MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ISET — Nabeul Département Génie mécanique TRAVAUX DIRIGÉS ET EXAMENS CORRIGÉS ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION Adnene TLILI Safeyiddine KALLELI A.U. : / TD : Asservissement et régulation INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL Département de génie mécanique Travaux Dirigés en Asservissement et régulation Transformée de Laplace Niveau : L2-Génie mécanique EXERCICE 1(corrigé) : 1.O o sid e u s st e d’e t e gi pa l’ et de sortie uatio diff e tielle suivante : + + + = + Calculer la fonction de transfert de ce système et calculer ses pôles et ses zéros 2.O o sid e u s st + + e d’e t e = Calculer la réponse de ce système et de sortie à une entrée gi pa l’ é ℎ 3.Représenter puis calculer la transformée de Laplace de la fonction { = = uatio diff e tielle suiva te : définie par : < = > < < > EXERCICE 2(corrigé) : Soit le système suivant : E A.U. 2014/2015 + 1 S KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Dont est donné par : 1 1 1 1 Calculer puis déduire EXERCICE 3 (corrigé) : Calculer et tracer les réponses du système de fonction de transfert : Aux signaux suivants : = −� ( − −� ) , EXERCICE 4 (corrigé) : 1) Soit le système suivant : − Calculer et en déduire la réponse temporelle du système a) Pour une entrée en échelon unitaire : b) Pour une entrée en échelon de vitesse : 2) Soit la fonction = { < définie par : ; < > Représenter graphiquement la fonction A.U. 2014/2015 respectivement : = = . et calculer sa transformée de Laplace 2 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation EXERCICE 5 (corrigé) : Soit le s st e + gi pa l’ + uatio diff e tielle suiva te : + = + = 1. Déterminer la fonction de transfert de système : 2. Calculer les pôles et zéros de ce système � On considère que les conditions initiales sont nulles. EXERCICE 6 (corrigé) : On considère un système d’e t e E p et de so tie S p donné par le schéma bloc suivant : + + + 1. Déduire la fonction de transfert du système 2.Faire la décomposition en éléments simples de la fonction de transfert 3.Déduire s(t) dans chaque cas, pour les entrées suivantes : 2 δ(t) t) e(t) t) 2 2 t A.U. 2014/2015 t 3 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Correction EXERCICE 1 d S � + d� [ ]+ d²S � + d�² [ ² dS � + S � = d� ² d� � + � � d� ] + L [S � ] = ] + 3L [ [ p3 S(p) + 3 p² S(P) + 3 p S(p) + S(p) = 2 pE(p) + E(p) S(p) [β + β² + β + ] = β+ système H(p) = p+ p + p²+ p+ = � β soit H(p) = ]+ p p [d � ] : la fonction de transfert du N P P Les zéros de H(p) N(p) = 0 2p + 1 = 0 p = − d’où : − ��� �� �é�α ���β�� Les pôles de H(p) D(p) = 0 + + + = On remarque que -1 est un zéro pour D (p) (pôle pour H (p)) d’où D(p) = (p + 1) (ap² + b p + c) ap3 + bp² + cp + ap² + bp + c par identification : D’où = , = + { + = = = = = D(p) = (p + 1) (p² + 2p + 1) = (p + 1) (p + 1)² = (p + 1) 3 d’où : -1 est un pôle triple. 2) [ ² ² ² ² + ]+ [ + S � = � � ]+ On a : e(t) = U(t) L [ A.U. 2014/2015 [ ]= ]= [ 4 ] KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation D’où p² S(p) + 3 pS(p) + 2 S(p) = S(p) = [β² + β + ] = S(p) = p p + p+ p = p p+ + p+ / =− p p+ Décomposition des S(p) en éléments simple S(p) = Avec ∝ = = ∝ p p+ / + = β+ S(P) = + = . + P S(t) = [ + = 3) { = / ∝= =− P+ + − � – � = = − . P+ − � −� − = = ] − −� U(t) < < < > Représentation : S(t) A t T S(t) = A � U � − U �−T A.U. 2014/2015 + AU � − T 5 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation S(t) = A �U � − S(t) = S(t) = A A A � U � − T + AU(t – T) A �U � − A �U � − S(P) = A . A − p² � − T U � − T − AU � − T + AU � − T �−T U �−T −T p² EXERCICE 2 a) e(t) = t(u(t) – U(t – 1)) e(t) = t u(t) – tU (t-1) = t u(t) – (t – 1) U (t – 1) - U(t – 1) E(p) = L [� � ] = S(p) = .� β +p S(p) =( S(p) =( +p p² p − − +p On pose H(p) = p² p² − - − p p p² − − +p - − p − − p )) − p +p ) +p Décomposant H(p) en éléments simples H(p) = p² +p = p + p² + δ +p Avec : = p²H (p) / p = 0 = 1 α= p [β²H β ]/ p = 0 α = − A.U. 2014/2015 6 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation + β H β /p = -1 δ = δ= de même on pose F1(p) = F(p) = p = +p p + p +p , décomposant F1(p) en éléments simples +p Avec : α = pF p /p= α = = (1 + p) F(p) /p = -1 = -1 D’où F p = D’où S p) = p − p D’où S p = - + p +p + p² + = p² + +p − p - − +p +p + +p − + p − − p² − − +p − − p + − +p p² S(t) = -U(t) + t(U)(t) + �− U(t) – (t – 1) U(t – 1) b) On a e(t) = t(u(t) – u(t – 1)) – (t – 2) (u(t – 1) – U(t – 2)) e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t -1) – u(t – 1) – (t – 1) u (t – 1) + u(t – 1) + (t – 2) u (t – 2) e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t - 1) – (t – 1) u(t – 1) + (t – 2) u (t -2) E(p) = S(p) = p² +p − − p² + − p² . E(p) = . E(p) = p² +p − p² − +p + p² − +p EXERCICE 3 F(p) = −T − −T p Calcule de la réponse temporelle S(t) (la sortie du système S(t)) respectivement pour : a) e(t) = A.U. 2014/2015 E(p) = 1 7 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation or F(p) = p p S(p) = −T S(p) = −T −T = − −T p − −T .� β p − −T −T = p p S(t) = U(t – T) – U(t – 2T) b) e(t) = U(t) E(p) = −T d’où : S(p) = S(p) = −T p² − −T − T − p p p² . − − T p p D’où : S t = t – T) u(t – T) – (t – 2T) U(t – 2T) c) e(t) = tu(t) E(p) = D’ où S(p) = S(p) = −T p −T − − −T p − T p . p² p² S(t) = �−T �− T ² − EXERCICE 4 d) Pour un échelon unitaire e(t ) = U(t) E(p) = e) On a S(p) = E(p) . f) S(p) = p p− p− = + p p− p avec a = p S(p) / p = 0 a = -1 b = (p – 1) S(p) / p=1 b = 1 d’où : S p = - + p p− S(t) = - U(t) + et U(t) = (et – 1) U (t) A.U. 2014/2015 8 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation a) Pour e(t) = t u(t) E(p) = D’où S p = = + p² p− a = p²S(p)/p = 0 = -1 A=[ ² p² p p² + p− ] /p = 0 = -1 C = (p – 1) S(p)/p = 1 C = 1 S (p) = -p - p² + p− S(t) = -U(t) – tU(t) + et U(t) = [− − + < 1) G(t) = { , > < , > �] U(t) G(t) = T [�(� – a) − U � − b ] g(t) T a = D’où : [ − − − b − − − + � = ] = [ ] Exercice 5 : 1) β Y(p) +7 = A.U. 2014/2015 � � = + + � + + + 9 + KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation 2) Les zéros sont les valeurs de p qui annulent le numérateur de la fonction de transfert donc les zéros= {-2} Les pôles sont les valeurs de p qui annulent le dénominateur = + = + + + + Les pôles = { − , − } = + + + ∗ + + + + = + + + Exercice 6 : = 1. 2. = = = + + + + + + + + + = Par identification on obtient : − + = + + + + + − + + + + = − , + + = + + + , = − 3. Cas 1 : L’entrée est un échelon = ∙ = = + + = + + + ∙ + + + Par identification on obtient : , = = − = [ , −� − = , + = − , − � − � + − −� ]. Cas 2 :L’entrée est une impulsion = = [− A.U. 2014/2015 ∗ − � + = − � − ∗ −� = ] − + 10 + + + − + KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL Département de génie mécanique Travaux Dirigés en Asservissement et régulation Etude des systèmes dynamiques Niveau : L2-Génie mécanique Exercice1 (corrigé) : Soit le t ai d’e g e age représenté ci-dessous, constituant un réducteur. 1 ,� L’a e est l’a � e e a t et l’a e , l’a e e 2 . Les a a t isti ues du t ai d’e g e ages sont les suivantes : : le couple fourni au reducteur ; : Le couple e e : Le ouple e e pa l’a e e a t su l’a pa l’a e e su l’a e e e e a t; : Les inerties des arbres ; , , : Les coefficients de frottement visqueux ; � , � : Les positions angulaires ; , , : Les vitesses angulaires : Les nombres des dents de chacune des roues ; A.U. 2014/2015 11 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation , : Les rayons des roues dentées ; = = � � = : Le rapport de réduction. On suppose que les roues tournent sans glissement. les équations différentielles qui caractérisent le fonctionnement du réducteur : L’ uatio des ouples pou l’a Avec L’ = − � � uatio des ouples pou l’a Avec � = e do e do � Ω β est la transformée de Laplace de et Et de plus : c = − � = � . = − 2. Déterminer la fonction de transfert � = e: Ω β C� 1.Déterminer la fonction de transfert = −� � − − � Sachant que � e: (condition de roulement sans glissement) Ω p Ω � est la transformée de Laplace de Exercice2 : Donner la fonction de transfert A.U. 2014/2015 = � � par simplification des schémas blocs suivants 12 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Exercice3 : 1) Do e e fo tio de A l’e p essio de sa t a s itta e e ou le ouve te T(p) = Xr(p)/E(p) 2) Calculer ensuite la transmittance en boucle fermée T’ p = Y p /Ye p e fo tio de l’a plifi atio A A.U. 2014/2015 13 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Exercice 4 (corrigé): Simplifier les schémas fonctionnels suivants : a) + X(p) Y(p) + b) + X(p) Y(p) + + + c) D(p) E(p) S(p) + A(p) + B(p) C(p) G(p) A.U. 2014/2015 14 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation d) E(p) S(p) + + (p) - (p) - Exercice 5 : Le comportement d’un four destiné au traitement thermique d’objet est régi par l’équation différentielle suivante : � + � = = I. Calculer la fonction du transfert du four en boucle ouverte Laplace de l’équation différentielle � � par transformée de II. La régulation de température de four est donnée par le schéma bloc suivant : � E(p) C1 V(p) K1 - P(p) Kr H(p) + M(p) C2 Description du montage : Bloc de transmittance C1 qui constitue le bloc « conversion », donne une image en volts de la consigne en degrés C(t) et m(t) sont respectivement les images, exprimées en volt, des températures désirées (consigne) et mesurées L’amplificateur multiplie l’écart e(t) afin de commander la résistance. Bloc de transmittance K1 ; A.U. 2014/2015 15 KALLELI S., TLILI A. �(p) p) TD : Asservissement et régulation L’actionneur est une résistance électrique, p(t) désigne la puissance de chauffe et est donné par : p(t) = Kr .v(t) Le capteur est un thermocouple (donne une image en volts d’une température en degrés). Bloc de constante C2 Notation : L [f(t)] = F(p) ; désigne la transformée de la Laplace de f(t) est égale à F(p) 1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée = � � 2. Calculer la sortie du système �(t) pour une entrée en échelon d’amplitude 200 ℃ � ℃ = Application numérique : T= 60 s ; K1 = 100 ; Kr = 30 ; K = 0.01 et C2= C1 = 0,025 V/℃ Exercice5 : La température � d’un four est réglée selon le processus représenté à la figure suivante : est une tension délivrée par un montage potentiométrique. est la tension délivrée par un thermocouple branché de telle façon que et = �. � avec � = − ⁄° L’a�β����ca���� �α���� ��� β����a�c� é��c������ = ( A.U. 2014/2015 − )= proportionnelle à soit positif , � 16 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation On donne la fonction de transfert du four : � � = = + , , + , 1. Compléter le schéma fonctionnel du système en boucle fermée. X P � + _ � Y 2. Déterminer la fonction de transfert du système en boucle ouverte a) Déterminer la fonction de transfert du système en boucle fermée = = b) La transmittance canonique des systèmes du 2ième o d e s’e p i e sous la fo Où = n = + � � � e: + est la pulsation propre ou naturelle. est l’amortissement. K est le gain statique du système. Exprimer ces 3 paramètres en fonction des données du problème. A.U. 2014/2015 17 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Correction Exercice 1 : Mαdé���a��α� d′ �� ����è�� β������� ∶ 1) Déterminer la fonction de transfert θ On a : C(t) – C2 (t) – f1 C(t) – C2 (t) – f1 ω t = J1 T a sfo ]+ C(p) – C β − � Ω β T a sfo [� θ =J C1(t) – f2 ω � = J ]− (� θ (1) do ]= ′ uatio [ e: � � � ] : ² � � � )= ( C1(p) – f2 Ω2 (p) = J2 p Ω 2 (p) C1(p) – Ω2 (p) = (f2 + J2 p ) Or on a : C2(t) = - p ² uatio e de la pla e de l’ On a : C1(t) – f2 [ ω e de la pla e de l’ ]− [ L[ ²θ =J Ω p � L (C � ) = − D’où : - n C2 (P) = Ω2 (p) (f2 + J2p) ) L (C � ) C β = − Or on a : ω(t) r1 = - ω � � � Ω β = − � Ω β Ω β = − = − − � Ω P C P = ² A.U. 2014/2015 = − � Ω β � + J β p C1(p) = - n C2 (p) Ω β � β + 18 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation On substitue C2 p pa so e p essio da s C(p) - ² Ω β C(p) = [ D’où Ω p + + J β − + = p + + + + ’ ou o tie t : Ω β = J βΩ β J ]� p 2) On a Ω β = −�Ω β D’où : - n Ω p p = + + ² + J P Exercice 4 : a) Y(p) X(p) + = + b) = ). + X(p) Y(p) + + + = A.U. 2014/2015 + ). + 19 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation c) D(p) E(p) S(p) + + A(p) B(p) C(p) G(p) = d) E(p) + + = + + + S(p) + (p) - + (p) - = A.U. 2014/2015 + = + + + 20 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL Département de génie mécanique Travaux Dirigés en Asservissement et régulation Réponses temporelles Niveau : L2-Génie mécanique Département génie Mécanique Travaux dirigés Fonctionnement du poste de découpage (poste 1) Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de découpage βa� �’������éd�a��� d’�� �aβ�� �α��a�� ����a��é βa� �� �α���� MT . L’ac��α� simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en position sous le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe sur un deuxième �aβ�� �α��a�� βα�� �’a����� a� d����è�� βα��� d� c����a�� ������ . Figure 1 : Poste de découpage A.U. 2014/2015 21 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis O� �’���é����� da�� c���� βa���� � �a �αdé���a��α� �� � �a cα��a�d� �� ������� d� �α���� MT1 à courant continu. 1. Modélisation L’����a������� d� �aβ�� a���a�� ��� ba�d�� d� ���� ��� a����é βa� �� �α���� � cα��a�� continu MT1. La fonction de transfert générale de al commande de la vitesse de rotation angulaire (t) du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc représenté par la figure 4. La �αdé���a��α� d� cα�βα������� d� �α���� d’a������������� � cα��a�d� βa� �’��d��� est donnée par les équations ci-dessous : = . = = � � = � � + . . � − . + . − . � . . Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes : = ( ) est la tension de commande du moteur, électromotrice, ) est l’intensité du courant de commande du moteur, = ( moteur, � Ou = ( = = ( � ) est le couple résistant, Ω = ( ) est la force contre= ( ) est le couple ) est la vitesse de rotation du moteur. signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle On note : : La résistance totale d’induit, : l’inductance totale d’induit, contre- électromotrice, : le coefficient de couple, : le coefficient de la force : le coefficient de frottement visqueux, : Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur 1. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du moteur, et à partir des transformées de Laplace des équations précédentes, compléter le schéma fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs A.U. 2014/2015 22 � = ,…, . KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation 2. + - I(p) U(p) B1 - B2 Ω B3 + E(p) B4 Figure 4. Schéma bloc moteur Dans tout ce qui suit, on suppose que le couple résistant est nul : Cr = 0 1.1.2 Etablir la fonction de transfert : G(p) = 2. Commande en vitesse du moteur Ω p p Le moteur est entraîné par une génératrice à courant continu à vitesse constante, dont le schéma bloc de commande est représenté βa� �a ������ . L’�����b�� �α���� – �é�é�a���c� ��çα�� � �’����é� �a cα������ d� ��é����c� d� �α�a��α� Ωcα��. K2 I Ωcon b Vcon + EG + v C(p) U VGT Ω K1 Une dynamo tachymétrique placée ��� �’a�b�� d� �α���� �α������a�� ��� �����α� = A.U. 2014/2015 23 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Les équations régissant le fonctionnement de la génératrice sont les suivantes : = où = − + = est la force électromotrice développée par la génératrice : C(p) est un correcteur. On note : V = L(v) ; I1 = L(i1) ; EG = L(eG) ; VGT= L (vGT) où F = L(f) signifie que F est la transformée de la place de la fonction temporelle f. Données numériques : Moteur : R = 0,4 Ohm, Ke = 1V.s/rad, Ke = 1N.m/A , Jm = �� �², α� �é����� �’��d�c�a�c� (L) et le coefficient de frottement (Fv) Génératrice : RG = 0.4 ohm, a = 100 ohm, r = 20ohm, 1 = 5H, Dynamo tachymètrique : b = 0.2 N.B : Pour toutes les questions suivantes, donner les expressions littérales puis numériques. 2.1 : Donner le schéma bloc complet du moteur-génératrice avec sa commande en précisant les blocs, K1, K2 et F(p). 2.2. Ca�c���� �a �α�c��α� d� ��a������ T β ����a�� �a ������� a����a��� Ω β � �a �����α� d� commande V(p). 2.3. Ca�c���� �� ��β�é������ �’a����� d� �a �éβα��� d� ����è�� �α� a������ �α����-génératrice V,Ω � �� éc���α� de tension de 10 Volts. 2.4. Calculer la fonction de transfert du système en boucle fermée : H(p) = � � � � . 2.5. Da�� �� ca� d’�� cα���c���� β�αβα���α���� C β = A, �α����� ��� �� ����è�� a������ ��� �� ����è�� d� ��cα�d d’α�d�� d� β���a��α� β�αβ�� ωn, d� cα����c���� d’a�α���������� ξ �� d� �a�� statique K. A.U. 2014/2015 24 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation 2.6. Déterminer la valeur limite du gain A, telle que la réponse à un échelon ne présente pas de dépassement. A.U. 2014/2015 25 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Correction A������������� �� ������� d� �α���� d’����a���ment du tapis 1- Modélisation : � + U(t) = Ri(t) + L + e(t) � e(t) = ke ω � (C.1) C. cm(t) = Kc i(t) J w 1.1L[ ⇒I β (C.3) � − � . � � − C � = c (C.4) T�a���α��é� d� �a β�ac� βα�� �’é��a��α� C. ]= [ ]+ [ � � � R+βL = U β – E(p) ⇒I β = ( + − ]+L[ ) ] ⇒ U P = RI β + LβI β + � β B1 = D’αù T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. L [� � ] = Ke L[ω � ] ⇒ � β = �e Ω β T�a���α��é� d� �a β�ac� βα�� �’é��a��α� C. ]= L[ [ ⇒ + � dα��� : ] ⇒ Cm(p) = Kc I(p) � ]− ] = L[ ⇒ Ω(p)[ ⇒ Ω (p) = A.U. 2014/2015 = + + ]= − � − − [� − dα��� : + B4 = D’αù Transformée de la place d� �’é��a��α� C. Jm L [ donne : ]− [ d’αù 26 B2 = Kc D’αù ] B3 = + KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Ainsi le schéma fonctionnel du moteur est le suivant : U(p) + + E(p) Ω KC + - + Ke II- 1-2- Couple résistant est nul (Cr = 0) Le schéma bloc se réduit à : U(p) + I(p) KC + - Ω Cm(p) + Ke Détermination de la fonction transfert G(p) G(p) = Ω p p = = A.U. 2014/2015 R+ L . + R+ L . . v+ J . v+ J . kc R+ L v+ J R+ L v+ J + kck R+ L v+ J 27 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation D′ α� G β = +p +p + 2. Commande en vitesse du moteur : 2.1 [ T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. ]= [ + ]- [ De même on a VG = b(t)⇒ L [ L[ L[ ] U(p) = EG(p) – RG I(p) d’αù ]=bL[ T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. ]=aL[ K2 = RG ] ⇒ VGT P = b Ω β d’αù K1 = b ] ⇒ �G (p) = aI1(p) Transformée de la β�ac� d� �’é��a��α� C. ] = r L[ ⇒ I1(p) = ] + l L[ � � � ] d’αù EG(p) = V(p) = rI1 (P) + lpI1 β ⇒ V β = � + β� I1 (p) V β ⇒ F(p) = + O� �é����� �’��d�c�a�c� L �� �� cα����c���� d� ��α������� �� d’αù B1 et B3 se réduisent à : et D’aβ�è� �a �α����� d� b�ac� α� a : A.U. 2014/2015 28 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation D’α�: 2.2 la réponse temporelle du système (w(t) pour un échelon de tension de 10 volts (v(t) = 10 volts) Remarque : Ω β = L O� a � � = ⇒V β = Ω(p) = T(p) V (P) = AN : ⇒ Ω(p) = = = = + , D’αù � � = , � / =− , � � + , → = − , �-4t U(t) – 59,26e-0,625t U(t) w(t) = (27,02 + 9,26e-4t – 59,26e-0,625t) U(t) A.U. 2014/2015 29 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation 2.3 Calcul de la fonction de transfert du système en boucle fermée H(p) = Le schéma bloc (de la page 4) se simplifie sous la forme On a Vcon = b Ωcon D’αù 2.4 = � Ωc = +p p+p p + + p Da�� �� ca� d’�� cα���c���� β�αβα���α���� C β = A d� �α�c��α� d� ��a������ d������ : A.U. 2014/2015 30 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Ainsi le système est de second ordre or la �α�c��α� d� ��a������ d’�� ����è�� d� ��cα�d α�d�� �’éc��� �α�� �a �α��� : Avec : K : gain statique, : �ac���� d’a�α���������� �� �n : pulsation propre Par identification on trouve : ξω = �J�R + �J�RG + ����c �J�R + �J�RG . A.U. 2014/2015 31 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL Département de génie mécanique Travaux Dirigés en Asservissement et régulation Performances d’un système asservi Niveau : L2-Génie mécanique Exercice 1 : Tracer le lieu de transfert correspondant à la fonction : + + = 1. Dans le plan de Bode 2. Dans le plan de Black 3. Dans le plan de Nyquist En précisant les asymptotes et les points spécifiques. Exercice 2 : Soit la fonction de transfert + − = Tracer le lieu de transfert dans le plan de Bode et dans le plan de Nyquist Exercice 3 : Etudie la sta ilit des s st = Ou = + . + . + . + . es d’ + + uatio + + a a t isti ue : + est un paramètre réel variable. Exercice 4 : Soit un système à retour unitaire dont la fonction de transfert de la chaine directe est 1. Montrer que si le lieu de transfert en boucle ouverte présente une marge de phase | ° à la pulsation |= , A.U. 2014/2015 ( , alors le lieu de transfert en boucle fermée )= − est tel que . � = ° 32 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation = 2. Application : Calculer la pulsation Do + . . et le gain permettant d’avoir une e l’e p essio de la FTBF et v ifie le � sultat. = °. Exercice 5 : Soit l’asse visse e t p se t da s la figu e i-dessous 1. Ecrire la fonction de transfert 2. Si = Quel est alo s l’ a t = 3. Que devie t l’ a t � A.U. 2014/2015 + − = , que devient ∞ entre ∞ = et ∞ − ∞ quand → ∞ ∞ , si l’e t e est u e a pe de pe te a E + . 33 � KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION Année universitaire : 2009/2010. Date : le 07/01/2010 Classe : L2. Nombre de pages : 5 Durée : 1H30. Documents : non autorisés. Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M & Amdouni.H & Zitouni.A Fonctionnement du poste de découpage : Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de découpage par l’intermédiaire d’un tapis roulant entrainé par un moteur (MT1). L’action simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en position sous le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe sur un deuxième tapis roulant pour l’amener au deuxième poste de cintrage (figure 1) Figure 1 : Poste de découpage A.U. 2014/2015 34 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis On s’intéresse dans un premier lieu à la modélisation en vitesse du moteur MT1 à courant continu. L’entrainement du tapis amenant les bandes de tôle est assuré par un moteur à courant continu MT1. La fonction de transfert générale de la commande de la vitesse de rotation angulaire du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc représenté par la figure 2. La modélisation du comportement du moteur d’asservissement à commande par l’induit est donnée par les équations ci- dessous : = . = = � � = � � + . . � − . + . . − . . � Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes : = ( ) est la tension de commande du moteur, électromotrice, = ( ) est l’intensité du courant de commande du moteur, = ( couple moteur, � = ( moteur. Ou = � ) est le couple résistant, Ω = ( ) est la force contre= ( ) est le ) est la vitesse de rotation du signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle On note : : La résistance totale d’induit, force contre- électromotrice, : l’inductance totale d’induit, : le coefficient de la : le coefficient de couple, : le coefficient de frottement visqueux, : Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur 3. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du moteur, et à partir des transformées de Laplace des équations précédentes, compléter le schéma fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs ,…, . A.U. 2014/2015 35 � = KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation U(p) + I(p) B1 B2 Ω B3 + E(p) B4 Figure 2 Schéma bloc moteur 4. Le ut de ette uestio est d’ ta li l’e p essio de so tie Ω = a) 1er cas : D te i e alo s l’e p essio de so tie Ω Déterminer alo s l’e p essio de so tie : Ω c) Pour Ω + Ω = Ω Déduire alors l’e p essio Ω = ( On considère dans la suite du problème : + ) = ( + = ) 3. Si o glige l’i du ta e a) D te i e et ep se te l’allu e de la réponse temporelle du système � de tension de 10 volts Application numérique : = �. / , = et le frottement = Ω . / , = . et = , ℎ la fonction de transfert du système On considère dans ce qui suit que = à un échelon = b) Calculer le temps de réponse à % 4. Soit ) = = b) 2ème cas : = ( s’ it sous la fo e: + . . Compléter le tableau suivant et tracer le lieu de Bode en précisant les asymptotes A.U. 2014/2015 36 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation ⁄ 0,1 0,3 0,5 1 1,25 2 5 10 12,5 �° 5. Soit le système asservi linéaire décrit par le schéma bloc suivant : U + + , . _ On ne considère que le correcteur Soit = Ω = Ω > la fonction de transfert de système a) Déterminer la fonction de transfert du système respectivement en boucle ouverte et en boucle fermée b) Pour : = , Tracer les courbes du processus en boucle ouverte dans le lieu de Bode NB : le traçage des courbes se fait dans le même graphe de la question 4) c) Déduire alors le rôle du correcteur Bon Travail A.U. 2014/2015 37 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Annexe A.U. 2014/2015 38 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Correction D’examen 1) T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. dα��� : L ⇒ U β = RI β + L.β.I β + � β . ⇒I β R + βL ⇒I β = = U(p) – E(p) ) D’αù B = T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. L dα��� : ⇒ � β = �� Ω β d’αù B4 = ke T�a���α��é� d� �a β�ac� d� �’é��a��α� C. dα��� : ⇒ C� β = �c I β d’αù B2 = kc L Transformée de �a β�ac� d� �’é��a��α� C. Jm L ⇒ J� βΩ β = C� β – Fv Ω β – Cr (p) ⇒Ω β ⇒Ω β = d’αù B = 2) a) 1er cas : Cr = o Le schéma bloc moteur devient : A.U. 2014/2015 39 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation U(p) Ω1(p) + - (D’aβ�è� la formule de black) D’où b) 2ème cas : U(p) = 0 Le schéma bloc moteur devient : Ω2(p) Cr(p) + - c) Ω β = Ω1 β + Ω2(p) A.U. 2014/2015 40 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation ⇒Ω β = Cr(p) ⇒Ω β = 3) a) Pour Cr = �� �� β��� �� α� �é����� �’��d�c�a�c� L �� �� ��α������� ��, α� αb����� : Ω β = ⇒Ω β = d’αù Ω β = U(t) = 10 ⇒Ω β = ⇒ω � = - ) W(t) 10 t b) tr5%? ⇒ L� ���β� a� bα�� d� ���� ω � = ω � = , ⇒ ⇒ – e-1,25t = 0,95 %ω – e-1,25t) = 9,5 ⇒ω � = , � ⇒ ω � = , �ad/� ⇒ �-1,25t) = 0,05 ⇒ -1,25t = log (0,05) ⇒�=- A.U. 2014/2015 41 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation AN : t = 2,39s 3) Soit H(p) = H �ω = ω �ad/� 0,1 0,5 1,25 3 6 10 G(dB) -0,02 -0,64 -3,01 -8,3 -13,81 -18,13 C°(H) -4,57° -21,80° -45° -67,38° -78,23° -82,87° ⇒ G dB = -10 log10 G (dB) = 20 log10 φ° H = -arctg , ω , on a : �α����� ω φ= ° ⇒ G dB = dB , on a : H �ω ≃ , ω ² Comportement asymptotique : Lα����� ω + = -j ⇒ G(dB) = 20 lgo10 φ = -20 log10 (0,8ω - Lorsque ω : ωo = 1,25 G(dB) =-3,01 A.U. 2014/2015 42 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation φ°= ° L�� a���β�α��� ���α�� d� β���� O dB �����’� ω0 = 1,25 (asymptote horizontale) et 20dB/décade au-delà 5) a) la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) - la fonction de transfert en boucle fermée (FTBK) b) On a G(dB) ) 20log10 ⇒G dB = �α�10 20log10(k) – 10log10 (1 +(0,8ω)²) G(dB) = 10 – 20 log10 φ° (G(jw) ) = -arctg (0,8ω) = φ ° (H(jw)) C) le rôle du correcteur C(P) * au niveau du gain : décalage du gain de 10dB * au niveau de la phase : Aucun effet A.U. 2014/2015 43 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION Année universitaire : 2010/2011. Date : le Classe : CFM21,22 , MI21 ,22., CLIM2 /01/2011 Nombre de pages : 6 Durée : 1H30. Documents : non autorisés. Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M Enoncé du problème : On considère un groupe Ward-L o a d o stitu d’u e g entrainé à vitesse constante at i e à ou a t o ti u G, , qui alimente un moteur à courant continu M. Le moteur entraine une charge constituée en première approximation par une inertie pure . L’i du teu du oteu est ali e t sous u e te sio o sta te, et o glige a la a tio d’i duit. Première partie : Etude du groupe Le schéma fonctionnel simplifié du groupe est donné par la figure ci-dessous : + A.U. 2014/2015 � + + − 44 Ω KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Données numériques : On donne : Le o e t d’i e tie : = l’i duit La = , sista e d’i duit . ; le coefficient de couple = , l’e oule e t d’e itatio ; coefficient de fem = ; inductance = = � / ; la résistance de = ; résistance de 1) En se référant au schéma fonctionnel simplifié du groupe, exprimer la fonction de reliant la vitesse angulaire Ω transfert Ω 2) Sachant que = On pose = + , 2-1) compléter le tableau ci-dessous w �°( / ( ) ( ) ( ) �°( �°( = : + , et + , à la tension de commande = + , 0,3 0,625 1 2,5 4 10 20 ) -25,64 - 45 - 58 -75,96 -81 ,12 - 86,42 -88,21 13,1 11 8,48 1,7 -2,22 -10,1 -16,1 ) - 4,29 - 8,88 -14 -32 -45 -68,19 -78,69 - 0,02 - 0,1 - 0,26 - 1,43 -3 -8,6 -14,15 ) Remarque : �°( ( ) = ) = �°( ( ) ) + �°( + ) ( ) 2-2) Tracer le lieu de Bode de la fonction de transfert 3) Déterminer et représenter sur la page document réponse la réponse indicielle du groupe à un échelon de tension de commande de 10 V, A.U. 2014/2015 45 = KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation − = NB : (Ω ) Deuxième partie : Etude de l’asservisse e t de vitesse : Pour réaliser un asservissement de vitesse, on ajoute au montage précédent : Une d a o ta h = , avec t e GT, pla e su l’a = , / / Un comparateur effectuant la différence e du − oteu M et fou issa t u e te sio ; ou est une tension de consigne ; Un amplificateur de gain A qui amplifie la sortie du comparateur et fournit une tension de Commande v Le schéma fonctionnel du groupe avec sa commande est donné par la figure ci-dessous + Ω A � Avec b = + , + , = 1) En se référant au schéma fonctionnel, déterminer la fonction de transfert 2) Déterminer pour en fonction de A, les valeurs de la pulsation naturelle oeffi ie t d’a o tisse e t � et du gain statique NB : la fo tio de t a sfe t d’u s st 3) Calculer A pour avoir �= 0,7 4) Sachant que pour ξ = , , on a A.U. 2014/2015 = = , � / et 46 , du de l’asse visse e t. e de se o d o d e s’ + Ω it sous la fo e: + = , KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Déterminer la réponse indicielle du système = sachant que pour : = − ( )= [ − = � . �� + � −�� . ∶ �� = � √ − � 5) La réponse indicielle à une entrée de consigne de 10 V . �= , on a pour + �� . − � ] ( − √ −� pour une entrée de consigne de � <�< : ) est représenté sur la figure document réponse. Comparer au résultat obtenu précédemment (avec la boucle d’asse visse e t et sa s la ou le d’asse visse e t Autrement comparer la figure de la première partie - question 3) avec la figure de la deuxième partie - question 5) A.U. 2014/2015 47 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation NB : Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et la clarté des réponses BON TRAVAIL A.U. 2014/2015 48 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Réponse temporelle w(t) de la fonction : H(p), pou u e e t e helo d’a plitude 10 V Step Response 45 40 35 Amplitude 30 25 20 15 10 5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Time (sec) A.U. 2014/2015 49 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Document réponse Nom : ……………………. A.U. 2014/2015 P o ……………………….... Classe………………………. 50 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation CORRECTION D’EXAMEN ASSERVISSEMENT 2011 PREMIERE PARTIE 1) On a = D’a���� βa�� α� a : � β = a. AN: F (p) = 2) On a Ω(p) = F(p) . V(p) pour v(t) = 10V V(p) = Ω β = ω � = TL.1 = DEUXIEME PARTIE 1) Fonction de transfert en boucle fermée : H(p) = 2) P���a��α� �a������� : ωα = Cα����c���� d’a�α���������� : ξ= A.U. 2014/2015 51 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Gain statistique k = 3) , ⇒ AN : A = 3,35 4) O� a : ξ = , ; ωα = , Ω (p) = H(p) Vc (p) vc � = ; ωβ = , ; ξ = -36,07° V ⇒ Vc (p) = D’αù : Ω β = D’αù ω � = �ad/� ; � = , , 5) O� cα���a�� ��� �’a������������� � β����� d’a�é��α��� ��������� �a d��a����� d� système, en particulier au niveau du temps de stabilisation. Papier semi logarithmique Réponse fréquentielle de la fonction F p 5 dans le lieu de Bode 1 1.6 p 1 0.25 p Bode Diagram Magnitude (dB) 20 0 -20 -40 -60 0 Phase (deg) -45 -90 -135 -180 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) A.U. 2014/2015 52 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL Département de génie mécanique Examen : Asservissement et régulation Durée : 1H30min Documents : Non Classes : L2-Génie mécanique Date : janvier 2012 Proposé par : Kalleli Safieddine , Moulahi Hedi et Majed Nesrine Problème : O o sid e u s st e d’e t ai e e t, o pos p i ipale e t d’u oteu le t i ue représenté par le schéma fonctionnel donné par la figure 1. Ω _ + R(p) F(p) _ + _ � Figure 1 : Sch a fo ctio + el d’u syst Ω e d’e trai e e t Données du problème : : Tension d’alimentation du moteur : Couple moteur : Couple résistant Ω : Vitesse de consigne : Vitesse de rotation du moteur F ( p) k1 11 p et R( p) k2 1 2 p : Le coefficient de couple A.U. 2014/2015 53 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation = Le coefficient de la force contre-électromotrice On suppose dans la suite du problème que le couple résistant est nul : − = On désigne par Partie1 : (Ω ): = est la transformée de Laplace inverse de Ω 1. Déterminer, par simplification de schéma bloc, l’expression de la fonction de transfert équivalente H ( p) ( p) c ( p) = Pour les valeurs numériques suivantes : =2 ; = , ;� = , ;� = ; = 1 2. a. Calculer alors et déduire l’ordre de système b. Déterminer les valeurs des caractéristiques si elle est considérée de la forme suivante : Avec : ∶ ∶ è ∶� , , de la fonction de transfert k n2 H ( p) 2 p 2m n p n2 è ′ c. Déterminer la réponse indicielle unitaire (déterminer pour déduire le régime de fonctionnement du système : = ⁄ et (aβé��αd���� a�α��� , aβé��αd���� c������� α� α�c���a�α��� a�α��� Partie2 : = On s’intéresse dans cette partie à l’étude de Ω = +� 1. On s’intéresse à l’étude de la réponse indicielle pour les deux cas suivants : a. Pour ( = � = , = � = ) calculer la réponse indicielle échelon d’amplitude égale à 10 b. Pour ( échelon d’amplitude égale à 10 2. ) = �. = �. calculer la réponse indicielle a. Représenter dans la même figure (Document réponse : figure 2) A.U. 2014/2015 54 pour une entrée en pour une entrée en et KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation b. Conclure = 3. Soit + , a. Déterminer l’expression du Gain ( b. Compléter le tableau ci-dessous 0,1 �° ( ( ) ) et de la phase �° ( ( 1 2 10 ) 30 100 ) c. Tracer le lieu de Bode de (Dans la page document réponse : figure3) pour la plage des fréquences données dans le tableau ci-dessus BON TRAVAIL A.U. 2014/2015 55 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Nom…………………………….. Prenom…………………………. Classe……………. Step Response (Réponse indicielle) Amplitudevitesse angulaire w(t) 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 Time (sec) Figure 2 : Réponse temporelle BodeDiagram 10 Magnitude(dB) 0 -10 -20 Phase(deg) -30 0 -45 -90 -1 10 0 1 10 2 10 10 Frequency (rad/sec) Figure3 : Réponse fréquentielle (lieu Bode) Document réponse A.U. 2014/2015 56 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Correction examen 2012 Partie1 : 1. H β = + c = 2. a. H(p)= + c. p . p + c. . � .� . p p + � +� + . . .� . . + . . + . . + + D’où le systè e est de seco d ordre b. H ( p) k n2 p 2 2m n p n2 Par identification on obtient : kn2 p 2 2mn p n2 H ( p) kn2 =1 =6 = = √ ; A.U. 2014/2015 . k= = . m= 2 .16 ; 57 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation Ω p = Ω (p) × H(p) C. = + = . − ⁄ = + + , + w (t)= [ × − + = + − . + + , + , − . - 0. 34 + , − . � - 0.177 − . � ] u(t) Le régime de fonctionnement du système est apériodique amorti Partie2 : 1. a. Ω (p) = = b. Ω � +� + . . . (t)=20(1- = + . (t)=20(1- A.U. 2014/2015 − ) − . ) 58 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation 2. a. Step Response (Réponse indicielle) vitesse angulaire w(t) 25 20 Amplitude 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 Time (sec) b. On a )= � = � %( D’où � %( )< � %( )= � = � %( × , ) cela signifie que × = , = à une réponse plus rapide que (temps de stabilisation est plus petit) 3. ( a. �° ( A.U. 2014/2015 )=− | ) = | . 59 KALLELI S., TLILI A. TD : Asservissement et régulation b. �° ( ( ) ) 0,1 1 2 10 20 100 6 5.05 3 -8 .12 -14.02 -27.96 2 .86 26.56 45 78.69 84.28 88.85 Bode Diagram Magnitude (dB) 10 0 -10 -20 Phase (deg) -30 0 -45 -90 -1 10 0 1 10 10 2 10 Frequency (rad/sec) A.U. 2014/2015 60 KALLELI S., TLILI A.