Nombres remarquables dont les nombres premiers

Cours de Terminale S - Nombres remarquables dont les nombres
premiers
E. Dostal
juin 2015

Table des mati`eres
2 Nombres remarquables dont les nombres premiers 2
2.1 Introduction............................................ 2
2.2 Lesnombrespremiers ...................................... 3
2.3 D´ecomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Nombresremarquables...................................... 5
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Chapitre 2
Nombres remarquables dont les nombres
premiers
2.1 Introduction
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
C’est un entier naturel strictement sup´erieur `a 1, n’admettant que deux entiers naturels diviseurs dis-
tincts : 1 et lui-mˆeme.
A quoi servent-ils ?
Ces nombres ont une importance centrale en math´ematiques : on peut montrer que tout entier naturel
peut se d´ecomposer en produit d’un ou de plusieurs facteurs premiers.
Les nombres premiers peuvent donc ˆetre vu comme les composantes de base des nombres entiers. La sim-
plicit´e de cette d´efinition ainsi que l’apparente importance de ce concept ont amen´e les math´ematiciens
`a s’y int´eresser d`es l’antiquit´e.
Les os d’Ishango, ´egalement appel´es bˆatons d’Ishango, sont des art´efacts arch´eologiques d´ecouverts dans
l’ancien Congo belge et dat´es de peut-ˆetre 20 000 ans. Ils sont recouvert d’en tailles marquant les nombres
premiers 11, 13, 17 et 19. Est-ce ici l’´ebauche d’une table de nombres premiers ou cette correspondance
est-elle due au hasard ?
Aujourd’hui, les nombres premiers sont `a la base de tous les probl`emes de chiffrement qui r´egissent
notre vie de tous les jours (cartes `a puces, site internet s´ecuris´e, ...).
Combien y en a-t-il ?
Une infinit´e ! (Cf. d´emonstration faite par Euclide)
Y a t-il une r´egle gouvernant la succession des nombres premiers ?
Cette question est reli´ee `a l’hypoth`ese de Riemann. Les plus grands math´ematiciens se sont confront´es `a
cette conjecture depuis plus d’un si`ecle ...sans succ`es !
Quel est le plus grand nombre premier connu ?
D´ecouvert le 25 janvier 2013, le plus grand nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne
257885161 −1, qui comporte 17 425 170 chiffres en ´ecriture d´ecimale.
On le doit `a l’´equipe de Curtis Cooper, `a l’universit´e du Central Missouri, dans le cadre de la grande
chasse aux nombres premiers de Mersenne (GIMPS).
Puis-je participer `a la recherche du prochain nombre premier ?
Oui, en utilisant votre ordinateur ! ! ! (http ://www.mersenne.org/)
Et ensuite ?
La r´esolution de l’hypoth`ese de Riemann est dot´ee d’un prix de 1 000 000 $ am´ericains offert par le Clay
Mathematical Institute. (Les probl`emes du prix du mill´enaire comptent sept d´efis math´ematiques r´eput´es
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E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS
insurmontables pos´es en l’an 2000. A ce jour, six des sept probl`emes demeurent non r´esolus.)
2.2 Les nombres premiers
D´efinition 1 Un nombre entier naturel est premier si il admet exactement deux diviseurs
positifs : 1 et lui-mˆeme.
Liste des nombres premiers inf´erieurs `a 100 :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Proposition 1 Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
Le plus petit diviseur de ncompris entre 2et nest premier.
d´emonstration : Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
Soit ple plus petit des diviseurs de ncompris entre 2 et n.
Supposons que pn’est pas premier, alors il admet un diviseur dtel que 1 < d < p.
dest un diviseur de pdonc de net est plus petit que p, ce qui est impossible.
Donc pest premier.
Th´eor`eme 2 L’ensemble des nombres premiers est infini.
(raisonnement par l’absurde en utilisant la proposition 1)
On sait qu’il y en a une infinit´e, mais on ne les connait pas tous et on les cherche encore `a l’heure
actuelle ! ! !
Proposition 3 Tout entier naturel nsup´erieur `a 2 qui n’est pas premier, admet un diviseur
premier au plus ´egal `a √n
Cons´equence : Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
Si aucun des entiers compris entre 2 et √nne divise n, alors nest premier.
Exemple : 149 est-il premier ?
Il existe diff´erents cribles permettant de trouver les nombres premiers inf´erieurs `a un entier N
choisi : Crible d’Eratosth`ene, Crible de Matiassevitch, ...
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E. Dostal - 2015 CHAPITRE 2. NOMBRES REMARQUABLES DONT LES NOMBRES PREMIERS
2.3 D´ecomposition en produit de facteurs premiers
Th´eor`eme 4
Tout entier naturel nsup´erieur ou ´egal `a 2se d´ecompose en un produit de facteurs premiers.
Cette d´ecomposition est unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
On ´ecrira n=pα1
1pα2 2pα3 3...pαk
k
o`u p1,p2, ..., pksont des nombres premiers et α1,α2,... αksont des entiers naturels non nuls.
d´emonstration de l’existence. (pour l’unicit´e, nous attendrons le th´eor`eme de Gauss (du chapitre
3))
Exemple : D´ecomposer en produit de facteurs premiers 360, puis 1001.
Algorithme 1 Un test de primalit´e est un algorithme permettant de savoir si un nombre
entier est premier.
Le test le plus simple est le suivant : pour tester N, on v´erifie s’il est divisible par l’un des entiers
compris entre 2 et N (2 compris). Si la r´eponse est n´egative, alors N est premier, sinon il est
compos´e.
Plusieurs changements permettent d’am´eliorer les performances de cet algorithme :
•il suffit de tester tous les nombres de 2 `a √N
•on peut encore diviser par deux le travail en ne testant que les nombres impairs, une fois que
la divisibilit´e par deux a ´echou´e,
•de fa¸con g´en´erale, on peut calculer `a l’avance une liste des nombres premiers inf´erieurs `a
une limite (avec un crible), pour ne tester que ceux-ci. Par exemple, pour tester les nombres
inf´erieurs `a 39 000, il suffit de tester les nombres premiers inf´erieurs `a 198 (car 1982>39000),
soit 45 nombres premiers.
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