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Limites et continuité
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Titre
Description
Remarques
Rappel :
Continue, continuité sont des mots qui évoquent l'absence de saut.
Une fonction est continue si on peut dessiner sa courbe sans lever la
main.
Toute fonction polynôme est continue en tout réel a.
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel a où elle est définie.
Si f est continue en a alors |f| est continue en a.
Si f est continue et positive en a alors
f
est continue en a.
Si f et g sont continues en a alors f + g, f.g et
.f sont continues en a.
Si f est continue en a et f(a)
0 alors
1
f
est continue en a.
Si f et g sont continues en a et g(a)
0 alors
f
g
est continue en a.
f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche
en a.
f est continue sur un intervalle ]a,b[ si f est continue en tout point de cet
intervalle.
Toute fonction polynôme est continue sur tout intervalle inclus dans .
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle où elle est
définie.
La composée de deux fonctions continues est continue.
Image d’un
intervalle par une
fonction
continue.
Théorème 1: L'image d'un intervalle par une fonction continue est un
intervalle.
Théorème 2: L'image d'un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction
continue est un fermé borné [m,M]
m inf f(x) sur a,b et M sup f(x) sur a,b

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Théorème des
valeurs
intermédiaires :
Théorème 3: Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a et b deux réels de I tels que a < b. Pour tout réel k compris entre f(a)
et f(b), l'équation f(x)=k possède au moins une solution x0 dans l'intervalle
[a,b].
Corollaire: Soit f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a,b]. Si de
plus f(a).f(b) < 0 l'équation f(x)=0 possède au moins une solution x0 dans
l'intervalle ]a,b[.
Limites et
continuité.
Si f admet une limite en a, alors cette limite est unique.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.
limf(x) f(a)
xa
, si, et sef est continue ulement a sien 
.
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf peut être en un
réel a de I et soit g une fonction définie sur l'intervalle I.
Si g est continue en a et si g(x) = f(x) pour tout x
a , alors pour tout x
a,
limf(x) g(a)
xa
.
Prolongement
par continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en un réel a de I et
admettant une limite L en a. Alors la fonction F définie par :
F(x) =
f(x) si x a
L si x a
est continue en a.
On dit que F est le prolongement par continuité de f sur I.
Limite et ordre
f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I
sauf peut-être en un réel a de I.
Si f(x) ≤ g(x) sur I et
x a x a
limf(x) alors limg(x)
.
Si f(x) ≤ g(x) sur I et
xa
limg(x)
alors
xa
limf(x)
k
x0
M
m
a
f(a)
b
f(b)
(C)

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Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) sur I et
x a x a
lim h(x) lim g(x) L
alors
xa
lim f(x) L
. (a pouvant être l’infinie).