Puissance et energie

Puissance & énergie
Introduction
La prise d'énergie domestique 120/240 est un port de sortie d'un réseau de distribution
d'énergie moderne. Il existe plusieurs points de raccordement au réseau et pour bien
comprendre le comportement de ce réseau, il faut réfléchir aux énoncés suivants:
• L'énergie sous forme électrique est en demande partout; mais l'électricité n'est qu'un
moyen de transporter de l'énergie.
• Le problème demeure toujours la source d'énergie primaire.
• Pas d'énergie primaire, pas d'énergie disponible sous forme d'électricité.
• L'énergie peut être convertie en énergie électrique, transportée sur de grandes distances
et reconvertie en énergie d'une autre forme.
• Un réseau d'énergie électrique n'est en réalité qu'un moyen de transport
instantané de l'énergie.
Énergie Énergie potentielle Énergie cinétique
Énergie
• La découverte de l'électricité et la mise en place d'un réseau d'énergie électrique
donnent à chacun de nous le contrôle sur plusieurs serviteurs (chaque moteur d'un
appareil domestique est un esclave qui répond à nos demandes).
Ceci permet une vie où le travail physique est de beaucoup diminué.

Définitions de p(t) (puissance) et É (énergie)
Dans le domaine du temps, on défini p(t) = v(t)i(t) et É = ∫
∫∫
∫p(t)dt
La puissance p(t) est égale au produit instantané de la tension et du courant si ces deux
variables sont mesurées aux bornes d'un dipôle.
L'énergie É est la sommation de cette puissance dans le temps.
Dipôle: regroupement d'éléments matériels où se
manifestent les différents effets de l'électricité et auquel
nous avons deux points de raccordement.
Dipôle passif: le regroupement ne contient que les effets "joule" "faraday' et "coulomb".
Dipôle actif: le regroupement peut contenir les effets "joule" "faraday' et "coulomb", et
des sources d'énergie.
Regardons de plus près les équations de puissance et d'énergie.
p(t) = v(t)i(t) et É = ∫
∫∫
∫p(t)dt
Si V(t) = Vmaxcos(ωt) et que i(t) =Imaxcos(ωt + π/6)
Se rappeler que:
la valeur maximum est Vmax et Imax,
la valeur efficace est 1/√2 de Vmax ou de Imax; soit V et I : scalaires efficaces,
la phase se mesure au passage à zéro au moment où les deux fonctions ont la même
pente.
Si V(t) = 1cos(ωt) et i(t) =1cos(ωt + π/6), soit des fonctions unité pour fin de simplicité,
une multiplication avec MATLAB© donne:

Si V(t) = Vcos(ωt) et i(t) = Icos(ωt + π/6) alors
VIcos(π/6) = valeur moyenne de p(t)
VI = Vmax /√2 *Imax /√2 si la tension et le courant sont sinusoïdaux et sans harmoniques.
É = ∫
∫∫
∫p(t)dt
Surface nette sous la courbe de p(t)
Si l'angle entre V(t) et i(t) est π/2 ( L et C), la valeur de É est nulle. (Partie positive =
partie négative)
Il n'y a donc pas d'énergie dissipée lorsque seulement les effets "faraday" et
"coulomb" sont présents dans un circuit électrique.
Ce cas est théorique, car les circuits électriques ont toujours des pertes.

La puissance et l'énergie pour un circuit RC
p(t) = v(t)i(t) et É = ∫p(t)dt
Si v(t) = 1cos(ωt), que i(t) =1cos(ωt + π/6) [i.e. les données précédentes avec Vmax et Imax
= 1] et qu'on suppose que cette relation existe aux bornes d'un dipôle, on peut représenter
ce dipôle par une résistance en parallèle avec une capacité.
iR(t) = [1/R]cos(ωt)
iC(t) = [C]d/dt[cos(ωt)] = [-ωC]sin(ωt) = [ωC]cos(ωt + π/2)
* en réalité, les deux courants sont à 90° l'un de l'autre.
Pour comprendre ce qui se passe lorsqu'on calcule p(t) et É, décomposons le courant total
en deux composantes à 90°. Soit: i(t) = cos(π/6)cos(ωt) - sin(π/6)sin(ωt)
donc:
iR(t) = [cos(π/6)]cos(ωt) = [√3/2]cos(ωt)
iC(t) = [sin(π/6)]cos(ωt + π/2) = [1/2]cos(ωt + π/2)
pour satisfaire les données il faut:
1/R = √3/2 et ωC = 1/2

La puissance moyenne sur R
Aux bornes d'un élément R si v(t) = Vmaxcos(ωt), i(t) =Imaxcos(ωt) où Imax = Vmax/R
suivant nos discussions précédentes.
Si l'on applique la définition:
p(t) = v(t)i(t)
p(t) = VmaxImaxcos2(ωt) = VmaxImax[cos(2ωt)/2 + 1/2] (De la trigonométrie: cos(2x) =
2cos2(x) - 1)
Pmoy = VmaxImax/2 = Vmax/√2Imax/√2 = VI où V et I sont des valeurs efficaces car nous
avons des sinusoïdes parfaites.
Noter que I = V/R
Ainsi donc, aux bornes d'une résistance, si l'on mesure la tension et le courant en valeurs
efficaces (rms), le produit de ces deux valeurs est la puissance moyenne dissipée par la
résistance.
Si nous sommes à fréquence unique dans un circuit électrique, la relation entre v(t) et i(t)
peut être déterminée au moyen de la technique des phaseurs.
Mieux encore, si les phaseurs sont exprimés en valeurs efficaces, la relation générale
V = ZI
où Z = R + 0j donne I = V/R
Donc, Pmoy aux bornes d'une résistance pourra s'exprimer: VI = RI2 = V2/R
Il est très important de comprendre que:
Si le courant qui traverse une résistance est connu en valeur efficace, la puissance
moyenne dissipée par la résistance est:
P = RI2
où I est une valeur efficace et P est Pmoy et R est l'effet "joule" existant dans le circuit.
En réalité, si l'on désire connaître l'effet "joule" dans un circuit, il suffit de mesurer la
puissance et le courant pour établir la valeur de l'effet.