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Mathématiques MP2 Réduction des endomorphismes Résumé de cours
Remarque : les résultats sont parfois donnés sur les matrices, parfois sur les endomorphismes... ils sont la plupart du temps
généralisables dans l’autre situation.
STABILITÉ
Proposition 1 (Sev stables)
si uet vcommutent alors kervet Im vsont stables par u.
c’est notamment le cas lorsque vest un polynôme en u: keru, Im u,Eλ=ker(uλId) et Fλ=ker(uλId)psont
stables par u.
Proposition 2 (Sous-espaces stables et matrices)
Soit AMn(K).
la droite Vect(X) est stable par Asi et seulement si Xest un vecteur propre de A,
le hyperplan d’équation tU X =
n
i=1
uixi=0 est stable par Asi et seulement si Uest un vecteur propre de tA.
ÉLÉMENTS PROPRES
Définition 1 (Éléments propres)
si uL(E) où Eest un K-ev, on appelle
valeur propre de u: tout λKtel qu’il existe x̸=0 tel que u(x)=λx,
vecteur propre de u: tout xE non nul tel qu’il existe λKtel que u(x)=λx,
espace propre de upour λ: le sous-espace Eλ(u)=ker(uλId) ={xE,u(x)=λx}
Propriété 3 (Somme directe)
Si λ1,...,λpsont des valeurs propres distinctes de ualors les espaces propres Eλ1,...,Eλksont en somme directe.
Propriété 4 (Matrices et valeurs propres)
si AMn(K), alors Aet tAont mêmes valeurs propres et dimEλ(A)=dimEλ(tA).
si AMn(R) et λSpC(A), alors λSpC(A) et les espaces propres associés sont de même dimension.
POLYNÔMES
Propriété 5 (Polynôme caractéristique)
Soit AMn(K)
on note χA=det(X InA) le polynôme caractéristique de A,
on a χA=Xntr(A)Xn1+...+(1)ndet A
λSp(A) si et seulement si χA(λ)=0,
si λest de multiplicité kÊ1 dans χAalors 1 ÉdimEλ(A)Ék
χA=χtA,
M7→χMest continue sur Mn(K)
Propriété 6 (Polynômes annulateurs)
soit uL(E),
l’ensemble des polynômes annulateurs de uest un idéal de K[X].
en dimension finie, l’ensemble des polynômes annulateurs de uest l’ensemble des multiples d’un unique poly-
nôme unitaire (de degré minimal), appelé polynôme minimal de u et noté µu.
le polynôme caractéristique est un polynôme annulateur (et notamment µu|χu).
1 année 2016/2017
Mathématiques MP2 Réduction des endomorphismes Résumé de cours
Propriété 7 (Lien avec les valeurs propres)
si λest valeur propre de ualors P(λ) est valeur propre de P(u).
Les valeurs propres de usont exactement les racines de χuou celles de µu.
si Pest un polynôme annulateur de ualors les valeurs propres de usont parmi les racines de P.
Théorème 1 (Décomposition des noyaux)
Si Pet Qsont premiers entre eux alors ker(PQ)(u)=kerP(u)kerQ(u).
Si P1,...,Pksont 2 à 2 premiers entre eux alors ker(P1...Pk)(u)=
k
i=1
kerPi(u).
Proposition 8 (Polynômes d’endomorphismes)
Soit uL(E).
L’application P7→P(u) est un morphisme d’algèbre entre (K[X],+,·,×) et (L(E),+,·,).
On note K[u]={P(u),PK[X]},
si d=degµu, alors la famille (Id,u,...,ud1est une base de K[u]=Kd1[u].
DIAGONALISATION
Les espaces sont de dimension finie.
Propriété 9 (Diagonalisation)
Soit uL(E), on a équivalence
uest diagonalisable (il existe une base Bde Edans laquelle MatB(u) est diagonale),
il existe une base de Eformée de vecteurs propres de u
E=
λSp(u)
Eλ(u),
λSp(u)
dimEλ(u)=dimE
Remarques :
lorsque χuest scindé à racines simples alors uest diagonalisable et chacun des nsous-espaces propres est de di-
mension 1,
lorsque χuadmet une unique racine λ, alors uest diagonalisable si et seulement si u=λId.
Théorème 2 (Critère de diagonalisabilité avec le polynôme caractéristique)
Soit uL(E), uest diagonalisable si et seulement si χuest scindé sur Ket pour tout λSp(u), dimEλ(u)=nλnλest
la multiplicité de λdans χu.
Théorème 3 (Critère de diagonalisabilité avec les polynômes annulateurs)
Soit uL(E). On a équivalence
uest diagonalisable,
uadmet un polynôme annulateur scindé à racines simples,
le polynôme minimal de uest scindé à racines simples,
le polynôme
λSp(u)
(Xλ) est annulateur
Théorème 4 (Endomorphisme induit)
Si uest diagonalisable et Fest stable par u, alors l’endomorphisme induit uFest diagonalisable.
2 année 2016/2017
Mathématiques MP2 Réduction des endomorphismes Résumé de cours
TRIGONALISATION
Définition 2 (Endomorphisme trigonalisable)
Soit uL(E). On dit que uest trigonalisable lorsqu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest triangulaire
supérieure.
Propriété 10 (Caractérisations)
Soit uL(E). On a équivalence
uest trigonalisable,
le polynôme caractéristique χuest scindé,
uadmet un polynôme annulateur scindé.
Proposition 11 (Trigonalisation)
Soit uL(E). Si uest trigonalisable et Sp(u)={λ1,...,λp}, alors
E=
p
k=i
FiFiest stable par uet l’endomorphisme induit par usur Fiest ui=λiId +νiνiest un endomor-
phisme nilpotent de Fi.
la dimension de Fiest égale à la multiplicité de λidans χu,
il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest
λ1
λ1
λ2
λ2
λp
λp
(0)
(0)
3 année 2016/2017
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