cours limites

Limites et continuité
Titre
Rappel :
Cours
Description
Remarques
 Continue, continuité sont des mots qui évoquent l'absence de saut.
 Une fonction est continue si on peut dessiner sa courbe sans lever la
main.





Toute fonction polynôme est continue en tout réel a.
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel a où elle est définie.
Si f est continue en a alors |f| est continue en a.
Si f est continue et positive en a alors f est continue en a.
Si f et g sont continues en a alors f + g, f.g et  .f sont continues en a.
1
est continue en a.
f
f
est continue en a.
 Si f et g sont continues en a et g(a)  0 alors
g
 Si f est continue en a et f(a)  0 alors
 f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche
en a.
 f est continue sur un intervalle ]a,b[ si f est continue en tout point de cet
intervalle.
 Toute fonction polynôme est continue sur tout intervalle inclus dans
.
 Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle où elle est
définie.
 La composée de deux fonctions continues est continue.
 Théorème 1: L'image d'un intervalle par une fonction continue est un
Image d’un
intervalle par une
fonction
continue.
intervalle.
 Théorème 2: L'image d'un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction
continue est un fermé borné [m,M]
m  inf  f (x)  sur a, b et M  sup  f (x)  sur a, b 
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.tn
Page 1 sur 3
Limites et continuité
Cours
M
(C)
f(a)
k
f(b)
m
a
x0
b
 Théorème 3: Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Théorème des
valeurs
intermédiaires :
Soient a et b deux réels de I tels que a < b. Pour tout réel k compris entre f(a)
et f(b), l'équation f(x)=k possède au moins une solution x0 dans l'intervalle
[a,b].
Corollaire: Soit f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a,b]. Si de
plus f(a).f(b) < 0 l'équation f(x)=0 possède au moins une solution x0 dans
l'intervalle ]a,b[.
 Si f admet une limite en a, alors cette limite est unique.
Limites et
continuité.
 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I.
f est continue en a si, et seulement si ,
limf (x)  f (a)
.
x a
 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf peut être en un
réel a de I et soit g une fonction définie sur l'intervalle I.
Si g est continue en a et si g(x) = f(x) pour tout x  a , alors pour tout x  a,
lim f (x)  g(a)
.
x a
Prolongement
par continuité
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I sauf en un réel a de I et
admettant une limite L en a. Alors la fonction F définie par :
f (x) si x  a
si x  a
L
F(x) = 
est continue en a.
On dit que F est le prolongement par continuité de f sur I.
Limite et ordre
f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I
sauf peut-être en un réel a de I.
 Si f(x) ≤ g(x) sur I et
limf (x)  
x a
 Si f(x) ≤ g(x) sur I et lim g(x)  
x a
Cours En Ligne
alors limg(x)   .
x a
alors limf (x)  
x a
Pour s’inscrire : www.tunischool.tn
Page 2 sur 3
Limites et continuité
Cours
 Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) sur I et lim h(x)  lim g(x)  L
x a
alors
Cours En Ligne
x a
lim f (x)  L . (a pouvant être l’infinie).
x a
Pour s’inscrire : www.tunischool.tn
Page 3 sur 3