mecanique du solide

III. Moment d’un vecteur lié
AV
AV
MV P
A
VA
AP V
AP
Remarque
V
V
BP V
V
BA AP
BA
V
V
BA V
AP V
BA M V P
A
BA
MV P
MV P
A
B
V
IV. Moment d’un vecteur glissant
V)
V
MV P
M P
V
A
D
V
AP
MV P
MV P
A
V
V. Glisseur
glisseur
V MV P
V
V
V
MV P
Remarque :
M
o
V
A
V MV P
o
O
V
MV P
i jk
o
V
X
Y
MV P
Z
L
M
N
Relation entre les moments d’un glisseur
A
M Q
V
AQ
V
AP
PQ
M Q
M P
V
D
AP V
V
PQ
M P
V
PQ
PQ
VI. Moment d’un glisseur ( ou d’un vecteur glissant) par rapport à un axe
1. Définition
u
V
V
MV
MV O u
2.Propriétés
MV
O
MV
MV O u
V
AO OO u
V
AO u
MV O u
MV O u
V
OO u
V
u
OO
V
AO u
OO u
V
AO u
Torseurs
I. Définitions
1. Champ de vecteur
U M
U M
U M t
U
2. Champ antisymétrique
U
S
U M
U O
S
OM
3. Equiprojectivité
U
MN U M
MN U N
U M
U M
U N
U N
4. Propriétés
U N
U M
MN U N
S
MN
MN U M
S
MN
MN U M
MN S
MN
MN U M
II. Torseurs
1. Définition
M
R
o
o
o
o
M
o
i j k
o
R
Xi Y j
M P
Li
Zk
Mj
Nk
X L
T
YM
Z N
P
P
III.Invariants du torseur
1. Invariant vectoriel
R
T
2. Invariant scalaire (automoment)
RM P
i j k
R
Xi Y j
Zk
M P
Li
Mj
Nk
Démonstration
RM Q
RM P
R M P
R R
PQ
R
PQ
RM P
IV. Opérations sur les torseurs
1. Egalité de deux torseurs
T
T
P on a
R
R
M P
M
P
2. Somme de deux torseurs
T
R
M P
R
T
P
T
P
P
R
M P
M
P
3. Multiplication par un scalaire
T
R
P
le po
M P
P
P
4. Comoment de deux torseurs
T
R
P
R
T
M P
P
T T
P
P
M P
R M P
P
R M P
o
o
Démonstration
T T
Q
R M Q
R M
P
R M Q
R
PQ
R M
P
R M P
R M
P
R M P
T T
R
M P
R R
R
PQ
P
V. Axe central et moment central d’un torseur
de résultante non nulle R
M I
R
M I
R
M I
R
o
RM I
R
RM P
R
R
PQ
R
R
PQ
o
M I
R
Démonstration
M I
R
RM I
RR
R
RM I
RM P
R
R
R
o
R
o
Démonstration
M I
R
R
M I
R
R
R
I I
I I
I I
R
I I
o Equation paramétrique de l’axe central
R
PI
M P
R
R
Démonstration
M I
M P
R
PI
R
R
PI
R
R M P
R
R M P
RM P
R
R
PI
R
R M P
R
PI
R
M P
R
R
R
R
PI
M P
R
R
PI R
R
M P
R
R
PI
R
R
PI
PI
PI
I I
PI
R
R
M P
R
R
VI. Torseurs élémentaires
1. Torseur Glisseur
Propriétés :
RM P
R
M I
R
R
R
D R
R
2. Torseur Couple
R
M P
VII. Décomposition d’un torseur :
1. Décomposition d’un torseur en un torseur couple et un torseur glisseur
R
T
P
R
M P
P
M P
P
P
2. Décomposition centrale
T
T
I
T
I
T
P
I
R
R
M I
R
I
R
I
T
R
I
T
I
I
I
R
T
P
T
R
P
R
M P
T
T
P
R
P
P
T
R
P
R
IP
R
P
M P
P
M I
P
R
P
M P
R
P
R
P
VIII. Torseur associé à un ensemble de vecteurs liés
Ai vi
T
P
R
M P
n
R
n
n
vi
M P
i
P
i
vi Ai O
i
Equivalence torsorielle de deux systèmes de vecteurs liés
IX. Torseur associé à une densité de vecteurs f P
f P
f P
f P
dR
f Pd
dM O
OP
dR
OP
f P d
f P
R
dR
f Pd
f P
PO d
R
P
f P
M O
dM O
OP
f Pd
f P
POd
M O
R
f P
T
f Pd
R
O
M O
O
OP
f Pd
f Pd
O
f P
POd
O
Remarques
Exemples
f P
f P
f P
g
eg
f P
f P
Sg
f P
PARAMETRAGE DES SYSTEMES MECANIQUES
1. Modélisation des pièces mécaniques
Nous considérerons que les pièces mécaniques peuvent être modélisées, en première approximation, par des
solides indéformables. Ceci exclut bien sûr les pièces dont la fonction est précisément de se déformer :
ressorts, rondelles élastiques, barres de torsion, etc.
2. Notion d’un solide indéformable
Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que soient les points A
et B de (S) la distance AB reste constante au cours du temps t.
3. Paramétrage de la position d’un solide par rapport à un repère
Pour définir la position d’un solide (S) par rapport à un repère R(O, , , ) il faut commencer par lier à ce
solide un repère R1(O1,
1
,
1
,
1
) et définir la position du repère R1 par rapport au repère R.
Le repère R1 est caractérisé par son origine O1 et sa base (
1
,
1
,
1
).
Nous devons donc définir la position de l’origine O1 dans R et l’orientation de la base (
1
,
1
,
1
) de R1 par
rapport à la base ( , , ) de R.
Remarque :
Tous les repères introduits sont orthonormés directs.
3.1. Paramétrage de la position de l’origine O1
Les paramètres qui définissent la position d’un point dans un repère sont habituellement
— les coordonnées cartésiennes,
— les coordonnées cylindriques,
— les coordonnées sphériques.
Le type de coordonnées choisi est fonction du problème que l’on a à traiter (problème à symétrie de
révolution autour d’un axe, problème à symétrie sphérique, ...).
1
3.1.1. Coordonnées cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes x, y, z du point O1 sont les projections
orthogonales du vecteur
1
sur la base du repère R. Ces paramètres
sont en nombre nécessaire et suffisant pour positionner O1 dans R.
Par suite, les paramètres x, y, z sont dits indépendants.
Remarque :
Imaginons que
1
soit une tige de longueur ayant une liaison rotule de centre O avec un bâti, et supposons
que pour la commodité des calculs on soit amené à traiter le problème avec les quatre paramètres x, y, z, .
Dans ce cas, les quatre paramètres introduits sont liés entre eux par la relation :
x2 + y2 + z2 =
2
.
Les paramètres x, y, z, 1 sont alors dits dépendants.
D’une façon générale, si l’on définit la position d’un point dans un repère par n paramètres (n 3), il existe
entre ces n paramètres, introduits à priori, q relations indépendantes, telles que : q=n-3.
3.1.2. Coordonnées cylindriques
Soit
H la projection orthogonale du point O1 sur le plan (o, , ).
un vecteur unitaire de direction OH .
Les coordonnées cylindriques du point O1 dans le repère R sont :
r=
: mesure algébrique de
sur l’axe (O,
( , ) : angle orienté par le vecteur unitaire
z: projection orthogonale de
1
, sur l’axe (O,
).
normal au plan ( , ).
).
Relations entre les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques
Si l’on définit la position du point O1 par les cinq paramètres x, y, z, r et
, il existe entre eux q= 5-3=2
relations indépendantes.
Ces deux relations s’obtiennent en projetant le vecteur
sur
et
:
cos
sin
3.1.3. Coordonnées sphériques
Soit
H la projection orthogonale du point O1 sur le plan
(o, , ).
un vecteur unitaire de direction
OH
.
2
le troisième vecteur unitaire de la base orthonormée directe ( , , ) :
un vecteur unitaire de direction
1
.
Les coordonnées sphériques du point O1 dans le repère R sont :
r=
1
: mesure algébrique de
1
sur l’axe (O,
).
( , ) : angle orienté par le vecteur unitaire
normal au plan ( , ).
( , ) : angle orienté par le vecteur unitaire
normal au plan ( , ).
Relations entre les systèmes de coordonnées cartésiennes et sphériques
Si l’on définit la position du point O1 par les six paramètres x, y, z, r,
et
, il existe entre eux q= 6-3=3
relations indépendantes.
Ces trois relations s’obtiennent en projetant le vecteur
1
sur
,
et
:
sin cos
sin sin
cos
3.2. Paramétrage de l’orientation de la base (
1
,
1
,
1
)
3.2.1. Nombre de paramètres indépendants positionnant un solide dans un repère
Soient O1, O2, O3, trois points non alignés du solide (S). Si l’on se donne la position des trois points O1, O2,
O3 de (S) dans R, la position de (S) dans R est parfaitement déterminée, mais les neuf paramètres introduits
sont dépendants.
En effet, il existe entre eux les trois relations indépendantes suivantes :
Le nombre de paramètres indépendants qui positionnent (S) dans R est égal au nombre de paramètres
introduits à priori (9) moins le nombre de relations indépendantes entre ces paramètres (3).
Par conséquent, le nombre de paramètres indépendants qui positionnent (S) dans R est :
9-3= 6
Trois paramètres sont nécessaires pour définir la position de O1 dans R.
Par suite, il faut et indépendants pour orienter la base (
1
,
1
,
1
) du repère R1 par rapport à la base ( , , )
du repère R. Les trois paramètres choisis habituellement sont les trois angles d’Euler.
3
3.2.2. Angles d’Euler
Plaçons les six origines des représentants des vecteurs libres , , ,
1
,
1
,
1
en un même point A.
Soit D la droite d’intersection des plans (A,
1
,
1
Soit
) et (A, , ).
un vecteur unitaire de direction D.
Les trois angles d’Euler sont les suivants :
Vocabulaire
Ces trois angles qui sont utilisés dans l’étude du mouvement gyroscopique portent les noms suivants :
La droite D est appelée axe nodal ou ligne des noeuds.
Bases intermédiaires
On peut considérer que ces trois angles correspondent à trois rotations planes successives, qui permettent de
faire coïncider la base ( , , ) avec la base (
1
,
1
,
1
), ce qui définit au passage deux bases intermédiaires,
orthonormées directes.
La base ( , , ) est appelée première base intermédiaire.
La base ( , ,
1
) est appelée deuxième base intermédiaire.
Remarque :
Les angles
et
ne sont plus définis lorsque
=0.
3.3. Exemples
Exemple1 : Cas particulier: Solide linéaire rectiligne
Soit un solide (S) que l’on peut assimiler à un segment de droite (0102).
4
Soit (O1,
1
) un axe lié à (S) de support (0102). Par un raisonnement analogue à celui tenu au paragraphe
3.2.1., on montre aisément que la position de (S) dans R est fonction de cinq paramètres indépendants.
Trois paramètres sont nécessaires pour positionner le point O1 dans R. Il en reste donc deux pour orienter (S)
autour du point O1. On choisit généralement deux angles dans l’un ou l’autre des paramétrages suivants :
Angles d’Euler
et
.
La droite D est l’intersection du plan (O1, ,
le plan perpendiculaire en O1 à
Angle
et
1
) avec
.
du parametrage sphérique d’un
point.
Exemple 2 : Sphère sur un plan
Soit une sphère S1 de centre A et de rayon r en contact en un point I avec un plan S0
Le repère R lié à S0 a son origine naturellement placé sur le plan.
La base ( , , ) est choisie telle qu’une des directions corresponde à la normale au plan. Soit
le vecteur
unitaire de cette normale.
La sphère ayant une symétrie par rapport à son centre A, l’origine du repère R1est placé en ce point.
Pour ces mêmes raisons de symétrie, il n’existe pas de direction privilégiée et la base (
1
,
1
,
1
) est choisie
de manière quelconque.
Le positionnement de la sphère par rapport au plan est alors donné par :
qui positionne l’origine du repère R1 par rapport à R
ainsi que les trois angles d’Euler ( , , ) qui positionne la base (
1
,
1
,
1
) par rapport à la base
( , , ).
Le positionnement de la sphère par rapport au plan dépend donc de cinq paramètres (X,Y,
, , )
5
Exemple 3
Soit un cylindre 1 d’axe ( ) de rayon r en contact suivant l’une de ses génératrices en un point I avec un plan
S0
Le repère R lié à S0 a son origine naturellement placé sur le plan.
La base ( , , ) est choisie telle qu’une des directions corresponde à la normale au plan. Soit
le vecteur
unitaire de cette normale.
Le cylindre ayant une symétrie par rapport à son axe ( ), l’origine A du repère R1 est placé sur cet axe.
Pour ces mêmes raisons de symétrie, La base (
l’axe du cylindre. Soit
1
1
,
1
,
1
) est choisie telle qu’une des directions corresponde à
le vecteur unitaire de cet axe
Le positionnement du cylindre par rapport au plan est alors donné par :
qui positionne l’origine du repère R1 par rapport à R
ainsi que les deux angles d’Euler ( , ) qui positionne la base (
1
,
1
,
1
) par rapport à la base
( , , ).
On a ici
0 et
1
Le positionnement du cylindre par rapport au plan dépend donc de quatre paramètres (X,Y,
, )
6
4. Définition, modélisation et degré de liberté des liaisons élémentaires
4.1. Mobilités d'un solide dans l'espace:
Un solide dans l’espace peux effectuer 6 mouvements indépendants : 3
translations et 3 rotations
4.2. Liaisons entre deux solides
Une liaison entre deux solides est une relation de CONTACT entre deux
solides.
Les différents types de contact sont :
Type de contact
Exemple
· Contact Ponctuel:
· Contact Linéique:
· Contact Surfacique:
4.3 Degrés de liberté – degrés de liaison
Degrés de liberté d'une liaison: C'est le nombre de déplacements élémentaires indépendants autorisés
par cette liaison.
Degrés de liaison: C'est le nombre de déplacements élémentaires interdits. On notera que pour une
liaison, la somme des degrés de liberté et des degrés de liaisons est égale à 6.
4.4. Tableau des liaisons usuelles
Le tableau ci-dessous présente les symboles et caractéristiques de l'ensemble des liaisons usuelles ainsi
qu'une visualisation des degrés de liberté qu'elles autorisent :
7
Nom de la liaison
encastrement
glissière
pivot
Pivot
Glissant
hélicoïdale
Appui Plan
rotule
rotule à doigt
linéaire
annulaire
linéïque
rectiligne
Représentations
Perspective
planes
Degrés de liberté
mobilités
Translation Rotation
0
0
0
0
0
0
Aucun
mouvement possible
Translation Rotation
0
Tx
0
0
0
0
Translation Rotation
0
Rx
0
0
0
0
Translation Rotation
Tx
Rx
0
0
0
0
Translation Rotation
0
0
Ty
Ry=Ty*2p/p
0
0
Translation Rotation
0
Tx
0
Ty
0
Rz
Translation Rotation
0
Rx
0
Ry
0
Rz
Translation Rotation
0
0
0
Ry
0
Rz
Translation Rotation
Tx
Rx
0
Ry
0
Rz
Translation Rotation
Tx
Rx
0
Ty
0
Rz
8
Translation Rotation
Tx
Rx
Ty
Ry
0
Rz
ponctuelle
5. Paramétrage d'un système de solides
Hypothèses de modélisation
Géométrie parfaite
Solides parfaits
Solides indéformables et homogènes
Pas de frottement
Liaisons parfaites
Pas de jeu
5.1. Classes d'équivalence
Deux pièces n’ayant aucun mouvement relatif entre elles sont dites cinématiquement équivalentes et
constituent un même sous-ensemble
Par suite un ensemble de pièces cinématiquement équivalentes constitue une classe d’équivalence ou un
(sous-ensemble).
Exemple : L’ensemble des pièces {1,4,6,7,8} constitue une classe d’équivalence
5.2. Graphe des liaisons
Dans le graphe des liaisons d’un mécanisme les solides (classes d’équivalence) sont schématisés par des
noeuds et les liaisons par des arcs de courbe joignant ces noeuds.
ETAPE 1: Déterminer tous les couples de classes
d'équivalence en contact et les liaisons qui existent entre 2
classes d'équivalence en contact.
ETAPE 2: Tracez le graphe des liaisons.
9
Exemple :
PIVOT
1
PIVOT
GLISSANT
5
HELICOIDALE
APPUI
PLAN
2
3
5.2.1 Liaison équivalente
Supposons qu'il existe entre deux pièces (S1) et (S2) plusieurs liaisons réalisées avec ou sans pièces
intermédiaires
(L1)
S1
S2
(L2)
(L4)
(L3)
S3
(L12)
S1
S2
La liaison équivalente à l'ensemble des liaisons situées entre (S1) et (S2) est la liaison théorique (L12) qui a le
même comportement que cette association de liaisons. C'est-à-dire qui transmet la même action mécanique et
qui autorise le même mouvement.
10
5.2. 2. Chaîne parallèle (liaison en parallèle)
n liaisons (L1), (L2),…., (Li),…, (Ln) sont disposées en
(L1)
parallèle entre deux solides (S1) et (S2) si chaque liaison
(L2)
S1
relie directement ces deux solides.
(Li)
Le graphe des liaisons se trace ainsi:
S2
(Ln)
Exemple:
y
(L1)
(S1)
(L1)
O
x
S1
(L2)
(S2)
S2
(L2)
5.2.3. Chaîne continue ouverte (liaison en série)
n liaisons (L1), (L2),…., (Li),…, (Ln) sont en série entre deux solides (S0) et (Sn) si elles sont disposées à la
suite l'une de l'autre par l'intermédiaire de (n-1) solides.
Le graphe des liaisons se trace ainsi:
S0
(L1)
(L2)
S1
S2
(L3)
(Li)
(Ln)
Si
Sn
On dit également que les (n+1) solides assemblés par les n liaisons en série constituent une chaîne continue
ouverte
Exemple:
z
(S2)
(L2)
x
O
(L1)
y
S0
(L1)
S1
(L2)
S2
(S1)
(S0)
5.2.4. Chaîne continue fermée
Une chaîne continue ouverte dont les deux solides extrêmes ont une liaison entre eux constitue une chaîne
continue fermée.
11
Dans le cas d'une chaîne continue fermée constituée par (n+1) solides assemblés en série par (n +1) le graphe
des liaisons se trace ainsi:
(L1)
(Ln+1)
S1
S0
(L2)
Sn
S2
(L3)
(Ln)
Si
(Li)
Une chaîne continue fermée est aussi appelée chaîne simple ou boucle.
Exemple:
(S1)
(L1)
(L1)
(L3)
S0
(L2
)
(S2)
S1
(L2)
(L3)
S2
(S0)
5.2.5. Chaîne complexe
Une chaîne complexe est une chaîne cinématique constituée de plusieurs chaînes continues fermées.
Exemple
(L5
)
(L1
)
(S0)
(L2
(S2)
(L3
)
(S1 (S3)
)
(L1)
(L4
)
S1
S0
(L4)
(L5)
(L2)
S2
(L3)
S3
5.3. Schéma cinématique
Un schéma cinématique de mécanisme est un schéma qui doit non seulement permettre la compréhension des
différents mouvements du mécanisme mais aussi comporter le paramétrage des différents solides qui le
constituent, en vue des calculs de cinématique, d’efforts, de cinétique..., que l’on peut avoir à faire sur ce
mécanisme.
Pour établir ce schéma, à partir du dessin de définition du mécanisme, il faut :
12
ETAPE 1: Placer un repère et une échelle.
ETAPE 2: Pour chacune des liaisons, placez correctement son axe (sa
normale le cas échéant) et son centre
ETAPE 3: On place sur le schéma cinématique les différentes liaisons
symbolisées, suivant la norme, dans la position relative qu’elles ont sur le
dessin d’ensemble.
Remarque : Un symbole de liaison est composé de 2 solides, chacun doit être
associé à une des 2 classes d'équivalence.
ETAPE 4: Reliez les classes d'équivalence par des traits droits de couleur en
essayant de respecter l'architecture du mécanisme (cela n'est pas obligatoire,
mais facilite la compréhension).
5.4. Paramétrage de la position des solides schématisés
On relie aux solides des repères orthonormés direct en tenant compte des liaisons que ces solides ont entre eux
de façon à simplifier le paramétrage.
Ensuite on définit des paramètres de position entre ces différents repères.
Exemple :
y0
x1
y1
O0
y2
O1
x0
1
O2 x2
2
Paramétrage des solides:
(O0,x0,y0,z0) repère lié à S0
1 (O1,x1,y1,z1) repère lié à S1 tel que (x0,x1)= (y0,y1)=
2 (O2,x2,y2,z2) repère lié à S2 tel que (x0,x2)= (y0,y2)=
3 (O2,x0,y0,z0) repère lié à S3
0
1
2
et O0 O1=r
, O1O2=
O0O2= x
6. Loi Entrée-Sortie d’un mécanisme
Un sens de parcours de la schéma cinématique étant fixé dans un mécanisme, on appelle loi entrée- sortie de
ce mécanisme, la relation qui existe entre les paramètres de position de la pièce d’entrée et les paramètres de
position de la pièce de sortie de ce mécanisme.
13
Exemple : Si on considère dans l’exemple précédent la pièce S1 comme pièce d’entrée et la pièce S3 comme
pièce de sortie on peut trouver une relation entre les paramètres de positionnement de S1 (angle
S2 (abscisse x dans
0
1
1
2
2
0 du
0
1)
et ceux de
point O2 de S2) en écrivant :
0 (chaîne continue fermée)
En projetant sur les axes x0 et y0 on obtient :
0
cos
2
1
cos
2
et
sin
sin
1
2
On déduit :
2
arcsin(
sin
)
1
et
cos
1
cos arcsin(
sin 1)
: Loi entrée-sortie
Remarque : Dans cet exemple trois paramètres
sont utilisés pour positionner les différents repères
du mécanisme. Ces paramètres sont liés par deux équations indépendantes. On peut déduire que pour réaliser
un paramétrage strict (minimal et suffisant) de ce mécanisme on a besoin seulement d’un seul paramètre ( ).
14
CINEMATIQUE
1. Définition
2. Hypothèses
3.
Point lié à un solide
3.1. Point appartenant à un solide
3.2. Appartenance réelle et imaginaire
4. Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point d’un solide
4.1. Vecteur position d’un point d’un solide
x y z
Le vecteur position
OM t
xt x
yt y
zt z
x y z
OM t
x t x
y t y
z t z
Trajectoire :
4.2. Vecteur vitesse d’un point d’un solide
V M R
d OM t
dt
R
V M R
4.3. Vecteur accélération d’un point d’un solide
V M R
M R
dV M R
dt
R
4.4. Dérivée d’un vecteur par rapport à une base
U t
x y z
x y z
dU t
dt
dU t
dt
R
R
U t
U t
dU t
dt
dU t
dt
d at x
R
at x
R
bt y
bt z
dy
dt
ct
R
at x
dU t
dt
at x
bt y
dt
bt y
bt y
dU t
dt
bt z
R
ct z
at
dx
dt
bt
R
R
ct z
dx
dt
at
R
dz
dt
R
U t
bt
R
dy
dt
ct
R
dz
dt
R
z
dz
dt
z
R
dx
dt
R
d y
dt
R
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x
x
x
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dt
dx
d
R
t
R
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dt
dx
d
d
x
d
R
y
x
y
y
dx
d
z
x
z
x
R
R
Conclusion importante :
x
x
x
z
dy
d
dU t
dt
dU t
dt
z
dz
d
y
R
z
z
R
R
dU t
dt
R
dU t
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dU t
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R R
dU t
dt
R
at
z
x
bt
z
y
R
z
at x
bt y
R
z U t
R
z
dU t
dt
R R
R
U t
ct z
ct
z
z
R R
z
z
R R
z
vecteur rotation de la base de R1 par rapport à R
R1 et R n’ont aucun vecteur en commun)
u v z
dU t
dt
dU t
dt
dU t
dt
R
B
B
u wz
dU t
dt
dU t
dt
dU t
dt
B R
U t
B R
z
B
U t
B
B
u
R
B
z
B
B
B
R B
R
U t
dU t
dt
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dt
R
R R
B R
B
B
B
R B
R B
U t
R
B R
B
z
u
z
R R
dU t
dt
dU t
dt
R
R R
U t
R
5. Champs des vecteurs vitesse - champs des vecteurs accélération d’un point d’un solide
5.1. Le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
d AB
dt
d AB
dt
R
d AB
dt
d AB
dt
R
R R
AB
R
R
d AO
dt
R
d OB
dt
V B R
V A R
R
V A R
V B R
V A R
S R
A
V B R
R R
S R
V A R
AB
A
S R
torseur cinématique
A
REMARQUE
V A
S R
5.2. Propriétés du torseur cinématique d’un solde
5.2.1 Équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse des points d’un solide
V A R AB V B R AB
REMARQUES
5.2.2. Torseurs particuliers
• Le torseur couple
S R
V A R
A
V B R
V A R
V A R
A
AB V A R
• Le torseur à résultante ou glisseur
S R
S R
S R
H
H
V A R
V H R
S R
HA
S R
HA
Remarque :
axe instantané de rotation
5.2.3. Axe central - Moment central
S R
S R
A
V A R
A
S R
S R
S R
H
H
S R
H
GS R
GS R
H
S R
CS R
H
H
S R
CS R
S R
S R
S R
S R
S R
V A R
S R
axe instantané de rotation et de glissement
Remarques :
S R
V A R
V H R
S R
HA
S R
S R
HA
5.3. Champs des vecteurs accélération des points d’un solide
x y z
V B R
V A R
S R
AB
A
A
dV B R
dt
B R
d AB
dt
d AB
dt
dV A R
dt
R
d
A R
d AB
dt
R
S R
dt
S R
d
S R
dt
R
AB
R
d AB
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S R
R
R
AB
S
AB
S
A R
B R
AB
A R
d
S R
dt
AB
B R
S R
S R
AB
R
S R
S R
AB
6. Composition de mouvements
6.1. Composition des vecteurs vitesse.
x y z
V M R
x y z
V M R
V M R
V M R
d OM
dt
d OO
R
OM
dt
R
d OO
dt
R
dO M
dt
R
d OO
dt
dO M
dt
dO M
dt
R
V O R
R
R R
OM
R
V M R
V M R
dO M
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V O R
R R
OM
R R
OM
R
V M R
R
V M R
V M
V M R
R R
V O R
V O R
R R
OM
V M R
V M R
V M R
V M
R R
V M R
V M R
V M
R R
6.2. Composition des vecteurs rotations
x y z
x y z
S R
S R
R R
U
dU t
dt
R
dU t
dt
R R
R
U t
dU t
dt
R
dU t
dt
S R
S
U t
dU t
dt
dU t
dt
R
dU t
dt
S R
dU t
dt
U t
S
dU t
dt
R
R R
S R
U t
S
R
S R
S R
R R
6.3. Composition des torseurs cinématiques
x y z
V M R
V M R
et
S R
S R
S R
V M R
V M
V M R
S R
M
S R
R R
R R
S R
M
x y z
R R
M
M
V M R R
R R
M
M
6.4. Composition des vecteurs accélérations
x y z
M R
V M R
x y z
M R
V M R
V O R
R R
OM
dV M R
dt
dV M R
dt
R
dV M R
dt
dV M R
dt
dV O R
dt
d
R R
dt
R R
R
R
d
R R
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R
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OM
R
OM
R R
R
V M R
R
R R
V M R
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OM
R
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R R
R
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R
R R
M R
R R
dt
R
dO M
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dV M R
dt
d
dV O R
dt
M R
dO M
dt
R R
R
dV M R
dt
R
dV M R
dt
dV O R
dt
dO M
dt
V M R
R R
OM
R
R R
R R
OM
R
R R
R R
OM
M R
R
M R
O R
R R
d
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V M R
OM
R
R R
R R
OM
dO M
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R
M
R R
M
R R
O R
R R
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M R
M R
M R
M
R R
R R
V M R
O M
R R
d
R R
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d
R R
dt
M R
R R
R R
O M
R
V M
O R
O R
R R
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O M
R R
R R
O M
R
O M
R R
R R
O M
R
M
R R
R R
V M R
R R
V P
S
S
V P
S
S
En effet le mouvement du point P de (S2) par rapport de (S1) suivant la normale au plan tangent est empêché
( contact ponctuel). Le mouvement du P ainsi que sa vitesse V P
S
S
sont contenus, donc, dans le plan
V P
S
R
tangent commun en P à (S1) et (S2).
x y z
V P
S
S
V P
S
R
Démonstration
La composition des vecteurs vitesse s'écrit ( en utilisant (R) comme repère relatif):
d’où
V P
S
R
V P
S
S
V P
S
R
V P
S
S
V P
S
R
V P
S
R
V P
S
S
n
S
S
S
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S
S
t
S
S
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S
S
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S
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S
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S
S
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t
x y z
S
S
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S
S
S
S n n
S
n
S
x y z
O x y
x x
z
S
V O
S
S
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S
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S
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S
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V O S S
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V O
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S
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S
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S
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S
V O
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O
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V M S S
IM
V I S S
V M S S
IM
IM
IM
V M S S
IM
V M S S
base
roulante
OI
x y
OI
x y
V I
V I
V I
V I
V I
V I
S
S
V I
V I
V I
V I
r b
V I
S
S
x y z
( (r) est lié à (
) et (b) est lié à (
x y z
))
x y z
O x y
O x y
O x y
z
R
z
z
R
z
z
R
R
z
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V I
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V I
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S
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V I
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V I
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x y
x
xI
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r
x y z
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x y z
x x
y
V I
S T
x y
x y
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S T
V I
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V I
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V O
S R
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T R
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x e
e
V O
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S R
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x
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S T
V I
OI
V A T R T est en translation par rapport à
d OA
dt
V I
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S R
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V I
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x y
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S T
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dt
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x
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x y
S T
IH
V I
S T
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x
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S T
AO
y
O x
AH
AH
AI
IH
e
x
xH
xH
yH
r
r
e
y
xH x
yH y
yH
e
y
OH
OH
e
x
x y
OH
e
OH
x1H
y1H
x
xHx
e
x
y
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e
y
e
x
e
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e
x
e
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xH
e
e
e
y
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y
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x
x
x
z
z
z
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S
R
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x
S
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V I
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S
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S
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x y
z
z
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S
S
t
S
S
S
S
r
r
S z z
S
n
S
S
z
x
STATIQUE
I. Torseur des actions mécaniques
1. Force
a. Force ponctuelle
Exemple
F,A
b. Force répartie ou densité de force
f P
f P
f P
dF
f Pd
f P
F
dF
f Pd
2. Moment
a. Moment d'une force ponctuelle par rapport à un point
F
M O
OA
F
F
AO
b. Moment d'une force répartie (ou densité de force)
f P
dM O
OP
dF
OP
f P d
f P
PO d
f P
M O
dM O
OP
f Pd
c. Cas particulier de moment: couple
f P
POd
3. Torseur des actions mécaniques
Démonstration:
Cas d'une force ponctuelle
Soit une force ( F ,A) appliquée en un point A.
Soient deux points quelconques O et O'.
Les deux vecteurs moments de la force ( F ,A) en O et O' vérifient:
M O
F
AO
F
AO
OO
M O
F
OO
Le champ des vecteurs moments d'une force est alors un champ antisymétrique.
Cas d'une force répartie
Soit une densité de force f P répartie sur un domaine
, avec
Soient deux points quelconques O et O'.
Les deux vecteurs moments de la densité de force f P
M O
f P
POd
f P
PO
f P
PO d
M O
M O
f Pd
F
en O et O' vérifient:
OOd
f P
O Od
OO
OO
Le champ des vecteurs moments d'une force répartie est alors un champ antisymétrique
Cas d'une force ponctuelle ( F , A)
T
F
F
O
F
M O
O
F
AO
O
M O
F
Cas d'une densité de force f P
T
F
f Pd
F
O
M O
O
OP
f Pd
M O
F
Cas d'un couple C
f P
f Pd
O
f P
POd
O
C
O
C
O
O
II. Torseur des actions mécaniques extérieures appliquées sur un système de solides.
E= {S1,S2,S3,…}
Exemple:
E= {S1,S2}
Ti
Fi
O
Mi O
O
E
T E
E
O
R E
MO E
E
E
O
n
R E
E
i
R E
E
MO E
T E
E
E
O
n
Fi
et
MO E
E
Mi O
i
III. TORSEUR DES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT DES LIAISONS PARFAITES (SANS
FROTTEMENT)
T S
S
x y z
T S
S
S
S
R S
O
MO S
S
S
O
X L
S
Y M
Z N
O
S
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S
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S
T S
S
S
S
O
RS
S
V O
S
S
Xu Yv Zw L
M
S
O
MO S
S
S
S
O
S
N
Exemple: liaison ponctuelle de normale (O, z ) entre les solides S1 et S2
z
z
R S
S
x
y
x
z
y
T S
S
RS
O
S
MO S
w=0
S
O
S
Z
S
O
S
O
V O
u
S
S
S
v
O
O
V. MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES DE CONTACT
1. Représentation mathématique des actions mécaniques de contact
f
T S
R S
S
f
R S
S
O
S
S dS
OP
f
P
MO S
P s
MO S
S
P s
T S
S
O
P
S
S
P
S dS
S
S
S
O
R S
S
MO S
S
2. Loi de coulomb
f
f
P
S
S
P
S
nP S
nP S
tP S
S
tP S
S
S
tP S
nP S
S
S
S
S
Enoncée des lois de Coulomb
VP S
S
VP S
tP S
S
tP S
S
tP S
S
VP S
VP S
S
S =
S <0
f nP S
f
tg
S
f
f
S
P
VP S
S
S
tP S
S
f
nP S
S
f0
f
f
f
3. Hypothèse du contact sans frottement
f
f
P
S
S
Remarque:
nP S
S
4. Cas de solides en contact ponctuel
T S
R S
S
MP S
S
S
N S
S
T S
S
n
t
MP S
P
N S
S
N S
T S
MP S
S
n
MP S
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S
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S
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MP S
MP S
S
t
P
S
M
S
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S
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S
P
S
S
S
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S
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S
S
t
S
S
S
S
n
S
t
S
S
S
P
S
V P S
S
P
S
S
S
t
S
V P S S
Vecteur vitesse de glissement
Premier cas : V P
S
S
V P
S
S
T S
S
V P
S
S
T S
S
T S
S
f N S
Deuxième cas : V P
T S
S
S
f N S
Vecteur rotation de pivotement
Premier cas :
S
S
S
MP S
n
S
S
MP S
n
n
MP S
Vecteur rotation de roulement
Premier cas :
t
S
t
S
S
t
MP S
M
t
P
S
S
S
t
S
MP S
S
Deuxième cas :
MP S
S
t
S
S
N S
t
S
N S
S
S
S
S
n
S
Deuxième cas :
S
S
n
n
MP S
S
S
n
S
S
N S
n
S
N S
S
S
S
5. Hypothèse du contact rigoureusement ponctuel
MP S
S
V. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
1. Equilibre d’un ensemble matériel par rapport à un repère
2. Principe fondamental de la statique
Il existe au moins un repère, appelé repère galiléen, tel que pour
tout sous ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel (E) en
équilibre par rapport à ce repère, le torseur associé aux actions
mécaniques extérieures à (e) soit nul.
T e
Remarque : Repère galiléen
3. Théorèmes généraux de la statique
e
e
E
a. Théorème de la résultante statique
Re
e
b. Théorème du moment statique
MA e
A
e
Remarque importante
T e
e
4. Théorème des actions mutuelles
T e
e
T e
Exemple:
T S
S
R S
MO S
T S
O
S
S
S
O
R S
S
MO S
S
e
GEOMETRIE DES MASSES
I. Géométrie des masses
I.1. Masse volumique – Masse
Considérons un solide (S). Découpons-le en petits éléments
de volume dv.
La quantité de matière contenue dans un élément de volume
dv centré autour du point M est notée dm.
La masse volumique est simplement le rapport entre la masse
de l’élément par son volume :
dm
dv
(M )
dm
( M ) dv
La masse volumique est une fonction du point en général. Lorsque le solide est homogène, elle est uniforme.
La masse totale du solide est égale à la somme des masses de chacune de ses parties :
m
dm
( M )dv
(S )
M (S )
Si la masse volumique est uniforme (on dit que le solide est homogène) alors :
m
dv
V
(S )
avec V est le volume total du solide (S).
I.2. Centre de gravité
I.2.1. Définition
Le centre de gravité du solide (S), noté G, est le barycentre des éléments de masse dm. Il vérifie donc :
GM dm
0
( M ).GM dv
c.-à-d.
M (S )
0
M (S )
I.2.2. Détermination
On peut en calculer les coordonnées de G dans un repère fixe ou mobile d’origine O en écrivant :
GM
OM
GM dm
OG alors :
M (S )
OM dm OG
M (S )
d’où :
dm
M (S )
OM dm
M (S )
OGdm
0
M (S )
0
OM dm
m.OG
M (S )
OG
1
OM dm
m M (S )
1
xG
soit : OG
yG
zG
1
xdm
m M (S )
1
ydm
m M (S )
1
zdm
m M (S )
xdm ,
Les intégrales
M (S )
ydm et
M (S )
zdm sont appelés les moments statiques du solide (S) respectivement
M (S )
par rapport aux plans {Oyz}, {Oxz} et {Oxy}.
I.2.3. Propriétés
le centre d’inertie du solide (S) est un point lié à (S).
Soit une partition de S(m, G) en n éléments (mi, Gi) avec i=1..n, alors :
n
m.OG
m i .OG i
i 1
Si (S) est homogène et admet un élément de symétrie (plan, axe, centre) son centre d’inertie appartient
à cet élément de symétrie.
I.2.4. Théorèmes de Guldin
1er théorème
L’aire A de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour
d’un axe de son plan, ne la traversant pas, est égale au produit de la
longueur L de la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre
de gravité :
A
2 rG L
Exemple : Centre de gravité d’un fil homogène, demi-circulons de rayon R.
L’axe (Oy) est un axe de symétrie pour le fil donc G (oy)
Pour déterminer yG on applique le 1er théorème de Guldin en faisant tourner le fil
autour de (ox) on obtient A
2 yG L
4 R2
avec A est la surface d’une sphère de rayon R : A
et L est la longueur d’un demi cercle de rayon R : L
d’où : 4 R 2
2 yG . R
yG
2R
OG
2R
R
y
2éme théorème
Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son plan,
ne la traversant pas, est égal au produit
de l’aire (A) de la surface par la longueur du périmètre du cercle décrit par son centre de gravité :
V
A.2 rG
2
Exemple : Centre de gravité d’un demi-disque homogène, de rayon R.
L’axe (Oy) est un axe de symétrie pour le demi-disque donc G (oy)
Pour déterminer yG on applique le 2éme théorème de Guldin en faisant
tourner le demi-disque autour de (ox) on obtient : V
avec V est le volume d’une sphère de rayon R : V
A2 y G
4 3
R
3
R2
2
et A est la surface d’un demi-disque de rayon R : A
d’où :
4 3
R
3
R2
2 yG
2
yG
4R
3
OG
4R
y
3
I.3. Moments et produits d’inertie d’un solide
I.3.1 Définitions
Produit d’inertie d’un solide
(S) par rapport à un plan ( )
I (S / )
d 2 dm
Moment d’inertie d’un solide Moment d’inertie d’un solide
(S) par rapport à un point (A)
(S) par rapport à un axe ( )
d 2 dm
I (S / )
M S
I ( S / A)
M S
d 2 dm
M S
I.3.2. Moments et produits d’inertie
Considérons un solide (S) dans un repère O.N.D. (R)=(O, x , y , z )
Calculons les moments d’inertie et les produits I
O
d’inertie de (S) par rapport aux axes du repère (R):
I Ox
OM 2 .dm
M S
x2
M S
2
z dm
x2
z 2 dm
x2
y 2 dm
y
2
M S
I Oy
M S
I Oz
M S
I Oxy
z 2 dm
M S
I Oxz
y 2 dm
M S
I Oyz
x 2 dm
M S
où x,y,z sont les coordonnées du point courant M variant dans (S).
3
y2
z 2 dm
Remarque/ Si le point O et la base ( x , y , z ) sont fixes par rapport au solide (S), les quantités
I O , I Ox , I Oy , I Oz , I Oxy , I Oxz et I Oyz sont constantes au cours du temps.
Moments d’inerties usuelles
4
I.3.3. Propriétés
L’inertie d’un solide par rapport à une droite est égale à la somme des inerties par rapport à deux
plans perpendiculaires contenant la droite.
I Ox
I Oxy
I Oxz
y2
z 2 dm
x2
z 2 dm
x2
y 2 dm
M S
Exemple :
I Oy
I Oxy
I Oyz
M S
I Oz
I Oxz
I Oyz
M S
L’inertie d’un solide par rapport à un point est égale à la moitié de la somme des inerties par rapport
à trois axes perpendiculaires contenant le point.
Exemple :
I Ox
I Oy
I Oz
( y2
M S
z 2 )dm
(x2
z 2 )dm
M S
(x2
y 2 )dm
M S
2
(x2
y2
z 2 )dm
2IO
M S
I.3.4. Théorèmes de Huyghens
Les formules de Huyghens permettent de calculer les inerties par rapport à un système d’axes quand on
connaît les inerties par rapport à l’autre système d’axes.
On considère un solide (S) dont le centre de gravité est
désigné par G et deux systèmes d’axes parallèles
(O, x , y , z ) et (G, x , y , z ).
Soient (xG,yG,zG) les coordonnées de G dans (O, x , y , z ).
I Ox
I Gx
m( y G
2
zG )
2
I Gx
md x2
I Oy
I Gy
m( x G
2
zG )
2
I Gy
md y2
I Oz
I Gz
m( x G
2
yG )
2
I Gz
md z2
I Oxy
I Gxy
m.xG . y G
I Oxz
I Gxz
m.xG .z G
I Oyz
I Gyz
m. y G .z G
avec dx , dy et dz sont les distances séparant le centre de gravité G respectivement aux axes (Ox), (Oy) et
(Oz).
Remarque :
On constate que I Ox
I Gx , I Oy
I Gy et I Oz
I Gz ; c’est donc que l’inertie du solide par rapport à un axe
passant par son centre de gravité est minimale.
5
I.3.5. Opérateur d’inertie
a. Définition
L’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point A, est l’opérateur qui à tout vecteur u fait correspondre le
vecteur:
J A (S , u)
AM
(u
AM ) dm
M S
Cet opérateur est linéaire, donc représentable par une matrice.
b. Matrice d’inertie
La matrice d’inertie du solide (S) au point A, relativement à la base ( x , y , z ) est telle que :
J A (S , u)
I Ax
avec :
J A (S )
J A ( S ) .u
I Axy I Axz
I Axy I Ay
I Ayz
I Axz I Ayz I Az
( x, y , z )
Remarques :
Les moments d’inertie du solide (S) par rapport aux axes (A,x), (A,y) et (A,z) apparaissent sur la
diagonale de la matrice.
L’opérateur d’inertie est symétrique.
Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à un axe ( ) passant par un point A et de vecteur
directeur unitaire u est:
I (S / )
u. J A ( S ) .u
L’opérateur d’inertie est symétrique.
c. Base principale d’inertie
La matrice d’inertie étant symétrique possède un système de trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux.
Par conséquent, il existe toujours, en tout point, au moins une base orthonormée directe, appelée base
principale d’inertie, dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale (produits d’inertie nuls).
Soit, par exemple, ( x 1 , y 1 , z 1 ) la base principale d’inertie de la matrice d’inertie du solide (S) au point A.
Dans cette base la matrice d’inertie est de la forme
J A (S )
I Ax1
0
0
0
I Ay1
0
0
0
I Az1
( x1 , y1 , z1 )
Propriétés:
Les axes (A,x1),(A,y1) et (A,z1) sont appelés axes principaux d’inertie du solide (S) au point A.
Les moments d’inertie I Ax1 ,
I Ay1 et I Az1
sont appelés moments principaux d’inertie du solide (S) au
point A.
6
Les moments principaux d’inertie sont les valeurs propres de la matrice d’inertie.
L’axe normal à un plan de symétrie matérielle du solide (S) est un axe principal d’inertie. Si par
exemple (A,x,y) est un plan de symétrie matérielle alors l’axe (A,z) est un axe principal d’inertie :
I Axz
I Ayz
0
et
I Ax
J A (S )
I Axy
0
I Axy I Ay
0
0
0
I Az
( x, y,z )
Si l’un des axes du repère (R) est un axe de symétrie matérielle alors la base de (R) est une base
principale d’inertie. Si par exemple (A,z) est un axe de symétrie matérielle alors :
I Ax
I Ay
I
0
0
0
I Az
et
I
J A (S )
0
0
I
0
( x, y,z )
I.4. Principe de conservation de la masse
I.4.1. Définition
Un ensemble matériel (E) vérifie le principe de conservation de la masse, si tout sons-ensemble matériel (e)
de l’ensemble matériel (E) a une masse m(e) constante au cours du temps.
I.4.2. Conséquence: Dérivation sous le signe somme
Soit (E) un ensemble matériel en mouvement par rapport à un repère
(R). Soit f ( M , t ) un champ de vecteurs défini, à chaque date t, en
tout point P de (E). Considérons la résultante générale du torseur
associé à ce champ de vecteurs :
f ( M , t )dm
P E
Compte tenue du principe de conservation de la masse la dérivée par rapport au temps de cette résultante
peut s’écrire :
d
dt
f ( M , t )dm
M E
M
7
d
f ( M , t )dm
dt
E
CINETIQUE
I. Torseur cinétique
I.1. Définitions
Cas du point matériel (rappel)
Soit M un point matériel de masse (m) en mouvement dans le repère
(R) à l’instant t à la vitesse V ( M / R ) , on définit :
La quantité de mouvement :
( M / R)
m.V ( M / R)
Le moment cinétique du point M par rapport à un point A
quelconque :
A
( M / R)
AM
m.V ( M / R)
Cas du solide indéformable
Ces concepts se généralisent au cas d’un solide indéformable. Soit (S)
un solide de masse M en mouvement dans le repère (R). A chaque
instant, on définit :
La quantité de mouvement, appelée aussi résultante
cinématique :
( S / R)
V (M
S / R).dm
M S
Le moment cinétique du solide(S) par rapport à un point A
quelconque :
A
( S / R)
AM
V (M
S / R)dm
M S
I.2. Résultante cinétique
La résultante cinétique (ou quantité de mouvement) d’un solide s’écrit :
( S / R)
V (M
S / R).dm
M S
V (M
On peut écrire :
S / R) V (G
S / R)
( S / R ) GM
La résultante cinétique devient :
( S / R)
V (M
S / R).dm
M S
( S / R)
V (G
V (G
S / R) dm
M S
(S / R)
S / R)
( S / R)
GM dm
M S
dm .V (G
( S / R)
GM dm
M S
S / R)
M S
(S / R)
GM dm
M S
1
On a :
dm m
M S
GM dm
Compte tenu que le centre de gravité est barycentre des masses, il est naturel d’écrire :
0
M (S )
D’où :
( S / R)
m.V (G
S / R)
( S / R)
0
On obtient l’expression finale de la résultante cinétique suivante :
( S / R) m.V (G S / R)
La résultante cinétique du solide – ou sa quantité de mouvement – dans son mouvement dans (R) est égale
au produit de sa masse par la vitesse de son centre de gravité.
I.3. Moment cinétique – 1er théorème de Koenig
Le moment cinétique du solide (S) dans son mouvement dans (R) calculé au point A quelconque est donné
par l’expression :
A
(S / R)
AM
V (M
S / R)dm
M S
On peut montrer que le champ de moment cinétique est antisymétrique de vecteur résultante le vecteur
quantité de mouvement. C’est à dire quelques soient les points A et B de (S) on a :
B
(S / R)
A
(S / R)
P ( S / R)
AB
Démonstration
Considérons le repère (RG) de centre G et dont
les axes sont parallèles à ceux de (R) ((RG) est en
translation par rapport à (R)).
Le mouvement de (S) dans (RG) s’appelle "
mouvement du solide autour de son centre de
gravité " .
Alors: V ( M
S / R) V ( M
S / RG ) V ( M
RG / R) V (G
RG / R )
RG / R )
or :
V (M
d’où : V ( M
V (G
S / R)
V (G
S / R)
S / R) V (M
( RG / R )
0
GM
GM
S / RG ) V (G
S / R)
2
On revient vers l’expression du moment cinétique :
A
(S / R)
AM
V (M
S / R)dm
M S
A
(S / R)
AM
V (M
S / RG ) V (G
V (M
S / RG )dm
S / R ) dm
M S
A
(S / R)
AM
AM
M S
A
(S / R)
AG
GM
V (M
S / RG )dm
( S / R)
(S / R)
S / R)
M S
AG
V (M
S / RG )dm
M S
A
S / R )dm
AM dm V (G
M S
A
V (G
M S
GM
V (M
S / RG )dm
m AG
V (G
S / R)
V (M
S / RG )dm
m AG
V (G
S / R)
M S
AG
V (M
S / RG )dm
M S
GM
M S
Notons que :
V (M
S / RG )dm
M S
V (G
S / RG )
( S / RG )
GM dm
M S
0
(S / R)
GM dm
M S
(S / R)
GM dm
M S
(S / R)
0
0
AG
V (M
S / RG ) dm
AG
0 0
M S
A
(S / R)
GM
V (M
S / RG )dm m AG V (G
S / R)
M S
Ceci
A
(S / R)
G
( S / R ) mV (G
A
(S / R)
G
(S / R)
S / R ) GA
P(S / R)
GA
le point A. d’où le champ de moment cinétique est antisymétrique.
Le champ de moment cinétique est antisymétrique d’où :
A
(S / R)
G
( S / R ) P ( S / R ) GA : Théorème de Koenig
Le moment cinétique de (S) dans son mouvement dans (R) calculé en un point A quelconque est égal à la
somme du moment cinétique de (S) autour de son centre de gravité et du moment en A de la quantité de
mouvement de (S).
On peut calculer le moment cinétique du solide dans son mouvement autour de son centre de gravité
grâce à l’opérateur d’inertie par les équations :
G
(S / R)
J G (S ) . (S / R)
3
A
(S / R)
J G ( S ) . ( S / R mV (G
S / R ) GA
En effet :
G
(S / R)
GM
V (M
S / R )dm
M S
GM
V (M
S / RG )dm
M S
GM
GM
V (M
S / R)dm
M S
GM
V (G
S / RG )
V (M
RG / R ) dm
GM
V (G
RG / R) dm
M S
( S / RG ) GM dm
GM
V (G
S / RG )dm
GM dm V (G
M S
( S / RG ) GM dm
M S
GM
S / RG ) V ( M
RG / R)dm
( S / RG ) GM dm
M S
GM
V (M
M S
M S
GM
GM
M S
RG / R )
M S
GM
0 dm 0 V (G
RG / R )
M S
( S / RG ) GM dm
M S
J G ( S ) . ( S / RG )
d’où :
J G ( S ) . ( S / R)
G
et
A
(S / R)
(S / R)
J G (S ) . (S / R)
J G ( S ) . ( S / R ) mV (G
S / R ) GA
I.5. Torseur cinétique
Le champ de moment cinétique étant antisymétrique, on peut alors lui associer un torseur. Ce torseur est
appelé torseur cinétique et il est désigné par :
Tc ( S / R )
A
( S / R)
A (S / R)
m.V (G S / R )
J G ( S ) . ( S / R ) mV (G S / R ) GA
A
A
II. Torseur cinétique d’un ensemble matériel
Soit (E) un ensemble matériel de n solides (Si), avec i=1..n, le torseur cinétique de l’ensemble (E) est
simplement la somme des torseurs de chacun des solides écrits au même point :
n
Tc ( E / R )
Tc ( S i / R )
A
i 1
4
A
DYNAMIQUE
I. Torseur dynamique
I.1. Définitions
Cas du point matériel (rappel)
Soit P un point matériel de masse M en mouvement dans le repère (R) à l’instant t à l’accélération ( M / R ) ,
on définit :
La résultante dynamique (ou force d’inertie) :
F d (M / R)
Le moment dynamique par rapport à un point A quelconque :
m. ( M / R )
A
( M / R)
AM
m. ( M / R )
Cas du solide indéformable
Soit (S) un solide en mouvement dans le repère (R), on définit :
La résultante dynamique (ou force d’inertie) : F d ( S / R )
(M
S / R).dm
M (S )
Le moment dynamique par rapport à un point A quelconque :
A
(S / R)
AM
(M
S / R ).dm
M (S)
I.2. Résultante dynamique
La résultante dynamique d’un solide s’écrit :
F d (S / R)
(M
S / R).dm
M (S )
M
d V ( M S / R)
.dm
dt
/R
(S )
Soit encore, d’après le principe de conservation de la masse :
d
dt / R
F d ( S / R)
F d ( S / R)
V (M
S / R).dm
M (S )
d
mV (G S / R )
dt / R
d P( S / R)
dt
/R
F d ( S / R)
La résultante dynamique est la dérivée de la résultante cinétique.
F d ( S / R)
donc :
et donc :
dmV (G S / R)
dt
/R
F d ( S / R ) m (G S / R )
La résultante dynamique d’un solide (S) est égale au produit de la masse par l’accélération du centre de
gravité.
I.3. Moment dynamique
On montre que le moment dynamique peut être calculé à partir du moment cinétique par la formule :
A
(S / R)
d
dt / R
A
(S / R)
V ( A S / R)
1
mV (G
S / R)
ou :
A
d
dt / R
( S / R)
A
(S / R)
V ( A S / R)
P( S / R)
Démonstration
Le moment dynamique du solide (S) dans son mouvement dans (R) calculé au point A quelconque est donné
par l’expression :
A
(S / R)
AM
(M
S / R ).dm
M (S )
Comme
Il vient :
d ( f .g )
dt
A
f
dg
dt
(S / R)
M
A
A
A
A
A
A
A
( S / R)
( S / R)
(S / R)
(S / R)
(S / R)
(S / R)
(S / R)
d
dt / R
g
df
dg
d’où f
dt
dt
d
AM
dt / R
(S)
AM
d ( f .g )
dt
V (M
A
M
V (M
d
dt / R
A
d
dt / R
A
d
dt / R
A
d
dt / R
A
d
dt / R
A
V (M
d AM
dt
(S )
V (M
S / R) V ( A S / R)
S / R ).dm
/R
d OM OA
dt
/R
(S )
S / R).dm
M
( S / R)
df
,
dt
S / R ) .dm
M (S)
d
dt / R
g
V (M
V (M
S / R).dm
S / R ).dm
M (S)
( S / R)
V ( A S / R) V (M
S / R ).dm
M (S )
(S / R)
V ( A S / R)
V (M
S / R).dm
M (S)
( S / R)
V ( A S / R)
M
(S / R)
(S / R)
V ( A S / R)
V ( A S / R)
d OM
dt
(S )
d
dt / R
.dm
/R
OM .dm
M (S)
d mOG
dt
/R
finalement :
A
(S / R)
d
dt / R
A
(S / R)
V ( A S / R)
mV (G
ou :
A
( S / R)
d
dt / R
A
(S / R)
V ( A S / R)
P(S / R)
S / R)
CAS PARTICULIERS :
Le moment dynamique se réduit à la dérivée du moment cinétique dans les cas suivants :
A
(S / R)
d
dt / R
A
(S / R)
La vitesse du point A est nulle : V ( A S / R )
La vitesse de A est parallèle à celle de G : V ( A S / R ) // V (G S / R )
A est confondu avec G : A=G c'est-à-dire V ( A S / R ) V (G S / R )
2
I.4. Torseur dynamique
Le torseur dynamique est désigné par :
Td ( S / R )
m. (G S / R )
F d ( S / R)
A
A
(S / R)
d
dt / R
A
A
( S / R)
V ( A S / R)
mV (G S / R )
A
II. Torseur dynamique d’un ensemble matériel
Soit (E) un ensemble matériel de n solides (Si), avec i=1..n, le torseur dynamique de l’ensemble (E) est
simplement la somme des torseurs dynamiques de chacun des solides écrits au même point:
n
Td ( E / R )
Td ( S i / R )
A
i 1
A
III. Principe fondamental de la dynamique
III.1. Hypothèse d’un espace absolu
Isaac Newton fait l’hypothèse d’un espace dont la structure Euclidienne est indépendante de la
présence des corps matériels :
" L’espace absolu, sans relation aux choses extérieures, demeure toujours similaire et immobile ".
Les référentiels en mouvement rectiligne uniforme par rapport au repère absolu sont dits Galiléens.
Tous les repères Galiléens sont en mouvement rectilignes uniformes uns par rapport aux autres.
En pratique, on considère qu’un repère calé sur des étoiles fixes de la Galaxie constitue un repère
Galiléen.
Pour la plupart des applications on considérera qu’un référentiel lié à la Terre constitue une bonne
approximation d’un système Galiléen.
III.2. Hypothèse d’une chronologie absolue
Newton fait l’hypothèse d’une chronologie absolue commune à tous les sites de l’espace :
" Le temps absolu vrai et mathématique, sans relation à rien d’extérieur, coule uniformément et
s’appelle durée ".
Pour lui toutes les horloges sont synchronisables quelle que soit leur distance réciproque ou leur
vitesse relative. De ce fait la simultanéité de deux événements peut toujours être établie(*).
(*) Cela revient à supposer qu’un signal (de synchronisation) peut se propager de façon instantanée (avec une vitesse
infinie). En fait Einstein, en 1905, suite aux expériences de Morlay et Michelson, a montré qu’aucun signal ne pouvait se
propager à une vitesse supérieure à celle de la lumière dans le vide. C’est la base da la théorie de la relativité restreinte.
III.3. Principe fondamental de la dynamique
Enoncé : Dans un repère Galiléen (R) , le torseur des forces
extérieures T ( E
E ) agissant sur un ensemble matériel (E) est
égal au torseur dynamique Td ( E / R) :
T (E
E)
3
Td ( E / R )
Remarque
Si l’ensemble matériel (E) étudié est lui même rattaché à d’autres solides – par un système d’appuis
ou de liaisons – il faut isoler l’ensemble matériel et prendre en compte les actions de liaison externes
à (E) dans l’évaluation des éléments de réduction du torseur des forces.
Noter que les actions extérieures sont définies sans rapport avec un quelconque système d’axes alors
que le mouvement, lui, doit être défini dans un système d’axes Galiléens.
Il est néanmoins possible d’établir des équations de dynamique dans des systèmes non-Galiléens à
condition d’introduire des torseurs de " forces d’entraînement " et des torseurs de " Coriolis".
III.4. Principe de la résultante dynamique
Il découle de l’identification des résultantes des torseurs de forces et dynamique.
Enoncé : La résultante R ( E
E ) des forces agissant sur un ensemble de solide (S) est égale à la
résultante dynamique galiléenne F d ( E / R ) .
R( E
E)
F d ( E / R ) si le repère (R) est Galiléen
S)
F d ( S / R ) si le repère (R) est Galiléen
pour le cas d’un solide (S) unique :
R( S
Autre énoncé (dit de la conservation de la quantité de mouvement) : La quantité de mouvement d’un
ensemble de solides (S) isolé de toute action extérieure est constante.
d
P( S / R )
dt
0 si le repère (R) est Galiléen
III.5. Principe du moment dynamique
Il découle de l’identification des moments – calculés au même point – des torseurs de forces et dynamique.
Enoncé : Le moment des forces agissant sur un ensemble de solide (E) est égale au moment dynamique
galiléen.
M A (E
E)
F d ( E / R ) si le repère (R) est Galiléen
Autre énoncé (dit de la conservation du moment cinétique) : Le moment cinétique d’un ensemble de
solides (S) isolé de toute action extérieure est constant.
d
dt
A
( S / R)
0 si le repère (R) est Galiléen
4
PUISSANCES ET ENERGIES
VII. 1. Puissance développé par une action mécanique extérieure appliquée sur un solide (S)
P( Fext
W ( Fext
S / R)
d
W ( Fext
dt
S / R)
S / R) : Travail de l’action mécanique extérieure.
P( Fext
P(Fext
S / R)
S / R) R(Fext
1
T ( Fext
2
S)
A
(S / R)
A
S ) V ( A S / R) M A(Fext
S)
(S / R)
Si P>0 : Puissance motrice
Si P<0 : Puissance résistante
VII.2. Théorème de l'énergie cinétique
La somme des puissances des forces extérieures et des forces intérieures (frottements internes) fournies et/ou dissipées
par un système est égale à la variation par rapport au temps de l'énergie cinétique :
P( F
ext
S / R)
P( F
int
1
S / R)
dEC ( S / R )
dt