102
112
0−11
L2L2−L1
102
010
0−11
L3L3L2
102
010
001
.
Alors rgS 3. Donc Su,v,west une base de R3.
–3ième méthode :
102
112
0−11
102
010
0−11
10
−11 1.
Donc Su,v,west une base de R3.
ii) D’après 3) i) on a : fu2uetf
vv.
fwBMf,BwBAwB
6−4−4
5−3−4
1−10
2
2
1
0
0
0
.
Alors fw0,0,0. Ce qui montre que D
200
010
000
.
Exercice 2 :
1) – 1ière méthode :
∀x,y,z∈R3:x,y,z∈E2x−y−z0z2x−y.
Donc : Ex,y,2x−y╱x,y∈Rx,0,2x0,y,−y╱x,y∈R
x1,0,2y0,1,−1╱x,y∈R
vect1,0,2,0,1,−1.
Ce qui montre que Eest un sous-espace vectoriel de R3et que 1,0,2,0,1,−1
est une base de E.
Alors Eest un sous-espace vectoriel de R3et dimE2.
–2ième méthode :
20−0−000,0,0∈EE≠∅.
∀∈R,∀ax,y,z∈Eet ∀a′x′,y′,z′∈E.
aa′x,y,zx′,y′,z′x,y,zx′,y′,z′xx′,yy′,zz′.
xx′−yy′−zz′2x2x′−y−y′−z−z′
2x−y−z2x′−y′−z′
2x−y−z2x′−y′−z′00
0.
Alors : aa′∈E.
Alors Eest un sous-espace vectoriel de R3.
∀x,y,z∈R3:x,y,z∈E2x−y−z0z2x−y.
Donc : Ex,y,2x−y╱x,y∈Rx,0,2x0,y,−y╱x,y∈R
x1,0,2y0,1,−1╱x,y∈Rvect1,0,2,0,1,−1.
Ce qui montre que 1,0,2,0,1,−1 est une base de E.
Par suite Eest un sous-espace vectoriel de R3et dimE2.
2) i) 21−1−12−1−10u1,1,1∈E.
22−1−34−1−30v2,1,3∈E.
3 sur 7 Corr Ratt d’Alg 2 SMP-SMC 2015-16