Résistance des matériaux L3 PSI GM EXAMEN RDM 2019-2020 N° Etudiant : EXAMEN RDM GM 2019-2020 (2H) Exercice N°1 : Exercice N°2 : Exercice N°3 : Note : /7 pts /9 pts /4 pts /20 1. Exercice 1 : Calcul de déplacement et rotation sur structure isostatique (7 pts) 1.1 Schématisation simplifiée de la structure à considérer 𝑦⃗ L 𝐹⃗ p A 1.2 B 𝑥⃗ Utilisation du formulaire Annexe 1 (3,5 Points) : Une poutre AB encastrée en A de portée L est soumise à une charge répartie uniforme p et une charge ponctuelle F. Avec l’annexe 1, déterminer l’expression de la rotation θ(x) et de la flèche y(x) pour 0 ≤ x ≤ L. En déduire la rotation θ(L) et la flèche pour x= L. 1.2 ZONE DE RESULTATS 1 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 1.2 ZONE DE RESULTATS suite 2 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 1.3 L3 PSI GM Utilisation du théorème de la force unité ou Castigliano (3,5 Points) : En utilisant le théorème de la force unité (ou Fontviolant) ou de Castigliano, déterminer de nouveau la flèche à x = L. (Si besoin ANNEXE 2 tableau des intégrales de Mohr fourni en annexe). 1. 3 ZONE DE RESULTATS 3 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 1. 3 ZONE DE RESULTATS suite 4 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 L3 PSI GM 2. Exercice 2 : Stratégie et détermination d’effort surabondant par la méthode des déplacements ou Castigliano (9 pts) 2.1 Schématisation simplifiée de la structure à considérer L B C A L E,I q E,I L E,I D Données : • Portique encastré en A • Portique simplement appuyé en D (appui à réaction horizontale) • Encastrement interne en B et C • A=0 ; ΔXA=0 ; ΔYA=0 ; ΔXD=0 • Structure hyperstatique de degré 1 5 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2 2.2.1 L3 PSI GM Méthodes des déplacements et stratégie de résolution : Démontrer que ce système est un hyperstatique de degré 1 (1 point) 2.2.1 ZONE DE RESULTATS 2.2.2 En utilisation la méthode des déplacements, Dégradez le système en (S0) : Système isostatique associé à chargement réel (vous en proposerez trois différents) (2 points) 2.2.2 ZONE DE RESULTATS 6 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.3 L3 PSI GM Enoncez les conditions limites de déplacement et/ou de rotation. Présentez l’équation énergétiques permettant de trouver XD (vous donnerez l’ensemble des systèmes isostatiques associés permettant de calculer les déplacements) (2 points) Système Isostatique retenu (S0) L B C A 2.2.3 ZONE DE RESULTATS 7 L E,I q E,I L E,I D Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.4 L3 PSI GM En utilisant les systèmes isostatiques associés suivants (SO : Chargement réel), tracez les diagrammes des Moments du système S0 (1 point) 2.2.4 ZONE DE RESULTATS 8 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.5 L3 PSI GM En utilisant Castigliano ou les systèmes isostatiques associés suivants (SO : Chargement réel), S1 : Chargement virtuel), par la méthode des forces, démontrez que dans la structure hyperstatique que : XD = −𝒒.𝑳 𝟒𝟎 (3 points) ➢ Système (S0) : Avec : • • ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖𝑋 𝐴 ‖= - q*L, sens négatif par rapport à 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ‖𝑌 𝐴 ‖= 0, • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑀 𝐴 ‖= 𝑞𝐿2 2 , sens positif par rapport au sens conventionnel des moments (sens trigonométrique) ➢ Système (S1) : Diagramme Mf(x) donné : • • • ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ‖𝑋 𝐴 ‖= 1, sens positif par rapport à 𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ‖𝑌 𝐴 ‖= 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑀 𝐴 ‖= 0 S1 : Mf(x) : -L B C E,I E,I A D L 9 -L L E,I L -L Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.5 ZONE DE RESULTATS 10 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.5 ZONE DE RESULTATS suite 11 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 2.2.5 ZONE DE RESULTATS suite 12 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 L3 PSI GM 3. Exercice 3 : Calcul de torseurs sur un problème 3D (4 pts) Soit le système isostatique définit ci-dessous : Structure encastrée dans une paroi, support d’un treuil d’atelier de poids P Soit la schématisation de la structure suivante : Pour cet exercice, on prendra : • • • • 13 Longueur a=b=c= 2m Barre de même inertie IGy=IGz On négligera le poids propre des barres ‖𝑃⃗⃗‖ = 75 𝑑𝑎𝑁 Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 3.1.1 Calculez le torseur des efforts de cohésion réduit au point A. 3.1.2 Calculez le torseur des efforts de cohésion réduit au point B. 14 L3 PSI GM Résistance des matériaux EXAMEN RDM 2019-2020 3.1.4 Calculez le torseur des efforts de cohésion réduit au point C. 3.1.5 Le torseur des efforts de cohésion réduit au point D. 3.1.6 Donnez le type de sollicitation de la barre CD 15 L3 PSI GM
