IFT1065 :: A20
Miklós Csűrös
15 septembre 2020
3. Inférence logique
U N E P R E U V E établit une nouvelle proposition (la conclusion) à partir
d’autres propositions (les prémisses), selon des règles formelles d’inférence.
En général, on définit un argument comme une séquence de propositions
logiques, avec une conclusion (la dernière proposition) et des prémisses (toute
autre proposition précédant la conclusion, possiblement aucune). Un argument est dit valide si lorsque les prémisses 1 sont vraies, la conclusion est vraie
aussi. Noter bien qu’on peut avoir un argument valide avec des fausses prémisses. Si l’argument est valide et ses prémisses sont vraies, l’argument est dit
correct.
Considérons, par exemple, les deux raisonnements suivants 2 .
? «Si le train est délayé, et elle ne trouve pas de taxi libre à la gare, Jeanne
arrivera en retard. Jeanne est arrivée à temps. Or le train était délayé. Donc,
elle a dû trouver un taxi.»
? «S’il pleut, et Jean n’a pas sa parapluie, il sera trempé. Il est sec. Or il pleut.
Donc, il a dû prendre sa parapluie.»
Tous les deux raisonnements suivent le même arrangement : on a trois
prémisses p ∧ ¬q → r , ¬r ), et p d’où on déduit la conclusion q.
On peut afficher la structure de l’argument symboliquement, en vérticale,
avec une ligne horizontale qui sépare les prémisses de la conclusion :
p ∧ ¬q → r
¬r
p
q
ou, pour effet dramatique à la fin,
p ∧ ¬q → r
¬r
p
∴q
1. Donc s’il n’y a pas de prémisses, l’argument est valide quand la conclusion est une
tautologie.
2. Michael Huth and Mark Ryan.
Logic in
Computer Science: Modelling and Reasoning
about Systems. Cambridge University Press,
2nd edition, 2004
TABLE 1: Table de vérité pour les exemples
de Jeanne et Jean, rangées avec deux prémisses vraies p et ¬r.
p
1
1(p)
q
0
1(c)
r
0
0
¬r
1
1(p)
p ∧ ¬q
1
0
p ∧ ¬q → r
0
1(p)
(p)=prémisse, (c)=conclusion
(3.1)
On peut vérifier la validité de ces arguments par le table de vérité (Table 1).
La vérité des trois prémisses entraîne la vérité de la conclusion. Pourtant un
argument valide peut toujours être incorrect si les prémisses sont fausses 3 :
Jeanne a peut-être a pris sa voiture et peut–être avec Jean même.
Les variables propositionnelles dans (3.1) dénotent des propositions différentes, mais de point de vue de validité, les deux arguments suivent la même
recette. En fait, on peut remplacer les variables par des formules quelconques
et l’argument reste valide. On peut même conclure que l’équation (3.1) nous
donne une forme d’argument qu’on peut employer dans tout contexte en remplaçant p, q, r par des formules pertinentes. Par exemple, avec un ensemble
de taxis T, et avec les prédicats «t est à la gare» G (t), «t est libre» L(t), on
peut écrire «il y a un taxi libre à la gare» comme ∃t ∈ T : G (t) ∧ L(t) et
remplacer chaque occurrence de q par cette formule.
Le symbole de trois points en triangle
∴ veut dire «par conséquent» (therefore).
3. En fait, on n’a même pas besoin de débattre la correction des prémisses (y incluant
l’implication). Le raisonnement suivant est
aussi valide, «Si la terre est bleue comme une
orange et les mots ne mentent pas, alors les
guêpes fleurissent vert. Les guêpes ne fleurissent pas vert. Or la terre est bleue comme
une orange. Donc, les mots mentent.»
INFÉRENCE LOGIQUE
3.1
2
Règles d’inférence
Une règle d’inférence 4 est une forme d’argument qu’on utilise pour
construire une démonstration formelle. On utilise le symbole de taquet
(turnstile en anglais) ` pour dénoter qu’il existe une démonstration formelle
à partir des premisses (listées à la gauche) jusqu’à la conclusion (à la droite) :
φ, χ, η . . . `
prémisses
ψ
.
conclusion
Une telle expression s’appelle un séquent. Par tradition, on utilise les minuscules grecques pour formules logiques et les majuscules pour ensembles de
formules : v. Table 2 pour rappel.
Le contexte de la preuve définit le modèle, incluant les règles syntaxiques
des formules et des termes du domaine de discours, ainsi que les axiomes
qui sont des propositions logiques fondamentales du modèle, et les variables
avec leur liaisons. On se sert des axiomes dans les démonstrations, mais on les
omet 5 dans la notation `. Une conclusion ψ qu’on démontre sans prémisses
s’écrit par ` ψ et s’appelle un théorème. (Typiquement, ψ est une implication de forme p → q, où l’antécédente p encode les conditions sous lesquelles
le résultat de la conséquence q est applicable. )
On engendre une conclusion à partir des axiomes et des prémisses à travers d’une démonstration formelle en utilisant les règles d’inférence. Une
démonstration Γ ` ψ est valide si et seulement si ψ est vrai toujours quand les
prémisses Γ sont vraies, c’est à dire Γ → ψ est une tautologie.
Il faut bien observer que Γ ` ψ n’est pas la même chose que Γ → ψ : ce
dernier est une proposition logique avec une valeur de vraie ou fausse, tandis
que ` dénote la manipulation de symboles selon des règles «mécaniques», sans
égard à la vérité.
Un jeu de règles mal conçu peut mener à des démonstration formelles de
fausses conclusions 6 . D’autre part, il peut aussi arriver qu’on n’a pas assez de
règles pour formaliser tout argument : Γ → ψ peut être vrai mais on ne trouve
pas de preuve Γ ` ψ.
On dit qu’un jeu de règles est correct si toute démonstration formelle est
valide (dans d’autres mots, lorsqu’il y a une preuve Γ ` ψ, Γ → ψ doit être
une tautologie).
4.
:règle d’inférence
(fr)
φ
χ
c’est la même chose que
···
ψ
TABLE 2: Quelques lettres grècques.
minuscule
nom
majuscule
φ
phi
Φ
ψ
psi
Ψ
χ
khi
*
ξ
ksi
Ξ
ω
oméga
Ω
λ
lambda
Λ
η
éta
*
ω
oméga
Ω
δ
delta
∆
γ
gamma
Γ
β
béta
*
α
alpha
*
‘
* Majuscules identiques au latin : Alpha
(A), Béta (B), Éta (E), Chi (X).
5. Par exemple, dans géométrie euclidienne,
un théorème ne réitère pas les 5 axiomes
fondamentaux d’Eclid.
6. Par exemple, si on introduit une règle
non-valide φ ∨ η, φ ` ¬η, on peut déduire
toute proposition q (et sa négation ¬q) avec
la prémisse «2 × 2 = 4 ou q» (ou sa négation
avec «2 × 2 = 4 ou ¬q).
3
INFÉRENCE LOGIQUE
3.2
Inférence pour calcul des propositions
Table 3 montre des règles d’inférence nommées dans calcul des propositions. Chaque règle est valide parce que chacune corresponde à une tautologie.
nom
prémisses
modus ponens
φ,
φ→ψ
modus tollens
¬ψ,
φ→ψ
addition
φ
simplification
φ∧ψ
conjonction
φ,
ψ
syllogisme hypothétique φ → ψ, ψ → η
syllogisme disjonctif
φ ∨ ψ,
¬φ
résolution
φ ∨ ψ,
¬φ ∨ η
TABLE 3: Règles d’inférence dans calcul des
propositions
conclusion
`ψ
` ¬φ
` φ∨ψ
`φ
` φ∧ψ
`φ→η
`ψ
` ψ∨η
La plus importante règle est le modus ponens qui a la forme
φ
φ→ψ
(MP)
ψ
correspondant à la tautologie p ∧ ( p → q) → q. Modus pollens, ou la
méthode d’affirmer (poser) l’antécedent, est une forme d’argument classique.
Elle est fondamentale 7 dans le sens que les autres règles correspondent souvent
à une application de modus ponens, possiblement en combinaison avec une
tautologie.
Modus tollens, ou la méthode de dénier le conséquent, utilise modus
ponens avec la contraposée : ( p → q) ≡ (¬q → ¬ p)
¬ψ
φ→ψ
7. En fait, l’approche classique à l’inférence
logique, celle de systèmes à la Hilbert, ne
permet que modus ponens dans l’inférence.
(MT)
¬φ
Addition, simplification, et conjonction permettent de grouper et
séparer les arguments par cas, ou par preuves imbriquées. Comme les autres
règles, on peut les inférer aussi à partir de modus ponens. Addition ajoute une
formule quelconque à la conséquence par disjonction, et simplification laisse
tomber une partie des prémisses :
φ
φ∨ψ
(Addition)
φ∧ψ
(Simplification)
(3.2)
φ
par (MP) avec les implications φ → (φ ∨ ψ) et φ ∧ ψ → φ qui sont des tautologies 8 . La règle définit la rôle de multiples prémisses : il faut les combiner
par conjonction.
φ
ψ
(Conjonction)
(3.3)
φ∧ψ
Le syllogisme hypothétique est basé sur la transitivité du conditionnel :
( p → q) ∧ (q → r ) → ( p → r )
8. Par exemple,
φ → (φ ∨ ψ) ≡ ¬φ ∨ (φ ∨ ψ)
défn. de →
≡ (¬φ ∨ φ) ∨ ψ
associativité de ∨
≡ 1∨ψ
≡1
négation
domination
INFÉRENCE LOGIQUE
est une tautologie :
φ→ψ
ψ→η
4
(3.4)
φ→η
Le syllogisme disjonctif est la même chose que modus ponens, avec l’implication ¬φ → ψ ≡ φ ∨ ψ :
φ∨ψ
¬φ
(3.5)
ψ
Résolution est une règle utilisée souvent dans des logiciels de démonstration automatique :
φ∨ψ
¬φ ∨ η
(3.6)
ψ∨η
qui correspond à un syllogisme hypothétique ¬ψ → φ, φ → η ` (¬ψ → η ).
3.3
Déduction naturelle
Disons qu’on a un théorème φ → ψ avec des formules quelconques φ, ψ. Maintenant, si on suppose φ, φ → ψ reste
toujours vrai, et on obtient ψ par modus ponens. Donc
`φ→ψ
φ`ψ
devrait être une forme d’argument valide.
Cette règle nous dit que si une implication est vraie, alors il y a aussi une preuve valide qui infère la conclusion à partir de la prémisse de l’hypothèse. Cette forme élimine l’opérateur →. Si on veut démontrer des théorèmes, on a besoin de
règles pour introduire des → aussi. Considérons par exemple, la règle de modus tollens qui nous donne le raisonnement
valide p → q, ¬q ` ¬ p. Est-ce qu’on peut construire le séquent ( p → q) ` (¬q → ¬ p) ? On procède de nouveau
avec une une preuve conditionnelle, parce qu’on suppose ¬q pour appliquer les règles formelles :
1
p→q
2
¬q
supposition
3
¬p
MT, 2, 1
4
¬q → ¬ p
→ I, 2––3
prémisse
Déduction dans notation Fitch : indentation dénote
preuve conditionnelle, avec une supposition.
On a besoin d’une règle dans Ligne 4 qui introduit l’implication à partir de la preuve imbriquée 2––3 (règle → I). Le
théorème suivant nous montre la validité d’une telle règle. La preuve exacte du théorème dépend de l’ensemble de règles
qu’on adopte.
Théorème 3.1 (Théorème de Déduction). Soit Γ un ensemble (possiblement vide) de formules (le contexte), et soit φ, ψ deux
formules (l’hypothèse et la conclusion). Alors
Γ, φ ` ψ
(3.7)
Γ ` (φ → ψ)
est une forme d’argument valide.
INFÉRENCE LOGIQUE
Règles d’élimination et introduction
En fait, on peut trouver des règles d’élimination et introduction systématiquement pour tous nos opérateurs, et non pas seulement pour →. Table 4
montre une telle collection.
Les règles d’introduction (∧I) et élimination (∧E) de conjonction correspondent à ce qu’on appelle Conjonction et Simplification dans Éqs. (3.3)
et (3.2). La règle d’élimination existe en deux formes (∧E1 et ∧E2 ) selon le
côté qu’on garde dans la conclusion. Les propriétés des opérateurs (commutativité, associativité, distributivité) ne sont pas définies par règles additionnelles,
parce qu’on peut les inférer par l’interaction des règles d’élimination et introduction. Par exemple, le séquent p ∧ q ` q ∧ p est valide :
1
p∧q
prémisse
2
p
∧E1 , 1
3
q
∧E2 , 1
4
q∧p
∧I, 3, 2
(3.8)
La règle d’introduction de disjonction est la règle d’Addition de (3.2).
Elle existe en deux formes (∨I1 et ∨I2 ) selon le côté où on copie la prémisse.
L’élimination de disjonction (∨E) nous donne une recette : démonter la
prémisse, donner des preuves cas par cas, et combiner les conclusions à la fin.
La règle d’élimination d’implication ou «élimination de flèche» (→ E)
est modus ponens. La règle d’introduction (→ I) correspond au théorème de
déduction.
Les règles de double négation (¬¬I et ¬¬E) expriment que φ ≡ ¬¬φ
(«il n’est pas vrai que φ soit faux»), donc on a le droit de les introduire ou
enlever librement. La règle d’introduction (¬¬I) est dérivée en combinant ¬E
et ¬I (v. Table 7).
Les règles de négation considèrent les contradictions. Par la définition
de l’implication, 0 → φ est une tautologie pour toute formule logique φ.
La règle d’élimination de faux (0E) encode le fait que tout peut être inféré à
partir d’une prémisse fausse : 0 ` φ. La règle d’élimination de négation (¬E)
encode le principe de non-contradiction. Elle est aussi la règle d’introduire
faux (0I). L’introduction de la négation (¬I) nous permet de laisser tomber
une supposition. (Voir aussi réduction à l’absurde). La règle ¬I encode la loi
du milieu exclu. En particulier, elle nous permet de dériver une règle qui
correspond à la loi directement : ` φ ∨ ¬φ (LME).
Table 4 contient toutes les règles dont on a besoin. Les propriétés des
opérateurs, et les équivalences sont bel et bien encodées par ce jeu. Eq. (3.8)
montre la commutativité de conjonction. Pour un exemple plus compliqué,
l’équivalence ¬ p ∨ q ≡ p → q est impliée : les séquents ¬ p ∨ q ` p → q et
p → q ` ¬ p ∨ q sont tous les deux valides. Table 5 montre les preuves.
5
TABLE 4: Règles de base dans déduction
naturelle.
I : règle d’introduction
E : règle d’élimination
φ
ψ
∧I
.
φ∧ψ
φ∧ψ
φ∧ψ
∧E
et la forme symétrique
.
φ
ψ
φ
ψ
∨I
et la forme symétrique
.
φ∨ψ
φ∨ψ
φ∨ψ
φ`χ
ψ`χ
∨E
.
χ
φ`ψ
.
→I
φ→ψ
φ
φ→ψ
→E
.
ψ
¬¬φ
¬¬E
φ
φ`0
.
¬I
¬φ
φ
¬φ
¬E ou 0I
.
0
0
0E .
φ
TABLE 5: Preuve de ¬ p ∨ q ` p → q et de
p → q ` ¬ p ∨ q.
1
¬p ∨ q
2
¬p
prémisse
supposition
3
p
supposition
4
0
0I, 3, 2
5
q
0E, 4
6
p→q
→ I, 3––5
7
q
supposition
8
p
supposition
9
q
copier, 7
p→q
10
11
p→q
→ I, 8––9
∨E, 1, 2––6, 7––9
1
p→q
prémisse
2
p ∨ ¬p
LME
3
p
supposition
4
q
→ E, 3, 1
5
¬p ∨ q
∨I2 , 4
6
¬p
supposition
7
¬p ∨ q
∨I1 , 6
8
¬p ∨ q
∨E, 2, 3––5, 6––7
Théorèmes d’équivalence (par → I) :
` (¬ p ∨ q) → ( p → q)
` ( p → q) → (¬ p ∨ q)
INFÉRENCE LOGIQUE
Règles dérivées
Table 4 contient assez de règles pour les arguments valides, et on peut y
ajouter d’autres si on a besoin d’opérateurs additionnels (v. Table 6 pour ↔).
Il y a aussi des règles dérivées qu’on utilise souvent (p.e., ceux dans Table 3),
voir Table 7 pour les plus importantes dans déduction naturelle.
Modus tollens. On peut arriver à modus tollens (MT) déjà avec les règles de
base de Table 4.
Preuve par contradiction. Réduction à l’absurde (RAA) est la technique de
démontrer une formule φ en raisonnant que la supposition de ¬ p aurait des
ramifications contradictoires. Cette règle nous donne le droit d’inférer φ si on
a une preuve conditionnelle ¬φ ` 0.
Loi du milieu exclu. Pour toute proposition p, p ∨ ¬ p est une tautologie
parce que p est soit vrai soit faux. C’est le principe du tiers exclu, aussi
appelé la loi du milieu exclu. La règle correspondante (LME) formalise ce
principe, en posant que le séquent ` φ ∨ ¬φ est valide pour toute formule φ.
La règle permet de diviser une preuve en deux selon une condition utile φ :
afin de démontrer χ, on ajoute la proposition φ ∨ ¬φ, et on construit deux
mini-preuves φ ` χ et ¬φ ` χ ; à la fin on élimine l’atout par la règle ∨E.
(Table 5 montre un exemple de cette technique).
3.4
TABLE 6: Règles d’introduction et d’élimination pour ↔.
φ→ψ
ψ→φ
↔I
.
φ↔ψ
φ↔ψ φ↔ψ
et
.
↔E
φ→ψ ψ→φ
TABLE 7: Règle dérivées dans déduction
naturelle.
MT : modus tollens
RAA : réduction à l’absurde (preuve par
contradiction)
LME : loi du milieu exclu
¬ψ
φ→ψ
MT
.
¬φ
t=t
pour tout terme (constante, valeur de variable ou de fonction). On dit que
l’égalité = est réflexive.
(2) On a aussi la règle de substitution :
¬¬I
t=u
φ(t)
φ(u)
(=E)
Ici, t et u sont des éléments du domaine du prédicat φ (valeurs de variable ou
de fonction).
prémisse
2
φ→ψ
prémisse
3
φ
4
ψ
→ E, 3, 2
0
¬E, 4, 1
φ
¬¬φ
¬φ
prémisse
φ
¬φ
supposition
3
0
¬E, 1, 2
4
¬¬φ
¬I, 2––3
2
RAA
¬I, 3––5
.
1
¬φ ` 0
.
φ
1
¬φ ` 0
prémisse
2
¬¬φ
¬I, 1
3
φ
¬¬E, 2
LME φ ∨ ¬φ.
¬(φ ∨ ¬φ)
supposition
2
φ
supposition
3
φ ∨ ¬φ
∨I1 , 2
4
0
¬E, 3, 1
5
¬φ
¬I, 2––4
6
φ ∨ ¬φ
∨I2 , 5
7
Si φ(t) est un prédicat et t = u, on a le droit d’inférer φ(u) :
¬ψ
6
1
(=I)
1
5
Égalité
Les règles pour le calcul des prédicats servent à travailler avec les éléments
du domaine. Le domaine est toujours équipé d’un prédicat d’égalité : x = y
peut être faux ou vrai quand x, y sont des éléments quelconques du domaine.
Il est important de souligner que cette égalité = est spécifique aux éléments du
domaine. On n’écrit pas φ = ψ entre deux formules logiques (on avait défini
l’équivalence de propositions ≡ pour cela).
Il y a deux règles sur l’égalité. (1) On a le droit d’introduire une égalité
6
0
¬E, 6, 1
8
¬¬(φ ∨ ¬φ)
¬I, 1––7
9
φ ∨ ¬φ
¬¬E, 8
INFÉRENCE LOGIQUE
TABLE 8: Égalité est symétrique et transitive
La règle de substitution est formidable, parce que φ peut être tout prédicat.
En particulier, on obtient symétrie t = u ` u = t immédiatement avec
déf
le prédicat φ( x ) = x = t , et transitivité t = u, u = v ` t = v avec le
déf
prédicat φ( x ) = t = x
3.5
Règles pour quantificateurs
Les règles d’élimination d’un quantificateur sont appelées règles d’instanciation : à partir de la prémisse ∀ x : φ( x ) ou ∃ x : φ( x ), on infère φ(t), avec
un terme particulier t. Cet élément particulier et un élément qu’on peut choisir dans le cas de ∀, ou un élément non-spécifié qui satisfait φ, et on introduit
une nouvelle variable pour cela.
Les règles d’introduction des quantificateurs sont des règles de généralisation. Ici, on infère ∃ x : φ( x ) de la prémisse qu’on a φ(t) avec un terme
quelconque t. Ou bien, si on veut ∀ x : φ( x ) (par exemple, «la somme des
angles de toute triangle est 180°») on peut juste démontrer φ(y) pour un élément arbitraire qu’on dénote par une nouvelle variable y («soit y un triangle
quelconque»). Table 9 montre les règles de quantificateurs.
Exemple 3.1. On démontre que le séquent H (s), ∀ x : H ( x ) → M( x ) ` M(s) est
1
t=u
prémisse
2
t=t
=I
3
u=t
= E, 1, 2
1
t=u
prémisse
2
u=v
prémisse
3
t=v
= E, 2, 1
= est symétrique
= est transitive
TABLE 9: Règles d’introduction et élimination de quantificateurs. Dans toute
les formules, t est un terme et y est une
nouvelle variable ajoutée à Γ.
∀E instanciation universelle
∀ x : φ( x )
φ(t)
∀I généralisation universelle
Γ ` φ(y)
Γ ` ∀ x : φ( x )
valide (modus ponens universel) :
∃E instanciation existentielle
1
H (s)
prémisse
2
∀ x : H ( x) → M( x)
prémisse
3
H (s) → M(s)
∀E, 2
4
M(s)
→ E, 1, 3
Γ ` ∃ x : φ( x )
«Socrates est humain.»
Γ ` φ(y)
«Tous les humains sont mortels.»
∃I généralisation existentielle
φ(t)
∴ «Socrates est mortel.»
∃ x : φ( x )
Exemple 3.2. On veut démontrer qu’il n’y a pas de plus grand nombre naturel. L’idée de la preuve est de se servir de la propriété
fondamentale des nombres naturels : avec le successeur de n, dénoté par la fonction s(n) = n + 1, on a toujours n < s(n) :
∀n : n < s(n)
{z
}
|
`
(n + 1) est plus grand que n
m : n < m}
|¬∃n : ¬∃{z
il n’y a pas de n t.q. aucune m ne soit plus grand
est un séquent valide.
Par De Morgan, on peut viser également
1
∀n : n < s(n)
2
∃n : ¬∃m : n < m
3
N
axiome
∀n : n < s(n) ` ∀n∃m : n < m
supposition
dans une preuve qui est plus courte :
¬∃m : N < m
∃ E, 2
4
N < s( N )
∀ E, 1
1
∀n : n < s(n)
5
∃m : N < m
∃ I, 4
2
N
6
0
¬E, 5, 3
3
¬I, 2––6
4
7
¬∃n : ¬∃m : n < m
7
axiome
N < s( N )
∀E, 1
∃m : N < m
∃I, 2
∀n∃m : n < m
∀I, 2––3
Dans Ligne 2, on suppose qu’en fait il existe un «plus grand nombre». Dans Ligne 3,
on introduit N («le plus grand nombre» dont l’existence est impliqué par 2). Or, notre Il suffit d’introduire N («un nombre quelconque») pour instancier 1, et 2–3 se
axiome est instancié dans 4 qui nous permet la généralisation existentielle dans 5, et
généralise à tout nombre dans 4.
c’est une contradiction énoncée dans 6.
INFÉRENCE LOGIQUE
3.6
Systèmes d’inférence formelle
Le système d’inférence présenté, appelé déduction naturelle, comprend les
règles fondamentales d’élimination et d’introduction :
TABLE 10: Régles de proposition logique
dérivées dans déduction naturelle.
SH syllogisme hypothétique
SD syllogisme disjonctif
RES résolution
φ→ψ
ψ→η
SH
.
φ→η
∧E ∨E → E 0E ¬E
¬¬E
règles pour logique des propositions
∧I ∨I → I (¬E) ¬I (¬¬I dérivée)
= E ∀E ∃E
= I ∀I ∃I
règles pour logique des prédicats
Le système de déduction naturelle est correct, donc tout séquent Γ ` φ est
valide. Mais est-ce que le système est complet : peut-on trouver une démonstration formelle pour toute tautologie Γ → φ ? Notons qu’on considère
ici la sémantique de l’énoncé Γ → φ déterminée par la table de vérité (imaginée) : lorsque Γ est vrai, φ l’est aussi. Le séquent Γ ` φ, par contre, dénote
une procédure mécanique de substitutions de formules dans les règles (pattern
matching). (1) Déduction naturelle est complète pour la logique des propositions : on peut toujours démontrer Γ ` φ si φ est vrai lorsque Γ est vrai.
Table 10 montre quelques exemples. (2) Déduction naturelle n’est pas complet
pour la logique des prédicats : il y a des énoncés vrais Γ → φ sur les nombres
entiers qui sont impossibles 9 à démontrer formellement (ni Γ → ¬φ).
Il existe d’autres systèmes d’inférence corrects, basé sur d’autres jeux de
règles basiques. L’approche classique est celle des systèmes à la Hilbert : on
n’a que modus ponens pour l’inférence. Afin d’introduire des implications
pour modus ponens, on a le droit d’instancier un des axiomes (il y en a 7).
Les preuves dans un tel système sont plutôt pénibles : voir Exemple 3.3.
Déduction naturelle avec la mécanique des suppositions et démonstrations imbriquées, par contre, est non pas seulement proche au raisonnement humaine
en mathématique, mais a des applications importantes en informatique.
Exemple 3.3 (Démonstration dans un système à la Hilbert). Considèrons la démonstration formelle de ` p → p avec modus ponens, à l’aide de deux axiomes fondamentaux :
`φ → (ψ → φ)
(K)
` φ → (ψ → χ) → (φ → ψ) → (φ → χ)
(S)
La technique est d’instancier les axiomes (S) et (K) avec des formules opportunes (p ou
p → p ici) :
1
p → ( p → p) → p → p → ( p → p) → ( p → p)
(S)
χ
χ
φ
ψ
φ
ψ
φ
2 p → ( p → p) → p
(K)
φ
3
φ
4
5
ψ
φ
p → ( p → p)
ψ
(K)
φ
p → ( p → p) → ( p → p)
p→p
MP, 2, 1
MP, 3, 4
8
1
φ→ψ
prémisse
2
ψ→η
prémisse
3
φ
supposition
4
ψ
→ E, 3, 1
η
→ E, 4, 2
5
φ→η
6
φ∨ψ
¬φ
SD
→ I, 3––5
.
ψ
1
φ∨ψ
prémisse
2
¬φ
prémisse
3
φ
supposition
4
0
¬E, 3, 2
5
ψ
0E, 4
6
ψ
supposition
7
ψ
copier, 6
8
∨E, 1, 3––5, 6––7
ψ
φ∨ψ
RES
¬φ ∨ η
ψ∨η
.
1
φ∨ψ
prémisse
2
¬φ ∨ η
prémisse
3
φ
4
¬¬φ
¬¬I, 3
5
η
SD, 4, 2
6
ψ∨η
∨I2 , 5
7
ψ
supposition
8
ψ∨η
∨I1 , 7
9
ψ∨η
supposition
∨E, 1, 3––6, 7––8
9. On verra plus tard comment démontrer
qu’il existe des vérités impossibles à démontrer ! Mais intuitivement, le système
est incomplet parce que les prédicats avec
des quantificateurs sont beaucoup plus
complexes si le domaine de discours est
infini (p.e., nombres naturels). On ne peut
pas calculer la valeur de vérité d’une formule compliquée avec quantificateurs en
parcourant un domaine infini. Donc on
ne sait jamais si on n’a pas encore réussi à
démontrer qu’en fait Γ → φ est faux, ou
si on n’a pas encore réussi à trouver une
démonstration formelle Γ ` φ.
