction de transfert en boucle fermée :
 H(p) =
2) P���a��α� �a������� : ωα =
Cα����c���� d’a�α���������� : ξ=
A.U. 2014/2015
51
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Gain statistique k =
3)
, ⇒
AN : A = 3,35
4) O� a : ξ = , ; ωα = ,
Ω (p) = H(p) Vc (p)
vc � =
; ωβ = ,
; ξ = -36,07°
V ⇒ Vc (p) =
D’αù : Ω β =
D’αù ω � =
�ad/� ; � = ,
,
5) O� cα���a�� ��� �’a������������� � β����� d’a�é��α��� ��������� �a d��a����� d�
système, en particulier au niveau du temps de stabilisation.
Papier semi logarithmique
Réponse fréquentielle de la fonction F  p  
5
dans le lieu de Bode
1  1.6 p 1  0.25 p 
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
-60
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
A.U. 2014/2015
52
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL
Département de génie mécanique
Examen : Asservissement et régulation
Durée : 1H30min
Documents : Non
Classes : L2-Génie mécanique
Date : janvier 2012
Proposé par : Kalleli Safieddine , Moulahi Hedi et Majed Nesrine
Problème :
O
o sid e u
s st
e d’e t ai e e t,
o pos
p i ipale e t d’u
oteu
le t i ue
représenté par le schéma fonctionnel donné par la figure 1.
Ω
_
+
R(p)
F(p)
_
+
_
�
Figure 1 : Sch
a fo ctio
+
el d’u syst
Ω
e d’e trai e e t
Données du problème :
: Tension d’alimentation du moteur
: Couple moteur
: Couple résistant
Ω : Vitesse de consigne
 : Vitesse de rotation du moteur
F ( p) 
k1
11 p
et R( p) 
k2
1 2 p
: Le coefficient de couple
A.U. 2014/2015
53
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
= Le coefficient de la force contre-électromotrice
On suppose dans la suite du problème que le couple résistant est nul :
−
=
On désigne par
Partie1 :
(Ω
):
=
est la transformée de Laplace inverse de Ω
1. Déterminer, par simplification de schéma bloc, l’expression de la fonction de transfert
équivalente H ( p) 
( p)
 c ( p)
=
Pour les valeurs numériques suivantes :
=2
;
= , ;� = , ;� =
;
= 1
2.
a. Calculer alors
et déduire l’ordre de système
b. Déterminer les valeurs des caractéristiques
si elle est considérée de la forme suivante :
Avec :
∶
∶
è
∶�
,
,
de la fonction de transfert
k n2
H ( p)  2
p  2m n p   n2
è
′
c. Déterminer la réponse indicielle unitaire (déterminer
pour
déduire le régime de fonctionnement du système :
=
⁄
et
(aβé��αd���� a�α��� , aβé��αd���� c������� α� α�c���a�α��� a�α���
Partie2 :
=
On s’intéresse dans cette partie à l’étude de
Ω
=
+�
1. On s’intéresse à l’étude de la réponse indicielle pour les deux cas suivants :
a. Pour (
=
� = ,
=
� =
) calculer la réponse indicielle
échelon d’amplitude égale à 10
b. Pour (
échelon d’amplitude égale à 10
2.
)
=
�.
=
�.
calculer la réponse indicielle
a. Représenter dans la même figure (Document réponse : figure 2)
A.U. 2014/2015
54
pour une entrée en
pour une entrée en
et
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
b. Conclure
=
3. Soit
+ ,
a. Déterminer l’expression du Gain (
b. Compléter le tableau ci-dessous
0,1
�° (
(
)
) et de la phase �° (
(
1
2
10
)
30
100
)
c. Tracer le lieu de Bode de
(Dans la page document réponse : figure3) pour la plage
des fréquences données dans le tableau ci-dessus
BON TRAVAIL
A.U. 2014/2015
55
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Nom……………………………..
Prenom………………………….
Classe…………….
Step Response (Réponse indicielle)
Amplitudevitesse angulaire w(t)
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
Figure 2 : Réponse temporelle
BodeDiagram
10
Magnitude(dB)
0
-10
-20
Phase(deg)
-30
0
-45
-90
-1
10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
Figure3 : Réponse fréquentielle (lieu Bode)
Document réponse
A.U. 2014/2015
56
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Correction examen 2012
Partie1 :
1.
H β =
+ c
=
2.
a. H(p)=
+
c.
p .
p + c.
.
� .�
.
p
p
+ � +� +
.
.
.�
.
.
+
.
.
+
.
.
+
+
D’où le systè e est de seco d ordre
b. H ( p) 
k n2
p 2  2m n p   n2
Par identification on obtient :
kn2
p 2  2mn p  n2
H ( p) 
kn2 =1
=6
=
= √ ;
A.U. 2014/2015
.
k= = .
m= 2 .16 ;
57
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
Ω p = Ω (p) × H(p)
C.
=
+
=
.
−
⁄
=
+
+ ,
+
w (t)= [
×
−
+
=
+
− .
+
+ ,
+ ,
− .
- 0. 34
+ ,
− .
�
- 0.177
− .
�
] u(t)
Le régime de fonctionnement du système est apériodique amorti
Partie2 :
1.
a. Ω (p) =
=
b.
Ω
�
+�
+ .
.
.
(t)=20(1-
=
+
.
(t)=20(1-
A.U. 2014/2015
−
)
− .
)
58
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
2.
a.
Step Response (Réponse indicielle)
vitesse angulaire w(t)
25
20
Amplitude
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
Time (sec)
b. On a
)= � =
� %(
D’où
� %(
)<
� %(
)= � =
� %(
× ,
) cela signifie que
×
= ,
=
à une réponse plus rapide que
(temps de stabilisation est plus petit)
3.
(
a.
�° (
A.U. 2014/2015
)=−
|
) =
|
.
59
KALLELI S., TLILI A.
TD : Asservissement et régulation
b.
�° (
(
)
)
0,1
1
2
10
20
100
6
5.05
3
-8 .12
-14.02
-27.96
2 .86
26.56
45
78.69
84.28
88.85
Bode Diagram
Magnitude (dB)
10
0
-10
-20
Phase (deg)
-30
0
-45
-90
-1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
A.U. 2014/2015
60
KALLELI S., TLILI A.