2 Processus stochastiques

Processus stochastiques
Adapté de Yannis Korilis, Christian St-Jean, Dave
DeBarr, Bob Carpenter, Jennifer Chu-Carroll et plusieurs
autres

Processus séquentiel dont chaque valeur est une variable
aléatoire.
Caractérisé par ses différentes réalisations
Ex: Suite de lancers de dé (par ex., 1,3,2,5,3,6,2,4…
Signal radar,
Écho de voix
Notation pour les processus chronologiques :
Temps continu : x(t)
Temps discret : X(tn) ; X(nTe) ; X(n) ; Xn
réalisation
V.A.
Processus stochastique

Les signaux observés sont « rares » et leur survenue dépend
du temps d’attente T et d’un paramètre 
Le nombre de signaux durant T est:
T
ke
k
T
ktNTtNP  !
)(
))()((
Le délai entre deux signaux suit une loi exp. de paramètre 
T
eTtP
Le temps d’attente entre « k» signaux suit une loi G
Processus de renouvellement typique (c.à.d sans mémoire)
Processus de Poisson

Dans un ensemble de documents analysés, le nombre moyen de motifs
remarquables est 3 par document :
Temps moyen d’attente : 1/3 de document
Nombre moyen de motifs par document : 3
•Probabilité qu’il n’y ait aucun motif recherché dans 1 document :
•Probabilité qu’il y ait moins de 3 motifs recherchés dans 3 documents :
049.0
!0
3
)0( 3
0 
eXP
0062.0
!2
9
!1
9
!0
9
)3( 9
2
9
1
9
0
  eeeXP
•Probabilité de fouiller plus d’un document avant de trouver un
motif recherché :
049.0)1( 3  eTP
•Probabilité de fouiller plus de 3 documents avant de trouver un
motif recherché :
00012.0)3( 9  eTP
Exemple

Le nombre quotidien de personnes qui visitent une bibliothèque suit
une loi de Poisson de paramètre =12. Quelle est la probabilité que
plus de 250 personnes viennent durant 22 jours ouvrables ?
•On aT =12·22 =264.
•La probabilité recherchée est donc
P(X250) = 1 - P(X< 250) = 1 - exp(-264)·Si=0..249 264i/i! = 0.813
•On peut accélérer les calculs en faisant l’approximation de la distribution de Poisson par une
gaussienne de moyenne m= et de variance s2, valant toues les deux T = 264. Cela donne :
P(X250) = P(X-m  -14) @P((Y-m)/s  250/s) = P(Z-14/264½)
où Zest une variable normale standard. Donc
P(X250) @½·[1 + erf(7·33½/66)] = 0.806
Exemple