04. Généralités sur les fonctions

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les fonctions numériques
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Réalisé par : Pr. Yassine Aouami
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1Baccalauréat
Scientifique
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Pr. Yassine Aouami GX-Mathématiques
Contenu du chapitre Chapitre 04 Généralités sur les fonctions numériques
Généralités sur les fonctions numériques
Premiersconcepts................................................................................3
1- Notion d‛une fonction numérique d‛une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2- Domaine de définition d‛une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
3- Courbe représentative d‛une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4- Sensdevariationsdunefonctionnumérique.................................................5
5- Extremums d‛une fonction numérique sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6- Fonctionminorée-majorée-bornée.........................................................7
7- Fonction paire / Fonction impaire / Fonction périodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
8- Comparaisondedeuxfonctionsnumériques...................................................9
9- Image direct d‛un intervalle par une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Compositiondefonctionsnumériques............................................................11
1- Composéededeuxfonctionsnumériques.....................................................11
2- Compositionetmonotonie....................................................................12
Représentation graphique de fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1- La fonction x 7−x+a.....................................................................12
2- La fonction x 7−ax3........................................................................14
3- la fonction partie entière x 7−E(x)........................................................15
4- La fonction associée f +k ..................................................................15
5- Lafonctionassociée kf .....................................................................16
Connaître le cours Chapitre 04 Généralités sur les fonctions numériques
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I- Premiers concepts
1- Notion d‛une fonction numérique d‛une variable réelle
Soit E une partie de l‛ensemble R. Définir une fonction numérique (d‛une variable réelle), c‛est associer
à chaque nombre réel x de E , au plus (un ou zéro) un nombre réel y de R, et on note :
f:ER
x7−y
1. Le nombre réel y est appelé l‛image de x par la fonction f, et on note y =f(x).
2. Le nombre réel x est appelé un antécédent de y par la fonction f.
Définition
Remarques
On peut définir une fonction numérique d‛une variable réelle de plusieurs manières :
Par un tableau de valeurs.
Par une formule ou une expression.
Par une représentation graphique.
Exemples
1. Soit f la fonction numérique définie par le tableau de valeurs suivants :
x -5 -3 0.19 2 8
y=f(x) 7 0.1 2-6 7
On a : f(5) = 7 , f(0.19) = 2et f(3) = 0.1.
On remarque que 7possède deux antécédents : –5et 8.
2. Soit f la fonction numérique définie par : f(x) = 1 2
x
On a : f(1) = 1, f1
3=5et f(4) = 3
2.
Déterminer les antécédents de 2, revient à résoudre l‛équation f(x) = 2 :
On a : f(x) = 2 12
x= 2 x=2. Ainsi, 2possède un seul antécédent –2.
On remarque que l‛élément 0n‛a pas d‛image par f.
2- Domaine de définition d‛une fonction numérique
Soit f :ERune fonction numérique de la variable réelle x.
Les nombres réels x de E admettant une image par f, forment un ensemble appelé le domaine de
définition de la fonction f, que l‛on note Df:
Df=nxRf(x)Ro=nxRf(x)existeo
Définition
Chapitre 04 Généralités sur les fonctions numériques 20212022
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Remarques
Pour étudier une fonction numérique, il est faut déterminer d‛abord son domaine de définition :
Une expression dans un dénominateur doit être différente de zéro.
Une expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
Le domaine de définition d‛une fonction polynomiale est l‛ensemble R.
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer l‛ensemble de définition de la fonction f :
1. f(x) = x25x+ 1.
2. f(x) = x+ 3
x – 7.
3. f(x) = 2x+ 3.
4. f(x) = x
x – 1.
3- Courbe représentative d‛une fonction numérique
Dans un repère du plan, la courbe représentative, notée Cf, d‛une fonction numérique f est l‛ensemble
des points M(x;y)tels que : x Dfet y est l‛image de x par f.
Cf=nMx;yxDfet y =f(x)o=nMx;f(x)xDfo
| |
×
x
M
×
f(x)
Cf
Df
O
i
j
Définition
Exercice 2
Sur le graphique ci-contre on donne , dans un repère orthonormé d‛unité 1 cm, la courbe représentative,
notée Cf, d‛une fonction f définie sur l‛intervalle I =2; 4:
1. Les points suivants appartiennent-ils à la
courbe de Cf?
A(0; 1),B(2; 0),C(3; 6) et D(3; 3).
2. Quelle est l‛ordonnée du point d‛abscisse –1?
4?
3. Quelles sont les abscisses des points de la
courbe d‛ordonnée 0?
4. l‛équation f(x) = 4 admet-elle une solution
dans I?
21 1 2 3 4 5
1
1
2
3
Cf
O
i
j
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Dans tout ce qui suit, Dfdésigne domaine de définition d‛une fonction numérique f.
4- Sens de variations d‛une fonction numérique
Soit f une fonction numérique, I un intervalle inclus dans Df.
1. On dit que f est croissante sur I si pour tous x1et x2de I tels que x1x2, on a f(x1)f(x2).
(x1;x2)I2x1x2f(x1)f(x2)
2. On dit que f est décroissante sur I si pour tous x1et x2de I tels que x1x2, alors f(x1)f(x2).
(x1;x2)I2x1x2f(x1)f(x2)
3. On dit que f est constante sur I si pour tous x1et x2de I, alors f(x1) = f(x2).
(x1;x2)I2f(x1) = f(x2)
Définition
Cf
×
x2
×
f(x2)
×
x1
×
f(x1)
O
i
j
-f est strictement croissante
sur l‛intervalle I.
Cf
×
x2
×
f(x2)
×
x1
×
f(x1)
O
i
j
- f est strictement décroissante
sur l‛intervalle I.
Cf
×
x2
f(x2)
×
x1
×
f(x1)
=
O
i
j
- f est constante sur l‛intervalle
I.
Remarques
On dit que f est strictement croissante sur I, si : (x1;x2)I2x1
x2f(x1)
f(x2).
On dit que f est strictement décroissante sur I, si : (x1;x2)I2x1
x2f(x1)
f(x2).
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur Rpar : f(x) = 2x2
1. Montrer que f est décroissante sur l‛intervalle I = [0; +[.
2. Montrer que f est croissante sur l‛intervalle J =] ; 0[.
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