GAP-2

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Exercices résolus de mathématiques.
GAP 2
EXGAP020 – EXGAP029
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Jacques Collot
1 avril 03

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EXGAP020 – Liège, septembre 1999.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le trapèze ABCD où
A(-2,0), B(2,0), C(1,2) et D(0,2).
Si MNPQ est un carré tel que M et N sont sur le segment AB tandis que P et Q
sont sr les autres côtés du trapèze, quelles sont les coordonnées du milieu de
MN ?
Il faut déterminer la position de la droite de telle façon que la distance
soit égale à . Autrement dit si ,
12
22
12 24
2 1 0 2
2( 2, )
PQ PQ
PM PQ y t PQ t PM
xy
AD y x
xy
CB y x
yx
P P t t
yt
Q
222
24 ( 2, )
2
( 2 2)
2
3
1) 4 8 à rejeter.
2
38
2) 4 1.6
25
( 0.4, 0) (1.2, 0)
Milieu de : (0.4, 0)
yx t
Qt
yt
t
PQ t t
ttt
ttt
M et N
MN
O
N
M
A(-2,0)
P
x
B (2,0)
Q
C(1,2)
D(0,2)
O
y =t

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EXGAP021 – Liège, septembre 1999.
Quelles sont les équations de toutes les tangentes à l’hyperbole x ² -y ² = 1
passant par le point (2,2) ?
Remarque : Peut-être n’y en a-t-il qu’une.
Nous allons écrire l’équation en coordonnées homogènes.
2 2 2 2 2
22
1 0.
(2, 2) (2, 2,1) 4 4 1 1
' 2 ' 4
' 2 ' 4
'2
'2
L'équation générale qui donne les coefficients angulaire des tangentes est :
' 4 ( ) 2 ' ' '
xa
yb
c
z
b a b a
x y x y z
Pf
f x f
f y f
f
fz
m
f Cf abc m f f m f
22 2 2
12
2
4 ( ) 0
1 0 1 0 1
4 4' 1)( 1) 2.4.4 4 4.1.( 1) 0 3 8 5 0
4 16 15 5
1
33
1) 1 correspond à une assymptote
5
2) Il n'y a donc qu'une seule asymptote correspondant à 3
Af abc
Ici A B C D E F
m m m m
m m et m
m
m
y
54
(2,2) 2 .2
33
1
et donc : (5 4)
3
mx p P p
yx

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EXGAP022 – Liège, septembre 1999.
On donne un cercle C et une droite d tangente à C.
Quel est le lieu des points dont la distance à C est égale à la distance à d ?
Remarque : la distance d’un point à un cercle s’exprime facilement en fonction
de son rayon et de la distance du point à son centre.
On prend le cercle centre en .
Soit le rayon du cercle et soit l'équation de la tangente au cercle au point (R,0).
Soit enfin le point ( , ) appartenant au lieu recherché.
Exprimons que la
O
R x R
P x y
2 2 2 2 2 2 2
distance de au cercle est égale à la distance de à la droite :
(2 ) 4 4
² 4 ² 4 4 ( )
C'est une parabole de foyer et de directrice 2 .
PP
x y R R x x y R x R Rx x
y r rx R x R
O x R

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EXGAP023 – Liège, septembre 1999.
Les tangentes à l’ellipse d’équation
1
9² 16
² yx
issues du point P (0,5), coupent l’axe Ox en les points A et B.
Quelle est l’aire du triangle PAB ?
L'ellipse en équation homogène s'écrit :
9 ² 16 ² 144 ² 0 (0, 5, 1) ( ) 9.0 16.25-144 256
' 18 ' 0
' 32 ' 160
' 288
' 288
'² 4 ( ) ² 2 ' ' 4 ( ) 0
160² 4.16.256 ² 2.0.
xa
yb
c
z
b a b
x y z P f abc
f x f
f y f
f
fz
f Cf abc m f f m Af abc
m 160. 0 4.9.256 0
9216 ² 9216 1
Les coordonnées de et sont donc : (5,0) et (-5,0).
L'aire du triangle est : 5.10/ 2 25
m
mm
A B A B
PAB