corr exam 3 algèbre s22

Telechargé par Jamel Oueriemmi
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année Univ.2015-16
Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMP-SMC
Département de Mathématiques
Correction du rattrapage d’Algèbre 2
Exercice 1 :
1) A
644
534
110
L1L3
110
534
644
L2L25L1
L3L36L1
110
024
024
L3L3L2
110
024
00 0
.
Donc : rgf rgA 2.
3dimR3rgf dimkerf2dimkerfdimkerf321.
2) – 1ière méthode :
A
110
024
00 0
L21
2L2
110
012
00 0
L2L2L1
102
012
00 0
.
x,y,zR3:
x,y,zkerfA
x
y
z
0
0
0
102
012
00 0
x
y
z
0
0
0
x2z0
y2z0x2z
y2z
Donc : kerf2z,2z,zzR.
2ième méthode :
x,y,zR3:
x,y,zkerfA
x
y
z
0
0
0
644
534
110
x
y
z
0
0
0
6x4y4z0
5x3y4z0
xy0
yx
6x4x4z0
5x3x4z0
1 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16
yx
2x4z0yx
2x4zyx
x2zy2z
x2z
Donc : kerf2z,2z,zzR.
3) i) fuBMf,BuBAuB
644
534
110
1
1
0
2
2
0
.
Donc : fu2,2,0.
fvBMf,BvBAvB
644
534
110
0
1
1
0
1
1
.
Donc : fv0,1,1.
ii) fu2,2,021,1,02uu1
2fuf1
2uImf.
fv0,1,1vfvImf.
iii) – 1ière méthode :
,R:uv0,0,01,1,00,1,10,0,0
,,00,,0,0,0
,,0,0,0
0
0.
Alors u,vest un système libre de Imf.
Puisque u,vest un système libre de Imfet puisque dimImfrgf 2alors
u,vest une base de Imf.
2ième méthode :
10
11
01
L2L2L1
10
01
01
L3L3L2
10
01
00
.
Alors : rgu,v2rgf dimImf.
Donc u,vest une base de Imf.
4) i) – 1ière méthode :
,,R:uvw0,0,01,1,00,1,12,2,10,0,0
,,00,,2,2,0,0,0
2,2,0,0,0
20
20
0
2
220
2
0
0.
Donc Su,v,west un système libre de R3.
Puisque Su,v,west un système libre de R3qui contient trois vecteurs alors
Su,v,west une base de R3.
2ième méthode :2 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16
102
112
011
L2L2L1
102
010
011
L3L3L2
102
010
001
.
Alors rgS 3. Donc Su,v,west une base de R3.
3ième méthode :
102
112
011
102
010
011
10
11 1.
Donc Su,v,west une base de R3.
ii) D’après 3) i) on a : fu2uetf
vv.
fwBMf,BwBAwB
644
534
110
2
2
1
0
0
0
.
Alors fw0,0,0. Ce qui montre que D
200
010
000
.
Exercice 2 :
1) – 1ière méthode :
x,y,zR3:x,y,zE2xyz0z2xy.
Donc : Ex,y,2xyx,yRx,0,2x0,y,yx,yR
x1,0,2y0,1,1x,yR
vect1,0,2,0,1,1.
Ce qui montre que Eest un sous-espace vectoriel de R3et que 1,0,2,0,1,1
est une base de E.
Alors Eest un sous-espace vectoriel de R3et dimE2.
2ième méthode :
200000,0,0EE≠∅.
R,ax,y,zEet ax,y,zE.
aax,y,zx,y,zx,y,zx,y,zxx,yy,zz.
xxyyzz2x2xyyzz
2xyz2xyz
2xyz2xyz00
0.
Alors : aaE.
Alors Eest un sous-espace vectoriel de R3.
x,y,zR3:x,y,zE2xyz0z2xy.
Donc : Ex,y,2xyx,yRx,0,2x0,y,yx,yR
x1,0,2y0,1,1x,yRvect1,0,2,0,1,1.
Ce qui montre que 1,0,2,0,1,1 est une base de E.
Par suite Eest un sous-espace vectoriel de R3et dimE2.
2) i) 21112110u1,1,1E.
22134130v2,1,3E.
3 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16
ii) – 1ière méthode :
,R:uv0,0,01,1,12,1,30,0,0
,,2,,30,0,0
2,,30,0,0
20
0
30
20
30
0.
Donc u,vest un système libre de E.
Puisque dimE2et puisque u,vest un système libre de Equi contient deux
vecteurs alors u,vest une base de E.
2ième méthode :
12
11
13
L2L2L1
L3L3L1
12
01
01
L3L3L2
12
01
00
.
Alors : rgu,v2rgf dimE.
Donc u,vest une base de E.
3) – 1ière méthode :
,,R:uvw0,0,01,1,12,1,31,2,10,0,0
,,2,,3,2,0,0,0
2,2,30,0,0
20
20
30
0
20
30
20
30
30
20
2
230
2
0
0.
Donc Su,v,west un système libre de R3.
Puisque Su,v,west un système libre de R3qui contient trois vecteurs alors
Su,v,west une base de R3.
2ième méthode :
4 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16
12 1
11 2
131
L2L2L1
L3L3L1
12 1
011
012
L3L3L2
12 1
011
001
.
Alors rgS 3. Donc Su,v,west une base de R3.
3ième méthode :
12 1
11 2
131
12 1
011
012
11
122110.
Donc Su,v,west une base de R3.
4).– 1ière méthode :
Puisque u,vest une base de E,west une base de F(car Fvectwet w0),
u,vwet u,vwu,v,west une base de R3alors Eet Fsont
supplémentaires dans R3.
2ième méthode :
aEF:aEet aF.
aFvectwRaw1,2,1,2,
a,2,E2200a0,0,0.
Alors EF0,0,0. Donc la somme de Eet Fest directe.
Puisque Fvectwet w0alors west une base de F.
Par suite dimF1.
dimEFdimEdimF213dimR3.
Ce qui montre que Eet Fsont supplémentaires dans R3.
5) P
12 1
11 2
131
.
6) – 1ière méthode :
P|I3
12 1
11 2
131
100
010
001
L2L2L1
L3L3L1
12 1
011
012
100
110
101
L3L3L2
12 1
011
001
100
110
211
L2L2
L3L3
12 1
011
00 1
10 0
110
211
L1L1L3
L2L2L3
120
010
001
11 1
321
211
L1L12L2
100
010
001
75 3
321
211
I3
75 3
321
211
.
5 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16
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