Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel Exercice 1 Soient ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) un référentiel absolu muni de la base (𝑖, 𝑗, 𝑘) et ℜ1 (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘) le référentiel relatif. Dans le plan horizontal (𝑥𝑂𝑦), une tige circulaire de rayon 𝑎 et de centre 𝑐 est maintenue fixe. Un anneau 𝑀 de masse 𝑚 est assujetti à se déplacer sans frottement sur la tige circulaire. Il est repéré dans ℜ par : 𝑂𝑀 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜌 où 𝜑 = (𝑖, 𝑂𝑀 ) avec −𝜋 2 <𝜑< 𝜋 2 . L’anneau 𝑀 est attaché à l’extrémité d’un ressort de raideur 𝑘 et de longuer à vide 𝑎. L’autre extrémité du ressort est fixée au point 𝑂. En plus de la force de rappel 𝐹 exercée par le ressort, l’anneau 𝑀 est soumis à la réaction de la tige 𝑅 et à son poids 𝑃 = −𝑚𝑔𝑘. On désigne par (𝜏, 𝑛 , 𝑘 ) la base de Frénet comme l’indique la figure (𝑛 est le vecteur dirigé vers le centre de cercle). 𝑦 𝜏 𝑀 𝑒𝜑 𝜑 𝑗 𝑒𝜌 𝜑 𝑘 𝑂 𝑖 𝑛 𝑐 𝑥 N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ). 1) a) Calculer la vitesse de 𝑀 par rapport à ℜ. b) En déduire le vecteur 𝜏 tangent à la trajectoire. c) Calculer le vecteur 𝑛 normal à la trajectoire. 2) Donner les expressions des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ. 3) a) Ecrire le PFD appliqué à 𝑀 dans ℜ. b) En projetant le PFD sur 𝜏 , donner l’équation différentielle du mouvement de 𝑀 dans ℜ. c) Que devient cette équation pour des faibles valeurs de 𝜑. d) En projetant le PFD sur 𝑛 et 𝑘, trouver les composantes de la réaction 𝑅 du support sur 𝑀. 4) a) Calculer 𝜍𝑐 (𝑀/ℜ) le moment cinétique par rapport au point 𝑐 de 𝑀 dans ℜ. b) Calculer les moments dynamiques par rapport à 𝑐 des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ. M. BOURICH 41 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel c) En appliquant le théorème du moment cinétique, retrouver l’équation différentielle du mouvement de 𝑀 dans ℜ. Corrigé Soient ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) un référentiel absolu muni de la base (𝑖, 𝑗, 𝑘) et ℜ1 (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘) le référentiel relatif. Dans le plan horizontal (𝑥𝑂𝑦), une tige circulaire de rayon 𝑎 et de centre 𝑐 est maintenue fixe. Un anneau 𝑀 de masse 𝑚 est assujetti à se déplacer sans frottement sur la tige circulaire. Il est repéré dans ℜ par : 𝑂𝑀 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜌 où 𝜑 = (𝑖, 𝑂𝑀 ) avec −𝜋 2 <𝜑< 𝜋 2 . L’anneau 𝑀 est attaché à l’extrémité d’un ressort de raideur 𝑘 et de longuer à vide 𝑎. L’autre extrémité du ressort est fixée au point 𝑂. En plus de la force de rappel 𝐹 exercée par le ressort, l’anneau 𝑀 est soumis à la réaction de la tige 𝑅 et à son poids 𝑃 = −𝑚𝑔𝑘. On désigne par (𝜏, 𝑛 , 𝑘 ) la base de Frénet comme l’indique la figure (𝑛 est le vecteur dirigé vers le centre de cercle). 𝑦 𝜏 𝑀 𝑒𝜑 𝜑 𝑗 𝑒𝜌 𝜑 𝑘 𝑂 𝑖 𝑛 𝑐 𝑥 N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ). 1) Calculer 𝑉 (𝑀/ℜ) la vitesse de 𝑀 par rapport à ℜ. 𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = ℜ 𝑑 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜌 𝑑𝑡 ℜ = 2𝑎𝜑 −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜑 2) En déduire les expressions des vecteurs tangent 𝜏 et normal 𝑛 à la trajectoire au point 𝑀. 𝜏= 𝑉 (𝑀/ℜ) 𝑉 (𝑀/ℜ) = −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜑 𝑛 = 𝑘 ⋏ 𝜏 = 𝑘 ⋏ −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜑 = −𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 3) Déterminer 𝛺 ℜ1 /ℜ la vitesse de rotation de ℜ1 par rapport à ℜ. M. BOURICH 42 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 𝛺 ℜ1 /ℜ = 𝜑𝑘 4) Déterminer les accélérations relative 𝛾𝑟 (𝑀), d’entraînement 𝛾𝑒 (𝑀) et de Coriolis 𝛾𝑐 (𝑀) de 𝑀. 𝛾𝑟 (𝑀) = 𝑑2 𝑂𝑀 𝑑𝑡 2 = ℜ1 𝑑2 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 𝑑𝑡 2 = −2𝑎 𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜌 ℜ1 𝛾𝑒 (𝑀) = 𝜑𝑘 ⋏ 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 + 𝜑 𝑘 ⋏ (𝜑 𝑘 ⋏ 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜌 ) = 2𝑎𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜑 − 2𝑎𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 𝛾𝑐 (𝑀) = 2𝜑𝑘 ⋏ 𝑉𝑟 (𝑀) = 2𝜑𝑘 ⋏ 2𝑎(−𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑)𝑒𝜌 = −4𝑎𝜑2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝜑 5) Donner les expressions des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ1 . 𝑃 = −𝑚𝑔𝑘 𝑅 = 𝑅𝑛 𝑛 + 𝑅𝑘 𝑘 𝐹 = −𝑘(𝜌 − 𝑎)𝑒𝜌 = −𝑘𝑎(2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1)𝑒𝜌 𝑓𝑖𝑒 = −𝑚𝛾𝑒 (𝑀) = −2𝑎𝑚(𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑒𝜑 − 𝜑2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 ) 𝑓𝑖𝑐 = −𝑚𝛾𝑐 (𝑀) = −4𝑎𝑚𝜑2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝜑 6) Ecrire le PFD appliqué à 𝑀 dans ℜ1 . 𝑃 + 𝑅 + 𝐹 + 𝑓𝑖𝑒 + 𝑓𝑖𝑐 = 𝑚𝛾𝑟 (𝑀) 7) a) En projetant le PFD sur 𝜏 , donner l’équation différentielle du mouvement de 𝑀. Tout calcul fait conduit à : 𝜑+ 𝑘 (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜑)𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0 2𝑚 b) Que devient cette équation pour des faibles valeurs de 𝜑. 𝜑− 𝑘 𝜑=0 2𝑚 (𝑠𝑖𝑛𝜑 ≅ 𝜑 et 𝑐𝑜𝑠𝜑 ≅ 1) 8) En projetant le PFD sur 𝑛 et 𝑘, trouver les composantes de la réaction 𝑅 du support sur 𝑀. Tout calcul fait donne : 𝑅𝑘 = 𝑚𝑔 et 𝑅𝑛 = −𝑘𝑎(2𝑐𝑜𝑠𝜑 − 1)𝑐𝑜𝑠𝜑 + 4𝑎𝑚𝜑 2 M. BOURICH 43 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel Exercice 2 Soit ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) un référentiel orthonormé direct et Galiléen, muni de la base 𝑖, 𝑗, 𝑘 . Soit 𝑀 un point matériel de masse 𝑚. Le point 𝑀 glisse sans frottement le long de la tige (𝑇) qui tourne dans le plan horizontal (𝑥𝑜𝑦) autour de l’axe (𝑂𝑧) avec une vitesse angulaire constante 𝜔 (𝜑 = 𝜔𝑡 et 𝜔 > 0). 𝑀 est soumis, en plus de son poids 𝑃 et de la réaction de la tige 𝑅 , à une force 𝐹 = 𝐹𝑒𝜌 . Dans ces conditions, le mouvement de 𝑀 le long de la tige suit la loi 𝑂𝑀 = 𝑎𝑡𝑒𝜌 (𝑡 étant le temps et 𝑎 une constante positive). (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ) est la base cylindrique liée à la tige. 𝑧 g 𝑘 𝑂 𝑒𝜑 𝑖 𝜑 = 𝜔𝑡 𝑥 𝑦 𝑗 𝑒𝜌 𝑀 (𝑇) N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ). 1) Calculer la vitesse 𝑉 (𝑀/ℜ) et l’accélération 𝛾(𝑀/ℜ) de 𝑀 dans ℜ en fonction de 𝑎, 𝑡 et 𝜔. 2) Déterminer 𝜍𝑜 (𝑀/ℜ) le moment cinétique en 𝑂 du point 𝑀 ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. 3) Déterminer les moments dynamiques de chacune des forces agissant sur le point 𝑀. 4) En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver les expressions des composantes de 𝑅. 5) Déterminer 𝐸𝑐 (𝑀/ℜ) l’énergie cinétique du point 𝑀 dans ℜ ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. 6) Déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point 𝑀. 7) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de 𝐹 . M. BOURICH 44 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel Corrigé Soit ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧) un référentiel orthonormé direct et Galiléen, muni de la base 𝑖, 𝑗, 𝑘 . Soit 𝑀 un point matériel de masse 𝑚. Le point 𝑀 glisse sans frottement le long de la tige (𝑇) qui tourne dans le plan horizontal (𝑥𝑜𝑦) autour de l’axe (𝑂𝑧) avec une vitesse angulaire constante 𝜔 (𝜑 = 𝜔𝑡 et 𝜔 > 0). 𝑀 est soumis, en plus de son poids 𝑃 et de la réaction de la tige 𝑅 , à une force 𝐹 = 𝐹𝑒𝜌 . Dans ces conditions, le mouvement de 𝑀 le long de la tige suit la loi 𝑂𝑀 = 𝑎𝑡𝑒𝜌 (𝑡 étant le temps et 𝑎 une constante positive). (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ) est la base cylindrique liée à la tige. 𝑧 g 𝑘 𝑂 𝑒𝜑 𝑖 𝜑 = 𝜔𝑡 𝑥 𝑦 𝑗 𝑒𝜌 𝑀 (𝑇) N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑘 ). 1) Calculer la vitesse 𝑉 (𝑀/ℜ) et l’accélération 𝛾(𝑀/ℜ) de 𝑀 dans ℜ en fonction de 𝑎, 𝑡 et 𝜔. 𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝛾(𝑀/ℜ) = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = 𝑎𝑒𝜌 + 𝑎𝑡𝜔𝑒𝜑 ℜ 𝑑𝑉 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = −𝑎𝑡𝜔 2 𝑒𝜌 + 2𝑎𝜔𝑒𝜑 ℜ Déterminer 𝜍𝑜 (𝑀/ℜ) le moment cinétique en 𝑂 du point 𝑀 ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. M. BOURICH 45 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 𝜍𝑜 (𝑀/ℜ) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝑚𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝑎𝑡𝑒𝜌 ⋏ 𝑚 𝑎𝑒𝜌 + 𝑎𝑡𝜔𝑒𝜑 𝑑𝜍𝑜 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = 𝑚𝑎2 𝑡 2 𝜔 𝑘 = 2𝑚𝑎2 𝑡𝜔 𝑘 ℜ 2) Déterminer les moments dynamiques de chacune des forces agissant sur le point 𝑀. ℳ𝑂 (𝐹) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝐹 = 𝑎𝑡𝑒𝜌 ⋏ 𝐹𝑒𝜌 = 0 ℳ𝑂 (𝑃) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝑃 = 𝑎𝑡𝑒𝜌 ⋏ −𝑚𝑔𝑘 = 𝑎𝑡𝑚𝑔𝑒𝜑 ℳ𝑂 (𝑅 ) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝑅 = 𝑎𝑡𝑒𝜌 ⋏ 𝑅𝜑 𝑒𝜑 + 𝑅𝑘 𝑘 = 𝑎𝑡𝑅𝜑 𝑘 − 𝑎𝑡𝑅𝑘 𝑒𝜑 = 𝑎𝑡 −𝑅𝑘 𝑒𝜑 + 𝑅𝜑 𝑘 3) En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver les expressions des composantes de 𝑅. 𝑑𝜍𝑜 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = ℳ𝑂 (𝐹) + ℳ𝑂 (𝑃) + ℳ𝑂 (𝑅) ℜ ⟹ 2𝑚𝑎2 𝑡𝜔 𝑘 = 𝑎𝑡(𝑚𝑔−𝑅𝑘 )𝑒𝜑 + 𝑎𝑡𝑅𝜑 𝑘 ⟹ 𝑅𝜑 = 2𝑚𝑎𝜔 et 𝑅𝑘 = 𝑚𝑔 4) Déterminer 𝐸𝑐 (𝑀/ℜ) l’énergie cinétique du point 𝑀 dans ℜ ainsi que sa dérivée par rapport au temps dans ℜ. 𝐸𝑐 (𝑀/ℜ) = 𝑑𝐸𝑐 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 1 1 𝑚𝑉 2 (𝑀/ℜ) = 𝑚 𝑎2 + 𝑎2 𝑡 2 𝜔 2 2 2 = 𝑚𝑎2 𝜔 2 𝑡 ℜ 5) Déterminer les puissances de chacune des forces agissant sur le point 𝑀. 𝒫(𝐹 /ℜ) = 𝐹. 𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝐹𝑒𝜌 . 𝑎𝑒𝜌 + 𝑎𝑡𝜔𝑒𝜑 = 𝐹𝑎 𝒫(𝑃 /ℜ) = 𝑃. 𝑉 (𝑀/ℜ) = −𝑚𝑔𝑘. 𝑎𝑒𝜌 + 𝑎𝑡𝜔𝑒𝜑 = 0 𝒫(𝑅/ℜ) = 𝑅 . 𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝑅𝜑 𝑒𝜑 + 𝑅𝑘 𝑘 . 𝑎𝑒𝜌 + 𝑎𝑡𝜔𝑒𝜑 = 𝑅𝜑 𝑎𝑡𝜔 = 2𝑚𝑎2 𝜔 2 𝑡 6) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, trouver l’expression de 𝐹 . 𝑑𝐸𝑐 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = 𝒫 (𝐹/ℜ) + 𝒫 (𝑃/ℜ) + 𝒫 (𝑅/ℜ) ℜ ⟹ 𝑚𝑎2 𝜔 2 𝑡 = 𝐹𝑎 + 2𝑚𝑎2 𝜔 2 𝑡 ⟹ 𝐹 = −𝑚𝑎𝜔 2 𝑡 M. BOURICH 46 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel ⟹ 𝐹 = −𝑚𝑎𝜔 2 𝑡 𝑒𝜌 Exercice 3 On considère un pendule simple constitué d’un objet ponctuel 𝑀 de masse 𝑚, accroché à un fil inextensible de longueur 𝑙 et de masse négligeable. Son mouvement a lieu dans le plan vertical (𝑥𝑂𝑦) du référentiel fixe ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧). On écarte le pendule d’un angle 𝜃 de sa position d’équilibre (𝜃 = 0) et on le lâche sans vitesse initiale. Les forces de frottement sont supposées inexistantes. L’ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre 𝑔 considéré comme uniforme. 𝑦 𝑂 𝜃 𝑔 𝑙 𝑒𝜃 𝑀 𝑥 𝑒𝑟 1) Exprimer les forces appliquées au point 𝑀 dans la base (𝑒𝑟 , 𝑒𝜃 , 𝑘). 2) Calculer 𝑉 (𝑀/ℜ) et 𝛾(𝑀/ℜ) respectivement les vecteurs vitesse et accélération de 𝑀 dans ℜ. 3) En appliquant le 𝑃𝐹𝐷 dans le référentiel galiléen ℜ : a) Etablir l’équation différentielle du mouvement dans le cas de faibles oscillations. b) Résoudre cette équation différentielle. 4) Etablir l’expression de la tension 𝑇 du fil. 5) Retrouver l’équation différentielle du mouvement en appliquant le théorème de l’énergie cinétique. Corrigé On considère un pendule simple constitué d’un objet ponctuel 𝑀 de masse 𝑚, accroché à un fil inextensible de longueur 𝑙 et de masse négligeable. Son mouvement a lieu dans le plan vertical (𝑥𝑂𝑦) du référentiel fixe ℜ(𝑂, 𝑥𝑦𝑧). M. BOURICH 47 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel On écarte le pendule d’un angle 𝜃 de sa position d’équilibre (𝜃 = 0) et on le lâche sans vitesse initiale. Les forces de frottement sont supposées inexistantes. L’ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre 𝑔 considéré comme uniforme. 𝑦 𝑂 𝑔 𝑙 𝜃 𝑒𝜃 𝑀 𝑥 𝑒𝑟 1) Citer les forces s’appliquant sur le point matériel 𝑀 dans le référentiel galiléen ℜ. Les forces appliquées au point 𝑀 sont : Son poids 𝑃 avec : 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃 La tension du fil 𝑇 avec : 𝑇 = −𝑇𝑒𝑟 2) Ecrire le PFD appliqué au point 𝑀 dans ℜ. Le PFD dans ce référentiel galiléen est le suivant: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝛾 (𝑀/ℜ) ⟹ ⟹ 𝑚𝛾(𝑀/ℜ) = 𝑃 + 𝑇 −𝑚𝑙𝜃 2 𝑒𝑟 + 𝑚𝑙𝜃 𝑒𝜃 = (𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑇)𝑒𝑟 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃 3) a) En projetant le PFD sur 𝑒𝜃 , établir l’équation du mouvement pour de faibles oscillations. La projection du PFD sur 𝑒𝜃 donne : 𝑚𝑙𝜃 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ⟹ 𝑚𝑙𝜃 + 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑔 ⟹ 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑙 Pour des faibles oscillations, 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 (𝜃 𝑡𝑟é𝑠 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡 ) On trouve finalement : 𝜃+ M. BOURICH 𝑔 𝜃=0 𝑙 48 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel b) En déduire l’expression de la pulsation propre 𝜔0 du mouvement. 𝜔0 = 𝑔 𝑙 4) En projetant le PFD sur 𝑒𝑟 , établir l’expression de la tension 𝑇 du fil. La projection du PFD sur 𝑒𝑟 donne : −𝑚𝑙𝜃 2 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇 𝑇 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑙𝜃 2 ⟹ 5) Retrouver l’équation du mouvement en utilisant le théorème du moment cinétique. Le théorème du moment cinétique s’écrit : 𝑑𝜍𝑂 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = ℳ𝑂 (𝑃 + 𝑇 ) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝑃 + 𝑂𝑀 ⋏ 𝑇 ℜ Avec : 𝜍𝑂 (𝑀/ℜ) = 𝑂𝑀 ⋏ 𝑚𝑉 (𝑀/ℜ) = 𝑙𝑒𝑟 ⋏ 𝑚𝑙𝜃 𝑒𝜃 = 𝑚𝑙2 𝜃 𝑘 ⟹ 𝑑𝜍𝑂 (𝑀/ℜ) 𝑑𝑡 = 𝑚𝑙2 𝜃 𝑘 ℜ 𝑂𝑀 ⋏ 𝑃 = 𝑙𝑒𝑟 ⋏ (𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑟 − 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑒𝜃 ) = −𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘 𝑂𝑀 ⋏ 𝑇 = 0 Ce qui implique que : ⟹ 𝑚𝑙2 𝜃 𝑘 = −𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘 𝑚𝑙2 𝜃 = −𝑚𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃 On obtient finalement : 𝜃+ 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0 𝑙 Exercice 4 Un solide de masse m est fixée à 2 ressorts verticaux de raideur k et de l o est astreint à des déplacements suivant la verticale. La position du centre de gravité du solide est repérée par la cote z. Dans un premier temps on néglige les frottements. 1. Exprimer les énergies potentielles en fonction de z. Préciser les origines choisies. 2. Etablir l'équation différentielle avec la variable z. - A l'instant initial on lâche le mobile à partir de la position z=½ l o M. BOURICH 49 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel - La période du mouvement est elle modifiée si on part de 0,25 l0 ? 3. Exprimer les forces s'exerçant sur le mobile en fonction de z; retrouver la condition d'équilibre. - Etablir l'équation différentielle vérifiée par z. 4. On tient compte des frottements en plaçant le dispositif dans un fluide visqueux de coefficient de viscosité 𝜂, qui exerce une force de freinage du type 𝐹 = −6𝜋𝜂𝑟𝑣. Comment est modifiée l’équation différentielle ? La position d'équilibre est elle changée ? 5. La période des oscillations dans l'air est T 0 et la pseudo-période dans un liquide est T. Etablir l'expression de la viscosité du liquide en fonction de T 0, T et des caractéristiques de la sphère. Corrigé 1. Les énergies potentielles en fonction de z : Énergie potentielle de pesanteur ∶ (origine z = 0) mgz. Énergie potentielle élastique, ressort ressort inférieur ∶ ½k(z − l0)2 ressort supérieur ∶ ½k(2L − z − l0)2 Donc l’énergie potentielle total est donné par : 𝐸𝑃 = 𝑚𝑔𝑧 + ½𝑘(𝑧 − 𝑙0)2 + ½𝑘(2𝐿 − 𝑧 − 𝑙0)2 2. L’équation différentielle est donnée par : 𝑧+ 2𝑘 2𝑘𝐿 𝑧= −𝑔 𝑚 𝑚 1 𝑚𝑔 2 2𝑘 La solution de cette équation est : 𝑧 𝑡 = − 𝐿 + cos 𝜔𝑡 + 𝐿 − 𝑚𝑔 2𝑘 3. Inventaire des forces : 𝑇1 = −𝑘 𝑧 − 𝑙0 𝑧 : tension exercée par le ressort inférieur 𝑇2 = 𝑘 2𝐿 − 𝑧 − 𝑙0 𝑧 : tension exercée par le ressort du haut 𝑃 = −𝑚𝑔𝑧 : poid 4. Les frottements fluides ne modifient pas la position d'équilibre, contrairement aux frottements solides. M. BOURICH 50 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 5. La période devient : 𝑇 = 2𝜋 𝜔 = 2𝜋 𝜔 02 −𝜆 2 . Exercice 5 Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire constante 𝜔 = 𝜃 en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de masse m est enfilé sur cette tige et peut glisser sans frottement. On utilise les coordonnées polaires (r(t),𝜃(t)) pour décrire le mouvement de M. A l’instant t = 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale par rapport à la tige du point M0 repéré par les coordonnées polaires : 𝜃(0) = 0 et r(0) = r0 . La résistance au mouvement de l’air est négligeable et le champ de pesanteur uniforme : 𝑔 = −𝑔𝑒𝑧 1. Effectuer le bilan des forces appliquées au point M par le milieu extérieur. 2. Ecrire le PFD dans le référentiel terrestre, projeté dans la base cylindrique. 3. En déduire l’équation de 2nd ordre vérifiée par r(t). 4. Etablir les équations horaires r(t). En déduire l’équation et l’allure de la trajectoire. 5. Déterminer la réaction de la tige sur l’anneau en fonction de t. 6. L’anneau est maintenant soumis à une force de rappel par l’intermédiaire d’un ressort de masse raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide r0. Le ressort est enfilé sur la tige, une extrémité est fixée en O et l’autre est attachée au point mobile M. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’anneau lors de la rotation de la tige et discuter de la nature de celui-ci. Les conditions initiales sont inchangées. Corrigé 1. Le Référentiel d’étude terrestre : 𝑅(𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ) supposé galiléen. La base de projection : cylindrique 𝐵𝑐𝑦𝑙 = (𝑒𝑟 , 𝑒𝜃 , 𝑒𝑧 ) Bilan des forces : 𝑃 = 𝑚𝑔 𝑅 = 𝑅𝑁 𝑒𝑧 2. Appliquons le PFD dans 𝑅(𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ) : 𝑚𝑎 𝑀 𝑅 = 𝑃 + 𝑅 Ce qui donne : M. BOURICH 51 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 0 = 𝑚(𝑟 − 𝑟𝜔 2 ) 𝑅𝑁𝜃 = 2𝑚𝑟 𝜔 𝑅𝑁𝑡 = 𝑚𝑔 3. Equation est : 𝑟 − 𝑟𝜔 2 = 0 4. On en déduit l’expression de r(t) et 𝜃(𝑡): 𝑟 𝑡 = 𝑟0 cosh (𝜔𝑡) 𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡 5. Réaction de la tige : 𝑅𝑁𝜃 = 2𝑚𝑟0 𝜔 2 sinh (𝜔𝑡) 𝑅𝑁𝑡 = 𝑚𝑔 Plus le point s’éloigne et plus la tige doit fournir d’effort pour maintenir la rotation. 6. On rajoute un ressort dans le PFD : −𝑘(𝑟 − 𝑟0 ) = 𝑚(𝑟 − 𝑟𝜔 2 ) 𝑅𝑁𝜃 = 2𝑚𝑟 𝜔 𝑅𝑁𝑡 = 𝑚𝑔 Ce qui nous donne la nouvelle équation différentielle : 𝑟 − 𝑟𝜔 2 + 𝑘 (𝑟 − 𝑟0 ) = 0 𝑚 Résolution : on voit 2 cas apparaître 𝑘 Cas 1 : si 𝜔 2 < , alors le ressort ramène le point autour de la position en r = r0 . On a des 𝑚 ondulations autour de cette position : 𝑟 𝑡 = M. BOURICH 𝑘 𝑟 + Acos 𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) 𝑘 − 𝑚𝜔 2 0 52 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 𝑘 Cas 1 : si 𝜔 2 > , alors le ressort ne suffit pas à ramener le point autour d’une quelconque 𝑚 position d’équilibre, la solution reste en cosinus hyperbolique, et elle diverge de la même manière. Exercice 6 Une fusée contient un mélange combustible qui est éjecté avec une vitesse relative u par rapport à la tuyère. On suppose que le combustible s’échappe verticalement vers le bas de la tuyère. On néglige les frottments de l’air et la variation de la pesanteur avec l’altitude (i.e. on prend g constant). La masse du combustible est m, et la masse totale du reste de la fusée (réservoirs, accessoires, etc...) est M. 1) Montrer que la fuséee ne peut d´ecoller que si le débit de gaz brulés (i.e. la variation de masse de combustible par unité de temps) est supérieur à une limite à indiquer. 2) On suppose que la masse de combustible évolue suivant la loi : 𝑚 = 𝑚0 1 − 𝑡 𝜏 avec 0 < t < τ Déterminer la valeur maximale de τ qui permet le décollage. c) Déterminer l’expression de la vitesse v (t) avec 0 < t < τ . Corrigé 1. La 2eme loi de Newton appliquée à la fusée, qui est un système de masse M +m variable avec une vitesse d'éjection 𝑢 , est donnée par, 𝑑𝑣 𝑑(𝑚 + 𝑀) 𝑚+𝑀 =𝐹+ 𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 où la masse M de la fusée à vide est constante (i.e. dM=dt = 0) et le débit de gaz brûlées est négatif (i.e. dm=dt < 0) puisque la fusée perd du combustible. La seule force extérieure qui agit sur le système est le poids de la fusée et de son combustible, i.e. 𝐹+ 𝑚+𝑀 𝑔 Par conséquent, l’accélération de la fusée est de la forme : M. BOURICH 53 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 𝑑𝑣 1 𝑑𝑚 =𝑔+ 𝑢 𝑑𝑡 𝑚 + 𝑀 𝑑𝑡 Le mouvement de la fusée a lieu selon l'axe vertical z de ni par le vecteur orthonormé 𝑒𝑧 dirigé vers le haut. On projète d'abord les vecteurs selon l'axe vertical, i.e. 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑒𝑧 , 𝑔 = 𝑔𝑒𝑧 et 𝑢 = −𝑢𝑒𝑧 puis l'équation du mouvement, i.e. 𝑑𝑣 1 𝑑𝑚 = −𝑔 + 𝑑𝑡 𝑚 + 𝑀 𝑑𝑡 La condition de décollage est une accélération positive de la fusée vers le haut (i.e. dv=dt > 0). Cette condition se traduit dans l'équation du mouvement (26) par, 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑚 + 𝑀 =− > 𝑔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑢 Par conséquent, si le débit de gaz brules par la fusée lors de son lancement est supérieur la fusée décolle ! 2. La masse de combustible suit la loi d'évolution, 𝑡 𝑚 = 𝑚0 (1 − ) 𝜏 Ainsi, la dérivée temporelle de cette relation vaut, 𝑑𝑚 𝑚0 =− 𝑑𝑡 𝜏 La condition de décollage, celle-ci se réduit à : 𝑚0 𝑚 + 𝑀 𝑢 𝑚0 > 𝑔⇒𝜏< 𝜏 𝑢 𝑔 𝑀 + 𝑚0 3. L’expression de la vitesse v (t) avec 0 < t < τ, est donnée par : 𝑣 𝑡 = −𝑔𝑡 − 𝑢𝑙𝑛(1 − 𝑚0 𝑡 ) 𝑀 + 𝑚0 𝜏 Exercice 7 Soient ℜ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) un référentiel absolu supposé galiléen muni de la base orthonormée directe (𝑖, 𝑗, 𝑘) et ℜ1 (𝑂, 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) un référentiel relatif muni de la base orthonormée directe (𝑒𝜌 , 𝑒𝜑 , 𝑖). A cours du temps, les axes (𝑂𝑥) et (𝑂𝑥1 ) restent colinéaires. Dans le plan vertical M. BOURICH 54 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel (𝑦𝑂𝑧), une tige circulaire de centre 𝑐 et de rayon 𝑎 est maintenue fixe. Un anneau 𝑀 de masse 𝑚 glisse sans frottement sur la tige circulaire. Il est repéré par 𝑂𝑀 = 2𝑎𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝜌 où 𝜑 = (𝑗, 𝑂𝑀 ). On désigne par (𝜏, 𝑛 , 𝑖) la base de Frénet comme l’indique la figure (𝑛 est le vecteur dirigé vers le centre de cercle). L’accélération de la pesanteur est telle que 𝑔 = −𝑔𝑘 . 𝑧 𝑦1 𝜏 𝑧1 𝑐 𝑀 𝑛 𝑒𝜑 𝜑 𝑘 𝑒𝜌 𝜑 𝑂 𝑦 𝑗 𝑖 1) Vérifier que la vitesse de rotation de ℜ1 par rapport à ℜ est donnée par 𝛺 ℜ1 /ℜ = 𝜑 𝑖 . 2) Calculer 𝑉𝑟 (𝑀) et 𝑉𝑒 (𝑀) respectivement les vitesses relative et d’entrainement de 𝑀. 3) En déduire que la vitesse absolue de 𝑀 est donnée par : 𝑉𝑎 (𝑀) = 2𝑎𝜑 (𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜑 ). 4) Donner les expressions des vecteurs 𝜏 et 𝑛 . 5) Donner les expressions des forces appliquées à l’anneau 𝑀 dans ℜ. 6) a) Calculer 𝜍𝑐 (𝑀/ℜ) le moment cinétique par rapport au point 𝑐 de 𝑀 dans ℜ. b) Calculer les moments dynamiques par rapport à 𝑐 des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ. c) En appliquant le théorème du moment cinétique, Montrer que l’équation différentielle du mouvement de 𝑀 peut s’écrire sous la forme suivante : 𝜑+ 𝑔 𝑠𝑖𝑛(2𝜑) = 0 2𝑎 Corrigé : 1. La vitesse de rotation de ℜ1 par rapport à ℜ est donnée par : 𝛺 ℜ1 /ℜ = 𝜑𝑖 2. a) Calcule des vitesses relative et absolue de 𝑀 : 𝑉𝑟 𝑀 = M. BOURICH 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = 2𝑎𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 ℜ1 55 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 𝑉𝑎 𝑀 = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = 2𝑎𝜑(𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜑 ) ℜ b) Le vecteur tangent à la trajectoire : 𝑉 (𝑀/ℜ) 𝜏= 𝑉 (𝑀/ℜ) = (𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜑 ) 3. Vitesse absolue de 𝑀 : 𝑉𝑎 𝑀 = 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑡 = 2𝑎𝜑(𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜌 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜑 ) ℜ 4. Le vecteur normal à la trajectoire : 𝑛 = −𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜑 5. les expressions des forces appliquées à l’anneau 𝑀 dans ℜ : 𝑃 = −𝑚𝑔(𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜑 ) 𝑅 = 𝑅(−𝑠𝑖𝑛𝜑𝑒𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑒𝜑 ) 6. a) le moment cinétique par rapport au point 𝑐 de 𝑀 dans ℜ : 𝜍𝑐 𝑀 𝑀 = 𝐶𝑀 ∧ 𝑉 = 2𝑎𝑅𝜑𝑖 ℜ ℜ b) les moments dynamiques par rapport à 𝑐 des forces appliquées à 𝑀 dans ℜ : 𝓜(𝑃 ℜ) = 𝐶𝑀 ∧ 𝑃 = −2𝑚𝑔𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑖 𝓜(𝑅 ℜ) = 𝐶𝑀 ∧ 𝑅 = 0 c) Théorème du moment cinétique : 𝑀 ℜ = 𝓜(𝑃 ℜ) + 𝓜(𝑅 ℜ) ⇒ 𝜑 + 𝑔 𝑠𝑖𝑛(2𝜑) = 0 𝑑𝑡 2𝑎 𝑑𝜍𝑐 Exercice 8 Un point M de masse m est lié à un cercle fixe dans le plan vertical, de centre O et de rayon R. La liaison est supposée sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers A et dont le module est proportionnel à la distance AM. La position du point M est repérée par l’angle q = (AB, OM). M. BOURICH 56 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel 1. Déterminer les positions q = qe d’équilibre du point M sur le cercle. 2. Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer l’équation différentielle vérifiée par q en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, puis le théorème du moment cinétique en O. 3. On suppose que q reste proche de qe et on pose q = qe + u avec u << qe. Déterminer alors l’équation différentielle vérifiée par u. Les conditions initiales sont u = u0 et 𝑢 =0. Déterminer entièrement u(t). Que peut-on dire quant à la stabilité de la (des) position(s) d’équilibre déterminée(s) au 1)? Une position d’équilibre est stable si, quand on écarte légèrement le point de cette position, il tend à y revenir, elle est instable dans le cas contraire. Corrigé : 1. Les forces appliquées au point M sont : 𝑃 = 𝑚𝑔 = −𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒𝜃 : 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠 𝑁 = 𝑁𝑒𝑟 : 𝑟é𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝜃 𝜃 𝜃 𝐹 = −2𝑘𝑅𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑟 − sin 𝑒 : 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙 2 2 2 𝜃 Quand le point M est à l’équilibre, 𝑃 + 𝑁 + 𝐹 = 0, La force 𝑁 étant inconnue, on projette cette équation sur 𝑒𝜃 : 𝑡𝑎𝑛𝜃 = M. BOURICH 𝑚𝑔 𝑘𝑅 57 Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel Il y a donc deux positions d’équilibre : 𝑚𝑔 𝜃1 = 𝑎𝑟𝑐 tan ( ) 𝑘𝑅 𝜃2 = 𝜋 + 𝜃1 2. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit : 𝑃 + 𝑁 + 𝐹 = 𝑚𝑎 On projette sur 𝑒𝜃 pour éliminer N : 𝑚𝑅𝜃 = −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 2𝑘𝑅𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜃 𝑐𝑜𝑠 == −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑘𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 2 2 3. 𝜃𝑒 = 𝜃1 ou 𝜃2 L’équation du mouvement devient, au premier ordre en u : 𝑢− 𝑘 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑒 𝑢 = 0 𝑚 𝑅 Pour 𝜃𝑒 = 𝜃1 , compte tenu des conditions initiales, la solution de l’équation du mouvement est donnée par : 𝑢 𝑡 = 𝑢0 𝑐(𝜔𝑡) avec 𝜔1 = 𝑘 𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜃1 Pour 𝜃𝑒 = 𝜃2 , compte tenu des conditions initiales, la solution de l’équation du mouvement est donnée par : 𝑢 𝑡 = 𝑢0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) avec 𝜔2 = − M. BOURICH 𝑘 𝑚𝑐𝑜 𝑠𝜃2 58
